Computermethoden zur Lösung einiger konkreter kombinatorischer ...

36 2 Ramsey-Zahlen
4. Seien {u,v,w,z} eine 4-unabhängige Menge in G.
Wenn Tu ∪ Tv ∪ Tw ∪ Tz �= VH dann FAIL,
sonst Bu := Bu ∪ (VH\(Tv ∪ Tw ∪ Tz)).
Lemma 2.4.27 (MR1). Wenn beim Anwenden der collapsing-Regeln auf
I0,...,Im−1 das Symbol FAIL erzeugt wird, dann gilt: F (G,H;I0,...,Im−1) = /0. An-
derenfalls gilt F (G,H;I0,...,Im−1) = F (G,H;I ′ 0 ,...,I′ m−1 ), wobei I′ 0 ,...,I′ m−1 die Intervalle
I0,...,Im−1 nach der Ausführung der collapsing- Regeln sind.
Beweis. 1. Sei {y,z} ∈ EH mit y ∈ Bu ∩ Bv und z ∈ Tu ∩ Bv. Wäre u adjazent zu
z, dann gilt F (F,H;I0,...,Im−1) = /0, denn {u,v,y,z} bilden eine 4-Clique (Be-
dingung K2). Anderenfalls kann man z aus Tu entfernen. Das Anwenden dieser
Regel auf alle Kanten in H entspricht der collapsing-Regel 1.
2. Seien y,z ∈ VH nicht adjazent und sei w ∈ Tu ∪ Tv. Gelte: {y,z,w} ist eine
3-unabhängige Menge in H und {y,z} �⊆ Tu ∪ Tv, so wäre {u,v,y,z,w} eine
5-unabhängige Menge und F (G,H;I0,...,Im−1) = /0. Anderenfalls kann man
alle Knoten y ∈ Tu, y �∈ Tv zu Bu hinzufügen, die mit Knoten aus VH\Tu ∪ Tv eine
3-unabhängige Menge bilden. Das Anwenden dieser Regel auf alle nicht durch
eine Kante verbundenen Knotenpaare in G liefert die Regel 2. Analog werden
die Regeln 3 und 4 bewiesen.
Beim wiederholten Anwenden der collapsing-Regeln wird entweder FAIL generiert,
oder eine stabile Konfiguration, in der kein Intervall mehr modifiziert werden kann. Es
wird sich ergeben, dass die stabile Konfiguration unabhängig von der Reihenfolge der
Anwendung der collapsing-Regeln ist. Sei dazu (X,≤) eine partiell geordnete Menge
und sei Φ eine Familie von Funktionen von X nach X. Für ein x,x ′ ∈ X und φ ∈ Φ gilt:
φ(x) < x und falls x ≤ x ′ , dann ist φ(x) ≤ φ(x ′ ). Man nennt x ∈ X Φ-stabil, falls für alle
φ ∈ Φ gilt: φ(x) = x. Sei Φ ∗ (x) die abgeschlossene Hülle von {x} unter Φ.
Lemma 2.4.28 (MR2). Für ein x ∈ X hat Φ ∗ (x) höchstens ein stabiles Element.
Beweis. ” Seien φ1,...,φr,φ ′ 1 ,...,φ′ s ∈ Φ und y = φr(...φ1(x)...), y ′ = φ ′ s(...φ ′ 1 (x)...)
Φ-stabil. Dann gilt y = φ ′ s(...φ ′ 1 (φr(...φ1(x)...)...) da y Φ stabil und y ≤ y ′ . Umge-
kehrt ist y ′ = φr(...(φ1(φ ′ s(...φ ′ 1 (x)...)...) da y′ Φ-stabil ist und y ′ ≤ y. Insgesamt
folgt die Gleichheit.
Man kann nun das Lemma 2.4.28 wie folgt auf G und H anwenden: Sei X die Menge
aller m-Tupel (I0,...,Im−1) vereinigt mit dem Symbol FAIL. Es gilt x ≤ x ′ , wenn
entweder x =FAIL oder für x = (I0,...,Im−1) und x ′ = (I ′ 0 ,...,I′ m−1 ) gilt: Ii ⊆ I ′ i für