Computermethoden zur Lösung einiger konkreter kombinatorischer ...

42 2 Ramsey-Zahlen
Tabu-Search
Piwakowski verwendet die tabu-search Heuristik, um mins∈S f (s) zu bestimmen, wobei
f (s) die zu minimierende Zielfunktion und S der Raum erlaubter Zustände ist.
Die Heuristik benutzt die Nachbarfunktion Nb : S → 2 S , um, gestartet mit s ∈ S, zum
nächsten Zustand zu wechseln, der einen minimalen Wert unter f hat. Gibt es eine Auswahlmöglichkeit,
so wird zufällig verzweigt. Um Schleifen zu vermeiden, wird eine
Liste besuchter Zustände geführt - die Tabu Liste. Zu den Zuständen aus der Tabu-
Liste darf die Heuristik nicht ein zweites Mal verzweigen. Man kann den Algorithmus
etwa wie folgt notieren:
Algorithmus 2.4.32. Tabu-Search
Eingabe: Startelement s ∈ S.
Ausgabe: Akzeptierender Zustand s ∈ S oder /0.
1: Initialisiere die Tabu-Liste T := /0.
2: Solange s kein akzeptierender Zustand ist erledige
3: T := T ∪ {s}.
4: Falls T voll dann
5: Lösche das älteste Element in T .
6: s := s ′ mit s ′ ∈ Nb(s)\T und f (s ′ ) = min u∈Nb(s)\T f (u).
Die Umsetzung
Angenommen, G ist ein (s,t,n)-Ramsey-Graph mit s ≤ t. Man definiert für
Kn = (VKn ,EKn ), VKn = {0,1,...,n − 1}, die Partition E = {G1,G2,...,Gr} mit
VGi = VKn für 1 ≤ i ≤ r, EKn = ∪ri=1 EGi und EGi ∩ EG j = /0 für 1 ≤ i �= j ≤ r. Der
Suchraum S ist nun die Kombination aller möglichen Teilmengen von E, wobei kein
Graph eine t-unabhängige Menge enthalten darf:
S = {GI = ∪i∈IGi | I ⊆ {1,2,...,r},Kl �⊆ ¯GI}.
Zwei Graphen in S sind Nachbarn, wenn sie sich um genau ein Graph aus E unterscheiden:
GI ∈ Nb(G j) ⇔ |(I ∪ J)\(I ∩ J)| = 1.
Die Zielfunktion f (GI) liefert die Anzahl der s-Cliquen in GI. E wird nun mit
d(v,w) = min{|v − w|,n − |v − w|} für v,w ∈ VKn definiert als
E = {G1,G2,...,G n ⌊ n ⌋},
{v,w} ∈ EGi
⇔ d(v,w) = i.
Für n = 8 ist die Partition E in Abbildung 2.6 dargestellt. Einige Kombinationen der
Elemente von E sind in Abbildung 2.7 dargestellt.