Computermethoden zur Lösung einiger konkreter kombinatorischer ...

44 2 Ramsey-Zahlen
2.5 Schlussfolgerung
Die Evolution der Rechenleistung ermöglicht sehr viele Einträge in der Tabelle 2.1, in
der die Ramsey-Zahlen R(Ks,Kt) und ihre Schranken notiert sind. Allerdings ist die
Rechenleistung allein unzureichend.
Im Unterabschnitt 2.4.1 wird die Methode von Grinstead u. Roberts vorgestellt, bei
der man spezielle Schlussfolgerungen mit Hilfe von exhaustive-search Algorithmen
herleitet und nicht das sehr große Gesamtproblem algorithmisch behandelt. Die Idee
mit dem Aufspannen hinreichend großer Suchräume mit einer kleinen Basis an erzeugenden
Graphen verwenden McKay u. Radziszowski in Unterabschnitt 2.4.3. Obwohl
die Rechenleistung schon seit mehr als 50 Jahren sich jedes zweite Jahr verdoppelt, ist
sie dennoch nur zur Lösung kleiner Probleminstanzen ausreichend.
Aufgrund vieler aktiver Arbeitsgruppen auf dem Gebiet der Ramsey-Zahlen für Graphen
und der Aktualität des Themas, erfordern neue Resultate für Aussagen mit vollständigen
Graphen großen Aufwand und Vorbereitung. Vor allem die Verbesserungen der
oberen Schranken sind aufwendig, da bei einer computerunterstützten Methode, wie
sie im Unterabschnitt 2.4.2 und im Unterabschnitt 2.4.3 vorgestellt wird, für große
Räume das Nichtvorhandensein eines Graphen mit einer ganz bestimmter Eigenschaft
nachgewiesen werden muss.
Dagegen ist das Verbessern der unteren Schranken unkritisch, sowohl gegenüber der
Verifikation aber auch gegenüber Fehlern im Algorithmus. Das Testen eines Graph auf
die Eigenschaft: Ramsey-Graph, ist leicht. Ein Fehler im Algorithmus führt schlimmstenfalls
dazu, dass ein Ramsey-Graph als solcher nicht erkannt wird. Dagegen wird
ein Fehler im Algorithmus zur Verbesserung der oberen Schranke unweigerlich die
gesamte Aussage ungültig werden lassen oder diese zumindest in Frage stellen.
Für die Verbesserung der unteren Schranken kann man Kalbfleisch anführen, der schon
1966 mit einem, im Vergleich zu heute möglichen, kleinen Rechenaufwand, Ramsey-
Graphen konstruiert, für die man erst viel später zeigen kann, dass sie kritisch sind.
Ramsey-Zahlen für vollständige Graphen und kleine Parameter s und t sind bisher ausgiebig
untersucht worden. Erst kürzlich zeigen Harborth u. Krause (2003) rechnerisch,
dass für Graphen mit weniger als 102 Knoten keine untere Schranke für R(Ks,Kt) in
der Tabelle 2.1 durch einen Ramsey-Graph mit zirkulärer Färbung verbessert werden
kann.
Im Rahmen einer Diplomarbeit könnten untere Schranken mit der Idee von Piwakowski
für höhere Parameter s und t verbesserbar sein. Verbesserungen könnten aber auch
für exotische verbotene Graphen und Kombinationen aus ihnen erzielt werden. Im Survey
von Radziszowski findet man Übersichten dazu. So sind zum Beispiel R(Ks,Ct)
und R(Ks,Kt −e) interessant, wobei Ct ein Kreis der Länge t und Kt −e ein vollständiger
Graph ohne eine Kante ist. Weiterhin gibt es für Ramsey-Zahlen mit mehr als
zwei verbotenen Subgraphen und für Hypergraphen im Vergleich zu Resultaten für
R(Ks,Kt) wenige Ergebnisse.