Computermethoden zur Lösung einiger konkreter kombinatorischer ...

3.2 Konvexe Polyeder und Polytope 53
Die Hirsch-Vermutung ist wahr für 0/1-Polytope, die definiert sind als konvexe Hülle
einer Menge von Einheitsvektoren. 1989 wird dies von Nadef bewiesen. Weiterhin
können Kleinschmidt u. Onn (1992) für integrale Polytope die Hirsch-Vermutung zeigen.
3.2.3 Eigenschaften von Polyedern und Polytopen
Für den Abschnitt 3.4 sind Abschätzungen für Eckenzahlen für Polytope von Interesse.
Motzkin vermutet 1957 für die maximale Zahl der Ecken eines d-Polytops mit
n-Facetten (beziehungsweise für Facettenzahl eines d-Polytops mit n Ecken):
� d+1 n − ⌊ 2 ⌋
� � d+2 n − ⌊
+ 2
n − d
⌋
�
.
n − d
1970 wird diese Vermutung von McMullin bewiesen. Für die untere Schranke für
Ecken eines d-Polytops mit n Facetten vermutet Brückner (1909):
(n − d)(d − 1) + 2.
Für d ≤ 5 beweist Walkup (1975) die Behauptung. 1971 wird der allgemeine Fall von
Barnette hergeleitet.
Eine Operation, die bei der Konstruktion von Polytopen im Abschnitt 3.4 verwendet
wird, ist das Bilden eines Keils oder das Wedgen. Dabei wird ein d-Polyeder mit
n-Facetten zu einem (d + 1)-Polyeder mit n + 1 Facetten erweitert.
Sei also P ein d-Polyeder und sei F ein m-face von P, 0 ≤ m < d. Bezeichne L = [0,∞)
eine Halblinie. Sei C das Produkt von P mit L in IR d+1 , wobei jeder Punkt v ∈ P mit
v × 0 in C identifiziert wird. Sei H eine Hyperebene in IR d+1 mit H ∩ P = F und H
schneidet das Innere von C. H teilt C in zwei (d + 1)-Polyeder. Sei W der (d + 1)-
Polyeder, der P enthält. W ist kombinatorisch bestimmt durch die Wahl von P und F
und hat n + 1 Facetten. Es gilt: Falls P ein Polytop ist, so ist W auch ein Polytop. Falls
P einfach und F eine Facette sind, so ist W einfach.