Computermethoden zur Lösung einiger konkreter kombinatorischer ...

46 3 Die Vermutung von Hirsch und die ”d-step Conjecture”
Man bekommt damit ein Polytop mit gesuchten Parametern: der Dimension d
und n Seitenflächen.
4. Als letzte Operation bestimmt man den Durchmesser des zum Polytop zugehörenden
Graphen. Im Fall von ∆(n,d) > n − d wäre die Vermutung von Hirsch widerlegt.
Würde die Vermutung von Hirsch gelten, wäre das noch keine Implikation für die
Existenz einer Pivot-Regel mit polynomieller oder linearer Laufzeit für den Simplex-
Algorithmus. Die Widerlegung der Vermutung von Hirsch wäre ebenfalls keine Implikation
für die Nichtexistenz einer solchen Regel. Allein die Laufzeit eines Simplex-
Algorithmus mit einer beliebigen Pivot-Regel kann die Größenordnung des Durchmessers
eines konvexen Polyeders nicht unterschreiten.
Der Spezialfall der Vermutung von Hirsch mit n = 2d, bekannt unter dem Namen
der ”d-step conjecture”, ist insofern interessant, da seine Korrektheit äquivalent zur
Korrektheit des allgemeinen Falls ist.
In den folgenden Kapiteln wird das Gebiet der linearen Programmierung und die Komplexitäten
von Nicht-Simplex-Algorithmen sowie spezieller Pivot-Regeln des
Simplex-Algorithmus vorgestellt. Weiterhin werden die Grundbegriffe der Theorie für
Polytope eingeführt und die Vermutung von Hirsch und die d-step conjecture vorgestellt.
Anschließend beschreibe ich einen Versuch, die d-step conjecture experimentell
zu widerlegen.
3.1 Lineare Programmierung
Bei dem Problem der linearen Programmierung beschäftigt man sich mit der Suche
nach einem Optimum in einer Menge, die durch ein System von linearen Ungleichungen
definiert werden kann. Hierbei bieten sich insbesondere Beispiele aus den Wirtschaftswissenschaften
zur Verdeutlichung an. Kennt man die Mengen der Ressourcen
und Kapazitäten der Produktionsmittel sowie ihre linearen Abhängigkeiten untereinander,
so lässt sich ein lineares Ungleichungssystem Ax ≤ b, A ∈ IR n,d , x ∈ IR d , b ∈ IR n
aufstellen, so dass für ein gegebenes c ∈ IR d ein x0 ∈ IR d zu finden ist mit:
oder
c ⊤ x0 = max
x∈IR d{c⊤ x| Ax ≤ b},
c ⊤ x0 = min
x∈IR d{c⊤ x| Ax ≤ b}.
Für jedes i, 1 ≤ i ≤ n, definiert aixi ≤ bi einen abgeschlossenen Halbraum, wobei ai
die i-te Zeile aus der Matrix A ist. Der Schnitt aller n Halbräume ist die Menge der
Punkte x ∈ IR d , die die Ungleichung Ax ≤ b erfüllen. Man schreibt
P = P(a,b) := {x ∈ IR d | aix ≤ bi, für 1 ≤ i ≤ n}