Computermethoden zur Lösung einiger konkreter kombinatorischer ...

und
2.4 Computermethoden in der Literatur 25
∑ siv
i≥0
2 i = 14 · 25 + 8 · 36 = 638.
Das liefert einen Widerspruch zum Lemma 2.4.12.
Der Fall, dass ein (3,7,22,59)-Graph G einen vollen 5-Knoten hat, kann nicht auftre-
ten. Dieses beweisen die Autoren algorithmisch. Der Algorithmus nimmt an, G habe
einen vollen 5-Knoten. Dann ist ¯N(v) ein (3,6,16,32)-Graph. Kalbfleisch hat alle sol-
chen Graphen 1966 nummeriert. Der Algorithmus versucht nun, aus allen
(3,6,16,32)-Graphen, den Knotengraden der Nachbarn von v und v selber einen (3,7)
Graph zu konstruieren. Der Algorithmus wird im nachfolgend genauer vorgestellt.
Beweis von R(3,9) ≤ 36
Für den Beweis der oberen Schranke für R(3,9) benutzen Grinstead u. Roberts die
folgenden Ergebnisse von Graver u. Yackel.
• 36 ≤ R(3,9) ≤ 37.
• Wenn G ein (3,9,36)-Graph ist, dann ist er 8-regulär.
• Wenn G = (V,E) ein (3,9,36)-Graph und v ∈ V ist, dann gilt: ¯N(v) ist ein
(3,8,27,80)-Graph.
Lemma 2.4.13 (GR7, ohne Beweis). Wenn G ein (3,7,19,36)-Graph ist, dann enthält
er entweder einen vollen 3-Knoten oder einen vollen 4-Knoten.
Lemma 2.4.14 (GR8). e(3,7,19) = 37.
Beweis. Graver u. Yackel (1968) zeigen: 36 ≤ e(3,7,19) ≤ 37. Mit dem Lemma 2.4.13
muss ein (3,7,19,36)-Graph entweder einen vollen 3-Knoten oder einen vollen 4-
Knoten haben. Dabei beträgt Z(v) entweder 11 oder 16. Grinstead u. Roberts benutzen
einen Computeralgorithmus, der vergeblich versucht, aus allen (3,6,15,25)-Graphen
beziehungsweise aus allen (3,6,14,20)-Graphen, den jeweiligen Graden der Nachbarn
von v und v einen (3,7)-Graph zu konstruieren.
Lemma 2.4.15 (GR9, ohne Beweis). Wenn G ein (3,7,21,50)-Graph ist, dann enthält
er einen vollen 4-Knoten mit zwei 4-Knoten und zwei 5-Knoten als Nachbarn.
Lemma 2.4.16 (GR10). e(3,7,21) = 51.