Computermethoden zur Lösung einiger konkreter kombinatorischer ...

4 1 Einleitung
Schach ist ein typischer Vertreter eines weiteren Gebietes in der Mathematik, in dem
Computer eine große Rolle spielen. Mühle, Awari, 4-Gewinnt, Go-Moku und Cubic
werden erfolgreich behandelt und gelöst. Schach- und Dame-Programme haben
schon vor Jahren den Leistungsstand bester menschlicher Spieler erreicht. Das derzeitig
führende Schachprogramm wird an der Universität Paderborn mitentwickelt und ist
im Unterabschnitt 1.2.4 vorgestellt.
Immer häufiger verwendet man Computer unmittelbar in der Beweisführung. Aussagen,
die man zunächst nicht direkt beweisen kann und deren Lösungsraum nummerierbar
ist, behandelt man mit Suchalgorithmen. Ein wichtiger Aspekt von solchen
computerunterstützten Beweisen ist das Lösen kleiner Instanzen eines Problems, um
eine Intuition für den allgemeinen Fall zu bekommen. Seit der Erfindung der Integrierten
Schaltung von 1958, verdoppelt sich ihre Komplexität, wie Moore 1965 behauptet,
etwa jede zwei Jahre. In immer größerem Maß vorhandene Rechenleistung, welche zudem
mit Hilfe von Netzwerken parallel von vielen Computern gleichzeitig abrufbar ist
und stets weiterentwickelte Algorithmen erlauben es, Probleminstanzen zu betrachten,
die früher unerreichbar schienen. Noch ist aber die Klasse der ”exhaustive search”-
Algorithmen, die die großen Suchräume behandeln, wenig erforscht.
Seit dem ”Beweis” des Vier-Farb-Satzes von Appel und Haken 1976 werden immer
wieder Diskussionen durch Beweise, die Teilaussagen mit Hilfe von Computereinsatz
herleiten, entfacht. Die Akzeptanz solcher Beweise als streng mathematische Beweise
ist strittig. Für Calude u. a., die in ihrem Artikel ”Passages of Proof” die Evolution des
Begriffs eines mathematischen Beweises beschreiben, ist diese Art von Beweisen die
Wiederentdeckung deduktiver empirisch-experimenteller Mathematik, welche schon
die Griechen eingeführt haben sowie eine natürliche Fortentwicklung klassischer Beweise.
Ob es sich dabei um Beweise aus der Klasse der Beweise des Vier-Farb-Satzes beziehungsweise
der Kepler-Vermutung oder um das Berechnen kleiner Instanzen kombinatorischer
Extremalprobleme, wie es bei den Ramseyzahlen der Fall ist, handeln,
beide haben die Schwierigkeit der Verifikation gemein. Für Hilbert war die Verifikation
eines Beweises ein mechanischer Vorgang, der unter Benutzung von klar definierten
Regeln zu der zu beweisenden Aussage führt. Kein Mensch könne aber die 1936 Fälle
des Vier-Farb-Satzes überprüfen. Ron Graham fragt hierzu: ”If no human being can
ever hope to check a proof, is it really a proof?” Die Problematik hier ist: obwohl der
Computer ein viel besserer und ausdauernder mechanischer Beweisführer und Verifizierer
ist, kann die Korrektheit und Vollständigkeit auf Grund der nicht überschaubaren
Komplexität und der Interdependenzen der beweisführenden Algorithmen, der Compiler
und anderer Hilfsprogramme, nur angenommen werden. Knuth äußerte sich dazu:
”Beware of bugs in the above code: I have only proved it correct, not tried it.”
Ein konkreter Fall für einen computerunterstützten Beweis ist die Abschätzung der
Ramsey-Zahl R(3,8) von McKay u. Zhang Ke Min (1992). Die Autoren beschreiben
ihre Ideen und Algorithmen in ihrer Arbeit nicht vollständig. Weiterhin muss der insgesamt
700 kB große Quellcode der Programme auf Vollständigkeit und Korrektheit
überprüft werden. Für einen Teil dieser Programme, die eine separate Bibliothek zur