Computermethoden zur Lösung einiger konkreter kombinatorischer ...

70 3 Die Vermutung von Hirsch und die ”d-step Conjecture”
3.4.3 Statistiken für Polytope
Für die Suche nach einem Gegenbeispiel zur Hirsch-Vermutung wäre im Hinblick
auf die Wette von Klee, dass spätestens ab Dimension 12 ”die meisten” Polytope ein
Gegenbeispiel zur Hirsch-Vermutung sind, das kombinatorisch gleichverteilte Erzeugen
von Polytopen wünschenswert. Allerdings ist heute dafür keine Methode bekannt,
so dass auf das geometrisch gleichverteilte Erzeugen von Polytopen zurückgegriffen
wird. Die Suche nach den Unterschieden der Verteilungen für Eckenzahlen und Facettengrade
für Polytope, die geometrisch gleichverteilt von Polymake erzeugt werden
sowie für kombinatorisch verschiedene Polytope, ist speziell für den Fall der einfachen
(4,9)-Polytope interessant. Altschuler u. a. nummerieren alle 1142 simplicial (4,9)-
Polytope. Für (4,9)-, (5,9)-, (5,10)-, (6,10)-, (6,11)- und (6,12)-Polytope werden
mindestens 3 × 10 6 geometrisch gleichverteilte Polytope erzeugt und aus diesen Mengen
kombinatorisch verschiedene Polytope bestimmt.
(d,n) Anzahl erzeugter Polytope kombinatorisch verschieden
(4,9) 3.001.444 1100
(5,9) 3.029.228 327
(5,10) 3.106.735 123.579
(6,10) 3.031.044 5511
(6,11) 3.290.909 1.719.544
(6,12) 3.654.508 3.591.963
Tabelle 3.17: Statistik geometrisch gleichverteilt erzeugter Polytope.
In der Tabelle 3.17 sind die Zahlen erzeugter einfacher Polytope und dabei gefundener
kombinatorisch verschiedener Polytope zusammengefasst.
Für den Fall der einfachen (4,9)-Polytope kann man feststellen, dass beim geometrisch
gleichverteiltem Erzeugen 1100 von 1142 oder 96% der einfachen (4,9)-Polytope
gefunden worden sind. In Abbildung 3.18 ist die Rate der Erzeugung kombinatorisch
verschiedener Polytope mittels geometrisch gleichverteilter Erzeugung dargestellt.
Im Vergleich dazu ist der Funktionsverlauf eingezeichnet, der beim kombinatorisch
gleichverteilten Erzeugen hätte angenommen werden müssen. Der Erwartungswert
wäre bei kombinatorisch gleichverteiltem Erzeugen nach N-maligem Würfeln:
(1142(1 − (1 − 1
1142 )N )). Die Abweichung ist auf das geometrisch gleichverteilte Erzeugen
statt des kombinatorisch gleichverteilten Erzeugen zurückzuführen.
Interessant ist weiterhin, dass für eine gegebene Dimension d und Facettenzahl n beim
Übergang zur Dimension d +1 die Zahl der Polytope abnimmt. Dies tritt bei den Fällen
der (4,9)- und (5,9)-Polytope und (5,10)- und (6,10)-Polytope auf.
98% der generierten einfachen (6,12)-Polytope sind kombinatorisch verschieden. Das
lässt die Schlussfolgerung zu, dass beim ersten Experiment der Großteil der 0.66×109