Computermethoden zur Lösung einiger konkreter kombinatorischer ...

3.1 Lineare Programmierung 47
und nennt P ein (konvexes) Polyeder. Existiert für alle x ∈ P ein N ∈ IR mit ||x|| ≤ N, so
heißt P ein (konvexes) Polytop. Da nicht-konvexe Polyeder und Polytope im Folgenden
nicht vorkommen werden, wird ”konvex”, wie bei Grünbaum weggelassen.
Das Finden eines Maximums ist in Abbildung 3.1(a) beispielhaft dargestellt. Hat das
Polyeder die Dimension d, so findet man zeichnerisch eine Lösung durch verschieben
einer d − 1 dimensionalen Fläche in Richtung c. Man kann zeigen, dass das Optimum
in einer Ecke angenommen wird, also in einem Punkt x ∈ P, für den mindestens für d
der n Ungleichungen jeweils die Gleichheit (aix = bi) gilt.
Eine algorithmische Lösung für das Finden eines Optimums für ein lineares Ungleichungssystem
stellt 1947 Dantzig vor. Dazu sei angenommen, dass alle Ecken
x1,x2,...,xm ∈ IR d eines Polyeders P bekannt sind. Der Algorithmus, gestartet mit einer
beliebigen Ecke x0, iteriert solange entlang der Kanten des Polyeders, bis keine
gefundene Lösung mehr verbessert werden kann:
1. Finde eine Lösung x0.
2. Solange xi nicht optimal, finde xi+1 mit c ⊤ xi+1 ≥ c ⊤ xi, beziehungsweise
c ⊤ xi+1 ≤ c ⊤ xi.
Die ursprüngliche Pivot-Regel von Dantzig wählt als xi+1 jeweils einen Nachbarknoten
von xi, der den maximalen Wert bezüglich der linearen Funktion c ⊤ xi+1 hat. In
Abbildung 3.1(b) ist ein solches Vorgehen skizziert.
(a) Zeichnerische Methode. (b) Pivot-Regel von Dantzig.
Abbildung 3.1: Das Finden eines Optimums auf einem Polytop.
Wenn man annimmt, dass der Lösungsraum P endlich ist, so definiert die Konvexkombination
von x1,x2,...,xm ebenfalls einen Lösungsraum:
P = conv(x1,x2,...,xm) := {
m
∑
i=1
λixi| λi ≥ 0,
m
∑ λi = 1}.
i=1