Computermethoden zur Lösung einiger konkreter kombinatorischer ...

30 2 Ramsey-Zahlen
Beweis. Sind v und w adjazent, dann gilt: |V N(v) ∩V N(w)| = 0 und damit
δ ¯N(v) ≤ δG ≤ t − 1. Sind v und w nicht adjazent, dann gilt im Fall V N(v) ∩V N(w) = /0
ebenfalls die Behauptung. Sei nun V N(v) ∩V N(w) �= /0. Dann gilt:
deg ¯N(v) (w) = deg G (w) − |{u|u ∈ V N(w), u /∈ V ¯N(v)}|
≤ t − 1 − |{u|u ∈ V N(w), u ∈ {v} ∪V N(v)}|
≤ t − 1 − |V N(w) ∩ ({v} ∪V N(v))}|
≤ t − 1 − |V N(w) ∩V N(v)|
Die Backtracking-Routine aus dem Algorithmus 2.4.24 zur Erzeugung aller
G = (V,E) ∈ R (3,t,n) δ aus einem gegebenen H ∈ R (3,t − 1,n − δ − 1) benötigt als
Eingabe alle unabhängigen Mengen S1,...SN der Größe δ − 1 bis t − 2 von H. Im
Laufe der Berechnungen werden die Zahlen di(w) benötigt, die für ein w ∈ V und
X1,...,Xi ⊆ V definiert sind als:
di(w) = di(w;X1,...Xi) = deg H (w) + |{Xj|w ∈ Xj,1 ≤ j ≤ i}|.
Algorithmus 2.4.24. makeX(k,(X1,...,Xk−1),(Y1,...,YK))
Eingabe: k,K ∈ IN, Xi, Yi unabhängige Mengen in VH.
Ausgabe: Alle Erweiterungen von H ∈ R (3,t − 1,n − δ − 1) δ.
1: Falls k > δ dann
2: process((X1,X2,...,X δ))
3: Sonst
4: Konstruiere die Liste (Z1,...,ZL) aus allen Elementen Z aus (Y1,...,YK),
so dass folgende drei Bedingungen gelten:
5: ∀w ∈ VH, wenn dk−1(w) < k − 1, dann w ∈ Z.
6: ∀w ∈ VH, wenn dk−1(w) = k − 1, dann w /∈ Z.
7: H hat keine unabhängige Menge der Größe t − 1 − |I|
disjunkt von Z ∪ S
i∈I Xi für alle I ⊆ {1,2,...,k − 1}.
8: Für i ← 1 bis L erledige
9: makeX(k + 1,(X1,...,Xk−1,Zi),(Zi,Zi+1,...,ZL))
Lemma 2.4.25 (MZ4). Gestartet mit (0, /0,(S1,...,SN)) führt die Funktion makeX die
Funktion process genau einmal für alle Folgen X1 = Si1 ,X2 = Si2 ,...,X δ = Si δ mit
1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ ··· ≤ i δ ≤ N aus, für die die Bedingungen des Lemma 2.4.22 gelten.