Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Lösungen zu den Aufgaben= Kapitel 1: Lösungen ...1.1.1. BogenmaßWäre die Erde eine Kugel mit genau 40 000 km Umfang,dann entspräche 1° genau 40 0001360 = 111,111 km. InWirklichkeit ist der Polradius um 11300 kürzer als der Äquatorradius,und daher etJ.tspricht ein Grad auf dem Äquator111,324km, ein mittlerer Meridiangrad 111,137km. Siehtman von diesen Feinheiten ab, gelten folgende Entsprechungen:1 rad: 1 Erdradius; 1': 1,853km = 1 Seemeile; 1 11 :31 m;1 sterad: R 2 = 4,05 · 10 7 km 2 (fast wie Asien): 1 Grad 2 :1,24 · 10 4 km 2 (größer als Korsika); 1 min 2 : 3,44 km 2 ; 1 s 2 :960m 2 . Die ganze Kugel hat 47r = 12,6sterad =4,1 · 10 4 Grad 2 usw.; der Halbraum hat halb soviel. DieKreisscheibe vom Radius r im Abstand a deckt 1rr 2 I a 2sterad, wenn r

IIII1010 : : Lösungen zu den Aufgaben1.1.5. PendeluhrenDer Einfluß von Massenverschiebungen auf die Fallbeschleunig~g und damit auf die PendelperiodeT = 271'-.jlfg hängt stark von der Verteilung dieser Massenab. Der annähernd kugelschalenförmig verteilte atmosphärischeWasserdampf leistet keinen Beitrag zur Schwerkraft aufein annähernd in Meereshöhe aufgehängtes Pendel. Kondensiertedieses Wasser, so zöge es so an, als sei seine Masse imErdmittelpunkt vereinigt. Das bedeutet eine relative g-Änderungvon Agjg = mjM ~ 10-8 . Ein Gebirge in derNähe desBeobachtungsortes stört i. allg. stärker, falls seine Massenicht isostatisch kompensiert ist (durch eine "Wurzel" ausleichterem Gestein). Die gleiche Änderung der Pendelperiodewie durch Ag/ g = w- 8 würde bedingt durchAljl = -10-8 ; dies entspricht bei einem Draht mit demthermischen Ausdehnungskoeffizienten rx = w-5 K- 1 einerT-Änderung um 10-3 K.1.1.6. TageslängeDie Tageslänge ändere sich täglich um rx (rx z. B. in flS/Tag),d. h. jeder Tag sei um rx flS länger als der vorhergehende.Die mittlere Tageslänge seit 484, d. h. über einen Zeitraumvon t = 5 · 10 5 Tagen, war dann nicht To wie heute, sondernTo - rxt. Rechnet man mit konstanter Tageslänge To, dannfindet man für ein Ereignis, das vor t Tagen stattgefundenhat, eine um ! rxt2 falsche Tageszeit. Die südlichsten Punkteder wirklichen und der berechneten Totalitätszone (Euphrat­Tigris-Mündung bzw. Große Syrte) liegen 30°, d. h. 2 Std.auseinander. Man erhält rx ~ 0,05 flS/Tag. Das stimmt mitder Direktmessung gut überein. Wer sich wundert, daßschon Halley die Finsternisperiode so genau kannte, derbedenke, daß auch hier der mögliche Fehler mit der Längeder Beobachtungszeit wie t- 2 abnimmt. 200jährige Beobachtungmit 2 min Fehler bei der Bestimmung des Totalitätsmaximumsgenügen für die Entdeckung der Diskrepanz.Daß sich die Jahreslänge ändern sollte, ist viel wenigerplausibel. Demnach war der Devon-Tag 10 % kürzer, d. h.rx ~ 0,07 flS/Tag. Diese Bremsung der Erdrotation ist etwalOOmal größer als die in Aufgabe 1.7.19 für einen homogenenOzean geschätzte. Die Existenz von Kontinentalrändernund Flachmeeren ist also sehr entscheidend. DieWartezeit bis zum stationären Mond verkürzt sich entsprechend.1.1.7. Standard-AbweichungWir betrachten speziell eine Grundgesamtheit von unendlichvielen Werten x; ·mit dem Mittel xw = 0 und der VarianzV w = x[. Wenn wir aus dieser Gesamtheit n Werte x; herausgreifen,wird ihr Mittel nicht genau 0 sein, sondern um etwaXs = (J I vn = vv::Fr davon abweichen. Die au~iesen nWerten direkt berechnete Varianz V = XI - x~ =xr - V w In ist also um den Faktor ( n - 1) In kleiner alsdie "wahre" Varianz Vw. In a = vY wandert statt n alson - 1 unter die Wurzel in den Nenner. Die Beschränkungauf xw = 0 ist unwesentlich: Es geht hier nur um Abweichungen.Doppe~ntegraL,schrei~en21.1.8. Gauß-FlächeFür die Abweichung c5 = x - x schreiben wirp(c5) = (IIJ27ra)e-.5 2 /(2 a). Irgendeinen Wert hat j~ c5 bestimmt,also J'~ 0 00 p(c5)dc5 = 1. Das Integral J~00 e-u du bestimmenwir, indem wir es mit dem genauso großenf~oo e -v 2 dv malnehmen. Das Produkt können wir auch alsdenn die ~eiden Variablen .~ind ~nabhängig:JJ _ 00 e-(u +v ldu dv. D1e u, v-Ebene laßt sichaber auch in Polarkoordinaten darstellen: u 2 + v 2 = r 2 ,dudv = rdrdq;. Unser Doppelintegral geht über inJ 000Jg" e-r\drdq;. Die q;-Integration gibt 271', es bleibt271' J(; e-,-2 r dr = 71'. Das ist das Quadrat des gesuchten Integrals:f~oo e-cl 2 dc5 = yfir. Aus unserem p(c5) kommtnoch V2 a aus dem Exponenten nach draußen, also stimmtdie Normierung. Der Mittelwert b = f~oo c5p(c5) dc5 ist 0,weil c5e-t5 2 antimetrisch ist, also ist x wirklich der Mittelwertvon x. Die Standard-Abweichung verlangt Berechnungvon c52e-.5 2 dc5. Wir beachten: Die Ableitung von be-.5 2heißt ( 1 - 2c52) e -l5 2 , also J ( 1 - 2c52) e - 152 dc5 = c5e -.5 2 , wasbei .5 = -oo und bei c5 = oo verschwindet, so daßf~oo (1 - 2c52) e-cl2 dc5 = 0, also f~oo c52e-cl2 dc5 =! f~oo e-.52dc5 = ! yfir. So folgt richtig J()J 00 c5 2 p( c5) dc5 = a 2 .1.1.9. NormalverteilungWenn sich der Gesamtfehler c5 einer Messung auf zwei unabhängigeFehlerquellen aufteilt, addieren sich deren Beitragec5 1 und c52 nicht direkt, sondern nach dem Pythagoras:c52 = c5I + c5~, genauso wie zwei Wegstücke, die jemand inzueinander senkrechten Richtungen zurücklegt. Da beideFehler unabhängig sind, ist die Wahrscheinlichkeit p(c5)für den Gesamtfehler gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeilender Teilfehler: p(c5) = p(c5 1)p(c52)· Die Funktionp muß genauso von c5 abhängen wie die Teilfunktionenvon c5 1 und b2, sonst wäre eine solche Aufteilung, die ja jedernach Belieben ausführen kann, gar nicht möglich. WelcheFunktion führt eine Quadratsumme in ein Produkt über?Nur e

Kapitel 1: Lösungen 1011Reihe bilden, und lassen sich verleiten, diese aufzusumrnieren,was länger dauert als die obige Betrachtung. Ein Psychologetestete alle Wissenschaftler, deren er habhaft werdenkonnte, und fand, daß (gute) Mathematiker im Mittel 35 sbrauchen, (gute) Physiker 14 s. Johann v. Neumann brauchte8 s, worauf der Psychologe sein Erstaunen ausdrückte, daß erals Mathematiker es so schnell schaffe, obwohl er doch eigentlichdie Reihe summieren müßte. "Habe ich ja", sagteNeumann.1.2.3. Wo ist der Hund?Diese Aufgabe zeigt, daß kinematische Probleme, die wohldefiniertaussehen, es manchmal gar nicht sind. Die Antwortheißt: Der Hund könnte überall zwischen 4 und 6 km sein undin jeder der beiden Richtungen laufen - man weiß es nicht.Am leichtesten sieht man das ein, wenn man durch Umkehrungder Zeitrichtung das Problem praktisch auf Aufgabe1.2.2 zurückführt: Der Hund kann anfangs gewesen seinwo er will, er muß bei seiner Verhaltensweise immer gleichzeitigmit den beiden Kindem am Kilometerstein 0 ankommen.Dreht man von diesem umgekehrten Vorgang mit verschiedenenAusgangspositionen je einen Film, den man dannwieder rückwärts spielt, so erfüllt jeder dieser Filme genaudie Bedingungen der Aufgabe.1.2.4. Ein nasser HundDer Fluß ströme mit der Geschwindigkeit w, der Hundschwimme mit v . Wenn er sich wirklich so dumm anstellt,besteht der Verdacht, daß er bei w > v nie ankommt und unendlichweit abtreibt, denn dicht an Herrchens Uferschwimmt er parallel zu diesem. Am besten rechnet manin Polarkoordinaten: r = -V+ w sin rp, ip = w cos rp Ir, alsodr I drp = r( tan rp - v I ( w cos rp)). Das läßt sich leicht integrieren:r dr = ln (!__) =r (tanrp-_v_) drp}, 0 r ro Jo wcosrp= -In( cos rp) - ~ ln ( - 1 - + tan rp) ,w cosrpalso r=ro(cosrpt!w-!l(1+sinrpt1w. Bei rp=1rl2, d. h.an Herrchens Ufer, ist r = r 0 2-vfwovfw-t. Das ist 0 beiv < w, rol2 bei v = w, oo bei v > w, wie erwartet.Bei v = w folgt einfach. r = rol(l + sin rp), y = (yÖ- x 2 )1{2ro), ein Parabelast Gleich in x,y angesetzt, wäre allesviel schwieriger.Abb. L.ltJ>W 11< 1111.2.5. Der Lobatschewsky-HundEs sei a die Projektion der wahrscheinlich nicht horizontalenLeinenlänge auf die x,y-Ebene. Herrchen möge auf der x­Achse, der Leitlinie, gehen (ob gleichförmig oder nicht, istfür die Kurvenform egal). Die Leine bildet die Tangentean die Traktrix y(x), hat also zwischen Berührpunkt P undSchnittpunkt S mit der Achse überall die konstante LängePS = a. Ihr Winkel rp mit der x-Achse ist einerseits der Steigungswinkel(y' = tan rp ), andererseits gilt y = a sin rp. Damitkönnen wir auch x durch rp ausdrücken, wenn auch nicht sodirekt. Der Baum habe "den Abstand a von.der x-Achse, sodaß der Hund nur dort sein kann, wenn der Mann genauauf derselben Höhe x = 0 ist (und, wenn er nett ist,bleibt). Nun mußdy dy drp . dy- = --= tan rp sem, woraus wegen- = a cos rp folgtdx drp dx drpdx a cos 2 rp 1rp cos 2 1/1- = -.-- oder integriert x = a ---:---:1: di/Jdrp sm rp 1r/2 sm 'I'(zu x = 0 gehört rp = 1r 12). Mit cos2 i/J = 1 - sin2 i/J erhältman cos rp und J di/J I sin 1/J. Dies Integrallöst man nach Tabelleoder dem Additionstheorem:di/JJ J di/J J cos~t / 2 Jd tan i/J/2sini/J= 2sint cos.'k= zsin l/1 2 = tani/J/22 2 cosl/12= 1n tan i/J 12, also x = a( cos rp + ln tan rpl2).Damit haben wir eine Parameterdarstellung x(rp),y(rp),aus der sich alles weitere ebensogut ergibt wie aus der fastunzumutbaren x(y)-Darstellung. Die Krümmungy"k = der Traktrix ergibt sich so :(1+ yf2)3/ 2" d tan rp drp 1 sin rpy' = tanrp , y =---= -----drp dx cos2 rp a cos rp '1 + y 12 = 1 + tan 2 rp = cos- 2 rp , k = a- 1 tan rp,Krümmungsradius R = a cot rp. Der KrümmungsmittelpunktM liegt ihlmer senkrecht über S. Übrigens bilden alle Krümmungsmittelpunktedie Kettenlinie y = coshx, die Evolventeder Traktrix, das ist die Kurve, die ein beiderseits aufgehängtesSeil bildet (Aufgabe 2.3.2). Damit ist auchPM· PQ = PS2 = a 2, denn a ist die Höhe im rechtwinkligenDreieck MQS. Dies ist die interessanteste Eigenschaftder Traktrix: Wenn sie um die x-Achse rotiert, bildet sie einendoppel-posaunenförrnigen Körper. Einer seiner Hauptkrümmungsradienist PM, der andere PQ: Hauptkrümmungsrichtungenstehen senkrecht zueinander. Die Gauß-KrümmungRj 1 · Rz. 1 ist für diese Fläche konstant (gleich- a - 2 ), und zwar negativ, sofern man die x-Achse als "innen"ansieht, so daß die Krümmung in der x, y-Ebene negativwird. Dies ist die einzige Fläche mit überall gleicher negativerGauß-Krümmung, wie die Kugel die einzige mitüberall gleicher positiver Krümmung (gleich R- 2) ist. Mannennt sie daher Pseudosphäre. Ihre Oberfläche ist 4Jra 2 ,

1012 Lösungen zu den Aufgabensie nur wenig mehr als 3RI 4 bis zum Ufer zu schwimmen,was weniger ist als ! seiner Laufstrecke 1rR . . Es gibt nochmehrere mögliche Strategien für das Mädchen, aber dieseist die einfachste und übersichtlichste.Abb. L. 2. Die Schleppkurve oder Traktrix und ihre Evolute,die Kettenlinie (Evolute: Geometrischer Ort aller Krümmungsmittelpunkte).Rotation der Traktrix um die x-Achseerzeugt die Pseudosphäre (konstante negative Gauß-Krümmung),Rotation der Kettenlinie das Catenoid (konstantemittlere Krümmung)das eingeschlossene Volumen ~ 1ra3 , wie bei der Halbkugel,obwohl die Pseudosphäre bis ins Unendliche reicht. JedesDreieck auf ihr, d. h. je drei Punkte mit den kürzesten Verbindungslinienauf dieser Fläche, hat eine Winkelsumme< 180°, auf der Kugel > 180°. Die Abweichung von deneuklidischen 180° wächst mit der Fläche D des Dreiecks:1r - ( a + ß + y) = D I a 2 (bei der Kugel gilt links das umgekehrteVorzeichen). Die Pseudosphäre, diskutiert 1863 vonBeltrami, war das erste konkrete Beispiel für eine hyperbolischenichteuklidische Geometrie (Lobatschewski-Geometrie).Dieses Posaunenpaar kommt also vielleicht der räumlichenGesamtstruktur der Welt so nahe, wie man das bei derReduktion um eine Dimension verlangen kann - falls unserRaum hyperbolisch gekrümmt ist. - Sie sagen, mein Hundgehorcht nicht? Irrtum: Wir zeichnen das Lobatschewski­Universum.1.2.6. Un problema quadrato per teste quadrateDie vier Leute bilden immer ein Quadrat, das rotiert und dabeiimmer kleiner wird. Jede Seite wird begrenzt von einerPerson, die senkrecht dazu, und einer, die in der jeweiligenRichtung dieser Seite geht. Jede Seite verkürzt sich also mit6 km/h, d. h., das Quadrat ist nach 10' auf einen Punkt geschrumpft.Der kompliziert aussehende Spiralbogen, den jederbeschreibt, ist also genau 1 km lang. Bei drei Leuten hatjede Dreiecksseite einen Endpunkt, der sich in ihrer Richtung,und einen, der sich unter 60° zu ihr bewegt, also mitder Komponente v cos 60° = v 12 ebenfalls zu ihremSchrumpfen beiträgt. Das Zusammentreffen erfolgt alsoschon nach 6' 40" oder 667 m Marsch. Bei sechs Leuten erhältman 20' und 2km, bei fünf 14' 28" und 1,447 km, allgemeind I ( 1 + cos a), a = ( n - 2) 180° In.1.2.7. Satyr und NympheR sei der Radius des Sees. Auf einem Kreis, dessen Radiusetwas kleiner als Rl 4 ist, kann das Mädchen den Mannjederzeitüberrunden, d. h. mit größerer Winkelgeschwindigkeitschwimmen als er läuft, sich also immer in eine Position bringen,die der seinen diametral gegenüberliegt. Von dort aus hat1.2.8. Ans Ende der WeltWir zählen die x-Koordinate von A ab und führen die Anfangslänge41 des Bandes, die Geschwindigkeit vo des EndesB und die Geschwindigkeit v des Helden relativ zumBand ein. Das Ende B ist zur Zeit t bei L = 41 + vot.Wenn der Held bei x ist, bewegt sich das Band dort, wo erist, mit voxl L relativ zu A. Dazu kommt seine Geschwindigkeitrelativ zum Band. Er bewegt sich also insgesamt miti = v + voxl L = v + voxl (41 + vot). Man löst diese Differentialgleichungam besten durch "Variation der Konstanten".Eleganterer Lösungsweg: Man stelle sich vor, manschwebe anfangs sehr hoch, etwa Ho= lOOkm über demBand mit der Anfangslänge 41 = l km, so daß man auf jedenPunkt des Bandes praktisch senkrecht hinunterschaut,und steige mit w = voHol 41 = 1 km/s senkrecht hoch.Wenn man nicht weiß, daß man sich vom Band entfernt,hält man seine Länge für konstant, und zwar winkelmäßigao = 411Ho = 0,01 rad. Der Mann scheint dann immer langsamer,nämlich mit einer Winkelgeschwindigkeitw = vi H = vi(Ho + wt) über das Band zu kriechen. Erbefindet sich winkelmäßig zur Zeit t bei a =J~wdt = (vl w)ln(l + (wt /Ho)), d. h. er legt die Bandlängein t = (Ho l w)(ewrxo/v - 1) = (41 l vo) (evo fv - 1) zurück.Im Beispiel muß er keine Viertelstunde, wie wenndas Band ruhte, sondern fast einen Monat gehen. Anwendungaufs Weltall: 41l vo = 2 · 10 10 Jahre, vol v = 2, alsot = 1,5 · lO ll Jahre. Selbst zu Fuß kommt man "bis ansEnde der Welt", allerdings erst in etwa 109·107 Jahren.Natürlich hat das expandierende Weltall keinen Rand. Dieangegebenen Zeiten würden etwa auch für seine Umkreisunggelten.1.2.9. Hemmt Wind immer?Die Geschwindigkeit des Flugzeugs gegen den Boden istbeim Hinflug v + w, die Flugzeit dl(v + w), beim Rückflugv - w, Flugzeit dl (v- w). Daß der Gewinn den Verlustnicht ausgleichen kann, sieht man schon am Fall w = v,wo sich die Hinflugzeit halbiert, die Rückflugzeit aberunendlich lang würde. Allgemein ist die GesamtflugzeitT = 2dvl(v 2 - w 2 ), z. B. bei w = vl 2: T = ~2d l v.1.2.10. Michelsou im FlußBeide Schwimmer bewegen sich mit v relativ zum Wasser.Damit der Querschwimmer überhaupt genau gegenüberankommt, muß w < v sein, und er muß seine Körperachseunter einem Winkel rp zur Uferlinie stellen, so daßcos rp = -w l v ist. Die Querkomponente seiner Geschwindigkeitist v sin rp, also braucht er hin und zurückt1 = 2bl vsin rp = 2blvJ1 - w 2 1v 2 . Der andere Schwimmerbraucht nach Aufgabe 1.2.9 t2 = 2bvl (v 2 - w2 ) =2bl v(1 - w 2 lv 2 ) . Der erste Schwimmer braucht also um

Kapitel 1: Lösungen 1013den Faktor -)1 - w2 jv2 weniger Zeit als der zweite. DieserFaktor taucht in der Relativitätstheorie überall auf. Der berühmteMichelson-Versuch ist eine einfache Umdeutungdes Schwimmerversuchs.1.2.11. Wie kommt man rüber?Das Wasser habe die Geschwindigkeit w, der Schwimmer v;er stelle seinen Körper unter einen Winkel rp gegen die Uferlinie(mit dem Strom: rp = 0). Seine Geschwindigkeitskomponentenrelativ zum Ufer sind also v sin rp in Querrichtung,w + v cos rp in Strömungsrichtung. Die Überquerung dauertt = bl(vsinrp) (b Breite des Flusses). In dieser Zeit treibtder Schwimmer um a = ( w + v cos rp )b I ( v sin rp) stromabwärtsab. t ist minimal, nämlich bjv, wenn sinrp maximal,d. h. rp = 90° ist. Dann treibt man um a = wbjv ab. Die Abdrifta kann immer nur dann gleich Null gehalten werden,wenn v ~w, und zwar durch rp = arccos( -wlv). Beiv < w ergibt sich minimale Abdrift ausda - sin 2 rp- (~ + cos rp) cos rp-=O=b Vdrp sin 2 rpalso rp = arc cos( -vlw). Die Abdrift ist dann a =b)w2 - v21v. Bei größerem rp dauert die Überquerung zulange, bei kleinerem rp gewinnt man der Strömung zu wenigab.Im Fall (c) geht man am Ufer mit der Geschwindigkeit ueine Strecke 2a (Abdrift beim Hin- und Zurückschwimmen).Man braucht dazu eine Zeit t' = 2alu. Die Gesamtzeit istT = ~ ( 1 + w + vcosrp).vsmrp uDies wird minimal, wenn die Ableitung nach rp verschwindet,d. h. wenn cos rp = -vl(u + w).1.3.1. Hier irrte AristotelesGalilei liebte solche Gedankenversuche, die aus der gegnerischenAnnahme einen Widerspruch herleiten. Er meintewohl, seine gelehrten Gegner ließen sich durch solche aprioristischenArgumente eher überzeugen als durch den vulgärenAugenschein, den sie sich oft genug weigerten zu nehmen.Wenn der leichte Körper langsamer fällt als der schwere,müßte er diesen zurückhalten, falls er fest genug mit ihmverbunden ist. Immer festere Verbindung führt aber zu einemeinheitlichen Körper, der schwerer ist und schneller fallenmüßte als selbst der schwerere Teilkörper. Manche versuchtensich so herauszureden, daß es nicht auf "schwer überhaupt",sondern auf "spezifisch schwer" ankomme. Die verbundenenKörper würden sich dann auf eine mittlere Geschwindigkeiteinigen, die dazu nötige Kraft würde durchdie Verbindung übertragen. Dies kommt der Wahrheit (beiBerücksichtigung des Luftwiderstandes) etwas näher undläßt sich nicht so leicht a priori ausschließen.1.3.2. Was ist Masse?Solange es sich um Körper gleicher Dichte handelt, weißman aus Newtons Definition, daß dem doppelten Volumeneine doppelte Masse entspricht. Hat man Luft doppelterDichte dadurch erzeugt, daß man 21 auf 11 komprimierthat, dann ist auch plausibel, daß doppelt soviel Masse indem Liter ist wie vorher. Daß aber 11 Eisen 7 ,5mal so vielMasse hat wie 11 Wasser, läßt sich ohne Bezug auf dieAxiome, z. B. das Reaktionsprinzip, nicht nachweisen, esgibt also keine allgemeine Definition der Masse, die vonder Bewegungsgleichung (oder vom Gravitationsgesetz) logischunabhängig wäre. Selbst heute kann man zwar direktvergleichen, wie viele Teilchen in einem cm3 Eisen bzw.Wasser sitzen (z. B. durch Röntgen-Beugung), daß aberdas Eisenatom 56, das Wassermolekül nur 18 Nukleonen enthält,ist noch keine direkte Beobachtungstatsache, sondernvon der Massendefinition abhängig.1.3.3. Wie viele Axiome braucht man?Falls die Wechselwirkung zwischen A und B durch das Vorhandenseinder Stange nicht beeinflußt wird, ist die Ableitunglogisch einwandfrei. Newton hatte wohl nicht den Ehrgeiz,ein Minimalsystem von Axiomen aufzustellen, sonderneines, mit dem man bequem arbeiten kann. Die rein logischeSchwäche seiner Massendefinition ist ihm sicher auch nichtentgangen, aber allzu reine Logik bleibt eben oft steril.1.3.4. Da kann man sich sehr täuschenFast jeder argumentiert zuerst so: Die Turmspitze (Höhe H)hat bei der Erdrotation eine größere Bahngeschwindigkeitals der Fuß (außer am Pol). Der Stein bringt diese größereGeschwindigkeit bis zur Erde mit. Die Erde dreht sichnach Osten, also schlägt der Stein östlich vom Abwurfpunktauf. Quantitativ: In der Höhe h herrscht v = w(R + h) cos rp(rp: geogr. Breite), der Stein hat aber noch v' =w(R + H) cos rp, Differenz !:J.v = w(H- h) cos rp. WegenH - h = ! gt 2 wird die Ostabweichung x = J~ !:J.v dt =w cos rp! g Jt 2 dt = ~ wgT 3 cos rp = l v'2w cos rpH 3 1 2 I y/g (T:Flugzeit). Beim hochgeworfenen Stein heben sich die Abweichungennach Westen beim Aufstieg und nach Ostenbeim Abstieg auf. Hierin stecken zwei Fehler: (a) Die Ostabweichungist in Wirklichkeit doppelt so groß, und, wichtiger,(b) es gibt eine viel größere Südabweichung. Begründung:(a) Die obige Rechnung wäre richtig, wenn Turmspitzeund Turmfuß sich geradlinig parallel bewegten, wie zweiLäufer in der Geraden. Wenn der schnellere dem andereneinen Ball zuwirft, genau senkrecht zur Bahn im Moment,wo beide auf gleicher Höhe sind, geht der Ball vom vorbei.Das ganze System dreht sich aber außerdem. Das bringtnochmal eine ebensogroße Ostabweichung. Warum, wird un-.ten klarwerden. (b) Setzen wir uns ernstlich ins nichtrotierendeBezugssystem. Der losgelassene Stein beschreibt wie einSatellit einen Großkreis, gerrauer einen kurzen Bogen einerKepler-Ellipse, deren Ebene eine Großkreisebene ist. Wassollte er sonst tun: Da er nur einer Zentralkraft zum Erdmittelpunktunterworfen ist, muß seine Bahnebene durch diesengehen. Anfangs fliegt der Stein natürlich nach Osten, wie dieTurmspitze. Diese geht dann notgedrungen auf einem Breitenkreisweiter. Der Großkreis des Steins, der den Breitenkreisim Abwurfpunkt tangiert, weicht immer mehr südlichdavon ab (Nordhalbkugel), wie das Flugzeug nach Sydney,

1014 Lösungen zu den Aufgabendas genau ostwärts von Harnburg abfliegt. Der Stein legt inder Fallzeit T = fiiiTi das Großkreisstück TRw cos r:pzurück (vom Eiffel-Turm immerhin 2,5 km), also einen Winkelrx = Tm cos

Kapitel 1: Lösungen 1015kenkratzer werfe man praktisch horizontal. Bei 45° ist dieKugel, wenn sie nach Passieren des Scheitels wieder inder Wurfhöhe ankommt, zwar weiter als bei allen anderenWinkeln, aber dann geht sie steil zu Boden. Bei etwas flacheremWinkel gewinnt man im zweiten Teil der Bahn mehrWeite, als man im ersten verliert .. Die Abwurfhöhe sei h,die Abstoßgeschwindigkeit v hänge nicht vom Wurfwinkelrp ab. Dann erreicht die Kugel den Bahnscheitel nacht 1 = v sin rp g in der Höhe h + v 2 sin 2 rp l2g und hat danacht2 = 2hl g + v2 sin 2 rp I g2 Zeit, um von dieser Höhe zufallen. In der Gesamtzeit erreicht sie die WeiteW = V COS rp(ti + t2)= vcosrp(vsinrplg + j2hlg + v2 sin 2 rplg2).Nullsetzen der Ableitung nach rp liefert nach einiger Rechnungfür den günstigsten Winkel sinrp =J11(2 + 2hglv2)und für die entsprechende Weite w = ( v 2 I g) j 1 + 2hg I v2.Bei den heutigen Rekordweiten von über 20m macht dieAbwurfhöhe nur etwa 8 % aus, der günstigste Winkel istetwa 40°. v liegt um 14m/s. Deswegen darfman nicht beliebiglange Anlauf nehmen.1.4.7. DrehscheibeIm Abstand r vom Zentrum wirkt auf den Wagen die Kraftmw2r nach außen. Beim Schieben vom Abstand R zum Zentrummuß die Arbeit Jt mw 2 rdr = ~mw 2 R2 geleistet werden.Die potentielle Energie ist im Zentrum um soviel höher.Wenn er wieder bis R rollt, verwandelt der Wagen diesepotentielle Energie in kinetische, er kommt also mit v = wR,d. h. genau mit der Umfangsgeschwindigkeit der Scheibe außenan. Die Beschleunigung ist nicht konstant, sondern innenschwach, nach außen immer stärker. Die Bewegungsgleichungr = w2r hat die Lösung r = roewt, wo ro die Allfangsauslenkungist. Bei sehr kleinem ro kann die Fahrt sehr langedauern: t = w- 1 1n(Riro). Wenn die beiden Wagen imGleichgewicht sein sollen, müssen die Kräfte auf beide entgegengesetztgleich sein: m1w2r 1 = m2w 2 r2. Sie müssen sostehen, daß ihr Schwerpunkt in der Scheibenmitte liegt. Einekleine Auslenkung aus dieser Lage, z. B. des Wagens 1 nachaußen, führt zum Überwiegen der Zentrifugalkraft auf diesenWagen, was die Auslenkung vergrößert: Das Gleichgewichtist labil, ebenso wie das eines Wagens im Zentrum.1.4.8. KurvenfahrtDaß man gerade nicht rutscht, heißt, daß die Zentrifugalkraftgerade durch die Reibung kompensiert wird. w 2 r ist danninnen und außen gleich groß. Man kann sich zwar außeneine größere Bahngeschwindigkeit v = wr leisten, aber dieWinkelgeschwindigkeit, auf die es beim "Herumkommen"um einen bestimmten Winkel ankommt, ist innen größer:W "-' 1/Jr.1.4.9. ÜberhöhungDie Resultierende von Schwerkraft und Zentrifugalkraft mußsenkrecht auf der Straße stehen. Deren Neigungswinkel er-gibt sich also aus tan rx = v 2 I rg. Der Übergang zu dieserÜberhöhung von der nichtüberhöhten Geraden aus mußnatürlich allmählich erfolgen, und dementsprechend sollteauch das Krümmungsmaß allmählich von 0 auf 1 Ir zuunddann wieder abnehmen. Sonst müßte man ja auch dasLenkrad momentan aus der geraden Stellung in die Stellungherumreißen, die dem Krümmungsradius r entspricht(Abschn. 10.1.9).1.4.10. EisenbahnkurveDie am Schwerpunkt angreifende Resultierende von Schwerkraftund Zentrifugalkraft muß die Ebene der Schienenoberkantezwischen den Schienen treffen, sonst kippt derWagen. Bei nichtüberhöhter Strecke bedeutet dasv 2 I (rg) < 1,435 I 4 = 0,36. Eine Kurve, die mitv = 120kmlh = 33,5 m/s befahren wird, darf also nichtenger sein als r = v 2 I0,36g =310m. Bei der Überhöhungum rx lautet die Stabilitätsbedingung v2 I (rg) =(tan IX+ tan ß)l (1 - tan IX tan ß) mit tan ß = 0,36.1.4.11. SchwerelosigkeitDie Kreisbahn verlangt, daß die Zentrifugalbeschleunigunggleich der Schwerebeschleunigung ist. Dies gilt auch fürjeden Gegenstand im Satelliten: Auf jeden wirkt die resultierendeKraft 0 (bis auf winzige Gezeitenkräfte ). Die Schwerebeschleunigunghat allerdings nur am Erdboden dengewohnten Wert g. Im Abstand r vom Erdmittelpunkt ista = gR 2 I? (R: Erdradius). Für den sehr bodennahenSatelliten gilt also w 2 R = g, d. h. w = Vi/R,T = 21flw = 21fyfiiJi, v = wR = vgR = 7,9km!s, fürgrößere Höhen T = 21fJr3 l(gR2 ) (3. Kepler-Gesetz!) undv = J gR2 Ir in 1 000 km Höhe z. B. T = 103 min,v = 7,45 km!s. Der Mond (r = 3,85 · 10 5 km) braucht nurnoch mit v = 1 km!s umzulaufen.1.4.12. ZentrifugeDie Wäscheschleuder rrüt r = 0,15 m, v =50 s-1,w = 314s-1 erzeugt eine Zentrifugalbeschleunigungaz = w 2 r = 1,5 · 10 4 mjs 2 = 1500g. Die Kraft, mit derein Tröpfchen in der Faser festhaftet, steigt mit seinemDurchmesser d, die Kraft, die es ausschleudert, mit demVolumen, also mit d 3. Die 1 500fache "Schwere" schleudertalso Tröpfchen mit v'1500mal kleinerem Durchmesser ausals die normale Schwere, d. h. · Spritzerehen von etwa100 J.lm-Größe, die 60 OOOmal kleiner an Volumen sind alsnormale Tropfen. Die Astronauten-Martermaschine darfsich, wenn sie lOg nicht überschreiten soll (was kurzfristigim Liegen auszuhalten ist), nur so schnell drehen, daßw 2 r = 100 mls 2 , also w = 4 s-1, T = 1,5 s. Jeder Punktder Breite rp auf der Erde beschreibt täglich ( w =21fl86400s = 7,25 · w-5 s-1) einen Kreis vom Radiusr = R cos rp, also az = 3,36 · 10-2 cos rp mj s 2 . Am Äquatormacht das 0,34% von g aus, in München 0,25 %. Die Erdoberflächebildet im kombinierten Schwere- und Zentrifugal-

1016 Lösungen zu den Aufgabenfeld ein Rotationsellipsoid mit ebenfalls etwa der Abplattungvon 0,3 %. Der verlängerte Äquatorradius läßt die Gesamtkraftdort nochmals um etwa 0,3 % abnehmen. Für die Erdeauf der Bahn um die Sonne ist az = v 2 /r = 6. w- 3 mjs 2 .Wir merken im großen und ganzen nichts davon, weil siedurch die Anziehung der Sonne kompensiert wird, bis aufdie Gezeitenkräfte (vgl. Abschn. 1.7). Für den Mond istder Anteil von az irrfolge der Eigenrotation klein gegenden Umlaufanteil: Die w sind gleich, also zählt der größereRadius. az = 10 6 m 2 s- 2 /3,8 · 10 11 m = 2,6 · 10- 3 mls 2 .Irrfolge des Umlaufs mit der Erde um die Sonne hat derMond prakthsch das gleiche . az wie die Erde, nämli~h6 · w- mls , d. h. mehr als mfolge des Umlaufs um dteErde. Dementsprechend muß erstaunlicherweise auch dieErde den Mond schwächer anziehen als die Sonne denMond. Zeichnet man die Mondbahn maßstabsgetreu, dannsieht man tatsächlich, daß sie immer, auch bei Neumond,gegen die Sonne hin gekrümmt ist. Der Umlauf um dieErde bringt nur eine kleine zusätzliche Undulation.1.4.13. KreispendelDas Pendel schwang vor dem seitlichen Anstoß gemäßx = xo sin wt. Zur Zeit t 1 erteilt man ihm senkrecht dazudie Zusatzgeschwindigkeit wo. Dann beginnt es auch in y­Richtung eine harmonische Schwingung mit der AmplitudeYo = wo I w, also y = Yo sin w ( t - t1 ) . Erfolgte der Anstoßgerrau beim Nulldurchgang (t1 = mrlw), dann wirdy = ±yo sin wt. Das Pendel schwingt in der x-y-Ebene aufeiner Geraden mit der Schräge tan~ = ±y 01xo. Wenn dasPendel beim Anstoß den maximalen Ausschlag hatte(t, = ~ (2n + 1)1r I w ), wird y = ±yo cos wt. Es ergibt sicheine Ellipse symmetrisch zu den Koordinatenachsen mitden Halbachsen xo und YO· Beim Anstoß zu einer anderenZeit oder in schräger Richtung erhält man auch eine Ellipse,denn die Bewegungsgleichung läßt keine andereLösung zu. Man sieht das am schnellsten ein, wenn mandie Bewegungsgleichung vektoriell aufstellt: r = -Drlm,und als allgemeinsten Fall beliebige Vektoren für Anfangsauslenkungr 0 und Anfangsgeschwindigkeit r 0 annimmt. Dieallgemeine Lösung (zwei vektorielle Integrationskonstanten!)ist r = r0 cos wt + r 0w- 1 sin wt. Man kann dies inKomponenten zerlegen und in einigen Zeilen langweiligerRechnung auf die Gleichung einer Ellipse in beliebigerMittelpunktslage ax 2 + byl + cxy = I bringen.1.4.14. Galileis IrrtumDie Beobachtung trifft häufig zu, nur deuten wir sie durcheine doppelte kinetische Energie bei doppelter Fallhöhe,die die konstante Kraft (Reibung Pfahl-Boden) auf der doppeltenStrecke überwinden kann. Wenn v ~ s wäre, alsos = ks, ergäbe sich durch Integration ln(slso) = kt oders = soek 1 • Wenn der Körper bereits in Bewegung ist, nämlichdie Geschwindigkeit v 0 = ks0 nach einer vorher zurückgelegtenFallstrecke so hat, geht alles gut. Von vo = 0, d. h.so = 0 aus brauchte er aber unendlich lange, um auch nur diekleinste endliche Fallstrecke oder Fallgeschwindigkeit zuerreichen.1.4.15. Der starke FlohNehmen wir an, ein Mensch sei proportional um den Faktor aauf Flohgröße verkleinert. Wie weit könnte er noch springen?Sein Muskelquerschnitt hat um a 2 abgenommen, dieSprungkraft ebenso, die Beschleunigungsstrecke (Hubstrekkeder Muskeln) um a, also die Sprungenergie um a 3 , dieMasse um den gleichen Faktor. Anfangsgeschwindigkeitund Sprungweite oder -höhe bleiben (bei Vernachlässigungdes Luftwiderstandes) also erhalten: Der Flohmensch könntehöher als 1 m und weiter als 5 m springen, was kein Flohschafft. Menschenmuskeln sind also doch stärker.1.4.16. Captain Smolletts UhrDie geographische Länge bestimmt man durch Vergleich derOrtszeit z. B. mit der Greenwich-Zeit, die man vor Einführungdes Funkverkehrs in Gestalt der Borduhr mitnehmenmußte. Eine Zeitminute Abweichung der Uhr bedeutetschon einen Ortungsfehler von f, d. h. fast 30 km in tropisehenGegenden. Damit die Uhr nach etwa dreimonatigerReise keinen größeren Fehler hat, darf die Pendelfrequenzhöchstens um 10-5 vom Normalwert abweichen. Daherder Aufschwung der technischen und theoretischen Mechanikim Zeitalter der Entdeckungen besonders in den SeefahrernationenEngland, Niederlande und Frankreich. EinfacheAbschätzung: Bei nicht ganz kleinen Winkelamplituden ß istdie Winkelbeschleunigung ß nicht mehr -(gll)ß, sondern-(gll) sinß ~ -(gll)(ß- ß 3 16 +- ... ).Die relative Abweichungzwischen beiden ist ß 2 I 6, ihr Mittelwert ßÖI 12(Mittel von sin 2 ist 1/2). Ungefähr so groß ist auch derrelative Fehler der Pendelperiode (exakt ß 2 116, Aufgabe18.2.2). Nach Aufgabe 18.2.3 durfte ßo höchstens um 5oschwanken, damit Captain Smollett die Schatzinsel findenkonnte.1.5.1. BogenschießenDer Bogen soll die Spannarbeit möglichst vollständig alskinetische Energie auf den Pfeil übertragen. Außerdemnimmt stets auch der Bogen selbst kinetische Energie auf,wenn er aus der gespannten Stellung zurückschnellt. Die Endendes Bogens bewegen sich am schnellsten. Sie müssenmöglichst leicht sein, damit diese verlorene kinetische Energiemöglichst klein wird. Die Enden müssen gerade so starksein, daß sie die notwendigen Kräfte übertragen können,ohne zu brechen oder sich zu stark zu biegen.1.5.2. BenzinverbrauchBeschleunigen auf v kostet die Energie ~ mv 2 , mitm = 1 OOOkg, v = 14m/s also 10 5 J. Auf lOOkm ist diesnach Voraussetzung 1 OOOmal nötig, also 10 8 J. Der Ottomotorhat nur knapp 30 % Wirkungsgrad. 11 Benzin hat denBrennwert 2,6 · 10 7 J. Man verbrennt bei dieser Fahrweisealso ca. 14 1 zusätzlich auf 100 km. Der Col d' Iseran(2 770 m) z. B. von St. Jean de Maurienne (546 m) kostetnur etwa ! davon.1.5.3. UnfallAus der Geschwindigkeit v soll auf der Strecke d gebremstwerden. Die mittlere Verzögerung von a = ~v 2 ld kann

Kapitel 1: Lösungen 1017momentweise erheblich überschritten werden, wenn die"Knautschzone" nicht auf Sicherheit durchkonstruiert ist.Wenn der nichtangegurtete Fahrer es aushält, mit drei Erwachsenenauf dem Rücken "Pferdchen" zu spielen, verträgter a r::::; 4g. Bei d = 0,5 m hält er dann nur v = 23 kmlh aus,ohne in die Frontscheibe zu fliegen. Kraft-, energie- und impulsmäßigist es gleichgültig, ob ein Auto mit v gegen einefeste Wand fährt oder ob zwei gleiche mit v und -v frontalzusammenstoßen.1.5.4. HochsprungDer Hochspringer verschafft sich, indem er in die Knie geht,eine Beschleunigungsstrecke Ah und drückt sich mit derKraft F nach oben, erteilt seinem Körper also die kinetischeEnergie W = 1mvÖ = (F- mg)Ah. Von dem Moment an,wo der Schwerpunkt S wieder die Normalhöhe ho erreichthat und die . Beschleunigung aufhören muß, beschreibt Seine sehr steile Wurfparabel und erreicht die Höheh = ho + W l(mg), die im "Fosbury-Flop" sogar etwaskleiner als die Lattenhöhe sein kann. Mit ho = 1,1 m,h = 2,4m, m = 75kg, Ah= 0,4m erhält man W r::::;1 OOOJ, Beinkraft Fr::::; 1500N, Aufwärtsbeschleunigunga = F Im - g r::::; 10 ml s2, Absprunggeschwindigkeit vo r::::;1,6 m/s, Beschleunigungszeit 0,16 s, Leistung währenddieser Zeit 6 000 W = 8 PS.1.5.5. Veranschaulichung des RaketenprinzipsDie Sprengladung möge einer Granate im festen Rohr 2 kmlserteilen. Hat das "Rohr", wie im Fall der beiden Raketen, diegleiche Masse, dann erhält jede unter den gleichen Bedingungennur 1 kmls. Auf jeder Stufe steigert sich so die Geschwindigkeitdes Stückes, das noch in der gewünschten Richtungweiterfliegt, um 1 km/s, wobei sich die Masse halbiert. Nachn Explosionen hat man noch die Masse mn = mo2-n mitn kmls. Um 8 km/s zu erreichen, braucht man 8 Explosionen;die auf die Kreisbahn gebrachte Nutzlast ist ms =mol256. Allgemein: mv = mo2-2vfw = mo4-vfw, wenn wdie Geschoßgeschwindigkeit aus festem Rohr, also günstigstenfallsdie Pulvergasgeschwindigkeit ist. Der kontinuierlicheTreibstrahl ist günstiger: moe-vfw; man spart gegenüberden diskreten Explosionen den Faktor (4let1w = l,47vfw,z.B. bei v = 8, w = 2kmls den Faktor 4,7.1.5.6. Spülmaschinev Gefäßvolumen, q Zuflußmenge/s, c Alkoholkonzentration,cV Alkoholmenge im Gefäß, cq Alkoholverlust/s durchÜberlaufen. Das ist gleichzeitig die Abnahme der Alkoholmenge-d(cV)Idt = -i:V. Also i: = cqiV, integriertc = coe-qt/V bei gleichmäßigem Zufluß, allgemeinc = co exp (-J q dt I V). Man kann das auch durch diegesamte , Durchflußmenge V' = J q dt ausdrücken:c = coe-V /V. Das Spülen geht überraschend schnell: BeiV= 11 und V'= 31 ist schon c = 5%, bei V'= 101 nurnoch 0,005 %. Dies wird weniger erstaunlich, wenn manso spült: Man gießt die Hälfte des jeweiligen Gemischesaus und füllt mit reinem Wasser auf. Jedesmal halbiertsich c. Nach n solchen Prozessen, also Zugießen von nl2lWasser, ist c = co2-n. Mit 31 Wasser erreicht man so1,6 %. Diese Spülmethode ist wirksamer, weil man immerhöher konzentriertes Gemisch weggießt als bei der kontinuierlichen.Ersetzt man c durch die Raketenmasse, V durch dieTreibgasgeschwindigkeit, V' durch die Raketengeschwindigkeit,dann ergibt sich völlige Analogie mit diskontinuierlichemund kontinuierlichem Raketenantrieb.1.5.7. RaketeUm 1 kg Ethanol (C2H 5 0H, Molmasse 46), also 21,7 mol,zu 2C02 + 3H20 zu verbrennen, braucht man 3 · 21,7mol = 2,08kg 02. Die Verbrennungswärme von 2,8 · 10 7 Jkann die 3,1 kg Produktgas auf maximal w =)2 · 2,8 · 10713,1 = 4,2 · 10 3 m/s bringen. Bei einem Startlast-Nutzlast-Verhältnis3 : 1 würde man die Fluggeschwindigkeitv = w ln 3 = 4,6 kmls erreichen. Das ist nicht realisierbar,s·chon weil diese Molekülgeschwindigkeit T r::::;20 000 K entspräche, was keine Brennkammer aushielte.Man erreicht knapp die Hälfte (1/4 der Temperatur; Aufgabe5.1.3), also v r::::; 2kmls und eine Schußweitev 2 I g r::::; 400 km, ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes;der größte Teil des Fluges erfolgt in sehr geringerDichte. Man wählt die Brenndauer nicht zu kurz(t r::::; 70s), damit die Endgeschwindigkeit nicht schon in zudichter Luft erreicht wird, aber auch nicht so lang, daß derImpulsverlust gegen die Schwerkraft mgt, entsprechendeiner zusätzlichen Treibstoffmenge mgtlw, zu erheblichwird. Das optimale Beschleunigungsprogramm ist ziemlichkompliziert.1.5.8. Projekt für den Fall einer Abkühlung der SonneDas Magma sei da, wo man es erreichen kann, 4 000 Kheiß. Bringt man den Wasserdampf auf die gleiche Temperatur,dann haben seine Moleküle die mittlere Geschwindigkeitw = )3kT Im= 2,4 km/s. Schneller kann der Treibstrahlnicht ausströmen. Das ganze Meer hat ein Volumenvon 3,5 · 10 8 km2 · 4 km= 1,4 · 10 9 km 3 , also eine Massevon 1 ,4 · 1021 kg, d. h. 114 000 der Erdmasse. Folglichkann die Geschwindigkeit der Erde höchstens um v =wml M r::::; 0,6 m/s geändert werden, was der Mühe nichtwert ist angesichts der 30 km/s Bahngeschwindigkeit.1.5.9. Elastischer Stoß(a) Die gestoßene Kugel übernimmt Geschwindigkeit, Impulsund Energie der stoßenden, diese bleibt liegen. (b)Die stoßende Kugel prallt mit 1 ihrer ursprünglichen Geschwindigkeitv zurück, die gestoßene erhält 2v 13; an siegehen 1 des Impulses und ~ der Energie über. (c) DieWand ist ein Stoßpartner mit unendlicher Masse. Also erhältsie zwar den Impuls 2mv, aber keine Energie (AW =!Ap2 IM). Die Kugel prallt mit -v zurück. (d) Die Kugelntauschen v,p, W vollständig aus. Jede verhält sich so, alsstoßesie gegen eine feste Wand. (e) Die kleine Kugel, dieerst ruhte, prallt von der großen mit doppelter Relativgeschwindigkeitab, die große verringert ihr v nur sehr wenig.Sie gibt die Bruchteile 2miM bzw. 4miM ihres Impulsesbzw. ihrer Energie ab.

1018 Lösungen zu den Aufgaben1.5.10. ZykloideWir legen die x-Achse auf die Straße, den Ursprung dorthin,wo der Punkt ganz unten ist. Von da rolle das Rad (Radius a)in der Zeit t um den Winkel wt. Dann hat der Punkt Koordinaten,die sich nach Abb. 1.24 zu y = a(1 - coswt),x = a( wt - sin wt) ablesen lassen. Seine Geschwindigkeitskomponentensind x = aw(1 - cos wt), y = aw sin wt. DieNeigung der Kurve ist dyldx = ylx = sinwtl(1- coswt).Die Kurve ist natürlich periodisch mit der Periode 2-rra.Der Punkt bewegt sich fast vertikal (i « y) bei wt i'::j 0,21r, .. . , horizontal (y = 0) bei wt = 1r, 37r, . .. mit.X= 2aw, d. h. doppelt so schnell wie das Auto. Beiwt = 0, 21r, ... ruht der Punkt einen Augenblick, wenn erdie Straße berührt (.X= y = 0). Ein Punkt auf der Radfelgebeschreibt eine Trochoide, die dem Profil einer Wasserwelleentspricht. Physikalisch interessieren an der Zykloide alsBahnkurve zwei Dinge: Wenn wir das Rad um dqJ weiterdrehen,um welche Strecke ds verschiebt sich der Punkt auf derLauffläche, und unter welchem Winkel rx gegen die Waagerechtetut er das? Das läßt sich aus der Parameterdarstellungausrechnen, aber sehr umständlich. Wir machen es liebergeometrisch und zeichnen die beiden Lagen des Rades, zwischendenen es um a dqJ weitergerollt ist. Der Punkt P hat sichdabei mit dem Radzentrum um a d(/J nach rechts verschoben,aber gleichzeitig auf der Felge ebenfalls um a d(/J. Beide Verschiebungenbilden den Winkel (/J zueinander. ds als dritteSeite dieses Dreiecks ist ds = 2a dqJ sin(lfJI2), der Steigungswinkelist rx = 1r I 2 - (/J I 2. Die Bogenlänge s, deren Differential4asin(lfJI2) dqJI2 heißt, ist s = 4a(I- cos(lfJI 2)) (vonder Spitze (/J = 0 an gerechnet). Ein Zykloidenbogen von(/J = 0 bis (/J = 21r hat die Länge s = 8a. Der Krümmungsradiusist R = dsldrx = 4a sin(lfJI 2), in der Mitte Rmax = 4a.1.5.11. PendeluhrSchon bei (/Jo = 30° schwingt das Sekundenpendel nicht mehrin 1 s, sondern in 1,03 s. Zum Ausgleich muß man die Endendes Kreisbogens hochbiegen wie bei der Zykloide. Daß diesedie Tautochrone ist, sieht man, wenn man die Bewegungsgleichungaufstellt, wobei man alles durch den Rollwinkel(/J des erzeugenden Kreises ausdrückt (der natürlich die unmittelbareBedeutung verliert, die er beim Kreis hatte).v = dsldt = 2aljJsin(lfJI2) (vgl. Lösung 1.5.10) oderv = - 4a(dcos(lfJI2)Idt). Die Beschleunigung ergibt sichkinematisch als v = -4a(d 2 cos(lfJI2)Idt 2 ). Dynamischkommt nur die zur Bahn tangentiale Komponente der Schwerebeschleunigungzur Geltung: v = gsina = gcos(lfJI2) .(Lösung 1.5.10). Man kann also die ganze Bewegungsgleichungdurch die Variable u = cos(1fJI2) ausdrücken:gu = - 4aü. Das ist die exakte harmonische Schwingungsgleichung,und auch bei größeren Amplituden ändert sich darannichts: Das Zykloidenpendel schwingt immer mitw..Jil4ä. Um den Pendelkörper auf einer Zykloide zu halten,nutzte Huygens die Tatsache aus, daß die Evolute derZykloide wieder eine kongruente Zykloide ist. Er hängteden Faden zwischen zwei Zykloidenprofilen auf, um diesich der Faden beim Schwingen teilweise herumwickelnmußte, so daß sich das freie Stück verkürzte und sein Endeeine Zykloide beschrieb. Die Fadenlänge (maximaler Krümmungsradiusder Zykloide) ist l = 4a, die Kreisfrequenzw = /ili. Konstanz der Periode trotz Amplitudenschwankungwar damals besonders für Schiffschronometer zur Bestimmungder geographischen Länge äußerst wichtig.1.5.12. Bruderzwist im Hause BernoulliZunächst vergleichen wir die beiden unvollkommenen Lösungen.Bei der Höhendifferenz h ist die Laufzeit auf derschiefen Ebene der Neigung rx nach den Fallgesetzent 1 = .J2hg sin -l rx. Senkrechter Fall dauert .J2h1i und liefertv = V2ifi. Das horizontale Bahnstück der Länge h cot rxwird dann in cot a~~rchlaufen, im ganzen braucht diezweite Bahn t2 = ...j2hl g ( 1 +! cot rx). Zeichnung oderRechnung zeigen, daß unterhalb rx = 37° die schiefeEbene, oberhalb die Knickbahn schneller ist. - Die idealeLösungsbahn wird steil anfangen, damit der Schlitten einemöglichst hohe Geschwindigkeit möglichst lange ausnutzt.Zum Schluß kann sie horizontal auslaufen. Wie erfolgt derÜbergang? Nach Jakob Bernoulli so, daß er einen möglichenLichtweg darstellt. Der Schlitten befinde sich um y tieferals A. Er hat dann v = ..f2iY. Licht in einem Medium mitder Brechzahl n hätte die Geschwindigkeit v = c In, alsomuß man n "' 1 I y1Y annehmen. Beim Übergang von einerSchicht mit n 1 zu einer mit n2 ist nach Snelliussin 1/Jd sin 1/1 2 = nz/n1 = VYJY;_, wo 1/1 der Winkel derBahn gegen die Vertikale ist. Nach Lösung 1.5.10 istljJ = 1r 12 - rx = (/J 12. Andererseitsy = a( 1 - cos (/J)= a (l- cos 2 (1fJI 2) + sin 2 (1fJI2)) = 2a sin 2 ((/JI 2) .Das Brechungsgesetz sin ljJ = sin(lfJI2) "' yiY ist also für dieZykloide und nur für diese tatsächlich erfüllt. Die Bahn mußwegen v = 0, n = oo, sin ljJ = 0, (/J = 0 an der Spitze A vertikalbeginnen. Wie sie bei B ankommt, d. h. ein wie langesStück der Zykloide man ausnutzt und welchen Rollradius adiese hat, hängt vom Verhältnis der horizontalen und vertikalenAbstände von A und B ab.Abb. L.31.5.13. Kann Messner mehr?Die Steiggeschwindigkeit (Höhenmeter/s) ergibt sich als mechanischeLeistung/kg Körpergewicht nach Division durch g.Bezogen auf 1 kg Körpergewicht haben wir folgende Umsätze:1,7 g/s Blut mit 0,26 g/s Hämoglobin, die 0,5 mg/s 0 2tragen und 0,47 mg/s Zucker oxidieren können. Die thermischeLeistung ist 8 W /kg, die mechanische 2 W /kg, Steiggeschwindigkeit0,2 mls = 720 ml h.

Kapitel 1: Lösungen 10191.6.1. BremswegBremsweg: s = v 2 I (2118), zulässige Geschwindigkeit ineiner Kurve vom Radius r: v = ..jJiir. 11 = 0,3 ist die Hälfteder polizeilich vorgeschriebenen Mindest-Bremsverzögerung.Bei Schnee ist der Bremsweg mehr als dreimallängerals bei Regen und achtmal länger als auf trockener Straße.Kurven dürfen bei Schnee höchstens 1 so schnell gefahrenwerden wie bei trockenem Wetter.1.6.2. Richtiges BremsenTritt man so stark auf die Bremse, daß die Verzögerung größerwird als 118, fangen die Reifen zu gleiten an, wodurch dieaufs Auto übertragene Bremskraft verringert wird (gleitendeReibung < Haftreibung). Außerdem leidet natürlich dieSpur- und Lenksicherheit Der Ruck beim Zum-Stehen-Kommenberuht ebenfalls darauf, daß die Haftreibung, diesmalzwischen Bremsbacken und -Scheiben, größer ist. Daherläßt man das Pedal vorher etwas aus. Tut man das etwaszu früh, dann scheint der Wagen kurz vor Schluß noch einmaldavonzuschießen. Deswegen empfehlen manche das"logarithmische Bremsen" mit allmählichem Nachlassendes Bremsdruckes. Ist der Druck und damit die Verzögerungder jeweils noch vorhandenen Geschwindigkeit proportional,dann nimmt diese nach einem Exponentialgesetz ab.1.6.3. AnfahrenDas Fahrzeug der Masse m übt auf die Straße die Normalkraftm8 aus. Die maximale Haftreibungskraft 11m8 kann eineTrägheitskraft (Beschleunigungs- oder Zentrifugalkraft)oder einen Hangabtrieb von höchstens ma = 11m8 aufnehmen,sonst rutschen die Reifen, was die Reibung nurnoch vermindert. Damit ergibt sich die maximale AnfahroderBremsbeschleunigung zu a = 118, im Beispiel 6m/s 2 ,die maximale Steigung zu ffJ mit tan ffJ = 11. d. h. im Beispiel(/J = 31° oder 60 %. Die maximale Zentrifugalbeschleunigungvon ebenfalls 118 läßt das Pendel ebenfalls um 31°schiefhängen. Der Anhalteweg aus v ist bei entsprechendguten Bremsen s = vtr + ! v 2 I (118). Das "Leistungsgewicht"ist definiert als Fahrzeugmasse m!Leistung P. ZurBeschleunigung mit a bei der Geschwindigkeit v brauchtman die Leistung mav. Bei voller Leistung beschleunigtman also mit a = Pl(mv). Bis v = v1 = Pl(ml18) begrenztalso die Reibung die erreichbare Beschleunigung, oberhalbdavon die Motorleistung. Bei 10 kg/PS ist v 1 :::::: 45 km!h.Mit dieser Geschwindigkeit kann man auch die maximaleSteigung fahren; nur beschleunigen kann man dabei nichtmehr.1.6.4. Super-ReibungWarum nicht? Bei glatten Flächen ist das zwar nicht einfachherzustellen, aber bei entsprechender Verzahnung der Mikro­Rauhigkeiten kann ein Klotz auch auf einer Fläche halten, dieschiefer als 45° steht. Definiert man den Reibungskoeffizientenauch für makroskopische Gebilde wie z. B. die selbstschließenden"Klett-Verschlüsse", die zusarnmenhaften, sobaldman sie aufeinanderdrückt, dann ist 11 beliebig groß.1.6.5. ZauberstabAuf den Finger, der weiter vom Stabschwerpunkt entfernt ist,sagen wir den rechten, drückt der Stab mit geringererNormalkraft. Daher ist auch die Reibungskraft dort kleiner,und der Stab gleitet auf dem rechten Finger auswärts.Da die gleitende Reibung kleiner ist als die ruhende, rutschtder Stab so weit, daß schließlich der rechte Finger näher amSchwerpunkt ist. Ist das Verhältnis der Abstände vomSchwerpunkt gleich dem Verhältnis von Gleit- zu Haftreibungskoeffizient,fängt der Stab auf dem linken Finger zurutschen an, und das Spiel wiederholt sich mit ständig vertauschtenRollen in immer kürzeren Abständen, bis sichdie beiden Finger genau unter dem Schwerpunkt begegnen.Natürlich fällt der Stab dabei nie herunter, außerwenn man die Finger zu heftig bewegt.1.6.6. TraktorStark untersetzte Motoren liefern eine kleine Drehzahl undein hohes Drehmoment T. Die Zugkraft z. B. des Traktorsauf den Anhänger oder der Lokomotive auf den Zug darfaber den Wert 118m nicht überschreiten, sonst rutschen dieRäder. Um das hohe Drehmoment T = Fr auszunutzen,muß also der Radradius r groß sein.1.6. 7. Der starke MatroseEin Seil überträgt direkt Kräfte nur in seiner eigenen Richtung,aber wenn es um einen Pfahl geschlungen wird, entstehengerade dadurch Normalkräfte. Der Pfahl habe den RadiusR. Wir betrachten ein Seilstück der Länge dl, das an den Pfahlgeschmiegt ist und an dessen beiden Enden eine Kraft vomBetrag F zieht. Diese Kräfte bilden einen Winkel dQ( = dliRmiteinander, und es entsteht eine NormalkomponenteF dQ( = F dl IR, die das Seil gegen den Pfahl drückt. Sie führtzu einer tangentialen Reibungskraft dF = 11oF dl IR. Bevordas Seil zu rutschen anfängt, muß also am einen Ende vondl eine um dF größere Kraft ziehen als am anderen. Mit anderenWorten nimmt die Zugkraft längs des Seiles nach demGesetz dF I dl = 11oF IR zu. Bei der Seillänge !liefert die Integration,F 1 = F 0 el'ol/ R. Mit der Kraft F 0 am einen Endekann man also, unterstützt durch die Reibung, einer viel größerenKraft F 1 am anderen Ende das Gleichgewicht halten.Wenn l = 21fnR, also das Seil n-mal um den Pfahl geschlungenist, wird mit 11o = 0,8: F1 = Fo · 150n. Mit n = 3 hält1 kg 3 000 t aus. Heranziehen kann man das Schiff allerdingsnicht.1.6.8. KartentrickDie bewegte Karte beschleunigt die Münze mit a = 811·In der Zeit t = 2r I v, bis die ganze Glasöffnung frei ist,darf die Münze nicht weiter als r rutschen, alsox = !at 2 = 2811~ lv 2 < r, d. h. v > )28W· Bei 11 = 0,3,r = 3 cm kommt man mit 0,45 m/s aus. Wider Erwartengeht es mit engen Gläsern besser, wenn man von demAnfangsruck irrfolge Haftreibung absieht. - Während dasTischtuch darunter weggleitet, wirkt auf den Boden einesGlases die Kraft ffl811. das Drehmoment T = m811h (h: HalbeHöhe). Die Kippzeit ergibt sich aus w = TIJ = l2811lh

1020 , Lösungen zu den Aufgabenund dem Kippwinkel IX = 1 wt 2 , der etwa r I h sein muß,damit das Glas auf der Kippe steht, zu t =J2rl(wh) = Jrl(6gf.l). Während dieser Zeit muß Jie ganzeTischtuchlänge l weggezogen sein. Es folgt v > l 6gf.ll r,also bei l = 1 m, f.l = 0,5, r = 5 cm etwa 90 km/h, was mancheLeute schaffen sollen. Auf die Höhe der Objekte kommtes nicht an, solange sie sich im wesentlichen als Zylinderauffassen lassen: T nimmt wie h zu, IXJ

"Kapitel 1: Lösungen 1021den Faktor 211r bei n = 0 bzw. ! bei n = 1 bzw. 4l37r bein=2.1.6.14. ReentryOberhalb der Höhe hkr, die in Aufgabe 1.6.15 bestimmtwird, liegt praktisch immer eine Kreisba~n vor, und es filtfür den Höhenverlust die Gleichung mgh = -Av3g 0 e- /Hmit der Lösung h = ho + Hln(l- t/r), wobei '=mgHI(Av3g 0 e-111lfH) ist. Für t «'nimmt h sehr langsamab wie ho- Htlc (diese Gerade würde die t-Achse erstbei t = hociH schneiden). Kurz vor' knickt die h(t)-Kurveurplötzlich abwärts. Bei'- t = cQieo würde h = 0 werden;dann gilt aber die Voraussetzung der stationären Kreisbahnnicht mehr, sondern die Bahn wird praktisch senkrecht,die Geschwindigkeit nimmt den stationären WertVst = JmgiAa an.1.6.15. Viel Lärm nm nichtsDie Bahngeschwindigkeit von Skylab ergibt sich ausv 2 I(R + h) = gR 2 (R + h) 2 zu v = 7,72km/s, die Umlaufzeitzu ' = 90,5 min. Die Startmasse der Einstufenraketewäre mo = mevfw = 4000 t (w = 2krn/s, m = 85 t). Ein solchesVerhältnis molm wäre aus Stabilitätsgründen nicht zuerreichen; selbst eine 21-Milchkanne wiegt fast 200 g, hatalso molm ~ 10. Das Mehrstufenprinzip verringert denTreibstoftbedarf, weil leere Treibstoftbehälter abgeworfenwerden. In 300 km Höhe ist die Dichte immer noch etwag 0 e-h/H ~ 10-11 kgm-3. Die Skalenhöhe H ~ 12km ~kT l(mg) entspricht T ~ 420 K. So heiß ist es in der Ionosphärein etwa 150km Höhe; darüber ist es noch heißer,darunter kühler. Dort oben erfährt Skylab eine ReibungskraftF = !Aev 2 ~ 10- 3 N, die nur P = Fv ~ 10W an Leistungverzehrt. Die kinetische Energie W = ! mv 2 = 10 12 Jwürde dort erst nach der Zeit t = W I P ~ 10 11 s verzehrtsein, also nach etwa 300 Jahren. Die Dichte in der Hochatmosphäreist aber sehr empfindlich gegen Energiezufuhr vonaußen, besonders durch den Sonnenwind, der mit der Sonnenfleckenperiodestark variiert. Wenn die Hochatmosphäreheißer wird, wächst die Skalenhöhe und damit die Dichte. Dadort nur sehr wenig Atmosphärenmasse ist, genügt schoneine geringe Energiezufuhr. Erwärmung um 40 K bringtdie Skalenhöhe auf 13 km, die Dichte steigt fast um den Faktor10, entsprechend nimmt die Lebensdauer des Satellitenab. Luft von der Dichte Qo ~ 1 kgm- 3 würde die Energie10 11 mal schneller aufzehren, die Geschwindigkeit also inwenigen Sekunden auf sehr kleine Werte herabsetzen.Wenn die ganze Bremsenergie das Material erhitzte, würdedies z. B. bei Al mit c ~ 1 kJ kg-1 K-1 über 104 K ausmachen.Die Bremsenergie verteilt sich aber auf Satellitenund durchschlagenen LuftkanaL Der Luftanteil wird bei bemanntenRaketen durch die Reentry-Technik (Hitzeschildusw.) gesteigert, was nur leichte Rotglut für die Satellitenwandungliefert. Unterhalb der Höhe hkr, wo die StationaritätsbedingungAev 2 ~ mg noch erfüllt ist, also unterhalbQkr ~ 10- 4 kg m - 3 und hkr ~ 70 km besteht Glei,ewichtzwischen Reibung und Schwerkraft, also v ~ mgiAQ,der Satellit wird entsprechend der g-Zunahme immer lang-samerund hat in Bodennähe nur noch 100 m/s. Infolge derStationarität stürzt er fast senkrecht zu Boden. Auf derganzen Erde (einschließlich Meer) leben etwa 10 Menschen!km2.Wenn 100m2 dem direkten Treffer ausgesetztsind, ist die Wahrscheinlichkeit, daß irgendein Menschsich dort befindet, 10-3, daß gerade Sie es sind, nur etwa10-13.1.7.1. SeilsicherungDie Kraft zwischen Erde und Sonne ergibt sich am schnellstenaus der Bahngeschwindigkeit der Erde: F = mv 2 IR =6. 1024 kg. 109m 2 s-2 11,5 · 1011 m = 4 · 1022 N. Ein Stahlseil,Zugfestigkeit (Jz = 200Nimm 2 , das die Gravitation ersetzensollte, müßte einen Querschnitt von 2 · 10 20 mm 2 =2 . 108 km 2 haben, also dicker sein als die ganze Erde.1. 7 .2. Geostationärer SatellitDer stationäre Satellit muß mit der gleichen Winkelgeschwindigkeitumlaufen, mit der sich die Erde dreht, alsow = 27rl86400s = 7,27 · 10-5 s-1. Er bleibt nur dann aufder Kreisbahn, wenn Zentrifugal- und Schwerkraft einanderdie Waage halten: w 2 R = GM I R 2 , alsoR =\JGMiw 2=\/6 ·10-11. 6. 102415,3 ·10-9 = 42300kmvom Erdmittelpunkt oder 36 000 km von der Erdoberfläche.Die Bahnebene des Satelliten muß durch den Erdmittelpunktgehen, ihr Schnitt mit der Erdoberfläche ist ein Großkreis.Wirklich stationär ist der Satellit nur, wenn dieser Großkreisder Äquator ist; sonst pendelt er mit der Periode 1 d zwischenNord- und Südhalbkugel hin und her. Über München könnteer also nicht stationär stehen. Der Satellit sieht etwa 160Längengrade auf dem Äquator (2a, wobei tan a =RIRErde = 6,6), drei solche Satelliten sehen also die ganzeErdoberfläche bis auf zwei Polkappen oberhalb ca. 80°Breite.1.7.3. SonnenmasseDie Erde zwingt den Mond auf eine Bahn mit dem Radius Rund der Periode T, die Sonne zwingt die Erde auf eineBahn mit dem Radius 400R und der Periode ~ l3T. DieKreisbahnbedingung fordert w 2 R "'RjT 2 "'MIR 2 oderM "' R 3 IT 2 (M: Masse des jeweiligen Zentralkörpers; diedes anderen Körpers fällt heraus; die gewonnene Beziehungist das 3. Keplersche Gesetz). Also Msonnel MErde =400 3 113 2 = 3,8. 10 5 . Hat man die Erdmasse, so folgt sofortdie Sonnenmasse zu 2 · 10 30 kg.1.7.4. G-MessungDie Kugel ist günstig, weil man genau weiß, daß sie so anzieht,als sei ihre ganze Masse im Zentrum vereinigt. Beijeder anderen Form muß man den Abstand auf einen anderenPunkt als den Mittelpunkt beziehen, und dieser Punkt kannseine Lage mit dem Abstand ändern. Das würde komplizierteRechnungen oder Eichungen erfordern. An einem Torsionsdrahtvom Durchmesser d aus einem Material mit der Zug-

1022 : : Lösungen zu den Aufgabenfestigkeit CJ z kann man zwei Probekugeln mit der Gesamtmasse2m = 1fCJ zd 2 l4g aufhängen. Zwei große Kugelnmit der Masse M üben auf einen Dreharm der Länge 21ein Drehmoment D = lGmMI(R + r) 2 ~ !GmMIR 2 =f, 1r 2 G{!RCJ zd2l I g aus, das den Aufhängedraht der Länge Lum den Winkell1rp = DIDrp = l67rG(!CJzRlLI(3E1d 2 g) verdrillt(vgl. (3.64)). Damit 11rp möglichst groß wird, muß dmöglichst klein sein, selbst wenn dadurch die Probekugelnsehr klein werden. Bei d = 0,01 cm-Stahldraht mit E1 =80000Nimm 2 , CJz=200Nimm 2 , l=lm, L=3m, R=25 cm, Bleikugeln mit (} = 11340kglm 3 folgt11rp ~ 0,2 ~ 10°. Das Experiment gehört also bestimmtnicht zu den "hochgezüchteten"; es wurde ja auch schonim 18. Jh. ausgeführt. In der Praxis bestimmt man meistdie Torsionssteifigkeit T = 21ry'Jli5;, und gewinnt so ausder Ablenkung 11rp, die man sehr viel kleiner hält, die GravitationskonstanteG.1.7.5. Sirius BWenn Sirius keine geradlinige Eigenbewegung hätte, würdedie Pendelung zu einem etwas von der Seite gesehenen Kreisum den Schwerpunkt des Systems Sirius-Siriusbegleiter(Sirius A-Sirius B). Der Radius r dieser Bahn ergibt sichaus der scheinbaren Amplitude des Pendelns (Sehwinkela) und der Parallaxe ß des Sirius, die dem Erdbahndurchmesser,von Sirius aus gesehen, entspricht, zu al ß = 8,6Erdbahnradien = 1 ,3 · 109 km. Das ist der Abstand desSirius A vom Schwerpunkt. Sirius B steht nicht im Schwerpunkt,sondern in einem Abstand m 1rlm2 vom Schwerpunkt,also €m 1 + m2)rlm2 von SiriusA. Die Kreisbahnbedingungfür SiriusA lautet oir=Gm~(m 1 +m2 )- 2 r-2.paraus folgt mV(mi + m2) 2 = 6 · 1029 kg. Die beiden Massenlassen sich so nicht trennen. Nimmt man m1 = m2 an, sofolgt m 1 = m2 = 2,4 · 10 30 kg, also etwa Sonnenmasse. Dieoptische Entdeckung des Begleiters (Sirius B) zeigte, daß ermaximal 12,5 11 von Sirius A entfernt ist. Daraus folgtm2 = 0,34m, und m1 = 27 · 10 30 kg, m2 = 9,3 · 10 30 kg.Die Tatsache, daß die Bahn elliptisch ist, ändert die Zahlenwerte,aber nicht die Größenordnung.1.7.6. LotablenkungDie Lotabweichung von 0,25' = 0,7 · w-4 rad entsprichteinem Abstand von 450 m auf der Erdoberfläche. Sie wirddurch eine Überschußmasse 11m in 10 km Abstand hervorgerufen,die sich aus 11ml(10km)2 = 0,7 · 10-4MErdel( 6 400 km) 2 zu 1015 kg ergibt. Der ganze oberirdischeBrocken reicht dazu nicht aus; er hat nur etwa 30 km3 ,also etwa 1014 kg. Auch in der Tiefe muß das Material des"Horstes" dichter sein. Mit 11(} ~ 0,3 glcm 3 erhält maneine Dicke von etwa lOkm. Junge Faltengebirge sind meistisostatisch ausgeglichen, d. h. sie erzeugen weder eine Lotabweichungnoch eine Änderung der Schwerebeschleunigung.Wenn im Himalaja z. B. in 4 000 m Höhe g genau so groß istwie anderswo in gleicher Höhe, müssen die 4 km Gesteindadurch kompensiert werden, daß in größerer Tiefe leichteresMaterial liegt. Die Faltengebirge haben tiefe Wurzeln(Aufgabe 1.7.11).1.7.7; ZigguratJe höher der Turm ist, der z. B. am Äquator stehe, desto größerist die Zentrifugalbeschleunigung an seiner Spitze:az = w2(R + h). Theoretisch gibt es eine Höhe, bei der azgleich der Schwerebeschleunigung wird: w 2 (R + h) =GM I (R + h ) 2 . Dies ist genau die Höhe eines stationären Erdsatelliten(Aufgabe 1.7.2), nämlich 36000km. Könnte manein Seil vom Erdboden bis in noch etwas größere Höhe legen,dann würde es wie beim indischen Seiltrick "an denHimmel gehakt" aufrecht stehen, falls man oben eine hinreichendgroße Masse anhängt. Der weitere Materialtransportin noch größere Höhe ist dann kein Problem mehr. HeutigeSeile würden allerdings spätestens bei 10 km Länge zerreißen,jedenfalls in Erdnähe. Wenn man das Seil exponentiellverjüngte, um die Last zu reduzieren, käme man zu völligunmöglichen Querschnitten. Das Problem läßt sich auchin potentieller Energie von Schwere und Zentrifugalkraft gemeinsamausdrücken. Dies Potential hat sein Maximum aufeiner schlauchförmigen Fläche, die nahe dem Äquator in42 000 km Abstand von der Erdachse liegt und sich nach Nordenund Süden verjüngt, ähnlich wie ein Strumpf, in den maneinen Apfel gesteckt hat.1.7.8. MondautobahnMan muß zunächst mit erheblich höheren Geschwindigkeitenrechnen, denn die Leute fahren nun mal gern ihre Motorleistungaus, und auf der Erde frißt der Luftwiderstand den weitausgrößten Teil davon. Die Schwerebeschleunigung auf demMond ist entsprechend seiner 80mal kleineren Masse undseinem 3,7mal kleineren Radius etwa 6mal kleiner als aufder Erde (g ~ MIR2). Alle Reibungskräfte nehmen mitder Normalkraft i. allg. ebenfalls auf f, ab. NichtüberhöhteKurven müßten selbst bei gleicher Fahrgeschwindigkeit einen6mal größeren Radius haben als bei uns, gut ausgebauteKurven müßten in für uns lächerlicher Weise überhöht sein(z.B. bei v= 120km/h, R=300m um 63°). Die Fahrerwerden sich daran gewöhnen müssen, die an jeder Kurveangegebenen Maximal- und Minimalgeschwindigkeitenstreng zu respektieren, weil sie sonst nach außen bzw. innenwegrutschen. Auch Bremsverzögerung und Bremsweg sind6mal kleiner bzw. 6mal länger als hier. Man wird vermutlichSpezialmondspikes entwickeln.1.7.9. Olympiade 2000 in Selenopolis (Mare Imbrium)Es ist klar, daß alle Sprung- und Wurfdisziplinen ihre Rekordleistungenetwa versechsfachen werden, sofern Weitebzw. Höhe durch v2 lg gegeben sind (v: Anfangsgeschwindigkeit).Beim Diskuswurf ist die Steigerung nicht sohoch, denn dabei hilft die Luft tragen. Die Leistung des Läufersist nicht durch den Luftwiderstand begrenzt, sonderndurch die Beschleunigung seiner Beine. Nicht nur wegender Speerwerfer wird man aber die Stadien weit über denerdüblichen 400 m-Umfang vergrößern müssen, denn inder R = 30 rn-Kurve müßte sich der Läufer um ca. 60°schieflegen und würde glatt wegrutschen.

Kapitelt: Lösungen 10231.7.10. Projekt GravitrainWir vernachlässigen zunächst die Reibung und betrachteneinen flachen Tunnel der Länge 2L « R (R: Erdradius).Im Abstand x von der Tunnelmitte wirkt auf den Wagen inSchienen- oder Straßenrichtung eine SchwerkraftkomponenteF= = mgxiR. Diese Kraft ist quasielastisch (F "'x),d. h. der Wagen führt eine harmonische Schwingung ausmit der von der Tunnel~eunabhängigen PeriodeT = 2JrJml(mgiR) = 2JryRig = 1 h24min. Er schwingtwie ein Pendel, dessen Faden so lang ist wie der Erdradius.Die Höchstgeschwindigkeit in der Tunnelmitte ist dagegenabhängig von L: Sie ist vo = wL = v'ifR · L ~ Ll800 s.Bohrt man tiefer, so daß der Abstand r vom Erdmittelpunktnicht immer als R angesehen werden kann, dann wird dieSchwerebeschleunigung im Innern kleiner. Nur die Teilkugelvom Radius r zieht. Bei konstanter Dichte wird F =mgM(r)R 2 I [M(R)~] = mg~ I R 3 · (R 2 lr 2 ) = mgriR, alsodie Schienenkomponente F= = mgxiR, wie bisher. DieSchwingungsdauer bleibt also noch dieselbe, selbst wennL = R, also wenn der Tunnel durch den Erdmittelpunktgeht: Nach genau 42 min taucht der Wagen in Neuseelandauf, falls Start und Ziel in gleicher Höhe ü. d. M. liegen.Die Kugellagerreibung wirkt als Bremskraft, die ca. 1/100der Normalkraft ausmacht, also für den flachen Tunnel:Antriebskraft F= = mgxiR- 0,01mg. Die halbe TunnellängeL muß mindestens Rl100 = 64km sein, damit derWagen im Rollen bleibt. Er bleibt stehen, wenn dieReibung so viel Energie verzehrt hat, wie dem Unterschiedan potentieller Energie zwischen dem Startort (der Erdoberfläche)und dem Ort des Stehenbleiheus (Tiefe h senkrechtunter dem Erdboden) entspricht. Die Leistung derReibung ist P = 0,01mgv = 0,01mgLw sin wt, also die verzehrteEnergie auf einer Halbperiode W = mgh =0,01mgL)o sinwtd(wt) = 0,02mgL, d.h. h = 0,02L. BeiL = 1 000 km z. B. bleibt der Wagen 140 km vor dem Tunnelendestehen, rollt zurück und schwingt weiter gedämpft umdie Tunnelmitte. So funktioniert nur der Tunnel von Pol zuPol; sonst treibt die Coriolis-Kraft den Wagen an die Wand.1.7.11. IsostasieEine Kugelschale, Radius R, Dicke d, hat die Masse 4JrQdR2und übt an ihrer Oberfläche die Schwerebeschleunigunga = 4JrQGd aus. a I g = 3Qd I (12ErdeR). Differenz zwischenStein- und Wasserschale 3(12st -Qw )dgi(12ErdeR) = 6 ·10- 4 g,mit Präzisionspendeln gut meßbar. Die leichtere Kontinentalschollemuß eine Dicke D haben, so daß die gleiche Masseunter jeder Flächeneinheit liegt: D!Jsial = dQw + (D - d)!Jsima' also D = d(!Jsima -Qw)l({}sima- {}sial) =50 km. EinGebirge muß unter der Scholle um den Faktor !Jsiad(Qsima- 12Sial) weiter vorragen als oberhalb, wenn Isostasieherrschen soll. Die Wurzeln der Faltengebirge ragen alsoetwa 100 km tief.1.7.12. EhrenrettungDer Umlauf um die Sonne erzeugt eine Fliehkraft, die füralle Teile der Erde gleichgroß ist (wir sehen zunächst vonder Achsdrehung ab). Im Schwerpunkt wird sie exakt durchdie Gravitation der Sonne ausgeglichen, aber da, wo Mittagist und die Sonne näher, überwiegt die Gravitation, umgekehrtan der Nachtseite. Ohne Achsdrehung würde die Kugeldes Meeresspiegels in radialer Richtung etwas langgezogen,der Erdkörper hätte aber Zeit, dem zu folgen: Das Wasserstünde dort nicht höher. 12 h reichen nicht für diese Deformationdes Erdkörpers, er dreht sich fast unverzerrt unter demerhöhten Meeresspiegel weg: Zweimal täglich gibt es Flut,hier eine Sonnenflut Sie macht nur etwa -k der Mondflutaus, aber gegenüber dem Mond ist die Situation dieselbe,da die Erde auch hier um. den gemeinsamen Schwerpunktläuft. Es wäre nicht richtig, daß das Meer hin- und herschwappt,weil sich die Nachtseite der Erde um 900 rnlsschneller bewegt als die Tagseite, wie Galilei meinte. VomSchwerefeld und seiner Inhomogenität konnte er ja nochnichts wissen.1.7.13. Homogenes FeldGäbe es positive und negative Massen, dann wäre es ziemlichleicht, ein annähernd homogenes Schwerefeld herzustellen:Analog zum elektrischen Fall stelle man zwei große Scheibenaus positiven und negativen Massen einander dicht gegenüber.In Wirklichkeit ist nichts zu machen: Im homogenenFeld dürften Feldlinien nirgends anfangen noch enden,div g = -Arp = 0, d. h. es dürften überhaupt nirgendsMassen sein, Arp = 4Jr{} = 0. Das einzig mögliche "homogene"Feld ist g = 0. Dicht außerhalb der galaktischenScheibe ist es annähernd realisiert.1.7.14. Tidenhub IDas Rohr der Länge L sei völlig starr. Das Wasser darin stelltsich so ein, daß seine Oberfläche überall auf gleichem Potentialliegt. Wenn der Mond über der Mitte des Rohres steht,sind die Rohrenden um d = R- JR2 -L2 14 ~ L 2 /SR weitervom Mond entfernt als die Mitte. Die Gezeitenbeschleunigungbeim Rohr ist GMMir2 · (2Rir) = w-6 mls 2 , dieDifferenz ihres Potentials zwischen Rohrmitte und -endealso 10-6 d. Diese Potentialdifferenz muß durch eine ebensogroße im Schwerefeld der Erde ausgeglichen werden:gh = 10- 6 d also h = 10- 7 d. Um soviel steht das Wasserin der Mitte höher als am Ende. Für Bodensee, OberenSee, Mittelmeer, d. h. L = 60, 600, 3 200 km erhält manh = 0,01 mrn, 1 mrn, 3 cm, für d = R, d. h. den weltweitenOzean, h = 60 cm. An den Küsten werden die wirklichenGezeiten durch Stauwirkung i. allg. höher.1.7.15. Tidenhub IIEs kommt nicht auf die Beschleunigung a selbst an, sondernauf den dadurch bewirkten Potentialunterschied z. B.zwischen einem Punkt der Erdoberfläche, der direkt unterdem Mond liegt, und einem um 90° dagegen verschobenenPunkt. Dieser Potentialunterschied ist aR, und zwar ist dasGezeitenpotential unter dem Mond um soviel geringer. DieWasseroberfläche ist eine Äquipotentialfläche. Die Differenzim Gezeitenpotential muß durch eine entgegengesetztgleiche Differenz im Potential des Erdschwerefeldes kompensiertwerden, d. h. unter dem Mond steht das Wasser

1024 Lösungen zu den Aufgabenum h höher, so daß gh = aR, h =Ra/ g R:: 0,6 m. Man kannauch sagen: Zwischen der 0°- und der 90°-Gegend zieht dieGezeitenkraft schräg, also bildet die Wasseroberfläche dorteine schiefe Ebene. Deren Neigung ist zwar winzig, aberauf der langen Strecke eines Erdquadranten kommt trotzdemein ansehnlicher Höhenunterschied zustande.1.7.16. GezeitenkraftDer Reifen wird von rechts und links zusammengedrückt,nach oben und unten gezerrt, wenn auch beidemal nursehr schwach. Er nimmt ungefähr elliptische Form an.Eine Schnur wird nach einigen Stunden zu einer senkrechtstehenden "Ellipse" mit der kleinen Achse 0; bei höhererSteifigkeit wird die Ellipse immer kreisähnlicher. Der kugelförmigeHaufen habe die Masse m, den Radius r undden Abstand d vom Erdmittelpunkt Auf einen Brockenganz unten wirkt die Gezeitenbeschleunigung aa =GM/(d- r) 2 - GMjd 2 R:: 2GMrjd 3 als Differenz zwischenErdanziehung und Zentrifugalkraft. Die Gravitationsbeschleunigungdurch den Haufen selbst ist aH = Gm/ r 3 . Obder Haufen zusammenhält oder sich allmählich zerstreut,hängt davon ab, ob aH ~a0 , d. h. ob mjr 2 ~2Mrjd 3 .!?H = 3m/ ( 47rr 3 J ist die mittlere Dichte des Haufens,!?E = 3M/ ( 47rR ) die der Erde, also lautet die Bedingung!?H ~ 2QER 3 / d 3 oder d ~ Rf/2!?E/ !?H· Wenn der Haufennicht z. B. ein Hg-Tropfen ist, zerreißt er in Erdnähe. EinStein ist bis d = 1 ,6R eigentlich instabil, ein Wassertropfenbis 2,2R. Der Grenzabstand, unterhalb dessen ein Satellit instabilist, heißt Roche-Grenze. Dieser Abstand vergrößertsich gegenüber unserer Abschätzung dadurch, daß der Haufennicht kugelförmig bleibt, sondern sich nach oben undunten streckt, wodurch der Einfluß der Eigengravitation geschwächtwird. Das Zerreißen innerhalb der Roche-Grenzespielt sich so ab, daß z. B. die inneren Teile auf etwas engereBahnen fallen und dort schneller umlaufen. Der Haufen ziehtsich also nach einiger Zeit zu einem Ring um den Planetenauseinander.1.7.17. SpringflutDie Gezeitenkräfte seitens zweier Körper verhalten sich wieM / d 3 (M: Masse, d: Abstand). Nun ist MMond = MErde/80,Msonne = 3,3 · 10 5 MErde, aber dsonne = 400dMond, also verhaltensich Beschleunigungen und Hubhöhen von MondundSonnengezeiten wie 2,4 : 1. Wenn Sonne und Mond unter90° stehen (Halbmond), folgt der Flutberg dem Mond,aber mit verminderter Höhe (Nipptiden), bei Voll- oder Neumondaddieren sich beide Einflüsse (Springtiden). Im weltweitenOzean wären die Springfluten etwa 1 m, die Nippflutennur 0,35 m hoch. Existenz und Form der Küste komplizierendie Situation.1.7.18. Stationärer MondSolange die Erde sich schneller dreht als der Mond, und damitdie Flutberge umlaufen (Winkelgeschwindigkeit!), erzeugtdas Strömen des Wassers, das sich im Flutberg verschiebt,und besonders sein Anprall an die Kontinentalrändereine Bremsung der Erdrotation. Der Drehimpuls, derder Erde so verlorengeht, muß in einer Erhöhung des Bahndrehimpulsesdes Mondes wieder auftauchen. Falls keine äußerenEinflüsse den Mondumlaufbremsen (z. B. die Reibungim interplanetarischen Medium), lautet die DrehimpulsbilanzlErdeWErde + Md 2 WMond = L = const. Die Reibung hört erstdann auf, wenn Tag und Monat gleichlang geworden sind,d. h. wenn WErde = WMond = Woo. Hätte die Erde homogeneDichte, dann wäre ihr Trägheitsmoment J = 0,4MErdeR 2 =10 38 kg m 2 . Da der Erdkern schwerer ist, wird J kleiner:J = 0,8 · 1038 kg m 2 . Einsetzen der Zahlenwerte ergibtL = 3,6 · 10 34 kg m 2 / s, wovon 6 · 10 33 auf die Erdrotation,3 · l 0 34 auf den Mondumlauf entfallen. Wenn der Mond jetztschon fast das ganze L hat, wird das im Endzustand mit radikalreduziertem WErde erst recht so sein: Md~w 00 = L.Außerdem gilt auch noch die Kreisbahnbedingung,m. a. W. das dritte Kepler-Gesetz: wÖdÖ = w~d~. Man erhältWoo = 1,33 . 10- 6 s- 1 , doo = 6. 10 8 m, d. h. Tag undMonat werden 56 heutige Tage lang sein, und der Mondwird dann 1,56mal weiter entfernt sein als jetzt.1.7.19. MondentstehungGäbe es keine Kontinentalschollen, dann wäre der Ozeanüberall knapp 4 km tief. Der Flutberg wäre 0,6 m hoch,enthielte also etwa einen Bruchteil 10- 4 des gesamtenWassers. Er läuft mit der Geschwindigkeit 500 m/s um dieErde, was bedeutet, daß sich das Wasser im Mittel mit500 · 10- 4 = 0,05 m!s verschieben muß. Am Meeresbodenkann man v = 0, an der Oberfläche v = 0,1 m/s ansetzen.Der Geschwindigkeitsgradient ist dv jdz R:: 0,1 m s- 1 /4000m R:: 2-10-5 s- 1, die innere Reibung (Kraft!m2 )1Jdvjdz R:: 2 · 10-8 Njm 2 (IJ für Wasser: 10-3 N s/m 2 ), dieGesamtkraft auf die Erdoberfläche von 5 · 108 km2 also ungefähr10 7 N, das Drehmoment 6 · 10 13 Nm. Dieses Drehmomentwürde den Drehimpuls der Erde von 6 · 10 33 Nm s inetwa 10 20 s R:: 3 · 1012 a abbremsen. In Wirklichkeit ist dieGezeitenreibung infolge der "Rauhigkeit" der Erdoberflächeum mindestens eine Größenordnung höher. Bedenkt man,daß die Fluthöhe und damit das Reibungsmoment mit demMondabstand wie d 3 gehen, dann sieht man, daß derMond in einem "Weltalter" von 10 10 a sich durchaus voneiner sehr erdnahen Bahn in seine jetzige hinaufspiralt habenkann (Mondabschleuderung aus dem Pazifik nach Dmwin­Fowler). Bis zum Endzustand, wo nur noch eine Hälfteder Erde in den Genuß des Mondes kommt, ist es allerdingsviel länger hin.1.7.20. Hat die Bibel doch recht?Venus ist fast 80mal massereicher als der Mond, Marsetwa 9mal. Im gleichen Maße würde die Gezeitenreibungbei gleichem Abstand größer sein. Der Mond ist 60 Erdradienentfernt. In etwa 12 Erdradien Abstand würde die Venuseinen 80 · 5 3 R:: 10 4 mal höheren Flutberg auftürmenals der Mond jetzt, also einen Flutberg, der alles Wasserdes Ozeans enthielte. Bei Ebbe wäre der Meeresgrund trokken.Häuser, Bäume, selbst Berge, Josua samt Freund undFeind wären mit 500 m/s davongespült worden. Trotzdemwürde die Vollbremsung der Erde über 10 8 Jahre dauern.Man könnte diese Zeit zwar auf etwa l 0 6 a senken, wennman Venus die Erde fast berühren läßt; dann wäfen aber

Kapitelt: Lösungen 1025selbst die Kontinentalschollen nicht "ungeschoren" geblieben.·1.7.21. Sind wir doch allein?Eine Sternbegegnung kann nur dann zum Herausreißen vonMaterial führen, wenn sie enger ist als die Roche-Grenze,d. h. wenn die Gezeitenkräfte größer werden als die Eigengravitation.Wenn beide Partner sonnenähnlich sind, liegtdie Roche-Grenze bei etwa drei Sternradien: d ~2 · 106 km (vgl. Aufgabe 1.7.16). Die kinetische Gastheoriezeigt, wie man die Häufigkeit so enger Begegnungen bestimmt:Der Stoßquerschnitt ist A = 1rd 2 ~ 1013 km2. DieSterne haben einen mittleren Abstand von etwa 7 Lichtjahren(gegen das Zentrum der Galaxis stehen sie viel dichterals bei uns). Die Sternzahldichte ist also n ~1I(7Lichtjahre) 3 ~ 5 ·10-42 km- 3 , also die mittlere freieWeglänge l = 1l(nA) ~ 2 · 1028 km. Bei einer Durchschnittsgeschwindigkeitvon 100 k:m/s passiert einem Sternso etwas alle 10 19 Jahre. Nur jeder 109 -te Stern dürfte danachPlaneten haben, d. h. das nächste Planetensystemwäre in über 10 000 Lichtjahren Entfernung zu erwarten.1.7.22. Schwere auf JupiterDie Schwerebeschleunigung auf einer Kugel vom Radius R(in Erdradien) und der Masse M (in Erdmassen) ista = gM I R 2 . Bei gleicher mittlerer Dichte ist also a ~ R.Für Merkur, Mars, Ceres, Jupiter, Sonne erhält man fol§endeSchwerebeschleunigungen: 3,6; 3,8; 0,36; 26; 400 m/s (dieMasse der Ceres ist hier aus dem Durchmesser geschätzt).Ein 100kg-Mensch "wöge" 36; 38; 3,6; 260; 4000kg. DieKreisbahn- bzw. Entweichgeschwindigkeiten ergeben sichaus den irdischen Werten durch Multiplikation mit dem Radienverhältnisund der Wurzel aus dem Dichteverhältnis.Kreisbahngeschwindigkeiten 3,2; 3,6; 0,38; 43; 530k:m/s.1.7.23. MondmasseBeim Mond ist es schwierig, wie bei jedem Körper, der selbstkeinen Satelliten hat. Die Höhe des Flutberges ergibt einegrößenordnungsmäßige Schätzung, nach der der Mondnoch immer z. B. einen Eisenkern haben könnte wie dieErde. Die 26 000 a-Präzessionsperiode der Erde liefert einenbesseren Wert (Aufgabe 2.4.6). Genaueres erfährt man erstaus sehr präzisen Pendelmessungen der Gezeitenkräfteoder heutzutage, noch vor den direkten Mondflügen, ausden Bahnstörungen künstlicher Erdsatelliten.1.7.24. 7.1.1610Wir benutzen nur die angegebenen Daten und das 3. KeplerscheGesetz, das allerdings erst neun Jahre nach der Entdekkungder Jupiter-Monde veröffentlicht wurde. Hätte Galilei esgekannt, so hätte er gefolgert, daß Jupiter 122/3 ~ 5,2Erdbahnradien von der Sonne entfernt ist, also von uns günstigstenfalls4,2 Erdbahnradien. Wie groß der Erdbahnradiusist, brauchte Galilei nicht zu wissen; Kopemikus hatte ihnetwa 20mal zu klein geschätzt. Ein Abstand, der aus dieserEntfernung wie 6 1 ~ 1,5 · 10-3 rad aussieht, beträgt r ~4,2 · 10-3 ~ 6 · 10-3 Erdbahnradien. Die Sonne läßt dieErde in einem Erdbahnradius Abstand in einem Jahr umlau-fen, Jupiter den Ganymed in 6 · w- 3 Erdbahnradien Abstandin 3,6d ~ 0,01 a. Also folgt nach dem vollständigen 3. Kepler-GesetzMsonne/MJupiter ~ 600 (in Wirklichkeit 1 000).1.7.25. Hohmann-BahnenAuf einer Kepler-Ellipse ist bis auf den eigentlichenStart- und Landevorgang, d. h. bis auf die Anpassung andie Bahngeschwindigkeit von Start- und Zielplanet sowiedie Überwindung von deren Schwerefeldern kein Antriebnötig. Wir planen einen Flug von einem Planeten mit demBahnradius r1 zu einem Planeten mit dem Bahnradius r2.Offensichtlich sind r1 und r2 der Minimal- bzw. Maximalabstandvon der Sonne auf dieser Bahnellipse (Perihel-bzw. Apheldistanz). Die große Halbachse der Bahnellipseist a =! (q + r2), die Exzentrizität e =! (r1 - r2),also die kleine Halbachse b = V a2 -e2 = yfrlr2. Bahnenergie,Drehimpuls und Umlaufzeit ergeben sich nach(1.95) bis (1.98) zu W = -2GMm/(rt + r2). L =mJ2GMrtr2/(rJ + r2), T = 21r(r1 + rd1 2 1.j8(jiJ. Wichtig,weil treibstoffverzehrend, sind die Unterschiede zwischender Raketengeschwindigkeit am Perihel bzw. Aphelund der Geschwindigkeit des Planeten, dessen Bahn dort tangiertwird. Perihel- und A helgeschwindigkeit sindv1,2 = Ll(mr1,2) = r2,1 GM r1 2h + r2)), der tangiertePlanet hat dort v~. 2 = GMirl,2· Für einen Flug zumMars mit weicher Landung braucht man im ganzen folgendeGeschwindigkeiten: Start von der Erde 11,2 k:m/s. Einschußin die Kepler-Bahn 3,0 k:m/s. Anpassung an die Marsgeschwindigkeit2,7 km/s, Landung 5,1 k:m/s. Beim Rückflugspart man die 11,2k:m/s, da die Erdatmosphäre zur aerodynamischenBremsung ausreicht. Man kann die Geschwindigkeitenaddieren, um den Treibstoffbedarf zu erhalten, derexponentiell mit v geht: 33 km/s, die Gesamtflugzeit ist 1,4Jahre.1.7.26. Rotation der GalaxisDie Masse der Sonne ist 2 · 10 30 kg, die der ganzen GalaxisM > 1041 kg. Diese Masse ist zwar nicht kugelförmig,sondern als ziemlich flache Scheibe angeordnet. Größenordnungsmäßigliefert aber der Fall der Kugel dasRichtige, zumal ein großer Teil der Masse im annäherndkugelförmigen Zentralteil sitzt. Die Bahngeschwindigkeitv der Sonne muß so sein, daß v 2 1 r = GM I r 2 , mitr = 3 · 104 Lichtjahren ~ 3 · 10 20 m, also v ~ 140 km/s.Ein voller Umlauf würde etwa 3 · 108 Jahre dauern. Etwain diesem Abstand folgen die großen GebirgsbildungsundEiszeitperioden aufeinander, z. B. die vatiskisehe unddie alpine Faltung oder die carbon-permischen und die quartärenEiszeiten. Herrschen an einer bestimmten Stelle derSonnenbahn besonders "revolutionäre" Verhältnisse? DieRotationsgeschwindigkeit der Spiralnebel läßt sich direktaus dem Doppler-Effekt bestimmen und liegt in der erwartetenGrößenordnung.1.7.27. Satelliten-ParadoxonDie Bremsung in der Hochatmosphäre ist so schwach, daßdie Bahn praktisch immer kreisförmig bleibt. Dann istWkin = -! Wpot· Die Reibung läßt die Gesamtenergie

IIII1026 : : Lösungen zu den AufgabenW = - Wkin abnehmen, also Wkin zunehmen. Das sieht wieein rein mathematischer Trick aus. Kräftemäßig gilt aberimmer ai r = GM I r2, also w "' r-31 2 (Kepler). Wenn r langsamabnimmt, steigt w. Sogar die Bahngeschwindigkeit steigt:v"' ,-1/ 2 . DieSchwerkraftgibtdemSatelliten beimAbsinkenmehr kinetische Energie, als ihm die Bremsung entzieht.1.7.28. MondfahrtDie Energie einer Kepler-Bahn hängt von der großen Halbachsea ab wie W = -! GMml a. Die Startenergie, d. h. diekinetische Energie am Perigäum (r =RE) ist also für dieMondrakete Wkin = GMmiRE- !GMmla, für die Raketeauf der Parabelbahn Wkin = GMmiRE. Der Unterschied beträgtnur! a I RE = 1/120. Wenn man bis zum Mond schießenkann, kommt man mit 0,8 % Treibstoff-Mehraufwand auchganz aus dem Erdschwerefeld weg. Andererseits siehtman, wie wenig Unterschied in der Anfangsgeschwindigkeitdazu gehört, um einige 100 000 km am Mond vorbeizuschießen.1.8.1. Der brave MannBezugssystem des Wassers: Das Boot macht 6,5 km/h, dieFlasche bleibt auf der Stelle. Also fährt das Boot ebensolangevon der Flasche weg wie es nachher zu ihr hinfährt, nämlichbeidemal !h. Im Bezugssystem des Ufers ist es schwieriger:Stromauf macht das Boot 3,5 km/s, die Flasche treibtmit 3 km/h davon, also sind sie nach !h um 3,25 km auseinander.Stromab fährt das Boot mit 9,5 km/h, also mit 6,5 kmJhmehr als die Flasche, die folglich nach !h eingeholt wird.1.8.2. Wie verhütet man Tanker-Unfälle?Das Problem scheint zunächst sehr kompliziert, bis man aufdie Idee kommt, daß die Bewegung der Schiffe relativ zumUfer oder zur Radaranlage gar nicht interessiert. Ob es zurKollision kommt, hängt nur von der Relativbewegung derSchiffe ab. Man betrachte also etwa A als ruhend. Anfangspositionund Kurs von B relativ zu A ergeben sich amschnellsten graphisch durch Subtraktion der Geschwindigkeitsvektoren.Dieses Verfahren gilt natürlich auch für dreiund mehr Dimensionen.1.8,3. Hubble-EffektDer Schwerpunkt des Granatsplittersystems fliegt auch nachder Explosion ruhig weiter seine Bahn, falls man vom Luftwiderstandabsieht, der für die Gesamtheit der Splitter größerist als für die kompakte Granate. Im Bezugssystem desSchwerpunktes fliegen alle Sprengstücke etwa geradlinig radialauseinander; ebenso wie vonjedem Splitter aus betrachtetalle anderen von diesem wegfliegen, und zwar um soschneller, je weiter sie entfernt sind. Ganz ähnlich verhaltensich die Galaxien, von einer beliebigen aus betrachtet, nurläßt sich hier aller Wahrscheinlichkeit nach kein Schwerpunktdes Gesamtsystems angeben, da die Explosion imsphärisch-geschlossenen Raum stattfindet.1.8.4. Vollziehen Sie Copernicus nachDiese Konstruktionen kann man nicht so vollständig beschreiben,wie sie es verdienen. Wer in der zweiten Hälftedes zweiten Jahrtausends lebt, sollte sie mindestens einmalgemacht und ihr Gegenstück am Himmel verfolgt haben.Sonst bleibt das moderne Weltbild auswendig gelerntesSchulwissen. Die erste Erkenntnis ist, daß die Rückläufigkeitender Planeten, für die Ptolemaios besondere Epizyklenerfand, einfach darauf beruhen, daß die Erde den Planetenüberholt bzw. von ihm überholt wird. Das entspricht der Oppositionfür die äußeren, der "oberen" Konjunktion für dieinneren Planeten. Besonders auffällig ist das beim Mars. Daherwohl auch dessen Name: Während er hartnäckig rückwärtsstürmt, schwillt er enorm an (bis Jupiter-Größe ), und erst kurzbevor er aufgibt, wird er wieder kleiner (vgl. Ilias 21, 400).Auch die Unregelmäßigkeiten in diesem Verhalten sindbeim Mars mit seiner stark elliptischen Bahn am auffälligsten.1.8.5 und 1.8.6. Von Newton zu EinsteinSchupo und Newton haben das herkömmliche Bezugssystemdes Erdbodens gegen das frei fallende System der Nonkonformistenzu verteidigen. Im letzteren lassen sich die Ereignissezunächst viel einfacher beschreiben, denn mysteriöseFernkräfte wie die Gravitation fallen ganz weg; alle Beschleunigungensind auf unmittelbar verständliche Nahkräfte(Zug, Stoß usw.) zurückzuführen. Newton muß beschleunigtsein, weil der Garten ihn vor sich herschiebt,der Garten wird von tieferen Erdschichten geschoben- warumschiebt aber Neuseeland? Warum sind völlig freie neuseeländischeÄpfel sogar mit 2g beschleunigt? Auch der Apfelkommt nur in seiner unmittelbaren Umgebung ohne Fernkräfteaus. Wir würden von Gezeitenkräften reden. Einsteinwürde sagen: Diese Kräfte, wie alle gravitativen Fernkräfte,beruhen darauf, daß sich die Raumkrümmung in der Umgebungvon Materie nicht verzerrungsfrei auf ein ebenes Bezugssystemabbilden läßt, sei es das des Apfels oder das Newtons,und zwar ebensowenig, wie sich die Erdoberfläche ineiner ebenen Karte darstellen läßt. Die dafür verantwortliche"absolute" Krümmung ist der eigentliche Inhalt des EinsteinsehenGravitationsgesetzes. Es geht dem Apfel wie demGriechen, der die Erde für flach hielt und dementsprechendeine mercatorähnliche Weltkarte zeichnete. Als er unwiderleglicheskythische Berichte über Tagesmärsche in der nordrussischenTundra erhielt, die auf seiner Karte ganz unerklärlichlang aussahen, folgerte er, die Barbaren seien mit um sogrößeren Kräften begabt, je weiter sie von Hellas' erschlaffenderZivilisation entfernt wohnten. - Newton kann übrigensnoch für sich vorbringen, daß er seine Fernkräfte wenigstenssymmetrisch um die offensichtlich singulären Himmelskörperverteilt, während der Apfel sie anscheinendnur auf seine eigene ziemlich bedeutungslose Person bezieht.Aber das ist mehr ein ästhetisches Argument.1.8. 7. WindrichtungLuftmassen werden beschleunigt, wenn der Druck in einerbestimmten Richtung abnimmt (Kraftdichte = -gradp).Auf strömende Luft wirken senkrecht zu v die Coriolis-Kraft(Kraftdichte = 2gv x w, w Kreisfrequenzvektor der Erdrotation)und entgegengesetzt zu v die Reibung(Kraftdichte = -kv). Wir lassen die Reibung zunächst

Kapitell: Lösungen 1027weg. Dann lautet die Bewegungsgleichung ev =-gradp + 2ev x w. Großräumige und langdauernde Strömungensind stationär, d. h. alle Beschleunigungen sindauf 0 abgeklungen. Dann folgt 2ev x w = gradp. Welchestationäre Strömung stellt sich bei gegebenem gradp ein?v steht nach Definition des Vektorproduktes auf v x w,also auch auf grad p senkrecht, d. h. erstaunlicherweisekreist die Luft um die Hochs und Tiefs, ohne einen Druckausgleichzu vermitteln. Jetzt führen wir die Reibung ein. DieBewegungsgleichung wird ev = -gradp + 2ev x w- kv,bei Stationarität 2ev x w- kv = gradp. Überwöge das Reibungsglied,so wäre v = -k- 1 gradp: Die Luft strömte direktvom Hoch ins Tief. Der Kompromiß zwischen Coriolis-Kraftund Reibung besteht darin, daß der Wind schräg aus demHoch heraus und ins Tief hineinströmt. Das Tief liegez. B. westlich vom Hoch: grad p zeigt nach Osten, die Luftströmt etwa nach NW, die Coriolis-Kraft zeigt nach NOund addiert sich mit der Reibung, die nach SO zeigt, zumOst-Vektor gradp. Der Winkel zwischen v und -gradphängt vom Verhältnis zwischen Coriolis-Kraft und Reibungab. In den Tropen ist die Horizontalkomponente der Coriolis­Kraft am kleinsten, der Winkel am spitzesten: TropischeTiefs gleicher Stärke füllen sich schneller auf. Der Koeffizientk läßt sich so abschätzen: In einer bodennahen Schicht derDicke d ~ 1 m nimmt v von v 0 (Höhenwind) auf 0 ab, undzwar ungefähr parabolisch: v ~ voh 2 I d 2 . Der Geschwindigkeitsgradientist dvldh ~ 2vohld2. Ein Luftwürfel derKante a erfährt an seiner oberen Fläche die Krafta 2 f/2Vohld 2 , unten a 2 f/2vo(h- a)ld 2 , im ganzen also dieBremsung a 3 2Y!vod- 2 . Die Kraft auf die Volumeneinheitist 2f/Vo I d 2 , also k = 2ry I d 2 . Luft hat Y/ = 1 '7 . w- 5 Pas,also k ~ w-5 Ns/m4 , d. h. etwas kleiner als 2ew. DerWind geht also etwa unter 45° zu -gradp. Seine Geschwindigkei~i~t bis auf Richtungscosinus v ~ grad p I (few).Im Beispiel: gradp ~ 40mbarl3 OOOkm ~ 10- 3 Nlm, alsoV~ 7 krnfh.1.8.8. Wer irrte hier?Die Coriolis-Beschleunigung für einen Satelliten, dermit 8 km/s in der Äquatorebene kreist, ist 2vw =1,6-104 ms-1 -7,2·10-5 s-1 = 1,2mls 2 , also nur 0,12g.Tatsächlich ist es die Zentrifugalkraft, die den Satellitenträgt. Die Coriolis-Kraft tritt überhaupt nur auf, wenn mandie Bewegung im Bezugssystem des Erdbodens beschreibt.Dann ändert sich die im Inertialsystem nötige Kreisbahngeschwindigkeitvon vo = y'gR auf VJ,2 = vo ± wR, jenachdem, ob der Satellit ost-westlich oder west-östlich kreist.Die im Erdsystem berechnete Zentrifugalbeschleunigungwäre daher im ersten Fall größer, im zweiten kleiner als g.Für den Unterschied kommt genau die Coriolis-Beschleunigungauf: vi, 2 1R ~ g ± 2wv0 .1.8.9. RaumstationDamit die ganze Besatzung in den Genuß der heimatlichenBeschleunigung g kommt, müssen die Mannschaftsräume alsRing z. B. vom Radius R angelegt werden, der mit der Kreisfrequenzw rotiert, so daß w 2 R = g (z. B. bei R =30m:w = 0,55 s- 1 , T = 11,5 s). Dann ist an Bord alles normal,solange man sich nicht bewegt. Rennt jemand aber z. B.mit v = lOm/s den Ringkorridor entlang, dann schiebt ihndie Coriolis-Kraft mit 2wv, was im Beispiel fast gleich gist, nach oben bzw. unten, je nachdem ob er gegen die Rotationder Station oder mit ihr läuft. Er fühlt sich also entwederdoppelt so schwer oder "geht in die Luft". Die Füße, die sichsogar etwa doppelt so schnell bewegen wie der Mann, werdenbleischwer oder ebenso unangenehm leicht. Für den Beobachteraußerhalb der Station ist dieses Verhalten nicht erstaunlich:Der Mann, der gegen den Drehsinn läuft, stehtja eigentlich fast still, für ihn ist also die Zentrifugalkraftaufgehoben; der andere hat seine Umlaufgeschwindigkeitfast verdoppelt.1.8.10. Berg- und WiesenuferSelbst ein reißender Fluß strömt im Mittel höchstens mitv = 2 m/s, für Flachlandflüsse ist 1 rn/s schon sehr viel.Die Coriolis-Beschleunigung ist dann 2vw < w- 4 mls 2 ~w-5g. Das Wasser eines 1 km breiten Stroms auf der nördlichenHalbkugel kann also tatsächlich am rechten Ufer bis zu1 cm höher stehen als am linken. Sind Bodenwellen vorhanden,so wäre es denkbar, daß sich der Fluß nach rechts an sieheranarbeitet. Bei v = 30rn/s (Eisenbahn) ist 2vw =5 · w- 4 g. Die geringste Abweichung der Gleisverlegungvon der Horizontalen (um 0,1 mm) oder die leiseste Kurve(Kurvenradius ~ 200 km!) hätte einen stärkeren Effekt aufdie Asymmetrie der Abnutzung.1.8.11. Foucault-PendelHängt· das Pendel am Pol, dann kann man einfach sagen:Seine Schwingungsebene bleibt raumfest, die Erde drehtsich mit WE darunter weg, also dreht sich die Schwingungsebenerelativ zum Erdboden mit der Winkelgeschwindigkeitw = -WE- In der Breite rp ± 90° ist es schwieriger, denn diePendelebene kann nicht raumfest bleiben, weil sich die g­Richtung, vom raumfesten System aus gesehen, ständig ändert.Wir überlegen so (Abb. 1.62): Auf der kleinen StreckeLls, d. h. in der Zeit Llt = Llslv, sammelt sich die Quergeschwindigkeitv 1. = a1. Llt = 2vwE sin rp 11slv an. Im Mittelgilt auf der Strecke Lls die Hälfte davon:v 1. = WE sin rp Lls. Sie ergibt in der Zeit Llt die AblenkungLls' = v 1. Llt = WE sin rplls Llt, also den AblenkwinkelLl()( = Lls' I Lls = WE sin rp · Llt, d. h. die Drehgeschwindigkeitder Pendelebene von Ll()(l Llt = WE sin rp. In München(rp = 48°) dauert eine volle Drehung 11 sinrp = 1,35 Tage.1.8.12. Schuß auf der ScheibeIn der Zeit t = r jv erreicht die Kugel den Baum B, falls er aufdemselben Kreis mit dem Radius r = vt um M liegt wie A,aber um den Winkel wt unter der Horizontalen. B liegt beix = vtcoswt, y = vtsinwt. Die gekrümmte Bahn MB istlänger als die Gerade MA, also ist die Kugel für den Scheibenmannschneller geflogen als für den ruhenden, nämlichmit v' mit den Komponenten .X = v cos wt - vtw sin wt,y = v sin wt + vtw cos wt, v' 2 = v 2 + v 2 w 2 t 2 = v 2 + w 2 ?.Der mit der Zeit anwachsende Energiezuwachs

IIIIII1028 Lösungen zu den Aufgaben!m~' 2 - v2) = !mw2 r 2 beruht auf der Zentrifugalkraft;mw r ist die Ableitung des Zentrifugalpotentials ! w2 r 2.Dies ist in Abschn.l.8.4 gegen die Coriolis-Beschleunigungvernachlässigt. Das ist erlaubt, wenn w 2 r « wv, also v' « v,z. B. füreine Pistolenkugel auf einer nur mit einigen U/minrotierenden Scheibe oder auf der Erde (wo als wr nur dieDifferenz der Bahngeschwindigkeiten der Erde zwischenEnd- und Anfangspunkt der Bahn zur Geltung kommt).1.8.13. TrägheitskräfteWir betrachten zwei Bezugssysteme, das Inertialsystem Sund das SystemS', das gegenüberSmit der Winkelgeschwindigkeitw rotiert. Die Drehachse soll durch die Ursprünge vonS und S' gehen, d. h. diese Ursprünge fallen immer zusammen,und bei t = 0 sollen auch die entsprechenden Achsenzusammenfallen. Ein Punkt, der in S den Ortsvektor r hat,hat in S' zur Zeit t = 0 den gleichen Ortsvektor r' = r,aber die in beiden Systemen gemessenen Geschwindigkeitensind verschieden. Wenn man von S aus einen Körperbei r mit v fliegen sieht, ist er in S' bei r' und fliegt mitv' = v + r x w. r x w ist nämlich die Geschwindigkeit, mitder sich ein fester Punkt von S bewegt, wenn man ihnvon S' aus beobachtet. Überhaupt ergibt sich die zeitlicheAbleitung jedes Vektors b in S' so: Man bilde die zeitlicheAbleitung b in bezug auf S und addiere b x w. Wirbezeichnen die zeitliche Ableitung in S mit dem Punkt,die inS' durch d/dt. Dann wird die Beschleunigung inS'dV 1 /dt = iJ +V X OJ = r + r X OJ + r X W + V 1 X OJ= r + 2v' X OJ - (r 1 X OJ) X OJ + r 1 X W .r gibt die durch echte (Nichtträgheits-)Kräfte bewirkte Beschleunigung,2v' x w ist die Coriolis-Beschleunigung,-r' x w x w die Zentrifugalbeschleunigung, r' x w die Beschleunigunginfolge Änderung der Drehgeschwindigkeit.Dieser Ausdruck gibt alle Richtungseigenschaften richtigwieder: - (r' x w) x w zeigt immer nach außen und hatden Betrag w 2 r, wo r der Abstand senkrecht zur Drehachseist; 2v' x w steht immer senkrecht auf v' und w; r' x w stehtsenkrecht auf r' und w, wenn w sich der Größe, aber nicht derRichtung nach ändert; wenn sich w dreht, kommt ebenfallsdie richtige Beschleunigungsrichtung heraus.1.8.14. Kosmische TankstellenAuf jeder Planetenbahn braucht eine Rakete die Geschwindigkeitvpy'2, um aus dem Sonnensystem entweichen zu können(vp: Kreisbahngeschwindigkeit des Planeten). Von derErde aus sind das 42,3 krn/s, vom Jupiter, der 5,2mal weiterdraußen ist, also mit Vp = 13,2 km/s fliegt, braucht man18,7 km/s. Wir betrachten die Begegnung Rakete-Jupiterim Bezugssystem des Jupiter. Die Rakete beschreibt eineKepler-Hyperbel um ihn. Der "Stoß" ist elastisch, Energiewird praktisch auf den schweren Jupiter nicht übertragen.Vor- und nachher herrscht der gleiche Geschwindigkeitsbetragv;. Man richte es so ein, daß die Raketenbahn symmetrischzur Jupiterbahn liegt mit den Asymptoten untereinem Winkel ±tp dazu. Aufs Bezugssystem der Sonne umgerechnet(überall VJ addiert) erhält man vor und nachdem Stoß VJ,2 = vy + v'f ± 2v1v; cos rp, also v~ =v? + 4vJV~ cos tp. Offenbar ist der Gewinn bei tp = 1rmaximal, also wenn die Rakete Jupiter direkt entgegenfliegt(im J-System), bzw. wenn ihre Bahn die Jupiters tangiert undsie langsamer ist als VJ. Dann ist v2 = 2v1 - VJ. Eine Rohmann-Ellipsetangiert und ist am ökonomischsten. Für einenbeliebigen Planeten in r Erdbahnradien Abstand ist nachAuf abe 1.7 .25 die Ankunftsgeschwindigkeit v 1 =2/ (r( 1 + r)) · 30 km/s (r hier Radienverhältnis zur Erdbahn).v2 soll mindestens die Flucht eschwindigkeitvpv'2 = ß · 30krn/s sein. 2/vr- 2/(r(I + r)) ~2/r.Das entspricht r ~ 4,83. Jupiter mit r = 5,2 ist der erstePlanet, bei dem der Effekt für eine Hohmann-Bahn funktioniert.Der Start von der Erde erfolgt tangential zur Bahn, alsoum Mittemacht nach Osten (Erdrotation ausgenutzt). Nachdem Entweichen aus dem Erdfeld müssen noch 8,3 krn/s bleiben.Damit die Jupiterbahn allerdings auch nur auf 105 kmgenau tangiert wird, muß diese Geschwindigkeit auf 1 %o genaueingehalten (oder später korrigiert) werden. Wie nahemuß man an Jupiter vorbeizielen, damit die Ablenkungfast 180° ist? Für eine so schlanke Hyperbel mit e weniggrößer als 1 ist b ::::o p ::::o L 2 /Gm 2 M, L = mbv;, alsob ::::o GM/v;2 ::::o 2,4 · 10 5 km ::::o 3 Jupiter-Radien. Damit erreichtman allerdings keine Umlenkung um 180°, sondernnur um 180-2rp, wo rp::::obja:=::o(e-a)/b. e-a mußmindestens ein Planetenradius sein, also folgt rp = 20°,Umlenkung um 140°. Dabei werden noch 94% des Maximalimpulsesausgenutzt. Man braucht nur 0,2krn/s zurHohmann-Geschwindigkeit zuzugeben.1.8.15. M. Cingh~s ParadoxonDamit, daß die Energie des Geschosses m den BezugssystemenErde und Zug verschieden ist, kann manM. Malin nicht widerlegen. Er zieht den Schuß im Wald janur zum Vergleich heran, sonst argumentiert er konsequentim Bezugssystem Zug. Man darf aber nicht vergessen, daßCingle und TGV beim Abschuß einen Rückstoß erfahren,also verlangsamt werden, wenn auch völlig unmerklich,nämlich um w = mv/M (M: Masse des Zuges). Damitverringert sich die kinetische Energie des Zuges um!Mv2 - !M(v- w) 2 = Mwv = mv2, und dies sind die fehl~enden zwei "Einheiten", die dem Geschoß zugute kommenmüssen.2.2.1. Die folgsame GarnrolleDie Garnrolle kann so liegen, daß sich der Faden von obenoder daß er sich von unten abspult. Im ersten Fall gibt es keinProblem, dann rollt die Garnrolle immer in Richtung desZuges am Faden. Der Faden laufe also von unten ab. Wirbetrachten reines Rollen, kein Gleiten. Man hüte sich vor

..Kapitel 2: LösungenIIII111029allem, die Rollenachse als Drehachse zu betrachten; dadurchwird alles viel schwieriger. Momentane Drehachse ist dieVerbindungslinie der beiden Punkte, wo die Rolle den Bodenberührt. Zieht man unter einem zu steilen Winkel,dann läuft die Verlängerung des Fadens unterhalb dieserDrehachse vorbei, und der Zug am Faden erzeugt ein Drehmoment,das die Rolle nach hinten, weiter unter das Bettdreht. Man muß so flach ziehen, daß diese Verlängerungoberhalb der Drehachse läuft. Bei sehr voller Rolle ohne erhöhtenRand ist der kritische Winkel oft sehr klein. Dannkann man notfalls etwas abwickeln, bis die Rolle gehorsamerwird.2.2.2. Wer dreht den Kerl?Sobald er die Kreiselachse schwenkt, empfindet der Mannein Drehmoment, das sehr groß werden und ihn vomSchemel werfen kann, wenn er diese Schwenkung zu plötzlichmacht und der Kreisel sehr massiv ist und sehr raschrotiert. Das entgegengesetzte Drehmoment wirkt nach demReaktionsprinzip auf den Kreisel selbst. Die entsprechendenKräfte sind dieselben, die den Kreisel senkrecht zu seinerDrehachse und der beabsichtigten Schwenkrichtung ausweichenlassen. Der Mann muß also nicht hochdrücken, sondernkräftemäßig so tun, als wolle er die Achse in einer horizontalenEbene schwenken, wodurch er sich selbst in Drehungversetzt. Der entsprechende Drehmomentvektor steht z. B.im ersten Augenblick, wo die Kreiselachse noch waagerechtliegt, in Richtung der Schemelachse, allgemein immer senkrechtzur Kreiselachse. Daher hat dieses Drehmoment keinenEinfluß auf den Drehimpuls des Kreisels selbst um seineAchse. Die Rotationsenergie, die der Mensch aufnimmt, beziehter aus der Arbeit seiner Muskeln, mit denen er sich vonder Kreiselachse abdrückt.2.2.3. Motor-DrehmomentDreharbeit= Drehmoment· Drehwinkel, also Leistung=Drehmoment· Winkelgeschwindigkeit, ganz analog wiesich bei Translation Leistung als Kraft · Geschwindigkeitergibt. l U/rnin entspricht w = 21ri60 = O,l05s- 1 , alsogibt ein Motor der Leistung P (in W) ein DrehmomentD = Plw = 60PI(2Kf) Nm= 9,5PifNm her. l PS=736Nmls = 736W, also mit P in PS: D = 7026PifNm.Ein 40 PS-Motor zieht bei 3 000 U/min mit 100 Nm, könntealso beim Übersetzungsverhältnis l ein l 000 kg-Auto mit0,4 m Reifenradius nur eine Steigung von 2,5% hochziehen.Selbst der 4. Gang ist also offenbar etwa 3mal untersetzt,der 1. mehr als lümal, wenn er allen Alpenpässen gewachsensein soll. Jede Übersetzung durch Getriebe, Riemenoder einfach durch Radienänderung läßt, bis auf Reibungsverluste,die Leistung unverändert (Energiesatz!), kannaber Drehzahl und Drehmoment in entgegengesetztemSinn ändern.2.2.4. LuftauftriebDie Laborluft (20° C) hat die Dichte 12L = 1,21· 10-3 glcm 3 •Hat das Wägegut die Masse m und die Dichte Qw gl cm 3 , soist sein Gewicht um den Auftrieb mggLfQw, das derMessinggewichte um mg(!LI r!M verringert. Für jedesGramm, das die Waage anzeigt, muß man also 11m =1,21(llr!w- 1lr!M) Milligramm dazuzählen, z.B. beiQw = 1 glcm 3 :11m Im= 0,97 mg/g.2.2.5. SchwungradDie speicherbare Energie ist W = ~Jw 2 , also mit dem Trägheitsmoment1 = ~ MR2 für eine homogene KreisscheibeW = !MR 2 w 2 . Die zulässige Umfangsgeschwindigkeitv = Rw ist nach Aufgabe 3.4.2 durch die Zerreißfestigkeita0 des Materials bestimmt: gv2 :::::: a0 • Die spezifische Speicherfähigkeitergibtsich also als W IM :::::: ! ao I Q und ist somiterstaunlicherweise umgekehrt proportional zur Dichte.Kunststoffe mit der Zerreißfestigkeit von Stahl, wie mansie heute herstellen kann, speichern also mehr als fünfmalbesser als Stahl, nämlich mehr als 10 5 J/kg (ao =10 9 Nlm 2 ). Ein Bleiakku von 12 V, 90 Ah, der ca.1 kWh = 3,6 · 106 J enthält, wiegt 20 kg, speichert also nichtbesser als das Schwungrad. Ein 200 kg-Schwungrad kann4 · 10 7 J speichern, was bei dem nur 20%igen Wirkungsgraddes Ottomotors ca. 51 Benzin (Brennwert 3,7 · 10 7 J/kg)gleichwertig ist, also einen PKW ca. 50 km weit treibenkönnte, bevor an der nächsten Station "aufgetankt" wird.Die einzige Schwierigkeit liegt in der Sicherheit: Wer willein Ding unter der Kühlerhaube haben, das, wenn esplatzt, Masse und Geschwindigkeit einer Granate hat? DieSchwungradachse muß senkrecht stehen, sonst erlebt manÜberraschungen beim Kurvenfahren, d. h. beim Schwenkender Achse.2.3.1. Standfeste DoseWährend der Bierspiegel (Höhe h) von "ganz voll" (h = H)auf "ganz leer" (h = 0) sinkt, fällt gleichzeitig der Schwerpunktder ganzen Dose von h = H 12 auf einen zu bestimmendenMinimal wert, kommt aber für die leere Dose wiederbei H 12 an. Es muß also einen Füllungsgrad geben, wo derSchwerpunkt gerrau im Bierspiegel liegt. Der Verdacht liegtnahe, daß diese Koinzidenz etwas Besonderes bedeutet, vielleichtsogar die gesuchte tiefste Schwerpunktslage. Wir prüfendiese Vermutung und stellen uns dazu vor, das Bier seigefroren, so daß man die Dose auf die Seite legen undden Schwerpunkt durch Balancieren auf einer Messerschneidebestimmen kann, sagen wir, mit dem gefüllten Teil derDose rechts. Betrachten· wir den Zustand, wo der Schwerpunktim Bierspiegel liegt. Fügen wir etwas Biereis hinzu,so wird die Dose links schwerer und kippt nach dort: DerSchwerpunkt ist nach links (d. h. für die stehende Positionnach oben) gerutscht. Nehmen wir etwas Bier weg, sowird sie rechts leichter und kippt ebenfalls nach links: DerSchwerpunkt ist wieder nach oben gewandert. Damit istdie Minimumeigenschaft des betrachteten Zustandes bewiesen.Wenn man so viel weiß, kann man die Höhe des tiefstenSchwerpunkts sofort angeben, sobald man das Massenverhältnisvon voller und leerer Dose hat. Zum Beispiel:mv = 400 g, mr = 100 g. Der Schwerpunkt der leeren Doseliegt bei H 12, der des Bierrestes bei hl2; diese Restfüllung

1030 : Lösungen zu den Aufgabenhat die Masse 1nr = (mv - m,)hiH, der Schwerpunkt der Gesamtdoseliegt bei1]--1 m,(H 2 - h 2 ) + mvh 2- 2 m1 (H- h) + mvh 'was gleich h sein muß (Schwerpunkt im Bierspiegel). Fürunser Zahlenbeispiel: Füllungsgrad '1 I H = 113. Die analytischeLösung ist wirklich viel primitiver: Man stellt dieSchwerpunktshöhe '1 allgemein als Funktion des Bierniveaush dar (s.o.). Nullsetzen der Ableitung nach h ergibtdasselbe wie die Nichtanalytiker-Lösung, die den Vorzug hat,daß ihre Schlußfolgerung (Schwerpunktsminimum im Bierspiegel)z. B. auch für Flaschen gilt.2.3.2. KettenlinieFaden, Seil oder Kette können Kräfte nur in ihrer eigenenRichtung übertragen: Die Kraftrichtung ist Tangentenrichtungan die gesuchte Kurve, die Kettenlinie. Die HorizontalkomponenteF= ist gleich dem horizontalen Zug am Aufhängepunktund ist überall iin Faden gleich groß. Die Vertikalkomponenteändert sich, wenn man in Fadenrichtungum ds nach oben fortschreitet, um das Gewicht dieses Fadenstücks:dF11 lds = g(! ((!: Fadenmasse/Längeneinheit). DieSteigung der Kettenlinie, dy I dx = F11 I F =• ändert sich alsogemäß dy' IJ = gQ/F=. Wegen ds = dxjl + y' 2 folgtdaraus dy' I 1 + y12 = gQ dx I F =, oder nach Integrationarsinhy' = g(!xl F= (x = 0 soll am tiefsten Punkt des Fadenssein, wo y' = 0 ist). Also y' = sinh(xla) mit a = F=lg, undy = acosh(xla). Die Kettenlinie ist eine cosinus hyperbolicus-Kurve.Genauere Analyse liefert einige bemerkenswerteEigenschaften der Kettenlinie oder Catenoide: Sie ist dieEvolute der Traktrix oder Schleppkurve (Aufgabe 1.2.5),d. h. sämtliche Krümmungsmittelpunkte der Traktrix bildendie Kettenlinie. Bei der Rotation um die x-Achse bildet dieKettenlinie eine Fläche, ein Catenoid, dessen mittlere KrümmungR] 1 + Ki 1 überall gleich ist (Aufgabe 3.2.10), ähnlichwie die durch Rotation der Traktrix entstehende Fläche, diePseudosphäre, ein überall gleiches Gaußsches KrümmungsmaßR] 1 • R2 1 hat.2.3.3. HirtenunterschlupfDer Witz ist, daß man von oben anfängt beim Denken, wennman es beim Bauen schon nicht kann. Der oberste Ziegelkann offenbar fast um seine halbe Länge den darunterliegendenüberragen. Der Schwerpunkt dieser beiden liegtdann auf i ihrer Länge, und um soviel darf der zweite Ziegelüber den dritten überragen. Die drei zusammen haben ihrenSchwerpunk~. auf i der Länge des dritten, und dies ist dessenmaximaler Uberstand. Allgemein: Die n obersten Ziegelhaben ihren Schwerpunkt nach Bauvorschrift am Ende desn + 1-ten, dieser hat seinen Schwerpunkt natürlich auf derHälfte seiner Länge, also liegt der Schwerpunkt der n + 1Ziegel auf nl2 der Länge des n + 1-ten. NZiegel erlaubeneinen Gesamt-Überhang von ~ 'E,~;} 1 ln Ziegellängen.Diese "harmonische Reihe" ist divergent, wenn auch nursehr langsam, d. h. man kann mit hinreichend vielen Ziegelnjeden noch so großen Überhang erreichen! Für eine Ziegellängemuß man 5, für zwei Längen 32, drei Längen 228, vierLängen 1675 Ziegel hochstapeln. Nicht sehr bequem zu bauen,wenn alle auf der Kippe liegen. Trotzdem sind die provenc;alischen"B6ris" so gebaut (flache Platten). Der Schlußstein,der das Ganze schließlich gegen Störungen stabilisiert,klemmt nicht.2.3.4. Rutschen oder rollen?Wenn der Zylinder, Masse M, Radius R, mit der GeschwindigkeitVgJ gleitet, hat er die kinetische Energie Wgi = ~ Mv~ 1 •Wenn er mit der Geschwindigkeit v, rollt, ohne zu rutschen,muß er mit der Winkelgeschwindigkeit w = v, IR rotieren,hat also zusätzlich eine Rotationsenergie ~ J w2• Sein TrägheitsmomentJ ist (wie das der Kreisscheibe, (2.6))J = !MR 2 , also Wrot = !Mv;, und die Gesamtenergiebeim Rollen W, = iMv;. Beim Heruntergleiten bzw. -rollensteht die gleiche potentielle Energie zur Verfügung (ohneReibungseinfluß, der allerdings beim Gleiten größer ist);also ist die Rollgeschwindigkeit in jeder Höhe kleinerals die Gleitgeschwindigkeit Wgi = W, =? VgJ = vT,Sv, =1,22v,.2.3.5. HohlkugelMan läßt die beiden Kugeln eine schiefe Ebene hinunterrollen.Die hohle hat ein größeres Trägheitsmoment, mußeinen größeren Anteil der potentiellen Energie in Rotationsenergieinvestieren und rollt daher langsamer.2.3.6. Schwingende TürDer Schwerpunkt der Tür (Masse M, Trägheitsmoment J)sei um b von der Drehachse entfernt. Dann hängt derSchwerpunkt in seiner tiefsten Lage um b sin rx tiefer als inseiner "Normallage", in der die Tür dagegen um 90° geschwenktist. Während dieser 90°-Auslenkung übt also dieSchwere im Mittel ein Drehmoment D = Wpot/Crrl2) =gMb sin rx/Crrl2) aus, die Winkelrichtgröße ergibt sich zuk = Dl(rrl2) .=__i4lrr 2 dgMbsinrx, die Schwingungsdauerzu T = 2rr-/llk = 1r Jil(gMbsinrx). Ist die Tür symmetrischgebaut zu einer normalerweise senkrechten Achsedurch den Schwerpunkt, so ist das Trägheitsmoment umdiese Achse J' < Mb 2 , also um die Achse, die durch die Angelngeht, nach dem Steinersehen Satz Mb 2 < J < 2Mb 2 .Also ergibt sich 14)bl(2gsinrx) < T < 14)bl(gsinrx).Die genauere Rechnung nach der sphärischen Trigonometrieliefert für kleine Auslenkungen (das Kraftgesetz ist nicht exaktquasielastisch) T = 2rrJll(2gMbsinrx), also etwa halbso viel. Die Ableitung ergibt sich aus Abb. L.4: Stünden dieAngeln senkrecht, dann würde sich der Schwerpunkt längsder horizontalen Bahn BAA' schwenken. In Wirklichkeitläuft er auf einem dagegen um rx geneigten Kreis BCC'.Es sei C' die tiefste Schwerpunktlage. Beim Ausschwenkenum rp aus dieser Lage liegt der Schwerpunkt bei C, d. h. umh = b sin IJ tiefer als bei senkrechten Angeln, wo er bei Aläge. '1 ergibt sich aus dem Sinussatz im KugeldreieckABC: siniJ = sinrxsin(90°- f!J) = sinrxcosqJ. Es ist alsoh = b sin rx cos qJ, d. h. das Kraftgesetz ist genau im gleichen

Kapitel 2: Lösungen 1031Grade quasielastisch wie beim FadenpendeL b sin a spielt dieRolle der Pendellänge. Beim Fadenpendel ist h = l cos rp,J = MP, es folgt hier wie dort T = 21r.j J I (Mg!).Abb. L. 4. Weg des Schwerpunktes einer Tür mit senkrechtenAngeln (BAA') und mit schrägen Angeln (BCC')2.3.7. Auswuchten von RädernStatische Unwucht äußert sich darin, daß die Achse nichtdurch den Radschwerpunkt geht, dynamische darin, daßdie Achse nicht mit einer Hauptträgheitsachse zusammenfällt.Dynamische Unwucht kann auch vorliegen, wenn diestatische ausgeglichen ist. Sie macht sich erst beim Rotierendurch Ansätze zu Nutationsbewegungen um die Hauptträgheitsachsebemerkbar. Ein Dutzend Steine von etwaI cm Durchmesser haben zusammen 10 bis 20 g. Beiv = 160 kmlh = 45 mls - dies ist auch die Bahngeschwindigkeitdes Reifenumfangs - zerrt eine Zentrifugalkraftvon mv 2 Ir ~ 100 N periodisch seitlich an der Achse. FalscherRadsturz führt zu erhöhter Abnutzung innen oder außenauf der Lauffläche. Da der Materialverlust normalerweisegleichmäßig über den Umfang verteilt ist, sollte er dieAuswuchtung nicht beeinträchtigen. Hat man Ausgleichsgewichtevon verschiedener Größe, die man in festem Abstand(am Felgenrand) festklemmt, so reicht für das statische Auswuchtenschon eines aus. Für das dynamische Auswuchtenbraucht man u.U. ein weiteres.2.3.8. SprungbrettWenn das Sprungbrett mit der Amplitude a und der PeriodeT, also der Kreisfrequenz w = 21r I T schwingt, hat sein Endpunktdie Maximalgeschwindigkeit v = aw (1,2m/s). Läßtder Springer bei der Vorwärtsneigung ao seinen Füßen dieseGeschwindigkeit erteilen, so nimmt sein Körper eine Drehgeschwindigkeitä = v sin aol H ( ~ 0,6 s- 1 ) an, dazu eineAufwärtskomponente der Translation von Va = v cos !Y.Q.Sein Drehimpuls ist, wenn er sofort abspringt,L = Jv sin aol H. Mit dieser Winkelgeschwindigkeit ä vollführter einen vollen Salto (a = 21r) in t = 27rHI(vsinao)( ~ 10 s), wenn er ausgestreckt bleibt. Durch Zusammenrollendes Körpers kann er sein J fast auf 1/1 0 verringern, also äfast verzehnfachen und den Salto auf etwas mehr als 1 s, d. h.die Fallzeit für 5 m, zusammendrängen.2.3.9. Kippende MauerStehende Mauer der Höhe H: Auf ein Stück dx der Mauerwirkt senkrecht zur Mauer die Kraft dF = QAg sin a dx (A:Querschnittsfläche der Mauer, Q: Dichte des Materials).Auf einen Querschnitt im Abstand h vom Boden wirkt dasKnickmoment D(h) = J: (x-h) dF(x) =!QAg sina(H-h) 2 .Dieses Moment ist maximal, nämlich Dmax =! QAgH 2 sin a = ! MgH sin a am Fuß der Mauer. Dort brichtsie, wenn Dmax größer ist als das Zusammenhaltmoment Dz,das der Mörtel ausübt. Mit einer Zerreißspannung u folgtDz = !ubd 2 (b: Breite, d: Dicke der Mauer); oder mit derZerreißgewichtslänge l, definiert durch u = gQl, bricht dieMauer bei sin a 2; ld I H 2 .Kippende Mauer der Höhe H: Die unteren Ziegel würden,wenn die Mauer nicht zusammenhielte, früher auf demBoden aufschlagen. Wenn die als Ganzes kippende Mauerallen Ziegeln die gleiche Fallzeit aufnötigt, entstehen Spannungen,die zum Knicken mit dem Bauch voran führen.Aus der Bewegungsgleichung Jii = D mit J = !MH 2 ,D = !MgHsina folgt ii = ~gH- 1 sina für das ungebrocheneKippen. Ein Mauerteil in der Höhe x wird dabei mitxii = ~gxH- 1 sina beschleunigt. Die Fallbeschleunigungsenkrecht zur Mauer ist im Bezugssystem der Erde g sin a,also die Beschleunigung. im Bezugssystem der kippendenMauer gsina(l - ~xiH). Auf einen Querschnitt in derHöhe h wirkt jetzt seitens der darüberliegenden Mauerteiledas KnickmomentD(h) = 1H (x - h)QAg sin a(l- ~xiH) dx= - !Mgsinah(l-hi H ) 2 •Dieses Moment ist maximal, nämlich Dmax =- f-t MgH sin a, für h = t H. Dort wird die Mauer brechen,und zwar bei einer Neigung mit sina = I}ldiH 2 . Vondiesem Bruch an können die oberen ~ frei fallen, währendim unteren Drittel u.U. weitere Brüche eintreten können.2.3.10. FlugzeuglandungZunächst rutschen die Räder über die Piste. Die ReibungfJ,Mg und ihr Moment T = JJ.Mgr versetzen sie allmählichin Drehung (M: Flugzeugmasse, r Reifenradius, MomentT für alle Räder zusammen). Winkelbeschleunigungw = TIJ = JJ.Mgl (mr) (m: Masse aller Räder). Wenn dieRäder nicht mehr gleiten, sondern "fassen", ist wr = v(v Landegeschwindigkeit). Dies erreichen sie nach derZeit t = vl (wr) = vmi(JJ.Mg). In dieser Zeit rutscht dasFlugzeug die Strecke x = vt = mv 2 I (JJ.Mg). Die Reibungverrichtet auf dieser Strecke die Arbeit W = Fx = mv2. Genaudie Hälfte steckt in der Rotationsenergie der Räder, dieandere Hälfte muß in Wärme übergehen. Geringes v verringertW, große Reifen- und Felgenfläche verbessern die Wärmeabgabe.2.4.1. Radi-GleichgewichtGegen ein kippendes Drehmoment D, das z. B. von einerSchrägstellung um den Winkel a herrührt, D = mgh sin a,schützt sich der Radler, indem er eine Kurve vom KrümmungsradiusR beschreibt, deren Zentrifugalkraft ein entsprechendesMoment ausübt: Dz = mifhcosai R = D ,also R = v 2 I (g tan a). Das gelingt mit einer um so flacherenKurve, je größer v ist, z. B. bei v = 36 kml h = 10 m/s und

1032 : Lösungen zu den Aufgabenrx = 30° mit R = 17 m. Bei v = 3,6 kmlh kippt man ausdieser Schrägstellung unweigerlich um, denn R = 0,17 mkann man nicht fahren. Will der Radler von sich aus indie Kurve gehen, kann er das nicht mit rx = 0° tun, sonstwürde ihn das Zentrifugalmoment umkippen. Um sichschrägzulegen, macht er meist einen kleinen "Schlenker",d. h. eine Schwenkung der Lenkstange in entgegengesetzterRichtung (betrachten Sie Ihre Radspur im Sand!).2.4.2. NutationWir behandeln den weitaus wichtigsten Fall des symmetrischenKreisels: Figurenachse ist Hauptträgheitsachse,ebenso ist das jede dazu senkrechte Achse. Die entsprechendenTrägheitsmomente sind J11 und 1 1_, wobei 111 i= 1 1_ (sonsthätten wir den "Kugelkreisel", der nicht nutiert). Die momentaneRotation sei durch w gegeben; ihre Achse stehe unterdem Winkel ((J zur Figurenachse. Wir benutzen ein "raumfestes"Bezugssystem R, das an einer evtl. Translation desKreisels teilnimmt, aber nicht an seiner Rotation, und ein"kreiselfestes" System K, definiert durch die Hauptträgheitsachsen.Beider Ursprung 0 liege im Schnittpunkt derHauptachsen, und momentan sollen auch die Achsenrichtungenzusammenfallen. Die Komponentenzerlegung von w istw = ( wli, W1_, 0). Wenn der Kreisel keiner äußeren Kraft ausgesetztist, bleibt sein Drehimpuls L im raumfesten Systemkonstant. Er hat die Komponenten L = (L 11 , L1_, 0) =(J11w11, fl_w1_, 0) und bildet den Winkel lj; zur Figurenachse.Da J11 i= h, schließen w und L einen Winkelrx = ((J - lj; ein. Ein raumfester Punkt im Abstand a vonder Drehachse läuft, von K aus gesehen, mit der Winkelgeschwindigkeitw, also der Bahngeschwindigkeit v = wa umdiese Achse. Der Endpunkt des an 0 angetragenen raumfestenVektors L z. B.läuft mit i = wL sin rx um die Drehachse, odereinfacher und vollständiger mit i = w x L. Hierin stecktspeziell i ..l L. L muß also auch um die Figurenachse umlaufen.Der entsprechende Weg ist 21rL sin 1j; und wird inder Zeit T = 21r sin lj; I ( w sin rx) zurückgelegt. Von R aus gesehennutiert umgekehrt die Figurenachse um L mit der gleichenPeriode. Wir brauchen noch rx. Es ergibt sich aus seinemTangens:tanrx = (tan((J- tanlf;)l(l + tan1p · tanlj;)Wj_(JII-h)w11(1 11 +hwi/wiT).Bei kleinen Winkeln 1fJ und rx ist tan ~ sin ~ Winkel,w _i « wll, L ~ w11J11, also die Nutationsperrode .. T ~27rhl(w(JII- h)). Für die Erde mit Polradius a, Aquatorradiusb ist 1 11 "' b 2 , 1 1_ "' ab, also T =b(a- b)- 1 21rlw = 300 Tage (21r1w = l Tag). Mit dieser"Euler-Periode" würde eine starre Erde auf Massenverlagerungin und auf ihr, d. h. auf Verschiebungen zwischenFiguren- und Drehachse reagieren. Da sie nicht starr ist,ergibt sich tatsächlich die "Chandler-Periode" von 420 Tagen.Jahreszeitliche atmosphärische Massenverlagerungenscheinen den Hauptanlaß zur Nutationsamplitude zu geben,die einige Meter beträgt.2.4.3. PolschwankungKugel: Jeder Durchmesser ist Hauptträgheitsachse mitdem gleichen Trägheitsmoment. Kreisscheibe und Kreiszylinder:Die Symmetrieachse ist Hauptträgheitsachse mitmaximalem oder minimalem 1, je nach Länge des Zylinders;jede Achse senkrecht dazu durch die Mittelebene istebenfalls Hauptachse. Hantel: Die Verbindungslinie der beidenKugelmitten hat minimales, jede Achse senkrecht dazudurch die Griffmitte gleiches maximales Trägheitsmoment.Erde-Mond: Die Verbindungslinie der Mitten hat minimalesJ. Jede Achse senkrecht dazu durch den Schwerpunkt, dernoch innerhalb des Erdkörpers liegt, hat maximales J.Alle genannten Achsen können als stabile freie Drehachsendienen, denn sie haben extremales Trägheitsmoment. Präzessionder Erdachse: s. Aufgabe 2.4.6; Nutation: 2.4.2. Ein kurzerStoß hat nicht die Zeit, die Kreiselachse wesentlich zuschwenken, ändert aber natürlich den Drehimpuls und löstdamit i. allg. Nutationen aus. Planetoid Eros mit ca. 30 kmDurchmesser, also m ~ 1016 kg und v ~ 20 km/s, wenn erz. B. streifend in der Polargegend aufschlüge, erteilte derErde ein Zusatz-Drehmoment L 1 = mvR ~ 10 27 m 2 kglssenkrecht zum normalen L = 3 · 10 34 m 2 kgls. Das Gesamtmomentweicht daher nur um den Winkel L' I L ~ 1 o-7 vonder Figurenachse ab, also an der Erdoberfläche nur um etwa1m, weniger als bei der üblichen Polschwankung. Die Folgendes Aufpralls würden also in der normalen Chandler-Nutationuntergehen. Die Katastrophe würde sich auf die Erdoberflächebeschränken, wo sie allerdings ziemlich totalwäre.2.4.4. Paradoxer KreiselMan nehme das Rad eines Fahrrades mit den Enden seinerungefähr horizontal gestellten Achse in beide Hände, setzees in kräftige Rotation und lasse mit einer Hand los. Die Achsekippt nach unten, es sei denn, daß man schon kurz vor demLoslassen der erwarteten Präzessionsbewegung folgt, wasman fast automatisch tut, da man sofort spürt, wohin dieAchse will. In jede andere Richtung ist sie außerordentlichschwer zu schwenken. Rotiert das Rad sehr langsam, dannist diese Präzession sehr schnell, man kann ihr kaum folgen,und die Achse kippt ab. Folgt man ihr aber exakt,dann bleibt der Winkel der Achse zum Lot sehr lange erhalten,bis die Reibung die Rotation selbst aufgezehrt hat. Indiesem Versuch müssen zwei Einflüsse der Hand gut unterschiedenwerden: (1) Sie folgt der Präzession der Achse; tätesie das nicht, würde die Achse abkippen. (2) Sie prägt derAchse gleich zu Anfang ihre stationäre Präzessionsbewegungauf; täte sie das nicht, brauchte diese eine gewisseZeit, um sich aufzubauen, und zwar um so länger, je langsamerdie Rotation, also je schneller die Präzession ist. Sei J'das Trägheitsmoment des Rades um eine senkrechte Achse,die durch die haltenden Finger läuft (I' ~ ma2, m Masse desRades, a halbe Achslänge), 1 das Trägheitsmoment um dieRadachse selbst (1 ~ mr 2 , r Radius des Rades), w die Rotations-Kreisfrequenz,D ~ gma das Drehmoment, mitdem die Schwerkraft die Achse zu kippen sucht. Dann istdie stationäre Präzessionsfrequenz w' = D I ( J w), und die

Kapitel 2: Lösungen 1033Präzession repräsentiert den Drehimpuls L = o/ 1 1 =J'Dj(Jw). Nehmen wir an, wir lagern ein Ende der Achseso, daß diese der Präzession frei folgen kann, aber daß derAufbau der Präzession nicht begünstigt wird, wie das dieHand fast unbewußt tut. Dann braucht das Drehmoment Deine Zeit t = L/D = J' j(Jw), um die stationäre Präzessionaufzubauen. Wir vergleichen diese Zeit mit der Dauer desKippens, die von der Größenordnung T = foTi ist (vgl.Abschn. 2.3.4). Wenn T ::;» t, ist das Abkippen während derBeschleunigungsphase fast unmerklich; wenn T « t, stehtdie Achse schon praktisch senkrecht, bevor sich die Präzessionaufbauen kann. Der Übergang zwischen den beidenscheinbar qualitativ verschiedenen Verhaltensweisen liegtbei T ~ t, d. h. w ~ WK ~ J' /1 · $a, für das RadWK ~ a 2 / r 2 · $a. Bei einem Rad ist J' « J und daherWK ziemlich klein. Ein Spielkreisel hat J'

1034 : Lösungen zu den AufgabenWE: Winkelgeschwindigkeit der Erde). Bei wR = 100 rnlsfolgt wRwE >::; 10~ 2 m s~ 2 . Gegen ein evtl. Kippmomentder Schwerkraft bei nichtzentraler Lagerung könnte diesesMoment nichts ausrichten, aber bei sorgfältiger Lagerungüberwindet es leicht die Reibung. ~ In einer Kurve vomRadius r kompensieren einander die Momente der Zentrifugalkraftauf den Kreisel. Es bleibt die zusätzliche Coriolis­Kraft infolge der Rotation um eine Achse, die durch denKrümmungsmittelpunkt der Kurve und (bei horizontalerBahn) den Erdmittelpunkt geht. w = v Ir ist i. allg. vielgrößer als WE; damit der Kompaß nicht in Richtung dieserRotationsachse mißweist, macht man sein Trägheitsmomentso groß, daß er solchen meist relativ kurzzeitigen Momentennicht erheblich nachgibt. Bei der Fahrt auf einemGroßkreis ergibt sich eine Mißweisungskomponente in Richtungder Achse dieses Großkreises. Bei Schiffsgeschwindigkeitenist dieser Einfluß gering. Für ein Flugzeug, das mit460 rnls ostwestlich längs des Äquators fliegt, ist keine Rotationvorhanden, denn es steht immer am gleichen Punkt desraumfesten Bezugssystems. Sein Kreiselkompaß ist im indifferentenGleichgewicht. Bei westöstlichem Flug verdoppeltsich die Richtkraft ohne Richtungsänderung, der Kompaßspricht stärker ohne Mißweisung an. Bei nichtäquatorialemFlug sind Korrekturen anzubringen. Fester Kurs, d. h. festerWinkel zum Meridian, bedeutet Abweichung vom Großkreis(Loxodrome). Hier überlagert sich die Mißweisung der Großkreisfahrtmit dem kleineren Effekt der "Kurve", d. h. derAbweichung vom Großkreis.2.4.9. GeschoßdrallOhne diese Kreiselwirkung der Drallstabilisierung würdedie Geschoßachse unter dem heftigen Luftwiderstand wildzu schwanken beginnen. Wenn das Geschoß sich durchden Lauf schrauben muß, dreht es sich beim Vorwärtsschiebenum dx um einen Winkel d1p, so daß rd~p =d.xtan cx. Entsprechend ist seine Winkelgeschwindigkeitw = vtancxlr. Die Gesamtenergie (Translation+ Rotation)ist ~mv 2 + ~Jw 2 . Der Zylinder hat J = Ql J27rr 3 dr =~1rlr'1-=~mr, also folgt f.1= m(l+~tan 2 cx). Fürvo = 1500ms~ 1 (entsprechend einem Brennwert von6 000 J/g mit mpuJver >::; mGeschoß und über 50% Energieverlust)folgt bei 2r = 76 mm eine Rotationsfrequenz von2300Hz. Das 5 kg-Geschoß mit J = 4 · 10~ 3 kg m2 hatden Drehimpuls L = 60 J s. Der Luftwiderstand übt auf dasum ß gegen die Bahn geneigte Geschoß (das ja seine Ein-stellung beibehalten möchte) ein Drehmoment von etwasin ßDQL v2lrl >::; 100 sin ß aus. Das führt zu einer Präzessionmit wp = D I (L sin ß) >::; 1 s~ 1: Präzessionsperiode einigeSekunden. Diese Periode ist nicht klein gegen die Gesamtflugzeit,manchmal sogar größer. Die Geschoßachse zeigtalso überwiegend auf die Seite der Bahnebene, wohin siezuerst ausweicht. Bei Rechtsdrall ist das die rechte. Derschräge "Fahrtwind" schiebt daher das Geschoß nach rechts(viel mehr als die Coriolis-Kraft).2.4.10. SonnensystemIn einer Kugel gleichförmiger Dichte ist OJ unabhängig von r.Das folgt aus der Parabelform des Potentials (Abb. 1.50,genauer begründet Abschn. 6.1.4 und Aufgabe 6.1.6).Nimmt die Dichte nach außen ab, tut es auch w. In derSpiralgalaxie mit massivem Kern gelten angenähert die Kepler-Gesetze,speziell das dritte: w 2 r = GM I r 2 , alsow = y' GM I r 3. Wenn ein Bereich vom ursprünglichenRadius Ro sich verdichtet, rotiert er in seinem eigenenBezugssystem, das mit w ums Zentrum der Galaxie läuft,mit w' = Ro dOJ I dr und hat einen Drehimpuls L >::;MRÖw' >::; MRÖ dwldr ~ M 2 Q0 1 dwldr, den er auch behält.Für eine Spiralgalaxie schätzen wir dw I dr ~10~ 35 m-1 s-1 (aus M ~ 1040 kg, r ~ 1020 m). Wenn dieVerdichtung durch Anlaufen. der Kernfusion zum Stern gewordenist, hat sie den Radius R,. Das Verhältnis von Zentrifugalkraftzu Gravitation ist dann wy Rj/ (GM) ~(dwldr) 2 MI(R1QÖG). Einsetzen der Zahlenwerte liefertfür die Sonne ein Verhältnis um 10. Tatsächlich hat dieSonne ja auch den größten Teil ihres Drehimpulses insPlanetensystem gesteckt ~ wie, das ist noch nicht ganz geklärt.Der Schweredruck im Sterninnern ist p ~ M 2 1 R 4(Aufgabe 5 .2.6), die Dichte Q ~ MI R3 , also die TemperaturT ~ p I(! ~ MIR. Danach sollte, wenn T im Zentrum allerSterne gleich ist, auch MIR und damit das VerhältnisZentrifugalkraft/Gravitation gleich sein. In Wirklichkeit istR ~ W' 6 , und daher sinkt bei sehr schweren Sternen,die auch sehr hell und heiß sind (oben links in der Hauptreihedes Hertzsprung-Russel-Diagramms), dies Verhältnisunter 1. Sie konnten sich ohne Abspaltung eines Planetensystemsbilden, rotieren dafür aber, wie der Doppler-Effektin ihren Spektren zeigt, auch sehr viel schneller als dieSonne. Jedenfalls läßt sich auf dieser Basis ein ziemlichkonsistentes Bild von der Entstehung des Sonnensystemszeichnen, wenn es auch nicht das einzig mögliche ist.3.1.1. Seemannsgarn?Die Kompressibilität des Wassers ist 5 · 10~ 6 cm 2 1N =5 · 10~ 5 bar- 1 . In lOkm Tiefe herrschen 1 OOObar. Das Wasserist dort also um 5 % dichter. Die mittlere Dichte der Materialieneines Schiffes müßte genau zwischen 1,02 (Seewasseran der Oberfläche) und 1,07 g/cm3 liegen, damit esschweben bliebe. Gewöhnlich bleibt Luft im Wrack. Siekomprimiert sich viel stärker, also nimmt die Sinktendenzmit zunehmender Tiefe zu.3.1.2. AufstiegBeim Aufstieg aus 10 km Tiefe dehnt sich das Wasser aus.Die dazu nötige Energie wird seinem Wärmevorrat entzogenund kann ihm bei schnellem (adiabatischem) Aufstieg nicht

Kapitel 3: Lösungen 1035durch Wärmeleitung zurückerstattet werden. Die Expansionsenergieist ! VK(pT - p~) = 25 bar· V, oder pro Liter2,5 · 10 3 J. Das Wasser kühlt sich um 0,6 K ab.3.1.3. Schwingende SäuleSteht die Flüssigkeit in einem Schenkel um 2h höher als imanderen, d. h. um h höher als im Gleichgewicht, dann übt sieeine Kraft F = - 2ggAh aus. Die ganze Flüssigkeitssäule derMasse m = gLA wird dadurch mit h = F /m = -2gh/L beschleunigt.Da die Kraft proportional zur Auslenkung ist,schwingt die Säule harmonisch um die Gleichgewichtslage,und zwar mit der Kreisfrequenz w = J2iTi und derPeriode T = 2rr~, ebenso wie ein Pendel mit der FadenlängeL/2.3.1.4. WasserverdrängungWenn das Schiff schwimmt, verdrängt es so viel Liter Wasser,wie seiner Masse (in kg) entspricht. Wenn es gesunken ist,verdrängt es so viel, wie seinem Volumen (in 1) entspricht.Die Masse (in kg) ist größer als das Volumen (in !), selbstwenn das Wrack noch z. B. Luft enthält, denn sonst würdees nicht sinken. Also ist die Wasserverdrängung im gesunkenenZustand geringer, d. h. der Wasserspiegel muß fallen,während das Schiff sinkt.3.1.5. TiefgangWasserdichte und damit Auftrieb sind verschieden. Dichtenin kg/m 3 : Flußwasser 999,7 (10 °C), 995,7 (30 °C); Atlantik(34 g/1 Salz) 1 033, 1 030, 1 027, 1 024 bei 0, 10, 20, 30 °C;Mittelmeer (38 g!l, 20 °C) 1 030, Schwarzes Meer (16 gll)1012, Asowsches Meer (3 g/1) 1003. Bei 12m Tiefgangsind die 4 Meermarken etwa 3 cm auseinander, T und Fetwa 18 cm. Cuxhaven: 19 t zu, Gibraltar knapp 3 t zu, Istanbul14 t ab, Kertsch 9 t ab.3.1.6. BallspielIn jeder Zeitspanne T soll der Ball auf die gleiche Höhe steigen,also T /2 steigen, T /2 fallen, wobei er gT /2 Steiggeschwindigkeitverbraucht bzw. Fallgeschwindigkeit ansammelt.Der Spieler muß die Geschwindigkeit bei jedem Auftreffenum 2gT /2 = gT ändern, also den Impuls mgT erteilen.In der Sekunde (1/T-maliges Auftreffen) wird der Impuls mgübertragen. Für sehr kleines T ruht der Ball praktisch auf derHand des Spielers, die Impulsübertragung pro Sekunde mgerweist sich als praktisch konstante Kraft, nämlich als dasGleichgewicht des Balles. Maximale Steighöhe h = gT2 /8,bei T = ~ s ist h = 5 cm.3.1.7. GasdruckDer Kolben der Fläche A werde durch die Kraft F in das Gashineingedrückt. Damit er trotzdem "in gleicher mittlererHöhe schwebt" (vgl. Aufgabe 3.1.6), muß er durchschnittlichalle T Sekunden einen Stoß mit dem Impuls I erhalten,so daß I I T = F. I ist gleich der Impulsänderung desauf- und rückprallenden Moleküls, bei senkrechtem AufprallI = 2mv. Die mittlere Stoßfrequenz ergibt sich(Abschn. 5.2.1) zu 1/T = Anv/6, woraus folgt F =~Anv2mv oder p = F / A = nmv 2 /3. In der Zeit t erfolgendurchschnittlich z = t I T Stöße. Die wirkliche Anzahl weichthiervon nach Poisson um etwa ßz = JtTC ab. Die relativeSchwankung ist ßzl z = Vr/i. Das ist auch die Größe derrelativen Druckschwankungen ßp I p innerhalb dieser Zeit t(vgl. Aufgabe 3.1.6). Für längere Zeiten sind sie völlig zuvernachlässigen. Selbst ein kleiner Kolben (1 cm2) zittertnur um h >=::! 10-45 cm ( T >=::! 10-23 S).3.1.8. Magdeburger HalbkugelnDie Trennkraft ist kleiner als 4rrr 2 p = 40 000 N, denn nur dieKraftkomponente normal zur Trennfläche zählt. Sie wirddurch den Querschnitt rrr 2 gemessen: F = rrr 2 p =10 000 N. Acht Pferde (die anderen acht dienen nur alsWiderlager) brauchen sich nicht sehr anzustrengen.3.1.9. ReifendruckAn Stellen, wo die Reifenwand die normale, gewölbte Formhat, nimmt er den Innendruck nach dem Prinzip der Seifenblase(3.13) auf (wir betrachten den Reifen hier als Membranohne innere Steifigkeit, die nur Tangentialkräfte übertragenkann). Die plattgedrückte Reifenfläche kann keine solchenKräfte nach innen ausüben und drückt daher genau mitdem Gasdruck auf die Straße. Ein auf 2 bar aufgepumpterReifen, belastet mit ! des PKW-Gewichts, also etwa2 500 N, bildet also eine Auflagefläche von 250 cm2, alsowie eine Männer-Schuhsohle. Wenn der Peripheriewinkeldes plattgedrückten Reifenstücks 21X beträgt, wird diesesStück maximal um R(l - cos IX) >=::J !RIX2 nach innen gedrückt.Dies darf höchstens b/2, die halbe Reifenbreite betragen,also IX >=::! ylbfR >=::! 0,3. Die Auflagefläche ist dannetwa 2bR sin IX >=::J 2bRIX >=::J 2b 3 1 2 R1 1 2 . Bei einer Belastungmit F >=::! 500N muß p >=::J F/(2R 1 1 2 b 3 1 2 ) >=::J 1 bar sein. DasReifenvolumen !rrb22rrR ist 2,51. Bei p = 2 bar muß manalso 5 I Luft oder 6,5 g hineinpumpen. Die isotherme AufpumparbeitistPl V1ln(VJ/V2) >=::J 350 J, etwa die Steigarbeitfür zwei Stockwerke. Werschnell pumpt, pumpt adiabatischund muß mehr Arbeit verrichten, weil die erhitzte Luft einengrößeren Gegendruck ausübt. Wir wollen ja nach dem Abkühlen2 bar im Reifen haben. Das ArbeitsintegralW = f p dV = f Pl V1 v-y dV ist um den Faktor(zy-l- 1)I(Y -l)ln2 = 1,15, also um 53J größer alsbeim Langsampumper. Diese Zusatzenergie erhitzt dieLuft. Die 6,5 g Luft haben eine Wärmekapazität von etwa6 J/K, erwärmen sich also um annähernd 10 K. In der Pumpeund im Ventil ist die Erhitzung natürlich bedeutend stärker,weil der Widerstand des Spalts unter dem Ventilgummi mitzu berücksichtigen ist.3.2.1. SpritzerWenn man einen Tropfen abschleudert, tritt die Schleuderbeschleunigunga an die Stelle der Schwerebeschleunigungg oder addiert sich dazu. Der Tropfen reißt bei einer Massem ab, die e eben ist durch ma = ~ rrr 3 ga = 2rraR, alsor = 3 3aRI(2ga). Das Tropfenvolumen geht wie a- 1 . .Entsprechendgeformte Ultraschall-Transducer können an derSpitze mehr als a = 10 6 g erzeugen (das entspricht etwader Zerreißfestigkeit des Materials selbst). Als Röhrchenmit R = 0,1 mm ausgebildet, schleudern sie Tröpfchen um

1036 : Lösungen zu den Aufgaben10 J.lm Durchmesser ab. Ein Stahlröhrchen mit R = 20 J.Lm,das mit v = 500Hz und A = 2 mm Amplitude schwingt,hat an der Spitze a = Aw 2 R::: 1 800g, erzeugt also Tröpfchenum 100 ~tm. Fast alle anderen Flüssigkeiten haben ein kleineresCI I g, also kleinere Tropfen (Tabelle 3.1).3.2.2. BallonraketeDie Hülle des Luftballons habe die Masse m, etwa 2 g. Erfahrungsgemäßdauert es etwa 5 s, bis die 51 Luft ganz herausgepfiffensind. Die Ausströmrate ist also etwa f1 = 1 g/s,die Ausströmgeschwindigkeit bei A R::: 0,6 cm 2 Öffnungw R::: V l(tA) R::: 16m/s, also der Schub F = f1W R::: 0,02N.Dieser Schub beschleunigt den Ballon, der im Durchschnittsamt Füllung die Masse 5 g hat, mit etwa 20 m/s 2 . Bliebe dieBeschleunigungsrichtung erhalten, so führte diese mittlereBeschleunigung nach einigen Zehntelsekunden zu einer stationärenGeschwindigkeit, die gemäß ! Agv2 = F einige m/sbeträgt. Die momentanen Werte können viel höher werden:Die Gummihaut verhält sich annähernd wie eine Seifenhaut,d. h. der Überdruck innen ist proportional zu r- 1• Das erklärt,warum man zum Aufblasen zuerst viel mehr Druck braucht.Nach Torricelli ist die Ausströmungsgeschwindigkeitw = ..j2Aplg ~ r- 1 1 2 und damit der Schub F = Wfl =wgAw = v'2AAp ~ r-1. Der Luftwiderstand ist~ r 2 , alsodie stationäre Geschwindigkeit v ~ F lr2 ~ r-3 . Je leererder Ballon ist, desto wilder schießt er hin und her.3.2.3. TropfenbildungEbenso wie die Seifenhaut von Aufgabe 3.2.10 hat ein zylindrischerWasserstrahl die Tendenz, sich einzuschnüren.Wenn er länger ist als ~ seines Durchmessers, wird seineForm instabil, und er zerfällt bei der leisesten Störung in Abschnitte,die sich zu Tropfen abrunden. Man erkennt das ameinfachsten daran, daß der Strahl irrfolge Reflexion nach allenSeiten zu glitzern anfängt. Die Störungen, die das Zerbrechenin Tropfen auslösen, kann man durch das unmerklicheWackeln der Ausflußdüse erzeugen, die von einem Schallgeberberührt wird. Die Tropfenfolge gibt dann die Schallschwingungenwieder und verstärkt sie erheblich, wennman den Strahl auf eine Membran trommeln läßt. Ein elektrischesFeld, schon z. B. eine geriebene Glasstange, influenziertdie Tröpfchen so, daß ihre ungleichnamig geladenenOberflächen einander anziehen: Sie vereinigen sich, derStrahl bleibt länger glatt.3.2.4. WasserkurveIn einem Spalt der Breite b zwischen zwei benetzbarenPlatten bildet das Wasser eine zylindrische Oberfläche mitdem Krümmungsradius r = bl2 und steht um h =2CJ I ( bgg) höher als normalerweise ( Kapillarsog -Ap =CJir nach oben!). Bei der gewählten Anordnung nimmt dieSpaltbreite z. B. nach rechts linear von 0 auf B zu:b = Bxld. Daher bildet die Wasserfläche zwischen denPlatten eine Hyperbel h = 2CJdl(agBx).3.2.5. SaftsteigenEine Steighöhe von 150m ist im Prinzip erreichbar. Manbraucht einen Kapillardurchmesser von etwa 0,1 J.lm. Selbstsehr viele solche Röhren können aber nicht im eigentlichenSinn Flüssigkeit fördern. Zum Absaugen brauchte man, umden Kapillarsog zu überwinden, den gleichen Unterdruck von15 bar, als ob man gleich direkt um 150m hochsaugen wollte.Natürlich gibt es einen solchen Unterdruck gegen den Luftdrucknicht: Man kann höchstens um 10m hochs·augen. Andersist das, wenn das "Absaugen" durch Verdunstung erfolgt.Der Baum muß also durch Ventilation dafür sorgen,daß auch das Blattinnere, wo die Kapillaren enden, eine geringereals die Sättigungsfeuchte hat.3.2.6. BlasendruckDamit die Seifenblase im Kräftegleichgewicht ist, muß innenein Überdruck Ap herrschen, der folgender Bedingunggenügt: Vergrößert man den Blasenradius um or, d. h. dasVolumen um 4Kr2 or, dann leistet der Druck die Arbeit41fr 2 or Ap. Gleichzeitig muß man zur Vergrößerung derOberfläche um 4K(r + or )2 - 4Kr2 = 81rr or die Arbeit81rr or CI aufbringen. Beide Arbeiten müssen gleich sein:Ap = 2CJir.3.2.7. TauziehenAn der Grenzfläche zwischen Wasser und Alkohol sucht jededer Flüssigkeiten ihre eigene Oberfläche zu minimieren,indem sie sich zurückzieht. Das Wasser hat die größere Oberflächenspannungund gewinnt bei diesem Tauziehen. DerAlkohol geht mit, denn seine Grenzflächenenergie gegenWasser ist kleiner als gegen Luft. Die Mischbarkeit vonWasser und Alkohol zieht die scharfe Grenzfläche zu einerkontinuierlichen Übergangszone auseinander, ändert abernichts Wesentliches.3.2.8. FleckentfernerFetthaltiges Benzin hat eine höhere Oberflächenspannung alssauberes und zieht dieses daher nach außen, wobei es nachdem Verdampfen den Schmutz als Rand ablagert. Man ziehemit dem sauberen Benzin einen Ring um das schmutzige.Dieses zieht sich auf die Mitte zurück und kann dort mitsamtdem Schmutz mit einem Lappen abgesaugt werden.3.2.9. MolekularkräfteEine Kraft, die auf einer Strecke d von wenigen A eine EnergieW von der Größenordnung 0, l J/m 2 hervorbringt, mußetwa F = W ld R::: 10 9 Nlm 2 sein. Das entspricht der Zerreißfestigkeitvon QualitätsstahL3.2.10. CatenoidWenn die Ringe offen sind, herrscht innen und außen dergleiche Druck. Unter diesen Umständen muß das mittlereKrümmungsmaß 11r1 + Ilr2 der Seifenhaut Null sein.Der Ringradius R zwingt der Haut in der einen Richtungeinen positiven (konvexen) Krümmungsradius auf. Alsomuß die Krümmung in der anderen Richtung negativ(konkav) sein, d. h. die Haut hängt nach innen durch undwird zur Sattelfläche. Eine ähnliche Fläche erhält man,wenn man die beiden Ringe durch viele zunächst senkrechteFäden verbindet und dann gegeneinander verdreht. Allerdingsentsteht so ein einschaliges Rotationshyperboloid,das nicht überall die Krümmung 0 hat. Legt man die Trom-

Kapitel 3: Lösungen 1037mel auf die Seite, dann sieht ihr Profil aus wie eine Kette, dieunter ihrem eigenen Gewicht durchhängt. Diesmal täuschtdie Analogie nicht. Die Kette bildet eine cosh-Kurve. Durchihre Rotation um die x-Achse entsteht ein Catenoid, das tatsächlichüberall die Krümmung 0 hat, wie man in etwas umständlicherdifferentialgeometrischer Rechnung zeigen kann:Rj 1 +R2 1 = (1 +q 2 )r+ (1 +p 2 )t ~ 2pqs = 0 mit p =ozlox, q = ozl{)y, r = op_ ox, t = oqloy, s = opl{)y fürdie Fläche z = a arcosh( x2 + y2 I a). Für die anschaulicheVorstellung beachte man: Der eine Hauptkrümmungsradiusr,, nämlich der mit minimaler, d. h. am stärksten negativerKrümmung, ergibt sich, indem man längs der Seitenlinieder Trommel geht. Die maximale Krümmung erfolgt dagegennicht in der x-y-Ebene (außer an der engsten Stelleder Trommel), sondern in einer Ebene, die die Normalezur Seitenlinie enthält. Aus den Eigenschaften der cosh-Kurvefolgt, daß die Trommel im Verhältnis zu ihrem Radius Rnicht zu lang werden kann. Ihre Länge 2L muß sich mit Rdurch R = acoshLia verknüpfen lassen, sonst gibt es keinestabile Seifenhaut Wir schreiben dies als r:xu = cosh u mitu = LI a und R = r:t.L. Diese Gleichung hat nur dann reelleLösungen (i. allg. zwei), wenn r:t.größer ist als der Wert,der der Tangente an die cosh-Kurve vom Ursprung aus entspricht.Diese Tangente ist gegeben durch r:t.u = cosh u,r:t. = sinh u, also u = coth u, d. h. u = 1 ,2; a = 1 ,5. Nur fürL < Rll,5 ergibt sich eine stabile Haut. Zieht man die Ringeweiter auseinander, dann zerreißt die Trommel, und in jedemRing entsteht eine einfache ebene Haut. Um einen geradenZylinder zwischen den Ringen zu ziehen, muß man einenInnendruck von (J IR anwenden (nicht 2(J IR wie bei der Kugelgleichen Radius, denn der Zylinder hat nur eine Krümmung).3.3.1. NachtverkehrWenn der Verkehr stationär fließt, sind Strom- und Bahnlinienidentisch (abgesehen von einzelnen Fahrbahnwechslern).Wenn die Zeitaufnahme eine Ampelschaltung umfaßt,ist das nicht mehr der Fall. Stromröhren sind die Fahrbahnen(Straßenhälften). Eine Verengung bringt nur dannkeine Stauung, wenn sich alle stetig "einfädeln" (Stromlinien)und in der Engstelle dichter oder schneller fahren.Die Polizei mißt den Fluß durch ein Kabel, das allerdingsden Richtungssinn nicht anzeigt (im Vertrauen auf Respektierungdurchgehender Linien). Die Strömung ist nicht inkompressibel.Vor der roten Ampel ist die Divergenz negativ,vor der grünen positiv. Solche Stellen sind Senken bzw.Quellen im Sinn von {!. Andere Quellen und Senken für dasPhoto sind Unterführungen, Parkhäuser usw., Rotationsfreiheitgilt nur, wenn auf gerader Straße auf allen Spuren gleichschnellgefahren wird, bzw. wenn der Kreisverkehr "starr"rotiert (w konstant).3.3.2. GezeitenstromBei horizontalem Boden und Strömung in West-Richtungohne Reibung folgt aus der Divergenzfreiheit nur, daß vüberall horizontal ist (Boden ist Strornröhrenstück) undsich in west-östlicher Richtung nicht ändert. Nord-südlicheund tiefenmäßige Verteilung wären noch beliebig. Wirbel"freiheitschließt Nordsüd-Variation aus. Innere Reibung verlangtProportionalität von v mit der Höhe z über dem Boden:v = az. Je stärker die "Tide drückt" oder "zieht", desto größerist a. Wenn der Boden mit tan a = b nach Westen zu ansteigt,ist die Tiefe h = bx (x: Abstand von der Küste) und v,...., h-1.Daher die riesigen Tidenhübe in entsprechend gelegenenBuchten (Mt. St. Michel 12m; Fundy-Bay noch mehr).3.3.3. FeldeigenschaftenIndizes hinter dem Komma bedeuten Ableitung nach der entsprechendenKoordinate. grad u = (u,x, u,y, u, 2 ). rot gradu =(u,zy ~ u,yz, u,xz ~ U,zx, u,yx ~ u,xy)· Alle drei Komponentenverschwinden wegen der Vertauschbarkeit der Ableitungen.rot V= (Vz,y ~ Vy,z, Vx,z ~ Vz,x, Vy,x ~ Vx,y), divrot V=(vz,yx ~ Vy,zx + Vx,zy ~ Vz,xy + Vy,xz ~ Vx,yz). Auch hier findetman drei Paare identischer Glieder mit verschiedenenVorzeichen, die sich wegheben.3.3.4. AufrahmungEin Fetttröpfchen vom Radius rund der Dichtedifferenz ~ !'!.(]gegen Wasser erfährt den Auftrieb F = ~ 1r 11(] r 3 g. Erschiebt das Tröpfchen mit der Geschwindigkeit v =F I (67rYfr) = ~? 11(UIYf aufwärts. Für die ca. 10 cm bis zurOberfläche brauchen die Tröpfchen in Stallmilch etwa 10Stunden, für homogenisierte Ladenmilch zehnmal so lange.Die Tröpfchenradien ergeben sich daraus zu 4 jlm bzw.1 ,2jlm. Eine Zentrifuge mit dem TrommelradiusR = 20 cm und 3 000 U/min, d. h. w ~ 300 s- 1 erzeugt einZentrifugalfeld von etwa 2 000 g, reduziert also die Trennzeitum den gleichen Faktor, d. h. auf einige Minuten.3.3.5. Stokes-RotationWenn die Hantel aus zwei Kugeln vom Radius r im Mittelpunktsabstand2a besteht, bedeutet ihre Drehung mit derWinkelgeschwindigkeit w um eine Achse senkrecht zumHantelgriff, daß jede Kugel sich mit v = aw durch die Flüssigkeitbewegt. Dazu muß nach Stokes an jeder Kugel dieKraft F = 67rYfVr = 67rYfarw angreifen, also ein DrehmomentD = F2a = l27rYfa 2 rw. Das ist das Stokes-Gesetz fürRotation. Es läßt sich angenähert auf andere Formen übertragen.Die größte Ausdehnung senkrecht zur Drehachse gehtquadratisch, die Ausdehnung in Achsenrichtung linear inden Drehwiderstand ein. Bei einigermaßen rundlichen Körpernist der Drehwiderstand größenordnungsmäßig gleich Yfmal dem sechsfachen Volumen. Die Form wird durch einenFaktor berücksichtigt, den Perrin für Rotationsellipsoide berechnethat.3.3.6. HovercraftWenn das Luftkissen 15 t auf einer Fläche von 130m 2tragen soll, muß in ihm ein Überdruck von l'!.p =1,5. 105 Nil30m2 ~ 0,01 bar herrschen. Dieser Druck fälltkurz außerhalb der herandenden Gummimanschette auf 0 ab,was nach Bernoulli oder Torricelli zu einer Strömun s e­schwindigkeit v=J211pl(]~2·103Nm-211,3kgm-3~ 40 rn/s führt. Bei 5 cm hat der Schlitz etwa 2,5 m2 Querschnitt,also ist der Luftverlust V = A' v = 100m3 I s.

Kapitel 3: Lösungen 1039geben uns jetzt ins rotierende Bezugssystem des Tees, odervielmehr der Hauptmasse des Tees, denn es kann nicht allerTee völlig gleichmäßig rotieren: Die wandnahen Zonen bleibeninfolge der Reibung zurück, fließen also relativ zu unseremBezugssystem "rechts herum". Das bedingt aber Coriolis-Kräfte,und zwar, wie auf der Nordhalbkugel der Erde,eine Rechtsablenkung, d.h. eine Ablenkung nach innen.Am Tassenboden, wo dieser Einfluß am stärksten ist, wirdalso eine Strömung nach innen erzwungen (die an der Oberflächedurch eine Auswärtsströmung kompensiert wird, sodaß sich ein geschlossenes Zirkulationssystem wie inAbb. L. 5 ausbildet). Die Einwärtsströmung am Boden ziehtdie Teeblätter in die Mitte; i.allg. ist sie nicht stark genug, umdie spezifisch schwereren Blätter im Schlauch der Aufwärtsströmungmit hochzureißen. Läßt man umgekehrt die Tasserotieren und die anfangs ruhende Flüssigkeit erst allmählich,wieder infolge der Wandreibung, mitnehmen, so ist die Lageumgekehrt: Die Bodenzone strömt schneller, erfährt also imBezugssystem der Hauptmasse der Flüssigkeit eine Linksablenkung,d.h. eine Kraft nach außen.~~ Tae~Abb. L. 5. Im Bezugssystem der Hauptmasse des Tees rotierendie bodennahen Schichten "rückwärts" und werden dahervon einer Coriolis-Kraft einwärts getrieben. Es bildet sich einZirkulationssystem aus, das die Teeblätter nach innen führt3.3.12. WasserraketeWenn im Luftvolumen über dem Wasser ein Druck p, also einÜberd~ = p - po herrscht, wird das Wasser mitw = y211pl(! ausgeschleudert. Die Ausstoßrate istJ.l = gwA (A: Düsenquerschnitt), also der SchubF = J.lW = Agw2 = 2A I::J.p. Die Raketenmasse m wird dadurchbei Senkrechtstart mit a = F Im - g beschleunigt.Bliebe der Druck bis zum "Brennschluß" konstant, wasannähernd der Fall ist, wenn man wenig Wasser hineintut,dann ergäbe sich die Brennschlußgeschwindigkeit alsVB = wln(molm)- gtB mit mo = m + gVw und tB =Vw I (Aw). Die Rakete steigt vom Brennschluß ab nochh = vV(2g). Man kann sie bis p = 6 bar aufpumpen. Siewiegt leer etwa 200 g. Bei Füllung mit 0,31 Wasser (wobeidie Bedingung konstanten Drucks allerdings nicht mehr erfülltist) wird w ~ 30 m/s, mit A = 0,5 cm 2 ist der Schubwährend der 0,2 s Brennzeit 50 N, die Beschleunigungkurz vor Brennschluß über 20 g, die Brennschlußgeschwindigkeit25 m/s, der Brennschluß erfolgt in etwa 3 m Höhe,aber die Rakete steigt noch bis etwa 35 m. In Wirklichkeitfällt der Druck natürlich mit Ausdehnung des Luftvolumensab, und zwar adiabatisch, weil der Vorgang so schnell erfolgt.Man sieht das am besten, wenn man nur mit Luft füllt: Nachdem Druckausgleich hat sich die Luftfüllung so abgekühlt,daß der Wasserdampf kondensiert. Die AdiabatengleichungT ""'pY/(y-l) liefert bei p = 6 bar eine Abkühlung auf200 K. Die Luft schießt dabei anfangs mit w ~ 1 100 m/saus und erzeugt immerhin etwa 0,001 s lang den gleichenSchub, den das Wasser 35mal so lange ausübt. Die Raketenimmt dabei über 3 mls an und springt fast 1 m hoch. Allediese rechnerischen Befunde bestätigt das Experiment.3.3.13. Überlebt er's?Wenn der Mann den ganzen Rohrquerschnitt A abdichtete,würde er nur so weit fallen, bis der Druck der komprimiertenLuft ihn trägt. Bei 50 cm Durchmesser, also A = 2 000 cm 2 ,wäre das bei I::J.p ~ 0,05 bar der Fall, d. h. nach isothermerKompression um to oder 500 m Fall weg. In Wirklichkeit erfolgtdie Kompression schnell genug, um adiabatisch zu sein.Dann ist flplp = - K!::J.VIV = -1,4!::J.VIV: Der Mann fälltin einigen Sekunden bis 350m und sinkt dann in einigenMinuten mit Abkühlung der Luft weiter auf 500 m. Selbstder rundeste Mann muß aber einen Anteil A' des Querschnittsoffen lassen, durch den die Luft wegpfeift, undzwar mit der Geschwindigkeit w = J2 11plg. Der Vorgangzerfällt dann in zwei Etappen: (1) Ungebremster freier Fall;(2) Fall mit konstanter Geschwindigkeit v. Der Überdruckträgt in der zweiten Etappe auf der Fläche A-A' das Gewichtdes Mannes: !::J.p = mgi(A - A'), und er sinkt nurab, weil das Luftpolster am Rand mit w entweicht:(A- A')v = A'w. Dabei ist w = J2mgl(g(A- A')) etwadie stationäre Geschwindigkeit des freien Falls ohne Fallschirm:w ~ 75 mls. Die Sinkgeschwindigkeit v =wsi(A - A') kann in nicht zu weitem Rohr durch "DickeroderDünnermachen" in weiten Grenzen auf u. U. ganzharmlose Werte geregelt werden.3.3.14. ThrbineIm Leerlauf dreht sich das Rad so schnell, daß die Schaufelndie über ihren Weg gemittelte Komponente der Strömungsgeschwindigkeitannehmen. Wenn das Rad Arbeit leistensoll, muß es sich langsamer drehen, damit das relativ zuden Schaufeln vorbeiströmende Wasser eine Kraft auf dieseausüben kann. Effektive Schaufelfläche A, Strömungsgeschwindigkeitrelativ zum Ufer v, relativ zur Schaufelv- u, Schaufel bewegt sich mit u relativ zum Ufer, Kraftauf Schaufel F ~ (v- u) 2 gA. Die Drehzahl wird durch ubestimmt, die verfügbare Leistung auch: P ~ A(v- u) 2 gu.Maximale Leistung bei dPidu = 0, also u = vl3,Pmax ~ gA4v 3 121. Zahlenbeispiel: A = 1m 2 , v = 5 m/s,Pmax ~ 10" W = 13 PS. Verlangt man zu hohes Drehmoment,bleibt das Rad stehen oder dreht sich rückwärts; Pwird 0 oder negativ. Jeder Motor folgt im Leerlauf praktischder Antriebskraft (umlaufendes Magnetfeld, Gasstrom), beiBelastung hinkt er hinterher, bei Überlastung bockt er aufnur äußerlich verschiedene Arten.

1040 : Lösungen zu den Aufgaben3.3.15. RohrströmungDie Dimension von 11pll (Nim 3 = kgm~ 2 s~ 2 ) läßt sich ausdenen von 12 (kgm~ 3 ), 1J (kgm~ 1 s~ 1 ), rund v nur zusammenbauen,wenn a = b- 1, ß = 2- b, y = b- 3. Es istaber klar, daß 11p I l mit 12 und 1J nicht abnimmt, also1 ;Sb ;S 2. Die Fälle a - d bedeuten b = 1, !1p I l "' IJV I r 2(Poiseuille); b = 2, 11pll"' 12v 2 lr (Newton); b = 1,5,11pll"' Jß!j(vlr) 3 1 2 (Abschn. 3.3.3g) und b = 1,75,11pll"' 12 3 1 4 1J 1 1 4 v 7 1 4 r~ 5 f 4 (Blasius). Wandrauhigkeit begünstigtden Trägheitseinfluß.3.3.16. AquaplaningWasser mit 11 ~ 10~ 3 N s m ~ 2 ist ein ausgezeichnetesSchmiermittel, nur ist zum Glück eine zusammenhängendeWasserschicht nicht so leicht herzustellen wie beim Öl.Für einen PKW mit v=30ms~ 1 , b=0,15m,F = 3 000 N (ein Reifen) wird 11 ~ 10~ 3 , schlimmer alsbei Glatteis! So ergäben sich Bremsstrecken von Dutzendenvon km, falls die Reifen bei langsamerer Fahrt nicht wiederHaftung gewönnen. Breite Reifen sind günstiger, vor allemweil sie die Wahrscheinlichkeit des Aquaplaning verringern.Hinsichtlich 11 bringen selbst doppelt so breite Reifen nureinen Faktor 1,4. Nach Aufgabe 3.1.9 ist der Reifendruckgleich dem Druck p des Reifens auf die Straße. Wenn p konstantist, wird l um so größer. 11 um so kleiner, je schwerer dasFahrzeug ist. Wie stramm die Reifen aufgepumpt sind, machtfür 11 nichts aus, denn hier ist F gegeben.3.3.17. Magnos-EffektDie Zylinderwand nimmt die Flüssigkeitsgrenzschicht mitihrer Drehgeschwindigkeit wr mit. Herrschte seitlich umden ruhenden Zylinder eine Strömung mit v, dann herrschtjetzt auf der einen Seite v + wr, auf der anderen v - wr.Nach Bernoulli ergibt sich daraus eine Druckdifferenz~12((v + wr) 2 - (v- wr) 2 ) = 2gvwr zwischen diesen beidenSeiten, d. h. eine Kraft von etwa Zr !1p = 212vwr 2 l. Sietreibt dorthin, wo der Druck geringer, also die Strömungschneller ist, d. h. wo die Oberfläche sich in Strömungsrichtungbewegt. Bei beliebiger Achsrichtung w gibt das VektorproduktF = 212lr 2 v x w Betrag und Richtung richtig wieder.Flettner nutzte diesen Magnus-Effekt mit seinen Rotorenzum Schiffsantrieb aus, aber ein Segel, das nur wenig größerist als die Zy1inderoberfläche, ergibt denselben Antrieb ohnezusätzliche Motorleistung zum Drehen, und der Schraubenantriebist viel praktischer.3.3.18. KollisionsgefahrZwischen den Schiffen oder zwischen Schiff und Mauer verengtsich der Stromquerschnitt, also muß das Wasser dortschneller strömen und einen Bernoulli-Sog erzeugen, derdie "Anziehungskraft" erklärt. Voraussetzung ist nur eineStrömung, die durch Winddrift, Ebbe und Flut oder dadurchbedingt sein kann, daß auch ein antriebsloses Boot schnellertreibt als das Wasser fließt (Aufgabe 3.3.25). Wenn die Strömungsgeschwindigkeitrelativ zum Fahrzeug v ist und sich inder Verengung auf v' steigert, ergibt sich ein Bernoulli-Druck!12(v' 2 - v 2 ), der nach dem Newtonsehen Widerstandsgesetzeine stationäre Quergeschwindigkeit der Boote von derGrößenordnung w ~ J v'2 - v2 erzeugt (Sog ~ Staudruckinfolge w). w kann also unter Umständen fast so groß werdenwie v.3.3.19. Viskosität von SuspensionenDer Druckgradient muß gleich der Krümmung des v-Profilssein: gradp = 11 11v. Wenn d die Dicke der Flüssigkeitsschichtist, l ihre Länge, kann man dafür schreiben11pll = 1JVId 2 . Bei der Suspension dürfte man für d eigentlichnur die Schichtdicke d' der reinen Flüssigkeit nehmen,die zwischen den suspendierten Teilchen bleibt. Wenn derenVolumenkonzentration c ist, bleibt nur d' = d( 1 - c ). Mansieht das am einfachsten, wenn man sich die Teilchen inzur Strömungsrichtung parallelen Schichten angeordnetdenkt. Die Anwesenheit der Teilchen verlängert aber auchdie Strecke l, längs der der Druckabfall !1p erfolgt: DieStromlinien werden länger, weil sie sich zwischen den Teilchendurchwinden müssen, denn die Teilchen sind eben nichtin Platten angeordnet. Wir schätzen: Eine beliebige Stromlinieläuft eine Strecke L, die mittlere freie Weglänge, bevor sieauf ein Teilchen trifft. Dann muß sie ausbiegen. Trifft siemitten auf ein Teilchen, ist ihr Weg um ( 1r - 2) r länger, trifftsie ganz außen, verliert sie fast nichts an Weg. Zwischenbeiden Fällen gemittelt, ergibt sich die relative Längenzunahmeeiner Stromlinie als 0,6riL = 0,61rr 3 n (L =ll(1rr 2 n)). Dies können wir durch c = 11rr 3 n ausdrücken:l' ~ !(1 + 0,45c). Benutzte man in Navier-Stokes diese d'und l', würde die normale Viskosität IJo gelten. Wenn mandie geometrischen Werte d und l benutzt, muß man mit1J = 1]0 (1 + 0,45c)l(1- cf ~ 1Jo(l + 2,45c) arbeiten. Diegenauere MitteJung der Stromlinienlänge (Einstein) liefert1J = 1Jo(l + 2,5c), was natürlich auch nur für kleine c gilt.Manchmal bezeichnet man die Größe (IJ- 1Jo)I(1Jorx) irreführenderweiseals "Eigenviskosität" der suspendierten Teilchen.Sie ist 2,5 bei Kugeln, wird aber viel größer, wenn dieKugel sich zu einem lockeren Knäuel auflöst, das dasStrömungsbild viel stärker beeinflußt.3.3.20. ZerstäubungAn der Oberfläche eines kugeligen Tropfens herrscht derDruck 2(J Ir ((J: Oberflächenspannung). Wenn der Staudruck!12Lv 2 etwa ebensogroß wird C12L: Luftdichte), beginnter den Tropfen zu deformieren und schließlich zu zerteilen.Große Regentropfen fallen gemäß 17r12wr 3 g = !1rr 2 12Lv 2 •Die größten Tropfen haben also r ~ J(JI(12wg) ~2,5 mm, und fallen mit v = 7 m/s. Eine Pumpe mit dem Überdruck!1p spritzt einen Strahl zunächst mit v = J211pl12f1·Die Tröpfchengröße ergibt sich wieder aus 2(J Ir ~ ~ 12L v 2 ,also r ~ 2(JI2fJi(l1pl2d· Bei p = 3 bar, (J ~ 0,1 N/m, 12L ~3 · 10~ 2 kg m~ 3 (Vorverdichtung 20:1 !) wird r ~ 0,02 mm.3.3.21. Strömen und SchießenDer obere Rand der Wehrmauer liege um Ho über dem Bettdes Abflußkanals, dessen Querschnitt rechteckig sei (Breiteb ). Oberhalb des Wehrs stehe das Wasser praktisch (Stausee).

Kapitel 3: Lösungen 1041Unterhalb sei die Wassertiefe H, die Geschwindigkeit in allenTiefen v (falls diese Annahmen nicht gelten, werden dieAusdrücke komplizierter, die qualitativen Folgerungen bleibenunberührt). Der Energiesatz liefert v = J2g(Ho--: H),es fließt also der Volumenstrom V = bH J2g(H 0 - H) ab.Diese Funktion V(H) ist maximal bei H = ~H0 . Bei diesergünstigsten Tiefe kann Vkr = ~ bHo /f;Ho abfließen, dasWasser strömt dann mit Vkr = ylgllk;. Dies ist die Geschwindigkeiteiner Flachwasserwelle in einem Becken der TiefeHkr (Abschn. 4.6). Jeder kleinere Wert V kann auf zwei Artenrealisiert werden: Durch H > Hkr mit v < vkr (Strömen),oder durch H < Hkr mit v > Vkr (Schießen). Da Vkr die Wellengeschwindigkeitist, d. h. die Geschwindigkeit, mit dersich Störungen ausbreiten, kann schießendes Wasser nichtmerken, daß es sich einem Hindernis nähert: Die Störungliegt immer unterhalb ihrer Ursache. Strömendes Wasserkann rechtzeitig ausweichen, was nicht ausschließt, daßsich kurze Wellen (kleine Phasengeschwindigkeit) auch hinterdem Hindernis bilden. Nach Aufgabe 3.3.22 ist v außerdurch einen Rauhigkeitsbeiwert nur durch Tiefe und Gefällea bestimmt ( typischerweise v::::::: 7 VfiHa. Also liegt der Übergangvom Strömen zum Schießen bei einem Gefällea ::::::: 0,02. Der Kajakfahrer kann auf der oberen Isar höchstens10 o/o technisch interessante Streckenlänge erwarten.Das Strömen gehört ebenfalls zum turbulenten Fließen.3.3.22. Sind Flüsse laminar?Im Gefälle rx( « 1) wirkt auf die Volumeneinheit des Wassersdie Schwerkraftkomponente gga. Sie muß im laminaren Falldurch die Reibungskraftdichte ry d 2 v I dz 2 = ryv" kompensiertwerden (die seitliche Krümmung des v-Profils spielt keineRolle, wenn die Breite b groß gegen die Tiefe H ist). AmGrund (z = -H) ist v = 0, an der Oberfläche (z = 0), wovon oben her keine Reibung herrscht, kann auch von untenkeine wirken, also v'(O) = 0. Daher ist das v-Profilv = !rxgry- 1 (H 2 .:_ z 2 ) mit dem Mittelwert v = ~agH 2 IYJ.Das ist genau die halbe Parabel von Abb. 3.45. Für(J. = 2,5 . w-3 und H = 1m würde V ::::::: 104 m/s folgen,bzw. ·bei Q = vbH = 60m3 I s dürfte H nur 5 cm sein (undv = 20m/s), damit die nötige Reibung herauskäme. EinBach wäre nur bei Hv < 10-3 m2 ls laminar (Reynolds­Zahl 1 000), z. B. bei H < 10 cm, v < 1 cm/s. Man mußturbulent nach Newton ansetzen Qrxg::::::: QV 2 IH, also v:::::::y..fiiiill mit einem Faktor y, der die Rauhigkeit des Bettesbeschreibt und sich aus den empirischen Werten zu 6-7 ergibt(Formel von Chezy, Gauckel, Manning, Strick/er).3.3.23. Hubschrauber IWir können die Überlegungen von Abschn. 3.3.7 mit v = 0,F = mg anwenden. ry hat keinen Sinn, denn die Schubleistungist Fv = 0. Die Schraube erzeugt einen Luftstrahl,der in größerer Entfernung mit w, durch die Schraube mitv' = w 12 strömt. Man erhält F = mg = ! Aew 2 und eineMotorleistung P = Fv' = ±Agw3 = F 31 2 I VIAQ. Das ProduktPr (r: Länge eines Propellerflügels) muß propor-tional m312 sein. Zahlenmäßig: Pr::::::: lOm312 (P in W, r inm, m in kg).3.3.24. Hubschrauber IIAuf der Seite, wo die Schraubenflügel sich in Flugrichtungdrehen, werden sie schneller augeströmt und erfahren einenhöheren Auftrieb. Abhilfe: Jeder Flügel ist mit einemSchwenkgelenk befestigt, so daß er dem verstärkten oder vermindertenAuftrieb durch Hoch- oder Abkippen folgen undkein Kippmoment auf Achse und Hubschrauberkörper übertragenkann.3.3.25. BootsparadoxonWir vergleichen das Boot mit der von ihm verdrängten Wassermasse,auf die nach Arehirnedes genau die gleicheSchwerkraft wirkt wie auf das Boot. Die Wassermasse,wenn sie vorhanden wäre, würde aber einen größeren Widerstanderfahren, weil sie sich wenigstens teilweise mit umgebenden,besonders mit tieferen und daher langsameren Wasserschichtenturbulent mischt, was ihr ständig Impuls entziehenwürde (selbst im laminaren Fall durch innere Reibung antieferen Schichten). Da das Boot eine feste Form hat, tritt hierkeine Vermischung ein, es wirkt nur eine dünne Reibungsschichtum den Bootskörper. Daher treibt das Boot schneller.3.3.26. WidderstoßDie Wassersäule im Rohrstück hinter dem Hahn strömt infolgeder Trägheit zunächst weiter, wobei sich hinter demgeschlossenen Hahn ein Vakuum bilden kann, das die Wassersäulenach einer "Wurfbewegung" wieder zurückzieht.Hier gilt die Fallbeschleunigung p I (lg ), also kommt dasWasserbisx = !alvÖIP in der Zeitt = elvoiP· Nach der gleichenZeit prallt es mit der gleichen Geschwindigkeit vo wiederauf den geschlossenen Hahn auf. Dann muß sich die kinetischeEnergie ! AlgvÖ in Kompressionsenergie umsetzen.Eine Längenänderung 11! = lK 11p ergibt eine Kompressionsenergie! A 11ll1p = ! AlK 11p 2 . Gleichsetzen beider Energienliefert 11p = JQ!K-vo = cgvo (c = 1 I VQK. ist die Schallgeschwindigkeitim Wasser). Bei vo = 10 m/s kann die Säule5 m vorwärts schießen und nach 2 s wieder zurückprallen,wobei sie einen Druck von 140bar erzeugen kann. Ähnlichheftige Vorgänge treten bei der Implosion von Dampfblasenbei der Kavitation auf oder wenn eine Welle während desBrechens mit senkrechter Front gegen eine Hafenmauerprallt.3.3.27. IterationEine Gleichung f(x) = 0 läßt sich immer umwandeln inx = g(x), meist auf mehrere Weisen. Man probiere, ob dieIteration Xi+l = g(x;) konvergiert. Wenn nicht, ist dieLösung ein Repulsor, und man versuche es mit der Umkehrfunktionx = g- 1 (x). Beispiele: x 3 +x = 1, d.h. x =ll(x2 + 1) konvergiert gegen x = 0,682328. Bei x = cotxspringt das Verfahren scheinbar regellos hin und her.x = arc cotx konvergiert schnell auf x = 0,86033. Graphisch:Gesucht ist der Schnittpunkt zwischen der 45° -Geradeny = x und der Kurve y = g(x). Die Iteration entsprichtder Spielregel: Von x geh hoch zu g(x), dann waagerecht bis

1042 Lösungen zu den Aufgabenzur Geraden, usw. Wenn g(x) flacher als 45° steigt oder fällt,z. B. g(x) = A.cosx mit A. < 1,31916, führt eine Treppe bzw.Spirale zum Schnittpunkt. Anderenfalls gibt es drei Möglichkeiten:Die Werte können ins Unendliche entweichen, siekönnen zwischen zwei oder mehr Punkten periodisch zirkulieren,oder sie können scheinbar regellos variieren. Jedenfallskonvergiert dann das Verfahren mit der Urnkehrfunktion,denn wenn g(x) steiler ist als 45°, ist g-1, das Spiegelbild,flacher als 45°, dort wo sich beide auf der 45° -Spiegelgeradenschneiden. Für A. > 2,97169 schneidet die Geradexj A. die cosx-Kurve nicht nur zweimal bei ±x, sondernmindestens sechsmaL3.4.1. TorsionEin Quarzglasfaden von 2 J.lm Dicke und 2 m Länge ergibt beieinem Torsionsmodul G = 3,3 · 10 10 Njm 2 eine Richtgrößen... = 1. 1 5 · 3 3 · 1010 · 10-24 Nm= 2 5 · 10-14 Nm EinLJK 2 ' ' ' .solcher Faden hält maximal etwa 0,2 N, tatsächlich aber wegender immer vorhandenen Oberflächenverletzungen nuretwa 0,01 N aus. Ein Spiegelscherbeherr von 0,3 mm Dickeund 2 mm Länge und Breite, auf diesen Faden geklebt, hatein Trägh~itsmoment .1 ~ 10- 1 ~ 2 . Das System führtDrehschwmgungen rmt w= yiDR/1~0,16s- 1 , T~40saus. Für eine Messung der Brownschen Drehbewegungkönnte man das Spiegelehen auch größer und damit T längermachen, denn das mittlere Ausschlagsquadrat bei gegebenermittlerer Rotationsenergie hängt vom Trägheitsmoment nichtab (vgl. Aufgabe 5.2.21). Bei der Rayleigh-Scheibe ist esdagegen wichtig, daß die Scheibe möglichst klein ist, dennum so kürzere Ultraschallwellen kann man messen (vgl.Abschn.4.5.1). Bei der Gravitationswaage kann man mitviel dickeren Metalldrähten arbeiten (vgl. Aufgabe 1.7.4).3.4.2. ZerreißgefahrDie Bruchlinie der Länge L, die ein potentiell abreißendesTeilstück vom Restkörper abtrennt, ist einer Zentrifugalkraftw 2 mr und einer mittleren Spannung (J ~ w 2 arA/ Lausgesetzt(m, A Masse und Fläche des Teilstücks, r Achsabstand seinesSchwerpunkts). Am größten wird dieser Wert für einenDurchmesser: (J ~ !w 2 R 2 Q = !v 2 Q. Für Stahl von(J = 7 · 108 N jm 2 wird Vzul ~ 300 m/s. Oberhalb vonv = 100 m/s sollte man aber schon in Deckung gehen3.4.3. Härte und SprödigkeitEin hartes Material hat eine steile Spannungs-Dehnungs­Kurve, d. h. großes E. Ein duktiles Material verträgt vielDeformation, seine Spannungs-Dehnungs-Kurve lädt alsoweit nach rechts aus. Beide Merkmalspaare sind begrifflichund tatsächlich gut kombinierbar: Glas, Grauguß sind hartspröde,o:-Eisen ist hart-duktil, Blei weich-spröde, Holzweich-duktil. Zur vollständigeren qualitativen Kennzeichnungder Kurve braucht man mehr Merkmale. Zum Beispielsind V2A und Federstahl etwa gleich hart (E) und gleich fest((Jp), aber die Bruchdehnungen sind sehr verschieden. Offenbarist V2A weit über die Proportionalitätsgrenze hinausdehnbar, Federstahl nicht.3.4.4. Elastische DämpfungHebt man die Belastung (J 0 ,005 , die der Elastizitätsgrenzeentspricht, wieder auf, dann geht die Dehnung definitionsgemäßnicht auf 0, sondern auf 5 · 10-5 zurück. DieHysteresiskurve für Belastungen wechselnden Vorzeichensbis (Jo,oos hat also ungefähr die Fläche dl'f ~2 · 2 · 5 · 10-5 ·! · (Jo,oos. Diese Fläche gibt die Energie an,die in der Volumeneinheit beijedem vollständigen Durchfahrender Kurve, also z. B. bei jeder Schwingungsperiode inWärme übergeht. Die Gesamtenergie pro Volumeneinheitder Schwingung ist gleich der Dreiecksfläche '1 =!(Jo,oosbE (bE: Dehnung an der Elastizitätsgrenze). Energieverlust/Gesamtenergiegibt den doppelten Dämpfungsfaktor(den doppelten, weil die Energie durch das Amplitudenquadratgegeben wird): (j = !Ll.l'f/'1 = 10- 4 /bE. Für den Stahlvon Abb. 3.79 folgt()~ 5 · 10-3 .3.4.5. BalkenbiegungAusgehend von (3.70) kann man sofort das Profil angeben,das der Balken unter der Last F annimmt. Sei y die Auslenkungnach unten, x der Abstand vom Balkenende. Dann istdie Krümmung y"(x), denn die Neigung y' ist so klein, daßman sie im Nenner des vollständigen Ausdrucks gegen die 1vernachlässigen kann. Also y" = 1/r = Fx/(o:Ed3b). Integrationliefert,__F (r A)y - o:Ed3b 2 +An der Einspannstelle sind y = 0 und y 1 = 0. Damit ergibtsichF (x 3 L 2 L 3 )y= o:Ed3b 6-2x+3 'speziell für das Ende (x = 0): y = FL3 /(3o:Ed3b).3.4.6. FernsehturmDer Widerstand gegen Verbiegung und Bruch wird überwiegendvon den Außenzonen des Balkens geleistet, und zwarnach Maßgabe des Quadrats des Abstandes von der neutralenFaser. Es kommt auf das "Flächenträgheitsmoment"I = J J x2 dx dy an. Für den Rundstab ist I "' R 4 , wie manam schnellsten sieht, wenn man das Integral in Polarkoordinatenschreibt. Vollständig I= !7IR4. Beim Rohr, AußenradiusR, innen r, fehlt innen ein Rundstab mit r, alsoI "' R 4 - r 4 . Das Rohr mit r = R/2 ist nur um 6% gegenüberdem Vollstab mit R geschwächt. Ein Rohr mit 2 cmDurchmesser und nur 1,7 mm Wandstärke ist immer nochhalb so fest wie ein 2 cm-Vollstab. Das geringere Eigengewichtdes Rohrs gleicht in vielen Fällen den Festigkeitsverlustmehr als aus. Auch bei der Verdrillung gelten die gleichenVerhältnisse, denn auch hier sind Rückstellmoment undBelastbarkeit proportional zu R 4 .3.4.7. BrückeDer Balken bricht, wenn und wo seine Krümmung den Wertüberschreitet, der der Bruchdehnung (oder Bruchstauchung)der Randzone entspricht. Sägt man den beiderseits eingespanntenBalken in der Mitte durch und macht den Säge-

Kapitel 4: Lösungen 1043schlitz so weit, daß sich die Balkenstücke nicht gegenseitigabstützen, dann trägt dieser Doppelbalken schon die doppelteLast wie ein einzelner. Ist dagegen der Schlitz sehr fein, bedeutetdas Zersägen keinen Festigkeitsverlust Die Stirnseiteder einen Balkenhälfte übt dann nämlich auf die andere einStützmoment aus, das genau so groß ist wie das Moment, dasdie Einspannung auf ihr Balkenende ausübt, denn der Erfolgist an beiden Seiten der gleiche: Der Balkenquerschnitt hatsich senkrecht gestellt. Beide Momente haben auch den gleichenDrehsinn, addieren sich also und halten einem doppeltso großen lastbedingten Moment das Gleichgewicht, alswenn der Balken nur einseitig eingespannt wäre. Im ganzenhat sich die Tragfähigkeit also vervierfacht. Bei der quantitativenÜberlegung bedenke man: Momente wie das Einspannmomentin der Balkenmitte pflanzen sich ungeändertbis zum anderen Balkenende fort. Kräfte wie die Last dagegenmüssen mit der Entfernung bis zu dem Punkt, wo mandas resultierende Moment bestimmen will, multipliziert werden.3.4.8. SägewerkNach Abschn. 3.4.6 muß d2b maximal sein, wobei natürlichd und b mit dem Stammdurchmesser D immer nachPythagoras verknüpft sein müssen: D 2 = d 2 + b 2 . Wir drükkendie Tragfähigkeit durch b allein aus: (D 2 - b 2 )b undbestimmen das Maximum dieses Ausdrucks durchDifferenzieren: D 2 - b 2 - 2b 2 = 0, also b = D I J3,d = Dvf[j3. Die Tragfähigkeit ist um den Faktor4v'213\13 = 1,09 größer als bei quadratischem Querschnitt.3.4.9. FlächenträgheitsmomentBei gegebenem Biegeradius R sind Spannung und Dehnungproportional zum Abstand x von der neutralen Faser:a = ExiR. Das Flächenelement dxdy übt die KraftdF = a dx dy und das Moment dT = x dF = Ex2 dx dy aus,der ganze Querschnitt also das Moment T =ER- 1 • JJ x2 dxdy =EI IR. Eine Scheibe der Dicke d, querzum Balken geschnitten, hätte das übliche TrägheitsmomentJ = I gd. Das Rechteck mit der Länge a in x-Richtung, bin y­Richtung hat I= ba 3 112, der Kreis vom Radius r hatI= 1rr 4 14 (am bequemsten in Polarkoordinaten auszurechnen:dxdy = rdtpdr, I= J~ jg1r ?sintprdtpdr). Der Kreis-ring (Rohrquerschnitt) hat I= h - h = 1r(ri- r~)l4, derDoppel-T-Träger, dessen Querschnitt ins Rechteck a, b einbeschriebenist und der überall die Materialstärke d hat,I= da 3 /12 + dba 2 14. Bei gegebenem QuerschnittA = d(2b + a) hat I kein Maximum im Endlichen, sondernI steigt monoton mit a: Bei gegebener Masse wäre ein unendlichschmaler Träger am biegesteifsten. In Wirklichkeit istdie Höhe a des Mittelsteges durch seine Knickfestigkeit begrenzt(Abschn. 3.4.7).3.4.10. Ein teurer FehlerDie Ventile sind unten, denn die Luft muß raus, und sie istschwerer (29/18) als kühler, erst recht als heißer Wasserdampf.Wenn man beide zumacht, kondensiert der Dampf,der Innendruck wird minimal. Auf ein Wandstück der Flächelb wirkt von außen Fp = plb, Gleichgewicht erfordertTangentialkräfte F = Fprll (vgl. Abb. 3.26), also Spannungena = F j(bd) = prld (d: Wandstärke). Bei a > CJF,d.h. p > PF = aFd/r wird das Material zerquetscht. Hierliegt aber offenbar Knickung vor. (3.72) ist auch aufeine Wand anwendbar mit einer Spannweite l ~ r. Bei4a.Ed 3 bj? > prb, also p > PK = Ed 3 1,3 tritt Knickungein. Mit d = 5 mm folgt PK = 0,1 bar. Fast d = 5 cm wärenötig gewesen. Die Grenze zwischen Knicken und Zerquetsehenliegt bei PK = PF, also um dir= .JU!E, für Stahl umd ~ r/20.3.4.11. TiefseebootIn 12 km Tiefe herrschen 1 200 bar. Nach p F = a Fd Ir undCJF = 5 · 10 8 Njm 2 erfordert das d = 20cm bei r =1m.Knickung ist dann laut Aufgabe 3.4.10 nicht zu befürchten.Ein solcher Zylinder aus Stahl hätte dann mehr Gewichtals Auftrieb (Verhältnis beider ist 2dQFef(rQw )), das Auftauchenwürde besondere Vorrichtungen erfordern. Titan hat nur4 510 kg/m3 und ist ebenso fest.3.4.12. Das stabile EiVergleichen wir den Kalk der Schale mit Beton (Tabelle 3.3;kein DDT-geschwächtes Ei!), folgt mit d = 0,5 mm,r = 30mm etwa PD= 10bar, PK = 2bar. Jede Handflächeübt einen ziemlich gleichmäßigen Druck auf fast die halbeEioberfläche von knapp 50 cm 2 aus und dürfte demnachmit annähernd 1000 N drücken.4.1.1. KoloraturbaßEin kurzer Staccatoton von der Dauer T hat ein Frequenzbandvon der Breite f1v ~ liT als Spektrum. Man machtsich das am einfachsten so klar: In der Zeit T treffen beieinem Ton, der "eigentlich" die Frequenz v hat, n = vTBerge unser Ohr, z. B. bei T = 0,2 s und v = 100Hzn = 20. Ebensoviele Berge treffen aber auch bei 104Hzein. Die um f1v = liT verschiedenen Töne sind also in dieserkurzen Zeit nicht unterscheidbar. Je tiefer ein Ton ist,desto länger muß er andauern, damit er die vorgeschriebeneReinheit f1v lv hat. Damit ein 100Hz-Ton überhaupt aufeinen Viertelton genau definiert ist, d. h. damit man sagenkann, ob es E oder F sein soll, muß er f1v = 0,055 ·100Hz = 5,5 Hz haben, also mindestens 0,2 s dauern. Eingutes Ohr fordert mehr als doppelte Reinheit. Selbst der sichersteBassist kann also keine Melodie rein singen, in derdie Töne viel kürzer als :i s dauern.4.1.2. ObertöneAbbildung 4.10 läßt sich als das Auslenkungsbild einer inder Mitte angezupften Saite auffassen, wenn man an dieAbszissenachse x, an die Ordinate y schreibt und nur das

1044 Lösungen zu den Aufgabenerste Dreieck betrachtet. Der Beweis für diese Vertauschbarkeitvon Ort und Zeit ergibt sich aus dem Bau der Wellengleichung,der in x und t völlig symmetrisch ist. Wenny(x, t) die Orts- und Zeitabhängigkeit der Auslenkung ist,heißt die Wellengleichung y(x, t) = c 2 y 11 (x, t); der Punkt deutetdie partielle Ableitung nach der Zeit, der Strich nach demOrt an. Die Lösung y = f(x ± ct) läßt sich nach Fourier aussin k(x ± ct) und cos k(x ± ct) zusammensetzen. Für t = 0gibt diese Fourier-Reihe die Anfangsauslenkung, für x = 0gibt sie den zeitlichen Verlauf der Schwingung. Hat manalso das Spektrum, d. h. die Amplituden der Grund- undOberwellen zur gegebenen Dreieckskurve, dann stellen sieauch die Stärken der Obertöne dar. Die ganze Schwingung,als stehende Welle aufgefaßt, geht so vor sich, daßjeder Punkt der Saite mit dem vom Spektrum gegebenenFrequenzgemisch schwingt. Die Gesamtamplitude dieserSchwingung ist allerdings an jeder Stelle anders, so wie esdie Dreieckskurve vorschreibt.4.1.3. SchatzsucheWenn man den Schatz auch finden kann, ohne die Lage desBlockhauses zu kennen, muß der Ort des Schatzes unabhängigvom Ausgangspunkt der Prozedur sein. Dann kannman jeden beliebigen Ausgangspunkt nehmen, z. B. eineEcke des Quadrats, dessen Diagonale die Verbindungslinieder Bäume ist. Kidds Vorschrift führt dann zur 4. Eckedes Quadrats. Da man nicht weiß, wie Kidd die Bäumenumeriert hat, wird man es an beiden Ecken des Quadratsversuchen. Den Beweis, daß der Endpunkt der Prozedur unabhängigvon ihrem Ausgangspunkt ist, führt man am bestenin der komplexen Ebene. Der Ursprung sei die Mitte zwischenbeiden Bäumen. Zum Baum A führt der komplexePfeil z, zum anderen (B) führt -z. Irgendwo bei y liegedie Blockhaustür H. Dann geht man von H bis A längsz- y. Schwenkung um 90° nach rechts bedeutet Multiplikationmit -i: Von A zum l. Pflock P führt -i(z- y), von 0nach P führt z- i(z- y). Analog: HB = -z- y,BQ= i( -z ~ y), OQ = -z- i(z + y). Der Schatz liegt mittenzwischen den Pflöcken P und Q bei! ( OQ + OP) = -iz,also tatsächlich in der Ecke des Quadrates mit der DiagonaleAB.4.1.4. BeschleunigungsmesserIm Bezugssystem des Fahrzeugs, das mit a beschleunigtist, lautet die Bewegungsgleichung der Kugel mi =-ma - Dx - kX. Die Kugel soll durch ihren Ausschlag xdie unregelmäßige Zeitfunktion a(t) möglichst getreu darstellen.Bei längerer konstanter Beschleunigung a istx = -mal D. Das entspricht dem quasistatischen Plateauder Resonanzkurve. Da auch und erst recht solche Vorgängeaufgezeichnet werden sollen, gibt es keine andere Wahl desMeßbereichs als w ;;; wo. Kurze Stöße von etwa 0,1 s Dauerinfolge Straßenunebenheiten brauchen nicht aufgezeichnetzu werden. Das Auge könnte ihrer Anzeige auch gar nichtfolgen. wo kann also in der Gegend von 10 s -I liegen. Füreine Stahlkugel von 1 cm Durchmesser, also 4 g Masse erfordertdas eine Feder von etwa 0,4 N/m. Dämpfung aufden aperiodischen Grenzfall optimiert wieder Meßbereichund Einstellzeit (vgl. Aufgaben 4.1.5). Ein solchesk = 0,08 N s/m läßt sich als Stokes-Reibungsfaktork = 6mv mit 11 = 0,8 N slm 2 realisieren. Das entsprichteinem ziemlich dicken MaschinenöL Seine Viskosität mußgut temperaturbeständig sein, sonst kann man aus demGrenzfall geraten und damit für schnelle Vorgänge falscheAngaben erhalten, weil sich der Horizontalitätsbereich verengt.Der Ausschlag der Kugel ist X~ maiD ~ w- 2 a. Beschleunigungenvon einigen Zehntel rn!s 2 lassen sich also mitHilfe eines Lupenglases noch gut und schnell ablesen.4.1.5. MeßgerätDie Schwingungsgleichunr, 1ifJ + kip + DqJ = 0 hat die vollständigeLösung f{J = qJ 1 e 11 + f(Jz eJ

Kapitel 4: Lösungen 1045matischen Vorgang verbietet das die Relativitätstheorie auchgar nicht, sondern nur für einen Vorgang, der Energie, Impulsoder Masse transportiert.4.2.2. Erdbeben IDie zuerst ankommende Erdbebenwelle (P-Welle) hat die2300km von Agadir bis Paris mit 23001300 = 7,7krn!sdurchlaufen. Die ?-Wellen sind longitudinal, wie man ander Schwingungsrichtung des Seismographen erkennt; alsoist die Ausbreitungsgeschwindigkeit durch den Kompressionsmodulauszudrücken: c = ..;'K7Q (man beachte, daßkein seitliches Ausweichen möglich ist). Mit Q = 3 glcm 3ergibt sich K = Qc 2 = 2 · 10 11 N 1m 2 . Selbst ein stoßartigesBeben liefert ein langgezogenes Seismogramm, um somehr, je weiter der Herd entfernt ist; denn die verschiedenenWellen haben verschiedene c und laufen auf verschiedenenWegen. Am schnellsten laufen die longitudinalen ?-Wellen,nur etwa halb so schnell die rein transversalen S-Wellen,noch später kommen die Rayleigh- und Love-Wellen(M und L), reine Oberflächenwellen, die einen längerenWeg haben als die P- und S-Wellen. Die langsameren Wellensind überwiegend Scherwellen; ihr etwa halb so großes cwird durch G bestimmt, das etwa i so groß ist wie K(Tabelle 3.3, Abschn. 3.4.3). Die Moduln nehmen mit derTiefe (dem Druck) schneller zu als die Dichte. Deshalb istc in der Tiefe größer, und die Wellenfronten schwenkenzur Oberfläche hin leicht ab. An der Oberfläche und ander Mantel-Kern-Grenze tritt Reflexion ein, an der Kerngrenzeauch Brechung mit sin cx1 I sin cx2 = c2l c1. DerMantel ist optisch dünner (c ist dort größer), also könnendie Wellen den Kern nur wieder verlassen, wenn sie steilerals mit cx ~ 40° auf die Grenze auftreffen. Der c-Wert imKern deutet bei Q

IIII1046 : : Lösungen zu den AufgabenInnenohr zu bringen, weil der Reflexionskoeffizient beidemalpraktisch 1 ist. Man verliert jedesmal einen Faktorvon der Größenordnung 104. Normale Mikrophone zeigendaher auch von den Unterwassergeräuschen nur sehr wenigan. Man benutzt "Hydrophone", die mit Wasser oder einemMedium ähnlichen Wellenwiderstandes gefüllt sind und daherbessere Übertragungseigenschaften haben.4.2.8. SeegeflüsterDie größere Schallgeschwindigkeit im Wasser ist nicht derGrund, obwohl die meisten Leute das glauben. Der Schallkann nämlich wegen des hohen Reflexionskoeffizienten zwischenzwei Stoffen so verschiedener Dichte praktisch nichtvon der Luft ins Wasser und umgekehrt, und der "Wasserschall"spielt daher keine Rolle. Auch die Freiheit von Hindernissenist nicht der Hauptfaktor: Über glatten Wüsten- undSandflächen trägt der Schall keineswegs besser, am wenigstenbei Sonnenschein. Über dem See herrscht eine Temperaturinversion:Dicht über dem Wasser ist es kühl, mit zunehmenderHöhe steigt die Temperatur schnell auf den Normalwertan. Da sich der Schall in warmer Luft schneller ausbreitet(c"' ..;T), führt das zu einer BündeJung des Schalls, ähnlichwie im Sprachrohr. Das Umgekehrte tritt über heißenSand- oder Asphaltflächen ein. Daß man so schwer gegenden Wind anschreien kann, liegt nicht an dem Verlust derSchallgeschwindigkeit in der bewegten Luft (der Wind istimmer langsam gegen den Schall), sondern ebenfalls aneinem negativen Sprachrohreffekt In größerer Entfernungvon Hindernissen wie dem Erdboden oder selbst unseremKopf ist die Strömung schneller, und daher fächern die"Schallstrahlen" auf, und man hat das Gefühl, daß einemder Schall vom Mund weggerissen wird. Quantitativ: Überdem Wasser sei es um 11T kühler als normalerweise, der Ausgleicherfolgt auf einer Höhe h. Dann werden alle "Schallstrahlen",die unter weniger als rx ;:ll:j !h/T · dTjdh ;:ll:j! 11T jT ansteigen, wieder zur Oberfläche zurückgeworfen.Windgeschwindigkeit v bedingt Auffächerung der Abstrahlwinkelum den Faktor 1 + v / c, also eine Intensitätsabnahmeum den Faktor 1- 2vjc.4.3.1. ReflexionWenn Lattenbreite und -abstand klein sind gegen die Wellenlänge,wirkt jede Latte als praktisch punktförmiges Sekundärwellenzentrum.Bei einem einfallenden Bündel parallelerWellen interferieren sich die Sekundärwellen in allen Richtungenweg, außer in der durch das Reflexionsgesetz bestimmten,und zwar unabhängig davon, ob die Latten regelmäßigangeordnet sind oder nicht. Man liest das am schnellstenaus der Huygens-Konstruktion (Abb. 4.33) ab; ob mandie Sekundärzentren darin kontinuierlich oder auch nur regelmäßigzeichnet, ist gleichgültig. Für die Zaunlückengilt natürlich dasselbe, aber ihre Emission geht auch in Vorwärts-Richtungungeschwächt. Das Interferenzbild ist alsobeiderseits, abgesehen von der Intensität, spiegelbildlich.Wenn die Wellenlänge etwas kleiner ist als der Lattenabstand,ergeben sich die vom Beugungsgitter bekanntenEffekte: In Reflexion und Durchgang treten Nebenmaximaauf. Sie liegen um so dichter, je kleiner }, wird. Immernoch ist aber das Hauptmaximum, das regulärer Reflexionbzw. geradlinigem Durchgang entspricht, am stärksten.Erst bei sehr viel kleinerem ), verschmelzen diese vielen Maximamit ausgeglichener Intensität zu einer annähernd isotropenEmission. Schallwellen sind meist als Kugelwellen aufzufassen,daher wird das Bild des Echos geometrisch komplizierter.Nebenmaxima hört man selbst vor einem streng"preußischen" Kiefernwaldrand nur schwer. Der Übergangvon diskreter zu kontinuierlicher Reflexion ist aber sehrsinnfällig, wenn man z. B. mit dem Motorrad an einerBaum- oder Pfahlreihe, einem Zaun oder einer Mauer vorbeifährt.4.3.2. Am StrandWenn die Wassertiefe H « ); ist, breiten sich die Wellenmit c = fgH aus (vgl. (4.107)). Ihre Brechzahl n =cofc"' 1/VH geht gegen oo, wenn sie sich dem flachenUfer nähern (was mit anderen Wellen schwerer zu erreichenist). So biegt der "Wellenstrahl" immer mehr in die Lotrichtungzum Strand (vgl. Abschn. 9.4.1). Der Winkel rx zwischenStrahl und Lot ändert sich nach sin rx/ sin rxo = nofn,auch bei einer stetigen Folge von "Brechungen", und wirdbei H = 0, n = oo schließlich 0. Man will dies in Wellenkraftwerkenausnutzen: Eine künstliche Insel in Form einesumgedrehten flachen Tellers soll die Wellen von allen Seitenauf den Empfänger konzentrieren.4.3.3. FlüsterjetsDa die Amplituden gleich sind, kommt es nur auf die Phasenrp an. Ein Zeigerdiagramm zeigt: Bei l11rpl < 120° ist dieSumme der Amplituden größer als eine einzelne, sonst kleiner.Bei Zufallsphasen ist die Wahrscheinlichkeit für "größer"also ~- Motorenlärm hat ein sehr breites Frequenzband,und es ist völlig ausgeschlossen, daß alle Teilwellenausgerechnet in den !-Schwächungsbereich fallen.4.3.4. Doppler-EffektDie Radialkomponente der Geschwindigkeit von Stern oderGalaxis relativ zur Sonne drückt sich in einem Rot- oderViolett-Doppler-Effekt aus: 11v = v(l + vrfc). Bei Sternenist Vr in der Größenordnung 10-100km/s, also 11v jv ;:ll:j10~ 3 . Bei fernen Galaxien geht Vr bis nahe an die Lichtgeschwindigkeit.Das führt nicht nur zu einer Verschiebungweit ins Rote, sondern auch zu einer Intensitätsverdünnungder Strahlung. Damit man diese Verschiebungen bei denLinien des Sternspektrums messen kann, dürfen . sie nichtwesentlich kleiner sein als die Linienbreite, die z. T. ebenfallsein Doppler-Effekt ist, nämlich irrfolge der thermischenGeschwindigkeit der strahlenden Teilchen. Bei 10 000 K hatein H-Atom v = 15 km/s, schwerere Teilchen fliegen langsamer,z. B. ein Fe-Ion mit 2km/s. Die Doppler-Verschiebunginfolge Sternbewegung ist natürlich für alle Teilchenmassengleich. Außerdem gibt es eine Stoßverbreiterung: Infolgeder Stöße mit anderen Teilchen kommen die Strahler nurdazu, kurze Staccato-Töne zu strahlen, und die sind wiebeim Koloratur-Baß (Aufgabe 4.1.1) notwendig unrein,

Kapitel 4: Lösungen 1047d. h. spektral verbreitert. Die Rotationsgeschwindigkeit einesausgedehnt erscheinenden Gebildes wie einer nahen Galaxisläßt sich aus dem Doppler-Effekt der einzelnen Teile desBildes direkt messen. Bei einem Stern oder fernen Nebel ergibtdie Rotation eine Zusatzverbreiterung, die bei schnellerRotation gut von thermischer und Stoßbreite trennbar ist. Beimanchen Doppelsternen deckt eine Komponente die anderezeitweise ab und isoliert so im Moment teilweiser Bedeckungu. U. das Licht vom Rand des Sterns; dann tauchen plötzlichverschobene Linien aus der allgemeinen Verbreiterung auf.Ein nicht direkt sichtbarer Begleiter erzeugt eine Kreisbewegungund einen Doppler-Effekt periodisch wechselndenVorzeichens beim Hauptstern. Die Beobachtungsmöglichkeitfür diesen Effekt hängt schwächer vom Abstand vonder Sonne ab als für die direkten Positionsschwankungen,aber selbst bei Planeten von Jupitermasse ist er winzig (zwischen1 und lOOm/s).4.3.5. ÜberschallknallEin punktförmiger Überschallkörper würde einen scharfenMach-Kegel, also einen einzigen Knall erzeugen. Beim Flugzeugerfolgt die stärkste Erregung am Bug und am Heck(Eintauch- bzw. Abreißwelle). Es wird von zwei koaxialenMach-Kegeln begleitet. Der Zeitabstand der Knalle ist einfachdie Zeit, in der die Flugzeuglänge vorbeifliegt. Beia=42° folgt v=c/sina=500ms- 1 , und bei t=ks istdie Flugzeuglänge tjv = 60m.4.3.6. Tscherenkow-StrahlungVGlas=2·10 8 ms- 1 ,vwasser=2,25 ·10 8 ms- 1 . W=!mv 2 =1,8 · 10-14 J = 0,11 MeV in Glas, 2,3 -10-14 J = 0,14MeVin Wasser. Die relativistische Formel (15.9) ergibt etwashöhere Energien (die Masse ist ja größer geworden):0,17 4 MeV in Glas, 0,259 MeV in Wasser. Praktisch jederKernprozeß gibt direkt oder indirekt (durch y-Strahlung ausgelösten)Elektronen solche und viel größere Energien rriit.Durch Wasser abgeschirmte y-Quellen z. B. leuchten daherintensiv in blaugrünem Tscherenkow-Licht.4.4.1. PanflöteBenutzt man einseitig offene Rohrflöten, darin geht bei derGrundschwingung )./4 auf die Rohrlänge. Die Frequenzenverhalten sich umgekehrt wie die Längen: Die Oktavflöteist halb so lang wie die Grundtonflöte. Bei temperierter Stimmunghaben zwei benachbarte Rohre (Halbton-Intervall)immer das gleiche Längenverhältnis 2-1112 = 0,944. DieLängen bilden eine geometrische Folge mit diesem Faktor,d. h. die Rohrenden liegen auf einer Exponentialkurve. DerKammerton A (440Hz) entspricht einer Rohrlängel = A./4 = icfv = 18,9 cm.4.4.2. Goldener Schnitt(l) Beim Rechteck mit "goldenen" Proportionen alternierendie abgetrennten Quadrate, bei allen anderen Verhältnissenbilden sich manchmal mehrere gleichgroße (Abb.4.61).Goldene Membranen oder Säle minimieren die Chancenfür gefährliche mehrfach-entartete Eigenschwingungen inQuadraten oder Würfeln. (2) Strecke a geteilt in x unda-x, so daß xj(a-x)=afx, d.h. x2 =a2 -ax,x = !a(v's -1).(3)DasregelmäßigeZehneckmitderSeitexund dem Umkreisradius a zerfällt in 10 gleichschenkligeDreiecke mit 36° an der Spitze und 72° an der Basis. DieWinkelhalbierende eines Basiswinkels schneidet ein demgroßen ähnliches kleines Dreieck ab, aus dem man wiederabliest x/(a- x) = ajx. (4) und (5). Die Folge der Kettenbrüchemit lauter Einsen ist identisch mit der Fibonacci­Folge: Wenn ein Kettenbruch den Wert a/b hat, heißt dernächste 1/(l + ajb) = bj(a + b). Der Grenzwert ist der"unendliche Kettenbruch" g, für den gilt g = 1/(1 + g)(bei unendlich vielen Stockwerken macht es nichts aus,wenn man das oberste wegläßt), also g 2 + g = 1. (6) DerBuklidsehe Algorithmus geht von zwei Zahlen a, b(a > b) aus und konstruiert eine Zahlenfolge co = a,CJ = b, c2 = Rest der Division ajb, .. . , Ci+ I = Rest der DivisionCi-J/ci, ... . Wenn a und b ganz sind, bricht die Folgeab (spätestens bei 1), und zwar mit dem größten gemeinsamenTeiler von a und b. Wenn a und b einen Fibonacci-Bruchbilden, garantiert dessen Bildungsgesetz, daß bei jederDivision herauskommt "1, Rest. ... " Daher muß man fürgegebenes b hier öfter dividieren als bei jedem anderen a.(7) Dies ist die einfachste Konstruktion des GoldenenSchnitts. Der Pythagoras liefert AO = !av's. (8) Nachbarblättermüssen am Stenge! um den Fibonacci-Winkel360° g oder 360° (1- g) = 137,5° versetzt sein, dannkommt es so spät wie möglich zur angenäherten Überdeckung.Man sieht das bei Compositen wie Beifuß(Artemisia), auch an Koniferenzapfen und Sonnenblumenblüten.4.4.3. Membranschwingungu =Asin(2k:x)sin(ky) + Bsin(k:x)sin(2ky) ist 0 beicos(ky) = -AB- 1 cos(k:x) (Additionstheorem für sin(2k:x)und sin(2ky)). Nahe der Mitte der Membran(x = !·n-jk + ~. y = !1r/k + 17) lautet diese Bedingung17 = -A~jB. Die Knotenlinie geht unter dem Winkelarctan( -A/B) durch die Mitte. Bei A = 0 oder B = 0 oderA = ±B behält sie diese Richtung bis zum Rand. BeilAI < IBI trifft sie auf die Ränder x = 0 und x = a, wobeicos(kx)---+ 1- k 2 x 2 j2, also cos(ky)---+ -AjB. Da cos(ky)dort noch weit von seinem Maximum entfernt ist, währendcos(k:x) es gerade erreicht, kann sich y zum Schluß nichtmehr ändern: Die Knotenlinie trifft senkrecht auf denRand. Entsprechend für IBI < lAI und Vertauschung von xund y. Die Knotenlinien sind daher i. allg. S-förmig.4.4.4. KnotenlinienAuf einer Knotenlinie und besonders an der Kreuzungsolcher Linien ist u = 0 und daher wegen (4.98) 11u = 0.Das bedeutet für den Kreuzungspunkt: Die u-Fläche istdort in einer Richtung ebensostark positiv gekrümmt wiein der dazu senkrechten Richtung negativ (11u =1/rl + l/r2; außerhalb einer Kreuzung auf dem Knoten istdie Krümmung 0 längs der Knotenlinie, also auch 0 senkrechtdazu: gleichmäßiger Anstieg). Die Kreuzung ist alsoein Sattelpunkt oder Paß mit Bergen auf zwei und dazu

IIIIII1048 Lösungen zu den Aufgabengenau symmetrischen Tälern auf den zwei anderen Seiten. Ineiner solchen Landschaft müssen die beiden geraden steigungsfreienStraßen, die es bei jedem Paß gibt, sich rechtwinkligschneiden. Diese Straßen sind natürlich die Knoten(u = 0). Man kann auch u(x,y) um den Kreuzungspunktnach Taylor entwickeln. Die ersten Ableitungen verschwinden,bei geeigneter Achsenorientierung wird u = ae + b1J 2mit a = -b wegen /}.u = 0. Die Höhenlinien sind gleichseitigeHyperbeln, die Asymptoten e = 11 2 , d. h. Yf = ±~ kreuzensich rechtwinklig. Ein Spezialfall ist das senkrechte Auftreffenauf den Rand in Aufgabe 4.4.3, denn die Randlinie istauch ein Knoten (u = 0). Bei mehreren sich kreuzendenKnoten muß man bis zu höheren Taylor-Gliedern entwickelnoder noch besser nach Fourier.4.5.1. Schalltote ZoneDa normalerweise die Temperatur mit der Höhe abnimmt(adiabatische Schichtung, vgl. Aufgabe 5.2.11), krümmensich die "Schallstrahlen" von der Erde weg. Diese T-Abnahmehört in der Tropopause auf und geht in der Ozonsphärein eine T-Zunahme über. Die Ozonsphäre krümmtden Strahl daher wieder zur Erde zurück und wirkt fürkleine Einfallswinkel effektiv als Spiegel. In einem T­Gradienten dT ldh ist der Schallgeschwindigkeits-Gradientdcldh = !ciT · dTidh (c ,...._ T 1 i 2 ). Eine Welle, deren Normaleunter dem Winkel rx gegen die Vertikale steht, wirdso zum Umschwenken auf einen Kreis vom RadiusR = 2T I ( sin rx · dT I dh) gezwungen. In der Troposphäre istüblicherweise dT I dh = -1 o I 100m, also R ""' 60 km. Horizontalabgehende Schallstrahlen erreichen so die Tropopausenach 30-40 km Lauf, brauchen etwa doppelt soweit, um ihren Neigungswinkel in der Ozonsphäre umzukehrenund kommen also nach 120-160km wieder unten an.4.5.2. SchallstrahlungsdruckNach Bernoulli wäre der statische Druck im Schallbündel,wo die mittlere Teilchengeschwindigkeit v0 herrscht, um! evö reduziert, wenn die Dichte dort ebensogroß wäre wieaußerhalb. In Wirklichkeit saugt das Bündel aus dem AußenraumLuft an bis zum Druckausgleich. Da vo ~ c undp ""' ! ec 2 , genügt dazu ein sehr geringer Zustrom. AmSchirm wird die Teilchengeschwindigkeit plötzlich 0. Dortist der statische Druck daher genau um den Betrag ! evÖgrößer als normalerweise, d. h. um den Schallstrahlungsdruck4.5.3. Fledermaus-SonarWenn die Hörschwelle des Fledermaus- wie des Menschenohrsbei 10- 16 Wicm 2 liegt, entspricht das der auf eineKugelwelle von 1 km Radius verteilten Energie des Fledermausschreis.Das Tier kann aber erheblich bündeln. EineWelle von 100kHz, also mit A. = 3 mm läßt sich durcheine "Apertur" von ca. 1 cm wie das Fledermausmaul bestenfallsauf einen Öffnungswinkel von! A.l d""' 0, 15, d. h. etwa10° konzentrieren. Der entsprechende Raumwinkel ist ca.0,03 sterad oder 1/300 VollwinkeL Eine Fledermaus hörtalso die andere, die sie genau anschreit, auf etwav'360 km ""' 17 km. Beutetiere oder Hindernisse reflektiereni. allg. nach allen Seiten. Ein Insekt vom Durchmesser 6im Abstand a streut einen Bruchteil 6 2 I(0,15af der Gesamtenergiedes Signals (abgesehen von Verlusten bei derReflexion). Die reflektierte Welle ist praktisch als Kugelwelleaufzufassen. Ihre Intensität im Abstand a ist6 2 1[(0,15a) 2 4?Ta 2 ] ""'6 2 I(0,03a 4 ). Bei 6 = 1 cm und a =10m enthält der Reflex 10-9-10-10 W, ist gerade noch zuhören. Bei größeren Objekten wächst der zulässige Abstandwie v!J. Die Fledermaus verwendet Ultraschall wohl wenigerdeswegen, weil er kleinere Objekte "aufzulösen" gestattet. Eskommt ihr ja wohl hauptsächlich darauf an, daß etwas imWeg ihres Sonars ist; die Intensität des Reflexes kombiniertmit der Stereophonie der beiden Ohren erlaubt bestimmt eineziemlich sichere Unterscheidung, selbst wenn keine Einzelheitenim Objekt erkennbar sind. Die Bündelung dürfte wichtigersein als das Auflösungsvermögen, und sie verlangt beiso kleiner Schallquelle eine sehr kurze Welle. Beim Unterwasser-Sonarist die Hauptschwierigkeit der Intensitätsverlustbeim Übergang Luft-Wasser und zurück. Außerdemhat der Fisch, abgesehen von seiner Schwimmblase, praktischden gleichen Wellenwiderstand wie das Wasser undreflektiert daher nur schwach.4.5.4. SchallabsorptionWenn Druck und Dichte genau in Phase schwingen, entsprichtdas dem quasistatischen Fall der erzwungenenSchwingung, bei dem Kraft und Auslenkung phasengleichsind. Die Energie, die ein Volumenelement in der Kompressions-Halbperiodeaufnimmt, gibt es bei der Dilatation genauwieder her (dies unabhhängig davon, ob die beiden Vorgängeisotherm oder adiabatisch sind). Man sieht das am klarstenim p, V-Diagramm: Das System pendelt auf einer nachrechts geneigten Geraden harmonisch hin und her. Die eingeschlosseneFläche, die die pro Periode geleistete Arbeitangibt, ist Null. Bei einer Phasenverschiebung 6 zwischenp und Q öffnet sich eine Ellipse und wird bei 6 = ?T 12zum Kreis, falls man die Achsen entsprechend normiert( dp = - K d V I V; man betrachte ein Volumen V, das zahlenmäßiggleich 1IK ist). Die Ellipsenfläche ist proportionalsin 6 und stellt die Energie dar, die die Welle beim Fortschreitenum eine Wellenlänge dem Medium zuführt: Der Absorptionskoeffizientist rx ,...._ sin 6. Die vollständige Betrachtungliefert rx = sin 6 · 2?T I A.. Die drei wichtigsten Transportphänomene(innere Reibung, Wärmeleitung, Diffusion) scheinenauf den ersten Blick sehr verschiedenen Einfluß zu haben.Am leichtesten sieht man für die Viskosität ein, daß sieähnlich wie die Reibung bei der erzwungenen Schwingungeine Phasenverschiebung und damit eine Absorption herbeiführt.Die Wärmeleitung läßt die komprimierten Gebietenicht so warm werden, wie sie es adiabatisch werden sollten.Wenn die Dilatationsphase kommt, findet sie ein etwaszu kühles Gas vor, das sich langsamer ausdehnt als es sollte:Die Dichtewelle hinkt etwas nach. Ähnlich wie die Wärmeleitungversucht auch die Diffusion die Dichteberge abzubauenund die Täler aufzufüllen.

Kapitel 4: Lösungen 10494.5.5. KlangfarbeAls Perioden liest man ab 2,5 ms, 3,75 ms, 3,75 ms, für dieFrequenzen also 400Hz, 267 Hz, 267Hz. Wahrscheinlichspielen die Künstler g', c', c' (392Hz, 262Hz, 262Hz).Die Geige spielt die Quint zu Trompete und Klarinette.Der Klarinettenton m enthält sehr stark und fast ausschließlichdie Oktave 2m (allerdings etwas phasenverschoben, wasdas Ohr nicht wahrnimmt). Er klingt daher etwas leer undscharf (bewußt so gespielt, im Beispiel vom Jazz-KlarinettistenBill Munroe). Auch die Trompete ist bewußt scharf angeblasen(Louis Armstrong), enthält aber 3m, die höhereQuint (zum Klang leerer Quinten vgl. 9. Sinfonie). DerGeigenton nähert sich der Dreieckskurve von Abb. 4.10,die alle "geraden" Obertöne nm mit n = 2m+ 1 enthält,wenn auch in einer mit n- 2 abnehmenden Intensität. m,3m, Sm bilden den Dur-Dreiklang. Daher klingt die Geigeam wärmsten. Ganz "dolce" wird sie hier aber auch nichtgespielt, wie die starke aufgesetzte Wellenlinie mit 1mzeigt. Zino Francescatti legt etwas von der Schärfe undSpannung des Dominantseptakkords hinein.4.5.6. Reine StimmungDie reine Stimmung strebt rationale Frequenzverhältnissemit möglichst kleinem Zähler und Nenner an. Die großeTerz (5/4) läßt sich aber nicht in zwei gleich große Ganztönezerlegen (dies ergäbe VSI2), sondern nur in einen großen(9/8) und einen kleinen (10/9) Ganzton. Das Frequenzverhältniszwischen beiden Ganztönen (81/80), das syntonischeKomma, wird von einem einigermaßen guten Ohr wahrgenommen.Stimmt man_das Intervall c-d als großen Ganzton9/8 undc-aals 5/3 (a als kleine Terz zur Oktave 2: 5/3 = 6/5),dann ergibt sich g-a' als 5/3: 3/2 = 10/9. G-Dur erhält damiteinen kleinen Ganzton als Sekundschritt Das ginge vielleichtnoch an, aber bei der nächsten Tonart (D-Dur) wird dannsogar die Quint falsch (20/9: 3/2 = 40/27 =/= 3 12).4.5.7. Warum hören wir nicht feiner?Man kann das Trommelfell als ein Teilchen ansehen, das eineunregelmäßige Brownsche Zitterbewegung mit der mittlerenEnergie W = kT ausführt (! kT für die kinetische, ebensovielfür die potentielle Energie der Schwingung). Während derPeriode -r einer 1000 Hz-Welle, für die das menschlicheOhr am empfindlichsten ist, entspricht das einer LeistungkT 1-r ~ 4. w- 18 W oder bei einer Trommelfellfläche von0,3 cm 2 einer völlig aperiodischen Schallintensität von etwasmehr als w- 17 w I cm 2 . Die Hörschwelle liegt beiw-16 W 1 cm2. Wäre sie wesentlich geringer, würde mannur noch thermisches Rauschen hören. Dieses Rauschenist "weiß", denn in den völlig regellosen Impulsen sindalle Frequenzen gleich stark vertreten. Mehr Einblick inden Mechanismus gibt die folgende Ableitung: Die TrommelfellflächeA erfährt im Durchschnitt in der Zeit -rz = ~nvA-rMolekülstöße, die den Luftdruck d~stellen.Eine solche statistische Stoßzahl ist nach Poisson me genaurealisiert, sondern nur bis auf eine StandardabweichungAz = "fi. vom Mittelwert. Mit -r = 1 ms ist z ~ 0,6 · 10 20 ,also Azl z ~ w- 10 . Innerhalb der Schallperiode kann alsoder Druck auf der einen Seite des Trommelfelles leicht umw- 10 bar größer sein als auf der anderen. Eine solche Druckamplitudevon w- 10 bar entspricht gemäß I=!cAp 2 IKeiner Schallintensität von etwas mehr als w- 17 W I cm2.Allgemein erhält man I~ jp2 I(KnvA-r). Die Rauschintensitätließe sich also hinabdrücken, wenn man das Trommelfellvergrößerte und die Frequenz des Empfindlichkeitsmaximumssenkte. Beide Maßnahmen steigern nämlich dieStoßzahl und senken damit ihre relative Abweichung vomMittelwert. Dann erst hätten vergrößerte Ohrmuschelnu. dgl. einen Sinn.4.5.8. BasilarmembranWenn ein Zungenfrequenzmesser rasch wechselnden Schallsignalenfolgen soll, müssen die Resonatoren stark gedämpftsein, sonst würden sie mehr den Nachhall vergangener Signaleals die jetzigen wiedergeben. Starke Dämpfung machtdie Resonanzkurve breit, d. h. die Resonatoren sprechen auchauf andere Frequenzen als auf ihre Resonanzfrequenz an. DieNachhallzeit eines einmal angestoßenen Resonators, definiertals die Zeit, in der seine Energie um den Faktor e abklingt,ist -r = 2lb = mlk (s. Abschn.4.1.2; der Faktor 2stammt daher, daß die Energie durch das Amplitudenquadratgegeben wird). Bei dem Dämpfungsfaktor k hat das Resonanzmaximumdie Breite Am~ mokiV2iiJJ = klm = c 1 .Trennschärfe und Nachhallzeit sind also direkt gekoppelt.Wenn das Ohr im meistbenutzten Frequenzbereich um400Hz Unterschiede um einen Achtelton, d.h. Avlv ~0,007, Am~ 20 wahrnehmen soll, ergibt sich also eineNachhallzeit von 0,02 s, die auch sonst als "physiologischeFlimmergrenze" eine generelle Rolle spielt (Kino usw.).Hierbei ist vorausgesetzt, daß eine Verstimmung erst bemerktwird, wenn die Amplitude des entsprechenden Resonatorsauf die Hälfte abgesunken ist. Besonders ein geübtesOhr leistet natürlich viel mehr.4.5.9. NachhallEine Nachhallzeit von einigen zehntel Sekunden ist im Vortragssaalnoch erträglich, im Musiksaal kann sie länger sein.Im Raum vom Volumen V steckt eine Schallenergie W = Q V.Die in eine gegebene Richtung wandemde Intensität ist etwaI = ~ gc. Die Wandfläche A mit der mittleren "Absorption" a(man beachte, daß dies kein Absorptionskoeff~zient im üblichenSinne ist) verringert die Energie um W = -aiA. Wklingt, wenn plötzlich Ruhe eintritt, exponentiell ab mit-r = - W lW = 6V I ( IXAc ), für einen Würfel der Kante awird r = al(ac). Langgestreckte Räume haben relativ größeresA,also kürzeres r. Ein großes Opernhaus kommt derWürfelformnoch am nächsten. Bei a = 40 m muß überall IX = 0,4sein, damit r ~ 0,3 s bleibt. Schlußfolgerungen auf Ausführungstechnikvon Schauspiel, Predigt, Barock- und Kammermusikliegen nahe.4.5.10. Wer heizt die Corona?Im Stern nehmen Druck und Dichte nach innen stark zu,Temperatur und Schallgeschwindigkeit es = JYPf(i ~ vTebenfalls. p ist der Schweredruck (gleich dem gaskineti-

1050 Lösungen zu den Aufgabensehen Druck), also nach Aufgabe 5.2.6 im Zentrum p ~GMg)r. Dies, etwas inkonsequenterweise mit der mittlerenDichte Q = iMI(1rr 3 ) kombiniert, ergibt es~ JGMylr,was sicher zu groß ist (für das Zentrum, weil Q dort größerist, für die Außenschichten, weil p dort kleiner ist). Das Gasist einatomig, also y = ~·es ist also praktisch identisch mit derparabolischen Entweichgeschwindigkeit v, die aus ! mv2 =GM Ir folgt. Da unser es aber besonders außen ·zu großist, kann keine Schallwelle Gasfetzen ganz vom Stern abschleudern,wenn auch immerhin auf erhebliche Abstände.Die Corona mit ihren 106 K wird vermutlich durch Schallwellen,d. h. den Lärm der brodelnden Wasserstoff-Konvektionszonein der oberen Sonnenatmosphäre so stark geheizt(vgl. Aufgabe 5.3.8).4.5.11. Sterne als StimmgabelnAus der Doppler-Verschiebung folgen für die beiden CepheidenExpansionsgeschwindigkeiten von Vmax = 1wrmax =?rrmaxlr = 300 bzw. 150km/s, also mit den angegebenenr-Werten rmax = 2 · 107bzw. 5 · 108 km oder 30 bzw.1000 Sonnenradien. Wenn die Sonne sich verhielte wieder größere dieser Sterne, würde sie bei maximaler Ausdehnungbis zum Jupiter reichen! Die Dichten sind entsprechendgering: I o-4 bzw. 2 · I o-9 gl cm3 bei maximalerAusdehnung. Die Schallgeschwindigkeit ist es ~ vYPJQ ~JyGMir, die Schallwelle braucht vom Zentrum bis zurOberfläche r' = r I es ~ J r31 ( yGM) = J 31 ( 47rgG). Einsetzender obigen Minimaldichten liefert r' ~ 1,6 bzw. 300Tage. Je genauer man rechnet, desto besser wird die Übereinstimmungmit der Beobachtung. Speziell die Beziehungr"' g- 1 / 2 bestätigt sich durchgehend. Die Cepheiden­Pulsation ist wirklich eine akustische Eigenschwingung.Diese Sterne sind die größten Stimmgabeln, die man kennt(über die kleinsten vgl. Aufgabe 13.1.15).4.5.12. Ultraschall-BohrerIn der Unterdruckphase des Schallfeldes muß die Zerreißspannung(J des Werkstücks überschritten werden. DieSchallintensität I muß also größer sein als !(J 2 I(ges).Für Stahl mit (J ~ 5 ·108 Nm-2, es~ 5,I·l03 ms-1 folgtI> 5 ·I09 wm- 2 , also braucht man für eine 1 mm 0-Bohrungeine Schalleistung von etwa 4kW. Jeder Luftspalt würdeinfolge der Reflexionsverluste die Intensität um vieleGrößenordnungen senken. Der Transducer muß sich glattauf den gwünschten Durchmesser verjüngen und natürlichaus festerem Material sein als das Werkstück.4.6.1. DispersionDie Welle hat mehr Schwereenergie als die glatte Oberfläche,denn das Wasser, das im Tal fehlt, ist auf den Berg gehobenworden. Für eine Welle der Länge ), und der Amplitude h istdas Volumen des Berges auf der Frontbreite b kleiner als! }cbh (Rechteckform), aber größer als ! Jcbhl2 (Dreiecksform),also etwa Vbh (exakt für eine Sinuswelle J.bhl1r).Diese Masse m = QAhhl1r ist um eine Strecke gehobenworden, die zwischen h (Rechteck) und ~ h (Dreieck) liegt(exakt 1rhl4). Die Schwereenergie in diesem Wellenabschnittist also Wsch = ! ggJcbh2 = 2mgh. Die Oberflächedes Wellenberges ist größer als die entsprechende glatteWasserfläche Ao = ! ),b. Die Dreieckskurve ergäbe A =! }cbJ l + 16h21 }.. 2 ~! }cb(l + 8h 2 1 ), 2 ). Der exakte Wertist! Jcb(l + 1r 2 h 2 l }.. 2 ). Die Differenz ergibt eine OberflächenenergieWk = (J(A - Ao) = ~(Jbh 2 1 A. In der Betrachtungvon Abschn. 4.6 muß man jetzt 2mev gleich der Summedieser beiden Energien setzen. Man erhält dann schließliche = y'gJ,I(21r) + 21r(JI(QA). Dieser Ausdruck faßt die beidenNäherungen für reine Schwere- und reine Kapillarwellenzusammen.4.6.2. Brecher auf hoher SeeDas Wellenprofil ist eine Trochoide, die nach Abb.4.71 ausder kreisenden Bewegung der Wasserteilchen entsteht. Solldie Amplitude bei gegebenem }._ größer werden, dann mußman den Kreis vergrößern. Man erreicht dabei einen Zustand,wo der Kreis zum Rad wird, das rutschfrei auf derGrundlinie (Höhe des Wellentals) abrollt (auch die allgemeineTrochoide kann durch Abrollen eines einzigenKreises entstanden gedacht werden, dessen Umfang natürlichimmer gleich ), ist; für kleinere Amplituden wie inAbb. 4.71 ist es aber ein Punkt auf der Speiche im Innerndes Rades, der die Trochoide beschreibt). Im oben geschildertenFall r =! Al1r entsteht eine Zykloide, deren Wellenbergezu Spitzen ausgezogen sind. Legt man den schreibendenPunkt noch außerhalb des Radkranzes, d. h. steigert mandie Amplitude noch mehr, dann löst sich über der Bergspitzeein kleiner Sonderbogen ab. Es ist plausibel, daß eine solcheWelle brechen würde. hl ), kann danach nicht viel größerwerden als ~·4.6.3. TotwasserWenn die Grenzfläche zwischen zwei Flüssigkeiten oderGasen mit den Dichten e 1 und g 2 sich wellt, erfordert daseinen Aufwand an Schwereenergie, der sich nach Aufgabe4.6.I pro Wellenlänge und Frontbreite b zu W =! g(e 2 - et)Jcbh 2 ergibt. Der Auftrieb in der leichteren Flüssigkeitreduziert also die Schwereenergie um den Faktor(e 1 - e 2 ) I Q 2 . Die zu bewegende Masse ist dagegen nachwie vor durch e 2 bestimmt. Damit ergibt sich analog zu Aufgabe4.6.1 e 2 = !g}c(g 2 - e 1 )/(1rg 2 ). Wenn sich Flußwasserüber Salzwasser schichtet, ist 121 = I ,00, e 2 ~ l ,02, alsoist e etwa siebenmal kleiner als für eine Welle an der Oberflächegegen Luft bei gleichem ).. Diese Wellen verzehren,gerade weil sie so leicht anzuregen sind, u. U. einen großenAnteil der Maschinenenergie eines Schiffes, das dann "wievon unsichtbarer Hand festgehalten" wird. Das Aufgleitenvon Warmluft über Kaltluft mit z. B. 30° Temperaturdifferenz,also ~Q / Q ~ 0, 1 kann zu Wellen von 200m Längeund 20 kmlh Geschwindigkeit führen. Der zusätzliche Aufwindvor dem Wellenberg kann Kondensation in "Schäfchenwolken"auslösen. An der Warmfront ("Schönwetterfront")eines Tiefs geht dieses Aufgleiten ziemlich gleichmäßigvor sich, an der Kaltfront dagegen sehr turbulent.

..Kapitel 4: LösungenIIII1110514.6.4. SeichesSo langperiodische Wellen können nur zustandekommen,wenn das ganze Wasser im Ostseebecken als Seiche hinundherschwappt Die Länge L des Beckens ist dann Jcl2.Die Wellengeschwindigkeit ist durch die Seichtwasserformelc = JgH gegeben. Die Zeit zwischen zwei Hochwassernentspricht dem Hin- und Herlaufen der Welle:T = 2Lic. Mit L = 1200km (Lübeck-Leningrad) folgtc = 25 m/s, also H = c 2 I g = 62 m. Direktmessungen ergebendie mittlere Tiefe von 55 m. Im Bodensee (L ~ 50 km,H ~ 90 m) erwartet man c ~ 30 m/s, T ~ 55 min.4.6.5. BrandungIm Flachwasser ist c = JgH. Die Wassertiefe H ist unterdem Wellenberg größer, also läuft dieser schneller als dasWellental und kippt schließlich über. Diese "Herleitung"ist allerdings mit Vorsicht aufzunehmen: Die Welle isteine Einheit, man kann Berg und Tal nicht so einfachtrennen.4.6.6. WellengruppeDie Gruppengeschwindigkeit va = c - 2 dc I dA. ergibt sichfür Schwerewellen mit c = )!g217r zu va = !c, für Kapillarwellenmit c = J2mrl(a2) zu va = ~c. Da c und damitva von der Wellenlänge abhängen, läuft eine Wellengruppeum so schneller auseinander, je größer der Spektralbereichharmonischer Wellen ist, aus denen sich die Gruppe zusammensetzt.Die Breite dieses Bereichs sei LlJc, der ZentralwertA. Dann unterscheiden sich die Gruppengeschwindigkeitenfür den schnellsten und den langsamsten Teil der Gruppeum Llva = Ll). dva I d). = ! va fl). I Je. Eine Gruppe ausWellen mit Längen zwischen 5 und 6 m z. B. läuft auf einerStrecke von 1 km um 100m auseinander.4.6.7. KapillarwellenWie man aus der Wellenlänge sieht (um 1 cm oder kleiner),handelt es sich um Kapillarwellen, die genausoschnelllaufenwie das Boot (dieses muß schneller fahren als 0,23 m/s, dieMinimalgeschwindigkeit von Wasserwellen) und daher immerin der richtigen Phase angeregt werden. Je schnellerdas Boot wird, desto schneller, also desto kürzer werdendie Wellen. Gleichzeitig wird die Wellenzone immer schmaler,denn die Dämpfung irrfolge innerer Reibung ist fürkurze Wellen mit ihren höheren Gradienten der Strömungsgeschwindigkeitgrößer. Genauer betrachtet handeltes sich um eine Wellengruppe um die Wellenlänge, die derBootsgeschwindigkeit entspricht; die kurzen Wellen laufenvoran.4.6.8. GruppengeschwindigkeitVergleiche Aufgabe 4.6.6: Kapillarwellen va = ~ c, Tiefwasserwellenva = ! c, Flachwasserwellen (keine Dispersion)va = c. Bei den Kapillarwellen wie überhaupt beianomaler Dispersion läuft die Gruppe schneller als dieEinzelwelle. An der Vorderfront der Wellengruppe bildensich dauernd neue Einzelwellen.4.6.9. SturmseeDer Wind erzeugt zunächst überwiegend kurze Wellen. Dielängsten Wellen aus dem so erzeugten Spektralbereich laufenam schnellsten. Im allgemeinen durchsetzen Wellen einanderungestört, aber die Tendenz einer kurzen Welle zum Brechenverstärkt sich, wenn sie vorübergehend auf den Rücken einerlängeren gerät, die darunter wegläuft. Wenn die kurze Wellebricht, übergibt sie damit einen Teil ihrer Energie der längeren.Daher werden die Wellen immer länger (und stärker), jelänger der Wind anhält und auf je längerer Laufstrecke sichder Seegang aufbauen kann. Der Pazifik hat die längsten undmächtigsten Wellen. Lange Wellen haben kleinere Gradientender Strömungsgeschwindigkeit und dämpfen sich daherlangsamer durch innere Reibung. Sie laufen deshalb nochlange nach dem Sturm als Dünung weiter.4.6.10. BugwelleDie Bugwelle ist eine Wellengruppe, die von dem Schiff mitder Geschwindigkeit v erzeugt wird, selbst aber nicht mit v,sondern mit va = v sin 19° = v 13 läuft. Diese Gruppe bautsich aus einem sehr engen Bereich harmonischer Einzelwellenauf (die übrigens nach Aufgabe 4.6.6 selbst doppelt soschnell, also mit 2cl3 laufen) und die sich um die beherrschendeWellenlänge (vgl. Prinzip der stationären Phase)scharen. Diese beherrschende Wellenlänge ändert sich praktischmit dem Fortschreiten des Schiffes nicht: Aus (4.109)erhält man für die Schiffslage, deren Einfluß die eigentlicheBugwelle mit cos 8 = 819 beherrscht, t = -l,4rlv. Damitergibt sich die beherrschende Wellenlänge als At =81r? I (gt2 ) = 47rv 2 I g, was nur von der Schiffsgeschwindigkeitabhängt. Ein schnelles Motorboot hat nicht nur einestärkere, sondern auch eine breitere Bugwelle als ein langsames.4.6.11. LuftkissenbootIm Tiefwasser besteht die Bugwelle hauptsächlich aus Einzelwellen,deren Länge so ist, daß die Gruppengeschwindigkeit1 der Bootsgeschwindigkeit v ist; die Einzelwellen habenc = 2vl3. Bei v = 30m/s ergibt das Je~ 250m. Für solcheWellen ist Wasser von H < !Jcl1r ~ 40m seicht. Seichtwasserwellenhaben keine Dispersion. Also vereinfacht sich dieBetrachtung nach dem Prinzip der stationären Phase und lieferteinen einfachen Mach-Kegel. Dessen Öffnungswinkelhängt im Gegensatz zur Tiefwasser-Bugwelle von v ab:sin.9 = clv, wobei c = .JiH. Bei konstanter Geschwindigkeitv wird also der Kegel um so enger, je seichter das Wasserwird.4.6.12. TsunamiFür sehr lange Wellen, nämlich solche mit 30 und mehr kmWellenlänge, wie sie bei Seebeben usw. entstehen können,gilt selbst in der Tiefsee die Seichtwasserformel c = .JiH.Mit einer mittleren Ozeantiefe von 5 km erhält manc ~ 220mls, also ~ der Schallgeschwindigkeit. SolcheWellen brauchten, ohne Hindernisse, etwa zwei Tage umdie Erde. Sie laufen in Ausnahmefällen wie der Krakatau­Explosion auch mehrmals in merklicher Amplitude herum,

1052 : Lösungen zu den Aufgabendenn als Oberflächenwellen schwächen sie ihre Intensität nurnach einem r-i-Gesetz, nicht nach einem r-2-Gesetz wieräumliche Kugelwellen.4.6.13. SeegangEs sollen Wellen der Höhe H, die beliebig klein seinkann, und der Länge ..1. bestehen. Auf eine Einzelwelle derBreite b übt der Wind (Geschwindigkeit u) eine KraftF ~ (h u 2 Hb aus (mehr durch Sog hinter dem Berg alsdurch Druck vor ihm). Über die Fläche verteilt, ergibt sichder mittlere Winddruck Pi ~ (!J u 2 H I ..1. mit auftürmenderTendenz. Auf dem Niveau des Wellentals herrscht unterdem Berg der Druck pw ~ QwgH. Bei pw >Pi ist die glatteOberfläche stabil, Störungen bilden sich zurück. Das ändertsich ab Pi = pw, d. h. Qi u 2 ~ QwgA ~ Qwc 2 (c = ygxPhasengeschwindigkeit der Welle), wenn also der Windmit u ~ 30c weht. Da es ein minimales c gibt (Übergangvon Kapillar- zu Schwerewellen, Cmin = 23 cm/s,},min = I, 7 cm), sollte der Spiegel bis u ~ 6 m/s völligstabil sein. Darüber bilden sich zuerst die Minimalwellen,dann auch längere. Leider stimmt diese Theorie, die sichin komplizierterer Form, aber mit dem gleichen Ergebnis,in vielen Darstellungen der Hydrodynamik findet, numerischnicht sehr gut: Das wirkliche kritische u ist etwazehnmal kleiner. Ein Orkan Stärke 12 ( u ,;;; 30 ml s) kannalso Wellen mit ..1.,;;; 300m machen. In der Welle strömt Wassereiner Schichtdicke x mit v = eH I X. Der turbulente Strömungswiderstandist QwV 2 xb, seine Leistung QwV 3 xb ~ewc3 H3 b I x 2 . Diese Verlustleistung wird gleich der WindleistungQi u2cHb bei H ~ /,120, was gut stimmt. Die Ausreifzeitsollte sein: -r ~ Wellenenergie/Windleistung~ QwgH 2 xbi(Q 1 u 2 Hbc) ~ 5000y~I/g. Für rn-Wellenstimmt das, aber längere Wellen brauchen viel länger, undzwar -r "' ..1.. 400 m lange Wellen kommen nur nach tagelangemSturm und entsprechender Laufstrecke, also fast nur imPazifik zustande.5.1.1. Molekülgröße _Aus Druck und Dichte eines Gases läßt sich nach p = ! QV2sofort die mittlere Molekülgeschwindigkeit Vm entnehmen,z. B. für Zimmerluft: Mit p = 105 Pa, (! = 1,3 kg m-3 folgtVm = ßiJ/Q = 480 m s-i. Ähnliche Aufschlüsse liefertdie Schallgeschwindigkeit. Eine Expansionsenergie p dVstammt primär aus der kinetischen Energie der Moleküle,ergibt also deren Geschwindigkeit, erlaubt aber nicht, Masseoder Dichte des Gases in ihre Faktoren n und m aufzuspalten.Daß Luft unter Normalbedingungen etwa 1 OOOmal wenigerdicht ist als Wasser, zeigt, daß ihre Moleküle im Mittel etwa10 Moleküldurchmesser voneinander entfernt sind, sagt abernichts über Molekülgröße und -abstand einzeln aus. Erst Diffusion,Viskosität, Wärmeleitung, Brownsche Bewegung alsechte Molekularprozesse hängen von der freien Weglängeund damit von Größe und Abstand der Moleküle ab. Diefreie Weglänge l enthält Radius r und Anzahldichte n ineiner anderen Kombination l ~ 1 I ( nr 2 ) als die bisherigenGrößen, gibt daher eine unabhängige Aussage über sie. Historischstand die Schätzung aus der Viskosität am Anfang:11 = !nmvl = !mvl(41t-r 2 ) ergibt zusammen mit der Dichteflüssiger Luft (900kgm-3) und den obigen Datenr = 2. w-iO m, m = 3,4. w-26 kg, n = 4. 1025 m-3. ÄhnlicheWerte liefern die anderen Transportphänomene. DerKorrekturfaktor v'2 (Aufgabe 5 .2.17) verbessert die Ergebnisseerheblich. Es folgte historisch der Versuch von J.Perrin, d. h. die Messung der Skalenhöhe der exponentiellenHöhenverteilung in einer Suspension aus Teilchen bekannterMasse (Aufgabe 5.2.23). Vergleich von Oberflächenspannungund Verdampfungsenergie liefert eine Schätzung(r ~ 1,4 · 10- 10 m für Wasser), ähnlich Vergleich von Faraday-Konstanteund Ionengeschwindigkeit bei der Elektrolyse.Andere elementare Schätzungen der Atomgröße ausDicke einer Ölhaut, der wasserentspannenden Wirkungvon Detergentien oder dem radioaktiven Zerfall kann jederzu Hause ausführen (die letzte mit einem Geigerzähleroder einfacher einem Leuchtschirm und Kenntnis der Halbwertszeiteines Nuklids). Mit der Molekülmasse ist aus derMolmasse NAm natürlich auch die Avogadro-Konstante bestimmt,aus R = NAk die Boltzmann-Konstante.5.1.2. GleichverteilungssatzMasse und Geschwindigkeit des schweren Teilchens seien Mund v, des leichten m und u (vor dem Stoß). u < 0 bedeutetStoß von vom, u > 0 Stoß von hinten. Nach (1.68) ist derEnergieaustausch Li W = 2Mw( v - w) (elastischer zentralerStoß), wo w = (Mv + mu)I(M + m) die Geschwindigkeitdes Schwerpunkts ist. Einsetzen von w liefert für Li W, bisauf den konstanten Faktor 2Mmi(M + m) 2 , den Ausdruck(Mv + mu)(v- u). Wir verlangen, daß er sein Vorzeichenändert, wenn u das tut, damit sich die energetischen Wirkungenvon Vom- und Hinten-Stoß gerade aufheben. Es soll also(Mv + mu)(v- u) = -~Mv- mu)(v + u) sein. Darausfolgt sofort Mv 2 = mu , d. h. Gleichheit der kinetischenEnergien.5.1.3. RaketentreibstoffeDer Schub einer Rakete ist Auströmgeschwindigkeit ·Treibausstoß/s,d. h. F = WJl. Die Ausströmgeschwindigkeit kannnicht größer werden als die Molekülgeschwindigkeit!mv 2 = ~kT, also v = J3kTim. Indem man die Brennkammerwändedurch kühles einströmendes Gas schützt,kann man die Brenntemperatur T etwas über den Schmelzpunktder Wand steigern, aber nicht viel. Der Schmelzpunktder besten Legierungen (Karbide von Hf und Ta)liegt um 4 500 K. Bei gegebenem T sollte die Molekülmasseder Treibgase möglichst klein sein. Ist das Treibgas selbstProdukt einer gewöhnlichen Verbrennung, so sind Hz 0und HF die leichtesten Molekühle, die in Frage kommen.Mit der (technisch ziemlich riskanten) Knallgasreaktion2H2 + 0 2 --+ 2Hz0 würde man demnach w = 510mls ·

Kapitel s: Lösungen 1053v' 4 SOO · 29/300 · 18 = 2,S km/s erreichen. Geeignete Düsenform(Lavaldüse) nutzt auch noch einen Teil der Rotationsener~lsAusströmenergie aus. Man gewinnt so einenFaktor yS/3, kommt also auf 3,2km/s. Um eine Kreisbahnzu erreichen, müßte man ein Verhältnis e8/ 3, 2 r:::; 12 zwischenStart- und Brennschlußmasse haben, was für eine Einstufenraketenur schwer erreichbar ist. In einer Kernrakete, bei derdas Treibgas nicht als Verbrennungsprodukt, sondern im Reaktoraufgeheizt wird, kann man Wasserstoff verwenden.Falls man auch hier etwa 4 000 K erreicht und alle H-Moleküledissoziiert sind, vervierfacht sich die Ausströmgeschwindigkeit:w r:::; 10km/s. Die Kreisbahn erfordert dannnur noch ein Massenverhältnis 2,2, die Befreiung aus demErdschwerefeld ein Verhältnis 3,0.5.1.4. BimetallDie beiden Teilstreifen sind fest aufeinandergeschweißt Nurdie Außenzonen können sich daher gemäß ihrem a ausdehnen;weiter innen hält ein Metall das andere zurück, und esbilden sich Spannungen aus. Ein Stück der ursprünglichenLänge l hat nach Erwärmung um llT oben die Längel(1 + a1 !!T), unten l(1 + a2 llT). Das ist nur möglich,wenn der Streifen sich zu einem Kreisbogen vom RadiusR biegt, wobei dieser Radius sich zur Streifendicke d verhältwie die mittlere Länge zur Längendifferenz: . R =dj((a1- a2) !!T). Mangan-Wolfram ergeben IXJ- a2 =1,8S -10-5 K- 1 , also bei d = 2mm und llT = SOOK:R = 20cm.5.1.5. BadeofenDer Badeofeninhalt von 1S01 braucht S · 10 7 J zur Erhitzungvon 20 auf 100 °C. Das entspräche der verlustfreienVerheizung von ca. 2,S kg Brikett (Heizwert 2 · 10 7 Jlkg).In Wirklichkeit gehen je nach Konstruktion 40-70% anBadezimmer und Schornstein verloren. Der Überlauf durchden Hahn beträgt 0,6 mVs oder 2,21 während des ganzenHeizens. Das ist die Volumenzunahme der 1S01 bei llT =80 K. Der Ausdehnungskoeffizient schätzt sich also zuß 7 2,2/(1SO · 80) = 1,8 -10- 4 K- 1 . Die Präzisionsmessungliefert 2,07 · 10-4 K-1.5.1.6. ThermometerDie Thermometerkugel tauche in eine Flüssigkeit der zu messendenTemperatur T ein. Die Kapillare sei oberhalb einesTeilstrichs, der der Temperatur T1 entspricht, der Labortemperaturausgesetzt und nimmt diese wegen der schlechtenWärmeleitung durch den engen Kapillarenquerschnitt auchpraktisch an. Dieser Teil der Quecksilbersäule sollte einVolumen Voßetf(T- T1) haben, wenn er ebenfalls die TemperaturT hätte. In Wirklichkeit ist sein Volumen um denFaktor 1 + ßeff(To- T) davon verschieden. Um eben diesenFaktor wird die Temperaturdifferenz T- T 1 falsch angezeigt.Bei T = I 00°, T 0 = T1 = 20 oc macht der Fehleretwa 1 °C aus.5.1.7. GipfelhungerDie Energien, um die es sich handelt, sind (a) 7SO N ·2000m = 1,S · 10 6 J; (b) 2,S m · 1,2 · 10 5 N = 3 · 10 5 J; (c)Wärmeverlust bei 2m 2 Körperoberfläche durch 1 cm Unterhautfettgewebe:AA llT / d r:::; 1 000 W, in 1 Stunde 3 · 10 6 J,(d) Leistung 1Av3Q r:::; 330W; 200km in 6,7h, also8 · 10 6 J. Die mechanischen Arbeiten (a), (b), (d) sind mit4-S zu multiplizieren, damit der Kalorienbedarf herauskommt(Wirkungsgrad des Muskels 20-2S %). Nahrungsbedarf(Trockensubstanz Eiweiß oder Kohlenhydrat) oder GewiChtsabnahmebei Verzicht (Körper enthält 80% Wasser):(a) 2SO g bzw. 1,2 kg, (b) 7S g bzw. 400 g, (c) 170 g bzw.700g, (d) 1,2kg bzw. Skg.5.1.8. Europas HeizungDie angegebene Geschwindigkeit gilt an der Oberfläche.Bei linearem v-Profil gilt im Mittel die Hälfte. 1 ,6 ·10 5 m· 10 3 m. 0,8 m/s r:::; 1,3 · 10 8 m 3 /s. Im Winter werdenbei 1So Temperaturdifferenz 1016 W in den Nordostatlantikbefördert, d. h. etwas weniger als die Sonne bei senkrechtemEinfall auf die Fläche Europas (107 km 2 ) einstrahlt (Solarkonst.1,4kW/m 2 ). Im Sommer ist die T-Differenz sehrviel kleiner ( r:::; so); der Sinus der Sonnenhöhe ist im Winternur knapp halb so groß wie im Sommer, die Tage sind halb solang. Wenn Sibirien nicht wäre, würde also die Golfstrom­Warmwasserheizung den Unterschied zwischen mittlererJanuar- und Julitemperatur auf etwa so reduzieren.5.1.9. Heiße BremsenBei einer Höhendifferenz h zwischen Paßhöhe und jenseitigemTal, einer Fahrzeugmasse M und einer Masse m vonBremsbacken und -belägen, Felgen usw. mit der spezifischenWärme c würde ohne Wärmeabgabe an die Umgebungeine Erhitzung um llT = Mgh/ (mc) eintreten; z. B. beiM = 1 OOOkg, h = 1 OOOm, m = 20kg, c = 400JikgKeine Erhitzung um llT r:::; 1 200 K. Fährt man ein Gefällevon a = 10 % mit 20 km/h, dann muß die LeistungP = Mgav r:::; S,S · 103 W verzehrt werden. Ohne Motorbremseerwärmen sich dann die ·Bremsen anfangs um0,7 K/s. Bei längerem Gefälle wird T so hoch, daß die Abstrahlungwesentlich wird. Ein m 2 eines schwarzen Körpersstrahlt in der Sekunde 6 · 10-8T4 J ab (s. Abschn. 11.2.S). Dieeffektiv abstrahlende Fläche ist etwa 0,4 m 2 (Felgen). Erstum 700 K ist Gleichgewicht erreicht, d. h. nach ca. 1S minAbfahrt, S Fahrkilometern oder SOO Höhenmetern. Luftzugund Motorbremse verbessern die Fahrbedingungen.5.1.10. c von WasserWasser hat die Molwärme 7S J/mol K; das entspricht 18 Freiheitsgraden.Die drei Atome verhalten sich also wie unabhängigeTeilchen mit je sechs Freiheitsgraden, ebenso wie Metallatome.Dies entspricht der Neumann-Kopp-Regel, die allerdingsnicht für alle Verbindungen so gut stimmt (vgl. AufgabeS.l.ll). Man deutet die sechs Freiheitsgrade als dreitranslatorische und drei rotatorisehe für die Schwingungdes Atoms in dem Potentialtopf, den seine Umgebung darstellt.Für eine harmonische Schwingung sind ja kinetischeund potentielle Energie im Mittel gleich. Leichte Nichtmetallehaben erheblich geringere Atomwärmen, besondersDiamant hat nur etwa! des Dulong-Petit-Wertes. Das kann

IIII1054 :: Lösungen zu den Aufgabennicht allein an der kleinen Masse liegen, denn Li ist nochleichter und weicht viel weniger vom normalen Wert ab.Die kovalente Bindung z. B. im harten Diamant ist sostarr, daß erst ·größere Komplexe, hier etwa vier C-Atome,die Rolle thermodynamisch unabhängiger Einheiten spielen.Daß man sich bei hohen Temperaturen dem Dulong­Petit-Wert nähert, liegt nicht daran, daß die Bindungen mechanischweicher werden, sondern ist ein quantenstatistischerEffekt (vgl. Abschn.14.3 und 17.3).5.1.11. Spezifische WärmeNach Dulong-Petit wären die spezifischen Wärmen von Cu,Sri, Al, Pb, Fe (Atommasse 63,54; 118,7; 26,98; 207,19;55,85) 397; 213; 920; 121; 460J/k:g K. Man mißt 385;226; 878; 129; 451 J/k:g K. Die Neumann-Koppsche Regelgilt weniger allgemein. Für Wasser und NaCl (Molekülmassen18 und 58,5) sollte man 4180 bzw. 857 Jlkg K erhalten,was auch recht gut stimmt (gemessen 4180 bzw. 861): DieAtome scheinen sich hier wie unabhängige Einheiten zu verhalten,wenn auch bei beiden Stoffen aus ganz verschiedenenGründen. Für Wasserdampf und NH3-Gas mißt mancv = 1 839 bzw. 1 650 J/k:g K. Die Neumann-Koppsehe Regelwürde das Drei- bzw. Vierfache liefern. Im Gas sind alsodie Moleküle die thermischen Einheiten. Organische Flüssigkeitenliegen etwa in der Mitte: C6H6 und CzHsOH haben1705 bzw. 2400Jik:gK, die Molwärmen sind 134 bzw.110 kJ/k:g K, was 5,4 bzw. 4,4 "Atomwärmen" entspricht,nicht 12 bzw. 9 wie nach Neumann-Kopp. Je kleiner die Einheiten,desto größer die spezifische Wärme: Bei Hz ist sie amgrößten; bei normalen Temperaturenliegt unter den kondensiertenStoffen Wasser mit an der Spitze.5.1.12. Heißer Kaffee IDie Endzusammensetzung des Kaffees ist bei beiden Methodendie gleiche. Man braucht also nur zu fragen, in welchemFall Kaffee und Milch zusammen am Schluß mehr Wärmemengeenthalten, oder in welchem Fall beide zusammen wenigerJoule an die Umgebung abgegeben haben. War dieMilch zimmerwarm, so verliert nur der Kaffee bzw. das GemischWärme. Dieser Verlust ist etwa proportional zur Oberflächeund steigt stärker als proportional mit der Temperaturdifferenzgegen die Umgebung. Beim Zufügen der Milchnimmt das Volumen zu, die Temperatur im gleichen Maßeab, die Oberfläche zu, aber schwächer. Also verliert das Gemischin der gleichen Wartezeit weniger Wärme.5.1.13. Heißer Kaffee IIMan hüte sich vor folgendem Trugschluß: Der Zucker entziehtdem Kaffee immer die gleiche Lösungswärme, unabhängigvon dessen Temperatur. Dagegen muß der Kaffeeder Milch um so mehr Wärme übergeben, je heißer er ist.Daher ist es besser, den Kaffee erst durch Zufügen des Zukkersleicht abzukühlen und dann Milch zuzugeben. Manübersieht bei dieser Argumentation, daß der Zucker, wenner in der größeren Menge der Mischung Kaffee-Milch aufgelöstwird, deren Temperatur um weniger Grad senkt. DieserEffekt gleicht den obengenannten genau aus. Man sollteüberhaupt nicht die Temperatur- und die Wärmemengen-Betrachtungvermengen, sondern am besten gleich in Wärmemengendenken. Dann sieht man, daß bei sofortigem Trinkendie Reihenfolge keine Rolle spielt. Wenn die Situationso ist, wie in Aufgabe 5.1.12, wird man allerdings alles mischen,bevor man telefonieren geht.5.2.1. Effusiometer nach BunsenNach Torricelli oder Bemoulli ist die Ausströmgeschwindigkeitund damit der Verlust an Molekülen und der Druckabfallproportional zu 1 I y'Q, d. h. zu 1 I fo. Man kalibriert durchVergleich mit einem Gas bekannter Molmasse p,, z. B. Hz.5.2.2. GasthermometerEs wäre ein Zirkelschluß zu sagen, He und H2 eignen sich ambesten für Gasthermometer, weil ihr Ausdehnungskoeffizientdem idealen Wert 1/273,2 am nächsten kommt. Bevor man sogenau wußte, wo der absolute Nullpunkt liegt, war schonklar, daß He und H2 "idealer" als andere Gase sind. C02z. B. läßt sich unterhalb 31 °C durch Druck von etwa100 bar ab verflüssigen, und schon bei einiger Annäherungan diesen Druck versagt das Boyle-Mariotte-Gesetz. Luft,02, N2 sind zwar bei normaler Temperatur nicht druckverflüssigbar,so daß sie lange als "permanente Gase" galten,aber Abweichungen vom Boyle-Mariotte-Gesetz sind ebenfallsschon ab ca. 20 bar und unterhalb 10 °C deutlich. He undH2 haben die tiefsten Verflüssigungs- und kritischen Temperaturenund verhalten sich daher am idealsten.5.2.3. LuftballonDie Hülle des kugelförmigen Ballons vom Radius R hat dieMasse MB = 47rQBR 2 d. Sein Auftrieb bei Füllung mit einemGas der Dichte 129 ist 17rR 3(12L- 12 0 ), seine Tragfähigkeitalso MT= 17rR (12L- g 0 )- 47rQBR 2 d. Heißluft von300 °C bei 10 °C Außentemperatur hat Qo = gLf2, WasserstoffQo = 2gLf29,5 = 0,07gL, Helium doppelt soviel, also0,14QL· Um insgesamt 100kg zu tragen, muß der Ballon mitden genannten Füllgasen den Radius 2,70; 2,78; 3,06 m haben.Dann wiegt aber die Hülle allein bei d = 1 mm undilB = 1glcm 3 92; 97; l17kg. Um lOOkg Nutzlast hochzubefördern,braucht man R = 3,80; 4,00; 4,82 m. Der Ballonsteigt bis in eine Höhe, wo die Luftdichte so weit abgenommenhat, daß die Tragfähigkeit gleich der Nutzlast ist. EinHe-Ballon mit R = 6m z. B. trägt einen Menschen bis inetwa 5 km Höhe, wenn die Hülle sich nicht ausdehnt. Beivöllig nachgiebiger Hülle (Druckgleichheit innen und außen)wüde in der isothermen Atmosphäre der Auftrieb immergleich bleiben: V = Vo eh/H, Q = Qo e-h/H, alsoFA= gV(gL- g 0 ) = const. Der Ballon würde unendlichhoch steigen.5.2.4. Zug im KaminWenn die Luft im Schornstein die Temperatur T + 11T hat,die Außenluft T, sind die Dichten Q- !1g = g(1 - 11T IT)bzw. Q. Der Auftrieb der Schornsteinluft ist gHA !1g, wennder Querschnitt A ist. Auf der Höhe H fällt der Luftdruckaußen um gHQ ab, innen nur um gH(Q -!1g). Entwederoben oder unten herrscht also eine entsprechende Druck-

Kapitel 5: Lösungen 1055differenz, die durch den Bernoulli-Sog einer Strömung ausgeglichenwerden muß. Wenn z. B. unten Druckgleichheit beiruhender Luft herrscht, ergibt sich oben im Schornstein einÜberdruck gH l!..e, falls die Luft dort auch ruhte. Sie strömtalso mit einer Geschwindigkeit v aus, so daß !ev 2 = gHI!..e.Bei Druckgleichheit und Ruhe oben wird die Luft unten mitder gleichen Geschwindigkeit angesaugt. Vergleich mit derLaplace-Formel für die Schallgeschwindigkeit zeigt übrigens,daß aus einem Schornstein von halber Skalenhöhe( 4 km) bei 300 oc Innentemperatur die Luft mit Schallgeschwindigkeitausströmen würde.5.2.5. EinweckenVor dem Erhitzen sei im Glas ein Volumen Vp an Flüssigkeitund VL an Luft. Beim Erhitzen auf 100 °C dehnt sich dieFlüssigkeit um Vpß I!..T aus. Die verdrängte Luft kann voninnen austreten, indem sie den Deckel hebt, es erfolgt Druckausgleich.Beim Abkühlen bildet sich ein Unterdruck aus, derDeckel drückt sich an dem Gummiring fest. Luft kann nichthinein. Hat man lange genug eingekocht, so daß der Wasserdampfdie Luft völlig verdrängt hat - sein Druck ist ja amSiedepunkt i bar -, dann bleibt nach dem Abkühlen imGlas nur der Dampfdruck des Wassers bei 20 °C, nämlich0,02 bar. Auf den Deckel von 110 cm2 drücken fastllOON. Bei kurzem Einkochen entsteht der Unterdruckder eingeschlossenen Luft durch das Zurückweichen desWassers: Pinnen = VL/(VL- Vpß I!..T) bar, DruckdifferenzVpß I!..T I (VL - Vpß I!..T) bar. Läßt man gerade VL = 16 rnlLuft im 11-Glas, dann wird Vpß I!..T = VL, also bleibt auchbei kurzem Einkochen nur der Wasserdampf druck, und derDeckel hält optimal zu.5.2.6. Druck in der SonneDer Druck im Innern eines Himmelskörpers entsteht durchdas Gewicht der darüberliegenden Schichten; dieses Gewichtberuht auf der Gravitationsanziehung, die die innerenauf die äußeren Schichten ausüben. Folgende Größen sindfür den Druck maßgebend: Dichte (2 und Radius R des Sterns(die Masse braucht man nicht mehr, denn sie ist durchRund eausdrückbar) und die Gravitationskonstante G. Die Dimensionenvon R, (2, G sind m, kg/m 3 und N mlkg 2 =m 3 ls 2 kg. Hieraus soll p von der Dimension Nlm 2 =kgls 2 m aufgebaut werden. s kommt nur in G vor, alsop ~ G. Um die kg- 1 von G in die kg von p zu verwandeln,brauchen wir zwei g. Der Ausdruck Ge 2 hat die Dimensionkg~m 3 s 2 . Zwei m im Nenner müssen noch weg, alsop ~ Ge R2• Ausführliche Betrachtung für einen Stern homogenerDichte e (in Wirklichkeit ist sogar in Planeten, erstrecht in Sternen die Dichte innen größer): Die Kugelschaleder Dicke dr, Innenradius r, wird von der eingeschlossenenKugel angezogen mit der Kraft dF = 11l'er 3 · 41l'er 2 drG 1 r 2(die äußeren Schichten haben keinen Einfluß, vgl. Aufgabe1.7.10). Der Druck nimmt also auf der Strecke dr zu umdp = dF I ( 47rr 2 ) = 17rGQ 2 r dr. Der Gesamtdruck in der-?).Für Erde, Jupiter,Sonne ergeben sich Mittelpunktsdrucke von 1,3 · 10 6 ,Tiefer ist p(r) = J: dp = ~7rGQ 2 (R21 ,3 · 10 7 , 1 ,4 · 109 bar. Die Dichtezunahme mit der Tiefeläßt die wirklichen Werte erheblich ansteigen. Man schätztfür die Erde 3,6 · 10 6 bar, für die Sonne sogar um 10 11 bar.5.2.7. Wie heiß ist die Sonne?Damit das Sonnengas nicht in sich zusammenstürzt, mußsein thermischer Druck (zu dem genau genommen nochder Strahlungsdruck kommt) dem Schweredruck (vgl. Aufgabe5.2.6) die Waage halten. Wenn man es unter so extremenBedingungen noch als ideales Gas auffassen kann (inWirklichkeit verhält es sich in den Zentren der meistenSterne als Fermi-Gas), bedeutet das im Fall unserer Schätzungenvon einigen 109 bar für das Sonneninnere einfach,daß das Produkt von Temperatur und Dichte über 10 9 malgrößer ist als auf der Erdoberfläche, wo ein H-AtomgasQ = 1,3 · w-3 129 = 4,5 · 10-5 glcm 3 hätte. Ist die Dichteim Sonneninnern nur gleich der mittleren Dichte 1,4 g/cm\ so ist die Temperatur 4,5 · w- 5 · 1,4 · 10 9 ·300 ~ 107 K. Die Dichte ist im Zentrum viel größer; daswürde die Temperatur verringern, aber gleichzeitig nimmtaus dem gleichen Grund der Druck zu, und beide Einflüssekompensieren sich annähernd: Unsere Schätzung für T istrecht gut.5.2.8. Unser LuftmeerDer Luftdruck ergibt sich mit dem Hg-Barometer direkt imMittel zu 760Torr. Messung der Dichte vgl. Aufgabe 5.2.9.Ein berühmter einfacher Versuch zur angenäherten Bestimmungder Luftzusammensetzung ist dieser: Man läßt einenStoff, der sich gierig oxidiert, z. B. Phosphor, unter einerGlasglocke reagieren, deren Rand im Wasser steht. Die Reaktionerlischt, nachdem das Wasser fast ! des anfänglichenLuftvolumens ausgefüllt hat.5.2.9. M. Periers BergtourClermont-Ferrand, wo Paseids Schwager wohnte, liegt selbst400 m hoch. Der Anstieg um 1 060 m läßt Hg um ziemlichgenau 100 mm fallen. Pascal mag die Höhendifferenz auf1 000 m geschätzt haben und folgerte (unabhängig von denbenutzten Längeneinheiten), daß Hg 10 OOOmal schwererist als Luft. Die Dichte von Hg ergibt sich ganz einfachz. B. durch Vergleich mit Wasser im U-Rohr(Abschn. 3.1.4). Man erhält so für Luft den recht gutenDichte-Werte von 1,3 g/1.5.2.10. Hat Mt. Everest Luft?Hätte die Luft überall die Dichte wie am Erdboden, nämlichQ = 1,3 . 10-3 glcm3, dann könnte die Atmosphärenur die Höhe H = lkgcm- 2 1(1,3 ·10-3 gcm- 3 ) = 8kmhaben. Der Druck als das Gewicht der noch darüber lastendenLuftsäule nähme ab wie p = po(1- hiH). Nachder Gasgleichung müßte T genauso abnehmen: T =To(l- hiH). Schon auf dem Mont Blanc wäre es selbstim Sommer -150 °C kalt, auf dem Kilimandscharo wäredie Luft flüssig (falls sie wider Erwarten dort oben schwebenbliebe und nicht auf die Erde regnete), der Mt. Everest würdefast 1 km ins Vakuum ragen, über einem Meer aus 2 km tieferflüssiger Luft.

1056 Lösungen zu den Aufgaben5.2.11. Adiabatische SchichtungWenn eine Luftmasse aufsteigt und dabei der Druck derUmgebung abnimmt, dehnt sich die Luft aus und kühltsich ab. Schon bei mäßig großen Luftvolumina ist dieWärmeleitung nicht imstande, den Verlust schnell genugzu decken (vgl. Aufgabe 5.4.2). Temperatur und Dichteder aufsteigenden Luft ändern sich also mit dem Drucknach den Adiabatengleichungen (} "'p 1 1Y und T "'p 1 - 1 1Y.Wenn diese Dichte größer ist als die der Umgebung, in diedas Luftvolumen gekommen ist, sinkt es wieder ab (stabileSchichtung). Im umgekehrten Fall bleibt die Aufstiegstendenzerhalten (labile Schichtung). Indifferentes Gleichgewichtherrscht, wenn das Luftvolumen gerade die DiChteder Umgebung angenommen hat (adiabatische Indifferenz).Die Betrachtung, die zur barometrischen Höhenformelführte, ist jetzt abzuwandeln (vgl. Abschn. 3.1.6): Aufder Höhe dh nimmt der Druck um das Gewicht der entsprechendenLuftsäule ab: dp = -ggdh = -gQ 0 p0 1 !Yp 1 iY dhoder p- 1 1Y dp = -gg 0~0 ~; dh oder n~~h IntegrationYI(Y -l)(p-(Y-1 )/y- Po (Y l!Y) = -gQoPo IY, d. h. p =p 0 (1- hiH)Yf(y-l)_ Nach den Adiabatengleichungen folgtfür Dichte und Temperatur Q = Q 0 (l- hiH) 1 f(y-J) undT = To ( 1 - h I H). Für alle drei Verteilungen istH = YI(Y- l)pol(gQ 0 ). Dabei ist Pol(gQ 0 ) =His die inAbschn. 3.1.6 definierte isotherme Skalenhöhe von 8 km.H ist größer, nämlich 28 km. In dieser Höhe würden p, Qund T auf Null abfallen. Das adiabatische Gleichgewichtkann also nicht die ganze Atmosphäre beherrschen. Inder Troposphäre stimmt der berechnete T-Abfall von1 K/1 00 m sehr gut. Die Troposphäre hat Bodenheizung,die Stratosphäre dagegen wird direkt durch Absorptionvon Sonnenlicht geheizt. Daher ist T dort konstant odersteigt sogar mit der Höhe an, weil immer mehr UV- undUR-Strahlung verfügbar werden, die in der Tiefe schon herausgefiltertsind. Für kleine Höhendifferenzen ist übrigensdie adiabatische Druckverteilung identisch mit der isothermen:(1- hiH)Yf(y- 1 ) ::::o 1- yhl((y- l)H) ::::o e-h/Hi,.5.2.12. MarstemperaturEin Stern habe den Radius Rs und sende gemäß seiner OberflächentemperaturTo eine Strahlungsintensität Io = uTg aus(Stefan-Boltzmann-Gesetz unter der Annahme, daß die Photosphäre"schwarz" ist). Im Abstand Rp kreise ein Planet vomRadius r. In diesem Abstand herrscht nur noch die StrahlungsintensitätI = Io ( RV R~). Auf den Querschnitt 1rr 2des Planeten fällt die Strahlungsleistung P = 1rr2 I. DieseEinstrahlung läßt die Temperatur der Planetenoberfläche,wenn sie vorher z. B. kälter war, auf einen Wert T ansteigen,wo der Energiegewinn durch den Abstrahlungsverlustausgeglichen wird. Ist der Planet "schwarz", dann strahlter von seiner Oberfläche 4;rr2 die Leistung P' = 4;rr2 crT 4ab. Bei hinreichendem Ausgleich durch die Atmosphäreund schneller Rotation kann man T als Temperatur für dieganze Planetenoberfläche ansetzen. Gleichgewicht bedeutetdann P = P' oder T = To 4 RV(4R~) = ToJRsi(2Rp). Fürdie Erde folgt T :=::o 260 K. Bei ungenügendem Ausgleich fälltder Faktor 2 weg: T ::::o 370 K. So etwa sind die Temperaturenam Mondmittag. Für Mars sind die beiden Extremwerte225 K und 315 K. Bei seiner dünnen Atmosphäre liegt dieTagestemperatur etwa in der Mitte dazwischen. Die AlbedoIX= 0,15 bedeutet, daß nur ein Bruchteil 1 -IX= 0,85 dereinfallenden Intensität absorbiert wird (IX bezieht sich eigentlichauf das physiologisch wahrgenommene Licht; für dieGesamtstrahlung gilt ein ähnlicher Wert). Damit reduziertsich T um den Faktor (1 -1X) 1 / 4 , also um etwa 4%.5.2.13. MarsatmosphäreBei einer Oberflächentemperatur um 260 K (vgl. Aufgabe5.2.12) sollte der Atmosphärendruck bei isothermer Schichtungwie e-h/H, bei adiabatischer wie (I- hiHad)Yf(y- 1 )abfallen. Dabei ist H = kT l(mgM) (m mittlere Molekülmasse,gM Schwerebeschleunigung auf dem Mars) undHact = Hyi(Y- 1). Die isotherme Formel ergibt den beobachtetenAbfall auf ~ für h = 2,3H, die adiabatische fürh :=::o 1,8H, ziemlich unabhängig von y. Man erhält alsoH :=::o 11 bzw. 14 km. Da gM = 0,4g ist, erhält man durch Vergleichmit den irdischen Werten ein mittleres Molekulargewichtvon 59 bzw. 42. Wahrscheinlich handelt es sich umCOz (44), was die Spektroskopie bestätigt, und die Wahrheitliegt näher der adiabatischen Schichtung.5.2.14. Mars-SamumStaubteilchen, die drei Monate, d. h. etwa 10 7 s brauchen, umin einer Atmosphäre der Viskosität 1J und unter einerSchwerebeschleunigung gM aus einer Höhe von einigenkm zu fallen, haben eine Teilchengröße, die bestimmt istdurch 61r1JrV = 11r(}r 3 gM. V ist etwa 10- 3 m/s, 1J :::::02 · w-5 N s(m 2 (unabhängig von der Gasdichte), für MarsgM = 4mls 2 , also der Teilchenradius r ::::o 0,1 mm.Krakatau: Ein Teilchen, das 40 min nach Sonnenuntergang,d. h. wenn die Sonne in den Tropen IX ::::o 10° unter demHorizont steht, noch besonnt wird, muß h =R( 1 I cos IX - 1) :=::o 100 km hoch schweben. ZehnjährigerFall aus dieser Höhe entspricht v ::::o 3 · 10- 4 m/s. Der Teilchenradinslag also um 1 J.lm. Die Troposphäre wird besondersdurch die Niederschläge schneller von Staub reingewaschen,denn Wasserdampf kondensiert gern an Staubteilchen.Allerdings rührt die vertikale Konvektion immerneuen Staub auf.5.2.15. Mars-StratosphäreCOz, der Hauptbestandteil der Marsatmosphäre (vgl. Aufgabe5.2.13), absorbiert stärker als N 2 und 0 2 . Dafür kommtaber auf dem Mars nur knapp halb soviel Sonnenstrahlungan wie auf der Erde. Beide Einflüsse gleichen sich etwaaus: Die Mars-Stratosphäre hat etwa die gleiche Temperaturwie die unsere, nämlich etwa 150 K. An den Polen ist es kaumwärmer (die weißen Polkappen bestehen aus COz-Schnee,der unter 10mbar bei 150K kondensiert). Dort reicht dieStratosphäre bis fast auf den Boden. In den Tropen kann Tam Boden bis 275 K gehen und nimmt nach dem Gesetzder adiabatischen Schichtung (vgl. Aufgabe 5.2.11) mit

Kapitel s: Lösungen 1057Hact=kTyj[gMm(y-1)]~50km ab, d.h. etwa um0,5K/100m. Die Stratosphäre beginnt dort erst um 30km.Da es praktisch kein Oz gibt, bildet sich auch keine Ozonsphäre.Das sterilisierende UV, das bei uns unter Ozonbildungweggefiltert wird, dringt bis zur Marsoberflächedurch. Lebewesen mit einem Chemismus, wie wir ihn kennen,müßten entweder unterirdisch leben oder selbst besondereSchutzschichten entwickelt haben. Die Ionosphäre existiert,enthält aber wegen der geringeren Dichte und Sonnenstrahlungerheblich geringere Elektronenkonzentrationen alsbei uns. Das C02 erhöht zwar die Temperatur etwas durchden Teibhauseffekt, aber unvergleichlich weniger als aufder Venus, wo es 75 bar C02 gibt und die Bodentemperaturauf 700 K kommt.5.2.16. Freie Weglänge IEin Reifen der Breite b sammelt auf der Fahrstrecke d.x imMittel nb d.x Nägel ein. Dies ist die Wahrscheinlichkeit desAusscheidens auf dieser Strecke für jeden Fahrer. Die Anzahlder Teilnehmer nimmt ab nach N = -nbN d.x, alsoN = N 0 e-nbx. Die mittlere Fahrstrecke ist l = 1/(nb). Dasergibt sich rechnerisch so: x = J;' N(x)xd.x/ J 000N(x) d.x =(bn)- 2 j(bn)- 1 unter Beachtung von J ze-az dz =-a-1 ze-:-az + a-2 e-az.5.2.17. Freie Weglänge IIBei einem Winkel 9 zwischen ihren Flugrichtungenhaben die Stoßpartner eine Relativgeschwindigkeit w =2vsin(.9/2). Für diese Partner kann man so tun, als flögedas betrachtete Teilchen mit w durch einen Schwarm ruhenderTeilchen. Deren Dichte ist allerdings nicht n, sondern nurein Bruchteil dn = n sin .9 d.9 j J; sin .9 d.9 fällt in diesen Winkelbereichd9. Sie tragen zur Stoßfrequenz v mit einem Anteildv = ow dn bei. Summation ergibt die mittlere Stoßfrequenz:v = 2anv .Jo sin(.9/2) sin.9d.9/ )o sin9d9. Mittelssin9 = 2sin(.9/2)cos(9/2) kann man das obere Integralin die Form J x d.x überführen und erhält v = ~ anv undeine freie Weglänge l = v jv = 3/ ( 4an), was sich von1/ ( V2an) nur wenig unterscheidet. Der exakte Faktor V2ergibt sich erst, wenn man auch die Verteilung der Geschwindigkeitsbeträgeberücksichtigt.5.2.18. ExosphäreWenn die Teilchenzahldichte n(x) ortsabhängig ist, mußman die Verlustrate eines z. B. in x-Richtung laufenden Teilchenstrahlsdifferentiell formulieren: Auf der Strecke d.x erfolgenaNn d.x Stöße (N Teilchen im Strahl; a: Stoßquerschnitt).Wenn ein Stoß zum Ausscheiden aus dem Strahlführt, ist dN = -aNnd.x, also lnN -lnNo = -a J n(x) d.x.Bei konstantem n(x) = n folgt wie üblich N =Noe-"nx=Noe-xfl mit l=1/(an). In der Atmosphärehängt n von der Höhe x ab wie n ~ no e-x/H. Dann folgtN =No exp(-aHNo(1- e-xfH)). Bei H » lo = 1/(ano)läuft sich der Strahl schon lange vor der Strecke H tot,man kann e-x/H entwickeln 1- xjH und erhält wie üblichN =No e-"nox. Bei lo » H dagegen bleibt aHno(1 - e-xfH)immer « 1, d. h. der Teilchenstrahl fliegt praktisch unge-schwächt ins Unendliche. Die Grenze zwischen diesen beidengrundverschiedenen Verhaltensweisen liegt bei lo ~ H.Für die Erdatmosphäre ist sie erreicht, wennn ~ 1/(aH) ~ 1/(10- 19 m2 · 10 4 m) = 10 15 m- 3 , also in300-400 km Höhe über dem Erdboden. Dort beginnt die Exosphäre.Teilchen, die dort oben durch Zufall (im Schwanz derMaxwell-Verteilung) Geschwindigkeiten über 11 km/s annehmenund ganz oder teilweise auswärts fliegen, verlassendie Atmosphäre für immer. Je kleiner der Planet, desto geringerist die Fluchtgeschwindigkeit, je dünner seine Atmosphäre,desto tiefer liegt die Grenze der Exosphäre. Die Atmosphärekleiner Planeten verflüchtigt sich daher in beschleunigtemTempo, so daß Mond und Merkur schon keine mehrhaben, Mars sehr wenig.5.2.19. ReaktionsquerschnittDamit zwei Moleküle A und B reagieren, müssen sie sichmindestens treffen. Wenn es nur auf eine geometrische Kollisionankommt und die Moleküle die Radien r1 und rz haben,ist der Stoßquerschnitt a = n(r1 + rz) 2 , und ein bestimmtesMolekül A hat die Wahrscheinlichkeit nBa d.x, auf einer Wegstrecked.x eines der nB Moleküle B, die im m3 sind, zu treffen.Unser Molekül A überstreicht ja das Zylindervolumena d.x, und darin befinden sich im Mittel n8 a d.x MoleküleB. Auf die Zeit dt bezogen, ist diese WahrscheinlichkeitnBavdt. Wenn im m3 andererseits nA Moleküle A sind, geschehenin diesem m3 in der Zeit dt im MittelnAn8 avdt Reaktionen.Die Reaktionsrate (Anzahl der Reaktionsakte/Zeit)ist also nAnsav. Die Chemiker schreiben dies meist knAnBmit der Reaktionskonstante k, die wir als k = av entlarvt haben.Der Reaktionsquerschnitt a ist höchstens gleich demgeometrischen Querschnitt der Moleküle, außer wenn essich um Reaktionen zwischen Ionen handelt; dann kann ergrößer sein, weil sich die Teilchen mittels ihres weitreichendenCoulomb-Feldes einfangen. Meist ist der Reaktionsquerschnittviel kleiner als der geometrische, falls es nämlich beider Reaktion darauf ankommt, daß die Partner in einer ganzbestimmten Lage zusammenstoßen oder falls nicht jeder Zusammenstoßzur Reaktion führt. Das letzte trifft besondersdann zu, wenn die Reaktion einen Energieaufwand W erfordert,den nur ein kleiner Teil der Moleküle aus ihrer zufälligerhöhten kinetischen Energie aufbringen kann (nur dieMoleküle im Maxwell-Schwanz). Dann enthalten Reaktionskonstantek und Reaktionsquerschnitt a noch· einen Boltzmann-Faktore-W/(kT), der um so kleiner ist, je mehrEnergie W erforderlich ist.5.2.20. HochvakuumDie mittlere freie Weglänge ist l = 1/ (an). Die Teilchenzahldichten ist proportional dem Druck: n = pj(kT), alsol = kT j(ap). Bei 300 K mit a = 10-19 m 2 (Molekülradiusknapp 2 Ä) folgt bei p = 1 bar: l = 4 · 10-5 cm. In dieGrößenordnung der Gefäßdimensionen (~ 10cm) kommtman bei 4 · 10-6 bar ~ 3 · 10-3 Torr. Von diesem Vakuumab, das mechanische Vorpumpen gerade erreichen, Diffusionspumpenaber leicht überschreiten, fliegen die Moleküledes Restgases ungehindert durch die ganze Apparatur,

IIII1058 :: Lösungen zu den Aufgabensie stoßen nicht mehr miteinander. Die Strömungsgesetze,die ein Kontinuum wechselwirkender Teilchen voraussetzen,gelten nicht mehr. Der Gasstrom durch eine enge Öffnung(Hahn), an der die Druckdifferenz 11p liegt, ist nichtmehr nach Torricelli AJ211pjQ, sondern Avm 0tl1p/p =Avr;;le ·11pjp, d.h. um den Faktor ~kleiner alsnach Torricelli: Die Pumpen ziehen schlechter. Kühlt maneine Wandstelle unter den Siede- oder Sublimationspunkteines Restgasanteils, so schlagen sich praktisch alle auftreffendenMoleküle dort nieder (Kühlfalle).5.2.21. k-MessungDas Spiegelehen kann als Riesenmolekül aufgefaßt werden,das eine Brownsche Rotationsbewegung mit der mittlerenEnergie ! kT, aber mit ständig wechselndem Drehsinnausführt. Diese Energie kann gleich _Qer mittleren potentiellenEnergie der Torsion ! Drtp2 gesetzt werden.Der quadratisch gemittelte Ausschlagwinkel ist ytft =y'kT/Dr = y'4 -10-21 J/(2,5 · I0-14 Nm)= 4-10-4 (vgl.Aufgabe 3.4.1). Wenn der Lichtzeiger 5 m lang ist, zitterter im quadratischen Mittel um etwa 2 mm hin und her. EinzelneAusschläge sind natürlich viel größer. Beobachtet man(unter Ausschluß jeder Luftbewegung um das Drehspiegelsystem!)lange genug, um sagen zu können, daß der quadratischgemittelte Ausschlag 2 ± 0,5 mm ist, und bestimmt mandie Torsionssteifigkeit Dr aus einer Messung der Drehschwingungsperiodebei bekanntem Trägheitsmoment(man kann das Spiegelehen auch größer machen), dannhat man damit die Boltzmann-Konstante, die Avogadro­Zahl und die Massen der Atome auf 25 % gerrau direkt bestimmt.5.2.22. DiffusionZwei Weglängen /, rechtwinklig aufeinandergesetzt, bringeneine Gesamtverschiebung l1x = /,;2, drei Weglängen in dendrei Raumrichtungen l1x = l../3 (Würfeldiagonale), allgemeinn Weglängen l1x = lvfn. Die Flugzeit für n Weglängenist t = nl/v, also l1x = VJVi. Das entspricht folgendem Diffusionsexperiment:Man läßt viele Teilchen von einem sehrengen Raumbereich aus starten und beobachtet, wie dieseVerteilung sich allmählich verwischt. Die Verteilung wirdim wesentlichen durch die Gauß-Kurve e-2-/(4Dt) beschrieben,die einen mit der Zeit auseinanderlaufenden Berg darstellt.Abstand und Zeit sind ebenso verknüpft wie oben. Mansieht daraus, daß der Diffusionskoeffizient von Teilchen, obsie molekular oder makroskopisch sind, sich entsprechend(5.64) darstellen läßt als D :::::: lv. Andererseits gilt auch dieBinstein-Beziehung D = J1kT für jede Teilchengröße. UnsereAbleitung von (5.42) aus dem Gleichgewicht von Diffusions-und Sinkstrom erwähnt ja gar nicht, was für Teilchenes sind. Also gilt allgemein f1x2 = 3Dt = 3J1kT. Man beobachtedie Zitterbewegungen eines Teilchens von z. B. 111mDurchmesser unter dem Mikroskop und stelle in sehr vielenMessungen fest, daß es sich in der Minute im Mittelum 10 11m von seinem ursprünglichen Ort entfernt hat.Dann kann man k so bestimmen: J1 = l/(67ri'Jr),'1 = w- 3 Nsjm 2 = w- 3 kg!ms, also k = 21ri'Jrf1x2/(Tt)::::::1,5 · w-23 J/K. Dies ist eine der historisch ersten Bestimmungender Boltzmann-Konstante kund damit der Avogadro-ZahlNA, der Molekülmassen und -größen.5.2.23. Perrin-VersuchDie gefundenen Teilchenzahldichten haben eine exponentielleHöhenverteilung (in einfachlogarithmischem Papieraufgetragen!). Die Skalenhöhe, die die Ergebnisse am bestenbeschreibt, ist H = 0,45 mm (man beachte, daß die kleinenTeilchenzahlen n in größerer Höhe einem erheblichen Poisson-Stichprobenfehlervfn unterliegen, die Werte für dieunteren Schichten sind nur durch Fehler in der Höhenmessungdurch unvorsichtige Entnahme mit Umrühren unddgl. verfälscht; man kann daher nicht allen Meßpunktendas gleiche Gewicht beimessen). Diese Skalenhöhe ist1,8 · 10 7 mal kleiner als die der Luftmoleküle, also sind diese1,8 · l0 7 malleichter als die Latexkügelchen unter Berücksichtigungdes Auftriebs. Die effektive Masse der Kügelchenist M = 17r(0,3 · w- 4 ) 3 · 0,01 g = 1,1 . w- 15 g, womitsich für ein Luftmolekül m = 6 · w- 23 g und für dasH-Atom 2 · w- 24 g ergeben. Gleichzeitig erhält man dieBoltzmann-Konstante und die Avogadro-Zahl mit einer entsprechendenUngenauigkeit: k = mgH/T = 1,7 · 10- 23 J/Kund NA= 1/mH [g] = 5 · 10 23 .5.2.24. Maxwell-Verteilung IWir betrachten die W-Auftragung der Maxwell-Verteilungmit der Abkürzung x = W /(kT), also f(x) dx =Jrrx 1 1 2 e-x dx. Das Maximum liegt bei f(x) = 0, d. h.!x-1/2- x 1 1 2 = 0, also x = 1 und hat die Höhe Je!)=0e- 1 1 2 = 0,484. Wir fragen, in welchem Abstand vomMaximum die Funktion f(x) nur noch 1/e dieses Werteshat, also 0,178 ist. Rechts vom Maximum fällt die Kurvepraktisch wie e-x ab, bis auf den Faktor y'X, der den Abfallverlangsamt. Also liegt der rechte 1/e-Punkt etwas mehr alsl1x = 1 rechts vom Maximum, d. h. etwas oberhalb 1 ,5. Linksvom Maximum ist x « 1, also e-x:::::: 1, und y'X regiert allein.Der linke 1/e-Punkt liegt also nahe bei x = 0. Die Breitedes Berges zwischen den 1/e-Punkten ist danach ca. 1 ,5,die Höhe 0,5, die Fläche 0,75. Die genauere Rechnung lieferteine Breite 1,78, also eine Fläche 0,86. Die effektiveBreite der Maxwell-Kurve ist also durch die 1/e-Punktegut definiert.5.2.25. Maxwell-Verteilung IIMaximum der Maxwell-VeJeilung: df ( v) / dv = 0 ==>2v- mv 3 /(kT) = 0 ==> Vm = 2kT jm. Wie bei jeder Verteilung,die asymmetrisch ist und nach einer Seite weiterauslädt, liegt der Mittelwert außerhalb des Maximums,und zwar an der stärker ausladenden Seite. Für das quadratischeMittel ist das noch stärker der Fall. Die mittlere Geschwindigkeitist (mit a = m/(2kT))v=~a3f2h = -4 a3f2i.(.!_) =-2-= f8kf_fi fi da 2a Fa V -;;;:;

"Kapitel s: Lösungen 1059Das mittlere Geschwindigkeitsquadrat (entsprechend dermittleren Energie) istv2 = _!_a3f2h = _!_a3f2~ (~..fii ..fii da 2 2 VE) = 3kT-;; m 'ganz wie die Grundgleichung der Gaskinetik und der Gleichverteilungssatzdas verlangen.5.2.26. ReaktionsrateDer Bruchteil der Moleküle, die zum gegebenen Zeitpunkteine höhere Energie haben als die AktivierungsenergieWA, ergibt sich aus der Fläche des "Maxwell-Schwanzes" zua =rXJ f(W)dW ~f(WA)kT = 2_ ;w;:e-WA/(kT).lwA..fiiYkfWenn der gasförmige Brennstoff A und der Sauerstoff stöchiometrischsind, im einfachsten Fall wie 1 : 1 (z. B. beiCH30H + 02--+ C02 + 2H20), stößt jedes Molekül A inder Sekunde nva-mal mit einem 02 zusammen. (n Teilchenzahldichte,v thermische Geschwindigkeit, a Stoßquerschnitt.)Die n Moleküle A, die im m3 sind, machen insgesamtn2va Stöße mit 0 2-Molekülen. Davon führt aber nurein Bruchteil a zur Reaktion, wobei jedesmal die EnergieWR frei wird. Die Gesamtleistungsdichte der Reaktion istalsop = an2vaWR = -- 2yi3~A --WRn2ae-WA/(kT)...fii mEin unendlich ausgedehntes Reaktionsgemisch würde imPrinzip selbst bei sehr kleiner Anfangstemperatur schließlichdurchreagieren: Die anfangs wenigen Reaktionsakte erwärmendas Gas langsam aber sicher und beschleunigen soden Prozeß immer mehr. In der Praxis bei begrenzten Reaktionensind Strahlungs- und Konvektionsverluste zu beachten.Bei einer Abmessung R des Reaktionsraumes erhältman bis auf unwesentliche Zahlenfaktoren die BedingungR20"StBr ~ R3P =}- O"StBr ~ ~ e-WA/(kT)RWRn2aV WAfür den Einsatz der Reaktion. Gegen die starke Änderung dere-Funktion sind die praktisch möglichen Variationen derGrößen auf der linken Seite nicht sehr wesentlich: DerFlammpunkt Tp wird hauptsächlich durch WA bestimmt.Die linke Seite hat eine Größenordnung um 10- 12 , alsoTp ~ WA/(27k). Bei WA = 0,5 eV geht die Reaktion daherschon bei Zimmertemperatur los, typische organische Brennstoffehaben W A ;;(; 1 e V.5.2.27. KernfusionDies ist im wesentlichen die Aufgabe 5.2.26, nur mit sehrviel höherer Aktivierungsenergie Wa = Ws ~ J MeV bzw.Wa ~ v'WskT. Mit unserer Flammpunkt-Abschätzung erhaltenwir für ein Fusionsplasma, in dem n etwa 1 04mal geringerist als bei üblichen Gasreaktionen, Tf ~ Wa/(9k), dagegenim Sonneninnern, wo n mehr als 10 4 mal höher ist als imGas, Tf ~ Wa/(45k). Mit Wa ~ 1 MeV würde die Fusionalso im Plasma erst um T ~ 109 K zünden, in der Sonneum 108 K (bei 300 K ist kT = ;/o eV, also entspricht' 1 MeVetwa 10 10 K). Der Tunneleffekt erleichtert die Zündbedingungzu kT ~ W 3 /y ~ vWskT /y =}- kT ~ Ws/y2, bringtalso nochmals den Faktor y im Nenner ein. Das senkt dieZündtemperatur im Plasma auf etwa 108 K, in der Sonn~etwa 10 7 K.5.2.28. Sind Planeten so selten?Die beiden Sterne mögen mit der Relativgeschwindigkeit vso aneinander vorbeifliegen, daß der minimale Abstand a ist.In diesemAbstand üben sieeine Kraft Fm= GM1Mzla 2 aufeinanderaus. Natürlich ist dieser Mindestabstand nur einenAugenblick lang realisiert, aber während der Zeit t = 2a/vist der Abstand nicht viel größer (höchstens um den Faktorv'2). Diegenaue Rechnung (s. Aufgabe 13.3.3) bestätigt, daßman so tun kann, als habe die Kraft während der Zeit t immerihren Maximalwert, und als verschwinde sie dafür früher undspäter. Dann wird zwischen den Sternen ein Impuls11p = Fmt = 2GM1M2/(av) ausgetauscht, d.h. wenn derStern 2 im gewählten Bezugssystem vorher ruhte, hat ernachher den Impuls 11p und die kinetische Energie11W = 11p 2 /(2M2) = 2G 2 MiMzl(a2v2) vom Stern 1 übernommen.Dieser Energieaustausch fällt dann in die Größenordnungder kinetischen Energie des Sterns 1, wenn11W ~ W = !M,v2, d.h. wenn a = akrit = 2Gy'M1Mz/v 2 .Diese Bedingung läßt sich, bis auf den evtl. Unterschiedzwischen M1 und M2, auch so lesen: Die potentielle Energiebei größter Annäherung muß etwa gleich der kinetischensein. Oder: Der kritische Minimalabstand ist bei M 1 = M2doppelt so groß wie der Bahmadius eines Planeten, der einender Sterne mit der Bahngeschwindigkeit v umflöge. Für zweiSterne von Sonnenmasse mit einer Relativgeschwindigkeitv = 100 km/s folgt akrit = 0,2 Erbahnradien = 3 · 107 km(hätte die Erdbahn nur 1/10 ihres Radius, so würde dieErde dreimal so schnell fliegen, d. h. etwa mit v). DerStoßquerschnitt ist a = 1ra~it = 3 · 10 15 km 2 . Die mittlereSternzahldichte in der Galaxis ergibt sich aus deren VolumenV = 3 · 10 13 Lichtjahre3 = 3 · 10 52 km3 und der SternzahlN = 2 · 10 11 zu n = N /V~ 10- 41 km- 3 . Die mittlerefreie Weglänge für "wesentliche" Stöße ist also l =1/(naJ:~3-10 25 km. ·Ein Stern. fliegt r=l/v=3. 10 3 s = 10 16 Jahre, bevor ihm so etwas passiert. Nachvielen solchen Stößen müßte die Geschwindigkeitsverteilungder Sterne eine Maxwell-Verteilung werden, dennderen Herleitung und Gültigkeit sind völlig unabhängig davon,ob es sich um Moleküle oder Sterne handelt. Die"thermische" Relaxationszeit r ist so groß, daß die Sternein 10 10 Jahren "Weltalter" das tatsächlich annähernd beobachteteGleichgewicht längst nicht erreicht haben könnten,falls sie nicht früher sehr viel enger gestanden haben.Wenn die Entstehung eines Planetensystems, wie Jeffriesund Jeans annahmen, einen noch viel engeren Stoßzwischen Sternen voraussetzte, gäbe es bei der heutigenSterndichte kaum ein zweites Planetensystem in unsererGalaxis.

IIII1060 : : Lösungen zu den Aufgaben5.2.29. GalaxienhaufenAuch Galaxien "stoßen" miteinander, d. h. tauschen durchgravitative Wechselwirkung Energie aus und nähern sicheinem thermischen Gleichgewicht, in dem alle etwa diegleiche Energie ! mv 2 haben. Die größeren fliegen daherlangsamer und bewegen sich näher dem Haufenzentrum.Wie groß die "Teilchen" sind, spielt für die statistischeMechanik keine Rolle.5.3.1. OttomotorWenn Oktan und Sauerstoff stöchiometrisch gemischtsein sollen, müssen entsprechend CsH1s + 12,5 Oz--+ 8 C02 + 9 H20 auf 114 g Benzin 400 g Sauerstoff, d. h.2 000 g Luft kommen. Die 4 · 10 6 J, die optimaL beim Verbrennenfrei werden, erhitzen die 75 mol Verbrennungsprodukte+ N2 um 2 700°, wenn keine Verluste auftreten.Nach der Explosion herrschen also mindestens 10bar imZylinder. Die Molzahländerung ist klein: 71,5 mol vor,75 nach der Verbrennung. Sie allein würde den Druck nurum etwa 0,05 bar erhöhen. Jetzt erfolgt adiabatische Expansionauf etwa 1 bar. Dabei nimmt T gemäß T "'p 1 - 1 h aufT2 ~ 1 550 K ab. Wirkungsgrad 1J = (TI - T2) /TI ~ 0,5,Ausdehnung auf V2 ~ 5,2V1. Direkte Berechnung der dabeigeleisteten Arbeit und Vergleich mit der Verbrennungswärmegibt den gleichen Wert für IJ. Offenbar steigt 1J mit demVerdichtungsfaktor (der Kompression) Vz/VI, nämlich1J = (V:-y- Vi-y)jv:-y = 1- (V1/V2)Y- 1. Vorverdichtunggibt höheres 1J. Allerdings kann man beim Ottomotordie Kompression 7-8 kaum überschreiten, weil sie das Gemischbis über den Flammpunkt erhitzen würde. Dieselöl istschwerer entflammbar und wird erst während der Kompressioneingespritzt. Daher kann man im Dieselmotor die Kompressionbis 20 treiben und erzielt damit theoretisch 1J ~ 0,7.Wärmeverluste reduzieren T und 1J erheblich.5.3.2. Kühlschrank75 kg Lebensmittel von 25 °C auf 5 °C abkühlen bedeutetden Entzug der Wärmeenergie W = 6,3 · 10 6 J. Die HeizungP braucht t ~ 11,5 h. Der Kühlschrank braucht offenbar etwasechsmal weniger Zeit, um eine bestimmte Wärmemenge zuentziehen, als eine Heizung gleicher Leistung braucht, umdieselbe Wärmeenergie zuzuführen. Bei Kühlschrank undWärmepumpe ist lediglich die Flußrichtung der Energienumgekehrt wie beim Verbrennungsmotor. Speziell beimKühlschrank werden wir als Nutzeffekt das Verhältnis derWärmeleistung, die dem Kühlgut entzogen wird, zur hineingestecktenelektrischen Leistung bezeichnen, also 11- 1 =P/W' = TJ/(T2- T1). Das warme und das kalte Reservoirsind beim Kühlschrank der Wärmetauscher (schwarzes Gitterhinter dem Schrank) bzw. die Kühlplatten (die Metallplatten,die oft vereist sind, im Innern). Fassen Sie das Gitter an,wenn der Kühlschrank arbeitet: Es hat 50-60 °C. Es mußja auch im heißesten Sommer noch seine Wärme an dieKüchenluft abgeben, muß also heißer sein als diese. Umgekehrtmuß die Kühlplatte kälter sein als die Solltemperaturdes Kühlgutes, also 0 °C oder weniger. Damit erhaltenwir einen theoretischen Nutzeffekt 270 K/50 K = 5,5. Aufdem gleichen Effekt beruht die gute Energieausnutzungdurch eine Wärmepumpe: Die direkte elektrische Heizungsetzt teure mechanisch-elektrische Energie direkt l : I inWärme um. Die Wärmepumpe bringt das Mehrfache deselektrischen Aufwands in das Heizsystem (T2). Der Reststammt aus dem kalten Reservoir (Wasser, Atmosphäre, Erdboden).Kühlschrank und Wärmepumpe leisten dies nachdem Kompressor- oder dem Absorberprinzip: Eine Flüssigkeitwird durch Expansion im Kühlschrank verdampft undentzieht dem Kühlgut die dazu nötige Verdampfungsenergie;im Wärmetauscher wird sie durch Kompression wiederverflüssigt und gibt dort die gleiche Energie wieder ab, oderman nutzt entsprechend die Absorptions- oder Lösungswärmeaus.5.3.3. WärmepumpeDas Kühlmittel wird im Wärmetauscher durch Kompressionverflüssigt, wobei es seine Kondensationswärme an dasHeißwasser abgibt. Das Heißwasser speist die Heizkörper.Die Kühlflüssigkeit wird zum Wärmetauscher im Fluß gepumptund dort entspannt, wobei sie verdampft und demFlußwasser die Verdampfungswärme entzieht (bei T1 =8 °C). Der Nutzeffekt der Anlage, definiert als Heizleistung/Leistungvon Pumpe und Kompressor kann idealerweise11- 1 = Tz/ (T2 - T1) = 4,5 erreichen. Statt 10 8 Wkonventioneller Heizleistung würden wir idealerweise nuretwa 2 · 10 7 W elektrischer Pumpleistung brauchen.5.3.4. Projekt AgrothermAbwärme ist die Energie, die eine Wärmekraftmaschine andas kalte Reservoir (meist Kühlwasser) abgeben muß. Diegewinnbare mechanische oder elektrische Energie ist janur ein Bruchteil 1J < (Tz - T1) /Tz der Energie, die ausdem Brennstoff, also dem heißen Reservoir (Tz) entnommenwird. Der restliche Bruchteil I - 1J muß in das kalte Reservoir(TI) übergehen. Wenn man das Kühlwasser mit einemunendlich großen Volumenstrom zur Verfügung hätte,brauchte man es dabei nicht wesentlich zu erwärmen.Auch Wasser ist aber Mangelware, und man wählt den Volumenstromin der Praxis so, daß das Kühlwasser 20-30 Kwärmer wird als die Luft. Jahresverbrauch der BRD6 · 10 10 kWh, mit Industrie usw. 2,5 · 10 11 kWh im Jahr,der mittlere Leistungsbedarf 2,9 · 10 10 W. Der ideale Wirkungsgradeiner solchen Wärmekraftmaschine ist1J = 600 K/900 K = ~, Abwärme etwa 15 GW. Wenn dieRohre weniger als I m auseinanderliegen, steigt die Temperaturmit der Tiefe linear an, Gradient (Tw- To)/d, wo Twund To die Temperaturen des Wassers und der Ackeroberflächesind. Wärmestromdichtej = Jc(Tw- To)/d. Wenn manauf der Fläche A die Abwärme P abführen will, muß A = P /)sein. Mit d = 1 m ergibt sich eine erwärmte AckerflächeA ~ 2 · 10 3 km 2 . Das ist zwar nur 2% unserer Ackerfläche,aber trotzdem lohnend. Wenn Tw um 20 K höher istals die Lufttemperatur und d = 1 m ist, herrschen in 10 cmTiefe schon 2 K mehr als üblich. Man könnte die Rohreauch tiefer legen und entsprechend mehr Ackerfläche versorgen.Die Bodenoberfläche ist etwas wärmer als die Luft, denn

Kapitel s: Lösungen 1061sie muß ja die aufwärtsfließende Wärme an die Luft abstrahlen.Dazu ist eine Temperaturdifferenz To - T1 nötig,so daß j = a(To - T1) mit dem Wärmeübergangswerta ~ 6Wm-2K- 1 . Mit den obigen Werten wird To- T1 ~1,2 K. Dadurch wird der T-Gradient nicht merklich flacher,aber die verlangten 2 K Unterschied werden schon in4-5 cm Bodentiefe erreicht.5.3.5. WirkungsgradDie Diskussion ist besonders einfach im T, S-Diagramm. Einbeliebiger reversibler Kreisprozeß läßt sich dort durch einegeschlossene Kurve darstellen. Nach der Definition von Sist die Wärmezufuhr zur Arbeitssubstanz Q = J T dS, alsodie Fläche unter der T(S)-Kurve (der Vorgang ist ja als reversibelvorausgesetzt). Die geschlossene Kurve zerfällt in einenoberen und einen unteren Bogen. Die Fläche unter dem oberenist Q2, die dem heißen Reservoir entnommene Wärme,die Fläche unter dem unteren ist Q1, die dem kalten zugeführteWärme (rein mathematisch ist eine davon negativzu rechnen wegen der umgekehrten Laufrichtung). Nachdem Energiesatz (das System kehrt ja in den gleichen Zustandzurück) ist die geleistete Arbeit W die Differenz beiderWärmen: W = Qz - Q1, graphisch dargestellt durch die Flächeinnerhalb der Kurve. Man kann so für jede Maschine denWirkungsgrad direkt ausplanimetriereD (z. B. die Flächen ausPapier ausschneiden und abwiegen). Am einfachsten siehtder Carnot-Prozeß aus: Rechteck aus zwei isothermen(T = const) und zwei adiabatischen (S = const) Takten.Man liest sofort IJ = (T2 - T1) IT2 ab. Hierbei bedenkeman, wie kompliziert der Camot-Zyklus in den "natürlichen"Koordinaten p, V aussieht, sogar für ein Idealgas.Bei anderen Arbeitssubstanzen sieht er in "natürlichen" Koordinatenwieder anders aus, z. B. für ein nichtideales Gas,für ein Flüssigkeits-Dampf-Gemisch (Kühlschrank, Wärmepumpeusw.; hier ist für T = const auch p = const entsprechendder Dampfdruckkurve), für ein paramagnetischesSalz (magnetische Kühlung; natürliche Koordinaten sindhier Magnetfeld und Magnetisierung, mit T verknüpft durchdas Curie-Gesetz). Nur in T, S werden alle diese ProzesseRechtecke. - Jeder andere Kreisprozeß läßt sich aus Carnot-Prozessenzusammensetzen. Man zerlege ihn z. B. imT, S-Diagramm durch hinreichend viele vertikale Adiabaten.Die entstehenden Streifen kann man dann gern obenund unten durch waagerechte Isothermenstücke abschließen,ohne daß man gegenüber dem Originalprozeß flächenmäßigeinen wesentlichen Fehler macht. Natürlich läßt sichdann IJ nicht mehr so einfach durch obere und untere Temperaturausdrücken, weil diese variiert; man muß mitteln oderrein graphisch vorgehen. Speziell beim Otto-Motor ist allerdingsdas T- Verhältnis über die ganze Breite des Zyklus nachder Adiabatengleichung das gleiche, weil das Volumenverhältnisgleich ist.5.3.6. StrahlungsdruckWenn das Strahlungsfeld n Photonen1m 3 enthält, ist seineEnergiedichte u = nhv. Auf l m 2 treffen in der Sekundeinc Photonen auf (vgl. kinetische Gastheorie) und übenden Druck p = ! nchl A. = i nhv aus (Druck= Impuls1m2 s,ein Photon hat den Impuls hl A.). Diese Beziehung u = 3pfolgt allein aus der Isotropie des Strahlungsfeldes und hängtnicht von seiner spektralen Zusammensetzung, speziell nichtvon seinem Gleichgewichtscharakter ab.5.3.7. Differentieller Carnot-ProzeßDa dVad « dVis, brauchen nur die Isothermenarbeiten berücksichtigtzu werden. Eifolgt die Expansion bei T + dT,die Kompression bei T, so sind diese ArbeitendW1 = -p(T + dT) dV, dW2 =p(T) dV, also die Gesamtarbeitsleistungder Maschine d 2 W = -dW1 + dW2 =( op I /JT) dT d V. Die Wärmezufuhr dQ, die für die isothermeExpansion nötig ist, besteht aus zwei Anteilen: Der ArbeitdW 1 und der Änderung der inneren Energie (oWioV)dV,also dQ = (p + /JW loV) dV. Der Wirkungsgrad ist11 = dT IT = d 2 w ldQ = (oploT) dTI(p + aw loV) d. h.oploT = (p + /JW loV)IT. Für Stoff A (ideales Gas) istaw I av = 0, also op I /JT = p IT, also p ~ T (Zustandsgleichung).Für Stoff B (schwarze Strahlung) aw I av = u = 3p,also opi/JT = 4piT, also p"' u"' T 4 (Stefan-Boltzmann).Für Stoff C (Fermi-Gas) oWI/JV = -av:- 5 1 3 . Da W nurschwach von T abhängt, ist auch op I /JT klein, alsop = av-5/3.5.3.8. Sonnenatmosphäre50 000 km~ 0, 1R 8 (R 8 Sonnenradius ); praktisch diegesamte Sonnenmasse liegt innerhalb. Gravitations- undGasdruck sind also p ~ GM8 hr!/R~ ~ 0,1GM 8 QIR. Mit(] ~ 0,1 glcm 3 wird Psoooo ~ 3 · 10 7 bar. 1 bar mitQ ~ 10- 4 glcm 3 gibt 300 K, 3 · 10 7 bar mit 1 g/cm 3 geben106 K. Bei diesen T und(] sind nach Abb. 8.9 alle H-Atomeionisiert, bei den Oberflächenverhältnissen dagegen nicht.Das aufsteigende Plasma muß rekombinieren, wobei espro H-Atom 13,6eV, d. h. ~kT mit T ~ 10 5 K gewinnt.Das Gas dehnt sich also viel stärker aus, als dem reinenDruckgleichgewicht entspräche. Feuchte Luft tut das dankder Kondensationswärme auch, nur in viel geringeremMaße. In der Sonnenatmosphäre ist stabile Schichtung nichtmöglich, sie brodelt ununterbrochen. Es bilden sich relativbeständige Konvektionszellen, die innen einen Aufwärts-,am Rand einen Abwärtsstrom haben, wie im hinreichendflachen Wasser im Kochtopf vor dem Sieden. Auf der Sonneerkennt man diese Zellen in der Granulation und anderenStrukturen wieder.5.4.1. HeizungSauerstoffbedarf und C02-Produktion ergeben sich aus denUmsatzgleichungen, z. B. für Kohlenhydrate. Ein Menschmit 12 000 kJ/d verbraucht 25 mol = 800 g 02 und erzeugt25 mol = 1100 g C02 täglich. Bei z. B. 4 Menschen in300m 3 , d. h. 390 kg Luft mit maximal 3,9 kg C02 mußdie Luft mehr als einmal täglich vollständig erneuert werden.Erwärmung von 440 kg Luft, d. h. 15 000 mol, von-20° auf +20 °C kostet 1,2 · 10 7 J. Durch z.B. 200m 2Außenwand (Stärke 40 cm) und 30m 2 Fensterfläche(Stärke 4 mm) würden die katastrophalen Wärmemengen

1062 Lösungen zu den Aufgabenvon 4 · 10 8 bzw. 2 · 10 10 J/d verlorengehen, wenn das ganzeTemperaturgefälle direkt am Stein bzw. Glas erfolgte. InWirklichkeit liegt drinnen und draußen eine schützendePrandtl-Grenzschicht, die bei einer konvektiven Strömungsgeschwindigkeitv = 2 rnls etwa je 1 cm dick ist und wegen2 = 0,025 W/m K insgesamt besser isoliert als das Mauerwerk.Bei Sturm allerdings kann diese Schicht auf! zurückgehen(v;::::; 50ms). Mit 2cm Luftschicht ergibt sich einVerlust von 10kW oder 109 J/d, entsprechend etwa 301Heizöl/d.5.4.2. Thermische RelaxationDer Temperaturleitwert },I (ec) ist für Kupfer 3,9 I (8,9 ·0,38) = 1,15, Wasser 0,00541(1 · 4,2) = 1,3 · 10-3, Fett0,002I(0,9. 1,8);::::; 10-3, Luft 2,4. 10-4 1(1,3 -10-3-1) =1,18, Stein 0,021(2,5 · 1);::::; 0,01 cm 2 ls (für Fett istentgegen der Neumann-Kopp-Regel die CH2-Gruppe alsunabhängige thermische Einheit anzusehen, daher c ;::::;20 J mol-1 K- 1 I (14 g mol- 1) ;::::; 1,8 J g-1 K- 1 ). Fett isoliertalso mehr als dreimal besser als Wasser, Luft 20mal, derWärmeausgleich erfolgt aber bei gleicher Geometrie inFett und Wasser etwa gleich schnell, in Gestein 10malschneller, in Luft 200mal schneller. Trotzdem ist die thermischeRelaxationszeit (Wärmeausgleichszeit) bei großräumigenLuftströmungen sehr lang, bei R = 50 m z. B. T ;::::;gcR 2 I A;::::; 0,2 · 2,5 · 10 7 s;::::; 1 Woche. Vertikale und horizontaleKonvektion erfolgen also weitgehend adiabatisch.Das führt zur adiabatischen Höhenschichtung (vgl. Aufgaben5.2.8-5.2.15), und dazu, daß die Temperatur, die beiuns herrscht, mehr von den Luftströmungen als von der momentanenSonneneinstrahlung abhängt.5.4.3. Mindestalter der Erde (Kelvin)Bei einem T -Gradienten von 0,03 Klm leitet das Gestein eineWärmestromdichte vonA.dTidz = 1,6W lmK · 0,03Kim r;:j0,04 W I m 2 . In 100 km Tiefe ist es noch 3 000 K heiß, wennder T-Gradient bis dahin so weitergeht. Wenn diese Säule von100 km Höhe und 1 cm2 Querschnitt, also 3 · 107 g Masseund 4 · 10 7 J/K Wärmekapazität, anfangs durchweg 3 000 Khatte, also im Durchschnitt 1 500 K verloren hat, muß sieinzwischen 1500K · 4 · 10 7 JIK = 6 · 1010 J abgegeben haben.Das dauert bei dem angegebenen Wärmestrom1,5 · 1016 s = 5 · 10 8 Jahre. In Wirklichkeit hat die Wärmedes Erdinnern wahrscheinlich längst nichts mehr mit demevtl. glutflüssigen Ursprung der Erde zu tun, sondern wirdlaufend gleichgewichtsmäßig durch die radioaktive Wärmeproduktionder Gesteine und Umschichtungen im Erdinnern,die Gravitationsenergie in Wärme umsetzen, aufrechterhalten.5.4.4. BodenfrostWir machen für die räumliche und zeitliche TemperaturverteilungT(x, t) den Ansatz T = To + T1 eiwt · eax: HarmonischeSchwankung um den Mittelwert To mit der AmplitudeT 1 am Erdboden, mit der Amplitude T 1 eax in der Tiefe x.Einsetzen der Ableitungen in die WärmeleitunsgleichungT = },Txxl(ec) zeigt, daß dieser Ansatz wirklich eineLösung ist, falls a2 = iecw I 2 ist. Wurzelziehen in der komplexenEbene heißt: Winkel halbieren, Betrag radizieren. Esgibt zwei Wurzeln: a = ±-j!ecwl },(1 + i). Nurdie negativeist brauchbar, denn mit der positiven würde die Amplitudemit der Tiefe unbegrenzt zunehmen. AlsoT = To +Tl . ei(wt-x-Jecw/(2J.)). e-x-Jecwj(ZJc).Die Amplitude klingt auf der Tiefenstufe x0 = J22l(ecw)auf 1/e ab, die Phase hinkt gegenüber der Lufttemperaturum xlxo nach. Mit w = 7 · 10-5 s- 1 (Tagesschwankung)ist xo r;:j 14cm, mit w = 2. w-7 s-1 (Jahresschwankung)ist xo = 2,70m, mit w = 3 · 10-6 s-1 (dreiwöchige Kältewelle)ist xo r;:j 60 cm. Für Deutschland ist To = 9 °C,Tt Jahr = 10 K, Tt Tag = 8 K, T1 Kältewelle r;:j 20 K. Mit 1,20 mErde dämpft man die Jahresamplitude auf 6 K, die derKältewelle auf 3 K, die der Tageswelle auf praktisch 0 K.Das Wasserrohr ist in dieser Tiefe sicher. Dem gutangelegtenSektkeller kann nur dieJahreswelle gefährlich werden. In 6 mTiefe ist ihre Amplitude nur noch 1 K. Wennxlxo = 1r, ist diePhase um eine Halbwelle verschoben. In 0,5 m Tiefe istes also nachts, in 8,5 m Tiefe im Winter am wärmsten.Jakutsk hat To = -12 °C, T1 Jahr= 30K. Ab x = xo ·e-12130 = 1,80m bleibt es selbst im Sommer unter 0 °C,dort beginnt der Permafrost. Dieses Phänomen existiert überall,wo To unter Null liegt, die Zone ewigen Frostes beginntin um so größerer Tiefe, je größer T1 und To sind, nämlichbei x = xo ln(TJ/JTol).5.4.5. Wiener-VersuchIn einer Lösung, wo die Salzkonzentration und damit dieBrechzahl n sich senkrecht zur Lichtausbreitung ändert,wird der Lichtstrahl gekrümmt. Eine Wellenfront der Breited läuft unten mit der Geschwindigkeit ein, oben mitcl(n- dnldx · d) r;:j (1 - dnldx · dln) ein.Innerhalb der Schichtdicke l wird sie um den WinkelIX = l dnl dx nach unten abgelenkt, wenn die Brechzahl,wie üblich, nach unten zunimmt. Auf einem um L entferntenSchirm bewirkt das eine Ablenkung y = LI dnl dx. In der Lösungbilden die Funktionen c(x) und n(x) zuerst eine steileStufe bei x = 0, die sich allmählich abflacht, aber ihren Wendepunktbei x = 0 behält. Die Ableitung dn), dx, auf die eshier ankommt, ist eine Gauß-Kurve ~ e-x /(4Dt), die ihreWendepunkte zur Zeit t bei x = V2f5i hat. Das um y verzerrteLichtbündel stellt, wenn man die 45°-Neigung korrigiert,genau diese Kurve dar. Ihre Gesamtfläche gibt dieDifferenz der asymptotischen n-Werte, also der Konzentrationen.Ihre Wendepunkte verschieben sich mit der Zeit genaugemäß x2 = 2Dt und erlauben eine Bestimmung des Diffusionskoeffizienten.5.4.6. DruckparadoxonDurch ein Loch von normaler Größe strömt nach Torricelliein Gas bei der Druckdifferenz !1.p mit der GeschwindigkeitVT = J2 !1.p I(!. Ohne Druckdifferenz erfolgt auch kein resultierenderStrom, wenn beiderseits verschiedene Gase

Kapitel s: Lösungen 1063sind. Sie diffundieren nur langsam ineinander. Die Poren imTon haben aber z. T. Abmessungen, die kleiner sind als diefreie Weglänge. Durch solche Poren strömt das Gas nichtmehr nach Torricelli als Kontinuum, sondern die Moleküleverhalten sich als unabhängige Teilchen, die entweder denLochquerschnitt treffen und durchkommen oder nicht. Inder Sekunde kommen also nAv Moleküle durch, wov = .j3kT Im die mittlere Molekülgeschwindigkeit ist(Knudsen-Strömung). Auch bei beiderseits gleichemDruck, d. h. gleichem n, treten dann von der Seite, wo dieMoleküle leichter, d. h. schneller sind, mehr Teilchendurch. Wenn der H2-Partialdruck im Tongefäß ebensogroßgeworden ist wie draußen, geht der Überdruck natürlich zurück.Hört man mit dem H2-Bespülen auf, entweicht das H2aus dem Gefäß und läßt vorübergehend einen Unterdruckzurück.5.4.7. Nackt und pudelwohlDie nackte Haut verliert im wesentlichen Strahlungswärme.Wenn man sie als "schwarzen Körper" betrachtet undA =2m2 Körperoberfläche annimmt, ist die AbstrahlungsleistungIXA !J.T.Der menschliche Stoffwechsel liefertetwa P ;::;; 100 W ( Stoffwechselumsatz ;::;; 2 000 kcaVd). DieBilanz ist ausgeglichen bei !J.T ;::;; PI ( IXA) ;::;; 8 K, was29 °C entspricht. In Wirklichkeit ist der Stoffwechsel im wachenZustand wesentlich aktiver als im Schlaf, man hält esdaher auch bei 25 °C gut aus, friert aber, wenn man einschläft.Der bekleidete Mensch verliert Wärme nicht mehrdurch Strahlung, sondern durch Leitung, und zwar wirktgute Wollkleidung im wesentlichen als ein Luftpolster, indem die Konvektion ausgeschlossen ist. Die Wärmeverlustleistungdes Menschen muß wieder auf P = 100 W gehaltenwerden. Da P = AA !J.T I d (A ;::;; 2m2 Körperoberfläche,2 = 0,025 W/m K Wärmeleitfähigkeit der Luft), muß dieDicke der Kleidung d ;::;; }.A !J.T I p ;::;; 5 . 10-4 !J.T sein, z. B.I cm bei 17 °C, 2 cm bei -3 °C, 3 cm bei -23 °C. Wennder Mensch schwitzt, nutzt er die Verdampfungswärme desWassers von 2,3 · 10 6 J/kg aus. Um die 10 7 J/Tag seinesStoffwechsels bei 37 °C Außentemperatur abzuführen,muß er etwa 4l!Tag schwitzen. Dann kann nämlich auchder nackte Mensch keine Wärme durch Strahlung abgeben.Bei 32 oc ist die Schweißmenge halbsogroß, bei 27 oc genügtdie Abstrahlung. Bei 37 °C übersteht der Mensch ohneFlüssigkeitsaufnahme kaum 24 h, selbst im Schatten ohneBewegung.5.4.8. Brrr . ..Wir frieren, wenn wir zuviel Wärme durch die Haut verlieren.Auch unbekleidete Hautstellen sind immer durch einePrandtl-Grenzschicht geschützt, die an der Strömung imWind nicht teilnimmt, allerdings mit zunehmender Windgeschwindikeit immer dünner wird. Ihre Dicke istd;::;; 617ll(gv). Der Wärmeverlust erfolgt durch Wärmeleitungdurch die Prandtl-Schicht mit einer Wärmestromdichtej = }, !J.T I d. Der obige Ausdruck fürdergibt j ~ !J.tVIJ. Wirvergleichen stille Luft, durch die ein Mensch mit v ;::;; 2 rn/sgeht, und einen Sturm von 30 rn/s. Im Sturm ist ViJ etwaviermal so groß, also darf bei Windstille !J.T viermal sogroß sein, damit der Mensch ebenso friert. Wenn die Hautoberfläche37 °C hätte, ergäbe dies Äquivalenz zwischenstiller Luft von -20 °C und Sturm bei +23 °C. Die Hautist aber wesentlich kühler als das Körperinnere. Der Temperaturabfallvon 37 °C auf die Außentemperatur verteilt sichim Verhältnis der Wärmewiderstände dl 2 auf Hautschichtund Prandtl-Schicht. Fettgewebe hat etwa die zehnfacheWärmeleitfähigkeit der Luft. Dies gilt für Gewebeteile, denenkeine Wärme zugeführt wird (keine Durchblutung)und in denen auch keine entsteht (kein Stoffwechsel). DieHaut kann annähernd 0 °C annehmen, bevor Erfrierungeneintreten. Unter solchen Umständen sind -20 °C bei Windstilleäquivalent mit -5 °C bei Sturm. Die Unterkühlung istnatürlich um so stärker, je dünner die Prandtl-Schicht ist, d. h.je größer v und je kleiner die Abmessung l des Körperteils ist.Nase, Finger, Zehen und Ohren erfrieren zuerst, außer denwinzigen Plattnäschen der Eskimos und Nordasiaten.5.4.9. Rayleigh-KonvektionEin zufällig um dy aufsteigendes Fluidpaket gerät in eine umlgradTidy kühlere, also um ßelgradTidy dichtere Umgebung(ß = dg I (g dT)) und erfährt also den AuftriebFA= gVdg = 17rr3 ßgg gradTdy(wir denken an ein kugelförmiges Paket). Diesem Auftriebwirkt die Stokes-Reibung F'l = 67rfJrV entgegen, und ausdem Gleichgewicht FA= F'1 ergibt sich eine Aufwärtsgeschwindigkeitv = 2r 2 gße grad T dy I (91'/ ). Der Aufstiegum dy, der ja wegen v ~ dy erst am Schluß so schnell' erfolgt,dauert eine Zeit fA;::;; 2dylv = 91JI(r 2 gßg gradT).All dies stimmt aber nur, wenn sich unser Paket in derZeit tA nicht durch Wärmeleitung seiner Umgebung angeglichenhat. Dies würde eine Zeit r;::;; r 2 eci(3Jc) dauern(vgl. (5.53)). Nur bei fA < '!', also r 4 g 2 cgß grad TI(IJ},) > 27 tritt daher die geschilderte Instabilität auf. DieTendenz dazu ist für große Pakete sehr viel stärker (r 4 ),aber kleiner als die Fluidschichtdicke d muß das Paketjedenfalls sein, sagen wir höchstens r;::;; dl3. So ergibtsich die Instabilitätsbedingung d 3 r/cgß!J.TI(1'J2) > 2000(grad T = !J.T I d). Die dimensionslose Zahllinks heißt Rayleigh-Zahl,ihr kritischer Wert liegt bei gerrauerer Betrachtungum 1700. Die Benard-Zellen (Abb. 5.39) sind keineRayleigh-Instabilitäten, sondern werden durch die OberflächenspannungCJ mitbestimmt. Hier tritt anstelle der Rayleigh-Zahldie Marangoni-Zahl, in der dCJ I dT anstelle vond2gdgldT tritt. Vergleich der Zahlenwerte und der d-Abhängigkeitenzeigt, daß die Zellenstruktur in sehr flachen,die Rayleigh-Struktur (Aufquellen bzw. Absinken in ungefährkonzentrischen breiten Ringen) in tieferen Töpfen vorherrscht.5.4.10. Schlaues HuhnWenn die Luft kälter wird, muß der Hahn den Haufen verstärken,damit mehr Fäulniswärme darin erzeugt wird unddie erzeugte Wärme schwerer abströmt. In einer Teilkugelvom Radius r wird dann die Wärmeleistung P = 11r-r 3 q er-

IIIIII1064 Lösungen zu den Aufgabenzeugt. Sie muß im stationären Fall durch die OberflächeA = 4Jrr2 dieser Kugel abfließen, und zwar gleichmäßignach allen Seiten: P = 1Jrr 3 q = -4Jrrz }, dT I dr. Der Temperaturgradientnimmt also nach außen zu: dT I dr =-qr I ( 3},). Die Temperaturverteilung ist parabolisch:T = To- qrz I(6A.). Hier ist To die Zentraltemperatur, dieja 35 °C sein soll. Wenn der ganze Haufen den Radius Rhat, verlangt der Anschluß an die LufttemperaturT, = To - qRz I ( 6A.) (in Wirklichkeit ist dieses T, ein weniggrößer als die Lufttemperatur, damit die Wärme durch Wärmeübergangabgegeben werden kann). Der notwendige Hanfenradiusist also egeben durch die liegende ParabelR = 6A.(To - T,) I q, mit den gegebenen Werten z. B.1,4m bei T 1 = 16 °C, 1m bei 25 oc.5.5.1. StirlingEs ist lnx! = .E~=zlnz. Man stelle diese Summe durchein Blockdiagramm über der x-Achse dar. Die Kurve lnxberührt diese "Treppe" an den oberen Ecken, die Kurveln(x - 1) berührt sie ebenso von unten. Also liegt die gesuchteSumme zwischen Jt In z dz = x ln x - x + 1 undJ;In(z-1)dz= J;+'lnzdz=(x+1)ln(x+1)- x-1-2ln 2 + 2. Man beachte r In z dz = X In X - X. Der Mittelwertder beiden Integrale ist x ln x - x+ ! ln x + 1 ,5 - ln 2.Wir erheben dies wieder in den Exponenten und findenx! ~xre-xvx!e 1 • 5 . Dies weicht nur durch den Faktor! e 1 ' 5 = 2,24 statt V2if = 2,51 von der offiziellen Stirling­Formel ab. Wenn man bedenkt, daß man in der Entropie immernur Logarithmen von Fakultäten benutzt, spielt dieserUnterschied keine Rolle; meist läßt man dabei sogar denFaktor y'2;X ganz weg.5.5.2. IrreversibilitätEs handelt sich hier vor allem darum, den Begriff der reversiblenFührung einer Zustandsänderung richtig zu verstehen.Er geht ja in die Definition der Entropie ein: dS = dQrev IT.In den ersten beiden Beispielen ist das einfach. Eine kleineWärmemenge dQ fließe von einem Körper mit der TemperaturT,, dessen Entropie sich dabei um dS 1 = -dQIT1 ändert,zu einem mit Tz, so daß dS2 = dQITz. Die gesamteEntropieänderung ist dS = dQ(Tz- 1 - T 1 - 1 ), was gerraudann positiv ist, wenn T1 > Tz, d. h. genau dann, wenn derProzeß von selbst abläuft. Molekular betrachtet: Wennschnelle und langsame Moleküle in Kontakt kommen, gleichensich ihre Energien aus, weil das dem wahrscheinlicherenZustand entspricht. Bei der Umwandlung einer entsprechendenArbeit in die Wärmemenge dQ entsteht die EntropiedS = dQIT. Reibung erzeugt immer Entropie. Molekularsieht dieser Prozeß z. B. so aus, daß "in Reih und Glied" marschierendeMoleküle anfangen, chaotisch durcheinanderzulaufen,was wiederum wahrscheinlicher ist als die strengeMarschordnung. Von zwei gleichen Gasmassen expandieredie eine (A) um.dV, indem sie durch langsames Wegschiebeneines Kolbens die Arbeit p dV leistet. Die andere (B)expandiere frei, nachdem man z. B. eine Trennwand weggezogenhat. Beide sind nicht im gleichen Zustand: A hat dieEnergie p dV hergeben müssen und sich abgekühlt. Um Aauf den Zustand von B zu bringen, muß man ihm die WärmemengedQ = p d V zuführen, wobei man die EntropiedS = pdV IT erzeugt. A ist damit reversibel in den gleichenZustand übergeführt worden, den B irreversibel erreicht hat.Obwohl im Fall von B keine Wärme ausgetauscht worden ist,besteht zwischen Anfangs- und Endzustand die gleiche Entropiedifferenz,die sich bei reversibler Führung ergibt. Molekular:Der Zustand "Alle Moleküle in V, keines in dV" istunwahrscheinlicher als der Zustand "Moleküle gleichmäßigüber V und dV verteilt". Wenn zwei verschiedene Gase sichmischen, ist zunächst ebenfalls von keinem Wärmeaustauschdie Rede. Die Diffusion ineinander ist ja auch nicht reversibel.Man könnte reversibel mischen, wenn man z. B. dieTrennwand durch zwei semipermeable Membranen ersetzte,die eine nur für Moleküle A, die andere nur für B durchlässig,und diese Membranen langsam auseinanderzöge. Dieeine Membran erfährt nur den Partialdruck PA des Gases A,die andere nur PB· Freigabe des Volumens 2 dV setzt also dieArbeit (pA +PB) dV = pdV frei, die zu einer Abkühlung desGemisches führt. Ersatz durch die entsprechende Wärmemengeführt zum Entropieanstieg um dS = p dV IT.5.5.3. MischungDas Rütteln (das natürlich für die thermische Bewegungsteht) hat zwei völlig verschiedene Effekte: Es ermöglichtdie Einstellung des Gleichgewichts, und es beeinflußt dieArt des Gleichgewichts. Schwächeres Rütteln bringt dieEisenspäne allmählich nach unten: Es überwiegt der Einflußder Energie, die in diesem Zustand kleiner ist. Starkes Rüttelndagegen wirbelt die Teilchen ohne Rücksicht auf ihre Schweregleichmäßig durcheinander: Es überwiegt der Einfluß derEntropie (Wahrscheinlichkeit), die in diesem Zustand größerist. Man kann die Heftigkeit des Rüttelns durch eine Temperaturkennzeichnen, so daß die mittlere Translationsenergieder Teilchen ~ kT ist. Dann kann man rein thermodynamischrechnen und die Zustände "Eisen unten - Sandoben" und "Alles gemischt" durch ihre W und S kennzeichnen.Die Kiste habe die Höhe h, die Grundfläche Aund enthalte gleiche Volumina und Anzahlen N von Spänenund Körnern. Die Energiedifferenz zwischen den Zuständenist LlW = kgh 2 A(I2Fe- 12sa), die Entropiedifferenz .-lS =k2N In 2. Welcher Zustand dem Gleichgewicht entspricht,hängt davon ab, welcher das kleinere A hat, also obLi W z T LlS oder Li W z ~ · ln 2 · BN ist ( B mittlere kinetischeEnergie eines Teilchens). Die Grenze liegt also ungefähr da,wo die kinetische Energie des Rüttelns die potentielleEnergiedifferenz ausgleicht. Im Magnetfeld ist die Lage ähnlichwie im Schwerefeld.5.5.4. Protein-Entropie IEin Mensch von 80 kg hat 16 kg Protein mit etwa 10Z6Aminosäureresten (mittlere Masse 1 ,6 · 10-25 kg). Sie sindin Proteinmolekülen von je etwa 300 Aminosäuren angeordnet.Jede solche Kette hat eine ganz bestimmte Anordnung,also die Wahrscheinlichkeit 300! ~ 10600 und dieEntropie -1 400k. Alle 3 · 10z3 Proteinketten zusammenhaben S = -5 · I0 26 k ~ 80001/K. Bei 300K bedeutet das

Kapitel s: Lösungen 1.065einen Beitrag zur Freien Energie -TS = +2,4 · 106 J. Diesist nur einer der "Negentropie"-Anteile des Organismus.Jede andere Ordnungsform liefert ebenfalls einen Beitrag.Diese Ordnung kann das Lebewesen nur durch einen Energieaufwandaufrechterhalten, der mindestens so groß istwie TS.5.5.5. Protein-Entropie IIZunächst seien alle Lagen eines Gliedes geometrisch undenergetisch gleich wahrscheinlich, haben nämlich die Wahrscheinlichkeit1/ L. Ein bestimmter Zustand der ganzen Kette,gegeben dadurch, daß jedes der N Glieder eine bestimmteLage einnimmt, hat die Wahrscheinlichkeit P = L-N. Einsolcher Zustand hat, verglichen mit dem regellosen Zustand(Wahrscheinlichkeit l)eineumAS = klnP = -kNlnLkleinereEntropie. Allgemeiner habe die i-te Lage geometrischdie Wahrscheinlichkeit p; (bisher alle p; =L-I; 'f:;p; = 1).Energetisch seien die Lagen noch gleichberechtigt. Nun unterscheidenwir zwei Arten, einen Zustand zu kennzeichnen:(1) Für jedes Glied geben wir an, in welcher Lage es ist; (2)wir geben an, wie viele Glieder in der 1-ten Lage sind, nämlichn1, usw. Die Kennzeichnung 1 ist vollständiger. JederZustand n1, n2 ... vom Typ 2 kann durch N!/(ni! n2! ... ) Zuständevom Typ 1 realisiert werden. Ein Zustand vom Typ 1hat die Wahrscheinlichkeit IJ; P7i, die Entropie S =k I:; n; lnp;, ein Zustand vom Typ 2 hat P =N!/(n1!n2! ... )f1p7i. Sind noch die Energien der Lagenverschieden, hat z. B. ein Glied in der i-ten Lage die Energiee;, dann ist die rein energetische Wahrscheinlichkeit, daß einbestimmtes Glied in der i-ten Lage ist, nach Boltzmanne-ed(kT). Insgesamt hat ein Zustand vom Typ 1 die Wahrscheinlichkeitf1;P7i · e-niei/(kT). Am wahrscheinlichstenist der Zustand, für den dieser Ausdruck oder sein Logarithmusmaximal ist: 'Z;(n; lnp;- n;e;/(kT)) = (ST- W)/k =-A/k = Max. Interessant wird die Diskussion dieses Ausdrucksvor allem für Zustände vom Typ 2 (vgl. Kap. 17).Sie erklärt dann das gesamte Verhalten des Systems.5.5.6. Seltsame DefinitionDie reversible Wärmekraftmaschine A arbeitet zwischen denTemperaturen T3 und T2. Wir nutzen einen Teil ihrer Abwärme,indem wir sie bei T2 einer anderen Maschine B zuführen,die zwischen T2 und einem noch tieferen T1 arbeitet.Stecken wir oben die Wärmeenergie Q3 hinein, so liefert Adie Arbeit W = IJAQ3. Aus der Abwärme Q2 = (I - '1A)Q3erzeugt B noch die Arbeit W' = l'/sQ 2 , und ihre Abwärmeist Q1 = (1 - 1Js)Q2 = (1 -l'/s)(1 -11A)Q3. Die VerbundmaschineAB hat den höheren Wirkungsgrad I'IAB =(W+W')/Q3=1JA+(l-1JA)IJs, d.h. es gilt 1-IJAB=(1 - I'IA)(l - 1'/s)· Die Größe 1 - 11 hängt nur von den beteiligtenTemperaturen ab, z. B. 1- '1A = j(T3, T2). Wiewir sahen, gilt f(h T1) = f(h T2)!(h TJ). Da die linkeSeite dieser Gleichung nicht von der ZwischentemperaturT2 abhängt, muß sich T2 auch rechts wegkürzen, gleichgültigwelchen Wert T2 hat. Das ist nur dann der Fall,wenn f(T, T') ein Quotient zweier eindeutiger Funktionender Temperatur ist: f(T, T') = g(T)/ g(T'), d. h. 11 =1- g(T)/g(T'). Unsere Maschine AB leistet mehr Arbeitals A allein bei gleicher Wärmezufuhr oben, sie hat einenhöheren Wirkungsgrad. Damit dies allgemein gilt, muß geine monoton wachsende Funktion von T sein. Wenn wirnoch nicht wüßten, was T ist, können wir einfachg(T) = T festsetzen, und zwar so, daß Wasser bei T =273,2 gefriert. T = 0 wäre die Temperatur, die als unteresReservoir einer Wärmekraftmaschine den Wirkungsgrad 1ergibt, weil dort keine Abwärme mehr abgegeben werdenmuß. Vergleich mit einem Idealgas als Arbeitssubstanzzeigt, daß die so definierte "thermodynamische Temperatur"identisch mit der üblichen Kelvin-Temperatur ist.5.5.7. MischbarkeitBei konstanten T und p tritt ein Vorgang, z. B. die Mischungzweier Stoffe, von selbst ein, wenn die freie EnthalpieG = W- TS + pV dabei abnimmt. pV spielt für kondensierteStoffe praktisch keine Rolle. Das Mischen von Schwefelsäureund Wasser z. B. bringt eine EnergieabnahmeA W < 0 (Hydratationsenergie ), das Mischen von Öl undWasser erfordert Oberflächenenergie A W > 0. Wenn dieserEnergieaufwand größer ist als T AS (AS Mischungsentropie,etwa 4 J/mol K), tritt trotz AS > 0 keine Mischung ein. FallsA W nicht von T abhängt, wird die Bedingung für Mischbarkeilum so besser, je höher T ist.5.5.8. Kleiner UnterschiedDer Unterschied liegt in der Mischungsentropie Sm. FürPhasengleichgewichte reiner Stoffe tritt kein Sm auf, weilalle Teilchen gleichartig sind. Im Gleichgewicht liegt nurdie Phase mit dem kleinerenG vor. Beim chemischen Gleichgewichtbringt das Vorhandensein einer gewissen Mengeeines Stoffes immer einen Zuwachs an Mischungsentropie,der den G-Zuwachs überkompensiert. Allerdings kann dieseMenge sehr klein sein, wenn der Stoff ein sehr hohes G hat(vgl. Abschn. 5.5.8).5.5.9. AdsorptionDas adsorbierte Gas hat geringere Energie (Bindung) undEntropie (Einschränkung der Beweglichkeit). Es verhältsich ähnlich wie eine Aüssigkeit, deren Maximalmenge allerdingsdurch die verfügbaren Plätze beschränkt wird. Dahergilt die Thermodynamik der Phasengleichgewichte, dieunbeschränkte Menge voraussetzt, nicht ohne weiteres. Kinetik:Teilchenzahldichte im Gas n 0 ; im m3 der feinverteiltenOberfläche (Aktivkohle o. dgl.) stehen N Plätze zur Verfügung.n sind davon besetzt, n « no. Die Adsorptionsrate(sich anlagemde Teilchen1m3 s) ist an0(N- n), die Desorptiorisrateßn. Im Gleichgewicht sind beide gleich, und manerhält n = aNno/(ß + ano). no ist proportional dem Gasdruck(Langmuir-Isotherme). Dasselbe erhält man, wennman die Adsorption als Reaktion eines Gasmoleküls MIPit einem leeren Platz P zu einem besetzten Platz auffaßt:M + P ~ MP. Das Massenwirkungsgesetz ergibt für dieKonzentration (eckige Klammern): [MP]/[M][P] = K. Mit[P] + [MP] = N, der Gesamtzahl der Plätze, ergibt sichwieder die Langmuir-Isotherme, und aj ß erweist sich als

1066 , Lösungen zu den Aufgabenidentisch mit K, mit der in Abschn. 5.5.8 abgeleiteten T- undp-Abhängigkeit. Speziell liefert die Arrhenius-Auftragungvon In( al ß) über 1 IT die Adsorptionsenthalpie.5.5.10. ChromatographieDefinitionen s. Aufgabe 5.5.9. Im Gleichgewicht, wennn = 0 ist, folgt n = anoN l(rxno + ß) (Langmuir-Isotherme).Speziell bei schwacher Besetzung (n « N) istn ~ an0N I ß. Je fester ein Molekül adsorbiert ist, destogrößer ist rxlß. Wenn zur Lostrennung die DesorptionsenergieW nötig ist, enthält ß I a einen Boltzmä.nn-Faktor:ßlrx rv e-Wj(kT). Wie der kinetische Ansatz zeigt, bleibtein bestimmtes Molekül im Mittel eine Zeit Ta = 1 I ß imadsorbierten Zustand, eine Zeit rct = 1l(rxN) im freienZustand. Das Molekül ist also einen Bruchteilrctl ( rct + ra) = ß I (ß + rxN) ~ ß I ( rxN) der Gesamtzeit freiund wanderungsfähig. Es verschiebt sich also nicht mit seinerGeschwindigkeit v, wie im freien Zustand, sondern nurmit v = vßl(aN). Bei einer Säulenlänge d ist die "Durchbruchzeit"t=dlv=drxNI(vß) ,..._,eW/(kT). Da W i.allg.groß gegen kT ist, haben geringe Unterschiede in der Desorptionsenergiesehr großen Einfluß auf die Durchbruchzeit DieRechteckwelle von aufgebrachter Substanz zerläuft sehr baldin eine Folge von Teil wellen, für jeden Stoff eine. Da auch vnur einen statistischen Mittelwert darstellt, bleibt auch jedeTeilwelle nicht immer rechteckig, sondern verbreitert sichähnlich einer Gauß-Kurve. Die Verbreiterung, also die Streuungder Laufzeiten, ist proportional zur Wurzel aus der Anzahlder Adsorptionsakte taN, hängt also nicht nur von ßlaab wie die Laufzeit, sondern von a selbst.5.5.11. T-jumpDa die Modifikation A~ im Gleichgewicht eine geringereKonzentration hat, ist ihre freie Enthalpie größer. NachBoltzmann ist das Konzentrationsverhältnis A' I A =e-llG/(kT) = !, also t1G = 2,2kT. Es geht hier um die freieEnthalpie G (das Gibbs-Potential), weil das Gleichgewichtsich unter den Bedingungen konstanten Drucks und konstanterTemperatur einspielt. Bei 370 K erwartet manA' lA = e-2,2·300/ 370 = 0,168: Die Modifikation mit demhöheren G ist bei hohen Temperaturen relativ reichlicher vertretenals bei niederen. Gleichgewichtsmessungen erlaubennur Rückschlüsse auf t1G, nicht auf die Einzelwerte von Gfür die beiden Modifikationen. Solche Schlüsse erlaubt nurdie Einstellung des Gleichgewichts nach einer plötzlichenÄnderung der Bedingungen, z. B. von Konzentration, Druckoder Temperatur. Dann findet man die AktivierungsenergienG und G', deren Differenz G - G' = t1G ist. Es sind die energetischenAbstände zum aktivierten Zustand, über den dieJ3..eaktion erfolgt. Die Zei~abhängig~eit von A lautetA = -ao(A e-G/(kT)- A1 e-G /(kT)). Dre Summe von Aund A 1 ist konstant: A + A 1 = C. Also kann man z. B. A' eliminieren:A = ßC - ( a + ß)A mit der LösungA = A 00 + (Ao- Aoo) e-(o:+ß)t. Hier ist Aoo = ßCI(a + ß)wieder die Gleichgewichtskonzentration. Messung derAnklingzeit r = 1 I ( a + ß) gibt die Summe der Reaktionskonstanten.Ihre Temperaturabhängigkeit gibt aus einem Arrhenius-Diagrammdie Aktivierungsenergie G und G'. Somitfindet man auch die Konstante rxo. Diese Methoden der"schnellen Kinetik" haben sich in den letzten Jahrzehntenenorm entwickelt.5.5.12. GaszentrifugeWenn das Gas nach einiger Laufzeit wie ein starrer Körpermit der Trommel mitrotiert, setzen wir uns in das rotierendeBezugssystem. Das Gas ist dann einer Beschleunigung oir,also einem Potential ! w 2 r 2 unterworfen, und jedes Teilgasbildet bei unterdrückter Konvektion und Vernachlässigungder Mischungsentropie (Aufgabe 5.5.3) seine eigene exponentielle"Höhen"verteilung mit dem Trommelumfang alsBoden aus: Teilchenzahldichte n; = niO emw 2 r 2 f(lkT) (anstelledes -mgh in der barometrischen Höhenformel tritt hier+!mw2r2). Die entscheidende Größe ist w 2 R 2 (R Trommelradius),nicht die ,;g-Zahl" w 2 RI g. Da technisch die Begrenzungin der Umfangsgeschwindigkeit v = wR liegt (einigehundert rn/s), ist die Trennfähigkeit unabhängig von R, imGegensatz zur g-Zahl, die bei kleinem R größer gemachtwerden kann. Die entscheidende Größe läßt sich auch darstellenals 2v 2 I (3u2) (u: thermische Molekülgeschwindigkeit),denn !mu2 = ~kT. Für N2 und 02 ist u ~ 500rn/s, alsodie Trennung selbst bei höchstem v gering. Dann kannman die e-Funktion entwickeln ex ~ 1 + x, alson;R = ni0(1 + mw2R2 l(2kT)), die Anreicherung hängt indieser Näherung nur von der Molekülmassen-Differenz abund ist für N2, 02 etwa ebensoklein wie bei den beidenUran-Hexafluoriden, nämlich nur etwa 0,3% beiv = lOOrn/s. Bei etwas höheren v versagt aber für UF6die Entwicklung der e-Funktion (für die leichten Gasenoch nicht). Die Trennung wird dann sehr viel besser.5.6.1. WasserstrukturIm H20-Molekül bilden die beiden OB-Verbindungslinieneinen 105°-Winkel miteinander. Die beiden H tragen je0,15 positive Elementarladungen, das 0 0,3 negative (Verschiebungder Elektronenwolken). Der Winkel zwischenzwei Verbindungslinien Schwerpunkt-Ecke in einem Tetraederist sehr ähnlich (109°). Eis besteht aus einer tetraedrischenAnordnung von H20-Molekülen, in der jedes H dieBrücke zwischen 0 bildet und jedes 0 von vier H umgebenist, von denen zwei ursprünglich il;!m, die anderen beidenzwei Nachbarmolekülen gehörten. Die Unterschiede zwischenden beiden H-Typen sind vor allem durch den quantenmechanischenEffekt der H-Brückenbildung weitgehend verwischt:Jedes H kann auch zum anderen 0 hinübertunneln.Diese Struktur ähnelt dem Diamant, indem sie eine dichtesteKugelpackung darstellt, ist aber nicht kubisch-flächenzentriertwie dieser, sondern hexagonal. "Dichtest" beziehtsich nur auf die Anordnung der Molekülschwerpunkte. Tatsächlichist die Struktur sehr locker. Daher ist Eis wenigerdicht als Wasser, in dem wenigstens ein Teil der Molekülein einer regellosen, dichteren Anordnung sitzt. FlüssigesWasser besteht aus mindestens zwei Anteilen: Molekülgruppenin eisähnlicher Struktur, getrennt durch regellose Bereiche.Mit zunehmender Temperatur schmelzen die Eis-"Clu-

"sters" allmählich auf, und die resultierende Verdichtung istunterhalb von 4 °C größer als die normale Auflockerung infolgeTemperatursteigerung. Auch viele andere der ungewöhnlichenEigenschaften des Wasser erklären sich durchdas Modell, z. B. die hohe spezifische Wärme, die teilweisezum Aufbrechen der Dipol- und H-Bindungen benötigt wird.5.6.2. WolkenbildungSolange noch keine Kondensation eintritt, d. h. solange dieTemperatur T über dem Taupunkt Tt liegt, nehmen T,p, Qi. allg. nach dem adiabatisch-indifferenten Modell mit derHöhe ab (vgl. Aufgabe 5.2.11), speziell sinkt T um 1 K je100m. Der Taupunkt wird also in (To- TI)· 100m Höheerreicht (To: Temperatur am Erdboden). Bei weiterem Aufstiegkondensiert ein Teil des Wasserdampfes, falls genügendKondensationskeime da sind, um Übersättigung zu vermeiden.Die Kondensationswärme kommt der Luft zugute.Bei einer Abkühlung um dT wird also außer cv dT nochdiese Kondensationswärme verfügbar, um in Expansionsarbeitp d V angelegt zu werden. Indifferentes Gleichgewichtherrscht wieder, wenn das aufsteigende Luftvolumendabei gerrau die Zustandsgrößen, speziell die Dichte seinerneuen Umgebung annimmt. Der Sättigungs-Dampfdruckändert sich nach Clausius-Clapeyron bei einer ÄnderungdT um dp = dT AQw IT. Die Partialdichte des Wasserdampfshängt mit seinem Dampfdruck so zusammen: Qw =pwflwi(RT), in einem g Luft wird irrfolge der Kondensationvon Qw die spezifische Energie duk = A. dQw I QL frei, alsoeingesetzt duk = A. 2 fl~Pw dT I(RT 2 flLPd· (Bei allen diesenUmformungen beachte man die Unterschiede zwischen Partial-und Gesamt-Drücken und -Dichten sowie Größen, dieauf die Massen- oder Volumeneinheit bezogen sind.) Beioo, 10° und 20 °C kommt zur spezifischen Wärme derLuft cv = 0,71 J/Kg sozusagen die spezifische Kondensationswärmevon 0,50, 1,00 bzw. 1,88 J/Kg hinzu. Feuchte Luftkann also doppelt soviel Expansionsarbeit aufbringen wietrockene, d. h. ihre Temperatur nimmt bei gegebener Dichteänderunglangsamer ab als für trockene Luft. Die Ableitungder Adiabatengleichung ändert sich, und es resultieren Gesetze,die zwischen dem üblichen adiabatischen und dem isothermenFall liegen (polytrope Zustandsgleichung).5.6.3. VerdampfungsgleichgewichtDie Molekülzahldichten in der Flüssigkeit bzw. im Dampfseien np1 bzw. nD (Einheit: Teilcheu/m 3 ). In der Sekundetreffen auf den m 2 der Oberfläche, aus dem Gasraumkommend, ~ nDii Teilchen auf und bleiben größtenteils daranhängen. In der gleichen Zeit lösen sich vom gleichen StückOberfläche ~ nFI bvo e-w I (kT) Teilchen ab und verdunsten.Der Faktor e-w /(kT) gibt die Wahrscheinlichkeit an, daßein Teilchen, das hinreichend nahe an der Oberfläche sitztund in der passenden Richtung schwingt, durch zufälligethermische Schwankungen so viel Energie auf sich versammelt,wie es braucht, um die Nahewirkungskräfte der Nachbarmolekülezu überwinden und sich abzulösen, nämlichmindestens W, die Verdampfungswärme pro Molekül. ImGleichgewicht müssen ebenso viele Teilchen abdampfenKapitel s: Lösungen 1067wie sich anlagern, also nD = nFibvolv · e-W/(kT), woraussich wegen PD = nDkT sofort die Dampfdruckkurve ergibt.Zur Clausius-Clapeyron-Formel gelangt man durchDifferentiation, wenn man die T-Abhängigkeit der e-Funktionals überwiegend ansieht. (Man beachte PD = RT /VD.)Unser Modell bestimmt aber auch annähernd den Faktorvor der e-Funktion zutreffend, wenn man b ~ w-8 m annimmt,was sich mit Schätzungen aus Oberflächenspannung,Zerreißfestigkeit usw. gut verträgt. Außerdem gibtdas Modell die Verdunstungsgeschwindigkeit, was dieGleichgewichtsthermodynamik nicht kann: Würde manden ganzen Dampf sofort wegblasen, würdentnp16v 0 e-W/(kTJ, oder, was sich leichter rechnet, tnDiiMoleküle1m2 s verlorengehen (nD Gleichgewichts-Teilchenzahldichte).Ein Molekül nimmt in der Flüssigkeit dasVolumen np-/ ein. Also würde die Oberfläche unter so extre­. men Bedingungen mit der Geschwindigkeit t nDV I npJ, d. h.für Wasser je nach Temperatur einige mrnls oder gar cm/sabsinken. Selbst in der Wüste beobachtet man viel weniger,d. h. das viel langsamere diffusive "Durchsickern"durch eine Dampfschicht, die unten den Sättigungsdruck,oben den Umgebungsdruck hat, ist praktisch immer maßgebend.Der Wind reißt diese Schicht teilweise ab und fördert sodie Verdunstung. Faßt man sie als Prandtl-Grenzschicht auf(vgl. Abschn. 3.3.3f) und berechnet das Diffusionsgleichgewicht,dann kommen vernünftige Werte für die Verdunstungsgeschwindigkeitheraus.5.6.4. Ist das möglich?Der heiße Becher kühlt schneller ab, hauptsächlich durchVerdunsten (Verdunstungsgeschwindigkeit geht exponentiellmit T). Wenn er 50° erreicht hat, ist fast to der Flüssigkeitverschwunden (Verdampfungswärme ~ 2 · 106 J/1). Inzwischenhat der anfangs kühlere Becher keinen großen Abkühlungs-Vorsprung,enthält aber noch fast alles Wasser (volleWärmekapazität). Daher kann es vorkommen, daß der andereihn sogar überholt.5.6.5. HeizwerteBeim Kondensieren des Verbrennungswassers wird zusätzlichEnergie frei, also ist Ho größer. Die meisten Brennstoffe(im wesentlichen Kohlenwasserstoffe) produzieren nurC02 und H20, und zwar nach der Pauschalformel(CH2)n + ~n02 --> nC02 + nH20, also 18 kg Wasser auf14kg Brennstoff. Die Kondensation von 18/14kg Wasserliefert 3 · 10 6 J. Das ist der typische Wert für H 0 - Hu.Wenn die Abgase so heiß bleiben, daß trotz des hohenWasserdampfgehaltes noch keine Kondensation eintritt, istRu zu benutzen. Nach der Reaktionsformel kann der H20-Dampfdruck bei vollständiger Verbrennung des 02 höchstens~ des ursprünglichen 0 2-Partialdrucks erreichen, alsoetwa 160 mbar. Oberhalb von etwa 50 °C tritt also keineKondensation ein.5.6.6. DruckaufschmelzungDie spezifischen Volumina von Eis und Wasser sind1, l . w-3 bzw. 10-3 m3 lkg, ihre Differenz ist ~V =

1068 Lösungen zu den Aufgabenw- 4 m3 /kg. Die Clausius-Clapeyron-Gleichung liefertdT/dp = -T LlV/A. = 273 K · 10-4 m3 kg-1 / 3,4 . 105 Jkg- 1= 8. 10-8 K/(Jjm3) = 8 · w-3 Klbar. Beim Skifahren, woder Druck der Bretter 1 bar kaum überschreitet, ist der Aufschmelzeffektalso völlig vemachlässigbar. Die scharfenSchlittschuhkanten üben dagegen einige 100 bar aus undschmelzen eine Rinne in nicht zu kaltes Eis. Bei Temperaturenum 0 oc ist das auch deutlich zu beobachten. BeiCOz-Schnee oder -Eis (Mars-Polkappen) fällt dieser Effektweg, denn hier ist der Festkörper, wie bei den meisten Stoffen,dichter als die Flüssigkeit. Das Fehlen dieses Effektsallein wird die Leistungen skifahrender Mars-Polarforschernicht beeinträchtigen.5.6.7. COz-FiascheDamit COz bei 20 oc flüssig bleibt, muß es unter mindestens63 bar stehen. Sein Molvolumen ist dann etwaV= 75 cm3 /mol, seine Dichte g = 44 g mol- 1 / 75 cm3mol- 1 = 0,6gjcm 3 . Eine 501-Flasche faßt etwa30 kg C02 • Bei der Entspannung verdampft das C02 unddehnt sich dann weiter annähernd adiabatisch aus. Dabei entziehtes sich selbst eine Wärmemenge, die durch die Flächezwischen der Isotherme in Abb. 5.66 und der 1 bar-Isobare(-Horizontale) gegeben wird. Diese Fläche ist kleiner, abernicht sehr viel kleiner als für ein ideales Gas. Zur Abschätzungkönnen wir also die Adiabatengleichung heranziehen:T "'p(y-l)fy = p 114 (man beachte, daß C02 sechs Freiheitsgradehat), also ergibt sich bei Entspannung von 60 bar auf1 bar eine Abkühlung fast bis 100 K. Dabei wird das C02natürlich vorübergehend zu Schnee, bis es unter Temperaturangleichungverdampft. Unterhalb des kritischen Punktes(72 °C) läßt sich das C02 durch einen Druck in der Größenordnungvon 100 bar allein verflüssigen. Man muß allerdingsso langsam komprimieren, daß man Erhitzung vermeidet.5.6.8. FreonDie Kühlung im Kompressor-Kühlschrank entsteht, indemdas Kühlmittel durch Druckminderung zum Verdampfen gebrachtwird und dabei dem Kühlgut seine Verdampfungswärmeentzieht. Außerhalb des Kühlschranks wird dann dasKühlmittel durch Druckerhöhung wieder verflüssigt. In derSpraydose steht das flüssige Treibmittel ebenfalls unter erhöhtemDruck, und zwar seinem eigenen Dampfdruck.Wenn man auf den Knopf drückt, erlaubt man dem Dampfden Austritt, wobei etwas von dem zerstäubten Spraygut mitgerissenwird. Hinterher stellt sich der Gleichgewichtsdampfdruckwieder ein, indem etwas flüssiges Treibmittelverdampft. Eine reine Gasfüllung wäre viel zu schnell verbrauchtoder müßte einen zu hohen Anfangsdruck haben.Das flüssige Treibmittel dient als Vorrat. Wenn man dieDose ins Feuer wirft, steigt der Dampfdruck exponentiellan (Boltzmann-Kurve), und die Dose explodiert, falls nochTreibmittel darin ist. Jedenfalls müssen Kühlmittel undTreibmittel einen Siedepunkt haben, der unter Atmosphärendruckunterhalb, bei erhöhtem Druck oberhalb der Zimmertemperaturliegt. Dies ist bei den Freonen der Fall. Sie habenauch sonst technisch günstige Eigenschaften, sind z. B. sehrstabil, so stabil, daß sie aus weggeworfenen Kühlschränkenund den viel zu viel angewandten Spraygasen bis in dieHochatmosphäre aufsteigen, wo sie dann allerdings durchdas UV-Licht der Sonne aufgespalten werden. Die freiwerdendenHalogene zerstören katalytisch Ozonmoleküle 0 3und bauen so die Ozonschicht ab, die uns vor dem hautkrebserzeugendenund netzhautzerstörenden kurzwelligenUV der Sonne schützt.5.6.9. van der Waals-Konstanten5.6.10. Kritische DatenSiehe Lösung 5.6.11.5.6.11. van der Waals-KurveUm den Zusammenhang zwischen den kritischen Datenund den van der Waals-Konstanten zu finden, kann manso argumentieren: Die van der Waals-Isotherme p =RT /(V- b)- ajV 2 hat dort Extrema, wo dp/ dV =-RT/(V -b) 2 +2ajV 3 =0 ist, oder mit x=V/ b, wo(x- 1) 2 jx 3 = RTb/(2a) ist. Die linke Seite dieser Gleichung,als Funktion von x aufgetragen, bildet einen flachenBuckel rechts von x = 1 (zeichnen!). Das Maximum diesesBuckels liegt dort, wo 2(x - 1) / x 3 = 3 (x - 1 ) 2 / x 4 oderx = 3 ist und hat die Höhe 4/27. Wenn die HorizontaleRTb/(2a) höher liegt als 4/27, schneidet sie den Buckelnicht an: Es gibt kein Extrema; läuft sie tiefer, schneidetsie zweimal: Die Isotherme hat zwei Extrema. Der ÜbergangsfallRTb/(2a) = 4/ 27 oder T = Tk = 8a/ (27bR)entspricht der kritischen Isotherme mit ihrer horizontalenWendetangente. Tk ist die kritische Temperatur, Vk = 3bdas kritische Volumen, also Pk = Rh/ (Vk- b) - afVf =a/(27b2) der kritische Druck. Umgekehrt: a = 21R 2 TN(64pk) und b = Rh/(8pk)· So errechnen sich die folgendenWerte:Tabelle L. 1ajbar m6 mol- 2co2 3,7 . J o-62 1,2 · 10- 60 2 1.4 · 10- 6H20 5.2 · 10- 6bjm3 mol - 14,3 .Ja- s3,6 .Ja- s3,2 ·10- 53,0 .JO-1/ b ist gewöhnlich etwas kleiner als die Dichte des flüssigenZustandes. Mit diesen Werten behandeln wir z. B. den Joule­Thomson-Effekt. 1 molGaswerde um Llp entspannt. Da sichdas Gas nahezu ideal verhält, ist dV /V~ -dpfp, undaus (5.111) wird dT/ dp = (2RTb- 4a)/[Cf + 2)RVp] =- (2RTb- 4a)/[(f + 2)R 2 T]. Weit unter dem Inversionspunkterhält man als maximale Temperatursenkung pro barDrucksenkung dT jdp = +4a/ [(f + 2)R 2 T], d. h. 0,3 Klbarfür Luft, 0,9 Klbar für C02. Die Nähe des Inversionspunktesdrückt diese Werte etwas herab. Weit oberhalb des Inversionspunktes(z. B. bei H2) ist die maximale ErwärmungdT/ dp = - 2b/ [Cf + 2)R] ~ -0,15 Klbar. Wenn man vander Waals-Kurven wirklich konstruiert, ist man - wie fastimmer, wenn man etwas selbst probiert, statt die notwendigerweiseetwas schematisierten Lehrbuchbegriffe zu

Kapitel s: Lösungen 1069übernehmen - erstaunt, wie anders sie aussehen. Links liegteine ungeheuer tiefe Schlucht, die weit in negative Druckereicht (z. B. bei 20 °C-Wasser bis etwa -1 000 bar), undder gegenüber in der üblichen Auftragung der flache Bergrechts bis zur Bedeutungslosigkeit herabsinkt. Man kann diesennegativen Druck als Zug deuten: Eine Wassersäule z. B.,die man sorgfältig entgast und in der man Dampfkeime weitgehendvermeidet, kann theoretisch kilometerlang werden,bevor sie unter dem eigenen Gewicht zerreißt. In der Praxishaben Flüssigkeiten nur deshalb geringere Zerreißfestigkeiteilals Festkörper, weil sich Gasblasen bilden. Man kann aberden flüssigen Zustand ein gutes Stück unterhalb E inAbb. 5.66 "unterspannen". Das Gebiet zwischen D und Bist dagegen bestimmt nicht realisierbar, weil es völlig instabilist: Jede zufällige Drucksteigerung hätte eine Expansionzur Folge, und das System würde explosionsartig mindestensbis B (bzw. D) schnellen.5.6.12. Maxwell-GeradeWir nehmen an, man könnte nach Belieben auf der S-förrnigenvan der Waals-Isotherme z. B. eine gewisse Gasmengeverflüssigen (mit großer Vorsicht gelingt das teilweise),und dann längs der üblichen Geraden p = const wieder verdampfen.Faßt man diesen Zyklus als Wärmekraftmaschineauf, dann muß ihr Wirkungsgrad 0 sein, weil man zwischenzwei Reservoiren gleicher Temperatur hin- und herfährt. Esdarf also insgesamt keine Arbeit geleistet werden. Da sich dieArbeit im p, V-Diagramm durch die umlaufene Fläche darstellt,muß diese Gesamtfläche 0 sein, d. h. die übliche Übergangsgerade,die Maxwell-Gerade, muß so angebracht sein,daß sie vom oberen Bogen des S genausoviel Fläche (positivgezählt) abschneidet wie vom unteren Bogen (negativ gezählt).5.6.13. Das Büblein steht am Weiher ... wer weiß?Wenn die Eisdecke auf der Fläche A um ein Stück d.x dickerwird, setzt sie die Erstarrungsenergie d W = QA d.x y frei(y: spezifische Erstarrungsenergie). Diese Energie kannnur nach oben abgeführt werden. Die Eisdecke mit dergegenwärtigen Dicke x läßt eine Wärmestromdichtej = A AT/ x durch. Die Abfuhr von d W dauert eine Zeitdt = dW /(Aj) = Qyxd.xj(A.AT). Integration bei konstantemAT, angefangen bei t = 0 mit x = 0, liefertt = ~gyx 2 /(A. AT). Mit AT= 20 K, Q = 900 kgjm 3 ,A = 0,47W/mK, y = 3,3 ·10 5 J/kg folgt X= 2,5. w- 4 y't(t in Sekunden, x in Meter). In der Natur wächst die Eisdeckemeist langsamer, weil das Oberflächenwasser nicht schonvorher 0 °C hat. Die Belastbarkeit ergibt sich ähnlich zurTheorie der Balkenbiegung aus den elastischen Momentender leicht durchgebogenen Eisdecke. Dazu kommt der Auftriebder Einsenkung, unter der ja das Wasser verdrängtwerden muß. Die Punktlast F erzeugt im Abstand r einBiegemoment Fr, das von der Fläche 21rrd (Schnittflächeeiner gedachten Kreisscheibe, Radius r, Dicke d) kompensiertwerden muß. Oben und unten in der Schicht ergibtsich eine Maximalspannung Um mit Fr"" 2Krdumd/2,also F"" 1rd 2 um. Bei frischem, noch elastischem Eis kannman mit O"m"" 10 6 Njm 2 rechnen, also könnte sich einMensch schon auf d"" 2cm wagen, ein Auto auf 6cm;ein Zug von 1 000 t braucht 2m Eisdicke. Die arktische. Eisdeckewird nicht sehr viel dicker (maximal 4 m), im Gegensatzzum grönländischen oder antarktischen Inland- undSchelfeis. Das arktische Eis lebt nur 2-4 Jarue, bevor esin wärmere Meeresteile driftet. - Die mittelatlantischeSchwelle liegt etwas mehr als 2 000 m unter dem Meeresspiegel.Die Tiefenlinien, auf denen es 1 000, 2 000, 3 000,4 000 m tiefer ist als die Schwelle, liegen in den Abständen100, 350, 800, 2 000 km beiderseits der Schwelle. Die Kurvez(x) erinnert an die liegende Parabel, die wir für das Eis alsx(t) gefunden haben. Dies entspricht der Tatsache, daß dasGestein des Ozeanbodens in der Mitte der Schwelle (Riftder Dorsalen) aus dem darunterliegenden Magmaherd austrittund sich mit ziemlich konstanter Geschwindigkeitnach beiden Seiten vorschiebt. Bei dieser Auswärtswanderungnimmt die Dicke der Erstarrungskruste zu, genau wiebeim Eis. Die Kontraktion beim Erstarren zeichnet damitgenau das beobachtete TiefenprofiL Mit AT "" 1500 K,)., ""10W/mK, Q ""2700kgjm 3 ,. y = 6 · 10 4 J/kg erhältman eine Krustendicke d "" 4 · 10- 4 y't. Nach 100 Mill.Jahren Auswärtswanderung mit 2-3 cm/Jahr, also 2 500 kmAbstand, ist die Kruste mit etwa 25 km Dicke um etwa2 500 m geschrumpft. Unsere Theorie erklärt also das Tiefenprofilrecht gut. Die Kontinente in etwa 2 500 km Abstandbeiderseits wandern natürlich auf dem "Fließband" mit,und die 100-150 Mill. Jahre sind das Alter des Atlantikselbst seit der Zeit, wo der Urkontinent Pangäa in einerüber 10 000 km langen Spalte aufriß. Eigentlich müßteman isostatisch rechnen, d. h. so, daß über einem bestimmtenTiefenniveau überall gleichviel Masse lagert.Mit der Wassertiefe z, der Krustendicke d und den DichtenQw, QK (Kruste) und ilM (Magma) folgt z = d(QK- llM)/(gM - Qw) "" 0,2d. Nehmen wir an, die Vorschubgeschwindigkeitdes Ozeanbodens werde schneller. Dann ist dieKrustendicke und damit die Meerestiefe geringer: Für dasWasser ist nicht mehr soviel Platz, es überschwemmt dieKontinente (Transgression) und bildet flache Randmeere.So war es · besonders in der Kreidezeit, dagegen findetman in der Trias und im mittleren Tertiär nur wenig Meeresablagerungenauf den Kontinenten. Die Plattentektonik wirdvielleicht diese Zyklen von Transgression und Regressionerklären. Erdöl entsteht nach den meisten Theorien vorwiegendaus totem Plankton, das in sauerstoffarme (anoxische)Tiefenzonen rieselt und dort dem bakteriellen Abbau entgeht.Hierfür kommen besonders abgeschlossene Randmeere wiedas Schwarze Meer in Frage. Solche Gebiete sind in Zeitenhohen Meeresniveaus, also hoher Dorsalaktivität häufiger.Die wichtigsten Öllagerstätten stammen aus Jura undKreide. Kohle entsteht dagegen in flachen Sumpfgebieten,wo Pflanzenteile unter Wasser und Schlamm ebenfalls vorder Verwesung geschützt sind. Öl braucht viel Flachsee,Kohle viel Flachland. Zeiten großer Öl- bzw. Kohleentstehungsind daher einander ziemlich komplementär. AusCarbon und Perm gibt es kaum Öl, aus Jura und Kreide

IIII1070 : : Lösungen zu den Aufgabenkaum Kohle. Im Tertiär war, wohl im Zusammenhang mitdem Faltungsgeschehen, die Geschichte der Dorsalaktivitätund der Trans- und Regressionen so wechselhaft, daß manKohle und Öl findet, wenn auch selten im gleichen Unterabschnittdes Tertiärs. Die Plattentektonik wirft so nicht nurLicht auf die Lagerstättenverteilung, sondern auf die ganzeEntwicklung des Lebens wie auch auf die Klimaentwicklungder Erde.5. 7 .!.EntsalzungMeerwasser von 34 g!l Salzgehalt hat einen osmotischenDruck von p = 23,2 bar (Aufgabe 5.7.5). Dieser Druckreicht zum langsamen, reversiblen Durchpressen des Süßwassersdurch die Membran. V = 1 m 3 Süßwasser kosteteine Energie pV = 2,3 · 10 6 J. Die Destillation ohne Rückgewinnungist ziemlich genau 1 OOOmal teurer: SpezifischeVerdampfungsenergie 2,2 · 10 6 J/kg. Man muß die Rückgewinnungsanlage(Gegenstromprinzip) sehr sorgfältig anlegen,um diesen riesigen Faktor auszugleichen. Im Prinzipist das möglich, aber die Arbeit gegen die osmotischenKräfte ist auch bei der Destillation mindestens aufzubringen.5.7.2. Maritimes KlimaIm Süßwasser erfaßt die vertikale Konvektion bei Erwärmungoder Abkühlung nur eine Schichtdicke von einigenMetern. In größerer Tiefe liegt immer Wasser von maximalerDichte, also von 4 °C. Meerwasser ist immer ganz kurzvor dem Gefrieren am dichtesten und kann daher im Prinzipin beliebige Tiefe absinken. Die Konvektion kann mehrerekm Schichtdicke erfassen. Dies führt erstens dazu, daß selbstruhiges Meer bei Lufttemperaturen unter seinem abgesenktenGefrierpunkt viel zögernder zufriert als ein See. Noch vielwichtiger ist aber die erhöhte Wärmespeicherwirkung desMeeres. Der Erdboden nimmt nur bis in etwa 4 m Tiefe ander jährlichen Temperaturschwankung teil, das Meer mitmehreren 100m Schichtdicke. Außerdem hat das Wasser natürlicheine viel höhere spezifische Wärmekapazität als derBoden. Das Dichtemaximum des Wassers wurde schonvon W.C. Röntgen zutreffend dadurch erklärt, daß Wasseraus einer lockeren, eisähnlichen und einer dichteren Molekülstrukturzusammengesetzt ist. Beide dehnen sich wie üblichbei Erwärmung aus, aber die lockere Packung verschwindetimmer mehr. Die Hydratisierung in Salzionen begünstigtdie dichtere Packung und verschiebt damit das Diebtemaximumzu tieferen Temperaturen.5.7.3. Meereis35 g/l NaCl, die vollständig dissoziieren (mittleres Molekulargewicht29 ,25) bedeuten eine Konzentration von 1,2 mol/1,d. h. eine Siedepunktserhöhung von 0,6° und eine Gefrierpunktssenkungvon 2,2°. Im Meerwasser sind diese Verschiebungenetwas geringer (0,5° bzw. 1 ,9°), weil der Anteilschwererer Ionen wie Mg, K, Ca, S04 das mittlere Molekulargewichtetwas erhöht und damit die molare Konzentrationsenkt. Beim Gefrieren einer kleinen Meerwassermenge bildetsich salzärmeres Eis, beim Verdampfen praktisch salzfreierDampf, wodurch der Gefrierpunkt des Restes noch mehrsinkt, der Siedepunkt steigt. Die Endphase der Vorgängein der konzentrierten Lake wird durch die Kristallisationsgleichgewichteder einzelnen Salzarten und ihre Störungen(Kristallkeime) sehr kompliziert.5.7.4. Widerspruch?Der Unterschied liegt im Wärmekontakt mit der Umgebung.Der Konditor verhindert ihn, und die Lösungswärme wirddem Kühlgut entzogen. Auf der Straße verteilt sich dieserWärmeentzug sofort auf feste Umgebung und Atmosphäre.Wärme erzeugt das Salz hier natürlich nicht, das Auftauenberuht auf Gefrierpunktsenkung. Außerdem wird derSchnee-Salz-Brei selbst bei Unterschreitung des gesenktenGefrierpunktes nicht richtig hart. Die Gefrierpunktsenkungkommt dem Konditor auch zustatten, sonst würde sein Eiskübelfestfrieren und der Kontakt mit dem Kühlgemisch verschlechtert.5.7.5. Osmotisches KraftwerkWenn das Rohr weniger als 230m tief eintaucht, bleibt esleer. Selbst wenn man Süßwasser hineingösse, würde der osmotischeDruck (oder hier besser Sog) des Salzwassers, der23 bar beträgt, es durch die Membran hinaussaugen. Dieserosmotische Druck kommt nach van't Hoff als p = nkT zustande:Salzkonzentration 35 g/1, mittleres Ionengewichtum 30 (meist Na mit 23, Cl mit 35,5, einige schwerereIonen), molare Konzentration etwa 1 mol/1, und 1 mol/22,41 erzeugt 1 bar. Ragt das Rohr tiefer als 230m, dann bliebehineingegossenes Süßwasser darin, ja es sickerte sogarSüßwasser von außen ein, bis sein Spiegel 230m unterdem Meeresspiegel steht. Mit einem Druck von mehr als23 bar kann man auch auf dem Festland Süßwasser ausdem Meerwasser pressen. Das kostet übrigens pro Liter Süßwassergenau soviel Arbeit, wie das Süßwasser aus dem230 m-Schacht heraufzupumpen. Robinson hat nichts davon.Alles weitere, also ob die Süßwasserquelle aus demRohr springen kann und ob das osmotische Kraftwerk funktioniert,hängt von der Schichtung des Ozeans ab. Wir betrachtenzwei Fälle: Den Gleichgewichts-Ozean: Temperatur,Druck und Konzentration entsprechen dem thermischenGleichgewicht; und den homogenen Ozean: Temperatur undSalzkonzentration sind über die ganze Tiefe konstant. Das istnicht .dasselbe. Zwar ist auch im Gleichgewichts-Ozean Tkonstant, aber nicht die Salzkonzentration. Die Salzionenverhalten sich nicht nur insofern wie Gasmoleküle, als sieden entsprechenden Druck erzeugen, obwohl sie in Wasserstatt ins Vakuum eingebettet sind, sondern auch darin, daßsie im Schwerefeld eine Boltzmann-Verteilung annehmen:Ihre Teilchenzahldichte ist n = no e~m'ghf(kT) wo m' dieMasse des Ions, abzüglich des "Auftriebs", also der Massedes vom Ion verdrängten Wassers ist. Diese Korrektur istklein: Löst man 36 g/l Salz, so nimmt das entstehende"Meerwasser" die Dichte 1,028 an; also m 1 = m · 2,8/3,6.Diese Verteilung hat eine Skalenhöhe H = kT / ( m' g) =mLuftHLuft/ m~alz ~ 10 km. Die gleiche Boltzmann-Verteilung,nur viel steiler, erzeugt der Biochemiker täglich als"Dichtegradient" im starken künstlichen Schwerefeld seiner

"Kapitel s: Lösungen 1071Ultrazentrifuge, meist mit schweren Salzen wie CsCl.In 7 km Tiefe ist also die Salzkonzentration im Gleichgewichtdoppelt so groß wie an der Oberfläche, d. h. der osmotischeDruck ist 46 bar. Diese Druckzunahme entsprichtgerrau dem Gewichtsunterschied zwischen der SalzwasserundSüßwassersäule. Allgemein rage das Rohr bis in dieTiefe h 0 ; wo steht der Spiegel im Rohr? In der Tiefe h, sodaß (ho- h)e,üg = 11Posm = ho(},ag. Wir wissen, daß11pasm = nkT = kT([!sü -(} 8 a)lm'. Mit n = no em'gh/(kT) r:::!no(l +m'ghl(kT)) heben sich die ho-Glieder gerrau weg,also ergibt sich immer h = 230m, unabhängig von ho. ImGleichgewichtsozean kann man also ebensowenig Energieaus einer Tiefendifferenz gewinnen wie in der Gleichgewichtsatmosphäreaus der Druckdifferenz, die einer Höhendifferenzentspricht. Die Thermodynamik ist zufrieden. Andersim homogenen Ozean: Die 10 000 m-Salzwassersäuleübt um 28 bar mehr Druck aus als die gleich hohe Süßwassersäule.Gleichgewicht an der Membran herrscht also erst,wenn die Süßwassersäule (28- 23) · 10 = 50m über denMeeresspiegel ragt. Das gibt ein ansehnliches Kraftwerk.Der wirkliche Ozean liegt nun näher an der homogenenals an der Gleichgewichtsverteilung: Eine Wasserprobe ausdem Guam-Graben hat auch nur wenig mehr also 3,6%Salz. Die Meeresströmungen, besonders die vertikale Konvektion,mischen also gründlich. Sie werden letzten Endesvon der Sonnenenergie angetrieben, und die ist es, die dasosmotische Kraftwerk anzapfen würde. Wahrscheinlichgibt es allerdings ökonomischere Wege dazu.5.7.6. KondensationskeimeIn der Kapillare vom Radius r steht eine nichtbenetzendeFlüssigkeit um h = 2a I (rg(}FI) tiefer als normalerweiseund bildet eine halbkugelförrnige Oberfläche ebenfallsvom Radius r. Der Druck des Dampfes ist in dieser Höhenach der barometrischen Höhenformel um !1p = hg(} 0 =2a(}ol (r{}FJ) größer als an der normalen Flüssigkeitsoberfläche.Das Verdampfungsgleichgewicht verlangt, daß derDampfdruck über der konvexen Oberfläche um eben diesenBetrag größer ist als über einer ebenen. Den Molekülen, derenKommen und Gehen an der, Oberfläche das Gleichgewichtbestimmt, ist es gleichgültig, wie diese Oberflächenformzustandegekommen ist. Daher gilt die gleiche Dampfdrucksteigerungz. B. auch für ein Tröpfchen vom Radius r.Kleine Tröpfchen stehen also nicht mit dem üblichen Sättigungsdampfdruckim Gleichgewicht, sondern mit einem höheren,m. a. W.: Sie können sich erst bei Übersättigung derLuft bilden. Für Wasser erhält man, wenn man 11p in barund r in 11m ausdrückt, ziemlich gerrau p = 1lr. Müßtedie Kondensation immer mit der Zusammenlagerung wenigerMoleküle beginnen (r r:::! w- 9 m), dann könnte man gesättigten100 °C-Dampf auf 0 oc abkühlen, ohne daß sichTröpfchen bilden. Jedes Staubteilchen bietet aber eine vielschwächer konvexe Oberfläche an und hilft als Kondensationskeimdas schwierige Anfangsstadium zu überwinden. Ionenhaben einen ähnlichen Effekt, wenn auch aus anderenGründen (vgl. Aufgabe 13.3.18).5.7.7. MischungsdiagrammWir mischen x mol der Flüssigkeit B mit 1 - x mol derFlüssigkeit A. Die reinen Stoffe haben die DampfdrückePA1 bzw. PB1· Für die ideale Lösung sind die Teildampfdrückegegeben durch die Geraden PB = PB1X bzw.PA= PA1 (1 - x) über einer x-Achse, der Gesamt-Dampfdruckist p = PAI + x(pBI - PAJ). Im Dampf dagegen liegtB mit dem Mengenanteil y = PBIP vor. Elimination von xliefert p(y) = PAIPBII(pBI - y(pBI- PAI)). Das ist einnach unten durchhängender Hyperbelbogen über der y-Achse,der natürlich PA 1 und PBI verbindet (Abb. 5.75). All dasgilt für konstante Temperatur im Gleichgewicht. Bei konstantemAußendruck trägt man besser den Siedepunkt T auf. Mitsteigendem Dampfdruck sinkt der Siedepunkt nichtlinear:Aus einer steigenden p(x)-Geraden (B flüchtiger) wird einfallender T ( x )-Bogen, der mit dem T (y)-Bogen ein linsenförmigesGebiet einschließt. Aus der Lösung mit x1 bildet sichein Dampf mit dem höheren Anteil Yl (waagerechte Linie).Dieser kondensiert bei etwas tieferer Temperatur zu einerLösung mit dem neuen x2 = y 1 (senkrechte Linie), diez. T. zu Y2 > x2 verdampft, usw. Im Idealfall erhält mannach vielen Stufen reines B im Kondensat.5.7.8. Luft für FischeBei 20 °C enthält Wasser 0,0402 moVl C02, ein mol pro24,91, also fast soviel wie im Gasraum. Die Atmosphärehat heute nur 330ppm C02 (1/3 000 g/g), Partialdruck291 ( 44 . 3 ooo) bar = 2,2 . 1 o- 4 bar, was auf o,39 mg co2im l Wasser führt. 02 mit 0,2 bar in der Atmosphäre ist imWasser mit 7,0 mgll häufiger. Beide Gase sind in warmenMeeren viel rarer. Ein gut durchmischter Ozean (~ der Erdoberfläche,im Mittel 4 km tief) kann nur etwa ~ soviel C02lösen wie in der effektiv 8 km hohen Atmosphäre ist.Schnelle Pufferung erfolgt auch nur über eine durch Wellenund Diffusion durchmischte Schicht von knapp 100m. Dazukommen allerdings viel größere Mengen in Carbonaten gebundenesC02. Für deren Produktion sind die Tropen besser,weil sich Feststoffe wie Kalk im Warmen besser lösen. C02folgt gut einem Boltzmann-Gesetz mit W = 0,102eV, 02weniger gut mit 0,028 e V. Von Üblichen Gasen lösen sichnur N20 und NH3 ähnlich gut wie C02 mit fast identischenW; N2, H2, NO, He, Ar lösen sich noch schlechter als 02.5.7.9. Absorber-KühlschrankAuflösen von Gasen im Wasser kostet Energie (das ist die inAufgabe 5.7.8 bestimmte Aktivierungsenergie), die der Umgebungentzogen wird. Bei NH3 sind das O,ll4eV/Molekül,10,9 kJ/mol, für die 77 moVl bei 0 °C hätte Wasser also eineKühlkapazität von 837kJ!l. Heizt man das H20-NH3-Gemischaußerhalb des Kühlraums elektrisch oder mit Gasbrenner,so wird es durch Ausgasen noch wärmer, karm thermischzum Umlauf gebracht werden und liefert im Kühlraum beiz. B. 0,11/min fast 1 kW Kühlleistung.5.7.10. KältemischungÜber einer c-Achse (c: Salzkonzentration in g/1) mit T-Ordinatezeichne man eine Gerade von (0, 0) nach (350, -22,2),

1072 Lösungen zu den Aufgabenvon dort eine Vertikale nach oben. Die schräge Gerade trenntdie Bereiche von Salzlösung (oben) und Eis + gesättigterLösung, die Vertikale trennt die Salzlösung von Salzkristallen+ Lösung. Im Punkt (350, -22,2), dem eutektischenPunkt, koexistieren Eis- und Salzkristalle. Der Kühlakku enthälteine Lösung eutektischer Zusammensetzung (mit anderemSalz). Im Tiefkühlfach erstarrt sie beim eutektischenPunkt und kann dann im Freien die zum Auftauen pluszur Erwärmung nötige Energie aufnehmen. Streut manSalz in ein Eis-Wasser-Gemisch, sinkt der Gefrierpunkt, etwasEis taut auf, kühlt dabei das Gemisch, usw. bis zumPunkt auf der schrägen Koexistenzlinie, der der gewähltenSalzkonzentration entspricht.5.7.11. TrockenfeldbauIn einer engen benetzten Kapillare vom Radius r, eingetauchtin Wasser, würde dieses um h = 2CJ I (rgQw) hochsteigen.Bringt man Dampf von der Wasseroberfläche dort obenhin, nimmt sein Druck 'Um Ap = Q 0 gh = 2(J(!ol (rQw) ab.Er muß dort oben aber mit dem gleichen Druck ankommenwie der Dampf in der Kapillare, sonst gäbe es kein Gleichgewicht.Der Sättigungsdampfdruck in der Kapillare ist alsogerade um Ap geringer. Das liegt an der konkaven Oberfläche,die den Eintritt von Dampfmolekülen ins Flüssige begünstigt.Bei r = 0,1 J.lm ist Ap = 15 mbar. Bei 20 °C sinddas 64% vom üblichen Dampfdruck (23,3 mbar), also kondensiertdas Wasser in so engen Kapillaren schon bei 36 %Luftfeuchte.5.8.1. Radiometer ISiehe Lösung 5.8.2.5.8.2. Radiometer IIBei einseitiger wie bei allseitiger Beleuchtung werden dieberußten Flächen wärmer als die anderen, ebenso auch inder Wärmestrahlung der wärmeren Umgebung. Ein Luftmolekül,das von einer festen Oberfläche zurückprallt, hat eineGeschwindigkeit angenommen, die der Temperatur dieserFläche entspricht. Bei normaler Gasdichte wirkt sich dasso aus, daß das Gas über der warmen Fläche zwar wärmer,aber entsprechend der Zustandsgleichung auch wenigerdicht ist: Der Druck gleicht sich aus, die Kräfte auf gleichgroße warme und kühle Flächen sind gleich. Im "Knudsen-Gas",wo die mittlere freie Weglänge l größer ist alsdie Gefäßabmessungen d, tauschen die Moleküle miteinanderpraktisch nicht mehr Energie oder Impuls aus, sondernnur noch mit den Wänden. Dann tritt kein automatischerDruckausgleich ein. Die Gasdichte ist eine Frage der zufälligenVerteilung der Molekülbahnen, d. h. im wesentlichenüberall gleich. Wo das Gas um AT wärmer ist, überträgtes einen größeren Impuls pro Zeit- und FlächeneinheitSein Druck ist p=po(1+ATIT). Bei10- 3 mbar undAT = 30 K wirkt auf 1 cm2 immerhin eine resultierendeKraft von 10-6 N. Dieser Radiometereffekt kann erst einsetzen,wenn l ~ d, d. h. um w- 2 bis w-3 mbar. Bei weitererEvakuierung nehmen die übertragenen Kräfte proportionalzum Gesamtdruck ab. Daß der eigentliche Strahlungsdruckkaum eine Rolle spielt, zeigt sich schon daran, daß sichdas Schäufelchen auch bei allseitiger Beleuchtung fastebensoschnell dreht. Könnte man das Kollodiumhäutcheneinseitig schwärzen, dann wäre es damit ähnlich. Der elektromagnetischeStrahlungsdruck ist PStr = I I c (!: Intensität),also PStr = 1 kWm- 2 13 · 10 8 ms- 1 = 3 · 10- 6 Nlm 2 =3 · 10- 11 bar, d. h. etwa drei Größenordnungen kleiner alsder Radiometer-Druck.5.8.3. Sinkt Schweres immer abwärts?Offenbar ist die Mischungsentropie von 0 2 und N2 , multipliziertmit T, größer als die Energie, die man bei Trennung inSchichten gewinnen würde. Wir schätzen beide ab, zunächstfür die fiktive homogene und isotherme Atmosphäre derHöhe H = 8 km. Der Zustand "Unten Sauerstoff, DichteQo = l ,43, ho = 2 km dick, oben Stickstoff, QN = l ,25,hN = 6 km dick" hat für eine Bodenfläche A die EnergieW1 = gA[!QohÖ + QN(ho + !hN)hN], der durchmischte Zustandhat W2 = !gAH(Q0ho + QNhN)· Die Differenz istA W = ! gAhohN (Qo - QN). Die Entropiedifferenz ergibtsich am einfachsten direkt aus der Planck-FormelS = k In P. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein bestimmtes02-Molekül in der Schicht ho ist (statt irgendwo in H) isthoiH, daß alle No 02-Moleküle in ho sind, (h9viH)N°. Entsprechendfür N2, also im ganzen P 1 = (hoiH) 0 (hNIH)NN,S1 = k(No ln(hoiH) + NN ln(hNIH)). P2 ist praktisch 1,also AS = S 1. Über 1 m 2 Erdoberfläche stehen l 0 4 kg, d. h.3,4 · 10 5 mol Luft. Damit ergibt sich AW lA ~1,4 · 10 7 Jlm 2 , T ASIA ~ 4 · 10 8 Jlm 2 . Der Entropieanteilist viel größer. 02 und N2 würden sich erst bei T ~ 10 Kentmischen, wo beide längst flüssig sind. Für H2 und Luftist A W etwa siebenmal größer (QL - QH ~ Qd, AS bei gleichemmolaren Mischungsverhältnis etwa ebensogroß. Selbstdiese Gase entmischen sich also im Erdschwerefeld nicht.Die genauere Betrachtung muß die Boltzmann-Verteilungendes Gemisches bzw. beider Komponenten einzeln berücksichtigen.Sie führt qualitativ zum gleichen Ergebnis.5.8.4. McLeod-VakuummesserGewöhnlich legt man die Kapillare in mehreren Stufen an.Jede hat fo des Querschnitts der vorigen. Für einen Meßbereichvon 10- 1 bis w- 6 Torr z. B. nimmt man 4 Stufen, je2 cm lang, mit den Durchmessern 1 000, 320, 100, 32 J.lmund ein Vorratsgefäß von 160cm3 (6,8cm Durchmesser).Um die Messung einzuleiten, erlaubt man dem äußeren Luftdruck,eine Hg-Säule in das Vorratsgefäß hineinzuschieben,wobei sie zuerst die Verbindung mit dem ausgepumpten Volumenunterbricht. Die Restluft wird dann bis zur Druckgleichheitin die Kapillare hineingedrückt. Nach der Messungmuß das Hg wieder in die Normalstellung zurückgesaugtwerden. Bei den meisten Systemen können alle dieseOperationen durch die sukzessiven Stellungen eines einzigenHahnes bewerkstelligt werden (Kipp-McLeod). Man beachteaber, daß das Hg bei den angegebenen Maßen über 2 kg hat.

Kapitel 6: Lösungen 10736.1.1. Ist 1 C wenig oder viel?Durch einen 10 W-Rasierapparat fließen 0,05 A, alsoin 5 min15C. Für ein 600W-Bügeleisen lauten die Werte 3A und900 C, falls es 5 min ständig heizt (alles bei 220 V). ZweiKugeln, mit ±900 C geladen, würden einander in 1 m Abstandmit fast 1016 N anziehen! Alle statischen Aufladungensind offensichtlich sehr viel kleiner. Wenn man sich im Dunkelndas Nylonhemd über den Kopf zieht, sieht man, besondersbei trockener Luft, mehrere cm lange Entladungen. Dassetzt Spannungen um 100 kV voraus. Trotzdem bleiben dieLadungen sehr klein: Die Kapazität des Systems Körper­Hemd ist entsprechend der Abmessung von ca. 1 m vonder Ordnung e 0 Ajd ~ 10- 19 Farad, also erzeugen schonw-5 C die Spannung von 100 kV. Man müßte gehörig reiben,um das kleinste Elektrogerät betreiben zu können.6.1.2. AbschirmungDaß man elektrische Felder abschirmen kann, beruht auf derExistenz zweier Ladungsvorzeichen. Negative Ladungenschlucken die Feldlinien, die die positiven aussenden. Fürdie Gravitation gibt es trotz einiger spekulativer Ansätzekeine negativen Massen. Feldlinien, die von positiven Massenausgehen, laufen grundsätzlich bis ins Unendliche. Dasvon einem Schiff verdrängte Wasser kann man zwar als negativeMasse auffassen, um die Kräfte zu diskutieren, die aufdas Gesamtsystem wirken. Vom Standpunkt der Felderzeugungkönnte dieser heuristische Trick aber in die Irre führen.Ein Gravitationsschirm böte auf den ersten Blick erstaunlicheMöglichkeiten. Man könnte dahinter einen Körperkräftefrei heben und dann, nachdem man den Schirm entfernthat, wieder sinken und Arbeit leisten lassen. Vergleichmit dem elektrischen Fall, wo das Entsprechende durchausmöglich ist, zeigt aber, daß sich der Energiesatz auch sonicht betrügen läßt. Zum Verschieben des Schirms brauchtman nämlich auch Energie. Man muß ja entgegengesetzteLadungen (felderzeugende und abschirmende) voneinanderentfernen, oder anders ausgedrückt den felderfüllten Raumvergrößern. Beides kostet Energie, und zwar mindestens soviel,wie man gewinnt.6.1.3. Coulomb-Kraft und GravitationDie Coulomb-Kraft zwischen Elektron und Proton ist um denFaktor e 2 j(47reoGmpm) = 2,27-10 39 größer als die Gravitation,unabhängig vom Abstand. Von etwa 10 20 Atomenbrauchte nur eines eine positive oder negative Überschuß­Elementarladung zu tragen, und die Gravitation zwischenObjekten wäre kompensiert oder "erklärt", je nachdem obdiese Objekte gleichnamig oder ungleichnamig geladenwären. Eine so geringe Ionenkonzentration ließe sich direktnie nachweisen, ebensowenig wie sich ein evtl. Unterschiedvon 10- 20 e zwischen den Ladungen von Proton und Elektronz. B. im e / m-Versuch nachweisen ließe. Der wesentlicheUnterschied zwischen Gravitation und Coulomb-Kraft, nämlichdaß es nur Massen eines Vorzeichens gibt, aber zweiLadungsvorzeichen, entzieht einer solchen "Gravitationstheorie"den Boden. Die Erde zieht den Mond und denAstronauten Armstrang an. Also müßten Mond und Armstronggleichnamig geladen sein und einander abstoßen.Allerdings könnte sich Armstrang unterwegs umgeladenhaben. Die Erde zieht aber auch das Meer an, der Mondmüßte es also abstoßen, die Gezeiten hätten genau die entgegengesetztePhase. - Hypothetische Aufladung der Erdeetwa 10 13 C, die etwa 10 10 V erzeugen würden, der Sonneetwa 10 18 C mit 10 13 V.6.1.4. Mit oder ohne PotentialEin Potential existiert genau dann, wenn die Verschiebungskraftzwischen zwei beliebigen Punkten wegunabhängig ist.Das kann nicht der Fall sein, wenn es geschlossene Feldliniengibt, denn bei der Verschiebung auf diesen kann man beimrichtigen Umlaufsinn immerzu Arbeit gewinnen. Dies istaber nicht die einzige Feldlinienkonfiguration, die Existenzeines Potentials ausschließt. Man betrachte die parallelenStromlinien eines in der Mitte schneller strömenden Flusses.Ein Boot wird sich abwärts in der Mitte, aufwärts amRand halten und könnte so bei Reibungsfreiheit kreisendEnergie gewinnen. Eine einfache Änderung des Bezugssystemsstellt auch hier geschlossene Stromlinien her(Abb. 3.37). Allgemein läßt sich jedes Feld, das kein Potentialhat, aus einem Potentialfeld (das im Fluß-Beispiel homogenist) und einem Wirbelfeld (geschlossene Feldlinien) additivzusammensetzen. Wenn alle Feldlinien in "Ladungen"enden, können sie nicht geschlossen sein und sind auch durchkeine Änderung des Bezugssystems in geschlossene überführbar.All dies gilt allerdings nur für zeitunabhängigeFelder: Selbst wenn Land- und Seewind beide völlig homogeneStrömungsfelder haben, kann man bei entsprechenderzeitlicher Planung Arbeit auf der Rundreise sparen oderim Idealfall sogar gewinnen. Vektoranalytisch: Jedes Potentialfeldläßt sich als Gradient eines Skalarfeldes (nämlichdes Potentials) darstellen: E = -grad lp. Ein solches Feldist rotationsfrei, denn es gilt allgemein rot grad lp =(lp,zy -lp,YZ' lp,xz -lp,zp lp,yx -lp,xy) = 0. Andererseits hatein Feld, das sich als Rotation einer anderen Vektorgrößedarstellen läßt (ein reines Wirbelfeld, A =rot B) keine Divergenz:div rot B = Bz,yx - By,zx + Bx,zy - Bz,xy + By,xz -Bx,yz = 0 (der erste Index kennzeichnet immer die Komponente,hinter dem Komma stehen die Koordinaten, nachdenen abgeleitet werden soll; man beachte, daß die Reihenfolgeder Ableitungen keine Rolle spielt). Jedes beliebigeFeld läßt sich in eindeutiger Weise in ein Potentialfeldgrad lp und ein Wirbelfeld rot B zerlegen: A = -grad lp +rot B. Zu div A trägt nur das Potentialfeld bei:div A = - div grad lp = -Alp. Außerhalb von Feldquellengilt die Laplace-Gleichung Alp = 0, in Bereichen mit derQuelldichte a die Poisson-Gleichung Alp= -a. Im elektrischenFall ist a = eeoe-6.1.5. Newton hatte es schwererWir bestimmen Potential und Feld im Punkt P im Abstand avon der Kugelmitte M. Die leitende Kugel (Radius R) trägt

107 4 Lösungen zu den Aufgabenihre Ladung Q nur an der Oberfläche, und zwar gleichmäßigverteilt. Wir zerlegen diese Oberfläche in kreisringähnlicheStreifen, zentriert um die Achse PM, mit demÖffnungswinkel ß und der Breite dß. Ein solcher Ring hatdie Ladung dQ = ! Q sin ß dß, alle seine Punkte sind vonP um r = J R2 + a2 - 2Ra cos ß entfernt (Cosinussatz),sein Betrag zum Potential ist drp = dQ/(4Ireor), das Gesamtpotentialrp = Qj(81reo) J; sinßdß/JR2 + a 2 - 2Racosß.Oben steht die Ableitung des Radikanden z, also tp = Qj(16m;oRa) J(~~$ dz/vz = Q/(4m;oa). Mit dem Feld, dasNewton interessierte, ist es schwieriger. Es bleibt nur dieAxialkomponente dE = dQ cos y / ( 4Ireo ~) = Q sin ß dß /(81re0r2 ) · (a 2 + r 2 - R 2 )j(2ra)(y: Winkel bei P, cos-Satz).Gesamtfeld E=Q/(32Jreoa2R) · (J.((R+a)): dzjz112 -(a2 -R2 )J, a2 dz/z3 2 ) = Qj(41reoa 2 ).(R+ )2 / R~a(R~a)6.1.6. Thomson-ModellDie Kugel mit der homogenen Ladungsdichte g und demRadius R erzeugt im Abstand a von ihrem Zentrum einFeld, das für a > R von der ganzen Kugel herrührt:Ea = ~ 1rgR 3 / ( 4?reoa) = gR 3 / (3eoa), dagegen für a < Rnur von dem Teil der Kugel, der noch innerhalb ist:Ei= ~1rga 3 /(4Ireoa 2 ) = gaj(3eo). Das Potential, aufrp = 0 bei a-+ CXJ normiert, ist außen rpa = gR 3 /(3eoa), inneno/i = gR 2 /(2eo)- ga 2 /(6eo) (stetiger Anschluß an tJiabei a = R). Um die elektrostatische Gesamtenergie zu bestimmen,füllen wir die Kugel von innen her allmählichmit Ladung. Wenn sie bis zu einem Radius r aufgebautist, erfordert Auftragen einer neuen Kugelschale der Dickedr mit der Ladung dQ = 4Irg~ dr die EnergiedW = rpdQ = ~1rg 2 r 4 drje0 . Die Gesamtenergie ist alsoW = laR 1Jr(h 4 dr / eo = ts ?r(p R5/ eo = ~ Q2 /( 4?reoR) .Für eine Punktladung entgegengesetzten Vorzeichens im Innernist das Potential proportional a 2 , also elastisch. DieLadung führt, einmal angestoßen, harmonische Schwingungenaus, d. h. eine Bewegung, die durch eine scharfeFrequenz gekennzeichnet ist. Herrscht außerdem eine geschwindigkeitsproportionaleReibung, dann ergibt sichdie Bewegungsgleichung der gedämpften Schwingung(vgl. Abschn.4.1.2). Ihr Frequenzspektrum ist nach Absehn.12.2.2 eine Spektrallinie mit Gaußsehern Profil undder Halbwertsbreite ~w ~ k (k: Dämpfungskonstante). DieFrequenz dieser Linie ergibt sich nach Abschn. 1.4.3 zuw = J ge / ( 3meo) = J e2 / ( 4?reomR3 ) ( e und m: Ladungund Masse des eingebetteten Punktteilchens). Ein Atomhat etwa 1 A Radius, seine positive Ladungsdichte ist alsovon der Größenordnung 10 11 Cjm 3 . Für ein Elektron inder entsprechenden positiven Ladungswolke ergibt sicheine Kreisfrequenz w von der vernünftigen Ordnung10 16 s~ 1 . Erst Rutheifords Feststellung, daß die positive Ladungnicht gleichmäßig im Atom verschmiert ist, sondernsich auf einen sehr kleinen "Kern" konzentriert, brachtedieses Atommodell von J. J. Thomson zu Fall.6.1.7. SuperpositionDie vollständige Hohlkugel kann man sich zusammengesetztdenken aus der Hohlkugel mit Loch und dem ebenfalls geladenenPlättchen, das aus dem Loch herausgeschnitten wordenist. Das Feld einer Kombination zweier geladener Körperist die Vektorsumme der Felder der Einzelkörper (Superpositionsprinzip).Also ist das Feld E der Hohlkugel mitLoch gleich dem Feld der vollständigen Hohlkugel (innenNull, außen radial Qj(4Ireo~)) minus dem Feld Ep desmit der Flächendichte a = Qj ( 4?rR2) geladenen Plättchens.Er wäre ganz nahe arn Plättchen identisch mit demFeld einer geladenen Ebene: ±a/(2e 0 ) = ±Qj(81re0R 2 ).Überall in der Ebene des Loches ist also das FeldE = Qj(81re 0R2 ), genau halb so groß wie an der Außenwandder Hohlkugel, unabhängig von der Form des Loches. Entferntman sich aus der Lochebene nach innen oder außen,nimmt das Feld natürlich seinen Normalwert Null bzw.Qj ( 4?re 0R2) an. Es dürfte sehr schwer sein, durch Ausintegrierender Feldbeiträge der einzelnen Ladungselemente, besondersbei unregelmäßiger Lochform, zu diesem Ergebniszu kommen.6.1.8. Feld des DrahtesAus Symmetriegründen muß das Feld überall senkrecht zurDrahtachse stehen und zylindersymmetrisch sein, d. h. eskann nur von r, dem Abstand vom Draht abhängen. DerFluß durch jede Trommel der Höhe h hat also den gleichenWert, unabhängig vom Radius r: (jJ = 21rrhE = hJcj eo (Je:Ladung pro Meter Drahtlänge), also E = Jcj(21reor). DasPotential gegen die Drahtoberfläche (r = ro) ist U =-2/(27reo) ·ln(r/ro). Im Unendlichen geht dieses Potentialgegen CXJ, allerdings so langsam, daß man selbst mit einem1 000 km langen Draht von ro = 10 J.Lm in r = 1 000 km Abstand,wo die Näherung natürlich schon versagt, nur aufln(r/ro)~28 kommt, also z.B. für Q=lC, d.h.Je = 10~ 6 C m ~ 1, auf U ~ 500 k V. Nach dem Coulomb­Gesetz ist es viel schwieriger: Der Draht laufe in z-Richtung,der Punkt P, für den das Feld berechnet werden soll,liege bei z = 0 im Abstand r vom Draht. Ein Drahtelementdz, das bei z, also von P aus unter dem Blickwinkel rx mitz = r tan rx liegt, also im Abstand r / cos rx, erzeugt ein FeldJe dz cos 2 rx/( 4?re 0r 2 ). Die Komponenten parallel zumDraht heben sich weg. Es bleibt nur die Radialkomponente,die um den Faktor cos rx kleiner ist: E =2 .fc'X! Jccos 3 rxdz / (4?reor 2 ) = 2 J;12 A.cosrxdrx / (4m;or) =A./(27re0 r) (man beachte z = rtanrx, dz = rdrx/ cos 2 rx).6.1.9. Bahn im In-FeldDer geringste Abstand Elektron~Draht sei d. Zur Zeitbefinde sich das Elektron, vom Draht aus gesehen, untereinem Winkel a gegen diese Richtung geringsten Abstandes.Der gegenwärtige Abstand vom Draht istr = d/ cos rx, die Coulomb-Kraft eE = d/(27reor) =eA. cos rx/ (27reod), ihre Komponente senkrecht zur BahneA. cos2 rxj(27reod), die Flugstrecke seit der größten Annäherungx = d tan rx, die Longitudinalgeschwindigkeit v = .X =da/ cos 2 rx, also die Änderung der Transversalgeschwindig-

Kapitel 6: Lösungen 1075keit dv1_ = dcos 2 rxdtl(27rsomd) = eJldrxl(27rs0mv). Aufder ganzen Bahn ( -1r12 < rx < 1rl2) ändert sich also v 1_um eJ..I(2aomv), unabhängig vom Abstand d. Einfacher siehtman die Abstandsunabhängigkeit so ein: Man zeichne eineElektronenbahn und vergrößere das Bild um den Faktor rx.Dabei verringert sich die Krümmung um den Faktor 1 I a.Die Krümmung ist aber proportional zur Coulomb-Kraft,und diese nimmt im Feld des Drahtes ebenfalls um den Faktor1 I a ab. Die vergrößerte Bahn ist also eine richtige Bahn,der Ablenkwinkel, der sich beim Vergrößern nicht ändert, istfür beide Bahnen derselbe. - In einem Bündel parallelfliegenderElektronen sind natürlich die Abstände d vom Drahtverschieden. Trotzdem schwenken wie beim Biprisma dieTeilbündel beiderseits des Drahtes um konstante Winkelum. Das Potential zwischen Draht und Rest der Apparaturhängt mit dem gewünschten Winkel über }, und Drahtradiusr und Abstand R Draht-Rest der Apparatur zusammen wieU = J..l(27rso) ·ln(Rir).6.1.10. PotentialtalEine stabile Gleichgewichtslage ist ein lokales Potentialminimum.Das Feld muß von allen Seiten auf diese Stelle hinzeigen(oder überall von ihr weg, falls man eine negativeLadung einfangen will), dies wohlgemerkt, ohne daß die einzufangendeLadung dort sitzt. Der Fluß durch eine Kugel, diediese Stelle umschließt, ist also bestimmt verschieden vonNull, was im leeren Raum nicht möglich ist. Dagegenkann das Potential stellenweise konstant sein oder einen Sattelpunkthaben (indifferentes oder labiles Gleichgewicht).Beispiele: Geladene Platte und Abb. 6.12 Mitte. Stabilliegteine positive Ladung nur in einer "Feldsingularität", wo einenegative Ladung ist. Eigentlich müßten also alle Ladungen inder Welt einander schließlich neutralisieren. In einem zeitabhängigenFeld gilt diese Beschränkung nicht allgemein. Endgültigzieht uns aber erst die Quantenmechanik aus dieserAffäre.6.1.11. Wie stark ist ein BlitzBei einer Wolkenhöhe von 1 km und einer Ausdehnung von100 km 2 erhält man die Kapazität C = s0A I d = 10-6 F. DieSpannung, bei der ein Überschlag über 1 km Luftzwischenraummöglich ist, liegt um U = 10 8 V. Eine solche Spannungerfordert eine Aufladung mit Q = CU ~ 10 2 C. VollständigeEntladung durch einen einzigen Blitz in 1 ms würde einenStrom von 10 5 A bedeuten, eine Leistung von 1013 W. InWirklichkeit mögen etwa 100 Blitze überschlagen. Jederhat dann 1 C, 1 OOOA, 10ll W, 30kWh, das ganze Gewitter3 ·10 3 kWh.6.1.12. GewittertheorieWenn ein Wolkenteil der Abmessung d die Ladungsdichte Qhat, müssen nach der Poisson-Gleichung div E = glso mindestensFelder von der Größenordnung E = dg IBo auftreten(selbst wenn an einer Seite der Wolke kein Feld herrschte,hätte es an der anderen die angegebene Größe). Um10 6 V /m zu erreichen (dies ist die Zündfeldstärke für eineEntladung, die, einmal eingeleitet, auch mit geringeremFeld weiterwächst), braucht man bei einer Ausdehnungd ~ 1 km eine Ladungsdichte Q ~ soEid ~ 10-8 Clm 3 .Trägt ein Tröpfchen eine Elementarladung e, dann erfordertdiese Ladungsdichte eine Tröpfchenzahldichte n = Q I e r:::;10ll m-3 . Bei 20 °C ist der Dampfdruck des Wassers23 mbar, d. h. 1 m 3 Luft enthält bei Sättigung etwa 10 g Wasser.Wenn man daraus 10 11 Tropfen machen will, muß jederw- 10 g oder den Radius 3 !liD haben. Ein Tröpfchen vomRadius r fällt nach Stokes so, daß 17rr 3 Qmg = 61rv17r oderv = ~r 2 gmgl11 ist. Ein Luftion (Beweglichkeit J1 ca. 2cm 2 /V s, vgl. Abschn. 8.3.1) müßte, damit es sich an der Rückseitedes vorbeifallenden Tröpfchens anlagern kann, mindestensdie gleiche Geschwindigkeit haben wie das Tröpfchen selbst.Das Ion erreicht im Feld des Tröpfchens (genauer: Im Dipolfelddes polarisierten Tröpfchens) eine Geschwindigkeitvron ~ J1E ~ Jle I ( 47reor 2 ). Der kritische Tröpfchemadius,bei dem vron gleich der Trö fehenfall eschwindigkeit ist, ergibtsich zu rkr ~ 4 9Y!eJ11 (87reo8Qm) ~ 5 !liD, also etwaebenso wie die oben geschätzte Tröpfchengröße. Solcheund größere Tropfen müssen sich also beim Fallen einsinnigaufladen und erzeugen so die Aufladung gegen die Erdeund höhere Wolkenteile, die u. U. zur Bildung von Erdbzw.Wolkenblitzen ausreicht.6.1.13. KondensatorMan rollt zwei Metallstreifen zusammen mit zwei isolierendenPlastikfolien zu einem Zylinder. Alle Folien seien 10 !liDdick. Für l11F braucht man dann gemäß C = soAI d eineFläche A = 1 m 2 . Ein Streifen von 3 cm Breite, L = 30mLänge ergibt einen Zylinderradius r = J2dLI7r = 1 cm(die Rolle hat n = ! r I d Wicklungen der Durchschnittslänge1rr, also der Gesamtlänge L = m = ! 1r? I d). Bei 220 Vmüßte die Isotierfolie ein Feld von 2 · 105 V/ern aushalten,was schwer zu erreichen ist. In der Praxis nimmt man daherFolien von etwa 100 !liD Dicke, womit sich A verzehnfacht.Man erhält so etwa eine Rolle von 12 cm Länge und 7 cmRadius. Allgemein gilt für das KondensatorvolumenV ~ 2Cd 2 I so. So kann man z. B. die verwendete Foliendickeabschätzen.6.1.14. Versuch von MillikauTröpfchen vom Radius r und der Dichte (! fallen nach Stokesso, daß 11rr 3 gg = 61r17Vr i~!· d.h. v = ~?ggiYI· Bei bekanntem17 der Luft und Q des Ols kann man so aus dem gemessenenv den Radius r ermitteln, selbst wenn die Tröpfchen sofein sind, daß sie sich im Mikroskop nur als Streuzentrenbemerkbar machen (Dunkelfeldbeleuchtung). Nun schaltetman ein Feld ein, das die Tröpfchen (oder einige davon)genau in der Schwebe hält. Diese Tröpfchen müssen dieLadung q haben, so daß qE = 11rr3gg ist. Hat man rausdem feldfreien Fall bestimmt, dann stehen rechts nur gemesseneGrößen. Manchmal beginnt ein Tröpfchen, das gutschwebte, plötzlich nach oben oder unten wegzuschwimmen.Es hat offenbar ein weiteres positives oder negativesIon angelagert. Seine Geschwindigkeit v' wird dann nurdurch diese eine Zusatzladung !'lq bestimmt. In dem Zahlenbeispielv = 4!lrnls, E = 4,5 V /cm, tl = 1 ,2!lrnls findetman r = 0 l811m F = 2 .w- 16 N q = 5·10- 19 c !'lq =1,5·10-19 c. · · ·

1076 Lösungen zu den Aufgaben6.1.15. StaubfilterIn einem leitenden Teilchen sammeln sich Ladungen so aufden Stirnflächen an, daß im Innern kein Feld mehr herrscht.An der Stirnfläche erfolgt dann ein Feldstärkesprung, dergleich dem äußeren Feld E ist. Dazu muß dort eine Flächenladungsdichte(J = soE sitzen. Das Dipolmoment des Teilchensergibt sich aus seiner Stirnfläche A und seiner Länged zu p = Qd = (JAd = (JV = s 0EV, für ein Kugelteilchenmit dem Radius a ist p ~ 1neoEa3 . Im homogenen Feldsind die Kräfte auf die Ladungen an den Stirnflächen entgegengesetztgleich: keine resultierende Kraft. Wenn das Feldinhomogen ist und sich in seiner eigenen Richtung (r-Richtung)ändert, und zwar mit der Ableitung E' = dE I dr, ist dieKraft auf das eine Ende des Dipols um Q dE' = pE' größerals die Kraft auf das andere Ende. Allgemein wandert dasTeilchen dorthin, wo das Feld größer ist. Ein Plattenkondensatorenthält ein praktisch homogenes Feld, entstaubt alsonicht. Ein kugelförrniges Feld ist noch inhomogener alsein zylindrisches, aber schwieriger in ausreichender Größeherzustellen. F = pE' = 1na 3 soEE'. Unter dem Einfluß dieserKraft bewegt sich das Teilchen laminar umströmt durchdie Luft. Es gilt also das Stokes-Gesetz F = 6nYJaV, d. h.v = F I ( 6nrya) = ~ soa 2 EE' I '1· Die Geschwindigkeit wächstquadratisch mit dem Teilchenradius. Luftmoleküle werdenauch polarisiert und wandern, aber wegen ihres kleinen Radiusunmerklich langsam. Die Abhängigkeit der Feldstärke Evom Abstand r vom Draht ergibt sich aus der Flußregel: Ezeigt überall radial, sein Fluß durch jeden Zylindermantel(Fläche 2nrl) muß im ladungsfreien Raum für alle r denselben Wert haben, also E = klr. Der Wert der Konstantek ergibt sich, wenn wir die Spannung berechnen:rp = -k In r. Die Spannung zwischen Draht (ro) und Rohrwand(R) ist V= rp(ro)- rp(R) = k!n(Riro). Damit ergibtsich E = V l(r!n(Riro)) = V* Ir mit der "effektiven Spannung"V* = V I ln(Riro). Da E = V* Ir, ist E' = -V* lr 2und v = ~ eoa 2 V* 2 I ( w 3 ). Laufzeit vom Ort r bis zum Draht:t = iro drlv = ~IJ(r4 - r6)1(soa 2 V* 2 ).Hier ist r6 i. allg. zu vernachlässigen: Ob der Draht fein oderstark ist, spielt kaum eine Rolle. In einem Raum von 100m 3soll die Luft z. B. alle drei Stunden erneuert und gereinigtwerden. Das bedeutet einen Volumenstrom V= w-2 m3 lsund eine Strömungsgeschwindigkeit durch N parallele Rohrew = Vl(nR 2 N) sowie eine Durchflußzeit t' = llw =nR 2 lN IV. Innerhalb dieser Durchflußzeit muß der Staubwandern können: t

Kapitel 6: Lösungen 1077rungsenergie Wi = eUi sein, z. B. für Luft El > 30 V. Inunmittelbarer Umgebung eines Drahtes vom Radius roherrscht die Feldstärke E ~ U lro (U: Röhrenspannung).Die Auslösebedingung heißt also U > 30 V · ro I l. Die freieWeglänge ist l = 1 I ( 4no'). Für Luft bei Normalbedingungenist l ~ 1 o-7 m. Damit folgt eine Zündspannung des Zählrohresvon etwa 300 V, was recht vernünftig ist. Evakuierung desZählrohrs würde l erhöhen und die Zündspannung senken,aber die Eintrittsfenster für ß- und besonders oc-Strahlungmüssen so dünn sein, daß sie keinen Unterdruck vertragenwürden. Man arbeitet also bei Normaldruck, setzt aberi. allg. Dämpfe zu, die die Zähleigenschaften verbessern,z. B. die Entladung schneller löschen und damit die nichtaufnahmebereiteZeitspanne (Totzeit) des Zählrohrs verkürzen.6.1.19. HochspannungskabelWenn das Kabel mit der Spannung Uo den Boden in einemannähernd kreisförmigen Bereich vom Radius ro berührt,entsteht darum herum ein sphärisches Feld mit U ~ r-1, genauerU = Uorolr und E = Uorolr 2 . Wenn ein Mensch einenSchritt der Länge d auf das Kabel zu oder von ihm wegmacht, überbrücken seine Beine eine "Schrittspannung"Ed = Uorodlr 2 . Damit die Schrittspannung z.B. bei einem220kV-Kabel kleiner als lOOV bleibt, muß man beiro = 10 cm nur etwa 15m Abstand halten. Viel gefährlicherist ein Kabel, das in der Länge l aufliegt. Es ist von einemZylinderfeld umgeben, dessen Feldstärke mit r- 1 , also viellangsamer abfällt: E = Uol(rln(llro)). Die Schrittspannungist noch in fast 1 km Abstand gefährlich, falls dasFeld dort noch zylindrisch ist, d. h. falls das Kabel längerals 1 km am Boden aufliegt. Ähnlich ist das Feld um denEinschlagsort eines Blitzes beschaffen: Es fällt sphärisch,also schnell ab, wenn es nur einen Einschlagpunkt gibt, dagegenlangsam, zylindrisch, wenn ein Einschlagkanal vorliegt.Das hängt von der Leitfähigkeit des Bodens ab.Kühe sind gefährdeter als Menschen, weil ihre Beinspannweitegrößer ist. Ein Kabel in Luft erzeugt auch ein Zylinderfeldum sich, aber jeder Körper, der wesentlich besser leitetals Luft, z. B. der menschliche, verzerrt das Feld, indem ersich kondensatorähnlich auflädt, so daß in seinem Innerngar kein Feld herrscht. Die Erdpotentialfläche paßt sichder Körperoberfläche des Menschen an. Ganz anders,wenn das Kabel auf der Erde oder gar im Wasser liegt.6.1.20. FernleitungAuf einen Menschen entfällt ein Leistungsbedarf von etwa1 kW, wenn man die Industrie mit einbezieht. Die kleineGroßstadt braucht 108 W. Bei 220 V ergäbe das 5 · 105 A,bei 220 kV nur 500 A. Am Leiterwiderstand R ist der SpannungsabfallßU = RI, der Leistungsverlust ßp = ßU I=RI2 . Wenn ein relativer Verlust ßU I U nicht überschrittenwerden soll, darf R nicht größer sein alsR = ßU I I = U ßU I P, im Beispiel: R = 5 Q bei 220 kV,aber 5 · 10- 6 Q bei 220 V. Wenn die Leitung zum KraftwerklOOkm lang ist, muß ihr Querschnitt A = gliR bei 220kVetwa 3 cm 2 sein, bei 220 V dagegen 300m 2 ! Unbegrenztläßt sich die Übertragungsspannung aber wegen der Durch-schlagsgefahr nicht steigern. Das Zylinderfeld um das Kabelist E ~ Uol (r ln(hlro)) (es erstreckt sich nur bis zurn Boden,Abstand h, vgl. Aufgabe 6.1.19). Bis etwa 3 cm Radius istdies Feld größer als die Durchschlagsspannung der Luftvon 10 6 V/rn. Dort gibt es Büschelentladungen, die mannachts bläulich glitzern sieht. In 20m Abstand ist das Feldin Luft immer noch etwa 1500V/m. Das ist ungefährlichfür Mensch und Tier, weil deren Körper das Erdpotential deformiert(Aufgabe 6.1.19). Ein solches Feld lädt den Kondensator"Mensch" auf eine Ladung Q = AEee 0 auf. Bei Wechselspannungbedeutet die ständige Umladung einen StromI = Qw = AEssow, schlimmstenfalls etwas über 10- 4 A,was noch völlig harmlos ist.6.2.1. DissoziationWenn man den Abstand a in A ausdrückt, ergibt sich F =2 · 10- 8 l(ea 2 ) N, Wpot = 2,4 · 10- 18 l(w) J = 14l(w) eV.Die thermische Energie, gemessen durch kT, ist bei Zimmertemp~ratur4 · 10- 21 J = itJoeV. Es wird Wpot = kT füra = 570 A in Luft, für a = 7 A in Wasser. Zwei Teilchen,deren Abstand kleiner ist als dieser kritische, könnenelektrisch gebunden bleiben, bei größerem Abstand trenntsie die thermische Bewegung. Ein mittlerer Abstanda = 7 A entspricht einer Teilchenzahldichte n = a-3 ~3 · 10 21 cm- 3 oder~ 5 mol/l. Starke Elektrolyte von geringererKonzentration sind also im Wasser praktisch vollständigdissoziiert. Das molekulare (und auch das exaktthermodynamische) Bild ist komplizierter: Die hohe DKdes Wassers beruht auf dem hohen Dipolmoment desH20-Moleküls. Anlagerung dieser Dipole an die Ionen(Hydratation) bringt für die meisten ionogenen Verbindungenmehr Energie ein, als die Auftrennung der Bindungenkostet.6.2.2. PolarisierbarkeitIm Feld E wirkt auf das Elektron die Kraft eE. Sie erzeugteine Auslenkung x so, daß die Rückstellkrafte 2 xl(47reoR 3 ) = eE wird. Das Dipolmoment ist dannp = ex = 41!'e0R 3 E, die Polarisierbarkeit oc = 41l'e0R 3 .6.2.3. OrientierungspolarisationEin Dipolmolekül vom Moment p, das den Winkel 9 mitdem Feld bildet, hat verglichen mit dem feldfreien Fall dieEnergie W = -pE cos 9. Für die drei Einstellungen parallel,senkrecht, entgegengesetzt zum Feld hat W die Werte-pE, 0, pE. Ohne Feld würden von den n Molekülen, dieim m 3 sind, ! n, ~ n bzw. ! n in diese Richtungen zeigen(von den 6 Grundrichtungen stehen 4 senkrecht zumFeld). Im Feld ergibt die Boltzmann-Verteilung in Feldrichtung!nePE/(kT) Moleküle/m3, was bei pE « kT intn(l + pEI(kT)) übergeht, analog für die Gegenrichtung6n(l- pEI(kT)). Die Polarisation (Dipolmoment/Volumeneinheit)ist also P = !np 2 EI(kT), die Suszeptibilitätx=!np 2 l(kTso), die DK e=l-~np 2 1(kT8o). MolekulareDipolmomente sind von der Größenordnung1 Elementarladung . 1 A ~ 10-29 c m. Erst in einem Feldvon 10 8 V Im = 10 6 V/ern wäre pE ungefähr kT. Man kann

IIIIII1078 Lösungen zu den Aufgabenalso praktisch immer mit pE « kT rechnen. Statt den BruchteillpEI(kT)ganz in Feldrichtung zu drehen, kann man mitdem gleichen Polarisationserfolg auch alle Dipole um denkleinen Winkel y ~ !PEI(kT) drehen. Eine solche Drehungdauert eine Zeit 'Lrel ~ yi(J-lpE), wo pE das wirkende Drehmomentund J-l die Rotations-Beweglichkeit ist, die in Aufgabe3.3.5 zu 11 (17V) abgeschätzt wurde (17 Viskosität, V Molekülvolumen;das gilt für einigermaßen rundliche Teilchen);also 'Lrel ~ 17 V I ( kT). Dies ist die dielektrische Relaxationszeit.Für Wechselfelder, deren Periode klein gegen 'Lrel ist,erreichen die Dipole nicht ihre Gleichgewichtseinstellungzum Feldmaximum bzw. -minimum. Die DK macht beiWrel = 1 I 'Lrel eine Relaxationsstufe. In dieser Stufe sinddie dielektrischen Verluste maximal: Der Strom, der vomvergeblichen Zittern der Einstellrichtungen herrührt, isthier in Phase mit dem Feld, und es wird Joulesehe Wärmeerzeugt.6.2.4. MikrowelleDas E-Feld der Mikrowelle dreht die Wasserdipole hin undher. Damit es dabei Leistung P = Tw investiert, müssenDrehmoment T und Winkelgeschwindigkeit w in Phaseoder fast in Phase sein. Bei kleinen Feldfrequenzen wo istdas nicht der Fall, da erreichen die Dipole ihre Gleichgewichtsverteilungüber die Winkel rp, nach Boltzmann"' e -pE cos rpf(kT). Im Mittel müssen sie sich von der homogenenVerteilung aus um Arp = pEI(kT) drehen. Ähnlich wiebei der erzwungenen Schwingung muß wo gleich der Dauerr einer solchen Drehung sein. Nach Aufgabe 3.3.5 erzeugtdas Drehmoment pE eine Rotation mit w ~ pEI(31]V) (V:Molekülvolumen). Für Wasser mit V = 3 · 10-29 m3 folgt'i ~ 3 · 10-ll S, also Wo~ 5 · 109 S-I.6.2.5. MischungsregelWenn die Mischung so intim ist (z. B. bei vielen Legierungenoder Elektrolytlösungen), daß ein gemeinsames Leitungselektronen-oder Ionengas existiert, zu dem jede Mischungskomponenteihren Anteil stellt, wird die Mischungsregel fürdie Leitfähigkeit additiv: Volumenkonzentrationen c 1,cz = 1 - CJ, Ladungsträgerdichten n1, n2, die Mischunghat n = c1n1 + c2n2 = nz + C] (n1 - n2). Wenn die Leitfähigkeitproportional n ist, hängt sie ebenfalls linear von CJab. Das muß nicht so sein: In der Mischung kann die Beweglichkeitherabgesetzt sein (Struktur stärker gestört), was diea(CJ)-Kurve in der Mitte absenkt. Es wäre aber seltsam,wenn dabei für c1 = ! gerade a = y'0'1ö'2 herauskäme, wieman es oft findet. Es muß eine allgemeinere Erklärung geben.Wir nehmen also an, daß mikroskopische Bereiche jederKomponente erhalten bleiben. Sie sind regellos verteilt,d. h. ihre Widerstände sind wahllos parallel- und hintereinandergeschaltet.Es scheint zunächst aussichtslos, den Gesamtwiderstandeines regellosen Netzes aus praktisch unendlichvielen Widerständen bestimmen zu wollen, aber folgendeÜberlegung hilft weiter. Lägen alle Widerstände hintereinander,dann addierten sie sich, und der spezifischeWiderstand würde Q = c1Q 1 + cz(h Lägen sie alle parallel,dann addierten sich die Leitwerte, und die Leitfähigkeitwürde a = CJ a1 + c2az. In Wirklichkeit treten beideSchaltungen gleichberechtigt auf. (! und a müssen ebenfallsgleichberechtigt sein, d. h. als Funktionen von CJ vonder gleichen Bauart sein: Q = f( c1, Q1, Q2), wobei (! = Q1für c1 = 1 und Q = Qz für c1 = 0, gleichzeitig aber auch,mit der gleichen Funktion f, a = Q- 1 =f(ci,ai,az) =f(ci,Q! 1 ,Q2 1 ) = llf(ci,(lJ,Qz). Die einzige Funktion f,die diese Bedingungen erfüllt, ist f = a~ 1 a~ 2 • Diese Funktionwird erst linear, wenn man sie logarithmiert oder mit logarithmischera-Skala aufträgt; daher spricht man von einerlogarithmischen Mischungsregel, wo man eigentlich voneiner exponentiellen sprechen sollte. Bei der 1 : I-Mischungfolgt richtig a = y'O'Iö'2. Dieses Verhalten findet man besondersbei Gemischen organischer Flüssigkeiten und bei Pulvergemischen.Für die DK gilt bei den gleichen Stoffenmeist Ähnliches mit ähnlicher Erklärung (parallel- bzw. hintereinandergeschalteteKondensatoren, Kapazitäten bzw. reziprokeKapazitäten addieren sich). Materialkonstanten, diemit a oder e potenzmäßig verknüpft sind wie n = .ji, folgenauch der exponentiellen Mischungsregel, ebenso manchmalder E-Modul, die Kompressibilität, die Viskosität usw., dieein Vektor- oder Tensorfeld (Spannung) mit einem anderen(Deformation, Geschwindigkeitsgradient) verknüpfen.6.3.1. Schmutziges KabelIm inhomogenen elektrischen Feld um einen Draht, der aufeinem gewissen Potential liegt, werden Staubteilchen zuDipolen und wandern dorthin, wo das Feld stärker ist, alsozum Draht, unabhängig von dessen Polarität. Der Mittelpunktsleiterliegt normalerweise ungefähr auf ErdpotentiaL ·Im Gleichstromnetz liegt ebenfalls ein Draht normalerweiseauf Erdpotential und bleibt sauberer. Genauer wird dieseStaubteilchenwanderung beim Problem des elektrostatischenEntstaubers behandelt (Aufgabe 6.1.15).6.3.2. KabelschadenDer Isolationsfehler liege im Abstand x km vom einen Endeund sei durch einen Übergangswiderstand R3 zwischen Innenleiterund Erde dargestellt (sonst ist dieser Widerstand überalloo ). Die ganze Innenleiterlänge hat den WiderstandR1 + Rz = llcu · 6 · 10 5 cmll0- 2 cm 2 = 102 Q. Die TeilwiderständeR1 und Rz sind proportional den Längen x und6 - x. Ein Ohmmeter zeigt am einen Ende R1 + R3 = 80 Q,am anderen Rz + R3 = 90 Q. Es folgt R3 = 34 Q,R 1 = 46D,Rz = 56Q,alsox = 6RI/(R1 +Rz)km =2,7km.6.3.3. FeldrelaxationWenn der Strom nicht überall den gleichen Wert hätte, gäbees Stellen, wo z. B. mehr Ladung zu- als abfließt. Dort würdesich Ladung anhäufen und nach Q = div D das Feld verbiegen,und zwar so, daß es jenseits der Ladungsanhäufung, woder Strom nach Voraussetzung schwächer ist, größer ist alsdiesseits. Die Strominhomogenität löst also eine Feldverteilungaus, die bestrebt ist, diese Inhomogenität abzubauen.Das Gleichgewicht, gekennzeichnet durch konstantenStrom, ist stabil. Seine Einstellzeit ergibt sich so: Stromdichtej = aE; Poisson-Gleichung Q = div D = ee 0 div E;

Kapitel 6: Lösungen 1079Kontinuitätsgleichung (} = - divj; also (} = - divj =-O"divE = -(!O"I(~~o); jede Ladungsanhäufung klingtalso, wenn sie nicht ständig erneuert wird, ab wie(! = (!o e-t/r mit r = ~~ol a. Im Sonderfall, wo der Kreisdurch einen Kondensator unterbrochen ist, gilt im Zwischenraumnatürlich I = 0. Es gibt ein Paar von Stellen, wo sichpositive bzw. negative Ladung anhäuft. Die resultierendeSpannung U = Ql C ist der aufgeprägten Spannung entgegengerichtetund muß den Gleichstrom schließlich zum Erliegenbringen: Q =I= CU= CRi, also I = Io e-t/r mitr = RC. Das entspricht dem mikroskopischen r = ~~oiO".Ganz allgemein regelt sich die Feldverteilung auf konstantenStrom ein: An Stellen mit großem Leitwert ist dasFeld klein und umgekehrt.6.3.4. RCHat der Kondensator die Ladung Q, die Spannung U, undwird er durch einen Draht vom Widerstand R überbrückt,dann fließt Stro~ I = U IR = Ql (RC). Dieser Strom vernichtetLadung: Q =-I= -QI(RC). Diese Gleichung fürQ hat die Lösung Q = Q 0 e -t/r mit r = RC: Ladung, Spannungund Strom klinge.n exponentiell ab. Wenn der Draht zudünn ist, explodiert er in eindrucksvoller Weise. Ist es derGlühdraht einer Lampe, so ergibt sich ein Lichtblitz vonder Dauer RC, meist aber ebenfalls eine Explosion. JederSchalter hat eine Kapazität, die sich nach dem Öffnen auflädt,bis ihre Spannung U = Ql C die Netzspannung kompensiert.Erst dann hört der Strom auf. Dies Nachklappendes Stroms dauert ebenfalls die Zeit RC. Meist ergibt allerdingsdie Selbstinduktion L des Kreises ein längeres Nachklappen( r =LI R), denn die Kapazität eines guten Schaltersist klein ( ~ 0,1 pF, also mit R = 100, d. h.P = u 2 IR= 0,5kW: r ~ w- 8 s).6.3.5. VielfachmesserMan mißt direkt immer Ströme. S1 regelt den VorwiderstandR1, S2 den Parallelwiderstand Rz. Um Ströme über 10 11A zumessen, "shunte" man mittels Rz (Zehnerstufen bis 1 A, S1ganz unten). Messung der Spannung einer Quelle (Batterie,Netzgerät o. ä.) mit dem Innenwiderstand R oder desSpannungsabfalls an einem Abschnitt mit dem WiderstandR setzt R 1 » R voraus. Man hat Meßbereiche zwischen10mV und 1 kV. Der lOmV-Bereich ist identisch mit dem10 !!A-Bereich. Widerstandsmessung: S3 schaltet die Batterieein (gewöhnlich 1,5 V). Die Klemmen werden durchden zu messenden Widerstand R verbunden (ohne äußereSpannung!). Die Anzeige ist umgekehrt proportional demzu messenden R. Meßbereich bis 10 MO. Bei Strom- wiebei Spannungsmessung verhalten sich die Leistungen umgekehrtwie die Widerstände (R1 und Rzliegen parallel). Ob derInnenwiderstand richtig ist, erkennt man am einfachsten, indemman bei Spannungsmessung den Vorwiderstand verzehnfacht,bei Strommessung .den Shunt zehntelt, in jedemFall also auf den nächstunempfindlicheren Bereich schaltetund kontrolliert, ob der Ausschlag sich genau zehntelt,d. h. ob auf der veränderten Skala der gleiche Wert angezeigtwird. Das Amperemeter muß nach dem Weicheisen-, nichtnach dem Drehspulprinzip arbeiten oder einen Gleichrichterenthalten.6.3.6. KochplatteBei R1 = R 2 drei Stufen: Beide Widerstände hintereinander:nur R1 in Betrieb; beide parallel: Leistungen 1 : 2: 4. R1 istam häufigsten in Betrieb, nämlich in Stufe 2 alleine. In denanderen Stufen sind Strom und Leistung in beiden Widerständengleich. R1 wird zuerst ausfallen. Dies geschiehtwahrscheinlich dann, wenn seine Strombelastung am größtenist, also in Stufe 1 oder 2. Ich würde auf 1 tippen,denn da wird Rt noch teilweise durch die von Rz ausgehendeWärme mitbeheizt - Mit zwei Widerständen kann mannatürlich auch vier Schaltstufen bauen, falls die Widerständeverschiedene Werte haben, z. B. R1 > Rz. Wegen P =U 2 1R ist der Faktor (R!+Rz)IRJ=RJ/Rz=Rz·(R1 + R 2 )1(R 1R 2 ). Die zweite Gleichung ist offenbar überflüssig,die erste läßt sich so lesen: Der GesamtwiderstandR1 + R2 muß so in einen größeren (R1) und einen kleineren(R2) aufgeteilt werden, daß der größere zum kleineren sichverhält wie das Ganze zum größeren. Das ist die Bedingungder Teilung nach dem Goldenen Schnitt. Mit R2L R1 = x wird1 +x = x-1, alsox 2 - x = 1, d.h.,x = (1 ± VS)I2 = 0,618(bzw. -1,618). Die Leistungen verhalten sich wte1: 1,618:2,618:4,236. Manche kleinen Kochplatten sindso gebaut.6.3.7. BügeleisenBei 220 V muß durch eine 300 W-Heizwicklung ein StromI = 1,36 A fließen. Die Wicklung muß also den WiderstandR = 161 Q haben, realisiert durch ein Band vonA = 5 · 1 o-8 m2 Querschnitt und l = 20m. An 110 V angeschlossen,erhält das Bügeleisen nur den halben Strom, dennder Widerstand ist ja derselbe. Halber Strom und halbe Spannungergeben nur t der Nennleistung, also nur 75 W. DasEisen wird nicht heiß. Warum legt man es überhaupt auf300W? Die Bügelfläche (Sohle des Bügeleisens) ist etwa20 cm lang und 12 cm breit, hat also etwa 0,02 m 2 Fläche.Die Abstrahlung erfolgt nicht nur nach unten, also mußdie Fläche etwa verdoppelt werden: A' ~ 0,04 m 2 . Einesolche Fläche strahlt nach Stefan-Boltzmann die LeistungP = A' O"T4 = 300 W ab, wenn ihre TemperaturT = \1 PI (A' O") ~ 600 K ~ 330 °C ist. Solche Hitze verlangtman, wenn man z. B. feuchtes Leinen bügelt. Mit75W erreicht man nur um den Faktor \1174 = 0,7mal weniger.absoluteTemperatur, also 420 K ~ 150 °C. Damit dasBügeleisen auch bei der halben Spannung die Nennleistungerzielt, müßte doppelt soviel Strom fließen wie üblich. HalbeSpannung und doppelter Strom bedeutet! des Widerstandes.U ruschaltbare Heizgeräte benutzen bei 110 V also einfach tder Heizwicklungs länge. Da durch das auf 110 V umgeschalteteoder umgebaute Bügeleisen der doppelte Strom fließtund die vierfache Leistung pro Meter Wicklungslänge erzeugtwird, ist die Gefahr des Durchbrennens größer alsbei 220V-Betrieb. Die Kupferwicklung mit ihrem 24mal geringerenspezifischen Widerstand müßte 24mallänger oderdünner sein, was beides unbequem zu realisieren ist. Vor

1080 Lösungen zu den Aufgabenallem hängt der Widerstand von Manganin viel weniger vonder Temperatur ab; er nimmt wie bei fast allen Metallen mitsteigender Temperatur zu (Verstärkung der thermischen Gitterschwingungenhindert die Elektronen beim Wanderndurch das Gitter). Wenn R zu stark zunähme, würde wegenP = U 2 IR die Leistung immer geringer werden, je heißer dasEisen würde. Um das zu vermeiden, könnte man eine Halbleiterheizungverwenden, deren Widerstand bei Hitze geringerist (freie Elektronen werden hier erst durch thermischeAnregung erzeugt, die Leitfähigkeit (J 1 = 1 I Q steigt wie(J 1 = (J~ e-w /(kT) nach Boltzmann an). Dann besteht die entgegengesetzteGefahr: Beim heißen Eisen wird R so klein,und P = U 2 IR so groß, daß die Wicklung durchbrennenkönnte.6.3.8. Ohm-Puzzle IWir denken den Würfel ins Koordinatenkreuz gestellt undbezeichnen die Ecken durch ihre Koordinaten oder durchBuchstaben: A = (000), B = (001), C = (010), D =(011),E = (100), F = (101), G = (110), H = (111). Jede Kantehat den Widerstand R. (a) Spannung zwischen A und H:!Ac =!AB = ÜE = IFH =IcH = lvH =I 13 (Symmetrie).lBD = IBF = lABI2 (Verzweigung in B). SpannungsabfallUAH = R(2IAB + hv) = ~Rl, also RAH= ~R. (b) Spannungzwischen A und G: Punkte C, E, D, Falle auf gleichemPotential (Mittelebene). U = R · 2/Ac = R(21AB + IBv),IBD = IABI2, also I= 2/Ac +ÜB= iiAc, d. h. RAG= iR.(c) Spannung zwischen A und B: Etwas mühsamer. Ambestenschreibt man Iee = 1 an die Zeichnung und findet ausKnoten- und Maschenregel IcH= 2, Icv = 4, hc = 5,!AB= 14, RAB = iJ.R. Tetraeder: Nur ein Fall benachbarterPunkte A, B. Die anderen liegen auf U /2, also Icv = 0.I= lAB + 2/Ac, U = RIAB = 2RlAc, RAB = Rj2. Oktaeder:Punkte können benachbart sein (l) oder gegenüberliegen(2). (2): Die übrigen vier Punkte haben gleiches Potential,also zerfällt die Schaltung in vier parallele Zweige mit je2R: RAF =_Rp. (1): Ähnlich wie beim Würfel, Fall c, findetman RAB - TI R.6.3.9. Ohm-Puzzle IIZwischen A und A' messe man den Widerstand R für einesehr lange Leiter. Aus der Tatsache, daß überhaupt etwasEndliches herauskommt, d. h. daß der Widerstand konvergiert,folgt, daß man oben ein weiteres Glied anlötenkann, ohne R zu ändern. Man hat dann ja aber ein Rz parallelzuR geschaltet und vor die Kombination noch ein R 1 gelegt.Das ergibt den Widerstand Rt + RR2/(R + R2). Da derwieder gleich R ist, folgt R2 - RtR = R1R2, also R =~ (R1 +V Ri +4RtR2)· Dieses R ist auch der Widerstand,mit dem man die kurze Leiter abschließen muß, damit siesich verhält wie eine lange. Bei R2 = 2R 1 wird R = 2R 1.An jeder Sprosse verzweigt sich der Strom durch denHolm im Verhältnis 1/Rz (Sprosse) zu 1/R (Rest der Leiter).Die entsprechenden Ströme und damit auch die Spannungennehmen also von Sprosse zu Sprosse um den FaktorR 2 j(R + R2 ) ab. Damit sich die Spannungjedesmal halbiert,nehme man Rz = 2RJ.6.3.10. Ohm-Puzzle 111Da in sehr großem Abstand von den betrachteten NachbarpunktenA und B die Spannungsunterschiede beliebig kleinwerden, ändert sich an den Spannungs- und Stromverhältnissennichts, wenn wir rings um das Gitter sehr weit draußeneinen widerstandslosen Draht löten. Wir klemmen unsereSpannungsquelle zunächst an diesen Draht und andererseitsan Punkt A und regeln die Spannung so, daß bei A 1 Amperein das Gitter hineinfließt. Von A gehen symmetrisch vierDrähte aus, also fließt von A direkt nach B genau ! Ampere.Jetzt polen wir die Spannung um und legen sie zwischenAußendraht und B. Wieder fließt !A von A direkt nach B.Wenn wir nun sämtliche Spannungen und Ströme, die in diesenbeiden Fällen bestanden haben, überlagern, kommt wiedereine vernünftige Situation heraus. In ihr fließt 1 A bei Ahinein, bei B heraus. Der Außendraht liegt auf mittlerem Potential.Von A direkt nach B fließt~ A. Da dort 1 Q liegt, ist dieSpannung zwischen A und B ~V. Diese zieht im ganzen 1 A,also ist der Widerstand des ganzen Gitters ~ Q. Beim Dreiecksgitterkreuzensichjeweils sechs Drähte, beim Sechseckgitterje drei. Der Gesamtwiderstand ergibt sich daher aus derentsprechenden Überlegung zu i Q bzw. ~ Q. Einen Fünfeckzaungibt es nicht, denn mit Fünfecken kann man die Ebenenicht lückenlos ausfüllen. Ganz analog läßt sich ein kubischesGitter behandeln: Wir umschließen es durch ein Blech .in sehr großer Entfernung und schicken bei A einen Stromvon 1 A hinein. Nach jeder Seite fließt ~ A weg. Überlagerungmit umgepolter Spannung, die bei B angelegt wird, lieferti A und ! V zwischen A und B, also i Q.6.4.1. ElektronenschleuderIn der rotierenden Scheibe stellt sich im Gleichgewicht einRadialfeld E ein, so daß Feldkraft und Zentrifugalkraft aufdie Leitungselektronen einander aufheben: eE = moir. Entsprechendesgilt für die Differenz der Potentiale zwischenScheibenrand und -mitte: U=!o}r 2 mje=~mv 2 1e. BeiV = 100 m/s erhält man u = 3 . 10-8 V. So kleine Spannungenwerden natürlich leicht z. B. durch Thermospannungenan den Schleifkontakten verfälscht, selbst bei sorgfältigerWahl identischer Materialien. Einige Hundertstel K genügen.6.4.2. Tolman-VersuchDie Spule sei aus einem Draht (Gesamtlänge L, QuerschnittA, Leitfähigkeit (J) gewickelt und habe vor der Bremsung dieUmfangsgeschwindigkeit v gehabt. Die Bremsung iJ erzeugtim Draht ein Feld E = iJmje. Die GesamtspannungU=EL=iJLm/e treibt den Strom l=U/R=mVA(Jje.Während der Bremsung auf v = 0 wird die LadungsmengeQ = J I dt = mVA(J / e transportiert. Sie wird ballistisch gemessenund sollte möglichst groß sein. Mit Kupfer (fast sozerreißfest wie Stahl, also mit fast v = 100 m/s drehbar,aber sechsmal besser leitend als Stahl) erreicht man beiA = 10cm 2 etwa Q = 10-3 C. Das läßt sich mit einem ballistischenGalvanometer leicht messen. Auf den Verlauf desBremsvorganges kommt es nicht an, solange er kurz gegendie Schwingungsdauer des Galvanometers ist.

Kapitel 6: Lösungen 10816.4.3. Wiedemann-Franz-GesetzWenn der Stab die Länge L und die elektrische Leitfähigkeit(J hat, fließt die Stromdichte j = (JU I L, und es wird eineJoulesehe Leistungsdichte jE= (JU2 I L 2 als Wärmequelldichtefrei. Die Wärmeleitungsgleichung heißt also c(!T =2T" + (JU 2 I L 2 . Im stationären Fall, wenn t = 0 gewordenist, ergibt sich das T-Profil aus T" = -(JU 2 I(2L 2 ) alsT=Tm-!:il(JU 2 1(2L 2 ). Dabei ist Tm die Temperatur inder Mitte, wo aus Symmetriegründen T' = 0 ist, x ist derAbstand von der Mitte. Aus der T-Differenz zwischen Mitteund Stabende AT= (JU 2 I(8J...) läßt sich das Verhältnis vonelektrischer und Wärmeleitfähigkeit leicht ablesen. Für diemeisten Metalle ergibt sich bei U = 100 V eine T-Differenzvon etwa l'K.6.4.4. EssigsäureKonzentrationen (in mol/1): Essigsäure insgesamt co, H-Ionenund Azetationen CH, undissoziierte Säure co- CH· DasMassenwirkungsgesetz liefert c~ = ~~:(co- CH), alsoCH = ,,A~~:2 + Kco- !~~:(die - -Wurzel hat keinen Sinn).Näherung für große und kleine co: CH ~ v'KCo für co » K,CH ~ co für co « K. Dissoziationsgrad cHI co : yKfCO fürco » K, 1 für co « K. Mit (J = ef1n, also der ÄquivalentleitfähigkeitA = ef1NAI1 000 erhält man für co -+ ~ A = 0,33.Der Knick zwischen A = const und A "'c0 1 2 liegt umCo = 10-5 mol/1. Für co = w-2 mol/1 z. B. folgtA = 0,0166, wie gemessen.6.4.5. Debye-Hückel-LängeDie Debye-Hückel-Länge nimmt mit wachsender Konzentrationab wie d"' c- 1 1 2 • Wenn n die Teilchenzahldichte derIonen eines Vorzeichens ist, gilt d = J eeokT I ( e2n ). Fürc = 1 mol/1, d. h. pH = 0, ist n = 6 · 10 20 cm-3 undd = 4,4A, für pH = 7 ist d = 1,4j.lm, für pH = 14 ergäbesich, wenn keine anderen Ionen als H+ da wären,d = 4,4 mm. Diese Werte bestimmen z. B., ob zwei Ladungenauf einer molekularen Struktur einander beeinflussen.Wenn ihr Abstand größer ist als d, tun sie es nicht, dennsie sind durch die Gegenionenwolken abgeschirmt. - Aufden ersten Blick scheinen die Gegenionenwolken aus demgleichen Grund zu verhindern, daß ein äußeres Feld überhauptauf die Ionen einwirkt, sie z. B. zum elektrolytischenWandern bringt. Aber die Gegenionenhülle wird teilweiseabgestreift, um so stärker, je schneller sich das Zentralionbewegt.6.4.6. Elektrischer Unfall9 gn von Ionen mit den relativen Molmassen 23 bzw. 35,5bedeuten 0,15 mol/1, also Teilchenzahldichten von je1020 cm-3 für Na+ und CI- . Mit den Beweglichkeiten ausTabelle 6.4 folgt eine Leitfähigkeit (J = en(Jl+ + fl- ) =1,8 · 10- 2 n- 1 cm-1. Knochen leiten sehr viel weniger.Am gefährlichsten ist der Hand-Hand-Schlag, weil derStrom direkt durch den Brustkorb geht und zum Herztod(Herzflimmern, falsche Schrittmachersignale) führen kann,besonders bei muskel- oder fettbepackten Handgelenken(großer Widerstand hinter kleinem bestimmt den Gesamt-widerstand). Schätzung: Fleischquerschnitt der Engstellen10cm 2 , Länge 150cm, also R ~ 1 kQ. Bei nassen Händenkönnen schon llO V gefährlich sein. Vorbeugung: EineHand in die Tasche. Der Schlag von der Hand zu den geerdetenFüßen ist trotz etwas kleineren Körperwiderstandsharmloser, außer natürlich barfuß auf nassem Boden. Tauchersind bei Kabelarbeiten unter Süßwasser besonders gefährdet:Ihr Körper schwimmt als mittelguter Leiter in einemrelativ schlechten, der aber in sehr dünner Schicht den Übergangswiderstandpraktisch zu Null macht.6.4.7. DissoziationsgleichgewichtDas allgemeine Reaktionsschema heißt AH pK I 00,1 K pK + I 101 11 0K pK 112lOK pK - 1 1/ 11 0» K < pK K/ H « I 0++Das Massenwirkungsgesetz drückt aus, daß der Zerfall vonAH monomolekular verläuft (Zerfallsrate "' AH), die Rekombinationvon A und H bimolekular (Rekombinationsrate"'A · H). Im Gleichgewicht müssen beide Raten gleich sein.6.4.8. i oder nicht-i .Zur Lösung der allgemeinen Wellengleichung Au= c- 2 üfür eine Funktion u(r, t) kann man Orts- und Zeitabhängigkeitim "Separationsansatz" trennen: u(r, t) = v(r) w(t). DieWellengleichung wird dann w Av = c-2vW oder Avl v =c-2wjw. Damit das für aller und t gelten kann, müssen beideSeiten dieser Gleichung gleich einer Konstanten sein:Avlv=a = c- 2 wjw oder Av = av und w = wafc 2 , d.h.w = wo e ±cy'at, womit a identifiziert ist: Wenn a < 0, ista 2 = oi / c 2 = 7?, wenn a > 0, folgt exponentielles AboderAnklingen. Die Gleichung für den Ortsanteil v, nämlich!J.v = av, ist bei a < 0 identisch mit der Gleichung für dieOrtsabhängigkeit der Wellenamplitude. Bei a > 0 ist esdie Poisson-Boltzmann-Gleichung für Potential oder Teilchenzahldichte;dann ist a als noe 2 I ( eeokT) zu deuten.Die Lösungen der beiden Gleichungen unterscheiden sichalso nur um den Faktor vCT = i. Im ebenen Fall v" = av

1082 , Lösungen zu den Aufgabenfolgt v = vo ev'ax, y'a = ik für die Welle, y'a = r0 1 für Debye-Hückel.Bei Kugelsymmetrie wird 11v = Vrr + 2vrlr =av gelöst durch V= vo evar Ir (Verifikation durch Einsetzen).Die Amplitude der Kugelwelle geht wie eikr Ir, dieGegenionenkonzentration um ein Ion des anderen Vorzeichenswie e-.Jlir Ir. Im zylindrischen Fall/1v = Vrr + vrlrgibt es keine so einfache Lösung, auch hier unterscheidensich aber die beiden Fälle nur durch ein i im Exponenten.6.4.9. ElektrophoreseWenn man in der Schicht ein Feld E erzeugt, so daß eineStromdichte j = (JE fließt, wird in der Schicht eine Leistungsdichteq =jE= (JE 2 als Wärme freigesetzt. Diesekonstante Quelldichte bedingt nach der Wärmeleitungsgleichungin der Schicht ein Temperaturprofil, so daßq = AT". Wenn nur an der Grenze mit dem Kühlblock einWärmestrom abgeführt wird, also ein Temperaturgradient besteht,dagegen nicht an der anderen Seite der Schicht, wo siean Luft grenzt, ergibt sich ein Profil in Form einer HalbparabelT = To + ! T" x 2 = To + ! qx 2 I}, (x: Abstand vonder an Luft grenzenden Geloberfläche). Wenn der Kühlblockalle Joule-Wärme abführen kann, ist das Gel, wo esan Luft grenzt, um 11T = !qd2 I A wärmer als der Kühlblock.Wegen dieser d 2 -Abhängigkeit macht man das Gelso dünn wie möglich. Typische Werte sind E;:::; 5 000 V/rn,(J;:::; 1 n-1 m- 1, ),;:::;0,3 wm-1 K- 1, also q;:::;2 · 107 wm-3 ,11T;:::; 3 · 10 7 d 2 (d in Meter). Kühlt man beiderseits, erhältman eine um die Gelmitte symmetrische Parabel als T­Profil. Die Differenz zwischen maximaler (hier in der Mitte)und minimaler Temperatur ist dann nur ~ so groß wiebei einseitiger Kühlung. Abgesehen von der Gefahr des"Schmorens" haben dicke Gelschichten den Nachteil, daßdie Banden, in denen eine bestimmte Substanz konzentriertist, in den verschiedenen Tiefen der Gelschicht verschiedeneBeweglichkeit haben. Es ist also eine um so schärfere Auflösungund Trennung möglich, je dünner die Schicht ist. DieBeweglichkeit eines Moleküls ist aus mehreren Gründentemperaturabhängig: (1) Der Ladungszustand des Molekülsfolgt einer Boltzmann-Verteilung mit der Abtrennarbeitder Ladung (hier meist Protonen) im Exponenten. Für vieleionisierbare Molekülteile wie COOH- oder NHz-Gruppen istdiese Abtrenn- bzw. Anlagerungsarbeit so groß, daß dieseGruppen bei mittlerem pH praktisch alle entweder geladenoder neutral sind. Interessant für die Trennung ist aber oftgerade der pH-Bereich, wo das nicht der Fall ist, bzw.sind solche Gruppen, deren Ladungszustand in der Schwebeist. Ihr Ionisierungsgrad kann sich bei einigen Grad Temperaturunterschiedleicht um einen Faktor 2 ändern. Dazu mußdie Abtrennarbeit in der durchaus üblichen Größenordnungvon knapp 1 e V liegen. (2) Außer vom Ladungszustanddes Moleküls hängt die Beweglichkeit von der Ausdehnungder Gegenionenwolke ab, die sich um die geladenen Gruppenversammelt, also von der Debye-Hückel-Länge. Diese istebenfalls T-abhängig, wenn auch viel schwächer, nämlichr"" T 1 1 2 • Im einzelnen sind die T-Abhängigkeiten der Beweglichkeitenoft sehr kompliziert.6.5.1. KondensationskeimeWassermoleküle mit ihrem hohen Dipolmoment lagern sichum die Ionen und wenden ihnen, soweit wie möglich, ihreentgegengesetzt geladenen Seiten zu. So entsteht ein Aggregat,das von außen mit der gleichen Polarität geladen erscheintwie das Ion und das daher weitere Dipolmolekülebinden kann. Quantitativ führt die Kontinuumsbetrachtungweiter. Man schreibe die Energieanteile eines Tröpfchensvom Radius r auf: Volumenenergie Wv = - ~ 1rr 3 Q}, (}, spezifischeKondensationsenergie in J/g, negativ verglichenmit der Energie im Dampfzustand); OberflächenenergieWOb = 47rr 2 (J ((J Oberflächenspannung); Coulomb-EnergieWel = Q 2 I ( 4m:or) ( Aufladung Q; W positiv als Abstoßungsenergie).Um zu entscheiden, ob und wie sich mehr Wassermolekülean das Tröpfchen anlagern, muß man versuchsweisedie Masse öm anlagern, die den Tropfenradius um Örwachsen läßt (om = 47rQr 2 or) und den spezifischen Energiezuwachsdabei ausrechnen:oW Iom = oW lor · 1l(47rQr 2 )= -}, + 2(J I (Qr) - Q 2 I (167r 2 t:oQr 4 ).Ohne Ladung erhält man eine Hyperbel, die bei kleinem rsehr hoch geht: Das Wachsen sehr kleiner Tropfen bringt einensehr viel geringeren Energiegewinn als normalerweise,ist also nur bei riesiger Übersättigung möglich. Schon beiQ = e dage en erhält man eine Kurve mit einem Maximumbei r =3e2 I ( 81r2 t:o(J) ;:::; 8 Ä und einer Höhe von 170 J/ g,d. h. einer Reduktion der Kondensationswärme um höchstensetwa 10%. Diese Hürde wird schon bei geringfügigerÜbersättigung überwunden. In der Wilson-Kammer erzeugtman solche Übersättigungen durch adiabatische Entspannung.Die Niederschlagsbildung wird durch künstliche Ionenbildungangeregt: Einstreuen leicht photochemisch ionisierbarerSalze wie Silberjodid, direkte Luftionisierung durchStrahlung, besonders y-Strahlung und sehr schnelle Elektronen.6.5.2. Akku-GewichtIdealerweise wird ein Molekül Pb02 oder Pb durch Übergangeiner Elementarladung in PbS04 verwandelt (entladen). InWirklichkeit ist nur etwa! davon ausnutzbar. I kg Bleiplatte(Mittel zwischen Pb und Pb0 2) hat 4,3 mol, d. h. 2,6 . 1024Moleküle, erlaubt also idealerweise den Übergang von4,1 · 105 C ;:::; 110 A h, realerweise nur von 35 A h. Mit derZellenspannung von 2,02 V und fast dem gleichen Gewichtan Säure kommt man auf 30-40 Wh/kg.6.5.3. AnlasserBei einem 30kW (40 PS)-Motormuß der Anlasser etwa 3 kWaufbringen. Der 12 V-Batterie werden dabei 250A entnommen(Verlustfreiheit vorausgesetzt). Damit im Kabel höchstensRI = 0,5 V Spannungsabfall erfolgen, darf sein WiderstandR höchstens 4 · 10- 3 Q sein. Dies erfordert bei 2mLänge einen Kupferquerschnitt A = QliR ~ 16mm2. Ineinem Kabel von 1 mm 2 Leiterquerschnitt und 2m Längewürden bei 250 A nicht weniger als 8,5 V abfallen. Auch

"Kapitel 7: Lösungen 1083eine gesunde Batterie zeigt diesen Effekt. Sie hat nämlicheinen Innenwiderstand (s. u.), der bewirkt, daß bei kräftigerBelastung die Klemmenspannung absinkt. Die Lampen, dieparallel zum Anlasser liegen, erhalten dann weniger Leistung.U nimmt mit I offenbar linear ab: U = Uo - 0,01 I.Bei I = 1 200 A würde die Spannung auf Null absinken.Dies ist der größte Strom, den man entnehmen kann. U nimmtab, weil am Innenwiderstand Ri der Batterie ein SpannungsabfallRil erfolgt, der von der Leerlaufspannung Uo abzuziehenist: U = Uo- R;l. Die Neigung der U(I)-Geradenist dieser Innenwiderstand Ri = 0,01 Q. I= Uo/(R + Ri),U = Uo- Ril, Verbraucherleistung P = IU = UJR/(R+Ri) 2 . Differenzieren nach R zeigt, daß maximale Leistungbei R = Ri entnommen wird, und zwar p max = u& I ( 4Ri)·25 Gew.-% H2S04 oder 250 gll bedeuten 2,5 mol!l, d. h.eine Teilchenzahldichte n = 1,5 · 1027 m-3 an S04-Ionen,3 · 10 27 m-3 an H-Ionen. Die Leitfähigkeit der Lösung ist

IIIIII1084 Lösungen zu den Aufgabenponente von rot b erkennt. Zusammengefaßt: div(a x b) =-a · rot b + b · rot a. Speziell bei konstantem a istdiv(a x b) = -a ·rot b. rot (a x b) ist noch etwas mühsamerauszurechnen. Man findet rot (a x b) = a div b­b div a - a · gradb + b · grada. Hierbei ist grada eineMatrix, deren i-ter Zeilenvektor der gewöhnliche Gradientvon a; ist. Wenn a konstant ist, bleiben davon offensichtlichnur die Glieder a div b- a · gradb.7.1.6. Vektoranalysis IINach Aufgabe 7.1.5 bleibt bei konstantem v = (v,O,O) nurvgradE = vkEi,k = v8E/8x übrig. Der Zeit dt entsprichtein Vorrücken um dx = v dt, also eine FeldänderungdE = dx8Ej8x. Daher ist vdiv E +rot (Ex v) die Änderungsgeschwindigkeitvon E infolge dieses Vorrückens.Das gilt auch bei allgemeiner Richtung von v. In der Hydrodynamikergibt sich die Beschleunigung, die ein Flüssigkeitsteilchenerfährt, aus der "ortsfesten" Beschleunigung 8v / 8tplus der Änderung infolge Strömens in ein Gebiet mit anderemv-Wert: vgrad v = vdivv +rot (v x v). Das ist der Beschleunigungsanteil,der in Abschn. 3.3.4 als az bezeichnetwurde. Für eine inkompressible Strömung ist div v = 0,sonst würde sich die Dichte ändern. In diesem Fall istaz =rot (v x v).7.1.7. Relativität der FelderGestrichene Größen beziehen sich auf das Bezugssystem desRaumschiffes, ungestrichene auf das ,,ruhende". Die zeitlicheB 1 -Änderung im Raumschiff setzt sich zusammen aus derungestrichenen und einem Anteil infolge der Bewegun.~ inein Gebiet mit anderem B (vgl. Aufgabe 7.1.6): B =iJ + vdiv B +rot (B x v). Entsprechend für D: iJ' =iJ + vdiv D +rot (D x v). div B ist überall 0, div D = g.Im Raumschiff gelten die Maxwell-Gleichungen:• I •rot H 1 = D + j = D + QV +rot (D x v) + jrot E = -B = -B - rot B x v .I • I • ( )Soweit wie möglich in ungestrichenen Größen ausgedrückt,heißt dasrot (H 1 + v x D) = D+ j+ gv rot (E 1 - v x B) = -iJ.Vergleich mit den Maxwell-Gleichungen des Ruhesystemszeigt: (1) Zur Stromdichte j des Leitungsstroms, den beideBeobachter messen, kommt für den ruhenden noch derKonvektionsstrom QV. Wenn Teile des Raumschiffs geladensind, repräsentieren sie natürlich für das Ruhesystem eineStromdichte gv. (2) E = E 1 - v x B, H = H 1 + v x D. StattEist also E 1 = E + v x B das im Raumschiff wirksame Feld.Die Ladungen im Raumschiff unterliegen nicht nur derCoulomb-Kraft eE, sondern einer Zusatzkraft ev x B. DieseLorentz-Kraft ist kein neues Postulat, sondern wächst automatischaus der Coulomb-Kraft heraus. Bei v ~ c sind nochrelativistische Korrekturen anzubringen (Division durchy'1 - v2 jc2). Überhaupt ergeben sich diese Transformationenin der Relativitätstheorie ganz zwangsläufig (vgl. Aufgabenzu 15.3).7.1.8. Space talkDie Rakete fliege mit v relativ zu uns. Der Funkspruch desAstronauten könnte so lauten: "Da fliegt ein geladenes Teilchenmit der Geschwindigkeit -v. Es herrscht ein MagnetfeldB. Trotz der Lorentz-Kraft -ev x B fliegt das Teilchengenau geradlinig. Also muß außer dem B-Feld noch einE-Feld senkrecht dazu und zur Flugrichtung des Teilchensherrschen, so daß die Coulomb-Kraft eE die Lorentz­Kraft -ev x B genau kompensiert. Dieses Feld muß alsoE = v x B sein. Tatsächlich: In meiner Rakete werdengeladene Teilchen von diesem E-Feld alle beschleunigt."Für uns ist die Beschleunigung der Teilchen in der Raketerelativ zu dieser auch beobachtbar. Wir erklären sie nichtdurch ein E-Feld, sondern durch die Lorentz-Kraft ev x B,die diese mitfliegenden Teilchen ja erfahren müssen. Auchso ergibt sich wieder, daß für den Raumfahrer aus dem B­Feld ein E-Feld E = v x B herauswächst.7.2.1. KreisstromFür den Mittelpunkt der Kreisschleife vom Radius a ist imBiot-Savart-Gesetz für alle Leiterelemente rx = 90° undr = a, also H = 27rla/(47ra2 ) = I/(2a). Das Feld zeigt inAchsenrichtung, und zwar nach der Definition des Vektorproduktsso, daß der Strom, in Feldrichtung gesehen, im Uhrzeigersinnumläuft. In einem Achsenpunkt im Abstand r 1 vonder Kreismitte ist immer noch rx = 90°, aber r = v r 1 2 + a2also H=!Iaj(r+a 2 ); bei r 1 »a ist H=!Ia/r 12 . Dieübrigen Fragen werden in der Lösung zu Aufgabe 7 .4.1mitbeantwortet.7.2.2. Kurze SpuleBeim Rohr der Wandstärke d, umflossen von der Stromdichtej, ist jd der "Amperewindungszahllm" ni gleichzusetzen.Auf dem Rohrabschnitt dr fließt der Strom I = dj dr. DieserAbschnitt liefert nach Biot-Savart einen BeitragdH = !dja 2 drj(a2 + r2) 3 1 22 .Man muß nämlich nur die axiale Komponente nehmen, alsodie Feldstärke von (7.38) noch mit dem Richtungssinusaj ya2 + r2 multiplizieren (Abb. 7 .23). Der Ausdruck dHmuß über r von -L/2 bis L/2 integriert werden. DaJ(a2 + r2)- 3 1 2 dr = ra-2(a2 + ?)-l/Z ist, ergibt sichschließlich für das Feld in der Spulenmitte H =jdL/vL2 + 4a2 =NI jvL2 + 4a2, wo N = nL die Gesamtwindungszahlist. Für L » a (lange Spule) ist H = nl, fürL « a und N = 1 (Kreisring) ist H = I/ ( 2a). Denkt mansich die kurze Spule in zwei Hälften zerschnitten, dannleistet jede davon den Beitrag H = NI/ (2vL2 + 4a2 ) zumFeld in der Mitte. Mit ihrer Länge I! = L/2 erzeugtalso jede S ule in ihrer Endflächenmitte ein Feld H =NI/ J!2 + 16a2.7.2.3. Bohr-MagnetonNach Aufgabe 7.2.1 herrscht im Mittelpunkt einer Kreisschleifevom Radius r, durch die der Strom I fließt, dasMagnetfeld H = I/(2r). Wenn das Feld in der Kreisebenediesen Wert bis zum Draht behält (was ungefähr zutrifft),

Kapitel 7: Lösungen 1085ergibt sich ein Magnetfluß durch die Schleife vonrJJ = JloHA ~ Jlol! 1rr. Auf der Achse kann man sich etwaum r entfernen, bis sich dieses Feldlinienbündel wesentlichauflockert. Also ist das magnetische Moment etwa das einerSpule der Länge 2r, d. h. Pm ~ lf>2r I Jlo ~ 17rr 2 = JA. Wennein Elektron .im Atom die Umlaufsfrequenz v hat, stellt esim Mittel den Strom I = ev dar. Das magnetische Momentdieses Kreisstroms ist Pm = 1revr 2 . Aus der Drehimpulsbedingungmvr = nh im Bohrsehen Modell folgt v =vl(2u) = nhl(21rmr 2 ), also Pm= nehl(2m) = n · 1,2·10-29 V s m. Das ist die Definition des Bohrsehen Magnetons:Eine Elektronenbahn mit der Hauptquantenzahl n hatein Moment von n Bohrsehen Magnetonen. Allgemein überträgtsich so die Drehimpulsquantelung in eine entsprechendeQuantelung der magnetischen Momente.7.2.4. ErdfeldmessungDie Nadel vom magnetischen Moment p steht im Feld Hunter dem Drehmoment T = p x H. Bei kleiner Auslenkung(sin rx ~ rx) bedeutet das ein elastisches Rückstellmoment,das zu Schwingungen mit der Kreisfrequenz w = ypii7Jführt. Um H, genauer seine Horizontalkomponente, absolutzu messen, muß man p und 1 kennen. 1 läßt sich berechnenoder aus der Schwingungsdauer ohne Feld bei Aufhängungan einer Feder bekannter Torsionssteifigkeit bestimmen. pwird meist gemessen, indem man das Feld der untersuchtenNadel in seiner Wirkung auf eine andere Magnetnadel mitdem Erdfeld vergleicht. Die zweite Nadel (N 2) wird frei aufgehängt,die erste (NI) in entsprechender Orientierung soweit an N2 herangeschoben, bis N2 umschlägt. In diesem Abstandr istH = 2pl(47rjt 0 r 3 ). Man hat also Hip, der Schwingungsversuchlieferte Hp, so daß jetzt H und p einzeln bekanntsind. Einfacher ist die Vergleichsmessung z. B. mitdem Feld im Innem einer Spule, das leicht direkt als Nmanzugeben ist: Die Schwingungsdauern der Nadel verhaltensich wie die Werte H-1/ 2 .7.2.5. ElektromagnetDa im Fall des Permanentmagneten kein "echter", d. h.makroskopisch sichtbarer Strom fließt, muß rot H verschwinden.Da die H-Linien außen alle von N nach S laufen,müssen sie das im Eisen auch tun, und zwar so, daßdas Umlaufintegral Null wird, ganz im Gegensatz zur Luftspuleund auch der Kemspule, wo die H-Linien die Drähteeinsinnig umkreisen. Dieses "falsch herum" laufende H imPermanentmagneten nennt man manchmal demagnetisierendesFeld Hct. B dagegen ist immer divergenzfrei, das bei Seintretende Bündel von B-Linien läuft also bei allen drei Magnettypenauch im ,,richtigen" Sinn durchs Innere, bis es beiN wieder austritt. Im Permanentmagneten ist B = JlJloHnicht anwendbar, Jl müßte sogar negativ sein. Wir sind aufdem "nordwestlichen" Bogen der Hysteresisschleife, wo Hnegativ, B positiv ist. Wenn A und L Querschnitt und Dickedes Luftspalts sind, A' und L' Querschnitt und Länge desEisens, gilt H'L' = -HL (rot H = 0) und B'A' =BA(div B = 0), B = JloH, also das Eisenvolumen V'= L'A' =VB 2 I (JtoH' B'). Für die Tragkraft des Magneten kommt esauf das Feld im Luftspaltvolumen V an, genauer auf das"Energieprodukt" VB 2 I Jlo· Damit dies bei gegebenem Eisenvolumenmöglichst groß wird, muß das Produkt H'B' imEisen maximal sein. Die entsprechende optimale Magnetisierungfindet man aus der Hysteresiskurve aus der Bedingung,daß das einbeschriebene Rechteck maximale FlächeH' B' haben muß.7 .3.1. Weidezaun6 V sind völlig harmlos. Man merkt sie nur an der feuchtenZunge zwischen nahestehenden Polen einer Batterie. Alsomüssen am Weidezaun höhere Spannungen liegen. Wermal einen angefaßt hat, weiß, daß solche Spannungen nurkurzzeitig periodisch dranliegen. Vor allem bitte nie draufpinkeln!Transformieren kann man nur Wechselstrom.Man muß also den Gleichstrom aus dem Akku periodischunterbrechen. Das tut der Unterbrecher im Kasten, ein Schalter,der periodisch auf- und zugeht. Bei jedem Öffnen undSchließen erfolgt eine plötzliche Stromänderung, die ineiner Spule oder einem Trafo eine Spannung induziert. Genausomacht der Unterbrecher im Auto aus dem Gleichstromdes Akkus die hohe Zündspannung, die einen ebenfalls fastumschmeißen kann. Das periodische Öffnen und Schließenkönnte ein Motor besorgen wie im Auto. Es geht aberauch so: Ein Bimetallstreifen wird heiß, biegt sich also,wenn er von Strom durchflossen wird. Ohne Strom kühlter ab und wird wieder gerade. So funktionieren die meistenBlinker in unseren Autos.7 .3.2. Zebrastreifen im MeerIn der Nähe eines ausgedehnten Körpers mit der Suszeptibilitätx (Erzlager, Schiff o. ä.) ist die Normalkomponente desB-Feldes der Erde um den Faktor 1 + x größer als anderswo.B j_ tritt nämlich wegen div B = 0 stetig durch die GrenzflächeErz-Luft, und im Erz ist B um den Faktor 1 + xgrößer als im nichteisenhaltigen Gestein; an der Grenzflächezwischen diesem und dem Erz herrscht rot B proportional zurDichte der gebundenen Oberflächenströme, also ist B im Erzgrößer als draußen. In größerem Abstand wirkt das Objektwie ein magnetischer Dipol. DerB-Unterschied gegen dasunverzerrte Feld nimmt mit d2 lr2 ab, wo deine charakteristischeAbmessung des Objekts ist: AB~ xBod 2 1?. EinU-Boot mit Eisenrumpf (X~ 10 3 , d ~10m) ergibt nochin mehr als 10 km Abstand ein merkliches AB ~ 10-9 T,ein Erzlager mit x ~ 1, d ~ 100 m fast ebensoweit, einmächtiger Basalteinschluß (X ~ 10- 2 ) etwas weniger. Diefossile Magnetisierung entspricht ähnlichen Größenordnungen.Die Entdeckung, daß die Streifen wechselnder Magnetisierungsrichtungganz regelmäßige "Zebrastreifen" auf demOzeanboden parallel zu den mittelozeanischen Rückenbilden, hat zur Wiederbelebung der Kontinentalverschiebungstheoriein der Plattentektonik beigetragen.7 .3.3. Trafo-BlecheDie Bleche müssen in B-Richtung liegen, damit die Ströme,die senkrecht dazu fließen, unterdrückt werden. EinBlechquerschnitt der Dicke d und der Länge a umfaßt

1086 : Lösungen zu den Aufgabeneine Flußänderung

Kapitel 7: Lösungen 1087Atome oder Moleküle mit ungepaarten Elektronen sind alsoparamagnetisch. Dabei handelt es sich i. a. um die gleicheElektronenpaarung, die auch die chemische Bindung bewirkt.Daher sind Moleküle mit abgesättigten Bindungenmeist diamagnetisch. Sauerstoff zeigt durch seinen Paramagnetismus,daß er eigentlich aus "Radikalen" besteht. Atomemit abgeschlossenen Elektronenschalen und -unterschalensind ebenfalls diamagnetisch.7 .4.4. Metall-ParamagnetismusIm Magnetfeld zerfällt der vorher einheitliche Potentialtopfder Leitungselektronen in zwei Teiltöpfe, einer für die Elektronenmit parallel zum Feld eingestellten Spins, der anderefür die mit der anderen Spinrichtung. Beide Töpfe habenidentische Form, nur sind sie um die doppelte Dipolenergie2PmBB gegeneinander verschoben, wobeiProB das magnetischeMoment des Elektronenspins (ein Bohr-Magneton) ist.Da in einem Metall das Leitungsband nicht vollbesetzt ist,werden Elektronen aus dem höheren in den niederen Topfübergehen, und zwar durch Umklappen ihrer Spins in dieFeldrichtung. Dies geschieht so lange, bis die beiden Töpfebis zur gleichen Höhe gefüllt sind. Dann sitzen so viel mehrSpins im feldparallelen Topf, wie Elektronen in der Energiezoneder Breite 2PmBB Platz haben. Wenn Wo die Gesamtbreitedes Leitungsbandes ist, entfallen auf die Breite 2PmBBim m3 ungefähr n2PmBB/Wo Elektronen. Die Magnetisierungist also J = np~BB/Wo. Die Suszeptibilität x =,u0 np~B/Wo ist, obwohl sie nicht von der Temperatur abhängt,als paramagnetisch anzusprechen. Mit n """10 23 cm- 3 und Wo""" 2eV = 3 · w- 19 J erhält man x =3 · w-5 (vgl. Platin in Tabelle 7.1).7.4.5. Langevin-FunktionEin Teilchen mit dem Permanentmoment Pm hat im Feld Bdie Energie W =Pm x B = PmB cos rx. Wir betrachten vereinfachendnur die parallele und die antiparallele Einstellung.Wie in Aufgabe 6.2.3 erhalten wir nach der Boltzmann-Verteilungdie Anzahldichten nex /(ex + e-x) undne-xj(ex+e-x) mit x=pmB/(kT) in diesen beidenRichtungen. Im Gegensatz zum elektrischen Fall habenwir hier nicht ohne weiteres x « 1, d. h. PmB « kT angenommenund die Exponentialfunktion entsprechend entwikkelt,denn, wie Aufgabe 7.4.6 zeigt, ist diese Näherung zumindestfür Ferromagnetika nicht gerechtfertigt. Die Magnetisierungwird also J = npm(ex- e-x)/(ex + e-x) =npm tanh(pmB / (kT)) (Langevin-Funktion), ist also beihohen Feldern nicht mehr proportional zu B, so daß sichkeine Suszeptibilität mehr definieren läßt. Bei kleinenFeldern ist x = ,u0 np~/(kT).7.4.6. Warum nur Eisen?Ferromagnetismus setzt eine spontane Sättigungs-Magnetisierungin kleinen Bereichen voraus, die sich dann imFeld mehr oder weniger einheitlich ausrichten. Diese Sättigungsmagnetisierungkommt so zustande, daß sich diePermanentmomente von Nachbarteilchen gegenseitig ausrichten.Die Energie eines Dipols im Feld seiner Nachbarnmuß dazu mindestens kT sein, sonst verhindert die therrni-sehe Bewegung die Ausrichtung. Die Energie eines DipolsPm im Feld eines anderen im Abstand a ist W ~ p~/ a 3(vgl. Abschn. 6.1.6). Man braucht also möglichst großeMomente in möglichst kleinem Abstand. Nach der Hund-Regel(vgl. Abschn. 16.4.3) bauen sich die Elektronen in eineUnterschale so ein, daß sie zunächst möglichst verschiedeneOrbitals besetzen, d. h. daß Paarung möglichst vermiedenwird (je verschiedener die Orbitals, desto kleiner die Coulomb-Abstoßungsenergie).Beim Aufbau der d-Schale, dieim ganzen zehn Elektronen faßt, liegen in der Mitte der Reiheder "Übergangsmetalle" Zustände mit vier oder fünf ungepaartenElektronen. Demnach wären, wenn es allein auf Pmankäme, Cr, Mn, Fe die aussichtsreichsten Kandidaten fürFerromagnetismus. Der Abstand a geht aber noch stärkerein als Pm· Er ist bestimmt durch den Radius der äußerstenSchale, der nach Bohr wiederum durch Hauptquantenzahl nund effektive Kernladung Zeff gegeben wird: r ~ n 2 /Zeff. nist für die interessierende Reihe von Metallen immer 4, aberZeff nimmt zu, denn die Innenelektronen können nicht denganzen Zuwachs an Kernladung abschirmen. Daherschrumpft r, wie an der wachsenden Dichte der Übergangsmetalleersichtlich, und p~ja 3 erreicht sein Maximum erstbei Fe, Co, Ni. Für Fe (vier ungepaarte Elektronen) brauchtman, um zu erklären, daß die Spontanmagnetisierung erstbei 774 oc (Curie-Punkt) zusammenbricht, den vernünftigenWert a""" 1 A (etwas weniger als den Atomabstand,der 2 A beträgt). In den höheren Perioden ist der Atomradiusschon zu groß (er geht zwar nicht mit n 2 , wie wenn Zeff konstantwäre, sondern ungefähr wie n). Erst in der Mitte derSeltenen Erden (Gd, Dy) gibt es, viel schwächer, etwas Ähnliches.7.5.1. MUD-GeneratorWenn ein Plasmastrahl mit v = 2 000 m/s auf d = 1 m Breitedurch ein Magnetfeld B = 1 T tritt, erhält man ein E-FeldE = vB und eine Spannung U = Ed = vBd """ 2 kV. Die Leistungdes Generators stammt aus der mechanischen Leistung,mit der man den Plasmastrahl durch das B"Feld pumpen muß,wobei man gegen eine Lorentz-Kraft IBd anzukämpfen hat,sobald ein Strom I fließt P mech = Fv = IBdv. In der elektrischenLeistung muß man den Spannungsabfall b.U =IR imPlasmaraum beachten, der mit jedem Strom I verbunden ist.Der Widerstand R ist hier durch die begrenzte Leitfähigkeitdes Plasmas bedingt: R = d/aA. Die Klemmenspannung desGenerators sinkt also auf U = Uo- IR= vBd- Id/aA, dieelektrische Leistung ist Pel = UI = IvBd- I 2 d/aA, derWirkungsgrad 11 = 1- I/avBA, der Maximalstrom Im=vBaA. Da das Plasma direkt gegen magnetische Kräfte ankämpft,ist die Energieumwandlung direkter, als wenn mannoch ein rein mechanisches Element wie einen Rotor mitTurbinenschaufel und Läuferwicklung dazwischenschaltet- Beim Hall-Effekt werden die Ladungsträger durch daselektrische Feld angetrieben, Träger verschiedener Vorzeichenlaufen also einander entgegen und werden im B-Feldauf die gleiche Seite gedrückt; die Hall-Spannung mißt dieDifferenz der Einflüsse beider Trägersorten. Im MHD-Generatorfliegen beide Trägersorten in gleicher Richtung und

IIIIII1088 Lösungen zu den Aufgabenwerden nach verschiedenen Seiten abgelenkt, die Spannungergibt sich aus der Summe der Einflüsse beider Trägers orten.Existenz und Größe des Querfeldes hängen nicht von Leitfähigkeitund Ionisationsgrad des Plasmas ab, wohl aberhängt dessen Innenwiderstand davon ab, also Maximalstromund entnehmbare Leistung. Selbst in gewöhnlicher Luft entstehtein Querfeld, das aber beim geringsten Versuch zurStromentnahme sofort zusammenbricht. Oberhalb eines gewissenWertes bringt eine Steigerung der Ionisation übrigenskeinen Gewinn an Leitfähigkeit mehr: Es ist (J = enf1, aberdie Beweglichkeit f1 hängt von der Anzahl der Stoßpartner abwie 11'"" 1ln, wenn so viele geladene Teilchen vorhandensind, daß sie als Stoßpartner überwiegen. Dies ist bei ziemlichgeringer Ionisation bereits der Fall, denn geladene Teilchensind wegen ihres weit ausgedehnten Coulomb-Feldesviel effizientere Stoßpartner als neutrale.7 .5.2. FernleitungDie Kraftwerksleistung ist 200m · 5 000 kg · 10 ml s 2 =10 7 W. Gesamtwiderstand der Freileitung: R = 20 Q. Wennder Strom I fließt, geht in der Leitung eine Leistung RI 2 verloren.Diese soll höchstens 4 · 10 4 W betragen, also darf Ihöchstens 45 A sein. Um damit 10 7 W zu übertragen,braucht man eine Spannung U = 2,2 · 10 4 V = 22 kV.7 .5.3. HochspannungUm eine Minimierung des Leistungsverlustes oder gleichbedeutenddes Spannungsabfalls handelt es sich hier nicht.Praktisch ist man zufrieden, wenn beide 1-2% betragen(ein Kraftwerk, das 220kV am Leitungsende abliefern soll,stellt seine Generatoren dann gleich auf 225 kV ein). WennLänge l und Verlust-Bruchteil ß gegeben sind, geht das Kupfervolumenwie / 4 I U 2 (Leistung rv belieferte Fläche rv t2,notwendiger QuerschnittA'"" liU 2 , Aufgabe 7.5.2), der lsolieraufwandgeht wie Ul. Als Funktion von U hata/4 I U 2 + blU ein Minimum bei U = Fa/b l. RealistischeKostenfaktoren ergeben 1 V/rn.7.5.4. R = 0Kondensator und Spule, hintereinandergeschaltet, habenden komplexen Widerstand R = 1 iwC + iwL =i(wL- ll(wC)). Er wird 0, wenn w = 1I(LC). Bei dieserFrequenz ist der Spannungsabfall an der SpuleLi = wLI ebensogroß wie der am KondensatorQIC = Il(wC), aber um 1r phasenverschoben. Zwischenden Endklemmen der Schaltung liegt also keine Spannung,obwohl ein Strom fließt: Sie hat keinen Widerstand. LiegenL und C parallel, dann ist der Widerstand R =(iwC + ll(iwL))- 1 = i(ll(wL)- wC)- 1 . Das wird oo beiwJli(LC). Jetzt sind die Ströme in den beiden Zweigenentgegengesetzt gleich, überlagern sich also in den Zuleitungenzum Strom 0, obwohl an C wie an Lein Spannungsabfallerfolgt. Wenn aber eine Spannung anliegt, ohne daß einStrom fließt, ist der Widerstand oo.7.5.5. Reine BlindleistungDie Spulenspannung ist um 1r 12 phasenverschoben gegenden Spulenstrom (z. B. Strom '"" sin wt, Spannung'"" cos wt). Die Joule-Leistung IU '"" sin wt cos wt wechseltalso jede Viertelperiode ihr Vorzeichen: Was in einer Viertelperiodeverausgabt wird, um das Magnetfeld aufzubauen,wird der Spule in der nächsten Viertelperiode quantitativzurückerstattet, wenn das Feld wieder in die Spulezurückkriecht Im Zeitmittel ist die Leistung 0. Entsprechendesgilt für den Kondensator, nur mit anderem Vorzeichender Phasenverschiebung: Das elektrische Feld wird abwechselndaufgebaut und kriecht wieder zurück.7.5.6. FiltergliederLegt man links in Abb. 7.80a eine Spannung U1 mit derKreisfrequenz w an, dann fließt durch L und C der StromI]= UJ/R = UJ/(iwL+ ll(iwC)). Am Kondensator fälltdie SpannungUz = IJ/(iwC) = UJ/(1- w 2 LC)ab. Das ist ~annung, die man links mißt. Fürw

IIIIKapitel 7: Lösungen 1.089Dahinter- oder Parallelschalten eines weiteren Elements mitdem Widerstand z. Bei Reihenschaltung ergibt sich für dieerweiterte Schaltung Z = Z' + z, bei ParallelschaltungZ = 1/ (z- 1 + z- 1 ). Jede Schaltung läßt sich schrittweiseso aufbauen und erhält damit ihren Wert Z, der den linearenZusammenhang zwischen I und V stiftet.7.5.9. OrtskurveBeweis durch vollständige Induktion: Für das variable Elementallein ist die Behauptung richtig, denn seine Z- undY -Ortskurve sind Stücke der reellen oder imaginären Achse,also Kreisbögen mit unendlichen Radien. Wenn manein weiteres Element hinzufügt, muß man das bei Reihenschaltungim Z-Bild und bei Parallelschaltung im Y-Bildmachen, nämlich die bisherige Ortskurve um den Z- bzw.Y-Wert des neuen Elements verschieben und außerdem zurUmrechnung von Z auf Y oder umgekehrt eine komplexeInversion durchführen. Alle diese Transformationen verwandelnaber Kreise (oder Geraden) immer wieder in Kreise(oder Geraden). Wenn man die ganze, beliebig komplizierteSchaltung aufgebaut hat, durchläuft ihr Z oder Y beim Verstellendes veränderlichen Bauteils immer noch einen Kreisbogen,dessen Lage und Radius man allerdings erst angebenkann, wenn man diesen Aufbau der Schaltung im einzelnenverfolgt.7.5.10. Lorentz-KarusellEine Lorentz-Kraft, die überwiegend in eine Richtung zeigt,kommt trotz Strom und Magnetfeld nicht zustande, wennStrom und Magnetfeld um 1r /2 gegeneinander phasenverschobensind. Wenn der Strom wie sin wt geht und dasFeld wie cos wt, folgt die Kraft F ~ IB einemsinwtcoswt ~ !sin2wt, und dies ist ebensooft positiv wienegativ. Eine solche Phasenverschiebung 1r /2 liegt vor,wenn in und vor der Magnetspule kein ohmscher Widerstandliegt. Dann sind Magnetstrom und Feld um 1r /2 gegendie Spannung verschoben, während der Elektrolytstrom derSpannung direkt folgt. Ein zu großer ohmscher Widerstandvor der Magnetspule macht deren Strom und das Feld zuklein, obwohl das Feld d

1090 : Lösungen zu den AufgabenEs folgt w = J1I(C1C2R1R2) = 1I(CR) und R3IR4 =R21R1 + CJ/C2 = 2. Mit C = 1 j.!F müßteRzwischen 8 Qund 3 kQ verstellbar sein. Mit zwei gleichartigen Gliedernkann man zwar C messen, aber nicht w, denn w fällt dannaus der Abgleichbedingung heraus.7.5.14. SchwingkreisDie homogene Gleichung wird gelöst durch Q = Q 0 ej.r, wobeidurch Einsetzen folgt c- 1 + R}, + U 2 = 0, also-1 1,2 = -RI(2L) ±JR21(4L2 ) -1I(LC). Bei R < 2JLIC(schwache Dämpfung, Schwingfall) ist }, komplex:Q = Q 1 e-bt eiwot + Q 2 e-01 e-iwot, wobei (j = RI(2L) dieDämpfungskonstante, wo = J 1 I ( LC) - R2 I ( 4L 2) die gegenüberder Thomson-Frequenz J1I(LC) (dämpfungsfreierFall) verstimmte Kreisfrequenz ist. Bei R = 2JLIC(aperiodischer Grenzfall) folgt ).J = Az = -RI(2L), alsoQ = Q 1 e-iit. Bei R > 2JLIC (Kriechfall) sind beide), reell: Q = Q1 e-(Hbi)t + Qz e-(li-b1)1, wobei 61 =JR21(4L2 ) -1I(LC). Der Strom ergibt sich amplitudenundphasenmäßig durch Multiplikation mit iw, die Spannungam Kondensator durch Division durch C, am ohmsehenWiderstand durch Multiplikation mit iwR, an derSpule durch Multiplikation mit -w 2 L. Bei der inhomogenenGleichung überlagert sich der i. allg. schnell abklingendenfreien Schwingung die angeregte mit der Anregungsfrequenzund einer Amplitude und Phase, die durch dieResonanzkurven Abb. 4.18 und 4.19 dargestellt sind. DasAmplitudenmaximum liegt im Schwingfall bei Wm =J1I(LC)- R2 I(4L2), die Amplitude ist dort Qo =Uoi(RJ1I(LC)- R21(4L2 )), die Breite des Berges istdw r:::o w 0R- 1 JL1C (Abstimmschärfe des Schwingkreises).7.5.15. Transformator mit SchmelzrinneMan investiert primär 220 V· 1,5 A = 0,33 kW, in 15 s also5 kJ. Die Warmekapazität des Kupferringes ist 8 J/K(Volumen 7r(25-9)l20=2,5cm 3 , Masse 22g). Zinnschmilzt bei 231 °C. Sekundär hat man also etwa 1 700 Jausgenutzt. Wirkungsgrad 35 %. Die Verluste sind wohlhauptsächlich Wärmestrahlungs- und Konvektionsverlusteaus dem heißen Ring, denn in der Sekundärwicklung mißtman annähernd 750 A und 0,44 V.7.5.16. Trafo-GewichtB darf höchstens am Anfang des Sättigungsbereichs liegen,sonst werden der Magnetisierungsstrom und die Eisenverlustezu hoch. Damit ist B auf weniger als 1 T festgelegt,ebenso die Spannung/Windung U IN = wAB undN ~ 1IA, wenn U = 220V. Der Kupferverlust RP 2 IU 2darf nur einen kleinen festen Bruchteil von P betragen:R ~ U 2 I P. Zum Wickeln haben wir auch etwa A zurVerfügung: Drahtquerschnitt ~ AIN rv A 2 , Drahtlänge~NVA ~ 1IVA, also R ~A- 5 1 2 ~ 1IP, Eisen- undKupfermasse ~ A 312 ~ P315 . Ob der Trafo zu heiß wird,ist damit noch nicht gefragt. Reine Strahlungskühlungverlangt A ~ P, also m ~ P3 12 .7.5.17. Trafo-BrummenMan könnte das Brummen auf ein Scheppem der Blechedes Trafo-Kerns zurückführen, die ständig mit 50 Hz ummagnetisiertwerden, also sich mit 100Hz abwechselnd abstoßenoder nicht (gleichsinnige Magnetisierung). Das magsein, aber dieser Anteil des Brummens ändert sich kaummit der Belastung, denn in erster Näherung sind und Bim Eisen unabhängig von der Belastung, nämlich so groß,daß sie die Primärspannung U1 induzieren: N1 ~ =N1AB = U1. Unter Berücksichtigung der Kupferverluste,also des ohmseben Widerstandes R1 der Primärspule z.B.,verteilt sich allerdings diese Spannung U 1 je nach Belastungverschieden auf den ohmseben und den induktiven Teil: BeiBelastung, also i. allg. größerem Primärstrom h, entfälltmehr Spannung auf R 1, also müßte danach ein belasteter Trafoleiser brummen. Er brummt aber i. allg.lauter. Das kannnicht am Eisen liegen, sondern an den Wicklungen. Das B­Feld, das z. B. die Primärspule außerhalb des Eisens durchsetzt,hängt von dem eigenen Strom /1 ab und ist bei Belastunggrößer (wenn auch nicht so groß wie im Eisen mit seinemhohen J.l). Nicht ganz fest vergossene Wicklungen, vonparallelen Strömen durchflossen, scheppern irrfolge der gegenseitigenwechselnden Anziehung.7.5.18. Gleichstrommotor: WirkungsgradReihenschluß: 11 = wL' I ( wL + R) steigt mit wachsendem w,kein Maximum. Nebenschluß: 11 = L'x(1- x)I[L(1 + z- x)]mit x = w Wm, z = RriR 5 • Extrema bei x =1 + z ± z(1 + z). Die +-Lösung zählt nicht, denn sie liegtbei x > 1.. Die --Lösung ergibt ein Maximum, denn 11(x)steigt für kleine .x. Das Maximum liegt um so näher anx = 1, je kleiner z ist. Bei z -> oo wandert es nach x = !,wo auch die Leistung maximal ist. Bei großem z ist allerdings11 auch bestenfalls sehr klein: 1'/max = L' l(4zL). DieLeistung wird fast ganz in Rr verzehrt. Bei z « 1 ist dagegen1'/max r::::, L' IL.7.5.19. Gleichstrommotor: RegelungNebenschluß: Vergrößerung von Rr senkt Tm, während Wmbleibt; die Kennlinie wird flacher, "weicher", der Wirkungsgradsinkt (vgl. Aufgabe 7.5.18), I sinkt auch; kurzzeitigbeim Anlassen verwendet. Vergrößerung von Rs steigertWm und senkt Tm. Der unbelastete Motor dreht sich immerso schnell, daß die induzierte Gegenspannung gleich derangelegten Spannung ist Ur = 0, weil T = 0); bei kleinerem/ 5 , also kleinem ist dazu eine höhere Drehfrequenz erforderlich.Wenn Us und Ur unabhängig sind, folgtT = L'u;(Ur/Us- wLIRs)I(RrRs)- Die Kennlinie verschiebtsich nach unten, wenn man Ur senkt, ohne daßsich bei unverändertem Us die Steigung ändert. Der Drehsinnkehrt sich um, wenn man entweder Ur oder U, umpolt.7.5.20. DynamoDie feststehende Spule wird von einem wechselnden B-Felddurchsetzt, wenn sich der Hohlzylinder dreht. Wenn nämlichdie Eisenstäbe dicht vor den Polschuhen des Magneten stehen,bilden sie praktisch einen Teil der Polschuhe, d. h. der

Kapitel 7: Lösungen 1091Luftspalt mit der Spule darin, den das Feld zu durchsetzenhat, ist schmäler, als wenn die Spalte vor den Polschuhenstehen. Dreht sich dann die Eisentrommel um 90°, so wirddas B-Feld durch die seitlich stehenden Eisenstege kurzgeschlossen,und durch die Spule treten kaum noch Feldlinien.Diese B-Änderung induziert in der Spule eine Spannung,deren Frequenz doppelt so groß ist wie die Drehfrequenzder Trommel: Jeder Schlitz entspricht einem Minimumdes Magnetflusses. Die Amplitude der Spannung istetwa NABw (N, A Windungszahl und Windungsfläche derSpule, B Maximalfeld, Bl2 Feldamplitude).7.5.21. SpaltpolmotorDer Wechselfluß in K erzeugt in 01 und 02 Wirbelströme,deren Magnetfeld sich dem Feld aus K überlagert und diesesgegenüber dem ungestörten Feld phasenverschiebt Dadurchentstehen effektiv zwei Paare von Magnetpolen, die insgesamtein magnetisches Drehfeld erzeugen. Dieses nimmt denRotor mit wie beim Asynchronmotor.7.5.22. AsynchronmotorDie Leerlaufdrehfrequenz 730 U/min läßt auf vier Polpaareschließen; das Drehfeld rotiert dann mit 750U/min, Lagerreibungund Luftwiderstand bedingen einen Schlupf vonknapp 3 %. Bei 1 500 Nm liegt das Kippmoment f/> 2 I L, dieKippdrehzahl ist w1 =wo- RIL = 570U/min, worausfolgt RIL = 18,85 s- 1 . Daraus kann man das Anlaufmomenterschließen: To = f/> 2 IL · woi(RIL + w6LIR) =340 Nm. Ein Zusatzwiderstand R', über die Schleifringe inReihe zum Kurzschlußläuferwiderstand gelegt, senkt dieKippfrequenz und steigert zunächst das Anlaufmoment,solange noch (R + R') I L < w6 ist. R und L lassen sich ausden Angaben nicht getrennt bestimmen.7.6.1. SkineffektJe kleiner der spezifische Widerstand, desto dünner ist dieleitende Schicht beim Skineffekt. Silber und Kupfer habenbei Zimmertemperatur und Netzfrequenz (w = 300 s- 1 )etwa d = 6 mm: Nur fingerdicke Leiter zeigen merklicheStromverdrängung. Bei sehr tiefen Temperaturen nimmtder Widerstand von sehr reinem Kupfer um fast drei Zehnerpotenzenab, d. h. d wird dann etwa 0,2 mm. Bei Supraleiternkann d sogar bis auf einige Ä abnehmen. Ein Draht vom Radiusr leitet bei der Frequenz w nur noch mit seiner Mantelfläche2nrd, falls d « r. Sein Widerstand nimmt also um denFaktor nr 2 /(2nrd) = r/(2d) zu. Beim Tesla-Trafo mitv = 4,5 · 10 6 Hz, w = 3 · 10 7 s- 1 , r = 1 mm wird dieserFaktor etwa 30.7.6.2. Bewegt sie sich doch?· Aus dem ganzen System (Hohlkugel + eingeschlosseneLadung Q) muß der elektrische Feldfluß if> = Qj eo treten.Ist dieses Feld kugelsymmetrisch, und wenn ja, wo liegtsein Mittelpunkt? Die Meßfläche verlaufe ganz im Metallder Hohlkugel. Dort, wie in jedem Metallkörper, herrschtkein elektrisches Feld, sonst träte sofort eine Ladungsverschiebungein, die das Feld vernichtete. Der Fluß durchdie Meßfläche ist also Null: Auf der Innenseite der Kugelist die Ladung -Q influenziert und verschiebt sich bei Bewegungder eingeschlossenen Ladung so, daß sie das Feldim Metall zum Erliegen bringt. Da die Hohlkugel nachwie vor im Ganzen neutral ist, sitzt außen eine GegenladungQ. Wie ist sie verteilt? Von innen, vom Metall der Hohlkugel,spürt sie kein Feld, also verteilt sie sich wie jede Ladung aufeiner Metallkugel: gleichmäßig. Von außen sieht man einemit Q gleichmäßig geladene Kugel, dort herrscht ein kugelsymmetrischesFeld mit dem Mittelpunkt im Kugelzentrum,unabhängig von Lage oder Bewegung der eingeschlossenenLadung. Da E zeitlich konstant ist, gibt es bestimmt kein"induziertes" B-Feld. Aber die bewegte eingeschlossene LadungQ bedeutet doch ein Stromelement Wird dessen Wirkungnach außen "zufällig" durch die entsprechende Verschiebungder influenzierten Ladungen auf der Kugelinnenseiteausgeglichen? Daß dies tatsächlich eintritt, zeigen dieMaxwell-Gleichungen: rot H = iJ + j. Außen sind jaj undiJ sicher Null, also ist H wirbelfrei. Quellenfrei ist jedes Magnetfeldsowieso, und ein quellen- und wirbelfreies Feld istentweder homogen (unmöglich, da es in unendlicher Entfernungverschwindet), oder Null. Kann die influenzierte Ladungauch sehr schnellen Bewegungen der eingeschlossenenLadung perfekt folgen? Das wäre nur bei wesentlicherVerschiebung innerhalb der Relaxationszeit -r = eo/a nichtmehr der Fall. Bei jedem Metall ist aber r höchstens vonder Größenordnung 10-16 s, und in dieser Zeit sind selbstmit Lichtgeschwindigkeit Verschiebungen nur um atomareEntfernungen möglich.7.6.3. VektorpotentialMan braucht nur folgende rein mathematische Tatsachen:Jedes Vektorfeld ist (quellenfreies) Wirbelfeld + (wirbelfreies)Quellenfeld; ein grad -Feld ist wirbelfrei, ein rot­Feld quellenfrei: divrot a = 0, rot gradb = 0. Demnachsind die Wirbelfreiheit von E und die Quellenfreiheit vonB, d. h. div B = 0 automatisch gesichert durchE = -grad rp und B = rot A (A: Vektorpotential). Wenn Bsich ändert, ist E nicht mehr wirbelfrei (rot E = -B), alsonicht mehr allein als grad rp darstellbar. Die ErweiterungE = - grad rp - Ä erfüllt automatisch rot E = -rot Ä =-B. rp und A haben im ganzen vier Komponenten, sindalso einfacher als die sechs Komponenten von E und B. rpist nur bis auf eine additive Konstante, A nur bis aufgrad ljJ festgelegt, denn rot grad ljJ = 0, d. h. Zufügung vongrad ljJ mit beliebigem zeitunabhängigen ljJ beeinflußt wederE noch B. Mit anderen Worten: A = Wirbelfeld+Quellenfeld, wobei B nur durch das Wirbelfeld bestimmtist, das Quellenfeld und seine Quellendichte div Abeliebig festgelegt werden können. Es wird JLoiOt H =J!orot rot A = -11 0M + J!ograd div A = Jloi- Jloeograd (p-JLoeoÄ, d.h. mit Jloeo = llc 2 und divA = -iplc 2(Lorentz-Konvention): M-Ä / c 2 = - Jloi Andererseitsdiv D = eo div E = -eo ( div Ä + l!.rp) = Q, mit der Lorentz­Konvention l!.rp- ifJic 2 = -Q/eo. Ohne Ladungen undStröme folgen A und rp der Wellengleichung, im statischenFall folgt die Poisson-Gieichung.

1092 Lösungen zu den Aufgaben7 .6.4. Poynting-VektorDer Draht vom Radius r verbinde etwa zwei Kondensatorplatten.Er sei so dünn oder bestehe aus einem so schlechtenLeiter, daß trotz seines Vorhandenseins eine Spannung U undein Feld E = U I d am Kondensator aufrechterhalten bleiben.Der Strom I = U IR erzeugt im Abstand a ein MagnetfeldH = I I (27ra) senkrecht zur Drahtrichtung, also senkrechtzu E. Der Poynting-Vektor S zeigt also überall nach innen,und zwar hat er den Betrag S =EH= U2 l(d21faR). Überden ganzen Mantel des Zylinders vom Radius a bedeutetdas einen Energiefluß Sd27ra = U2 IR nach innen, unabhängigvon a. Das ist genau die Joulesehe Leistung, die im Drahtals Wärmeproduktion auftritt. Statt zu sagen, diese Leistungstamme aus der Spannungsquelle, kann man also auch denfreilich zunächst eigenartig anmutenden Standpunkt vertreten,diese Leistung ströme aus dem Außenraum von allenSeiten in den Draht ein.7.6.5. AntenneDie Länge einer Rundfunk-Stabantenne hat mit der zuempfangenden Wellenlänge nichts zu tun (sonst müßteman sie ja beim Senderwechsel mit verstellen). Von einerAbstimmung der Antenne kann man also nicht reden. Antenneund Erde bilden einen Kondensator, der sich kapazitiv andas Wellenfeld ankoppelt und um so mehr Spannung einfängt,je länger die Antenne ist. Sendetürme, besonders fürUKW- und Meterwellen, die nicht an der Ionosphäre reflektiertwerden, sondern nur bis zum optischen Horizont gehen,sind möglichst hoch angebracht, damit dieser Horizont möglichstweit wird. Die Abstrahlung ist am besten, wenn dieAntennenlänge Al2 ist (Abschn. 7.6.8).7.6.6. IonosphäreBei einem Abstand 2a zwischen Sender und Empfänger undeiner Höhe h der reflektierenden Schicht hat der reflektierteStrahl eine Strecke 2v' a2 + h2 - 2a weiter zu laufen als derdirekte. Wenn auf diesen Gangunterschied eine ganze Anzahlvon Wellenlängen fällt, also wenn 2v' a2 + h2 - 2a = n).,v = cnl (2v' a2 + h2 - 2a ), verstärken direkte und reflektierteWelle einander. Der Abstand von 3 kHz ist also gleichcl(2v'a2 + h2 - 2a), d.h. h = 112km.7.6.7. FadingDie Laufstrecke s = 2 v' a2 + h2 eines reflektierten Strahlsändert sich bei einer Höhenänderung dh um ds =2h dhl v'a2 + h2 . Damit man zwischen Interferenz-Maximumund -Minimum schwankt, muß sich ds um eine halbeWellenlänge ändern, also die Höhe um dh = ! 2 v' a2 + H 2 I h.Bei a » h bedeutet das dh = !J,alh. Für einen Sendermit 500Hz (600 m) und h = 100 km bedeutet dasdh = 1,5 · 10- 3 a, bei a = 1 OOOkm also dh = 1,5 km. Fürnähere Sender genügen noch kleinere Schwankungen derIonosphärenhöhe. Ultrakurzwellen werden nicht an derIonosphäre reflektiert, sondern dringen durch sie durch.7.6.8. UHF-WellenAm Draht der Länge l liege die Spannung U, es fließe derStrom I. Das elektrische und das magnetische Feld desDrahtes erfüllen ein Volumen von der Größenordnung !3 .Dort ist E ~ U I l, also die elektrische FeldenergieWe 1 ~ e 0l 3 U2 IP = e 0U 2 l, woraus die Kapazität C ~ eolfolgt. Das Magnetfeld ist H ~ I I (21rl) (näher am Draht istes stärker, aber dieser Bereich trägt mit seinem kleinen Volumennur wenig zur Gesamtenergie bei); die magnetischeEnergie ist Wm ~ f1oH2 t3 ~ flolP l(27r), also die InduktivitätL ~ f1oll(27r). Bei l ~ 1 cm wird C ~ 10- 13 F,L ~ 10- 7 H, also die Eigenfrequenz wo = J 1 I (CL) ~10 10 s- 1 , die Wellenlänge A ~ 0,2m. Für solche Frequenzenwirkt also jeder noch so kurze Zuleitungsdraht als Schwingkreis,dessen Widerstand im wesentlichen induktiv oderkapazitiv, also stark frequenzabhängig ist. Das Prinzip:"Alle HF-Zuleitungen so kurz wie möglich" genügt alsoim Meterwellengebiet nicht mehr. In den Hohlleitern machtman von diesem frequenzabhängigen Verhalten gerade Gebrauch.Ihre Kapazitäten, Induktivität und Eigenfrequenzenlassen sich ganz genauso abschätzen.7.6.9. TV-SignalDas Signal ist eine periodische Folge von Rechteckimpulsen.Seine Fourier-Zerlegung lautet (abgesehen vom konstantenGlied, dem Mittelwert) A1r- 1 (sin wt +! sin 3wt+~ sin 5wt + ... ) , wenn man t = 0 in die aufsteigende Flankelegt: Ungerade Funktion, nur sin;{T/2ak = 2AT-1 Jo sinkwtdt =AI(1rk).Die Punktfrequenz bei 25 Bildern/s, 625 Zeilen/Bild, 625Punkten/Zeile ist 10 MHz. Wenn der Streifen n Punkte breitsein soll, bricht seine· Fourier-Reihe nach dem nl2-ten Gliedab. Die aufsteigenden Flanken (t ~ 0) lauten alsoAntI (27r)(Entwicklung der Sinus), d. h. erstrecken sich über mindestenszwei Bildpunkte. Beiderseits der Flanke schießt dieSinus-Reihe etwas über das Ziel (den Hell- bzw. Dunkelwertim Streifen) hinaus. Der sinnesphysiologische Kontrasteffektwirkt im gleichen Sinn: Hell, das an Dunkel grenzt, wirktnoch heller und umgekehrt.7.6.10. Lecher-Blecheq sei die Ladung/Längeneinheit des Doppelblechs. Sieerzeugt ein Feld E, so daß Ebdx = qdxl(eeo), also dieSpannung U = Ed = qdl(ee0b) zwischen den beidenBlechen. Die Kapazität/Längeneinheit ist C* = q I U =ee 0bld. Durchs Doppelblech fließe der Strom/. Die Stromdichteist j = Il(bb) (6: Blechstärke). Zwischen den Blechenherrscht dann das Magnetfeld B = flflo.ib = flflol I b(vgl. (7.35)). Bei einer Stromänderung i ändert sich derMagnetfluß quer durch einen Abschnitt dx des Doppelblechswie dcP = Bd dx = 1111odi dxlb und induziert eine SpannungdU vom gleichen Betrag wie dcP. Aus dU I dx = L* i folgtdurch Vergleich die Induktivität/Längeneinheit L* =1111odlb. -Im Abstand r von der Achse des Koaxialkabelserzeugt die Ladung/Längeneinheit q ein Feld E, so daß21frE = q I ( eeo), also eine Spannung U = q ln ( r2/ ri) I(21ree 0 ) zwischen Innen- und Außenleiter. Es folgt

Kapitel 7: Lösungen 1093(a)R* L*(b)Abb. L. 8. Ein ideales Kabel als Strickleiter aus Spulen undQuerkapazitäten (a) und ein reales Kabel (b)Abb. L. 6. Lecher-Leitung aus parallelen Blechen mit Ladungsverteilung,elektrischem Feld (!11) und Magnetfeld(x x x)C* = qjU = 2m:eo/ ln(r2/ri). Das Magnetfeld um denInnenleiterstrom I ist so, daß 2nrB = fJJ.loi. Mit i ist eineFlußänderung durch die Innen- und Außenleiter einesKab~lstücks d.x begrenzte Fläche dcP = d.x J~ 1 i3 dr =J.1J.1ollnhfr!)/(2n) verbunden, also ein SpannungsabfalldU/d.x = L*i = fJJ.1oilnh/ri)j(2n), d.h. L* = fJJ.loln(rz/r1) j (2n). Für das Doppelblech wie das Koaxialkabel istC*L* = ssofJJ.lo = c- 2 sp.• • B • • •• • • • • • • • •Abb. L. 7. Verteilung des Magnetfeldes in einem Koaxialkabel7.6.11. WellenleiterWir schalten eine Reihe von Spulen hintereinander undebensoviele Kondensatoren quer dazu. Induktivität bzw.Kapazität pro Längeneinheit seien L * bzw. C*. Längs desLeiterstücks d.x fällt die Spannung um dU= L* d.xi, wennsich der Strom zeitlich wie i ändert, speziell bei einem SinussignaldU = iwL *I d.x. Dies ist die Maschemegel fürdiesen Fall. Die Knotemegel liefert längs derselben Streckeeinen Stromabfall, der gleich dem Querstrom über die Kapazitätist: di = q d.x = C* tJ d.x, für ein Sinussignal di =iwC* U d.x. Beide Gleichungen U' = iwL *I, I' = iwC* U(Strich: Ableitung nach x) liefern zusammen U" =-w 2 L * C* U und dieselbe Gleichung für I. Die Lösung istU = Uo sin(wv'L*C*x). Zu einer festen Zeit hat die Spannungs-und auch die Stromverteilung eine Wellenlänge2 J2n/(wvL*C*). Die Welle läuft mit w2/ (2n) =1/ L*C* über die Leitung. Nach Aufgabe 7.6.10 ist dasgleich c j .fi: Die Geschwindigkeit einer Welle im Isolationsmediumhängt nicht davon ab, ob Leiter darin sind, nurihre Amplitude hängt davon ab. Wenn die Leitung den ohmsehenWiderstand R* und den Querleitwert G* pro Längeneinheithat, wird der Spannungsabfall U' = (iwL* + R*)I,der Stromabfall I'= (iwC* + G*) U, es folgt U" =(iwL* + R*)(iwC* + G*)f!, also eine abklingende WelleU = U 0 e - ixe 1 w{t- x/c). D1e Größenbund k = wjc ergebensich in ziemlich komplizierter Weise als Real- und Imaginärteilvon J(iwL* + R*)(iwC* + G*). Nur für hohe Frequenzenw » JR*G* j (L*C*) kann die Welle mehrere Periodenmachen, bevor sie ganz abklingt. Aus U' =J(iwL* + R*)(iwC* + G*)U = (iwL* + R*)I folgt U / I =Z = J(iwL* + R*)/ (iwC*+ G*). Das ist der Wellenwiderstandder Leitung.7.6.12. TV-KabelNach Aufgabe 7.6.11 ist der Wellenwiderstand Z tatsächlichunabhängig von der Kabellänge. Wenn er auch frequenzunabhängigsein soll, muß R* « wL * und G* « wC*sein, also z = v' L *I c·. Beim Koaxialkabel ist nachAufgabe7.6.10 z = v'L*/C* =Vf.1o(lnr2/r1) 2 /(4n 2 sso) =~~~· lo~t d:;2 s ~(~:~;jr 1 ~1lt= ~9~.T;; ~ 2 ~~:r 1 ;::::: 0,3 mm, muß die Isolation e >:::; 2,7 haben. Für die

1094 Lösungen zu den Aufgaben240 Q-Doppelleitung, aufgefaßt als Doppelblech mit d :::::o b,folgtausZ :::::o Vflol(sso) = 240QeinsvonähnlicherGröße.Wenn Sie die Doppelleitung wählen sollten, malen Sie sienicht etwa an und legen Sie sie nicht unter Putz: Es isteben kein Doppelblech, die Felder dringen teilweise ausdem Kabel heraus, und wenn dort keine Luft ist, stimmtder Wellenwiderstand nicht mehr.7.6.13. KabelabschlußHin- und rücklaufende Welle überlagern sich zu einer stehendenWelle, in der Energie nur stellenweise hin- und herschwappt,aber nicht kontinuierlich· fließen kann. Schließtman die Kabelenden über einen Widerstand zusammen,der gleich dem Wellenwiderstand des ganzen Kabels ist,dann "denkt"die Welle, das Kabel gehe immer so weiter,und wird nicht reflektiert. Die Betrachtung der Widerstandsleiter(Aufgabe 6.3.9) liefert mit allgemeinen komplexen WiderständenZ1 im Holm und Zz quer dazu in jeder Sprosseeinen Gesamtwiderstand Z = Z!/2 ± yfzf/4 + Z1Z2, dergleichzeitig der Abschlußwiderstand ist, bei dem vorn niemandmerken kann, ob die Leiter hinten unendlich weitergehtoder nicht. Wenn ein Kabelstück dx die LängsinduktivitätL*dx und die Querkapazität C*dx hat, ist der AbschlußwiderstandZ = !iwL*dx (I ± J1 - 4l(w2L*C* dx2)).Hier muß man sinngemäß dx gegen 0 gehen lassen. Dadurchwird das zweite Glied in der Wurzel beliebig groß, undZ = J L* I C* wird ein ohmscher Widerstand, der genausogroßist wie der Wellenwiderstand des Kabels. Dies stimmtauch, wenn das Kabel einen Längswiderstand und eine Querleitfähigkeithat (Aufgabe 7.6.11), nur ist der Abschlußwiderstanddann i. allg. nicht rein ohmsch und wird frequenzabhängig.Der richtig augepaßte Empfänger hat ebenfalls den EingangswiderstandZ, z.B. 60Q oder 240Q.7.6.14. WellenwiderstandFür die Doppelleitung ist E = U I d und H = I I b, also stimmenbeide Definitionen des Wellenwiderstandes nur fürd = b überein (wo aber unsere Betrachtungsweise nichtmehr stimmt, denn sie setzt d « b voraus). Das Koaxialkabelhat E = Ul(rln(rzlrl)), H = Il(27rr); nur beiln(rzlrl) =27r, d.h. rz =535r1 ist UII=EIH. Da manso extreme Geometrien im Hausgebrauch kaum wählenkann, hätte die Fernseh- oder Ultrakurzwelle, sogar abgesehenvom Einfluß des Isoliermaterials, beim Übergang aus derLuft ins Antennenkabel ähnliche Schwierigkeiten wie eineSchallwelle beim Übergang von der Luft ins Wasser (Aufgabe4.2.7) oder Licht beim Übergang von Luft in Glas.Die "Anpassung" zwischen den beiden Medien besorgenim Mittelohr die Gehörknöchelchen (Hammer, Amboß,Steigbügel), in der Antenne tut es ein Übertrager, d. h. ein1 : 1-Trafo. - Innerhalb der Doppelleitung ist der Poynting­Vektor S = EH = UI I ( db ), er zeigt in Richtung der Leitung,denn E und H stehen quer dazu und senkrecht aufeinander.Insgesamt fließt durch den Leiterquerschnitt dbdie Leistung Sdb = UI: Man kann diese Leistung ebensogutdurch Strom und Spannung in den Blechen wie aus der reinenFeldvorstellung ausdrücken. Beim Koaxialkabel ist E =Vl(rln(rzlrt)), H = Il(27rr), S = UII(27rr 2 ln(rzlri)).Die Leistung ergibt sich durch Integration über den Querschnitt:P = J:: 21rrS dr = UIIln(rzl r1) · J~ 2 drlr = VI, auchhier.7.6.15. Widerspruch?Wir haben für Doppelblech und Koaxialkabel nur Wellenmodesbetrachtet, die sich um die Existenz der leitendenWände eigentlich gar nicht kümmern, weil ihrE-Feldüberallsenkrecht au{ den Wänden steht. Für solche Modes sieht zwischenden Wänden das Feld genauso aus wie im Vakuum undbreitet sich auch ebensoschnell aus. Anders z. B. im rechtekkigenHohlleiter: Wenn E z. B. senkrecht zu einem Wandpaarsteht, ist es parallel zum anderen und würde darin gewaltigeStröme auslösen, es sei denn, es nimmt an diesen Wänden auf0 ab. Das Feld hat also nicht mehr die Vakuum-Konfiguration,der Einklemmeffekt läßt die Welle schneller fortschreiten.Dasselbe passiert auch im runden Koaxialkabel mit allenWellenmodes, deren E-Feld nicht überall radial gerichtet ist.7 .6.16. Tscherenkow-StrahlungIn dem Feldimpuls, der das geladene Teilchen begleitet,herrschen die Felder E = el(47rso~), B = vEic 2 =evl(47rsoc 2 r) = eVf1ol(47rr 2 ), H = evl(47rr 2 ). E und Hstehen senkrecht aufeinander, also hat der Poynting-Vektorden Betrag S =EH= e 2 vl(16~sor 4 ), seine Richtung istparallel zur Teilchenbahn. Betrachten wir ihn trotzdem alsradial, so erhalten wir eine AbstrahlungsleistungP = 47r~S = e 2 vl(47rs 0r 2 ). Diese Leistung ist, vom Abstandr aus betrachtet, in einem Impuls der Dauer t :::::o r I vkonzentriert, hat also die beherrschende Fourier-Komponentew :::::o t- 1 :::::o vlr. Wir ersetzen also r durch vlw und erhaltenP = e 2 w 2 l(47rsov). Diese Leistung wird in Form vonPhotonen liw abgestrahlt. Ihre Anzahl/s istPl(nw) :::::o e 2 wl(47rs1iv), ihre AnzahVm Bahnlänge istdN I dx = P l(nwv) :::::o e2wl( 4Jrso1iv 2 ). Da der Tscherenkow-Effektnur bei v :::::o c auftritt, gilt auchdN I dx :::::o rxw I c, wo rx = e 2 I ( 4m;o1ic) = 1 ~ 7 die Feinstrukturkonstanteist. w gibt hier die Maximalfrequenz an, mit derPhotonen noch ausgesandt werden können. Dies ist nurder Fall, wenn die Brechzahl n > 1 ist (Aufgabe 15.3.8),d. h. nur bis zur höchsten Resonanzfrequenz des Atoms(Abschn.10.3.3). Für ein H-Atom entspricht dieses wie=x- 1 der höchsten Lyman-Frequenz, d. h. der Rydberg-Konstante(Abschn.l2.3.3): wie :::::o 10 7 m-1. Im Feld einesKerns mit der Ordnungszahl Z werden Maximalenergieund Maximalfre~uenz um den Faktor Z2 größer. Wir erhaltendNidx :::::o rxZ 10 7 :::::o 10 5 2 2 (Weglänge in Meter). Diesweicht nur um den Faktor 2 von der beobachteten und strengberechneten Photonenzahl ab. Diese Emission bremst natürlichdas Teilchen so schnell ab, daß es selten meterweitkommt. Die Anzahl der Photonen ist proportional Z 2 ,ihre Maximalenergie ebenfalls, und zwar etwa W max =Z 2 . lOeV. Damit wird die Wellenlänge X :::::0 w IZ 4 (W inMeV, x in Meter).

"Kapitel 8: Lösungen 10957.6.17. PulsarAbschätzungenfürRadiusRdes 1,5ms-Pulsars: 1 R < clw= 75km; (2) w 2 R < GMIR 2 =} R < 3 GMiw2 ~ 20km;{3) L ~ R2w = const =} R ~ lly'w, R ~ lükm; (4) Radiusdes Neutrons 1,2 · 10- 15 m, Sonne enthält etwa 10 57 Nukleonen,also R ~ 10 km. Strahlung: Hier ändert sich ein magnetischerDipol und strahlt ähnlich wie ein sich ändernder elektrischerhauptsächlich mit seiner Änderungsfrequenz. DenAnschluß an den Hertz-Strahler findet man am besten,wenn man an den Strom denkt, der das Magnetfeld B erzeugt.Angenommen, er fließt durch den ganzen Stemquerschnitt,dann ist außen B ~ f.lol I (21rR). Den Strom kann mandarstellen I = 1rR2j = 1rR 2 env. Insgesamt fließt im ganzen~tern die Ladung Q = 11rR 3 ne, also B = if1oQvl(7rR 2 ),B = i f.loQv I ( 1rR2 ). Nach (7.130) strahlt eine beschleunigteL~dung mit der Leistung P = t Q 2 v 2 I ( 7rcoc 3 ), hier P ~JrB 2 R 4 1(11ÖBoc 3 ) = 1rB 2 w 2 R 4 I(11Ösoc 3 ). Allein durch seinkreiselndes Magnetfeld strahlt ein Pulsar also etwamillionenmal stärker als die Sonne, wenn auch hauptsächlichim kHz-Bereich. Sonst könnte man solcheObjekte auch nicht in den 10 4 - 10 5 Lichtjahre entferntenKugelsternhaufen entdecken. Diese Strahlungsleistungkann nur entnommen werden aus der RotationsenergieW = !Jw 2 = !MR 2 w 2 . Die Lebensdauer der Rotation istalso 1: = W IP ~ Mf.1Ösoc 3 I(S1rR 2 B 2 ). Daraus ergibt sichB ~ 3 · 10 6 T für den 30 ms-Pulsar, 10 4 T für den 1 ,5 ms­Pulsar. Hier ist natürlich nur die zur Drehachse senkrechteFeldkomponente gemeint. Das Gesamtfeld kann etwahundertmal größer sein. Wenn bei der Kontraktion derMagnetfluß erhalten bleibt, kommt man von den 0,001 Tder Sonne tatsächlich auf ähnliche Werte. Die Periodizitätkommt natürlich daher, daß ein Dipol nicht in alle Richtungengleichzeitig strahlt (Leuchtturmeffekt).7.6.18. RöntgenquelleEin Pulsar als Neutronenstern enthält keine getrenntenKerne mehr, geschweige denn solche mit Elektronenschalen.Auch die Materie, die um ihn kreist oder die er einfängt,ist einschließlich der innersten Schale ionisiert. EinAtom um Z = 65 könnte eine K -Linie in dieser Gegendhaben, aber warum sollte ausgerechnet eine seltene Erdeso überwiegen? Für eine Kreisbahn im B-Feld muß nebenmv2 Ir= evB die Quantenbedingung mvr = nTi gelten. Damitfolgen die Bahnenergien zu Wn = !mv 2 = neBTil(2m)(äquidistante Terme). Die 58 keV verlangen B ~ 109 T.Die Sonne mit ihren 10-3 T könnte auch bei Kontraktionauf 10km höchstens ein normaler Pulsar mit 10 7 T werden,aber es gibt Hauptreihensterne mit dem 100- bis1 000-fachen Magnetfeld.8.1.1. AustrittsarbeitDie Feldlinien strahlen zunächst radial vom Elektron aus,biegen dann aber bald auf die Metallplatte zu und mündenüberall senkrecht in sie ein. Täten sie es nicht, verschöbedie zur Oberfläche parallele Feldkomponente die Ladungenim Metall so lange, bis die senkrechte Stellung erreicht ist.Genauso sieht eine Hälfte eines Dipolfeldes aus: Auch hierstehen die Feldlinien senkrecht auf der Mittelebene. Metallund Elektron (Abstand d) ziehen sich also an wie zwei Ladungen+e und -e im Abstand 2d, nämlich mit der Krafte 2 I (l61rsod 2 ), genannt Bildkraft oder Spiegelkraft; die positiveLadung ist ja das Spiegelbild des Elektrons am Spiegelder Metalloberfläche. Das gilt aber nur bis zu Abständen, dieetwa gleich dem Atomabstand im Metall sind, denn für nochkleinere Abstände ist das Metall sicher nicht mehr glatt. DasElektron aus diesem Abstand do bis ins Unendliche zu entfernen,kostet die Energie W = e 2 I(SJrsodo). Cs und Ba habengroße d0 , also kleine W. Aus der Dichte 2 000 kglm 3 desCs folgt do = 5 ·10- 10 m, also W = 1,4eV, was hervorragendstimmt.8.1.2. GlühemissionEin Elektron hat die Wahrscheinlichkeit e-W/(kT), beim Anrennengegen die Metalloberfläche ins Freie zu kommen. Dien Elektronen1m 3 laufen mit v = J3kT Im, also rennen t nvElektronen m- 2 s- 1 an, genau wie bei der kinetischen Herleitungdes Gasdrucks. Die Emissionsstromdichte solltealso seinje= t;enve-Wf(kT) = !enJ3kT lme-Wf(kT).Die Integration der Maxwell-Verteilun·g liefert etwas genauerje= enJkT 1~21rm) e-Wj(kT). Hier steht vor dem ExponentenVf statt T wie in (8.1). Das wäre noch nicht so schlimm,aber der eben berechnete Zahlenwert stimmt ganz und garnicht: n ~ 10 29 m- 3 , v ~ 2 · 10 5 mls · bei 1000 K, alsosollte der Faktor ! env ~ 5 · 10 14 Alm 2 sein. (8.1) mitC = 6 · 10 5 Am- 2 K- 2 und die Messung liefern nur6 · 10 11 Alm 2 , also 800mal weniger. Außerdem sollte dieDichte n der freien Elektronen in den einzelnen Metallenziemlich verschieden sein, während experimentell für allefast der gleiche Faktor herauskommt. Hier zeigt sich deutlich,daß die Metallelektronen nicht der Maxwell-Boltzmann-,sondern der Fermi-Dirac-Statistik gehorchen (vgl.Aufgabe 17.3.1).8.1.3. Arrhenius-AuftragungDie Arrhenius-Auftragung einer Größe x, die als Funktionder Temperatur T gemessen wurde, also die Auftragunglnx über liT zeigt sofort anschaulich, ob es sich um einGesetz der Form x = x 0 e-w I (kT) handelt. Wenn das derFall ist, stellt lnx = lnx 0 - W l(kT) eine Gerade mit derNeigung W lk und dem Ordinatenschnittpunkt bei lnxodar. Dabei ist allerdings zu beachten, daß die OrdinatenachseT = oo entspricht. Genauere Analyse der "Geradheit" dergemessenen Punkteschar in dieser Auftragung (lineareRegression mit den Variablen lnx und liT) liefert Bestwerte

1096 : Lösungen zu den Aufgabenfür diese Größen, dazu ihre wahrscheinlichsten Fehler, denKorrelationskoeffizienten usw. In der Praxis nimmt maneinfach -logarithmisches Papier, rechnet auf 11 T um, zeichnetdie Meßpunkte ein und zieht die Gerade, wenn dies angebrachterscheint, "nach Gefühl". Bei der Ausmessung derSteigung beachte man den Faktor 2,3 zwischen 10 log und ln.8.1.4. KompensationseffektIm Experiment Nummer i mißt man die Beziehungz = A; e-W;/(kT) und zeichnet die Arrhenius-Geradelnz = lnA;- W;/(kT). Alle diese Geraden sollen sich ineinem Punkt schneiden. Zwei Gerade y = a1 - b1x undy = az- bzx schneiden sich in x = -(ai - az)l(b1 - bz).Wenn diese Schnittkoordinate für alle Geradenpaare dieselbesein soll, müssen a und b linear zusammenhängen:a; = xob; + c, oder in unserem Beispiel lnA; =W;/(kTo) + C, womit die Arrhenius-Geraden lauten lnz =W;/(kTo)- W;/(kT) + C. Hieraus sieht man direkt, daßalle diese Geraden den gemeinsamen Punkt mit den KoordinatenliTo, C haben. Wie kommt es zu einem solchenZusammenhang zwischen A; und W;, der manchmal über90 Zehnerpotenzen (!) von A; zu beobachten ist? Es gibtüber ein Dutzend Erklärungen, von denen manche auf spezielleModelle beschränkt sind (anorganische und organischeHalbleiter, chemische Katalyse, biochemische Reaktionen),manche den Effekt überhaupt als Artefakt erklären. Dieallgemeinste ist wohl diese. In A; versteckt sich eigentlicheine Aktivierungsentropie: A; ~ e8;/R. Der Kompensationseffekttritt auf, wenn S; und W; linear zusammenhängen.Das ist, wenigstens in einem beschränkten Bereich, untersehr allgemeinen Bedingungen der Fall (vgl. z. B. Aufgabe5.5.5).8.1.5. AktivierungsenergieWir betrachten ein System, das u. a. zwei Zustände mit denEnergien W1 und Wz und den Entropien S1 und Sz annehmenkann. S; = klnP;, wo P; die Wahrscheinlichkeit der Konfigurationist, die den Zustand i ausmacht, und zwar bevorvon einem evtl. Energieunterschied überhaupt die Redeist, also Pt/ P 2 = eC 81 -S2)/k. Der Energieunterschied bedingtnach Boltzmann einen weiteren Faktor e-(Wt-Wz)/(kT). DasVerhältnis der Zustandswahrscheinlichkeit ist also(L. 1)Liegt das System in sehr vielen Ausgaben vor, so gibt (L. I)im Gleichgewichtsfall das Verhältnis der Anzahlen, in denendie beiden betrachteten Zustände vorliegen. Man kann diesauf jedes Teilchenensemble anwenden, nur darf man z. B.in kondensierter Materie die Teilchen nicht als isoliert vonihrer Umgebung betrachten. W und S beziehen sich aufdas Teilchen mit der von seinem Zustand beeinflußten Umgebung.Wird diese z. B. beim Übergang von Zustand 1 inden Zustand 2 deformiert, so sind Deformationsenergieund -entropie zu ß W und ßS hinzuzurechnen. Für die Häufigkeitder Übergänge zwischen zwei Zuständen ist wichtig,daß diese Übergänge durch Zwischenzustände führen können,die höhere Werte von F = W - TS haben als die beidenEndzustände. Dies ist sogar die Regel: Wären die Zustände 1und 2 nicht wenigstens lokale Minima von F, würde sichniemand für sie interessieren, denn das System hielte sichpraktisch nie in ihnen auf. Die "F-Töpfe" 1 und 2 sindalso i. allg. durch einen Wall getrennt, dessen Paßhöhe alsAktivierungsenergie FA= WA- TSA (eigentlich freie Aktivierungsenergie)bezeichnet wird. Die Übergangsrate zwischen1 und 2 ist proportional der Wahrscheinlichkeit, daßein Teilchen zufällig mindestens das F auf sich versammelt,das es zum Übersteigen des Passes braucht, alsoz. B. gegenüber seiner Normallage im Topf 1 die F-DifferenzFA - F 1. Diese Wahrscheinlichkeit ist bestimmt durchden Faktor e-(FA-Ft)/(kTJ. Da FA- F 1 um viele kT größersein kann als F 2 - F 1, kann dieser Faktor eine völlig andereGrößenordnung haben als das Verhältnis der Gleichgewichtskonzentrationen.Deswegen mißt man oft für die Gleichgewichtsverteilung("statisch") eine ganz andere Aktivierungsenergieals für die Stärke des Übergangs ("dynamisch"). Beider Glühemission ist das nur deshalb nicht der Fall, weil diebeiden Zustände nicht durch eine Paßhöhe, sondern nur durcheine Stufe getrennt sind.8.1.6. h-MessungKennt man die Austrittsarbeit W des Kathodenmaterials, soergibt sich h sofort aus der Frequenz var. bei der der Photostromeinsetzt: h = W I VGr· Sowohl h als auch W findet man,wenn man die eingestrahlte Frequenz v allmählich steigert(monochromatisches Licht!) und gleichzeitig die Photoelektronendurch eine regelbare Gegenspannung von der Anodefernhält. Die Gegenspannung Ua, bei der dies gerade nichtmehr gelingt, gibt die Austrittsenergie W' = eUa der Elektronen.Ua als Funktion von v sollte eine Gerade liefern, diedie v-Achse beiWIe schneidet und die Steigung hl e hat. Einesolcheh-Messungist also strenggenommen immer eine hle­Messung.8.1.7. LichtschrankeFür eine Einbruchsicherung (außer z. B. in einem nachts beleuchtetenJuwelierschaufenster) ist offenbar nur UV- oderUR-Licht geeignet. Jede UV-Lampe emittiert auch starkim Sichtbaren; ein Filter würde für einen aufmerksamen Einbrecherimmer noch zu viel Sichtbares durchlassen. Arbeitenwir also im UR. Hier kommen nur Oxidkatl!oden in Frage(vgl. Tabelle 8.1). Ohne besondere Verstärkung (die heuteallerdings kein Problem mehr ist) brauchte man, um z. B.ein Relais zu schließen, das den Alarmstrom steuert, etwa1 mA Photostrom, d. h. ca. 10 16 Elektronen/s, ausgelöstdurch mindestens ebenso viele Photonen. Hat die emittierendeLampenfläche ca. 0,1 cm2 Querschnitt, und konzentriertdie Kondensorlinse ca. 1 % der Gesamtemission auf die Photokathode,so entspricht das einer Emissionsdichte von ca.10 19hvcm-2 s-1, was bei A= 1].!m, also hv:=:o2·10- 19 J,etwa 2 · w-3 J cm- 2 s- 1 bedeutet. Nach Stefan-Boltzmannist dies die Gesamtemissionsdichte eines Temperaturstrahlersvon ca. 5 000 K. Ohne Verstärkung kommt manalso nicht aus. Verstärkt man z. B. 1 OOOmal, dann kannman mit 10 17 hv cm - 2 s- 1 arbeiten, was der Gesamtemission

Kapitel 8: Lösungen 1097einer Temperaturstrahlung von knapp 2 000 K entspricht. IhrMaximum liegt bei 1,5 j.Lm, und in den benutzten Spektralbereichfällt genug Energie. Die Breite der Planck-Kurveist ~ kT, d. h. 3 · 10-19 J, das Frequenzintervall 0,9-l ,2 j.Lm enthält die erforderliche Energie.8.1.8. FeldemissionDas Plateau der Höhe W, auf das die Metallelektronen gehobenwerden müssen, um ins Freie zu kommen;. wird durchein richtig gepoltes FeldE, d. h. ein Potential U = W / e - Ex(x: Abstand von der Metalloberfläche) in eine Schwelle mitdreieckigem Querschnitt verwandelt. Im Abstand xo =W / ( eE) wird U = 0, d. h. das übliche Energieniveau derMetallelektronen ist wieder erreicht. Bei E = 10 4 V/ernund W = 1 eV ist xo = 10-4 cm, bei 106 V/ern (Vakuum,um Durchschlag zu vermeiden) nur noch 10-6 cm. Wiedie Quantenmechanik zeigt (Abschn. 16.3.2), kann ein Elektrondurch eine solche Schwelle in der Zeit dt mit der Wahrscheinlichkeitv0 dte-O'.X()v'ZmW/n = vodte-aW 312 m 112 /(lieE)tunneln, n Elektronen!cm 3 liefern also die Emissionsstromdichtej ~ env e-aW 312 m' 12 f(neE). Sie steigt außerordentlichsteil mit dem Feld E an: Bei E = 10 6 V/ern erhält manetwa 10-8 Ajm 2 , bei 10 7 V/ern 10 8 Ajcm 2 .8.1.9. FeldemissionsmikroskopIn eine evakuierte Kugel (Radius R) mit Leuchtstoff-Belegungragt ein sehr dünner Draht (Radius ro), an dem einpositives Potential U liegt. Das praktisch radiale FeldE ~ U /rum die Spitze, nahe daran sehr groß, treibt die feldemittiertenElektronen auf den Leuchtstoff und bildet dort dieSpitze um R/ r 0 vergrößert ab. Jedes Fremdatom an der Spitzeändert das Emissionsvermögen Und wird so sichtbar.8.1.10. MultiplierWenn man mit acht Multiplierstufen 108mal verstärken will,muß jede Stufe 10mal verstärken, d. h. ein auftreffendesElektron muß 10 Sekundärelektronen auslösen. Bei einerAustrittsarbeit von 2 e V muß daher das Primärelektron mitmindestens 20 e V ankommen. Bei so geringem Energieüberschußist aber die Ausbeute der Sekundäremission äußerstgering. Praktisch überhöht man mindestens um den Faktor3-5, was 60-100 V zwischen je zwei Dynoden entspricht,also 600-1 000 V zwischen letzter Dynode und Kathode.Hat man z. B. ein 1 000 V - 5 mA-Netzgerät, so wird mandie Spannungsteilung durch zehn hintereinandergeschalteteWiderstände von je mindestens ca. 50 kQ bewerkstelligen,damit bei je 100 V etwa 2 mA fließen. Der Anodenstrombeim Auftreffen von 100 Elektronenls oder 100 Photonen!sauf die Kathode wird ca. 10-9 A, was sogar mit einem Lichtmarkengalvanometermeßbar ist.8.1.11. Eggert-Saha-GleichungSiehe Lösung 8.1.12.8.1.12. Thermische IonisationSei No die Teilchenzahldichte der Moleküle oder Atome, ndie der einfach positiven Ionen (andere Ionisierungsstufenmögen nicht zählen), also N =No - n die der neutralen Teil-eben. Das Massenwirkungsgesetz sagt dann, daß im Gleichgewichtn2 /(No-n) = A e-w;j(kT). A ist das Verhältnis derstatistischen Gewichte der Zustände "Ion+ Elektron" und"neutrales Teilchen". Das statistische Gewicht für"Ion+ Elektron" ist das Produkt der statistischen Gewichtezweier freier Teilchen, also ist A gleich dem statistischenGewicht eines freien Teilchens: A = (27rmkT) 3 1 2 j h3. Dasist der gleiche Faktor, der auch in der Fermi-Verteilung auftritt.Also____i!__ = (27rmkT)3/2 e-W;j(kT) = B.No-n h3Wenn n «: No (geringer Ionisierungsgrad) folgt sofort dieEggert-Saha-Gleichung in der Form (8.4). Wie man sieht,rührt der Faktor W;/2 im Exponenten daher, daß die rekombinierendenTeilchen statistisch gleichberechtigt sind. Auf jedesentfällt sozusagen nur die Hälfte der ÜberschußenergieW; über den neutralen Zustand. Eigentlich erhält man einequadratische Gleichung mit der Lösungn = -B/2 ± Js 2j4 +BN0 .Das gibt (8.4), wenn B «: 4N0 , also n «: N, aber n ~ N beiB » 4No. Die Grenze B = 4No ist ziemlich scharf und läßt·sich auch darstellen(27rmkT)3/2M -W/(kT)e = 4 h 3 e ' oder3 W;lne=a+-lnT--.2 kTDas ist die in Abb. 8.9 angegebene Grenzkurve im g, T­Diagramm .. Sie liegt bei gegebenem T bei um so höheremg, je größer M und je kleiner W; ist. Dabei überwiegt derEinfluß von W; i. allg. bei tieferen Temperaturen; bei sehrhohem T (kT » W;) ist nur noch die Massenabhängigkeitda. Deswegen überschneiden sich die H-und die He-Kurve.8.1.13. Ionisation in der SonnePhotosphäre: {! = 2 · 10- 7 gjcm 3 , neutral; lOOOOkm:e = 3-10- 2 gjcm 3 , ionisiert. Dazwischen starke Konvektion(Abschn.ll.3.3).8.2.1. Wettkampf der FelderE = 10 4 V/rn übt auf Proton F ~ 10 15 N aus, ebenso wie einSchwerefeld von 10 11 g: Stern von 10 6 Erdmassen dürfte nur60m Radius haben!8.2.2. E-AblenkungIn der Formel (8.10) für die Ablenkung im Kondensatorfeldkann man alles konstant lassen, wenn man von Elektronen zuProtonen übergeht, außer Ue: Die Beschleunigungsspannungmuß umgepolt werden, denn sonst laufen die Protonen nachhinten weg. Damit kehrt natürlich auch die Ablenkung s ihrVorzeichen um.8.2.3. a-, ß-, y-StrahlungDie elektrische Ablenkung allein liefert ejW, die magnetischeallein ejp (e, W,p Ladung, Energie, Impuls). Beidezusammen liefern v und e / m. Erst z. B. eine direkte Ladungs-

IIIIII1098 Lösungen zu den Aufgabenmessung trennt e und m. Für ß-Teilchen ist e / m fast 4 OOOmalgrößer als für rx-Teilchen, also kann B bei gleichem elektrischenFeld 20mal kleiner sein. Bei y-Strahlung läßt die Nichtablenkbarkeitselbst in den größten Feldern auf sehr kleines eoder sehr großes W und p schließen. Nimmt man an, die Elementarladungsei unteilbar, dann ergeben sich z. B. aus demmit 0,1° Genauigkeit festgestellten Ausbleiben der Ablenkungin einem 10 cm langen 10 kV/cm-Feld Energien vonmindestens 30 MeV Da alle übrigen Zerfallsenergien beider natürlichen Radioaktivität viel kleiner sind, schloßman bald, daß die y-Strahlung keine Ladung hat8.2.4. OszillographLegt man an die x-Platten die Spannung Ux = U1 sinwt, andie y-Platten Uy = U2 sin(wt +

"Kapitel 8: Lösungen 10998.2.13. BrückenschaltungAus VA= I(RI + ll(iwCI) + li(IIR2 + iwC2)) und UR=II(IIR2 + Il(iwCz)) folgt liK = 1 + RJ/Rz + CziC1 +iwCzR1- il(wCJRz). Bei w = II)RtRzCtCz ist K reell,aber positiv (deswegen ein zweistufiger Verstärker, der zweimaldie Phase umdreht, also positives V hat). V= liK =1 + RJ/R2 + C2IC1 kann jeden Wert größer als 1 haben.8.2.14. QuarzuhrQuarz ist einer der besten Isolatoren, aber wenn er piezoelektrischschwingt, d. h. wenn sich die positiven gegendie negativen Ionen verschieben, bedeutet dies einen Wechselstrom(Verschiebungsstrom, Influenz auf den anliegendenElektroden). Dies gilt für jedes Dielektrikum. Aber beimQuarz als polarem Kristall sind diese Verschiebung undihre Phase nach einer Resonanzkurve abhängig von der Frequenzdes erzwingenden Feldes. Wenn x die Dickenänderungdes Quarzes ist, geht der Strom mit x. Bei kleinen Frequenzenist x ~ U, der angelegten Spannung, der Quarz verhält sichwie ein Kondensator bzw. dessen Dielektrikum. Bei der Eigenfrequenzdes Quarzplättchens, die sich berechnet wie beider geschlossenen Pfeife, ist x ~ I in Phase mit U, der Quarzwirkt als ohmscher Widerstand. Bei hohen Frequenzen istx ~ I ~ U, der Quarz wird zur Spule. Wegen der geringenDämpfung ist die Resonanz der Quarzschwingung sehrscharf; man kann auch sagen: Das quasistatische AnfangsplateauI = iwCU liegt wegen des winzigen C eines Quarzkondensators(~1 pF) sehr tief, also ist die Güte ll(wCR)dieses Elements sehr hoch. So scharf köm1te die Resonanzeines rein elektrischen Schwingkreises nie sein. Im KreisAbb. 8.31 sperrt also der Quarz bei w « wo, weil sein Cqso klein ist, bei w ~. wo auch, weil I wie 1 I w abgefallenist. Nur ganz nahe der Quarzresonanz kann der Kreis schwingen.Dann ist der Quarz so "weit offen", daß es auf evtl. kleineÄnderungen von L und C z. B. infolge Temperaturschwankungennicht ankommt. Diese Resonanzschwingung, übereinen Transistor rückgekoppelt, hält sich selbst aufrecht,falls man für Gegenphasigkeit der Spannungen an 34 bzw.12 sorgt. Exakt in der Resonanz sind die Spannungen um1r 12 auseinander (Quarz~ R). Schon ganz wenig oberhalbvon wo aber wirkt der Quarz als Spule (die rp( w )-Kurvemacht ja bei hoher Güte eine steile Stufe bei w 0). Dannhaben wir die Situation der Dreipunktschaltung mit derrichtigen Phase der rückgekoppelten Spannung.8.3.1. RekombinationskoeffizientRekombination findet statt, wenn ein negatives Ion einempositiven näher als bis auf einen kritischen Abstand r0kommt, d. h. wenn das eine Ion in eine Scheibe vom StoßquerschnittA = 1rrJ um das andere trifft. Im m 3 sind npositive Ionen, also n solche Scheiben mit der GesamtflächenA. Die Wahrscheinlichkeit, daß das negative Ion auf einemWeg dx eine davon trifft, ist nA dx, oder daß es in der Flugzeitdt eine trifft, nAv dt. Da im m3 auch n negative Ionen sind,finden in diesem Volumen in jeder Sekunde n 2 Av Rekombinationsaktestatt. Der Rekombinationskoeffizient läßt sichalso darstellen als ß = Av. Wie groß ist aber A, d. h. welchesist der ·kritische Abstand ro? Die Ionen können einanderbestimmt nicht einfangen, wenn ihre kinetische Energiegrößer ist als die potentielle in dem Moment, wo beideeinander am nächsten sind. Andernfalls ist Einfang möglich,falls ein dritter Partner in der Nähe ist, der den überschüssigenImpuls abführt. Sieht man dies zunächst als garantiertan, ergibt sich ro aus Wkin = ~ kT = Wpot =e 2 1(47rs0r0 ), also ro = e 2 l(61rs0kT), A = e 4 1(36JrsÖk 2 T 2 ),ß = e 4 vi(36Jrs§k 2 T 2 ) = v'3e 4 1(36Jrs5m 1 1 2 (kT) 3 1 2 ). Bei300 K, wo kT = fo e V, wird ro = 500 A (Vergleich mitdem H-Atom, wo Wpot = 2 ·13,6eV für r = 0,5A), alsoA ~ 10-10 cm 2 , V= 5. 10 4 crn!s, d. h. ß = 5. 10-6 cm3 ls,was der Erfahrung ganz gut entspricht. Falls die Bedingungüber den dritten Partner, der den Impuls abführt, immer erfülltist, hängt ß nicht vom Druck ab. Freie Elektronen brauchenkaum berücksichtigt zu werden, da sie sehr schnell unterBildung negativer Ionen weggefangen werden. In der kinetischenBetrachtung sind natürlich die Worte "negativ" und"positiv" vertauschbar.8.3.2. GlimmentladungDer Strom der unselbständigen Entladung bei ständigerAuslösung von No Elektronen!s an der Kathode ist nachTownsend I= eN 0 ead l(l- y(ead- 1)). Solange y(ead- I)sich der 1 nähert, biegt I nach oben ab und schnellt beiad = ln(1 + lly) ins Unendliche (Durchschlag). Beiy ~ 1 bedeutet die Durchschlagsbedingung ad ~ 1jy;dann kommt die ead-Abhängigkeit gar nicht zum Tragen,sondern der Durchschlag erfolgt praktisch vom AnfangsstromIo = eNo aus. Bei y « 1 liegt der Durchschlag beiad ~ In( 1 jy), was nie viel größer als 1 wird. Als Funktionder Spannung dargestellt, verläuft I noch viel steiler, dennad = pdf(Eip) ist nach Abb. 8.40 eine sehr steile Funktionvon E. Die Summation der geometrischen Reihe, die zudieser Kennlinie führt, ist nur gültig bei y ( e"d - 1) ;'S 1.Schon deshalb hätte es keinen Sinn, die Kurve hinter demDurchschlag weiterzeichnen zu wollen.8.3.3. ZündspannungIm Feld U I d gewinnen die Elektronen längs einer freienWeglänge l die Energie elU I d. Wenn das Elektron beimnächsten Stoß seinen ganzen Energiegewinn wieder hergebenmuß, lautet die Zündbedingung, daß dieser Gewinngleich der Ionisierungsenergie sein muß: elU ld = Wion·Da l = 1l(nA) und p = nkT, kann man auch schreibenU = ApdWionl(ekT). Bei p = 1 bar= 10 5 Nlm 2 undWion ~ 1 e V folgt U I d ~ 10 4 V /cm, bei 0,1 Torr nur etwa1 V /cm. Die Townsend-Theorie enthält nicht die Annahmevollständigen Verlusts nach einer freien Weglänge. IhreZündbedingung lautet ad = pdf(U l(pd)) = ln(l + ljy).Da f(U l(pd)) eine sehr steile Funktion ist, kommt manpraktisch auch wieder auf eine Bedingung der FormU = const pd, wobei ebenfalls const ~ 104 V cm-1 bar-1.8.3.4. DurchschlagE = alr, U = aln(rJ/r0 ), E = Vl(rln(rJ/ro)) ~ 10 7 V/rn;Bereich hat r ~ 100 ~-tm.

1111100 Lösungen zu den Aufgaben8.3.5. FunkenIm Feuer oder Feuerzeug spielen Felder und Ströme keinedirekte Rolle, also handelt es sich nicht um Entladungserscheinungen.Die "Funken" sind einfach glühende makroskopischeTeilchen, die zwar auch nicht heißer sind als dieumgebenden Flammengase, aber ein höheres Emissionsvermögenhaben und sich deshalb vom schwach leuchtendenGashintergrund abheben. Beim Feuerzeug oder Feuersteinsind es mechanisch oder chemisch erhitzte Mineralsplitterchen.Die eigentlichen Entladungen kann man so klassifizieren:Glimmentladung stromschwach, weil wenig Spannungoder wenig Ladung, ohne konzentrierte Stromfäden. Funkenstromstark, aber kurzlebig, weil geringe, rasch verpuffendeLadung, die aber in konzentrierter Stromröhre entladenwird. Bogen stromstark trotz meist geringer Spannung,Selbsterzeugung von Ladungsträgern. Die Zündspannungsteigt mit dem Druck. Entladungen in Normalluft sind dahermeist stromstark (Funken oder Bogen), außer bei sehrkleiner, weit verteilter Ladung (Nylonhemd). Erst fürschwache Vakua sind Glimmentladungen typisch. Bei Konzentrationdurch gutgeerdete Gasleitungen schlägt auchKleider-Reibungselektrizität in Funken über. Die Spannungengehen offenbar bis über 10 kV. Trotzdem sind die Ladungenso gering, daß außer einem Schreckeffekt nichts passiert.Daß die Aufladung während der Autofahrt etwas mit derÜbelkeit zu tun haben soll, haben sich wohl die Schleifriemenfabrikantenausgedacht. Der Blitz steht zwischenFunken und Bogen (beschränkte Ladungsmenge ).8.3.6. BlitzAus einer Wolkenfläche 10km 2 , Höhe 500m, mögen 30Blitze kommen. Durchschlagsspannung 500 MV, Ladungdes Kondensators Wolke-Erde Q = soAE = 90 A s, Blitzdauer1 ms, Strom 3 kA, Leistung 1,5 TW(!), Energie1,5GJ=420kWh. 3As fließen durch die lOOW-Lampein 7 s, durch den 20 W-Rasierer in 35 s.8.3. 7. LeuchtstoffröhreSchließt man den Schalter, dann zündet die Glimmentladungund heizt den Bimetallstreifen, so daß er nach kurzer Zeitschließt. Dann bricht die Spannung am Glimmzünder zusammen(die 220 V fallen jetzt voll an der Drosselspule ab), dieGlimmentladung erlischt. Daher kühlt sich der Bimetallstreifenwieder ab und öffnet. Diese plötzliche Stromänderunginduziert in der Drosselspule einen hohen Spannungsabfall(höher als beim Schließen des Schalters und des Glimmzünders,weil die Stromänderung plötzlicher ist). Diese erhöhteSpannung zündet endlich die Leuchtstoffröhre. Sollte dasnicht der Fall sein, wiederholt sich der Zyklus so oft, bisdie Lampe schließlich doch brennt, wie man gelegentlichbeobachtet.8.3.8. ElektronenmühleDer Impuls der aufprallenden Elektronen treibt das Raddirekt. Bei 1 kV Anodenspannung und einem Strom von1 mA ist die Leistung (Energie/Zeit) P = 1 W, die Kraft(Impuls/Zeit) F = P lv, wo v die Elektronengeschwindigkeitist. Elektronen mit 1 keV fliegen mit 2 · 10 7 rnls, alsoF = 10- 7 N. Der Strahlungsdruck würde solche Kräfte,z. B. auf A = 1 cm 2 Schaufelfläche, erst bei einer IntensitätI = cF I A ;::::: 105 W m-2 aufbringen, d. h. bei hundertfachemvollen Sonnenlicht. Das Rädchen dreht sich bei viel wenigerLicht, aber nicht infolge des Strahlungsdruckes, sonderninfolge der Erwärmung des Restgases vor den Schaufeln(Radiometereffekt, Aufgabe 5.8.2).8.3.9. elmIn ein gegebenes Kathodenstrahlrohr kann man i. allg. nichthinein. Zur Ablenkung muß man also ziemlich weiträumigeFelder verwenden, z. B. einen Kondensator mit U = 5 kV,d = 5 cm, Breite 10 cm. Wenn die Anodenspannung U A bekanntist (z. B. 10 kV), erhält man aus dem Ablenkwinkel(hier 2 · 5 kV I (2 · 10 kV) ;::::: 30°) die Ladung e, aber keineAussage über die Masse. Schon das erdmagnetische Feld(B;::::: 0,2G = 2 · 10-5 Vslm 2 ) krümmt einen sehr feinenStrahl merklich Cf auf 1m Länge), woraus man schließtelm = 2rxUAI(z2B 2 );::::: 2 · 10 11 C/kg. Der höchste elm­Wert für Ionen (Protonen) wäre 10 8 C/kg.8.3.10. ElektronenschattenWenn die Elektronen, die am Rand des Hindernisses vorbeigehen,alle genau gleiche Geschwindigkeit und Flugrichtunghätten, würde die Lorentz-Kraft im Magnetfeld (das strenghomogen sei) das Elektronenbündel als Ganzes verschieben,der Schatten bliebe scharf. Die v-Werte sind aber nichtalle gleich, denn in der Ebene des Hindernisses herrscht nichtüberall exakt das gleiche Potential. Das wäre zwischen unendlichgroßen, parallelen Elektroden der Fall. Man will jaaber den Schatten auf der Glaswand sehen, das Hindernismuß also die Anode überragen. Dazu kommt der Richtungsunterschied,der bei punktförmiger Kathode an den verschiedenenStellen des Hindernisses gilt, bei ausgedehnterKathode sogar an der gleichen Stelle. Für die Lorentz-Kraftzählt nur die Komponente senkrecht zum B-Feld. Die einzelnenTeile des Bündels werden also verschieden stark abgelenkt,der Schatten wird unscharf.8.3.11. Fallende KennlinieJe größer der Strom im Bogen ist, desto heißer werden dasPlasma und die Kohlen, desto leichter wird die Erzeugungvon Ladungsträgern, desto weniger Spannung ist also nötig,um den Bogen aufrechtzuerhalten. Hält man die Kohlenspannungtrotz wachsenden Stroms konstant, dann wächstder Strom weiter unbegrenzt: Die Entladung "geht durch".Man kann sie stabilisieren, indem man den Strom selbstan einem Vorwiderstand einen Spannungsabfall erzeugenläßt, der sich von der Kohlenspannung subtrahiert. Der Bogenbrennt sich dann auf einen Punkt seiner /(U)-Kennlinieein, wo deren (negative) Steigung gerade so groß ist wie derVorwiderstand. Es soll vorkommen, daß einer sich "verstöpselt"und den Widerstand parallel zum Bogen legt. Dannbringt er nur den Moment näher, wo die Zuleitungsdrähtedurchschmelzen.

8.3.12. MikrowellenherdDie freien Elektronen in einem Metall absorbieren die Welleauf sehr kurzer Strecke (nach (7.142) auf einigen 1.1m; dieBedingung w « J.loCJc 2 ist für alle Metalle erfüllt, für biologischesMaterial mit knapp I mol/1 Ionen, also(J::::; 1 o~J m~l auch, aber hier kommt die auf der Leitungberuhende Eindringtiefe in den cm-dm-Bereich, bei Niederfrequenzist sie viel kleiner). Die mitschwingenden Metallelektronenemittieren selbst: Das Metall reflektiert nochmehr als es absorbiert (sonst könnte uns die Polizei mitdem Radar nicht erwischen). Für die erwünschte Absorptionsind überwiegend die Wasserdipole verantwortlich. Absorptionist Leistungsaufnahme, Leistung ist Kraft mal Geschwindigkeitbzw. Drehmoment mal Winkelgeschwindigkeit.Es genügt also nicht, daß die Dipole sich dem WechselfeldE folgend einstellen, was sie bei kleinen Frequenzen ambesten tun, denn dann _folgt der Einstellwinkel ß dem Feld inPhase, und somit ist ß um 1r /2 gegen E verschoben: ReineBlindleistung, wie beim idealen Kondensator. Das Feldmuß so schnell wechseln, daß die Dipole fast nicht mehr mitkommen.Dann herrscht Gleichgewicht zwischen Feldkraftund Reibung, also Phasengleichheit zwischen E und ß.Aus der Geometrie des H20-Moleküls folgt dieseRelaxationsfrequenz zu einigen GHz (Aufgabe 3.3.5). Beinoch höheren Frequenzen wird ß dann zu klein.8.3.13. BrathendlJeder Dipol vom Moment er, auf den das Feld das DrehmomentM ausübt und der sich mit der Winkelgeschwindigkeitw dreht, nimmt die Leistung Mw auf. Im Mittel dreht sichjeder Dipol im FeldE um den Winkel ß = erEj(kT) (Verhältnisder Einstell- zur thermischen Energie). Im Sinus­Wechselfeld ist also w = ß = wß = werEj(kT), das Drehmomentist etwa M = erE, d. h. Leistung Mw ::::;e 2 E 2 ?wj~kT). Alle n Dipole im m2 schluckenP/V = ne E 2 r 2 wj(kT). Wieviel Leistung die Welle prom2 heranbringt, ihre Intensität /, läßt sich auch durch E ausdrücken:Energiedichte ss0E 2 , also I = css0E 2 . Auf jedem mverliert die Welle die Energie P jV pro m2 und s, sie kommtalso etwa bis d=l/P=aaockTj(ne 2 r 2 w). Aber B hängtselbst von e und r ab: e == e 2 ?j(a 0kT) (vgl. (6.53)). Alsoeinfach d::::; cjw. Das ist knapp die Wellenlänge, 12cmfür 2,5GHz.8.3.14. MikrowellenheizungGase mit einfach gebauten Molekülen haben im cm- und dm­Bereich kaum Resonanzfrequenzen und absorbieren wenig(sonst gäbe es weder Radar noch Radioastronomie). ImMikrowellenfeld könnte man sich angenehm warm fühlen,selbst wenn Luft und Wände fast Außentemperaturen hätten.Die konventionelle Heizung erwärmt dagegen zuerstdie Luft, und diese dann uns. Auch bei der Mikrowellenheizungwürde die Luft auf die Dauer 18 oder 20 °C annehmen,aber schon die COrProduktion der Bewohner erfordertetwa einen vollständigen Luftaustausch pro Stunde.Bewohner und andere wasserhaltige Dinge (Pflanzen,Erde), die direkt erwärmt werden, geben einige 100 W anKapitel 8: Lösungen 1101die Luft ab. Dies wäre bei 1 OO%ig wellendichten Wändender einzige Verlust, verglichen mit einigen kW Leitungsverlustvon 20 °C-Luft aus. Im Grenzfall braucht die Mikrowellenheizungnur diese 100 W/Bewohner zu liefern.8.4.1. PlasmafrequenzBei 10~ 2 mbar ist die Molekülzahldichte 2 · 1014 cm ~ 3 . DieElektronenkonzentration n = 10 10 cm~ 3 bedeutet also einenIonisierungsgrad nj no = 5 · 10~ 5 . In der Photosphäre istn::::; n 0 = gjm = 6 · 1021 cm~ 3 , die Langmuir-Frequenz/p = 7 · 10 14 Hz liegt im violetten Teil des sichtbaren S~ektrums.Für Halbleiter liegt/p zwischen lOGHz und 10 1 Hz(UR), für Metalle zwischen 3 · 10 14 Hz (Rot) und 3 · 10 15 Hz(UV). Gerrau wie die Ionosphäre Radiowellen mittlererLänge, so reflektiert ein Metall alle Wellen mit Frequenzenunterhalb /p. also i. allg. das ganze sichtbare Spektrum, dazudas UR und das nahe UV. Daher stammen Glanz und Undurchsichtigkeitder Metalle.8.4.2. Nordlicht. In 100 km Höhe ist der Luftdruck noch etwa 4 · w-4 mbar(Abnahme mit einer Skalenhöhe von durchschnittlich7 km). Unter diesen Bedingungen reichen schon Feldervon einigen V/ern zur Zündung von Glimmentladungen,doch sind diese so lichtschwach, daß man sie am Bodennicht sieht. Die Polarlichter werden durch Einschuß von Teilchen,besonders Protonen und Elektronen von der Sonneher angeregt, die im Erdmagnetfeld zu höheren Breiten abgelenktwerden. Bei ihren Energien um 100 ke V haben dieseTeilchen nach Abb.l3.35 eine Reichweite um 10~ 3 gjcm 2 .Das ist etwa die Gesamt-Flächendichte der AtmosP.häre über100 km: Dichte bei 4 · 10~ 4 mbar noch 10~ 9 gj cm 3 , SkalenhöheH::::; 7 km, gH::::; 10~ 3 gjcm 2 . Der "Sonnenwind"bleibt also um 100km Höhe stecken (vorher wird er nur unwesentlichgebremst) und regt dort das Gas intensiv an.8.4.3. DurchschlagBei normaler Luftdichte ist die Durchschlagsspannung nachPaschen (vgl. Aufgabe 8.3.3) so groß, daß die Durchschlagsströmei. allg. zur Bogenbildung ausreichen. Daher beobachtetman Glimmentladungen in Normalluft nur bei sehr zerstreuterschwacher Aufladung, meist aber in teilweise evakuiertenGefäßen. Die Betrachtung von Aufgabe 8.3.3 liefertals Durchschlagsfeld U /d::::; apW; 00 j(ekT) = nuW; 0n/e.Wenn W; 0 n einige eV beträgt, erhält man in Normalluftetwa 10 4 V/ern. Gegen 220 V isolieren schon 0,2 mm Luft.Ein Isolator verträgt höhere Felder (1 05 , maximal 106 V Icm), darf also dünner sein. Bei einem kräftigen Kurzschluß(dicke Leitung, starker Strom) wird die Entladung durchdirekte Berührung eingeleitet. Wenn dann Teile der berührendenDrähte verpuffen, zieht sich ein Lichtbogen dazwischen,der sich seine Träger selbst schafft und der Zündbedingungnicht mehr unterworfen ist, weshalb er gut ern-lang ausgezogenwerden kann.8.4.4. IonenraketeDie Spannung U liefert eine Ionengeschwindigkeit v =y'2ZeU jm, also den Rückstoßimpuls p = v2ZeUm für

IIIIII1102 Lösungen zu den Aufgabenjedes Ion. Ein Ausstoß von v Ionen/s stellt den Strom I = Zevund die Leistung Ul = ZevU dar. Ebensoviel Leistung, aberpraktisch kein Schub entfällt auf den Elektronenstrom. Würdeman die Elektronen nicht mit ausstoßen, dann würde sichdie Rakete sehr bald so stark negativ aufladen, daß man diepositiven Ionen nicht mehr abgeben könnte. Der Schub istF = vp. Das Verhältnis Schub/Leistung, also J2mj(ZeU)ist am besten für Cs-Ionen. 1 g/s Cs-Dampf, an heißer Platteionisiert und mit 10kV beschleunigt, liefert F = 4 · 10 3 N =0,4 t Schub und erfordert 7 MV. Die Auffangfläche fürSonnenstrahlung in Erdbahnnähe müßte bei vollständigerEnergieumwandlung 5 000 m 2 sein, was bei Montage aufder Startkreisbahn mit einer Konstruktionsmasse unterhalb1 t realisierbar scheint. Die Beschleunigung wäre dann nichtviel kleiner als g. Fahrten im Sonnensystem mit Start vonmöglichst erdferner Kreisbahn sind in vernünftigen Flugzeitenmöglich.8.4.5. PhotonenraketeEin Plasma von der Temperatur T und dem Radius r strahltnach Stefan-Boltzmann (Abschn. 11.2.5) eine LeistungP = 47r?aT 4 nach allen Seiten. Zum Schutz der übrigenTeile der Rakete müssen dazwischen Absorber oder besserSpiegel aufgestellt sein. Im Fall von Absorbern verlöreman den Faktor 3 im Schub (nur eine Komponente wirdausgenutzt). Dieser Schub kommt so zustande, daß jedesPhoton mit der Energie hv einen Impuls hj A = hv j c fortträgtbzw. als Gegenimpuls auf die Brennkammer überträgt. Alsoist der Schub F = Pjc = 4u 2 ~JT 4 jc. Rechnen wir mitr = 1 m und verlangen F = 100 t = 10 6 N, dann müßteT = 5 · 105 K sein. Solche Plasmen macht man schon, allerdingsnur kurzzeitig und mit einem ganzen Kraftwerk alsEnergiequelle. Die Dauerleistung wäre P = 3 · 10 14 W =3 · 10 8 MW, mehr als alle Kraftwerke der ganzen Erdez. Z. erzeugen. Die emittierten Photonen liegen nach demWiensehen Verschiebungsgesetz im weichen Röntgengebiet(um 1 kV) und werden von praktisch jeder Metallwand absorbiert.Die erforderliche Leistung ist nur durch Fusionoder Materie-Antimaterie-Vernichtung zu erreichen. ImFall der Fusion, wo knapp 1 % der Ruhmasse in Strahlungumgesetzt wird, gilt p = 10-2 J.lC2 und F = w-2 J.lC (J.l: sekundlicherBrennstoffumsatz). In unserem Beispiel wäreJ.l ~ 0,3 kg/s. 100 t Brennstoff würden nur knapp eineWoche und für Endgeschwindigkeiten um 100 krnls reichen.Brenndauer und Endgeschwindigkeit verhundertfachensich bei vollständiger Vernichtung von Materie undAntimaterie (in magnetischen Flaschen mitgeführt unterpeinlichster Vermeidung von Wandberührung?). Bei hinreichenderTreibstoffmenge kommt man beliebig nahe anc und kann in menschlichen Lebzeiten beliebig weit reisen(vgl. Abschn. 15.2.8).9.1.1. SonnenkringelDie Sonne hat einen scheinbaren Durchmesser von 0,5°. EinLoch vom Durchmesser d erzeugt auf einem Schirm im Abstanda einen Lichtfleck, der die Form des Loches wiedergibt,falls das Loch selbst unter einem wesentlich größeren Sehwinkelals 0,5° erscheint, also falls dja > 0,5° ~ 1/120.Eine Blattlücke von d = 1 cm dürfte dazu höchstens 1müber dem Boden sein. Bei a > 120d, also im dichten Laubwaldfast immer, entsteht ein Bild der Sonne: Eine Ellipsevom Querdurchmesser D = a/120.9.1.2. Log K. May hier auch?Aus 2 000 Fuß ~ 700 m Abstand erscheint selbst der gewaltigsteKrieger höchstens 0,06° breit und 0,18° hoch, dazu beider Steilheit der Wand noch auf mehr als die Hälfte verkürzt,d. h. viel kleiner als die Sonnenscheibe, die 0,5° Durchmesserhat. Es kommt daher kein Kernschatten zustande, sondernnur eine über ca. 30m 2 verteilte Abdunkelung (Halbschatten)um etwa 1 %, die selbst einem Winnetou kaum auffallendürfte, da sie ebensogut von einem Fels oder Busch herrührenkönnte. Der Schall braucht etwa 2 s, der fallende Körper 12 s.Selbst bei mehrere km hohen Wänden käme der Schall niespäter an als der Körper, weil dieser infolge des Luftwiderstandesnur maximal 70-90 rn/s erreicht.9.1.3. FinsternisseSind A und a die Abstände Sonne-Erde bzw. Mond-Erdoberfläche,D und d die Durchmesser von Sonne undMond (Tabelle s. Aufgabe), ist !J der Durchmesser des Kernschattens(Totalitätszone), dann liest man aus den ähnlichenDreiecken der Kernschattenkonstruktion ab b = (Ad- aD)j(A- a) ~ d- DajA. Das maximale !J (bei minimalem a,maximalem A) ist 230 km. Bei mittlerem a und A istb = -40 km: Ringförmige Sonnenfinsternis, ein ganzschmaler Rand der Sonne, etwa 1 ~ 0 Sonnendurchmesser,bleibt unbedeckt. Bei maximalem a, minimalem A steigtdie Ringbreite auf 2b Sonnendurchmesser. Eine Verschiebungum x auf der Erdoberfläche läßt den Mond sich scheinbarum den Winkel xj a verschieben, bei x = 1 000 km umetwa t Sonnendurchmesser. In 1 000 km Abstand von der Totalitätszoneist die Verfinsterung nur noch etwa 60 %. Inx = 3 000 km Abstand gibt es auch keine partielle Finsternismehr. Der Mond verschiebt sich am Fixsternhimmel um360° /Monat~ 0,5° jh. Die gesamte Sonnenfinsternis (vonder ersten bis zur letzten Berührung von Mond und Sonnenscheibe)dauert also maximal 1 h (zwei Mondbreiten). DieErde hat vierfachen Monddurchmesser, ihr Kernschattenreicht viermal weiter als der des Mondes, ist also im Mondabstandnoch i Erddurchmesser = 3 Monddurchmesser breit.Der Halbschatten erweitert sich um ebensoviel wie sich derKernschatten verjüngt, ist also beiderseits 1 Monddurchmesserbreit. Die Totalität einer Mondfinsternis dauert also 3 h,von der ersten bis zur letzten Berührung mit dem Halbschattendauert es maximal 6 h. Aristarch vollzog diese Schlußketterückwärts und folgerte als erster, daß der Mond ! Erd-

Kapitel 9: Lösungen 1103durchmesser hat und 30 Erddurchmesser entfernt ist. MitHilfe dieser Daten schätzte er Entfernungen und Größenvon Sonne und Fixsternen und stellte das heliozentrischeWeltbild auf.9.1.4. Finsternisse auf dem MarsPhobos und Deimos erscheinen vom Mars aus nur 0,1 bzw.0,02° breit, die Sonne 0,33° (vgl. Tabelle 1.2). Sie könnenalso höchstens partielle Sonnenfinsternisse mit 10 % bzw.0,4 % Verfinsterung erzeugen, die kein Marsmensch ohneHilfsmittel wahrnimmt. Dagegen ist der Marsschatten imAbstand seiner Monde noch so breit, daß bei jedem Vollphobosbzw. -deimos Verfinsterung eintritt.9.1.5. Was vertauscht der SpiegelDas Herz meines Spiegelbildes ist, absolut betrachtet, aufder gleichen Seite wie meines, sein Kopf ist auch auf dergleichen Seite wie meiner. Nur für Bauch und Rücken trifftdas Gegenteil zu. Absolut betrachtet, vertauscht der Spiegelalso nur vom und hinten, oder allgemeiner, er kehrt die Richtungsenkrecht zu seiner Ebene um. Relativ, d. h. in bezug aufden Kerl, der mir da gegenübersteht, sage ich nicht, vom undhinten seien vertauscht, muß dann aber in Kauf nehmen, daßsich eine andere Richtung umkehrt. Welche? Das ist reineDefinitionssache. Ob ich sage: Seitenrichtig, aber auf demKopf stehend, oder: Aufrecht, aber seitenverkehrt, kommtim Effekt auf dasselbe heraus. Da ich gewohnt bin, die Mittelachsedes Körpers als etwas Grundlegenderes zu betrachten,wälze ich die Vertauschung auf die Rechts-Links-Richtungab. Diese Betrachtung setzt voraus, daß ich in Normalstellungvor dem senkrechten Spiegel stehe. Zur Nachprüfungdenke man sich auf einem Spiegelfußboden.9.1.6. BrennspiegelIm Rasierspiegel will man sich aufrecht und vergrößertsehen. Dazu muß man den Kopf zwischen Spiegel undBrennpunkt bringen. Solche Spiegel haben daher Brennweitenum 1 m. Das Bild der Sonne (g ~ oo, WinkelgrößeGig= 0,5° ~ 1 i 0 )wird dann zu einem Brennfleck mitdem Durchmesser B = fG I g = f 1120 ~ 1 cm. Alles Licht,das auf die Spiegelfläche (Durchmesser D ~ 15 cm) fällt,sammelt sich idealerweise im Brennfleck, dessen Intensitätalso um den Faktor D 2 IB 2 = D 2 g 2 1(! 2 G 2 ) ~ 15 2 größerist als im normalen Sonnenlicht. Nach Stefan-Boltzmann(/ rv T 4 ) bedeutet das eine Gleichgewichtstemperatur einesschwarzen Körpers im Brennfleck von T = JDgl(fg) To(To: Gleichgewichtstemperatur im normalen Sonnenlicht,~ 300 K). Das setzt allseitige Bestrahlung und Verlustfreiheitvoraus. Bei einseitiger Bestrahlung und allseitiger Abstrahlungverliert man den Faktor Vi in T. Ohne Konvektionsverlusteim Vakuum würde man also etwa 700 K ~400 oc erreichen. In Luft wird das Papier nicht einmalbraun. Lupen leisten mehr, wenn ihre Öffnung D I! größerist als 0,15.9.1.7. WunderwaffeDie Wunderwaffe hat nur Sinn, wenn die Brennweite! einemSchiffsabstand entspricht, über den man keine Brandfackelmehr werfen kann, also f :

1104 Lösungen zu den AufgabenDie Beugungsringe haben einen Abstand aJcl d ~ 3 cm, vergrößernalso, da ihre Intensität nach außen rasch abnimmt,das beleuchtete Gebiet nicht merklich. Infolge Spiegelunebenheitenund atmosphärischer Streuung werden sie inder Unschärfe des Bildrandes untergehen. Da der Spiegelüber dem Äquator stehen muß (sonst wäre er nicht stationär),taucht er auf einem Stück seiner Bahn, das den Winkel2RI a ~ 0,36 ~ 60° einschließt, also in 4 h durchlaufen wird,in den Erdschatten ein. Dann ist Ruhe. Für einen Astronauten,der dicht vor dem Spiegel schwebt, ist er völlig eben. Einevergrößernde Wirkung hat er also nicht..9.1.10. Echo-SatellitIm Satelliten (Konvexspiegel vom Radius r) erscheint einvirtuelles Bild der Sonne vom Durchmesser B = JG I g,z. B. bei r = 15m von B = 6 cm. Dieses Bild hat die gleicheLeuchtdichte wie die Sonnenscheibe (die Kugel fängt denBruchteil 1r? I ( 47rg 2 ) der Gesamtstrahlung der Sonne aufund konzentriert sie auf die um den Faktor B 2 I G 2 =j 2 I g 2 = ! ? I g 2 kleinere Fläche des Bildes; allgemein bleibtdie Leuchtdichte konstant bei jeder Abbildung, bei der nurReflexion und Brechung, nicht aber Absorption beteiligtsind). Aus einem Abstand a erscheint also der Satellit,genauer das Sonnenbild in ihm, um den FaktorB 2 g 2 I(G 2 a 2 ) =f 2 1a 2 =!?la 2 weniger hell als dieSonne. Bei der Höhe h = 1 000 km über dem Erdbodenund r = 15m ergibt sich bei Zenitstand (a = h) ein Faktor2. w- 10 , d. h. knapp 27 Größenklassen: Der Satellit istheller als Wega, die 0,05 Größenklassen hat. Bis zum Horizont(a = 3 600 km) nimmt er um den Faktor 13, also umdrei Größenklassen ab.9.1.11. ParabolspiegelAchsenparallele Strahlen werden im Parabolspiegel exakt imBrennpunkt vereinigt. Dafür werden aber die Abbildungseigenschaftenfür nichtachsenparallele Strahlen schon beiziemlich kleinen Winkeln noch schlechter als beim Kugelspiegel,der wenigstens für alle Richtungen gleich schlechtist. Bei der Kugel gehen z. B. wenigstens die achsennahenStrahlen alle durch den (jeweiligen) Brennpunkt, beim Paraboloidnicht. Wo sollte auch die Achse der Parabel für einschiefes Bündel sein, vielleicht durch den Brennpunkt F gehen?Aber der Strahl durch F wird doch bestimmt zum Parallelstrahl(Abb. 9.15b).9.1.12. RiesenfernrohrDer Schacht wäre natürlich nur für Sterne brauchbar, die genaudarüberstehen. Sowie der Strahl nicht mehr ganz achsenparallelist, geht die Überlegenheit über den Kugelspiegelbald verloren. Die Brennweite f (Halbparameter der Parabel)ergibt sich nach Abschn.3.1.2 alsf = gl(2o}). Damitdas Zwischenbild immer an der gleichen Stelle bleibt,muß die Drehzahl ( w) hochgradig konstant sein. Damitdie vergrößerte Auflösung ausgenutzt werden kann, darfdas Zwischenbild höchstens um 0,5 ~m zittern. Beif = 50 m bedeutet das einen Fehler in w um höchstensw- 8 (11flf = -ßwl(2w)), was schwer zu erreichen ist.Das Projekt hat noch mehrere ähnliche "Würmer".9.1.13. SchärfentiefeDie Schärfentiefe eines optischen Gerätes kann so definiertwerden: Wenn bei gegebener Brennweite f und Bildweite bdie Gegenstandsweite von dem durch llb = llf- llg gegebenenWert abweicht, wird ein Punkt nicht mehr alsPunkt, sondern als Scheibchen dargestellt. Ist dieses Scheibchenkleiner als das "Korn" des Registrierorgans (Photoemulsion,Netzhaut), so ist diese Abweichung unschädlich.Wir verlangen z. B. von der Kleinbildkamera, daß ein Kontaktabzug,mit bloßem Auge betrachtet, gestochen scharfaussehen soll. Das ergibt eine Korngröße des Films von höchstensbK = 20 ~m (die Netzhaut hat ein 5 ~m-Korn, entsprechenddem Auflösungsvermögen des Auges; Bild- und Gegenstandsgrößeim Nahpunkt des Auges verhalten sich wieAugapfellänge zur Nahpunktweite, also etwa wie 1: 4).Für die Photographie interessieren Gegenstände mit g » f,die nahe der Brennebene abgebildet werden. Der bildseitigeÖffnungswinkel des Lichtbündels, das von einem Gegenstandspunktkommt, ist dann !dlf (dl2: B1endenradius),also sein Durchmesser, wenn die Bildweite um ßb"falsch" ist: J = !d ßblf. Nach der Abbildungsgleichunghängt der Bildweitenfehler ßb mit dem Fehler der Gegenstandsweiteßg bei g » f so zusammen: b = fg I (g - f) ~f(l + f lg), also M ~ -ßgj 2 I g 2 . Es folgt für die Schärfentiefe,d. h. das ßg, das einem J gleich der Korngröße entspricht:lßgl ~ M g 2 1! 2 = 2bKg 2 lifd). Für eine f =50mm-Optik ergibt sich bei Blende 2,8, d. h. d = 5012,8:ßg ~ 0,04g 2 . Wenn ßg ~ g wird (d.h. hier bei g =25 cm), muß man natürlich die Näherung ßb ~ -ßgj2 I g 2aufgeben und mit b = f( 1 - f I g) rechnen. Sie erhalten sodie Begrenzung des Schärfebereichs, die meist gegenüberden Blendenzahlen auf dem drehbaren Ring der EntfernungseinstellungIhrer Kamera aufgedruckt sind. Rechnen Sienach! Diese Unschärfe hat weder mit Beugung noch mitLinsenfehlern zu tun.9.1.14. RefraktometerDie Flüssigkeitsschicht mit der Brechzahl n zwischen denbeiden Glasprismen erlaubt Durchtritt des Lichtes aus demunteren Prisma nur bei genügend steilem Einfall. Dasschwenkbare, schwach divergente Bündel der Lichtquellewird genau zur Hälfte durchgelassen, zur Hälfte nicht,wenn seine Achsenrichtung dem Totalreflexionswinkel entspricht.Dann halbiert im Okular die Hell-Dunkel-Grenzegenau das Blickfeld.9.1.15. Asymmetrischer DurchgangDas Lichtbündel tritt unabgelenkt durch die eine Fläche undfällt auf die andere unter dem Winkel y auf, tritt also unter IXmit sin IX = n sin y wieder aus. Die Ablenkung ist b' = IX - y,also sin y = n- 1 sin(y + b'). Bei symmetrischem Durchganggilt nach (9.10) sin(yl2) = n- 1 sin((y + b)l2). WelcheAblenkung ist größer, b oder b'? Wir schreiben J =2 arcsin(n sin(y 12)) - y, b' = arcsin(n sin y) - y. Ein Blickauf das Bild der arcsin-Funktion zeigt, daß sie im interessierendenWinkelbereich stärker als linear ansteigt (ihr Spiegelbild,die sin-Funktion, steigt schwächer als linear), daß alsofür jedes interessierende x gilt 2 arcsin(xl2) < arcsinx. Es

Kapitel 9: Lösungen 1105folgt J < J': Bei symmetrischem Durchgang ist die Ablenkungschwächer als bei senkrechtem Einfall.9.1.16. Minimale AblenkungWir zeichnen nur die Symmetrieebene des brechenden Winkelsy. a sei der Winkel, unter dem ein Strahl gegen dieseEbene einfällt, ß der Ausfallwinkel, definiert wie inAbb. L.9. Der Strahl wird dann um b = 180° - r:t.- ß abgelenkt.Wir tragen ß als Funktion von a auf. Da der Strahlengangumkehrbar ist, muß die Beziehung zwischen r:t. und ßsymmetrisch sein. Wenn z. B. der Ausfallwinkel ß = 53°zum Einfallswinkel r:t. = 48° gehört, muß beim Einfall unter53° der Ausfall unter 48° erfolgen. Man kann also r:t. und ß inder Beziehung ß = f(a) vertauschen, d. h. die Funktion fmuß gleich ihrer eigenen Umkehrfunktion sein, d. h. dasBild von ß = f(a) muß, an der 45°-Geraden a = ß gespiegelt,in sich selbst übergehen. Unter den steigenden Funktionenß = f(a) gibt es nur eine, die das tut, nämlich a = ßselbst. Das würde bedeuten, daß der Durchgang immer symmetrischist, bei r:t. = 90° z. B. müßte auch ß = 90° sein, alsob gar kein Prisma da wäre. Die Lösung r:t. = ß trifft also nichtzu. Die einzige andere Möglichkeit ist eine fallende ß(a)­Kurve. Sie muß irgend wo die 45° -Gerade a = ß schneiden:Der Schnittpunkt entspricht dem symmetrischen Durchgang.Die Kurve ß(a) kann durch diesen Punkt konvex, konkavoder gerade laufen ( a, c, bin Abb. L.9). Der Fall b würdebedeuten, daß die Ablenkung J = 180° - a - ß immergleich ist. Im Fall a ist r:t. + ß bei symmetrischem Durchgangmaximal, J also minimal; im Fall c ist es umgekehrt. Welcherder drei Fälle zutrifft, läßt sich jetzt durch Vergleich der symmetrischenAblenkung mit einem anderen Fall feststellen,z. B. mit dem senkrechten Einfall (Aufgabe 9.1.15). Dortwar die Ablenkung stärker, also ist sie allgemein bei symmetrischemDurchgang minimal.9.1.17. DreikantprismaEin Prisma mit rechteckigem Querschnitt wird entweder sovom Lichtbündel durchsetzt, daß dieses einfach an zweiGrenzflächen gebrochen wird (dann benutzt man effektivwieder ein Dreikantprisma mit rechtwinklig-dreieckigemQuerschnitt), oder daß es an zwei oder mehr Grenzflächengebrochen und an einer oder mehreren reflektiert wird.Bei zwei Brechungen und einer Reflexion heben sich aberdie beiden Dispersionseffekte ganz oder teilweise auf,ganz z. B. bei symmetrischem Durchgang: Das rote unddas blaue Bündel fallen zwar leicht gegeneinander versetzt,aber parallel zueinander wieder aus.9.1.18. RückstrahlerSchwenkt man einen Spiegel um den Winkel q; in einerEbene, die das Lot zum Spiegel und den einfallenden Strahlenthält, dann wird der ausfallende Strahl um 2q; geschwenkt.Das nutzt man in allen Lichtzeigerinstrumenten aus (Spiegelgalvanometer,Drehwaage). Bei zweimaliger Reflexionim Winkelspiegel dagegen kommt es auf eine Schwenkungdes Spiegels nicht mehr an: Der reflektierte Strahlläuft gegenden einfallenden immer unter dem Winkel 2r:t., falls er in derl/Abb. L. 9. In symmetrischer Lage lenkt ein Prisma minimal abEbene der beiden Spiegellote einfällt. Bei a = 90° z. B.kommt er immer genau in umgekehrter Richtung zurück.Die Beschränkung auf die Lotebene fällt auch noch weg,wenn man einen dritten Spiegel senkrecht zu den beiden anderensetzt. Der Rückstrahler am Fahrrad, bestehend aus vielensolchen rechtwinkligen Eckspiegeln, strahlt also unabhängigvon seiner Stellung im Idealfall alles Licht auf dessenErzeuger zurück. Die Totalreflexion in einem Prisma vermeidetnoch die Spiegelverluste. Mein zweimaliges Spiegelbildim Winkelspiegel sieht so aus, als stünde mir einer gegenüber,der das Herz wieder links hat. Im Prismenfeldstechererfolgt zweimalige 180° -Ablenkung durch Totalreflexionin zwei 90°-Prismen (Verlängerung des Lichtweges, umdie Brennweite von Linsen großer Öffnung ausnutzen zukönnen). Alle Durchtritte durch Luft-Glas-Grenzflächen erfolgendabei entweder überhaupt senkrecht, oder so, daß sichdie aufeinanderfolgenden Dispersionen gegenseitig aufheben(vgl. Aufgabe 9.1.17). Die verschiedenfarbigen Bündellaufenalso evtl. etwas gegeneinander versetzt, aber parallel, wasdem Auge nichts ausmacht: Es vereinigt sie trotzdem aufeinen Punkt, man sieht keine farbigen Ränder.9.1.19. Camera obscuraIm Bild sind oben und unten vertauscht, rechts und linksauch, also ist es nach Umdrehen seitenrichtig. Ein ferner Gegenstandspunkterzeugt einen Lichtfleck vom Lochdurchmesserd, wozu aber bei kleinem d das Beugungsscheibchenvom Durchmesser = },ajd kommt (a: Abstand zur ~euwand,::_gl. (4.74)). d + ).aj d hat ein Minimum 2v').a beid = v' },a, d. h. nur 1 mm für a = 2 m. Die Helligkeit istdann natürlich sehr gering; sie geht wie d2.9.1.20. Kommen wir da durch?Aus der Konstruktion eines Büschels, das von P ausgeht,aber von P' herzukommen scheint, ergibt sich nachAbb. L.lO (s. nächste Seite) die Parameterdarstellung x =- lcosy-hj tan y, y =-lsin y mit l=dsin 2 yj (nsin 3 ß).Nach y(x) läßt sich das nicht auflösen.9.2.1. Gärtnerlatein?Wasser hat die Brechzahl n = 1 ,33. Ein kugeliger Tropfen,als dünne Linse betrachtet, hätte die BrennweiteJ=!r/ (n-!) = 1,5r. Für die dicke Linse ist die Brennweitenicht vom Mittelpunkt, sondern von der Hauptebenean zu rechnen, die nach (9.19) um 2r/ (2n) = 0,75r vomrückwärtigen Scheitel der Kugel entfernt ist. Der Brennpunkt(der, wie jedes Experiment zeigt, herzlich schlecht aus-

uo6Lösungen zu den Aufgaben(b)(c)c ß co y dß inyn dy n inßc- ö inyinß0 _!!_ dßinfJc d iny dßL dy - in2ß dy{J ~~11 in1ßAbb. L. 10. So sieht (b) ein Bootfahrer 50cm, (c) einSchwimmer 1 0 cm über dem glatten Wasserspiegel denBoden eines 1m tiefen Sees (Konstruktion in (a))geprägt ist) liegt also um 0,75r hinter dem rückwärtigenScheitel. Steht das Blatt mit dem Tropfen darauf etwa senkrechtzur Sonneneinstrahlung, dann würde das Licht erst imIonern des Blattes gesammelt, wo es längst absorbiert ist.Wenn bei schrägem Einfall der "Brennpunkt" einmal aufdie Blattoberfläche fällt, ist er so wenig konzentriert, daßVerbrennungen ausgeschlossen sind. Die Gefahr des Gießensbei Sonnenhitze liegt vielmehr darin, daß sich auchPflanzen erkälten können.9.2.2. AstigmatismusAlle geometrischen Betrachtungen für die Brechung amkreissegmentförmigen Querschnitt der Kugellinse geltenauch für den ebenso geformten Querschnitt des Zylinderssenkrecht zu seiner Achse. Der rechteckige Querschnitt inAchsemichtung hat keine Sammelwirkung. Die Zylinderlinsehat also keinen Brennpunkt, sondern eine Brennlinie.Jeder andere Querschnitt, schräg zu diesen Hauptlagen, ergibtkein Kreis-, sondern ein Ellipsensegment Eine solcheEllipsenfläche bildet paralleles Licht auch nicht annäherndin einen Punkt ab. Eine zweite Zylinderlinse, mit der Achsesenkrecht zur ersten dicht dahintergestellt, bringt also für diebeiden Hauptschnitte punktförmige Sammlung, aber nichtfür alle anderen Schnitte. Ein Auge ist astigmatisch, wennLinse oder Augapfel in den verschiedenen Richtungen verschiedengekrümmt sind, wie das ganz extrem beim Zylinderder Fall ist.9.2.3. AphakieDas Bild des unendlich fernen Gegenstandes läge 8 mm hinterder Netzhaut, wenn dort noch Wasser wäre, ist also vollkommenunscharf. Die Hornhautkrümmung sorgt also alleinschon für i der Brechkraft des normalen Auges, die Linse nurfür ! (Hornhaut 30 Dioptrien, Linse ca. 10 Dioptrien). DasBild eines näheren Gegenstandes liegt noch weiter hinterder Netzhaut und ist noch unschärfer. Das aphake Augebraucht eigentlich eine "Zoom-Linse", deren Brechkraftum so größer ist, je näher der betrachtete Gegenstandliegt. Eine Fern- und eine Nahbrille helfen einigermaßen.Die Fernbrille ersetzt die unangespannte Linse mit etwa13 Dioptrien, die Lesebrille muß bei 25 cm Leseabstandetwa 17 Dioptrien haben. Wenn jemand z. B. nur zwischen10 und 50cm scharf sieht,ist der Brechkraftbereich 42-50Dioptrien. Zur Fernsichtkorrektur braucht dieser Menscheine Zerstreuungslinse mit -2 Dioptrien. Anspannung derRingmuskeln verstärkt Wölbung und Brechkraft der Linseund macht dadurch die Bildweite gleich der Augapfellänge.Beim üblichen Fotoapparat bleibt die Brechkraft konstant,man ändert die Bildweite (Abstand Objektiv-Film).9.2.4. TaucherbrilleUnter Wasser steht vor dem Auge ein Medium mit n = 1,33statt n = 1. Damit fällt die Brechung an der Homhautwölbung,die nach Aufgabe 9.2.3 für 30dp aufkommt, praktischweg. Um diese 30 dp ist man unter Wasser "weitsichtig".Etwa 10 dp davon kann die Linse durch Anspannung ausgleichen.Selbst für die Ferne fehlen dann für den Normalsichtigennoch 20 dp. Beim stark Kurzsichtigen ( - 10 dp) kannsich dieses Defizit auf 10 dp verringern: Er sieht unter Wasserdie Feme ähnlich unscharf wie über Wasser, beide Maleohne Brille. Beim mäßig Kurzsichtigen machen die paar Dioptriender Brille so wenig aus, daß er meist gar nicht sagenkann, ob es besser ist, beim Tauchen die Brille aufzubehaltenoder nicht.9.2.5. Wenigstens ein VorteilDer Kurzsichtige hat entweder eine zu hohe Linsenbrechkraftoder einen zu langen Augapfel. Jedenfalls liegt seinSchärfebereich näher beim Auge und reicht nicht bis Unendlich.Hat er z. B. eine -10-Brille, dann sollte diese seineBrechkraft in den üblichen Bereich 42-52 Dioptrien bringen(vgl. Aufgabe 9.2.3; jugendliches Auge). Ohne Brille hat eralso 52-62 Dioptrien, d. h. er sieht scharf von 4,6 bis 11 cm(g = 2,4/ / (2,4 - 1,3/)). Er kann also halb so weit vomAuge und damit doppelt so groß noch scharf sehen wieder Normalsichtige. Im Alter verstärkt sich dieser Unterschied:Selbst bei völlig erstarrter Linse sieht der -10-Kurz-

Kapitel 9: Lösungen 1107sichtige noch bei 11 cm scharf (allerdings leider nur dort),der Normal-Alterssichtige nur im Unendlichen.9.2.6. Dicke LinseDie Brechung ist anzusetzen an einer Ebene, die vom linkenScheitel an gerechnet die folgenden Bruchteile der Linsendickeabschneidet: ~ für Parallelstrahlen von rechts, ~ fürBrennstrahlen von links,~ für Brennstrahlen von rechts, zwischen~ und ~ für Richtungen, die zwischen Parallel- undBrennstrahl liegen. All dies ergibt sich einfach ausAbb. 9.37 durch Umkehrung des Lichtweges oder auf Grundder Symmetrie der Linse.9.2.7. Sphärische AberrationFür achsenferne Strahlen gelten die Näherungen inAbschn. 9.2.1 (Ersetzung von sin und tan durch denWinkel) nicht mehr. Für ein Parallelbündel erhält man inder nächstbesseren Näherung nach ziemlich mühseligerAlgebra das unverhofft einfache Ergebnis b =rn2(1-nfi/(2n~?))/(n2-ni)für den Abstand desSchnittpunkts mit der Achse vom LinsenscheiteL FürLuft-Glas wird b = 3r(l - 0,22yl /r 2 ). Bei y « r gilt alsorichtig der "achsennahe" Wert b = 3r, mit wachsendemAchsabstand rückt der Schnittpunkt immer näher an dieLinse. Für y = 0,5r liefert die exakte Rechnung besonderseinfache Zahlenwerte ( y = 30°, ß = 20°, qJ2 = 10°,b = 2,84r), und man sieht, daß auch die obige Näherungdort nicht mehr sehr gut ist. Dies galt für eine brechendeKonvex-Kugelfläche. Umkehrung des Strahlengangeszeigt, daß bei der Konkavfläche Strahlen, die nach der Brechungachsenfern parallel werden sollen, nicht vom Brennpunktkommen dürfen, sondern von einem Punkt, der um sonäher an der Linse liegt, je steiler die Strahlen gegen dieAchse weggehen.9.2.8. TrikoloreDie Wölbung der Augenlinse oder eigentlich die Anstrengungdes Akkommodationsmuskels wird als Entfernungsmaßregistriert, das durchaus mit den Signalen des zweiäugigenSehens konkurrieren kann. Selbst wenn verschiedenfarbigeFlächen nahe beieinanderstehen, machen wir dochunmerkliche Drehbewegungen des Auges, um das jeweilsfixierte Element in die Fovea centralis zu bringen, wo dieZäpfchen am dichtesten sitzen, begleitet von entsprechendenAkkommodationsänderungen, falls die Elemente verschiedenfarbigsind. Daher können sich Farbflächen, besonderswenn sie wie in Kirchenfenstern deutlich voneinanderabgesetzt sind, scheinbar in verschieden entfernte Ebenentrennen: Rot - nahe, Blau - fern, mit Zwischenstufen längsdes Spektrums. Ein roter Streifen gleicher Breite, also gleichenSehwinkels wie ein blauer würde, weil näher, schmalererscheinen.9.2.9. LupeEine Lupe soll nicht viel weniger als 1 cm Durchmesserhaben, damit man ein angemessenes Bildfeld erhält. BeimÖffnungsverhältnis d/f ~ 0,5 ist die sphärische Aberrationschon erheblich (vgl. Aufgabe 9.2.7). Die Brennweite fdarf also kaum unter 1 cm gehen. Dem entspricht nach(9.22) oder (9.23) eine Vergrößerung nicht wesentlich oberhalb25. Die Linse ist dann schon fast kugelig. Bei derBikonvexlinse ist f = r (vgl. (9.16)), und ein erheblicherTeil davon fällt ins Innere der dicken Linse. Das Objektmuß also um wenige mm hinter den Linsenscheitel gehaltenwerden.9.2.10. MikroskopDie Vergrößerungen gehen von 125 bis 2450. Das Objektmuß praktisch in die Brennebene des Objektivs gebrachtwerden, d. h. weniger als die Brennweite vom Scheitel deräußersten Objektivlinse entfernt (das Objektiv ist keinedünne Linse). Praktisch wird man die Objektive etwa durchden Aufdruck 25x, 50x, 83x, 167x, die Okulare durch 5x,lüx, 15x kennzeichnen.9.2.11. ImmersionsobjektivMan kann das Auflösungsvermögen A kennzeichnen durchden reziproken kleinsten Sehwinkel a/ Ä. = an/ Ä.o und sagen,das Immersionsöl setze die Wellenlänge gegenüberder im Vakuum Ä.o auf~ herab; oder man kann A beschreibendurch I/ g = n sin rx/ },o, den reziproken Abstand noch auflösbarerGegenstandspunkte, und sagen, das Öl erhöhe dienumerische Apertur. Beide Darstellungen sind äquivalent.9.2.12. AuflösungsvermögenAuch die Elektronenausbreitung wird durch eine Welle, diede Broglie-Welle, geregelt, deren Wellenlänge mit dem Impulsp der Elektronen wie Ä. = h / p zusammenhängt. Objekte,die kleiner sind als Ä., erzeugen Beugungsscheibchen, diei. allg. nicht ganz in die Objektivöffnung fallen. Die AbbescheTheorie ist anwendbar. Senkung der Wellenlänge steigertdas Auflösungsvermögen. Violettlicht zeigt etwa halb sogroße Einzelheiten wie Rotlicht. Gelegentlich benutzt manUV-Licht mit photoelektrischen Bildwandlern. Im Elektronenmikroskopsind der Senkung von Ä. theoretisch kaumGrenzen gesetzt: Man braucht nur die Beschleunigungsspannungzu steigern. Unterhalb von 500 kV (im nichtrelativistischenBereich) ist p = v'2meU, oberhalb p = eU je. Leiderlassen es die Linsenfehler nicht zu, die entsprechenden hohenAuflösungen auszunutzen. Man muß die numerische Apertursehr klein halten, im Gegensatz zum Lichtrnikroskop.Immerhin hat man mit Elektronenenergien von einigenMeVerstmals echte optische Abbildungen atomarer Objekteherstellen können (Bilder von Metallatomen u. ä. waren bishernu:r: mit dem Feldemissionsmikroskop erzeugt worden,ohne Einschaltung einer optischen Abbildung).9.2.13. Wie mißt man VergrößerungWie Abb. 9.50 zeigt (unter erheblicher Übertreibung desWinkels zwischen Bündelrichtungen und optischer Achse),verhalten sich die Durchmesser des ins Objektiv eintretendenund des aus dem Okular austretenden Bündels wieJI/h = v. Man braucht z. B. beim Feldstecher nur denDurchmesser des hellen Scheibchens auszumessen, dasman im Okular sieht, und es mit dem Objektivdurchmesserzu vergleichen. Das Verhältnis gibt direkt die Vergrößerung.

1108 : Lösungen zu den AufgabenWenn Vergrößerung und Öffnung des Fernrohrs so ausgelegtsind, daß das Auflösungsvermögen des Auges gerade vollausgenutzt wird, ist dieses Scheibchen so groß wie diemenschliche Pupille.9.2.14. EntfernungseinstellungDas Gewinde am Kamera-Objektiv übersetzt Drehung proportionalin Verschiebung, d. h. Änderung des Abstandes Objektiv-Film,der Bildweite. Nach der Abbildungsgleichung istb = f 1(1-f lg). Diese b(g)-Abhängigkeit ist ausgesprochennichtlinear, sie ist eine Hyperbel mit den Asymptotenb = f und g = f. Da üblicherweise g » f ist, kann manschreiben b ~ f + j 2 I g. Die b-Änderung zwischen g = 50und 55 cm ist ebensogroß wie zwischen 5 m und oo, unabhängigvon der Brennweite, denn beidemal ist der Unterschied in1 I g derselbe, nämlich 0,2 m -I .9.2.15. HohlweltWir beschränken uns hier auf das rein Geometrisch-Optisch­Astronomische. Spiegelung an der Erdkugel bringt alles nachinnen. Ein Objekt, das für uns den Abstand a vom Erdmittelpunkthat, wandert nach b = R 2 I a, z. B. der Mond auf eineBahn von b = 100 km Radius, die Sonne auf b = 250m. DerMond hat etwa 1 km Durchmesser, die Sonne nur etwa 2m.Alle Lichtstrahlen, die die Erdoberfläche tangieren, werdenKreise vom Radius Rl2, die durch den Erdmittelpunkt gehen.Strahlen anderer Richtung werden Kreisbögen mit größeremRadius. Wer Funktionentheorie kann, weiß das sofort:z' = R 2 I z ist konform, daher kreis- und winkeltreu. DiesesVerhalten des Lichtes erklärt Horizont, Tages- und Jahreszeiten,Finsternisse usw. Licht würde so laufen, wenn die Brechzahln = r2 I R 2 wäre (Herleitung: Für einen zum Zenit gerichtetenLichtstrahl sagen wir c = dr I dt, die Hohlweltlerc' = dr' ldt = -R 2 r- 2 drldt, also n = r 2 IR 2 ). Nahe am Mittelpunktläuft das Licht sehr schnell: so kommen sogar dievielen Lichtjahre der Astronomen heraus, die von dieser Beschleunigungja nichts ahnen. Satellitenaufnahmen, auf denenman sieht, daß die Erde konvex ist, beweisen entgegenallgemeiner Überzeugung nichts, denn nach der Hohlwelttheoriewürde genau dasselbe herauskommen. In Widersprüchegerät man erst, wenn man Strahlungsenergie- und Gravitationsproblemebehandelt. Wenn die winzige Sonne,wie ihr Spektrum anzudeuten scheint, etwa 6 000 K heißist, könnte sie uns nicht so erwärmen, wie sie es tut, dennihre Strahlung verdünnt sich fast 109mal mehr als nachdem üblichen Weltbild. Tröstlich, wenn auch nur auf denersten Blick, ist folgendes: Der T-Gradient im Erdkörperist ja empirisch gesichert. Den Hohlweltlern müßte er einenununterbrochenen Wärmestrom nach innen führen, der ihrenHohlraum längst unerträglich aufgeheizt hätte.9.2.16. HaloParalleles Sonnenlicht fällt auf eine Eisnadelwolke. Durchein Eisprisma gebrochenes Licht erreicht uns aus einer Richtung,deren Winkel rp zur Sonnenrichtung gleich dem Ablenkwinkeldes Prismas ist. Für die Eisnadeln sind i. allg.alle Orientierungen gleichmäßig vertreten. Der Ablenkwinkelrp als Funktion der Orientierung hat aber ein Minimum,und eben deswegen tritt dieser rp-Wert am häufigstenauf (vgl. z. B. Abb. 4.73, wo allerdings die Abszisse j, heißt).Nach Abschn. 9.1.5 folgt diese Minimalablenkung rp aussin((y + rp)l2) = nsin(yl2) mit y = 60° und n = 1,31 zurp = 22°. Eis hat normale, aber schwache Dispersion, daherist rp für Rot kleiner: Rot liegt innen. Die übrigen Farben sinddurch nichtminimal abgelenktes Licht weitgehend verdeckt.Da rp minimal ist, sieht das Innere des Halos deutlich dunkleraus als außerhalb.9.3.1. R~mer oder DopplerEin periodischer Vorgang wie die Verfinsterung der Jupitermondeerscheint einem Beobachter "ins Violette verschoben",d. h. mit vergrößerter Frequenz, wenn er sichmit der Erde auf die Quelle (Jupiter) zubewegt, und umgekehrt.Ist v 0 die Umlauffrequenz eines Mondes und hatdie Erde eine Geschwindigkeitskomponente v sin( wt) aufJupiter zu, dann beobachtet man eine Verfinsterungsfrequenzvo(1 + vsin(wt)lc). In einem halben Jahr siehtder Erdbeobachter eine Anzahl von Perioden, die gleichJJI 2 v dt = volw J; (1 + v sin(wt)lc) dt = vo(T I2+2Ric) =v0 (T 12 + 2RI c) ist, also genau um so viele Perioden mehr alsbei ruhender Erde, wie auf die Laufzeit 2RI c entfallen, diedas Licht für einen Erdbahndurchmesser braucht.9.3.2. Fizeau-VersuchDamit Zahn bzw. Zahnlücke das sehr gut fokussierte Lichtbündelganz unterbricht bzw. passieren läßt, muß jedes etwa1 mm breit sein. Bei einer Umfangsgeschwindigkeit von100 m/s, die schon sehr beängstigend ist, dauert es dannw-5 s, bis die nächste Lücke den Platz eines Zahnes einnimmt.In dieser Zeit legt das Licht 3 km zurück. Das "Minimalexperiment"erfordert also eine Meßstrecke von 1,5 km.In der Orginalanordnung war sie 5,7mal so lang. Fizeaukonnte also die Frequenz v seines Rades von 0 an allmählichsteigern und jedesmal die v-Werte registrieren, bei denen maximalebzw. minimale Helligkeit auftrat. Die Abstände zwischenHell und Dunkel ergeben mehrere unabhängige Messungenvon c, die man mitteirr kann, um die Meßgenauigkeitzu steigern und ein quantitatives Maß für die Fehlergrenze zugewinnen. Die Genauigkeit der Methode hängt dann im wesentlichenvon der Drehzahlmessung ab. Schon eine stroboskopischeMessung mittels der Netzfrequenz liefert (heute)etwa 99 % Genauigkeit. Elektronische Methoden führenviel weiter.9.3.3. Foucault-VersuchDie rotierenden Teile von Elektromotoren haben Abmessungenvon mindestens 1 cm. Damit Umfangsgeschwindigkeitenvon 100 m/s nicht überschritten werden, darf die Frequenznicht viel größer sein als 1 kHz. In einem großen Saal erreichtman durch Mehrfachspiegelung leicht 100m Lichtweg,d. h. eine Laufzeit des Lichtes von U,3 flS. In dieserZeit dreht sich der Spiegel um den Winkel wt =2 · 10- 3 ~ 7 1 • Auf einem 20m entfernten Schirm ist dieAblenkung zwischen einfallendem und zurückkehrendem

Kapitel 9: Lösungen 1109Bündel 4 cm. Bei sehr guter Fokussierung (1 mm Bündeldurchmesser)bedeutet das eine Meßgenauigkeit vonetwa 1 %. Direktmessung der Brechzahl von Luft aus derLichtgeschwindigkeit würde eine Vergleichsmessung im Vakuumvoraussetzen, die so nicht durchführbar ist. Ganz abgesehendavon reicht die Meßgenauigkeit längst nicht aus(nLuft = 1,00027). Man brauchte dazu bei gleicher Fokussierungeinen Lichtweg von etwa 10 km.9.3.4. Ändert sich ..1. oder v?Würde sich die Frequenz beim Eintritt ins Wasser ändern,wäre kein gemeinsamer Schwingungsvorgang außer- und innerhalbdes Wassers mehr möglich: Beide würden sofortaußer Takt fallen. ..1. muß mit 1 In gehen. Die Frage nachder Farbe ist so nicht entscheidbar: Auch im Auge des Taucherskommen sowohl ..1. als auch v mit denselben Werten anwie über Wasser. Beim Eintritt in den See nimmt ..1. ab undändert sich dann beim Übergang in den Augapfel kaumnoch. Über Wasser erfolgt die gleiche Gesamtänderung ander Hornhaut.9.3.5. Widerspruch?Zeichnen Sie analog zu Abb. 4.34b diese Elementarwellenin der Luft. Ist der Grenzwinkel der Totalreflexion überschritten,gibt es keine Tangentialebenen an die Kreis-Wellenfrontenmehr. Diese Ebenen kennzeichnen ja nur einigeder Stellen, wo alle Elementarwellen konstruktiv interferie-. ren, nämlich alle einen Berg haben. Auf allen dazu parallelenEbenen interferieren andere Phasen ebenfalls konstruktiv.Die Elementarwellen in Luft bei Totalreflexion haben an jederStelle alle verschiedene Phasen, interferieren einanderalso weg, wie u. a. ein Zeigerdiagramm beweist. In einemmit ..1. vergleichbaren Abstand ist diese Destruktion nochnicht komplett, dazu wären sehr viele Phasenpfeile nötig:Die Erregung nimmt mit dem Abstand ab, bis sie bei wenigen..1. unmerklich klein geworden ist (Goos-Hänchen-Effekt,Abb. 9.19, analog zum quantenmechanischen Tunneleffekt).9.3.6. c-MessungAuf dem Schirm entsteht eine Lissajous-Ellipse aus demLED-Signal x = xo sin(mt) und dem phasenverschobenenPD-Signal y = Yo sin(wt + tp). Eine schräge Linie zeigttp = 0 an. Ändert man die Laufzeit des Lichts um !t..t, entstehteine Phasenverschiebung tp = w !t..t: Auf dem Schirmergibt sich yo als Höhe einer waagerechten Tangente andie Ellipse, Yo sin tp als Höhe des y-Schnittpunktes derEllipse, wo ja x = 0, also z. B. t = 0 ist, d. h. y = y0 sin tp.Die Ellipse (a) liefert sin rp = 0,30 ± 0,02, also rp =0,305 ± 0,02rad, woraus sich !t..t = (9,7 ± 0,6) · w-10 s ergibt.Das entspricht einer Wegänderung von 0,3 m, alsoeiner Lichtgeschwindigkeit von (3,09±0,18) -108 ms- 1 .Ein Medium der Länge x mit der Brechzahl n erhöht dieLaufzeit um !t..t = x(n- l)lc, wir erhalten n = c !t..tlx + 1,also n = 1 ,32 ± 0,02 für Wasser, n = 1,49 ± 0,03 für Glas.9.4.1. Hätte Newton sich gefreut?Licht läuft in einem Medium mit hoher Brechzahl n langsamer(c = coln), Elektronen laufen dort schneller(nJ/nz = JVziVI = vzlvJ). Newton erklärte die Brechungvon Licht genau so wie wir jetzt die von Elektronenstrahlenerklären, nämlich durch die beschleunigende Wirkungeines Feldes, das in der Grenzschicht zwischen dünneremund dichterem Medium lokalisiert ist. Er erhielt sodirekt das Snellius-Gesetz. Um die Dispersion einzubeziehen,mußte er annehmen, die Lichtkorpuskeln verschiedenerFarben hätten verschiedene Anfangsenergien. Da violettesLicht am stärksten abgelenkt wird, mußten, entgegenunserer Ansicht, seine Korpuskeln am energieärmsten sein.Erst zur Deutung von Beugung und Interferenz (NewtonseheRinge!) mußte Newton unplausiblere Annahmen machen.9.4.2. LichtkrümmungDer Strahllaufe unter dem Winkel rp gegen den Brechzahlgradienten.Man kann die stetige Brechzahländerung dnldxin sehr kleine Schritte !t..n auf der Strecke !t..x zerlegt denken.An jeder solchen Grenzschicht ändert sich die Richtunggemäß n sin tp = (n + !t..n) sin(rp + !t..rp) ~ n sin rp + !t..n sin tp+ n cos rp!t..rp, d. h. um !t..rp = -!t..n tan rp, oder auf die Laufstrecke!t..s = !t..xl cos rp bezogen: !t..rp I !t..s = - sin rp!t..nl !t..x.Dies ist genau das, was man als Krümmung des Lichtstrahlsdefiniert: 1 IR = - sin rp · dnl dx. Die Beziehung !t..rp I !t..x =- tan tp · !t..nl !t..x gäbe für rp = 90° keinen Sinn. Erst dieReduktion auf !t..s, d. h. die Multiplikation mit cos tp = 0stellt den Sinn wieder her. Der strenge Mathematiker würdenatürlich die Regel von de l' Hopital auf den "unbestimmtenAusdruck" 0 · oo anwenden, um zu sehen, ob der Grenzüberganggerechtfertigt ist.9.4.3. BahnkrümmungDer Potentialgradient, d. h. das Feld sei E = -grad U. EinElektron, das senkrecht dazu fliegt, kompensiert die Krafte grad U senkrecht zu seiner Bahn durch ein Einschwenkenauf einen Kreis, so daß die Zentrifugalkraft die elektrischekompensiert: mv2 Ir= e grad U. Wenn v und E unterdem Winkel tp i= 90° stehen, reagiert der Krümmungsradiusnur auf die Normalkomponente -eEsinrp, d.h. mv21r =eE sin rp. Die Tangentialkomponente beschleunigt das Elektron:mv = -eE cos rp. In der Form sin rp · e grad U IWkin= const ist die Kreisbahnbedingung praktisch das Snellius­Gesetz sin rp · .n = const mit n = eU IWkin.9.4.4. Fata MorganaÜber der besonnten Straße bildet sich eine ziemlich dünneSchicht erhitzter, d. h. verdünnter Luft. Man kann von einerTotalreflexion an diesem optisch dünneren Medium sprechen,wenn es genügend scharf begrenzt ist, oder sonst dieLichtkrümmung im n-Gradienten behandeln. Das Ergebnisist das gleiche. Die normale Lufttemperatur sei To (in K),dicht über der Straße sei es um !t..T wärmer, d. h. die Dichteist dort um f't..Q = Qo !t..T ITo geringer. Die Abweichung derBrechzahl von 1 ist nach Clausius-Mosotti (Abschn. 6.2.3)proportional der Dichte, also ist n über der Straße um!t..n = (no - 1) f't..Q I Qo = (no - 1) !t..T ITo kleiner. Totalreflexiontritt ein, wenn ein Lichtstrahl von schräg oben unter

1110 : Lösungen zu den Aufgabeneinem sehr kleinen Winkel a gegen die Horizontale auf dieheiße Schicht auffällt, wobei im Grenzfall n cos a = n + !'!.noder n 1 - a 2 2) = n + !'!.n oder a = ~ =2(no - 1) !'!.T ITo ist. Mit no = 1,000272, !'!.T = 30 K,To = 300 K folgt a = 7 · 10- 3 . Hat der Beobachter seine Augenin der Höhe h über der völlig ebenen Straße, dann setztdie Totalreflexion in einer Entfernung a = hla =hl J2(no - 1) T ITo ein, im Beispiel mit h = 1,4 m (Autofahrer)bei a = 200m. Jenseits von a spiegelt sich der Himmelan der Straße, genau als ob diese naß wäre. Der Kamelreiterin der Sahara hat ein größeres h, sieht also den "See" ingrößerem Abstand. Die Entfernung a gibt direkt die Temperaturdifferenz!'!.T. Eigentlich handelt es sich in beiden Fällennicht um eine Totalreflexion, sondern um Lichtkrümmunginnerhalb der wärmeren Schicht. Sie habe die Dicke d,also den Brechzahlgradienten !'!.nld = (no- 1) !'!.T l(dT).Der dazu praktisch senkrechte Lichtstrahl erfährt dieKrümmung 1IR = !'!.nld, wird also, falls er die Straße geradestreift, abgelenkt um den Winkel 2ß = 2J2d!R =2J2(no - 1) !!.T ITo. ß ist genau wieder das oben berechnetea.9.4.5. Atmosphärische RefraktionDas zur Erde tangentiale Licht der untergehenden Sonnehat nach Abschn. 9.4.1 in der Atmosphäre mit ihrer höhenabhängigenBrechzahl die Krümmung 1lr = n- 1 dnldh =d ln n I dh. Die Abweichung der Brechzahl von 1 ist annäherndproportional der Dichte, diese nimmt etwa nachder e-Formel ab: n = 1 + aQ = 1 + be-h/H. Damit wirdlnn :::::J be-h/H und der Krümmungsradius r :::::J Hb-ieh/H,in Bodennähe r :::::J H I b. Für die Erdatmosphäre istH = 8 km und b = 0,0003, also r :::::J 25 000 km. Der tangentialeStrahl läuft eine Strecke x = ..fiRii :::::J 300 km(Pythagoras! R Erdradius) durch die Schichtdicke H. Aufdieser Strecke wird er abgelenkt um xl r :::::J 0,6°. DieSonnenscheibe erscheint unter 0,5° und legt die 0,6° in0,6° · 24 hl360° :::::J 2,4 min zurück, Tagesverlängerung5 min. Bei viermal so dichter Atmosphäre wäre der Krümmungsradiusgleich dem Erdradius: Das Licht liefe ringsum den Planeten, es gäbe keine Nacht und keinen Horizont.Allerdings sähe "ganz hinten" auf dem Planeten dieSonne aus wie ein horizontaler Strich von recht geringerLeuchtkraft. Auf dem planetenumspannenden Meer säheman, entsprechende "Sicht" vorausgesetzt, z. B. sich selbstvon hinten. Ein hoher Berg bei den Antipoden zöge sichals Wand rings um den "Horizont", man sähe alle seine Flanken.Auf der Venus ist sogar r :::::J Rl20 :::::J 320 km. Die Umgebungscheint sich wie eine flache Schüssel um den Beobachterhochzuwölben. Die Wolkenschicht (zweite paralleleSchüssel) deckt allerdings alles ab, was weiter als etwa1 000 km entfernt ist. Das Tageslicht läuft, mehrfach "reflektiert",um den ganzen Planeten. Am Sonnenrand(R = 6 · 10 5 km, H = kT l(mHasonne) :::::J 20 · Skm · 29120 :::::J160km), ist x = ..fiRii :::::J10 4 km, Ablenkung um 2" beir :::::J 109 km; r = H I b liefert b :::::J w- 7 , was weniger als1 mbar Wasserstoff entspricht. So genau muß die Gasdichteüber der Chromosphäre bekannt sein, damit man den relativistischenEffekt aus der gemessenen Ablenkung "herausfischen"kann.9.4.6. ElektronenspiegelMan könnte meinen, die optischen Eigenschaften würdendurch die Form der "Rückwand" in Abb. 9.67 bestimmt,und eine ebene Rückwand z. B. erzeuge einen ebenen Spiegel.Das Wesentliche ist aber das Hervorquellen der Niveauflächenaus der Lochblende, das nur noch stärker wird, wennman die Rückwand eben oder gar konvex macht. Einen ebenenSpiegel, für den bei allen Elektronenenergien und -richtungenEinfallswinkel a = Ausfallswinkel ß wird, erhält mannur, wenn man das Feld auch vorn ganz "plattdrückt", z. B.zwischen einer ebenen Rückwand und einem ebenen Drahtnetzvon genügender Maschenfeinheit ein homogenes Feldherstellt. Darin beschreiben die Elektronen Wurfparabeln,und a = ß ist immer erfüllt. Die Eigenschaften eines beliebigenanderen Feldes E kann man dann ableiten, indem mandie konforme Abbildung sucht, die das homogene Feld in dasFeld E überführt. Die gleiche Abbildung führt auch die leichtanzugebenden Elektronenbahnen im homogenen Feld in dieim FeldE über. Bahnen, die von einem Punkt in verschiedenenRichtungen ausgehen, schneiden sich bei Ablenkungdurch das homogene Feld i. allg .. nicht alle wieder in einemPunkt. Damit sie es im FeldE doch tun, muß der Schnittpunkteine "Singularität" der konformen Abbildung sein. Näheresüber diese begrifflich sehr eleganten Methoden lehrt dieFunktionentheorie.9.4.7. Lange LinseWir rechnen natürlich in Zylinderkoordinaten z, r, rp. Dasrotationssymmetrische Feld hat Brp = 0 und keine rp-Abhängigkeit.Es ist überall divergenzfrei, also div B =Bz,z + 2Br,r = 0 (r zählt doppelt, weil es zwei zueinandersenkrechte r-Richtungen gibt), d. h. Br,r = - ~ Bz,z· Näherungder geometrischen Optik: Ablenkwinkel klein, alsoVz = v praktisch konstant. Bewegungsgleichungen: Vrp =evBrlm, Vr = -evrpBzlm. Wir eliminieren Vrp, indem wirnochmal nach t ableiten: Vr = -evrpBzlm = -e 2 vBrBz.Existenz eines Brennpunktes bedeutet vrlv = rlf. alsoVr,r =vif. Wir leiten die Bewegungsgleichung nochmalnach r ab: Vr,r = -e 2 v(B 2Br,r +BrBz,r)lm 2 . Das Gliedmit Bz,r ist klein, weil das Feld annähernd achsparallel ist.Mit Br,r = - ~ Bz,z bleibt Vr,r = ~ e 2 vB2Bz,zl m 2 . Wir integrierendiese Gleichung nach dem Schema x =!(1 '* dx = f dt = f dzlv =} x = v-i I f dz, also Vr,r =!e B~lm 2 (denn B 2B 22 ist die Ableitung von 1B~). alsoVr,r = !e 2 I B~ dzlm 2 v', und wegeneU = !mv 2 folgt (9.30).

Kapitel 10: Lösungen 111110.1.1. Glasplatte INehmen wir ein 0,1 mm-Mikroskopdeckgläschen und monochromatischesLicht von 500 nm. Einer Änderung des Gangunterschiedesum A./2 entspricht nach (10.18) eine Schwenkungdes Bündels um ca. 3 °, wenn rx klein ist, und von ca. 5°,wenn rx ~ 60° ist. Schwenkt man also Lichtquelle und Linsevon rx = 0 an, dann sieht man auf einem Schirm den Reflexim angegebenen Winkelabstand sich aufhellen und wiederabdunkeln. Ganz dunkel wird er nie, weil die Intensitätendes direkt reflektierten und des einmal durch die Plattehin- und zurückgegangenen Lichtes etwas verschiedensind: 4% gegen 4 · 0,96 2 % = 3,7 %. In Dunkelstellung hatman also etwa 8% der Hell-Intensität. Ein Streifen vonder Breite 2d tan rx, entsprechend dem Abstand BA inAbb. 10.48, bleibt immer hell, weil von dort nur direkt reflektiertesLicht ausgeht. Er bleibt für d = 0,1 mm selbstbei großen Winkeln sehr schmal.10.1.2. Glasplatte IIBei parallelem monochromatischen Licht erfolgt nach Aufgabe10.1.1 annähernde Auslöschung des Reflexes bei bestimmtenEinfallsrichtungen. Aus parallelem weißen Lichtwird bei jeder Einfallsrichtung eine bestimmte Wellenlängeweginterferiert (nie zwei, weil das sichtbare Spektrum nurknapp einem Wellenlängenfaktor 2 entspricht). Der Reflexerscheint in der dazu komplementären Farbe. Das divergierendeLicht einer Punktquelle macht die Richtungen derStrahlen 1 1 und 2' in Abb. 10.48 i. allg. so verschieden,daß es nicht zur Interferenz kommt; noch weniger bei diffuserBeleuchtung aus allen Richtungen.10.1.3. Schillernde ÖlhautEs ist gar nicht so leicht, die zusammenhängende, das ganzeWasser bedeckende Ölhaut herzustellen, von der die Physikbücherimmer reden. Versuchen Sie es, und Sie werden einigelehrreiche Minuten haben. Das Ergebnis hängt stark von derArt des Öls und der Härte des Wassers ab. Je höhermolekulardas Öl, desto größer ist i. allg. seine Oberflächenspannung(Tröpfchengröße!). Motoren-, Fahrrad-, Speise-, Heiz-, Dieselölerfüllen daher i. allg. die "Fettaugenbedingung"aWL < aLö +uwö (W: Wasser, L: Luft, Ö: Öl), Zweitaktgemischdagegen nicht: Es breitet sich aus, wenn auch meistnicht sofort und nicht über die ganze verfügbare Fläche;die Schicht durchsetzt sich oft mit kreisrunden Löchern,die sie erst einfach dreckig erscheinen lassen, später aberoft sehr schöne Muster bilden. Das kleinste StäubchenWaschmittel hat darauf einen Effekt wie die Nacht von Faschingzu Aschermittwoch. - Im Idealfall bildet ein 10 mm3-Tropfen auf 1 m 2 Fläche eine 10 nrn dicke Haut. Das ist nochviel dicker als die monomolekulare Schicht (etwa 2 nm), aberviel kleiner als die Wellenlänge. Der Gangunterschied zwischenvorn und hinten reflektiertem Licht ist also immer 0,wenn das Öl optisch dünner ist als das Wasser, immer 2/2,wenn es dichter ist. Meist ist das Öl optisch dichter, wie manam höheren Reflexionsvermögen ( ~ ( n - 1 ) 2 ) der Ölhauterkennt. An der Öl-Wasser-Grenzschicht ist die Reflexionso schwach, daßtrotzdes A./2-Phasensprunges keine erheblicheReflexminderung eintritt. Bei Schichtdicken um 1 J-Lm,d. h. bei kleinerer Oberfläche oder unvollständiger Ausbreitungerhält man an gewissen Stellen in gewissen RichtungenAuslöschung eines kleinen Intensitätsanteils gewisser Farben,sieht also (besonders vor dunklem Wannengrund) starkmit Weiß versetzte Komplementärfarben.10.1.4. SeifenblaseDie beiden Reflexionen an einer Seifenhaut erzeugen immereinen Gangunterschied )./2 zusätzlich zu dem auf der Dickeberuhenden (eine Reflexion am dichteren, eine am dünnerenMedium, beide praktisch von gleicher Intensität, weil gleichemAn). Die Farben sind deshalb i. allg. sehr kräftig, besondersvor dunklem Hintergrund. Es handelt sich überwiegendum Interferenzen gleicher Dicke; man sieht das gut anStellen, wo Dickenänderung irrfolge von Konvektionen in derdünnen Schicht zu lebhaftem Farbwechsel führt. Besonderskräftig erscheint eine Farbe dort, wo für ihre GegenfarbeA. = 2,6d ist (fast senkrechter Einfall vorausgesetzt). Sattgelb schillernde Stellen haben Violett weginterferiert, sindalso etwa 0,15 J-Lm dick. Bei mäßig guter Seifenlösung istGelb daher Gefahrensignal für dünne Stellen und baldigesZerreißen. Sehr gute Blasen werden vor dem Zerreißen stellenweiseganz dunkel. Dort sind sie dünner als etwa 50 nm, sodaß allein der reflexmindernde A./2-Gangunterschied vorliegt.10.1.5. Newton-Ringe in DiasWenn man, wie es früher allgemein üblich war, das Dia mitzwei Glasplatten einfaßt, ist es kaum zu vermeiden, daß derFilm stellenweise das Glas in flacher Krümmung berührt.Um eine solche Stelle sieht man bei der Projektion Newton-Ringe.Während Film und Glas sich im Projektor erwärmen,ändern sich Krümmungs- und Berührungsverhältnisse,und die Ringe kriechen. Das benutzte Licht ist nie ganz parallel.Je dicker die Luftschicht ist, ein desto engerer Winkelbereichkann die Auslöschungsbedingung erfüllen, destomehr ist die Komplementärfarbe mit Weiß gemischt, destoblasser sieht sie aus.10.1.6. Babinet-PrinzipWenn durch Übereinanderlegen der Schirme S 1 und S2 einSchirm S3 entsteht, ist die Lichterregung hinter S3 die Summeder Erregungen, die s, und S2 allein jeweils in ihremSchattenraum auslösen würden. Bei dieser Addition sinddie Phasenbeziehungen zu beachten. Ein Positiv S 1 undsein Negativ S2 überlagert, ergeben einen völlig schwarzenSchirm, hinter dem es überall dunkel ist. Diese "allgemeineRuhe" kann als Summe zweier genau gegenphasiger, aberüberall intensitätsgleicher Erregungen, die von S, und S2herrühren würden, entstanden gedacht werden.10.1.7. VierersternDer vierzackige Stern, der bei Spiegelfernrohren auftritt, istdas Beugungsbild der Befestigungsstreben des Hilfsspiegels,

1112 , Lösungen zu den Aufgabender im Hauptstrahlengang sitzt und das Bild seitlich hinaus(zum Newton-Fokus), durch ein Loch im Hauptspiegel zurück(Cassegrain-Fokus) oder in eine Bohrung in der"Stundenachse" wirft (Coude-Fokus). Damit Fixsterne alsScheibchen erscheinen, die die Sternoberfläche und nichtdas Beugungsbild der Aperturblende darstellen, müßte dieAuflösungsbedingung J,j d < 2r / a erfüllt sein (a Abstand,r Radius des Sterns, d Apertur). Für den 5 m-Spiegel vonMt. Palomar sogar würde dies einen Sehwinkel2r/a ~ 10~ 7 erfordern. Die Sonne (a = 8,5Lichtminuten)erscheint 0,5° ~ 10~ 2 breit, a Centauri (a = 4 Lichtjahre,also 3 · 105mal so weit entfernt) ist also dreimal zu klein.Ein 15~20m-Spiegel könnte ihn theoretisch auflösen. RoteRiesen haben bis 1 OOOmal größere Durchmesser, sind abersehr selten und daher auch alle zu weit entfernt, um auflösbarzu sein. Man sieht also keinen einzigen Fixstern, wie erwirklich ist.10.1.8. AuflösungsvermögenDer kleinste Winkelabstand zwischen zwei helleuchtendenPunkten auf schwarzem Hintergrund, den ein Gerät mitdem Durchmesser D der Eintrittspupille auflösen kann, istA/D, also bei D = 5mm (dunkeladaptiertes Auge), Sem(Feldstecher), 50 cm (ziemlich großes Fernrohr), 5 m(Mt.Palomar): 10~ 4 , 10~ 5 , 10~ 6 , 10~ 7 • In den Abständen5 km (Horizont am Meer), 300 km (Sicht vomMt. Everest), 6 000 km (Sicht vom Satelliten), 4 · 105 km(Mond), 1,5 · 10 8 km (Mars in Opposition), 10 14 km (Sirius),2 · 10 19 km (Andromedanebel), 10 23 km (Weltradius)löst also das Auge unter günstigsten Kontrastbedingungenauf: 0,5 m, 30m, 0,6 km, 40 km (großer Krater), 10 4 km(etwas größer als Mars), 1010 km (Durchmesser der Pluto­Bahn), 2 · 10 15 km (200 Lichtjahre), 10 19 km (Abstand naherSpiralnebel). Der Mt. Palomar-Spiegel löst theoretisch indiesen Abständen auf: Eine Ameise, eine Maus, einenMenschen, ein Haus, eine große Stadt, einen Riesenstem,sehr enge Stemabstände, einen Spiralnebel.10.1.9. Sind wir allein?Direkt sehen kann man einen Planeten nur, wenn er nicht imBeugungshof seines Zentralsterns untergeht. Ein sehr großerPlanet wie Jupiter (der etwa den größten Durchmesser hat,den ein kalter Körper überhaupt haben kann, selbst wenner noch so massereich ist; vgl. Abschn. 17.3.3) hat etwa16 0 der Sonnenoberfläche und ist 1100 Sonnenradien vonder Sonne entfernt, hat also knapp 10~ 6 ihrer Leuchtdichteund, von fern her betrachtet, etwa 10~ 8 ihrer GesamthelligkeitAus a Centauri-Abstand (4 Lichtjahre) hat Jupiter einenWinkelabstand 2 · 1 o~s (2 500 Lichtsekunden/4 Lichtjahre)von der Sonne. In diesen Abstand fällt etwa der fünfzigsteBeugungsring des Mt. Palomar-Spiegels (vgl. Aufgabe10.1.8). Die Intensität der Ringe (Ordnung n) fällt nachaußen etwa wie n~ 3 ab (beim langen Spalt wie n~ 2 ; beider Kreisblende zusätzliche Verschmierung über die Ringfläche,die "' n ist). Der fünfzigste Ring hat noch 10~ 6 derIntensität des Zentralscheibchens (Zusatzfaktor 10 beimÜbergang von n = 0 auf n = 1, vgl. Abb.l0.18b). Vomzweihundertsten Ring würde Jupiter sich gerade schwach abheben.Aus 1 Lichtjahr Abstand wäre er also gerade sichtbar,aus 4 Lichtjahren nur, wenn er 10mal weiter vom Zentralstementfernt wäre als er ist (Beugungsintensität"' n~ 3 , Planetenhelligkeit"' r~ 2 ). Damit scheidet auch die Beobachtungdoppler-verschobener Linien des Planeten praktisch aus.Der Zentralstern hat viel kleinere Umlaufgeschwindigkeitum den Schwerpunkt, z. B. die Sonne nur etwa 10 rn!s.Die strahlenden Atome fliegen mit größenordnungsmäßig1 krn!s, also verschwindet der Bahn-Dopplereffekt völligim thermischen. Es bleibt die Methode der Positionsänderungen.Vom a Centauri aus gesehen, schwingt Jupiterdie Sonne um 2 · 1 o~s, d. h. 0,005 11 hin und her C! des Radiusdes Beugungsscheibchens 0. Ordnung). Das liegt an derGrenze der heutigen Meßmöglichkeiten. Etwas entfernteredunkle Begleiter sind nur nachweisbar, wenn sie massereicheroder sternferner sind als Jupiter.10.1.10. FarbverteilungIm Gitterspektrum ist sin rp "" A. Rot ist darin so breit, weil esauch in dem über A aufgetragenen Spektrum breiter ist als dieanderen Farben. Beim Prisma ist es umgekehrt, weil Glas wiepraktisch alle durchsichtigen Stoffe eine zum UV hin steilansteigende Dispersionskurve hat. Dort liegt nämlich nichtweit entfernt eine Absorptionsbande (Elektronen-Absorption,Abb. 9.22). Die IR-Absorption, beruhend auf der Grundschwingungdes Ionengitters, ist sehr viel weiter vom Sichtbarenentfernt (Abschn. 14.2.3). Läge sie näher, würde dieBrechzahl am roten Ende ebenfalls steil abfallen, und auchRot wäre im Prismenspektrum ähnlich verbreitert wie Violett.Abgesehen von diesen physikalischen Effekten zeigtdas Farbdreieck, daß unsere Farbunterscheidung dort amfeinsten ist, wo auch Sonnen-Spektraldichte und Augenempfindlichkeitmaximal sind, nämlich bei 500-550 nm. Dasträgt dazu bei, daß dort die Farbtöne dichter liegen.10.1.11. Fourier-SpektrometerWenn der Spiegel A' B' mit der Geschwindigkeit v verschobenwird, ändert sich der Gangunterschied mit der doppeltenGeschwindigkeit. Monochromatisches Licht der Wellenlängelc ergibt in Zeitabständen !J.t = A/(2v) Helligkeit, dazwischenDunkelheit, allgemein den IntensitätsverlaufI(t) =locos 2 (47rvt/A). Die Amplitudenaufzeichnung istalso die Fourier-Transformierte des üblichen Spektrallinienbildes(eine scharfe Linie ist eine o-Funktion, deren Transformierteist ein sin oder cos; vgl. Abschn. 4.1.1d). Das Spektrumist aber seinerseits die Fourier-Transformierte des Amplitudenverlaufsin der Lichtwelle, also gibt das Fourier-Interferometerdiese direkt wieder, während alle anderen SpektralapparateFourier-Transformationen ausführen. Bei zweimonochromatischen Linien erhält man die Überlagerungzweierinkohärenter cos-Kurven (Intensitäts-, nicht Amplitudenaddition).Bei gleicher Intensität beider Linien sieht dasgenau aus wie ein Schwebungsbild (z. B. Abb. 4.8), bei demdie t-Achse die tiefsten Minima tangiert. An der Erzeugungdes "Spektrums" wirkt nicht nur ein kleiner, von der Spaltbreitebestimmter Ausschnitt der Gesamtintensität mit, son-

Kapitel1o: Lösungen 1113dem jeweils die ganze aufs Gerät auffallende Intensität. Dasist besonders für intensitätsschwache UR-Strahlung ein großerVorteil.10.1.12. IntensitätsfragenEine Verbreiterung des Spektrographenspalts hat zweiEffekte: (1) Der durchgelassene Wellenlängenbereich verbreitertsich. (2) Von jeder durchgelassenen Wellenlängekommt mehr Intensität durch (man bedenke, daß die Abbildungnicht auf dem Spalt, sondern erst auf dem Beobachtungsschirmoder dem Film erfolgt). Bei einem kontinuierlichenSpektrum vervierfacht sich also i. allg. der Lichtstrom,wenn man die Spaltbreite verdoppelt. Wenn sich der Lichtstromnur verdoppelt, heißt das, daß der verdoppelte Spektralbereichnicht mehr Linien enthält als der einfache.10.1.13. FarbenlehreOffensichtlich ist Goethe in keiner schlechten Position. InWirklichkeit hat er übrigens von der Munition, die Youngund Fresnel ihm lieferten, wenig Notiz genommen und siejedenfalls in seiner "Farbenlehre" nicht ausgenutzt. FeineBeugungsgitter konnte man damals noch nicht herstellen.- Es ist oft nicht leicht zu entscheiden, ob wir etwas, z. B.die Farben, machen oder nur finden. Sind die harmonischenTeilwellen wirklich in einem zusammengesetzten Wellenvorgangdrin, oder konstruiert sie die Fourier-Methode erstdaraus? Daß wir diese Teilwellen direkt hören, ist ein Argumentfür Newton, aber das Ohr ist ja selbst ein Fourier-Analysator.Das Auge arbeitet anders und kann z. B. nicht entscheiden,ob ein Weiß aus allen Farben oder nur aus zweiengen, komplementären Spektralbereichen zusammengesetztist. Daß ein Gitter ein Fourier-Analysator ist, siehtman leicht ein, beim Prisma weniger leicht. Aber auch Absorptionund Dispersion beruhen auf dem Mitschwingenatomarer Oszillatoren. Was ist das Primäre, Reale: Der zusammengesetzteWellenzug oder die Teilwellen, die Spektrallinien?Was heißt überhaupt Realität oder Existenz?Existierte das Thema aus dem Andante des Klavierkonzertsd-moll schon, bevor es Mazart einfiel? Als Michelangeloeinen riesigen Block Carrara-Marmor erblickte, rief er:"Da ist der David drin". Jemand wandte ein, im Marmorsteckten bestenfalls Ammoniten, aber keine nackten Jünglinge.Michelangelo führte den experimentellen Beweis: Erstoppte seinen Meißel haarscharf dort, wo die Haut desDavid begann. Machte er ihn oder fand er ihn?10.1.14. HöfeJedes feine Wassertröpfchen erzeugt als Schirm im parallelenSonnen- oder Mondlicht Beugungsringe. Der innerste helleRing hat den Öffnungswinkel c5 = I ,22},/ (2r) (vgl.Abschn. 10.1.4). Deutliche Kränze setzen sehr homogenenTropfenradius r voraus. Bei r > 80 11m wird c5 < 0,25°,also verschwindet der Hof in der Sonnen- oder Mondscheibe.Am günstigsten ist der r-Bereich zwischen 4 und20 11m (c5 = so bzw. I 0 ). Rot ist außen, Violett innen; beimHalo, einem Brechungsphänomen, ist es umgekehrt. Kranzund Glorie unterscheiden sich nur durch die Blickrichtungdes Beobachters und die Tatsache, daß ein Tröpfchen beimKranz aus dem direkten, bei der Glorie aus dem an der übrigenNebelwand reflektierten Licht herausbeugt.10.1.15. FacettenaugeWenn der Sehnerv eines Ommatidiums gereizt wird, muß dasLicht nicht unbedingt genau aus der Achsenrichtung kommen,sondern kann auch etwas schräg dazu einfallen. Wirunterscheiden die geometrische Unschärfe y der Einfallsrichtungund die Beugungsunschärfe ß. Die Achse des Ommatidiumshabe die Länge /, sein Durchmesser dort, wo das Lichteinfällt, seid. Dann ist y ~ d/1. Die Zellwand ist nämlich miteiner absorbierenden Substanz austapeziert, damit (im Gegensatzzum Lichtleiter) nur das direkte, nicht das wandreflektierteLicht unten ankommt. Ein exakt achsparallelesBündel würde an der Eintrittsöffnung zu einem Scheibchenvom Öffnungswinkel ß ~ Je/ d gebeugt. Das schadet nichts,denn nur der zentrale Teil davon fällt auf den Sehnerv. Aberumgekehrt erzeugt jedes um ß oder weniger gegen die Achsegeneigte Bündel ein Scheibchen, das den Nerv mit seinemäußeren Teil erregt. Ein zu kleines d nützt also nichts,denn ß wird zu groß. Die Gesamtunschärfe y + ß =d/1 + Jcjd wird minimal bei d = VJJ. Die Unschärfe istdann 2Vf7i. Das fast halbkugelige Riesenauge einer großenLibelle hat l ~ 3 mm. Mit Je = 0,5 11m liegt das Optimum vond bei 0,04 mm. Dann passen 10 4 Ommatidien auf die Halbkugel.Mit 6 000 kommt die Libelle diesem Wert ziemlichnahe. Das Bild, das sie sieht, hat knapp 100 x 100 Rasterpunkte,erreicht also längst nicht ein Fernsehbild, höchstensein schlechtes Zeitungsfoto. Ein kleineres Auge muß sich mitweniger Rasterpunkten bescheiden. Deren Anzahl nimmt abwie l. Die UV-Augen der Bienen gewinnen wieder einen Faktor2-3 an Punktzahl bei gegebenem l.10.1.16. DoppelspaltNatürlich ergibt sich im Versuch A das Beugungsbild desDoppelspalts, im Versuch B eine Überlagerung der Intensitätender Beugungsbilder zweier Einzelspalte. Wenn mandie Bedingungen aber nicht geschickt wählt, sind die beidengar nicht so kraß verschieden, wie man das meist schematischhinstellt. Vor allem darf man sich nicht durch die üblichendurch Platzmangel bedingten Zeichnungen täuschen lassenund den Schirm zu nahe an die Blende setzen: Man mußwirklich unter Fraunhofer-Bedingungen arbeiten. - DerUnterschied liegt darin, daß im Fall B sich die Intensitäten,also die Quadrate der Amplituden des Lichts aus denbeiden Spalten, im Fall A die Amplituden selbst addieren.Die Bestrahlung eines bestimmten Ortes des Schirms imFallE ist WB~ Ay +A~, im FallA WA ~ (A 1 +A2)2 =Af + A~ + 2A1A2. Die Differenz 2A1A2 enthält den Phasenfaktorcos(27rc5/ll) = cos(27r(pdjJ,) = cos(2JrYd/(),D))(d: Spaltabstand, D: Abstand Blende-Schirm, y: Ort aufSchirm, c5: Gangunterschied), also WA = WJ + w2+2w1w2cos(21rydj().D)), dagegen WB= WJ + w2. Af enthältauch einen Phasenfaktor, aber er ist rein zeitlich und spielt inw, das über sehr viele Schwingungen mittelt, kein~ Rolle.Sehr schmale Spalte (Breite b «: d) erzeugen für sich alleinsehr breite Beugungsstreifen (Breite y = DJ,jb). Innerhalb

IIIIII1114 Lösungen zu den Aufgabendieser Breite sind w1 und w2 sehr ähnlich, sofern d « DJ,jb,also geht wA jedesmal auf 0, wenn der Cosinus -1 wird. Sozerfällt der breite Streifen in viele schmale von der BreiteDA.jd. Wenn man d zu groß macht ( ;;:: DA./b), verschwindetdiese Strukturierung, und die Beugungsbilder der beidenSpalte trennen sich. Auch bei b ~ d bleibt kaum noch einUnterschied zwischen den Bildern A und B.10.2.1. Unsichtbarer StrahlDas Streulicht besteht aus der Ernission von Sekundärdipolen,die im Feld der Primärwelle angeregt werden. DieSekundärdipole schwingen wie das E der Welle, also in Polarisationsrichtung.Ein Hertz-Dipol emittiert maximal senkrechtzu seiner Schwingungsrichtung, gar nicht in dieser, d. h.in Polarisationsrichtung. Die Streuung von unpolarisiertemLicht ist natürlich nach allen Seiten gleichstark.10.2.2. KomponentenzerlegungMan kann eine elliptische Schwingung auf viele Arten inKomponenten zerlegen, z. B. in zwei Linearkomponentenverschiedener Amplitude und Phase oder zwei Zirkularkomponentenmit entsprechenden Bestimmungsstücken. Folgtman den Hauptachsenrichtungen der schrägliegenden Ellipse,dann kommt man immer mit einer Phasendifferenz1r /2 aus und braucht nur die Amplituden der Linearschwingungenproportional zu den Hauptachsen zu machen. ImPolarisationsapparat sind aber Schwingungsrichtungen derinteressierenden Linearschwingungen apparativ vorgegeben,und daher ist die Darstellung durch wechselnde Amplituden-und Phasenverhältnisse angemessener.10.2.3. DoppelbildDie Ellipsen von Abb. 10.59 mit dem Achsenverhältnis 1,116und der Achsenschiefe von 44 ° 36,5 1 hängen am weitestennach unten an einer Stelle A2, so daß AA2 gegen die Senkrechteum 6,5° geneigt ist. Man liest das am schnellstenvon einer gezeichneten Ellipse ab. Die Rechnung liefertmit rp = 44° 36,5' und y = 1,116 als Mittelpunktsgleichungder gedrehten Ellipse x 2 ( cos 2 rp + y 2 sin 2 rp) + y 2 ( sin 2 rp+y 2 cos 2 rp) + 2xy(1 - y 2 ) sin rp cos rp = 1, d. h. durch Bildungdes vollständigen Differentials und Nullsetzen vondy jdx folgt yjx = tan IX = (y 2 - 1) sin rp cos rpj ( cos 2 rp+y2 sin 2 rp). Im Fall des Kalkspats ergibt sich IX ~ 6,6°.10.2.4. Wollaston-PrismaMan kann dieses Prisma auf zwei Arten benutzen: (1) DasLichtbündel fällt senkrecht zur optischen Achse der beidenTeilprismen ein. (2) Drehung des Prismas um 90° gegendie Stellung (1): Das Bündel hat die Richtung der optischenAchse eines der Teilprismen. In der Stellung 1 vertauschendas "ordentliche" und das "außerordentliche" Bündel, wie sieaus dem ersten Teilprisma austreten, ihre Rollen, wenn sie indas zweite Teilprisma mit seiner anders liegenden optischenAchse eintreten. Keines der Bündel kommt unabgelenkt davon:Beide sind um entgegengesetzt gleiche Winkel gegendie ursprüngliche Richtung abgelenkt und zueinander senkrechtpolarisiert, nämlich in den Richtungen der beiden optischenAchsen. Beide Bündel zeigen eine Dispersion, d. h.sind nicht achromatisiert. In der Stellung (2) erfolgt in einemder Teilprismen keine Aufspaltung (Einfall in Richtung deroptischen Achse). Das eine Teilbündelläuft auch durch dasandere Teilprisma unabgelenkt und zeigt keine Farbzerstreuung,das andere wird abgelenkt. Der Winkel zwischen denbeiden Bündeln ist nur halb so groß wie im Fall (1), alsobei Kalkspat 6,6° statt 13,2°.10.2.5. Brewster-FensterBei senkrechtem Durchgang 4% Reflexionsverlust an jederGrenzfläche, d. h. bei lOOmaligem Durchtritt durch ein Fensternur noch 2 · 10- 4 der Anfangsintensität Neigt man dasFenster unter dem Brewster-Winkel (56,5°), dann wird einePolarisationsrichtung nicht reflektiert. Man verliert nur dieIntensität der anderen Komponente (50%).10.2.6. Buntes ZuckerrohrDas Rohr stehe senkrecht, das polarisierte Licht falle z. B.von oben hinein. Geht man herum, dann sieht man abwechselndStreulicht oder nicht, je nachdem, ob man senkrecht zurPolarisationsrichtung oder in ihr steht. Zucker dreht die Polarisationsebene.Wäre die spezifische Drehung für alle Wellenlängengleich, dann sähe man aus jeder Richtung helleBänder, deren Abstand mit wachsender Zuckerkonzentration(z. B. bei der allmählichen Auflösung) kleiner wird.Da die Drehung wellenlängenabhängig ist, werden die Bänderbunt, besonders stark die oberen, die am oberen Randblau, am unteren rot sind (normale Rotationsdispersion).10.2.7. Sechs EffekteDoppelbrechung. Phasengeschwindigkeit linear polarisierterWellen hängt von Polarisationsrichtung abNatürliche Doppelbrechung. Kalkspat, ein- und zweiachsigeKristalleKerr-Effekt. Substanz wird im elektrischen Feld doppelbrechendOptische Aktivität. Phasengeschwindigkeit zirkular polarisierterWellen hängt von Polarisationsrichtung abNatürliche optische Aktivität. Kristalle (Quarz), Lösungenorganischer Verbindungen mit asymm. C-AtomDie molekularen Mechanismen sind sehr verschieden:Faraday-Effekt. Substanz wird im Magnetfeld optisch aktivVoraussetzung: Nichtreguläres Kristallsystem. Hohes Dipolmoment,im E-Feld ausgerichtet; fast alle Stoffe werdeneinachsig-positiv: c kleiner, wenn PolarisationsrichtungFeldrichtung; Brechzahldifferenz ~ E2.Voraussetzung: Molekül oder Kristallgitter haben keineSymmetrieebene. Alle Stoffe zeigen Faraday-Effekt: Diamagnetikadrehen rechts, die meisten Paramagnetika links;Drehung~ H.

Kapitel 10: Lösungen 111510.3.1. Dunkle FensterVorder- und Rückfläche einer Glasplatte reflektieren je etwa4 %, bei Doppelfenstern verdoppelt sich auch die reflektierteIntensität. Falls es also draußen mehr als zehnmal heller istals drinnen (wie jeder Fotograf weiß, ist der Unterschied beiTage viel größer), sieht man von draußen überwiegendreflektiertes Außenlicht Die Albedo der Scheiben ist 8 %bzw. 16%, was so schwarz ist wie sehr dunkles Gestein.Der Zeichner macht die Scheiben schwarz. Entsprechendlautet die Bedingung für ein gutes Spiegelbild: Wo manselbst ist, muß es mehr als lümal heller sein als hinter derScheibe.10.3.2. SchichtspiegelEine Luft -Glas-Grenzfläche läßt bei senkrechtem Einfallden Bruchteil 0,96 durch, N Platten also 0,962N ==(1- 0,04) 2 N::::::: e-O,OSN, also bei N = 10 noch 0,45, beiN = 100 nur 2 · 10- 4 . Das Spiegelbild besteht aus vielenschwächerwerdenden, hintereinanderschwebenden Bildern.Die Plattenqualität beeinflußt hauptsächlich zusätzlicheAbsorptionsverluste. Die Reflexion am Luftspalt wird nurdann teilweise unterdrückt, wenn dieser dünner als eine Wellenlängeist. Befeuchtung dagegen setzt die Reflexion an deninneren Grenzflächen für sehr saubere Platten auf0,2 2 ~2,8 2 ::::::: 0,5% herab. Dann ist die Durchlässigkeite-o, IN, also bei N = 100 z. B. 0,3. Soviel Licht kommtdirekt durch, ohne jemals reflektiert zu werden.10.3.3. VerteilungsfehlerEine Probe (Dicke d) habe auf der ganzen Fläche A dieKonzentration c, eine andere auf A/2 die Konzentration 2c,in der anderen Hälfte gar nichts. Die durchgelassenen Lichtströmesind r!J = r!Joe-ecd bzw. r!J' = r!Jo(-!+!e-Zecd), alsor!J' fr!Jo = cosh(ecd). Die ungleichmäßige Probe läßt mehrdurch. Besonders kraß ist der Fehler bei ecd » 1. Die Betrachtungläßt sich verallgemeinern: Von einer gleichmäßigenProbe ausgehend nehme man an einer Stelle etwas Substanzweg und bringe die Konzentration auf c - ~c; anderswo aufeiner gleichgroßen Fläche lade man die gleiche Menge dazu(c + ~c). Ausgehend von dem Licht, das die beiden Teilflächenmit der Konzentration c durchlassen würden, erhältman wieder den oben diskutierten Fall. Die gleichmäßigeVerteilung läßt ganz allgemein am wenigsten durch. Wennman sie voraussetzt, unterschätzt man die Substanzmengeimmer. Die molekulare Inhomogenität schadet nichts, dennin jeder Probe überdecken sich selbst bei kleinem d und cdie Absorptionsquerschnitte der Moleküle in den verschiedenenSchichten noch immer. Die freie Weglänge des Lichtes istkleiner als die Schichtdicke. Für d = 1 Jlm gilt das erst beiVerdünnungen von 10-IO mol/1 nicht mehr, bei denen längstkeine Absorption mehr meßbar ist (Absorptionsquerschnitt1J ~ geometrischer Molekülquerschnitt ::::::: 10- 15 cm 2 , l =1/(M), n = 6 · 1020 cm- 3 bei 1 mol/1).10.3.4. Widerspruch zu Einstein?Tatsächlich ist in einem Medium mit n < 1 die Phasengeschwindigkeitc des Lichts größer als die Vakuum-Licht-geschwindigkeit co. Für harte Röntgenstrahlung jenseitsder letzten Absorptionskante ist n < 1 sogar die Regel; fürlängere Wellen gibt es nur ganz schmale Bereiche mitn < 1 gleich oberhalb jeder Absorption. Eine Phasengeschwindigkeitbeschreibt einen rein kinematischen Vorgang,mit dem kein physikalischer Transport von Energie,Impuls oder Masse verbunden ist. Sie darf c0 überschreiten,ohne daß die Relativitätstheorie etwas dagegen hat.De Broglie-Wellen z. B. haben sogar immer c > c0.Schlimm wäre es erst, wenn eine aus solchen Wellen konstruierteGruppe schneller liefe als c0 , denn sie führtEnergie und Impuls mit. Wir weisen nach, daß dies jedenfallsnach der in Abschn. 10.3.3 entwickelten Dispersionstheorienicht vorkommen kann. Am kritischsten ist dieLage offenbar im harten Röntgengebiet, wo keine nachfolgendeAbsorptionslinie das n < 1-Verhalten mildert. Dort?ilt n =V' +A/(wÖ- w 2 ). Die GruppengeschwindigkeitIStdv dw dw coVG = 1 = w = wn = dnd- d- d- n+w-}, c co dwWir berechnen den Nenner:dn 1 Aw2 n2 - 1 w2w- = = -----=----cdwn ( wö - w2) 2 n wö - w2 'd.h.Dan< 1 und w > w0 , ist das größer als 1, also VG < c 0 • Dieswar der Fall einer dämpfungsfreien Schwingung. WennDämpfung vorliegt, gibt es rein mathematisch einen Abschnittmit n < 1 und anomaler Dispersion. Hier ergäbesich tatsächlich VG > co. Er liegt aber mitten in der Absorptionslinieund hat daher keine physikalische Realität.10.3.5. Blaue AugenFarben in der Natur beruhen auf absorbierenden Pigmenten(die meisten Blumenfarben), Interferenz (Schmetterlingsflügel)oder Streuung (Himmel, Meeresblau). Wenn die Biochemikerein blaues Pigment ausschließen und die Anatomenin der Iris des Auges keine regelmäßige Feinstruktur finden,die Interferenzfarben erzeugt, muß es sich um Streuung handeln.Blauäugige sind oft auch blond und sonnenbrandanfällig,d. h. haben allgemein wenig und feinverteilte Pigmente.Der Braunäugige hat ein dichtes schwarzbraunesPigment in der Iris, der Blauäugige so wenig und so fein verteilt,daß die Streuung die Absorption überwiegt.10.3.6. Dunkles BierIm flüssigen Bier verliert ein Lichtbündel viel mehr Intensitätdurch Absorption als durch Streuung. Die Absorption ist selektivund erzeugt die Farbe des Bieres. Im Schaum überwiegtdie Streuung, und zwar an so großen Teilchen (Bier­Luft-Grenzflächen), daß man in jedem Fall weißes Streu-

IIII1116 :: Lösungen zu den Aufgabenlicht sieht. Nur ausgehend von sehr heiß gedörrter Gersteerhält man auch dunklen Schaum, wie beim Kulmbacher.Kristallirre Stoffe mit sehr vielen, aber relativ großen Kriställchenstreuen weiß, ebenso Emulsionen wie Milch und dergriech. Ouzo, der frz. Pernod oder Pastis (Butter- bzw. Öltröpfchenin Wasser) und Feinkonglomerate wie Papier sowieFeinpulver wie Schnee oder Gips.10.3.7. Weiße MilchEin feindisperser Stoff mit einer Korngröße, die unterhalb derLichtwellenlänge liegt, streut überwiegend kurzwelligesLicht. Nach Rayleigh geht die Streuintensität wie r 4 , istalso für Purpurrot 16mal kleiner als für Violett. Weißes Streulichtentsteht, wenn die streuenden Teilchen größer sind als ),,oder wenn sie so dicht sitzen, daß die langen Wellen zwar ausetwas tieferen Schichten zurückgestreut werden, aber nochnicht aus so großer Tiefe, daß die Absorption erheblich wird.10.3.8. Heller oder dunkler RauchEin frisches Feuer erzeugt relativ große Kohlepartikel, die alsKondensationskeime für das aus dem feuchten Holz ausgedampfteWasser und auch für das Verbrennungswasser dienenund sich dadurch vergrößern, Holzkohlenglut gibt feinere,trockene Teilchen ab. Rauch von frischem Feuer streut daheralle Wellenlängen und sieht vor dem dunklen Wald weiß, vordem hellen Himmel schwarz aus. Die feine Rauchsäule derKohlenglut streut überwiegend blau, wenn auch nicht soüberwiegend wie die viel kleineren Streuzentren der Luftselbst. Daher erscheint das durchfallende Himmelslichtnicht kräftig rot, sondern nur schmutzig rotbraun.10.3.9. Blaue SchattenAuf dem Mond sind die Schatten wirklich tiefschwarz. Beiuns sind sie durch das Streulicht der Atmosphäre aufgehellt,das einen starken Blauanteil hat. Diese Farbigkeit des Schattenssieht man allerdings nur auf sehr weißer Oberfläche,z. B. frischem Schnee. Er ist besonders weiß, wenn erfrisch, kalt und nicht sehr dicht ist, weil dann die ganz feinenKristalldendrite weitgehend erhalten bleiben, die man an frischenFlocken unter dem Mikroskop sieht und die optimaleStreueigenschaften garantieren.10.3.10. Bunter HauchMan sieht aus etwas schräger Richtung bunte Farben. Es sindkeine Streuungs-, sondern Interferenzfarben. Wenn auf derGlasplatte eine Menge sehr feiner Tröpfchen ungefähr einheitlicherGröße sitzen, erzeugt jedes Beugungsringe umdas durchgehende Bündel nullter Ordnung. Diese Ringesind bunt (innen rot, außen blau) wie alle Beugungsringeaus weißem Licht. Auf einem weit entfernten Schirm entwerfenalle Tröpfchen ihre Ringe praktisch an der gleichen Stelle,falls der Bündeldurchmesser klein gegen den Schirmabstandist. Man sieht einen bunten Hof, besonders wenn mandas blendende Bündel nullter Ordnung nicht auf den Schirm,sondern durch ein Loch durch ihn fallen läßt. Saubere Ringesetzen sehr einheitliche Tröpfchengröße voraus. Wachsen dieTröpfchen im Laufe der Zeit, dann laufen die Ringe nachinnen zusammen.10.3.11. GelbfilterEin Gelbfilter sieht gelb aus, weil es Violett absorbiert. Dajeder Schwarz-Weiß-Film (auch ein isochromatischer) fürBlau empfindlicher ist als für Rot, während das Auge seinEmpfindlichkeilsmaximum im Grünen hat, sieht ohne Gelbfilterfotografiert der Himmel fast so hell aus wie die Wolkenmit ihrem weißen Streulicht Erst ein Gelbfilter von entsprechenderDichte stellt etwa den vom Auge empfundenen Kontrasther, indem es das violette und blaue Streulicht des Himmelsschwächt.10.4.1. Düker-Möllenstedt-VersuchEntscheidend ist das Ergebnis von Aufgabe 6.1.9, wonachder Ablenkwinkel eines Elektrons nicht von dem Abstandabhängt, in dem es den geladenen Draht passiert. Der Drahtwirkt wie ein Biprisma. Eine Elektronenquelle von 50 nmDurchmesser, wie Düker und Möllenstedt sie verwendeten,kann gegenüber allen übrigen Abmessungen als Punktquellebetrachtet werden, von der die Elektronen nach allen Richtungenausgehen. Wären in Abb. 10.81 die Abstände Quelle­Draht (QD) und Draht-Film gleich, d. h. s = 2b, dann entstünde,wie man leicht überlegt, überhaupt kein Gangunterschied:Zwei Elektronenstrahlen, die sich wieder auf demFilm vereinigen, umschlössen immer einen Rhombus. Erstdank des Unterschiedes s - 2b kommt ein Gangunterschiedzustande. Er folgt aus elementarer, aber ziemlich umständlicherGeometrie zu A = ax(s - 2b) / s, wobei x der Abstandvon der Geraden QD, auf dem Film gemessen, und rx derAblenkwinkel ist. Der Abstand x heller Streifen entsprichtA =Je, also x = Jcs/(rx(s- 2b)). 1 eV-Elektronen habenJe= 1,2 nm. Fürs = 3b folgt dann rx = 3,6 · w-3. Nach Aufgabe6.1.9 ist rx = ee/(4eoW) (Q: Ladung/mDrahtlänge, W:Elektronenenergie), also Q = 1,3 · w- 13 Clm. Die Spannungzwischen Draht und Rest der Apparatur braucht nur26m V zusein. Bei gegebenem Streifenabstand ist Je ~ w- 1 12. Darx ~ e/W, müssen Q und U wie W 1 1 2 zunehmen. Für10 ke V-Elektronen braucht man nur U = 2,6 V oder nochweniger, wenn man rx kleiner, also den Streifenabstandgrößer machen will.10.4.2. NeutronenbeugungFür Kristallbeugungsbilder braucht man Wellenlängen, dieähnlich sind wie die Gitterkonstante oder kleiner, d. h. zwischen0,1 und 1 A. Neutronen haben solche Wellenlängenbei w = h 2 /(2mJc 2 ) ~ w- 20 bis w-18 J, d. h. 0,06 bis6 e V oder 2 bis 200kT ( überthermische Neutronen). Neutronenkann man nicht bündeln, nur durch Ausblenden parallelmachen, was ungeheure Verluste bringt. Daher brauchtman die hohen Flußdichten, die aus einem Reaktor kommen.Als Blendenmaterial ist Cd mit seinem hohen Neutronen-Absorptionsquerschnittgünstig. Bei der Laue-Methode brauchtman keine streng monochromatischen Neutronen, ebensowenigwie mit Röntgenlicht Um nach Debye-Scherrer mitmikrokristallirren Proben arbeiten zu können, monochromatisiertman mechanisch, z. B. durch zwei Zahnräder(Abb. 5.23).

Kapitelu: Lösungen 111710.4.3. WellenpaketEine fortschreitende harmonische Welle hat im Zeitmittelüberall die gleiche Amplitude, das entsprechende Teilchenkann also überall mit gleicher Wahrscheinlichkeit sein.Zwei Wellen mit At und Al und gleichen Phasengeschwindigkeitenbilden eine Folge von Schwebungsmaxima im AbstandL1x = Xjt - A2t. Fügt man Wellen mit dazwischenliegendem}, ein, dann bilden sie Schwebungsmaxima, die ananderen Stellen liegen, bis auf das eine Maximum, wosich alle Teilwellen verstärken. Zum Schluß bleibt dahernur dieses eine Maximum erhalten. Nur im BereichLlx:::::; Aj""t - 22t ist eine merkliche Amplitude vorhanden,nur dort kann das Teilchen sein. Der WellenlängenbereichAt, Al entspricht nach de Broglie einem ImpulsbereichPt= hl At.Pl = hl Al, also ergibt sich die Unschärferelationlip Llx :::::; h zwischen lip und Llx.10.4.4. Makroskopische UnschärfeDie Orte von Stein (1 cm, 1 g), Sandkorn (0,1 mm, w- 6 g)und Bakterium (IJ..I.m, w-tl g) seien anfangs auf lJ..i.m genaufestgelegt und die Objekte, so gut es geht, zur Ruhe gebracht.Dann ist die Geschwindigkeitsunschärfeliv:::::; hl(milx):::::; 6 · w- 28 m/s für den Stein, 6 · w-11 m!sfür das Sandkorn, 6 · w- 16 m/s für das Bakterium. Nacheinem Tag sind die entsprechenden Verschiebungen alle unmeßbar,nach 30 Jahren nähert sich die des Bakteriums demmikroskopisch Sichtbaren (0,6J..i.m), in einem Weltalter sindsie 0,2nm, 0,2mm, 20m, also sogar für das Sandkorn deutlich.10.4.5. UnschärferelationEin Teilchen, dessen Ort mit einem Höchstfehler d festgelegtist, hat einen Mindestimpuls p :::::; h I d, eine Mindestenergiep 2 I (2m) :::::; h 2 I ( 2md 1 ). Das ist die Nullpunktsenergie desquantenmechanischen Teilchens, die nicht unterschrittenwerden kann und die für viele klassisch unverständlicheEffekte, vom Einfrieren thermischer Freiheitsgrade biszum Planck-Gesetz, verantwortlich ist. Die Absenkung derNullpunktsenergie bei Erweiterung des Kastens (Vergrößerungvon d) ermöglicht die chemische Bindung. - In derWinkelangabe eines drehbaren Objekts kann man höchstenseinen Fehler 21r machen. Daher sind Drehimpulse umhl (27r) = li unscharf, anders ausgedrückt: Jeder Drehimpulszustandbeansprucht einen Bereich li, zwei solche Zuständemüssen sich im Drehimpuls um li unterscheiden. Dasist das Bohrsehe Postulat, aus dem die Theorie des H-Atomsfolgt. -Die Energie eines Systems mit der Lebensdauer fit istnur auf Ii W :::::; hl fit gerrau festgelegt. Genauso hängt dieLebensdauer eines Atoms oder Kerns mit der Breite seineroptischen oder y-Spektrallinien zusammen. Im Fall derAtomhülle wird diese Lebensdauer nur selten durch denDämpfungsprozeß bestimmt, der der Strahlung inhärentist, sondern meist durch Stöße mit anderen Teilchen (Stoßverbreiterung).Kerne sind davor weitgehend geschützt,und daher haben Mößbauer-Linien ihre außerordentlicheSchärfe. Im Festkörper verbreitern sich die scharfenEnergiezustände der Atome zu Energiebändern, weil dieElektronen von Atom zu Atom tunnein können. Der Tunneleffektselbst ist auch eine Folge der Unschärferelation: Wennein Teilchen sich genügend beeilt, darf es sogar ein Gebietdurchqueren, wo die potentielle Energie höher ist als dieTeilchenenergie. Der Austausch virtueller Teilchen, der dieWechselwirkungen vermittelt, funktioniert ähnlich. KeinGebiet der modernen Physik bleibt unberührt von derUnschärferelation.11.1.1. Ausrede für Verkehrssünder?Wenn die grüne Lampe nur im Grünen (sagen wir, zwischen500 und 550nm), die rote nur im Roten (650-700nm) emittierte,sähe allerdings bei gleicher Gesamtstrahlungsleistungdie grüne ca. 20mal heller aus. Bei allen Glühlampen wirdaber die Farbe subtraktiv aus Weiß erzeugt: Durch ein Filterglas,das selektiv im Grünen absorbiert, erscheint eine weißeLampe in der Komplementärfarbe, also rot. Das Auge empfängtdaher von beiden Lampen etwa die gleiche Strahlungsleistung(minus dem schmalen absorbierten Band) und bemißtdie Stärke seines Farbeindrucks danach. Neon-Lampen(nicht Leuchtstoffröhren!) dagegen strahlen wirklich nur inbestimmten Spektralbereichen. Für sie trifft zu, daß einerote Lampe mehr Leistung aufbringen muß.11.1.2. AbstandsabhängigkeitVom Abstand hängt weder der Lichtstrom noch seine Richtungsverteilung,also die Lichtstärke ab, wohl aber die Be-leuchtungsstärke (wie r- 1 ); die Leuchtdichte bleibt konstant,denn die scheinbare Fläche des Strahlers (Glühfadenusw.) nimmt ebenfalls wie r- 1 ab. Der Spiegel ändert,wenn er verlustfrei reflektiert, nicht den Lichtstrom, aberganz erheblich die Lichtstärke. Das Filter beschneidetauch den Lichtstrom.11.1.3. KerzenDie Lichtstärke (Lichtstrom!Raumwinkelelement) hängt vonder Geometrie der Lampe und des Reflektors, Kondensorsusw. entscheidend ab. Konstant ist der Lichtstrom, den dieLampe insgesamt hergibt. Da der Raumwinkel dimensionslosist, liegt die Verwechslung zwischen Im= cd sterad undcd nahe. Eine "Neukerze" gibt einen Lichtstrom von47rcd = 12,6lm her. Er kann z. B. durch einen Parabolspiegelleicht in ein Bündel konzentriert werden, das nurum 2° divergiert, also einen Raumwinkel von 0,001 steradaufspannt. Die Lichtstärke im Bündel ist dann über 10 4 cd.

IIIIII1118 Lösungen zu den Aufgaben11.1.4. Hefner-KerzeEinfachste Eichung eines Thermometers für auffallendeStrahlungsleistung: Man montiert es in eine berußte, elektrischheizbare Platte und setzt diese bis zum Temperaturgleichgewichtder zu messenden Strahlung aus. Dann stelltman die gleiche Thermometeranzeige ohne Strahlung durchelektrische Heizung her. Heizstrom und -spannung (oderWiderstand) ergeben die Strahlungsleistung. Die Hefner­Lampe strahlt 9,5 · 10- 5 W auf jeden cm2 der Kugelflächevon 411"1002 = 1,25 · 10 5 cm 2 (abgesehen von einer leichtenRichtungsabhängigkeit der Emission). Ihre Strahlungsleistungist also P:::::; 12W, ihre Strahlungsstärke Pl(47r):::::;0,95 W/sterad. Die Flammenhöhe der Normallampe muß40 mm sein, der Dochtdurchmesser 8 mm, die Oberflächeder annähernd kege1förmigen Flamme etwa 3 cm 2 , alsodie Emissionsdichte 4 W/cm 2 . Nach Stefan-Boltzmann entsprichtdas für einen schwarzen Körper einer Temperaturvon ziemlich genau 1 000 K. Amylacetat (Pentanol-Essigsäureester,charakteristischer Geruch bekannt von vielen Allesklebern)erzeugt infolge seines mittelgroßen C-Gehalts geradeso viele Rußteilchen, daß die Flamme gut leuchtet,aber kaum überschüssigen Ruß abscheidet. Die Flamme istalso annähernd "schwarz" und nicht wesentlich heißer alsdie "schwarze" Schätzung von 1 000 K. Bei dieser Temperaturist die Ausbeute an sichtbarem Licht noch sehr schwach(nach Aufgabe 11.2.6 etwa 5 · 10-3 lm/W). Lichtstrom,Lichtstärke, Beleuchtungsstärke in 1 m Abstand, Leuchtdichteergeben sich so zu 0,06lm, 0,005 cd, 0,005lx, 0,002 sb.11.1.5. LeselampeDer Glühfaden einer Lampe erreicht maximal 2 800 K. DieLichtausbeute ist dann nach Aufgabe 11.2.6 60lm/W. Eine100 W-Lampe ohne Reflektor, 1m über der Arbeitsflächeangebracht, beleuchtet diese also mit 500 lx. Ein Reflektorbringt das auf den zum technischen Zeichnen optimalenWert. Wie anpassungsfähig das Auge ist, sieht man daraus,daß man auch pralle Sonne auf dem Buch verträgt (allerdingsnicht lange); nach Aufgabe 11.2.6 bedeutet das fast5 · 10 5 lx. Die "zum Lesen klare" Vollmondnacht erzeugtbestenfalls llx (vgl. Aufgabe 11.2. 7). Eine 4,5 V-0,2 A­Taschenlampe hat 0,7 W, also maximal 40 lm.11.1.6. BelichtungszeitDie Sonne strahlt uns 1400 W/m 2 mit der Farbtemperatur5 700 K, also nach Aufgabe 11.2.7 etwa 4 · 105 lx maximalzu. Objekte wie Personen, Bäume, Berge, Mauerwerk liegenin ihrer Albedo zwischen 0,15 und 0,4, Seesand, Schnee undWolken haben mehr. Die üblichen Fotoobjekte geben alsoam klaren Mittag um 105 lmlm 2 diffus ab, d. h. etwa104 cdlm 2 = 1 sb. Wie muß man belichten, um eine Zeichnu~gzu reproduzieren, die im Zimmer mit 100 W aus 1 mAbstand beleuchtet ist? Beleuchtungsstärke 1 000 lx,400mal weniger als draußen bei Mittagssonne, wo man fürdas Papier mit seiner Albedo 0,6 etwa Blende 16 und 2~0 snehmen würde .. (Vergleich mit dem typischen 16-rJo-Motiv,Albedo 0, 15); Offnung der Blende auf 2,8 bringt den Faktor32; man belichte also mit -fo s.11.1.7. LeuchtstoffröhreEin Wandstück, das von der Röhrenachse aus den Winkel 9gegen Ihre Blickrichtung bildet, erscheint um den Faktorcos 9 verkürzt. Wenn es trotzdem ebensohell erscheint wieder Rest der Wand, muß es um denselben Faktor wenigerLicht in die 9-Richtung senden als in die Richtung 9 = 0.Die Wand strahlt nach Lambert: di = dlo cos 9. ErstB = dl I (dA cos 9) ist konstant. Das kleine Wandstück hatals Charakteristik eine Kugel, die die Röhre tangiert, derWandstreifen parallel zur Röhrenachse unter 9 hat einen Zylinder,der auch die Röhre tangiert; alle diese Zylinder überlagernsich für die ganze Röhre zu einem konzentrischenZylinder.11.1.8. Ulbricht-KugelEin Wandstück dA unter dem Winkel 9 gegen den Radius QFempfängt Licht, das proportional zur Lichtstärke I( 9) ist, undsendet als Lambert-Strahler in Richtung Fenster Licht~ I cos 912. Dies Licht fällt unter dem gleichen Winkel912 gegen die Normale der Fensterfläche, sein Beitrag zurBeleuchtungsstärke ist also dE ~ Ir- 2 cos 2 912, wo r der Abstandvon dA bis F ist. Da cos 912 = r I (2R) (R: Kugelradius),kürzen sich cos 912 und r weg: Der Gesamtwertvon E hängt nur vom Integral über I, also vom Strahlungsflußder Quelle ab (und natürlich vom Kugelradius; vondiesem sogar wie R- 4 ).11.1.9. VollmondZwar hätte die Mondscheibe, wenn ihre Struktur überall diegleiche wäre, auch überall die gleiche Flächenhelligkeit.Daraus folgt aber nicht, daß diese Flächenhelligkeit beider Halbmondscheibe ebensogroß ist wie bei der Vollmondscheibe.Wir nehmen zunächst an, die Mondoberfläche reflektierenach Lambert. Die Richtung Sonne-Mond machenwir zur Polachse unserer Polarkoordinaten. Ein Flächenelementder Größe R 2 sin 9 dlfi d9 empfängt aus der Sonnenstrahlung(Intensität I) die Leistung IR 2 sin 9 cos 9 dlfi d9und gibt unter dem Winkelex gegen seine Normalenrichtungdie Strahlungsstärke dJ = ~ a!R 2 sin 9 cos 9 d9 dlfi cos a ab.Hier ist a die Albedo (der Reflexionsgrad) der Fläche, 1rstammt von der Integration über den Halbraum, cos a ausdem Lambert-Gesetz. Die Richtungen Mond-Erde undSonne-Mond schließen einen Winkel y ein; von der RichtungMond-Erde aus messen wir auch den Azimutwinkellfi· Nach dem Seiteneosinussatz der sphärischen Trigonometrieist dann cos a = cos y cos 9 + sin y sin 9 cos lfi· DieStrahlstarke vom ganzen Mond in Richtung Erde istJ = fdJ.Vollmond: y = 0, a = 9 (was ohnehin klar ist).1 1rr/212rrJ = -aiR 2 sin 9 cos 2 9 d9 dlfi7r 0 01 2= 2aiR 2 cos 2 9 d cos 9 = - aiR 2 .0 3

Kapitel 11: Lösungen 1119Halbmond: y = 1· cos cx = sin 9 cos rp.1 17r/217r/2sin2 9 cos 9 d9 cos rp drp7f 0 -7r/2J = - aiR 2= -aiR 1 2 21' i dz = -aiR 2 2 .7f 0 37rHiernach strahlt der Vollmond 1r-mal stärker als der Halbmond,ist also mehr als eine Größenklasse heller (eineGrößenklasse entspricht einem Faktor 100 1 1 5 = 2,512). InWirklichkeit strahlt der Mondboden zur Seite noch wenigerals ein Lambert-Strahler. Er ist zu rauh. Daher ist der Halbmondnoch etwa 3mal weniger hell als oben berechnet.11.1.10. Echo-SateUitDer Satellit sieht von allen Seiten gleichhell aus, sogar vonhinten (außer natürlich, wenn er die Sonne direkt verdeckt).Die Strahlungsstärke der blanken Kugel ist unabhängig vomWinkel. Man könnte das schon aus der geometrischen Optikschließen: Der Kugelspiegel werde ersetzt durch das Bild derSonne in diesem Spiegel, das in der Mitte seines Radius entsteht.Ein solches Bild sollte nach allen Seiten gleich starkstrahlen. Die geometrische Optik liefert aber nur in beschränktemMaße Aussagen über Strahlungsstärken. DasSonnenlicht falle aus der Richtung 9 = 0 ein. Das ringförmigeStück Kugelfläche, das zwischen den Winkeln 9 und9 + d9 liegt, hat die Größe 21rR 2 sin 9 d9, fängt die StrahlungsleistungdP = 21riR 2 sin 9 cos 9 d9 auf und spiegeltsie in den Hohlkegel zwischen 29 und 29 + 2 d9 hinein.Dieser Kegel umfaßt einen Raumwinkel dQ =21r sin(29) d(29) = 81r sin 9 cos 9 d9. Die Strahlstärke J =dP 1 dQ = ! IR 2 ist also in allen Richtungen gleich, . sogarbei 29 = 1r, d. h. bei streifendem Einfall ( 9 = 1r 12). D1e Gesamtleistung1rR 2 I, die die ganze Kugel effektiv mit ihremQuerschnitt einfängt, verteilt sich gleichmäßig über denvollen Raumwinkel 47r.11.2.1. Leslie-WürfelDie berußte Platte strahlt mehr und absorbiert auch mehr,proportional dazu. In Abb. 11.30a verstärken sich die beidenEinflüsse, in Abb. 11.30b kompensieren sie sich, wenn mandavon absieht, daß die 8-Unterschiede auch von der Temperaturabhängen.11.2.2. WeinpanscherEgal wie man verfährt: Die Mengen an "Fremdsubstanz" sindin beiden "Gläsern immer gleich. Da nämlich vor wie nach derOperation beide Gläser gleich voll sind, muß der Rotwein,der aus dem Rotweinglas verschwunden und im Weißweingelandet ist, durch genausoviel Weißwein ersetzt wordensein. Hoffentlich haben Sie sich nicht halbtotgerechnet11.2.3. Kirchhoff-GesetzMan kann die Sache auf drei Arten behandeln (mindestens).Man kann geschickt bilanzieren, analog zum Fall des RotundWeißweins (s. oben). Oder man kann sagen: Im Hohlraumherrscht die spektrale Energiedichte Q, egal .von wel-eher Wand sie ursprünglich emittiert wurde. Sie trifft mitder Intensität CQ auf jede Wand, und die eine absorbiert81c heraus, die andere 82C. Diese Energiestromdichten müssenjeweils gleich der spezifischen Ausstrahlung R; sein,woraus P; rv 8; folgt. Drittens und am kompliziertesten:Wand 1 sendet Pt aus und muß ebensoviel empfangen, nämlich81P 2 direkt von drüben, 8tPt (1 - 82) aus der Strahlung,die Wand 2 nicht geschluckt hat, 8tP2(1 ....: al)(1 - 82) ausder 1,5mal hin- und herreflektierten Strahlung usw. Manerhält zwei geometrische Reihen mit dem Faktor(1- 8t)(1- 82) und der Summe S = 11(8t + 8.2- 8t8~).Ernission und Gesamtabsorption müssen gle1ch sem:Pt = BtP2S + Bt (1 - 82)PtS. Einsetzen von S liefert wieder8tP2 = 82Pt.11.2.4. StrahlungsmaximumSpektrale Intensität I und spektrale Photonenstromdichte jhängen zusammen wie j"' Ilv. Umrechnung von I(v) aufI(A.) bzw. von j(vi auf j(A.) geschieht durch Multiplikationmit dA.Idv =-cj),. Aus I(v) "'x3 l(ex-l) mitx = hvl(kT)folgt also I(A.) rv x 5 l(ex- 1)mit x = hci(A.kT), ausj(v)rvx21(ex-l) folgt j(A.)rvx41(ex-l). Wir suchenganz allgemein das Maximum von x" I ( ex - 1). Nullsetzender Ableitung liefert die transzendente Gleichung x =n(l - e-x). Bei sehr großem n ist x = n eine ganz guteNäherung, denn e -x ;::-.:; e -n ist dann sehr klein. In Wirklichkeitist x etwas kleiner als n, sagen wir x ;::-.:; n - B mit e «: 1. Einsetzenliefert e ;::-.:; nl(en- n). Genaue Werte erhält maniterativ auf dem Taschenrechner: n eingeben, Schleife +Iex+I- +1 = x n =.Die Maxima von j(v), I(v), j(A.),I(A.) liegen also ir1 dieser Reihenfolge deutlich gestaffelt, fürdie Sonne mit T = 5 780 K bei 1 585, 894, 643, 507 nm. DieAbsorption in den äußeren Sonnenschichten und in unsererAtmosphäre verschiebt alle diese Werte noch (Abb. 11.28).11.2.5. Stefan-Boltzmann-Konstante1l(ex- 1b ist die Summe der geometrischen ReiheL,'{'= t e- . Unser Integral z~ällt s~ in eine Summe vonIntegralen der Form In = J 0x" e- ldx. In geht durcheine Kette partieller Integrationen über in eine Summe, inder die meisten Glieder außer e-kx auch x enthalten, alsoan den Grenzen 0 und oo verschwinden, bis auf das letzte,n!lkn+t. Somit wird ln = J;oxdxl(ex -1) = n!(n+t· ~ürdie Planck-Formel interessiert h = 6(4. Nun der Founer­Trick (man muß bloß draufkommen): Es sei f(x) = x",speziell x 2 bzw. x4 im Intervall ( -1r, 1r), außerhalb f(x)periodisch fortgesetzt. Fourier-Koeffizienten ank = .f.1r x"cos(kx)dx (gerade Funktionen), am besten wie oben alsRealteile von J x" eikx dx bestimmt: a2k = -47r lk 2 fürk > 0, a 20 = 21r 3 15; für x = 0 muß L,'{'= 0 a2k = 0 sein,also (2 = 1r216. a 4k = -47r 3 lk 2 + 247r lk 4 , a4o = 2~ 15;also 2~ 15- 4~(2 + 247r(4 = 0, also (4 = 7r4l90.11.2.6. LampenausbeuteDies ist die Grundlage für die Umrechnung von Strahlung inLicht. Leider gibt es keinen allgemeinen einfachen Ausdruck

IIIIII1120 Lösungen zu den Aufgabenfür den Anteil der Planck-Kurve, der als Licht wahrgenommenwird. Die Leuchtdichte des schwarzen Körpers in Stilbergibt sich als L = 0,068 -[;;J Q( v, T)O"(v) dy aus der Energiedichteg( v, T) der schwarzen Strahlung und der spektralenEmpfindlichkeitskurve O"( v) des Auges. Der Faktor c vermitteltden Übergang von Energiedichte zu Intensität, derFaktor 0,068 von W/cm 2 auf lm/cm 2 , der Faktor 1/(47r)von lm/cm 2 auf sb = cd/cm 2 . Man kann die beteiligtenKurven annähern: Die Planck-Kurve durch die Wien­Kurve, falls kT ~ hv; die Empfindlichkeitskurve O"( v) alsRechteck der Höhe 1 zwischen v 1 = 4,5 · 10 14 s-1 undv 2 = 6,0 · 10 14 s- 1 entsprechend 660 und 500nm (vgl.Abb. 11.7). Dann vereinfacht sich. L zu L ~0 136k4 T 4c-2h-3 rx2 x 3 e-xdx ~ 0 136kTc2v3 e-hv,j(kT)mit x = hv/(kT). Die übrigen Glieder, die bei der partiellenIntegration entstehen, sind bis 2 000 K mehr als viermalkleiner. Bei T = 2 040 K (Schmelzpunkt des Platins) liefertdiese Näherung L = 50 sb, was mit den gemessenen 60 sb(Definition des sb) nicht so schlecht übereinstimmt. DieLichtausbeute in lm!W ergibt sich durch Multiplikationmit 21r (Halbraum) und Division durch die Stefan-BoltzmannscheGesamtleistung Yf ~ 103xj e-x, lm!W. Die graphischeIntegration mit dem exakten e( V) (}(V) ergibt dieWerte von Abb. 11.15.' Jx1 ' 111.2. 7. · SternhelligkeitWir müssen selbstleuchtende Himmelskörper (Sonne, Fixsterne,Galaxien) und solche unterscheiden, die nur dankreflektierten Sonnenlichts zu sehen sind (Planeten, Kometen,natürliche und künstliche Satelliten). Die Helligkeit einesSterns ergibt sich aus der der Sonne, die von uns denAbstand RE hat, im Abstand R durch Multiplikation mitdem Verdünnungsfaktor R~jR 2 ; außerdem können aberauch die absoluten Leuchtkräfte verschieden sein:Hst/Hs = LstRV(LsR 2 ). Ein Planet vom Radius r im AbstandR von der Sonne fängt einen Bruchteil 1rr 2 / ( 47rR 2 )des Gesamtlichts der Sonne auf. Hat er die Albedo rx undsehen wir einen Bruchteil y seiner beleuchteten Hälfte(z. B. Halbmond y = 0,5), so strahlt er in den Halbraum,wo wir sind, im ganzen rxyr 2 / ( 47rR 2 ) ab. Das Doppelte davonist das Verhältnis seiner absoluten Leuchtkraft zu derder Sonne (diese muß ja in den ganzen 47r-Raum strahlen).Hat er einen Abstand a von der Erde, so ergibt sichHp/Hs = rxyr 2 RV(2R 2 a 2 ). Für den Mond ist R =RE, fürdie ferneren Planeten a ~ R, für Mars, Venus, Merkurschwankt a stark mit der Stellung zur Sonne (Opposition,Konjunktion usw.); bei Venus und Merkur wird der Einflußdieser Schwankung durch die Phasen (y) teilweise kompensiert.Man erhält für Planeten und Satelliten Übereinstimmungmit der beobachteten Helligkeit, wenn man dieAlbedo entsprechend anpaßt.Beim Mond kann man noch einfacher argumentieren:Er erscheint ebensogroß wie die Sonne (r = 1 ~ 0 ); er empfängteine um den Faktor (rs/RE) 2 = (2 · 120)- 2 verdünnteSonnenstrahlung, von der er nur den Bruchteilrx = 0,07 zurückstrahlt, allerdings nur in einen Halbraum,was ihm den Faktor 2 einbringt. Also erscheint er1· 14 · 5 · 10 4 = 3 · 10 5 mal weniger hell als die Sonne.Sirius z.B. hat -1,5mag, die Sonne -27, ist also1,6 · 1010mal heller. Sirius ist 10 Lichtjahre entfernt, dieSonne 500 Lichtsekunden (s. Ole Rrpmer); das Verhältnisder Abstandsquadrate ist 3 · 101!, also ist Sirius absolutzwanzigmal heller. Der Andromedanebel hat +4,5 mag,die Sonne erscheint also 10°·4·(4,5+27) = 4 · 1012mal heller.Der Andromedanebel ist 3 · 106 Lichtjahre entfernt, das Verhältnisder Abstandsquadrate ist 3 · 10 22 , also hat der Andromedanebelca. 1010mal mehr Leuchtkraft als die Sonne. Manschätzt seine Masse heute sogar auf über 10 10 Sonnenmassen.11.2.8. Wieviel Sternlein?Das Auge nimmt bei maximaler Adaptation ca. 50 "grüne"Photonen/s wahr. Die Sonne strahlt an ihrer Oberfläche mit6 · 103 W /cm2, bei uns mit 0,13 W /cm2 . Ein Photon im Grünenhat hv = 4 · 1 o- 19 J. Auf 1 cm:i Erdoberfläche fallen also3 · 10 17 Photonen/s, davon ca. i, also 10 17 im optimal Sichtbaren.Die adaptierte Pupille von 0,2 cm 2 würde 2 · 10 16 Photonen/sauffangen. Ein Stern auf absolut dunklem Hintergrunddürfte also 4 · 10 14 mal weniger hell sein als dieSonne, d. h. 36,5 Größenklassen. Ohne Nachthimmelleuchtensähe man also noch Sterne von 9,5 mag, in Wirklichkeitnur von 5 mag.11.2.9. NachthimmelleuchtenFür ein optisches Instrument mit der Apertur d (Durchmesserder Eintrittspupille) erscheint ein Stern als Beugungsscheibchenüber einen Raumwinkel verschmiert, dessen Radiusetwa rx = X/ d ist. Für das dunkeladaptierte Auge mitd ~ 0,5 cm ist rx ~ 10-4 . Der Stern hebt sich vom Hintergrundnur dann ab, wenn er mehr Licht hergibt als die Hintergrundflächevon der Größe dieses Scheibchens, also demRaumwinkel 10-8 . Die unsichtbaren Sterne und Galaxienstrahlen nach Aufgabe 11.2.19 mit einer Gesamtintensität,die ca. 6 K entspricht und etwa die Frequenzverteilung desSonnenlichts hat, also mit einer Leuchtdichte, die(5700/6) 4 = 1012mal schwächer ist als die der Sonnenscheibe.Außerdem ist das Beugungsscheibchen etwa1 OOOmal kleiner als die scheinbare Sonnenscheibe mit ihremRadius von f ~ 4 · 10- 3 und ist daher ca. 1015malweniger hell als diese, erscheint also wie ein Stern, derum 7,5 · 5 = 37,5 Größenklassen dunkler ist als die Sonnemit ihren -27, d. h. wie ein Stern 1 0,5~ter Größe. DasOlbers-Licht beschneidet unsere Wahrnehmung also nichtmehr als die Optik des Auges selbst (Aufgabe 11.2.8).Anders das Streulicht vom Zodiakalgürtel und das Rekombinationsleuchtender Hochatmosphäre, das 1 OOmal stärker istals das Olbers-Leuchten. So kommt das Auge nur bis zur5. Größe. Ein Fernrohr mit einem größerend kann entsprechendauch schwächere Sterne sehen. Ein Faktor 10 in dbringt ein 1 OOmal kleineres Beugungsscheibchen, also 5 Größenklassenein. Der 5 m-Reflektor von Mt. Palomar siehtdaher noch Sterne 20-ter Größe.11.2.10. Augenempfindlichkeit50 Photonen/s, die durch die erweiterte Pupille (bis 5 mmDurchmesser) treten, entsprechen einer Bestrahlungsstärke

Kapitelu: Lösungen 1121von 7 · w- 16 W I cm 2 (ein Photon von 500 nm hat hv =4 · w- 19 J). Es handelt sich aber hier nicht um monochromatischesGrünlicht, sondern um thermische Strahlung, dienur einen winzigen Ausläufer ins Sichtbare und noch vielweniger in den Bereich optimaler Empfindlichkeit streckt.Im Grünen entspräche den 7 · 10- 16 W lcm 2 eine Beleuchtungsstärkevon 4 · w-13 lmlcm 2 oder 4 · w- 9 lx. Im Vergleichmit 6 000 K, wo fast die Hälfte der Strahlungsenergiein den optimal sichtbaren Bereich fällt, kann man aus Aufgabe11.2.6 schätzen, daß z. B. bei 600 K etwa 1 o- 10 sichtbarist. Ein Strahler dieser Temperatur emittiert nach Stefan­Boltzmann nur 0,7 W/cm 2 , leuchtet also in großer Flächemit 4 · l o- 8 lml cm 2 , d. h. sendet dem Auge, das so nahe herangebrachtwird, wie es das aushält, mehr als tausendmalmehr sichtbare Photonen zu, als der Sehschwelle entspricht.Man sieht also im Dunkeln deutliche Grauglut(grau wegen der Farbunempfindlichkeit der Stäbchen).Theoretisch sollte man schon zwischen 450 und 500 K einenleichten grauen Hauch wahrnehmen (schwach geheiztesBügeleisen). Das scheitert wohl hauptsächlich daran, daßman die Hitze nicht so lange aushält, wie die sichere Beobachtungso schwachen Lichts erfordert.11.2.11. UR-Kamer!lAuch geringe Temperaturunterschiede machen sich durchÄnderung der UR-Emission bemerkbar, selbst wenn die optischeEmission viel zu gering ist. Ein im fernen UR aufgenommenesBild zeigt z. B. noch fast eine Stunde später, woein Auto gestanden hat. Erst recht ist fast jede industrielleAktivität auch bei sorgfältigster Tarnung deutlich durchhellere Flecken zu erkennen, und sei es nur in den Flüssenoder Seen, die Kühl- oder Abwässer aufnehmen. Außerdemwird UR in der Luft fast gar nicht gestreut und erlaubt dahereine erstaunlich klare Fernsicht.11.2.12. Wien-GesetzOhne erzwungene Emission wäre die Einsteinsehe Photonenbilanzanzusetzen: Absorbierte Photonen!(cm 3 s) =ag(v, T)no dv = spontan emittierte Photonen!(cm 3 s) = ßn*,also g(v, T) dv = ßn* l(ano) = 47lhv3c-3 e-hv/(kT). Das istdas Wiensehe Strahlungsgesetz. Es liefert maximale Strahlungsdichtefür die Frequenz Vm mit hvm = 3kT. Das istnoch kein sehr augenfälliger Unterschied gegen das richtigePlanck-Gesetz mit seinem Maximum bei hvm = 2,82kT(zwar würde das Wien-Gesetz eine fast um 400° höhere Sonnentemperaturergeben, aber wir wissen ja nicht a priori, wieheiß die Sonne ist). Schlimmer wird es bei kleinerenFrequenzen oder höheren Temperaturen: Bei hv « kT ergibtWien Q rv v 3 , Planck Q rv v 2 . Ein 20 000 K-Strahler z. B. würdenach Wien im Sichtbaren kaum ! der Helligkeit haben wiein Wirklichkeit.11.2.13. Erzwungene EmissionNennt man die Anzahlen der Prozesse/(cm3 s) spontanerEmission, erzwungener Emission und Absorption S, Ebzw. A, dann fordert das Strahlungsgleichgewicht A =S + E, die Boltzmann-Verteilung angeregter und unangereg-ter Teilchen EIA = e-hv/(kT), woraus (außer dem Planck­Gesetz) folgt EIS= 1l(ehvj(kT)- 1). Die maximale Emissionliegt bei hv = 2,82kT. Der niederfrequente Schwanzder Planck-Kurve wird also überwiegend erzwungen, derHauptteil spontan emittiert. (Deswegen erschien bei den damaligenStrahlertemperaturen und Meßmöglichkeiten dasWien-Gesetz so lange ausreichend, bis Lummerund ?ringsheim"bis zur nächsten Dezimale vorstießen. Das Wien­Gesetz entspricht ja rein spontaner Emission.) Nach Aufgabe11.2.6 kann man überschlägig sagen, daß ein Temperaturstrahlernur etwa 1 % erzwungen emittiert (vgl. dieWerte für 2 000 und 6 000 K). Die Grenze zwischen überwiegendspontaner und überwiegend erzwungener Emissionliegt bei hv g = kT, also Ag :::-:: 1 800 I T J.lm, also bei derSonne um 3 J.lm, bei der Glühlampe um 6 J.lm, bei derFlamme um 15 J.lm.11.2.14. ErdscheinVom Mond aus gesehen ist die Vollerde ca. lOOmal heller alsfür uns der Vollmond (sie hat eine 16mal größere Fläche, ihreAlbedo ist sechsmal höher). Zwischen Tag und Vollerdeunachtauf dem Mond besteht also nicht der 10 6 fache Helligkeitsunterschiedwie bei uns zwischen Tag und Vollmondnacht,sondern nur ein 1 0 4 facher. Diesen Kontrast zwischendunklem und hellem Teil der Mondscheibe kann das Augenoch überbrücken, besonders wenn die Mondsichel nochsehr schmal ist und nicht so stark überstrahlt. Der Halbmondist insgesamt schon zu hell- außerdem strahlt dann die Halberdeweniger als halb soviel - so daß dann das Phänomenkaum noch zu beobachten ist.11.2.15. ZinklichtNach Kirchhoffist das Emissionsvermögen um so größer, jegrößer das Absorptionsvermögen ist, und zwar auch in Abhängigkeitvon der Wellenlänge. Kräftig selektiv absorbierendeStoffe leuchten daher, wenn sie erhitzt sind, oft inder Komplementärfarbe zu der, die man an ihnen wahrnimmt,wenn sie kalt sind. Das extremste Beispiel ist dieUmkehrung der Spektrallinien: Heißer Na-Dampf leuchtetgelb, kalter absorbiert genau dieselben Wellenlängen, sodaß das durchkommende Licht bläulich aussieht. ZnO­Kristalle sehen orange aus. Tatsächlich schneiden sie alleWellenlängen ab, die kürzer als grünblau sind. Entsprechendstrahlt ZnO auch grünblau, wenn man es erhitzt. Eigentlichist die Absorption im Violetten ebensostark, aber Planck­Kurve und Empfindlichkeitskurve des Auges lassen den langwelligsten,also grünblauen Teil am stärksten hervortreten.11.2.16. PlanetentemperaturDie Sonne (Radius R, Oberflächentemperatur Ts) erzeugt inihrer unmittelbaren Nähe eine Strahlungsintensität o-Tt. ImAbstand a ist diese Intensität nur noch o-T~R 2 f d2. Ein Planetvom Radius r fängt davon die Leistung 1rr aT~R 2 la 2 ab,reflektiert aber den Bruchteil a. Die Albedo a ist eigentlichnur auf physiologisch bewertetes Licht bezogen, kann aberauch als Reflexionsvermögen für die (überwiegend ins Sichtbarefallende) Sonnenstrahlung betrachtet werden, falls stark

1122 Lösungen zu den AufgabenTabelle L. 3M rkur Mar..!X 0.06 0.61 0.34 .07 0.15r, 445 260 _5 275 217T~ 530 310 300 330 25Jupiter atum ranu~ eptun Pluto0,41 0.42 0,45 0. 4 0,16108 79 55 42 42129 93 65 50 0selektiv absorbierende Stoffe wie co2 keine ZU große Rollespielen. Der Planet nimmt eine Temperatur an, die dadurchbestimmt ist, daß er ebensoviel abstrahlt wie er aufnimmt.Bei gleichmäßig warmer Oberfläche (schnelle Rotation, ausgleichendeAtmosphäre und Hydrosphäre) strahlt der Planet47IT2uT 4 ab, bei langsamer Rotation und dünner Atmosphärenur etwa die Hälfte. Im ersten Fall erhält man aus der StrahlungsbilanzT 1 = Ts(l- 1X) 1 / 4 JRI(2a), im zweiten etwaum den Faktor V'2 ~ 1,2 mehr für die Tagseite (T2).Merkur, Mond, Mars entsprechen eher dem zweiten Fall.Bei Sonnenhöchststand wird es noch viel wärmer. DieErdtemperatur wird etwas angehoben durch den Treibhauseffekt:C02 läßt einfallendes sichtbares Licht durch, hältaber die UR-Rückstrahlung zurück. Viel stärker ist diesauf der Venus mit ihren 70 bar C02: Die Oberflächentemperaturliegt um 600 K.11.2.17. MondscheinfotoAuf die Mitte der Vollmondscheibe fällt ebensoviel Lichtwie an einem Tropenmittag auf den Erdboden. Entsprechendseiner Albedo von 0,07 wirft das Mondgestein aber drei- bisviermal weniger Licht zurück als das durchschnittlichePhotoobjekt auf der Erde. Die Flächenhelligkeit eines Objektshängt nicht von der Entfernung ab. Blende 8 und fodürften also ein richtig belichtetes Mondbild ergeben, obwohles selbst mit dem Teleobjektiv erstaunlich kleinbleibt. Die mondbeschienene Landschaft ist ~ IXEr2 I R2ma1dunkler als die Mondscheibe (IXE: Albedo der Erde, riR:Mondradius/Mondabstand = 2 ! 0 ) , d. h. 3 · lOsmal (oder,wie schon in Aufgabe 11.2.7 geschätzt, 106mal) dunklerals die sonnenbeschienene Landschaft. Vergrößerung derBlende von 8 auf 2,8 ergibt nur einen Faktor 8, also müßteman ca. 500 s belichten, um ein tagähnlich belichtetes Bild zuerhalten. Das würde absolut nicht wie ein Mondnachtbildaussehen, denn die Physiologie des Dunkelsehens (Stäbchensehens)ist ganz anders als die des Tagsehens und führtzu den harten Kontrasten des Mondlichts, die man photographischmit viel schwächerer Belichtung des Schwarzweißfilmsund entsprechender Entwicklung herausholen kann.Die nur sternbeschienene Landschaft ist nach Aufgabe11.2.7 noch 10 3 mal dunkler.11.2.18. SchmelzofenEin grauer Strahler, d. h. einer mit frequenzunabhängigemAbsorptionsgrad IX < 1, absorbiert den Anteil IX der Strahlung,die ihm im Ofen zugeht, und wirft 1 - IX zurück. Seinespezifische Ausstrahlung ist nach Kirchhoff entsprechendkleiner als die des schwarzen Körpers: R = IXRs. Im ganzengibt also der graue Körper, direkt oder indirekt, ebensovielStrahlung ab wie der schwarze. Dies gilt für die Gesamtstrahlung,aber auch für jede Wellenlänge. Es spielt auch keineRolle,· ob das Objekt selektiv absorbiert, also nicht grauist: Wo die Absorption gering ist, also viel reflektiert wird,ist die Emission in genauem Ausgleich kleiner. Daher siehtalles gleichhell aus, alle Einzelheiten verlieren sich. DerVorteil eines Selektivstrahlers, der wie Ceroxid (Auer­Strumpf) z. B. im Sichtbaren stark, aber kaum im UR absorbiert,zeigt sich erst außerhalb des Strahlungsgleichgewichts:Bei Zufuhr einer bestimmten Heizleistung gibt er fast allesim Sichtbaren wieder ab, nicht wie der schwarze Strahlerhauptsächlich im UR.11.2.19. WeltraumkälteDie Sterne in unserer Galaxis sind im Mittel etwa siebenLichtjahre voneinander entfernt. Da sie regellos verteiltsind, ist dies auch der Abstand des nächsten Sterns voneinem beliebig gewählten Punkt P in der Galaxis. Die Sonneist 500 Lichtsekunden ~ I ,5 · w-s Lichtjahre von uns entfernt,d. h. 5 · lOsmal weniger weit, als P seinen nächstenStern hat. Dieser nächste Stern erzeugt also in P eine2 · 10 11 mal geringere Strahlungsintensität als die Sonnebei uns. Die Kugelschale von sieben Lichtjahren Innenundvierzehn Lichtjahren Außenradius enthält im Durchschnittvier Sterne, die alle zusammen infolge ihres doppeltso großen Abstandes von P ebensostark dorthin strahlen wieder nächste Stern. Entsprechendes gilt für jede weitereKugelschale von sieben Lichtjahren Dicke. Bis zum Randder Galaxis, die einen Radius von 40 000 Lichtjahren hat,gibt es ca. 6 000 solche Schalen. Alle zusammen erzeugenin P eine Intensität, die 10 7 mal schwächer ist als die derSonne auf der Erdoberfläche und die nach Stefan-Boltzmanneinem schwarzen Körper in P eine Gleichgewichtstemperaturvon 300 I~ ~ 6 K erteilt. Dazu kommt die Strahlung derübrigen Galaxien. Zwischen ihnen herrscht ein mittlererAbstand von 5 · 106 Lichtjahren, jede enthält ca. 10 11Sterne, die aus diesem Abstand so strahlen wie ein Sternaus 5 · 10 6 I (3 · lOs) ~ 15 Lichtjahren, d. h. ca. 4malschwächer als der Nachbarstern in derselben Galaxis. Biszum Rand des Weltalls (ca. 10 10 Lichtjahre) gibt es ca.2 000 Galaxienschichten. Also ist die Gesamtstrahlung allerübrigen Galaxien etwa 1 Omal schwächer als die der Sternederselben Galaxis und erhöht die Strahlungstemperatur dementsprechendnicht nennenswert. Diese isotrope Strahlunghat 6 K, aber ihr Emissionsmaximum ist immer noch nachWien durch die Sternoberflächentemperatur bestirnrnt. IhrRadiofrequenzanteil ist also verschwindend klein. Dies un-

Kapitel 11: Lösungen 1123terscheidet sie von der berühmten "isotropen 3 K-Strahlung",die nicht nur in der Gesamtintensität, sondern auch in derLage des Maximums 3 K entspricht und die vielfach alsdas verdünnte Echo des "Urknalls" angesehen wird (Aufgabe15.4.17).11.2.20. Sherlock-HolmesHolmes wird gesagt haben: ". .. Mein Arm ist etwa 25 Zolllang, mein Daumen 1 Zoll breit. Er bedeckt die Sonne etwaviermal oder fünfmal, wenn ich den Arm ausstrecke. DieSonne ist also 100-120mal so weit entfernt wie ihr Durchmesserlang ist. Ihre Strahlung hat sich, bei uns angekommen,auf weniger als ein Zehntausendstel verdünnt. Erde undSonne sind schon lange genug da, daß sich ein Gleichgewichteingestellt hat, in dem die Erde ebensoviel Strahlungempfängt wie sie abgibt. Ihr T 4 -Gesetz besagt, daß sich dieTemperaturen dann verhalten wie die vierten Wurzeln ausden Intensitäten, also die Quadratwurzeln aus den Radien,d. h. wie 15 : 1. Damit wären wir bei etwa 4 000° absolut.Wenn man bedenkt, daß die Erde nur mit ihrem Querschnittauffängt, aber mit der ganzen Oberfläche, die viermal so großist wie der Querschnitt, abstrahlt, erhält man noch den Faktor~ = .,fi, d. h. etwa 6 000° absolut."11.2.21. GlühlampeAufgabe 11.2.6 zeigt den dramatischen Einfluß der Glühfadentemperaturauf die Lichtausbeute (in lm!W) und,noch etwas stärker, auf die Lichtstärke. Eine 100 W-220 V­Lampe zieht 0,45 A, hat also 500 n. Hieraus allein kannman nur das Verhältnis Länge/Querschnitt angeben:L/A = R/e ~ 10 7 cm- 1 (in der Hitze ist der spezifische Widerstandetwa zehnmal höher als der angegebene Wert, alsoLjA ~ 106 cm- 1 ). Die Fadentemperatur T wird durch dieSchmelztemperatur begrenzt. Zu nahe darf man dieser nichtkommen, sonst verdampft der Draht zu schnell. Die strahlendeOberfläche muß so groß sein, daß sich ein angemessenes Tim Gleichgewicht von Heiz- und Emissionsleistung einstellt.Bei T = 2 800 K erhält man 2nrL

IIIIII1124 Lösungen zu den Aufgaben11.3.3. Crab-NebelBei gleichförmiger Expansion hat der Crab-Nebel sich in920 Jahren um 0,21 11 /Jahr ausgedehnt. Die Doppler-Verschiebungentspricht v = 1 300 km/s, das macht 4 · 10 13 km seitder Explosion. Die parabolische Fluchtgeschwindigkeit vonder Sonnenoberfläche ist 500 km/s, also kommt gravitativeBremsung höchstens ganz zu Anfang in Betracht. Der wahreDurchmesser von 8 · 10 13 km sieht wie 6,5' aus im Abstand4 · 10 16 km ~ 4 000 Lichtjahre. Trotz dieses 1 OOOmal größerenAbstandes war die Supernova fast 10 OOOmal heller alsaCentauri, also absolut fast 10 10 mal heller als dieser oderdie Sonne, m. a. W. fast so hell wie eine ganze Galaxis! EineSupernova in 4 Lichtjahren Abstand wäre 106mal heller alsdie von 1054, d. h. fast so hell wie die Sonne, die Lichtintensitätauf der Erde würde sich verdoppeln, die Temperaturstiege um den Faktor Vl, d. h. um fast 60°. Die Gesamtemissionder Sonne ist 3 · 10 26 W, die der Supernova3 · 10 36 W, sie strahlt in 100 Tagen etwa 3 · 10 43 J aus. Dadie Sonne von ihrem Wasserstoff einige 10 10 Jahre lebenkann (Aufgabe 15.2.12), verbraucht der Supernovaausbrucheinen erheblichen Teil dieser Reserve. Der größte Teil dieserEnergie stammt aber aus der Kontraktion, denn der Ausbrucherfolgt, weil der Kernbrennstoff verbraucht ist. Bei Kontraktionauf 2,9 km Radius würde die Sonne ein schwarzesLoch, d. h. ihre Gravitationsenergie wäre gleich Mc 2(Abschn. 17.3.3). Die Fusionsenergie ist etwa 11100 davon,entspricht also dem hundertfachen Radius, d. h. einigenhundert km. Die Supernova bricht in einen Neutronensternzusammen (s. auch Aufgabe 17.3.2).11.3.4. Fixstern-ParallaxeAbsolutverschiebungen am Himmel zwischen Sommer undWinter kann man mit bloßem Auge, wie Aristarch undCopernicus es mußten, kaum viel genauer als auf ! 0 messen.Also müßten parallaktische Verschiebungen der Sternegegeneinander auftreten. Bei Sternen, die nahe beieinanderzustehenscheinen, kann man . solche Verschiebungen miteiner Genauigkeit feststellen, die praktisch durch das Auflösungsvermögendes Auges gegeben ist (einige Bogenminuten,d. h. w- 3 im Bogenmaß). Wenn man nichts dergleichensieht, müssen die Sterne mindestens 10 3 mal ferner sein alsdie Sonne. Aristarch und Copernicus wagten beide diesenSchluß, der damals noch viel grausiger schien als die postulierteriesige Entfernung der Sonne. Newton wußte, daß Saturnetwa 10 Erdbahnradien entfernt ist und daß sein Radiusetwa 10 Erdradien beträgt. Er fängt also etwa den gleichenBruchteil der Gesamtstrahlung der Sonne auf wie dieErde, nämlich 1/(4 · 200002 ) ~ 5 · 10-lü (RadienverhältnisSonne-Erde 100: 1, Sonnenabstand: Sonnenradius200: 1, dazu ein Faktor 4 von 1r? statt 47rR 2 ). Wenn Saturnim reflektierten Licht ebensohell aussieht wie ein Stern, derebensostark wie die Sonne strahlen dürfte, muß der Stern4 · 1 0 4 mal soweit entfernt sein wie Saturn, nämlich etwa5 Lichtjahre (Sonne-Erde 500 Lichtsekunden). Seine Parallaxeist dann 1/(4 · 10 5 ) ~ 1/2". Diese Schätzungen be•stätigten sich glänzend, als man seit 1842 die ersten Parallaxenbestimmte.11.3.5. SonneneinstrahlungEinfach zu rechnende Fälle: Äquator am ÄquinoktiumSonnenhöhe h = 7rt/12 (t in Stunden seit 6° 0 ; Mittel übersin-Bogen 2/7r = 0,64, Tagesmittel 0,32. N-Pol am 21.6.:sin 23,4° = 0,39, dies 24h lang, also mehr als am Äquator!Die atmosphärische Absorption gleicht dies aber mehr alsaus: Weglänge durch Atmosphäre 1 j sin h, bei h = 7r /2kommen bei klarster Luft 75% am Boden an,l"' sinh · 0,75 1/sinh_ So kommt der Äquator auf 0,21 (fastdas ganze Jahr, der Pol am 21.6. auf 0,18. Der Faktor0,75 1/sinh rundet die Füße des Sinus so ab, daß fast( 1 - cos) /2 mit dem Mittel 1/2 entsteht. Das Jahr über hatder Pol also nur 0,05 und müßte ohne Luftaustausch imMittel etwa 305 K/-14 = 214 K kalt sein.11.3.6. SonneninneresBei T = 6 000 K liegt nach Wien Amax um 500 nm, also bei10 7 K um 0,3 nm. Die entsprechenden Photonenenergiensind 3 eV und 5 keV. In der Sonne scheint noch kein y-,aber Röntgenlicht Die Strahlungsintensität ist an der Sonnenoberflächeetwa 108 W m-2, im Innern 10 21 W m- 2 .Strahlungsdruck 10-5 bzw. 108 bar. 1 cm3 Sonnenkernmateriewürde in 1 km Abstand noch 10- 2 bar ausüben,also auf einen Menschen eine Kraft von 1 000 N. Er würdeumgeblasen. Im Sterninnern ist der thermische Druck sogarnoch größer. Beiden hält der Schweredruck der darüberliegendenSchichten die Waage.11.3.7. TreibhauseffektGlas läßt Sonnenlicht praktisch ungeschwächt durch, hältdagegen einen großen Teil der infraroten Rückstrahlungdes Erdbodens zurück. Im Freien besteht Strahlungsgleichgewichtzwischen der Sonneneinstrahlung und der vollenRückstrahlung, und dies bestimmt die Lufttemperatur. ImGlashaus ist das Gleichgewicht zugunsten der Einstrahlungverschoben, also ist es dort wärmer. Ganz ähnlich wirkendas COz und das H20 in der Erdatmosphäre und in ganzextremer Weise in der Venusatmosphäre, wo der TreibhauseffektTemperaturen um 400 °C erzeugt. Das Sonnenspektrumreicht praktisch nicht in den Absorptionsbereich desGlases hinein. Dagegen liegt etwa 1/3 des Rückstrahlungsspektrumsdarin: Das Glas hält 1/3 der Bodenstrahlung zurück.Wir kennzeichnen die Sonnenintensität durch 6 Pfeilewegen der guten Teilbarkeit der 6. Im Freiland strahlt derBoden dann auch 6 Pfeile zurück. Das tut er auch nochkurz nach dem Schließen des Daches, denn die Bodentemperaturhat noch keine Zeit gehabt, sich zu ändern. Dann läßtdas Glas aber nur 4 Pfeile nach draußen durch. Es bestehtkein thermisches Gleichgewicht: Der Boden erhält mehrEnergie als er abgibt, erwärmt sich also. Diese Erwärmunghört erst auf, wenn wieder 6 Pfeile nach draußen durchdas Glas treten. Dann muß der Boden aber 9 Pfeile abstrahlen,also 1,5mal mehr als vorher. Wenn der Boden im geschlossenenTreibhaus I ,5mal mehr abstrahlt als im Frei-·land, heißt das nach Stefan-Boltzmann (/"' T 4 ): Im Treibhausist T um den Faktor 1,5 1 1 4 = 1,1 größer. Wenn draußen0 oc = 273 K herrschen, kann man drinnen mit 300 K =

Kapitel 12: Lösungen 11250 2 30 2 3 4 5 6 7Abb. L. 11. Planck-Kurven für Sonne und Erde4v Erdelll75 · JOB...9 10·10 1 "I' onne!Hz27 °C rechnen. Beim Sonnenkollektor ist die Rückstrahlungim Gleichgewicht nicht um den Faktor 1,5, sondern um denFaktor 10 höher, die Temperatur kann 1011 4 = 1,7mal höherwerden, also über 200 °C steigen. Ein Körper absorbiertFrequenzen, die in der Nähe von Eigenfrequenzen seiner geladenenBausteine liegen. Diese Oszillatoren werden im elektrisehenFeld der Lichtwelle zu erzwungenen Schwingungenerregt. Leistungsaufnahme erfolgt aber nur bei Phasenverschiebungen,die deutlich verschieden von 0 oder 1r sind,also nur nahe der Resonanzfrequenz, d. h. der Eigenfrequenzder Oszillatoren. Diese Eigenfrequenz hängt gemäßw = ~ stark von der Masse des Oszillators ab, unterscheidetsich also für Elektronen und Ionen mindestensum den Faktor J1 840;:::; 43. Die Federkonstante k ergibtsich als Coulomb-Kraft im Abstand eines Atomradius r geteiltdurch einen solchen Abstand, also k ;:::; e2 I ( 4m;or 3 ) ;:::;100 N/m. Damit erhalten wir für die Elektronen Absorptionsfrequenzenum 1015 Hz, d. h. im UV, für die Ionen solche= Kapitel12: Lösungen ...12.1.1. Konstante ProportionenNehmen wir an, der Wesir sieht in der Feme wirklich nurfarbige Flächen. Er kann zunächst nichtstöchiometrischeund stöchiometrische Vorgänge unterscheiden, je nachdem,ob Weißes oder Braunes übrigbleibt oder nicht. Bei Stöchiometriestellt er dann fest, daß Weißes und Braunes zueinanderproportional sein müssen. Das setzt allerdings ein Mengenmaßvoraus. Er könnte das Quadrat des wahren Durchmessersnehmen, unter der Voraussetzung etwa kreisförrnigeroder quadratischer Anordnung: als wahren Durchmesserkönnte er den scheinbaren, dividiert durch die scheinbareHöhe nehmen, unter der Voraussetzung "monomolekularer"Schichtung. Man sieht: Ohne Hypothesen kommt mannicht aus; man kann sich leicht systematische Ursachenfür ihre Verletzung vorstellen; diese Hypothesen gründensich meist auf Modellvorstellungen, die sie - je nach demGeschmack des Beurteilcrs - begründen oder suspekt ma-P. P.II IIP. - P,reilandoffene Treibhaup P,frisch zugedecktereibhauP, PaUUlP. P, 1.5Plängere ZeitlugedecktTreibhauAbb. L. 12. Strahlungsbilanz für Freiland und Teibhausunter 10 14 Hz, d. h. im IR. Dazwischen liegt für viele Stoffeein durchsichtiges Gebiet. Eine Ausnahme machen hauptsächlichdie Metalle. Sie enthalten nämlich reichlich freieElektronen, und diese können praktisch alle Frequenzenbis hinauf zu einer ziemlich hohen Grenzfrequenz absorbieren,ebenso wie die freien Elektronen in der Ionosphäre,bei denen diese Grenzfrequenz entsprechend ihrerviel geringeren Teilchenzahldichte aber viel tiefer liegt.11.3.8. SiafuHier handelt es sich um Wärmestrahlung, nicht um Leitungwie beim Tallegalla-Nest (hier Luft, dort Humus). Im stationärenZustand, der sich ziemlich schnell einstellt, istdie Stoffwechsel-Wärmeleistung der Ameisen gleich derDifferenz der Abstrahlung der Kugel nach außen und derRückstrahlung der Umgebung: P = Acr(Jl- T6);:::; 4Ao-TJ(T- T0 ), also T = To + Pl(4crTJA) (nach innen strahlendie Ameisen ebensoviel wie sie empfangen, denn dieInnentemperatur ist überall konstant: Biologisches Beispielfür den strahlungserfüllten Hohlraum). Wenn die Larvenz. B. 30 °C brauchen, und draußen sind es nicht mehr20 °C, sondern 10 °C, muß sich der Kugelradius auf1 I J2 ;:::; 71 % zusammenziehen.chen. Der Erfolg dieser Mengendefinition zeigt sich aber,in sehr indirekter Weise, im Gesetz der konstanten Verbindungsproportionen.Sicher gibt es auch andere Erklärungendieses Gesetzes als durch die Existenz unteilbarer Einheitenvon jeweils bestimmter Einheitsmenge, die sich individuellmiteinander verbinden, aber sicher ist dies die einfachsteund am wenigsten an den Haaren herbeigezogene. Trotzdemmüßte der Wesir nach direkteren Beweisen suchen, zumal erallein so keinen Anhaltspunkt hat zu sagen, ob seine "Atome"so groß sind wie Staubkömehen oder wie Elefanten. Wenn erviele alte griechische Bücher gelesen hat, legt ihm das dieDenkmöglichkeit seiner Hypothese nahe, hilft ihm abersonst auch nicht weiter. Jedenfalls konnten Positivistenwie Ostwald und Mach eine Atomlehre, die sich praktischallein auf die Gesetze der konstanten und multiplen Verbindungsproportionenstützte, mit einem gewissen Recht als unzureichenddirekt fundiert ansehen.

1126 Lösungen zu den Aufgaben12.1.2. PanspermieDie Intensität (Energiestromdichte) des Sonnenlichts inErdnähe wird durch die Solarkonstante gegeben: I =1400 W 1m 2 . Daraus ergibt sich der Strahlungsdruck durchDivision durch c, d. h. Pstr R:J 5 · 10- 6 N 1m 2 . Nahe derSonne ist PStr um den Faktor R 2 I a 2 R:J 5 · 10 4 größer (R: Sonnenradius,a Abstand Erde-Sonne). Allgemein gilt im Abstanda von einem Stern mit dem Radius R und der OberflächentemperaturT: Pstr = c- 1 rJT 4 R 2 la 2 . Die Kraft auf einTeilchen vom Radius r ist Fstr R:J 1rr 2 pstr, die GravitationFG R:J 11rGMgr 3 la 2 . Das Verhältnis der beiden Kräfte hängtalso nicht vom Abstand, sondern nur von der Teilchengrößeab. Im Feld der Sonne werden beide gleich bei r R:J l!lm. Fürkleinere Teilchen (Sporen kleiner Bakterien, Phagen, Viren)überwiegt der Strahlungsdruck, z. B. ist er für r = 0, 111mzehnmal größer als die Gravitation. Unter deren Einfluß alleinwürde der Sturz von der Erdbahn zur Sonne etwa zweiMonate dauern (Ellipse mit halber großer Halbachse wie dieErdbahn, drittes Kepler-Gesetz). Umgekehrt wird das0,1 11m-Teilchen in nur sechs Tagen von der Sonne zurErde geblasen, in einem halben Jahr zum Pluto. Die Endgeschwindigkeit,mit der es das Sonnensystem verläßt, istVfümal größer als die Endgeschwindigkeit, mit der ein Körperaus dem Unendlichen in die Sonne stürzt, also etwa130km/s. Die Reise bis zu den nächsten Fixsternen dauertso einige zehntausend Jahre. Die Landung auf einem Planetenerfordert allerdings offenbar, daß sich das Teilchen an eingrößeres (Meteorit) anlagert oder immer im Planetenschattenbleibt, was kaum möglich ist. Die UV- und Teilchenstrahlungensind die größte Schwierigkeit für die Panspermie­Theorie.12.1.3. Strahlungs- und GasdruckMan schätzt die Temperatur im Sonneninnern aus der Bilanzvon Gravitations- und gaskinetischem Druck und aus derAusbeute der Fusionsreaktion auf etwa 10 7 K (vgl. Aufgaben5.2.6-7). Ein Fingerhut voll Sonnenkernmaterie übtnahebei einen Strahlungsdruck c- 1 rJT 4 R:J 10 12 N 1m 2 =10 7 bar aus, würde also noch in etwa 1 km Abstand jedenMenschen umblasen (wenn beide nicht sofort verdampften).Trotzdem ist der gaskinetische Druck noch höher:Man schätzt die Dichte auf etwa 100 g/cm 3 also2 ,Pkin = nkT R:J 10 16 N Im . Erst bei etwa 10 8 K holt der Strahlungsdruckden gaskinetischen ein. Bei der Kernspaltungmacht jedes gespaltene Teilchen etwa 200 MeV frei, diesich zunächst auf die beiden Fragmente und einige Spaltneutronenverteilen. Ohne weitere Dissipation entspräche diesekinetische Energie einer Temperatur zwischen 10 12 und1013 K. In Wirklichkeit kommt es längst nicht zu so hohenTemperaturen, aber da eine U-Bombe die Fusion einer H­Bombe zünden kann, was mehr als 108 K voraussetzt,wird der Strahlungsdruck hier wesentlich.12.1.4. Compton-EffektDie Krx·Linie von Blei entspricht dem Übergang von derZweitinnersten auf die innerste Bahn um einen Kern mitder Effektivladung 81, hat also die Frequenz v =i R 0081 2 = 1,5 · 10 19 Hz und die Wellenlänge 0,2 A. Diemaximale A-Änderung (Rückstreuung) ist also 5%. Halbquantitativläßt sie sich schon durch Absorption nachweisen.Man nehme einen Stoff, dessen K-Absorptionskantev = R 00 (Z- 1) 2 im interessierenden Bereich liegt, d.h.Tm, Yb oder Lu. Er absorbiert das direkte Röntgenlichtviel weniger als das Streulicht. Quantitative Messung gelingtz. B. mit einem Vakuum-Drehkristall-Spektrographennach Bragg. Ein Kristallgitter mit der Gitterkonstanted R:J 1 A streut die um 5 % veränderte Wellenlänge erst,wenn man auch den Einfallswinkel 9 um etwa 5 % ändert(sin.9 = A.l(2d)).12.1.5. Seldowitsch-Sunjajew-EffektDer Energiesatz lautet h(v- v') = !m(v'2 - v2) =!m(v' + v)(v'- v). Angenommen, das Photon fliege weiter.Dann sagt der Impulssatz h(v- v')lc = m(v'- v).Division liefert das absurde Ergebnis v + tJ = 2c. Alsoprallt immer das Photon zurück, und der Impulssatz sagth(v + v')lc = m(v'- v). Jetzt folgt (v- v')l(v + v') =~(v+rl)lc. Da v«c, ist ~v«v, also ~viv=lV + v')lc. Bei v = 0 findet man (12.6) wieder (~A. =-c~vlv 2 ), bei ~v « v folgt ~viv R:J 2vlc; dies gilt fürWi « mec 2 We, also bestimmt für 3 K-Photonen. 10 6 K­Elektronen haben v R:J 10 7 m/s, also wird ~viv R:J 0,1.12.1.6. Mößbauer-EffektDie Breite ~w einer Spektrallinie ist etwa gleich der Dämpfungskonstanteder entsprechenden Schwingung (klassischgesprochen) bzw. der Übergangswahrscheinlichkeit zwischenden entsprechenden Zuständen (quantenmechanischgesprochen), jedenfalls gleich der reziproken Lebensdauerdes angeregten Zustandes. Für eine schwingende Ladung liefertdie Hertz-Theorie (Abschn. 7 .6.6) eine EnergieverlustrateP R:J e2w4a2s0 1 c-3 . Die Energie des schwingenden Zustandeskann, etwas inkonsequenterweise, w = nw angesetztwerden (mit dem rein klassischen Ansatz W = !mw 2 a 2käme eine ganz falsche Abhängigkeit heraus; probieren Siees aus!). Die Lebensdauer des angeregten Zustandes istr = WIP R:J neoc 3 e- 2 w- 3 a- 2 , die relative Breite der Linie~wlw = ll(rw) R:J w 2 e 2 a 2 l(hc 3 e0 ) = W 2 e 2 a 2 l(h 3 c 3 e0 ).Für die Amplitude (bzw. den für das Dipolmoment maßgebendenAbstand) a kann man in der Atomhülle etwa1 A setzen, im Kern dessen Radius von 10- 13 -10- 12 cm.Für sehr energiereiche y-Übergänge folgt W der nach demCoulomb-Gesetz zu erwartenden Abhängigkeit W ~ 1 I a.Solche Lini.~n sind ungefähr ebensobreit wie optische Linien.Die Uberschärfe der Mößbauer-Linien kommt erstbei kleineren y-Energien, etwa bei l-10keV, zur Geltung.Sie sind nach unserer Theorie etwa 10 5 mal schärfer. Alldies gilt für Dipol-Übergänge. Wenn sie durch Auswahlregelnverboten sind, erlaubt das komplizierte Kraftfelddes Kerns ::iel reichere Möglichkeiten an Quadrupol-, Oktopol-usw. -Ubergängen als das Coulomb-Feld der Atomhülle.Sie haben i. allg. kleinere Übergangswahrscheinlichkeiten,sind also noch schärfer. Im Kern sind die Teilchen gegendie übliche Druckverbreiterung geschützt. Die Doppler-

Kapitel 12: Lösungen 1127Verbreiterung kann beim Mößbauer-Effekt durch besondereTricks vermieden werden.12.2.1. StrahlungsdämpfungDie klassische Elektrodynamik zeigt, daß eine schwingendeLadung eine Leistung P:::::; e 2 w 4 a 2 e0 1 c- 3 abstrahlt(Abschn. 7.6.6). Diese Verlustrate ist immer proportionalzur jeweils vorhandenen Energie W = !mw 2 a 2 . Demnachklingt die Energie des Schwingers exponentiell mit der Zeitkonstante' = W I P :::::; meoc 3 e- 2 w- 2 ab, die Amplitudeebenfalls, nur mit einer doppelt so großen Zeitkonstante(W ~ a2). Die Schwingung folgt also der üblichen Darstellungder gedämpften Schwingung (Abschn. 4.1.2).12.2.2. Doppler-BreiteWenn ein Atom beim Strahlen mit der Geschwindigkeit vauf den Beobachter zu- oder von ihm wegfliegt, ist seineFrequenz relativ um v I c verschoben. Im heißen Gas kommenalle Werte der Radialgeschwindigkeit vor; die Breite derGlockenkurve um v = 0 ist v = }3kT m. So ergibt sich ·die Doppler-Linienbreite !l.vlv:::::; 3kTI(mc2 ) (Wurzel austhermischer Energie/Massenenergie des Atoms). Mit mc 2 =einige Ge V und I e V ~ 10 4 K erhält man sofort z. B. für dieDoppler-Breite der Sonnenlinien !l.vlv:::::; w- 4 -10-5 . Schonbei 1 K ist die Doppler-Breite i. allg. größer als die natürlicheBreite. Die Druckverbreiterung rührt her vom Abschneidender kohärenten Emissions-Wellenzüge durch Stoß mit einemanderen Teilchen. Die Linienbreite !l.w ist gleich der Stoßfrequenzvll = vnA:::::; J3kT lmnA. Sie verhält sich zurDoppler- Breite wie cnAiw oder wie die Lichtwellenlängezur mittleren freien Weglänge. Unterhalb von 1 bar Gasdrucküberwiegt daher i. allg. die Doppler-Breite, oberhalb dieDruckbreite.12.2.3. LeuchtdauerMan verwendet ein sehr enges Loch in der Kathode undpumpt dahinter stark ab, damit dort keine Neuanregung erfolgt.H-Ionen, die nahe der Anode entstanden sind unddann stoßfrei fast bis zur Kathode kommen, wo sie einElektron einfangen, haben die volle der Anodenspannungents rechende 30 ke V-Energie. Sie fliegen mit v =2eU /m = 2,5 · 10 6 m/s. Die Abklingzeit entspricht 1 cmFlugweg, ist also 4 · w- 9 s. In Wirklichkeit haben diemeisten H-Atome nicht die vollen 30keV, und die Lebensdauerist etwas größer.12.2.4. AnregungsfrequenzWir betrachten z. B. einen "grünen" Übergang (500 nm), dereiner Energie von W = 2,5 e V entspricht. Das sind 30kT bei1 000 K, 15kT bei 2 000 K, 5kT bei 6 000 K. Der Bruchteilangeregter Atome ist n* lno = e-W /(kT), also 10-13 ,3 · 10- 7 bzw. 7 · 10-3• Bei der Lebensdauer des angeregtenZustandes von w- 8 s muß jedes Atom dann alle 105,3 · w- 2 , w-6 Sekunden angeregt werden und wieder emittieren.Ein Elektronenumlauf im Rutherford-Bohr-Modelldauert etwa w- 15 s. Es ist also, als würde z. B. die Erdealle 10 20 , 3 · 10 13 bzw. 10 9 Jahre in die Marsbahn geschleudertund käme nach etwa 10 7 Jahren wieder herunter. Wirkönnen nur sagen, daß so etwas die letzten 5 · 10 9 Jahremit Sicherheit nicht passiert ist, daß aber, wenn man die Entstehungder Erde als noch größeres Ereignis ansieht, selbst imHochofen noch wesentlich weniger los ist als im Sonnensystem.Man beachte: Diese Betrachtung beweist nichtetwa, daß die Strahlungsleistung eines makroskopischenKörpers entgegen dem Stefan-Boltzmann-Gesetz wiee-W/(kT) mit T anstiege. Das Wechselspiel von Ernissionund Reabsorption für die vielen Frequenzen, deren einschwarzer Körper fähig ist, führt nach der Einsteinsehen Ableitungauch im atomaren Bild zur Planck-Kurve und damitzu Stefan-Boltzmann.12.2.5. LinienbreiteAußer dem Energiesatz müßte auch der Impulssatz erfülltsein. Das Photon hat die Energie W = hv und den Impulsp = hl A, = W I c, wie jedes hochrelativistische Teilchen. Eskann also keinen Photon-Atom-Stoß geben, bei dem die ganzePhotonenenergie in kinetische Energie des Atoms überginge(keinen elastischen Stoß), denn dazu müßte das Atomebenfalls genau mit c davonfliegen, wozu die Photonenenergienatürlich nicht reicht. Nun möge eine AnregungsenergieW' etwas tiefer als W liegen. Die DifferenzW - W' soll in kinetische Energie übergehen: W - W' =! mv 2 . Gleichzeitig lautet der Impulssatz W I c = mv. Esfolgt W- W' =! W 2 l(mc 2 ). Da mc 2 , die Ruhenergi~ desAtoms, einige Ge V beträgt, erlaubt dies bei optischen Ubergängen(einige eV) nur relative Abweichungen von etwaw-9 von der scharfen Übergangsenergie. Übrigens entsprichtdies genau der Doppler-Verstimmung: W - W' =h(v- v') = hv'vlc = Wvlc = W 2 l(mc2 ). Es ist hier wieoft schwer, Ursache und Wirkung zu trennen: Kann dasAtom unscharf absorbieren, weil es sich bewegt, oder bewegtes sich, weil es absorbiert hat? Wohl aber kann dasAtom dem Photon einen Teil von dessen Energie entziehen,der gerade einem bestimmten Übergang entspricht.Das Photon fliegt dann mit veränderter Frequenz weiter:Raman-Effekt.12.2.6. Spontane Elektronenemission?Spontane Ernission eines Elektrons aus einem Atom wäreenergetisch u. U. möglich, indem z. B. zwei gleichzeitig bestehendeAnregungszustände ihre Energien auf ein Elektronvereinigen, oder indem ein energiereicher Übergang in einerinneren Schale unter Vermittlung durch ein Röntgen-Photoneines oder mehrere Außenelektronen abreißt (innere Konversionvon Röntgenstrahlung, Auger-Effekt). Mehrfachanregungist aber selbst bei Sonnentemperatur äußerst unwahrscheinlich(vgl. Aufgabe 12.2.4), und die Energieübertragungvon einer oder mehreren Anregungsenergien wirdüblicherweise durch Emission und Reabsorption eines Photonsbeschrieben, nicht aber als völlig "spontane" Elektronenemission.Man bedenke, daß die moderne Theorieüberhaupt jede Coulomb-Wechselwirkung durch Photonenaustauschbeschreibt.

IIIIII1128 Lösungen zu den Aufgaben12.2.7. UV-LaserBeim Laser müssen die erzwungenen Emissionen überwiegen.Ihre Häufigkeit ist gegeben durch ag( v, T)n*, die derspontanen Emissionen durch ßn*. Im thermischen Gleichgewichtist das Verhältnis beider 1/(e-hv/(kT)- 1), (vgl. Aufgabe11.2.13), d.h. um so ungünstiger für die erzwungeneEmission, je größer v bei gegebenem T ist. Der Laser arbeitetzwar nicht im Gleichgewicht mit T = Umgebungstemperatur,aber die Abweichung von diesem Gleichgewicht mußum so krasser sein, je höher die gewünschte Frequenz ist.12.2.8. Nichtlineare Optik IIm Sonnenlicht (I= S =!EH=! Jeeo/(JlJlo)E 2 =1400W /m 2 ) ist E = 1 OOOV/m, H = 2,6A/m, im 10 10 malstärkeren Laserlicht E ~ 108 V/rn, H ~ 105 Alm. Dieskommt den Feldern von der Größenordnung e 2 /(4Ire0r 2 )~ 109 V/rn schon nahe, mit denen die Elektronen an dasAtom gebunden sind. Das Mitschwingen eines Elektronsin einem so starken Wellenfeld ist keine kleine harmonischeZitterbewegung um den Grund des Potentialtopfes mehr,m. a. W., das Profil des Topfes, in dem das Elektron sitzt,kann nicht mehr als Parabel angenähert werden, sondernes sind mindestens Glieder mit x 3 und x 4 zu berücksichtigen(asymmetrische bzw. symmetrische Anharmonizität). Im allgemeinenwird die Bindung bei hoher Amplitude weicher(symmetrisch), ebenso ist sie bei Entfernung vom Kern weicherals bei Annäherung an ihn (asymmetrisch). Man bedenkedabei, daß zwar "außen" und "innen" für ein punktförmigaufgefaßtes Elektron einen Sinn haben, sich aberim Gesamtkristall diese Asymmetrie i. allg. wieder aufhebt,außer bei Kristallen ohne Symmetriezentrum, dieauch Piezoelektrizität und andere Asymmetrieeffekte zeigen.Bei einer solchen Anharmonizität erregt das einfallendeSinusfeld eine nichtharmonische Polarisationswelle imKristall, deren Gipfel und Talsohlen flacher sind als beimSinus (symmetrisch) bzw. deren eine Halbwelle höher istals die andere (asymmetrisch). Eine solche asymmetrischeWelle läßt sich durch Überlagerung des Grundsinus miteiner Oberwelle doppelter Frequenz herstellen, deren Bergemit denen der Grundwelle koinzidieren, aber in einer Grund­HalbweJle im gleichen, in der nächsten im Gegensinnschwingen. Die symmetrische anharmonische Welle verlangtungerade Oberwellen, besonders eine mit dreifacherFrequenz. Grund- und Oberwellen der Polarisation emittierenSekundärlicht entsprechender Frequenz. Die Oberwellenhaben in einem Medium mit normaler Dispersion größeres n,also kleineres c als die Grund welle, laufen also langsamer alsdie Polarisationswelle, die sie anregt und die natürlich mit derGrundwelle mitläuft. Dieses Außer-Tritt-Fallen führt i. allg.zur Selbstauslöschung der Oberwellen durch Interferenz.Man kann dies vermeiden, indem man die Oberwelle zumaußerordentlichen Licht in einem negativ doppelbrechendenKristall macht und die Polarisationsrichtung so wählt, daß derUnterschied zwischen c 30 und c 0 die Dispersion gerade ausgleicht.12.2.9. Nichtlineare Optik IIIn Aufgabe 12.2.8 haben wir das Wellen- und Resonatorbildder klassischen Elektrodynamik benutzt. Jetzt versuchen wires im Photonenbild. Die Frequenzverdopplung in einer sehrintensiven Lichtwelle ist dann so darzustellen: Üblicherweiseabsorbiert ein Atom des Mediums ein Photon und emittiert essehr bald wieder, wobei entsprechend Energie- und Impulssatzdie Frequenz (m = W /Ti) und die Ausbreitungsrichtung(k = p /Ti, lkl = 21r / A.) erhalten bleiben. Licht geht also durchein durchsichtiges Medium geradlinig und frequenzgleich,nur mit i. allg. verminderter Geschwindigkeit. Im sehr starkenWellenfeld kommt es vor, daß ein Teilchen fast gleichzeitigzwei Photonen absorbiert und dafür nur eines mit derdoppelten Frequenz emittiert. Die Bedingung dafür lautet(vgl. Aufgabe 12.2.4): Die Lichtintensität muß einer Temperaturentsprechen, bei der die Atome einen erheblichen Teilder Zeit angeregt sind, also kT i:;; hv, d. h. T = einige 10 4 K.Mit I ~ T 4 folgt, daß I mindestens 108mal so groß sein mußwie im Sonnenlicht (300 K). In diesem Bild kann es aber auchvorkommen, daß zwei Photonen verschiedener Richtungenk 1, k 2 und Frequenzen WJ, w2 gleichzeitig absorbiert werdenund dafür nur eines mit k = k1 + k2 und w =WJ + wz emittiert wird, oder aber, falls wz < WJ, daßzwei mit wz und eines mit w = WJ - w 2 , k = k 1 - kz emittiertwerden. Dieser Kombinierbarkeit verdankt man es z. T.,daß man heute praktisch in jedem Spektralbereich "Iasern"kann. Im Wellenbild klingt die Sache etwas komplizierter:Bei kleinen Intensitäten schwingt jedes Elektron im Feldder Primärwelle harmonisch mit. Dabei sendet es eine Sekundärwelleaus, die für jedes Elektron die gleiche Phasendifferenzgegen die Primärwelle hat. Die Elementarwellenkonstruktionvon Huygens zeigt, daß sich in diesem Fall die Kugelwellen der verschiedenen Sekundärstrahler in allen Richtungenweginterferieren, außer in der ursprünglichen Einfallsrichtung.Bei zwei Wellen verschiedener Richtung giltbei kleiner Intensität dasselbe: Sie durchsetzen einander ungestört.Eine Welle sehr hoher Intensität aber verändert dieEigenschaften des Mediums, z. B. seine Brechzahl n. Sie erzeugtsozusagen einen Satz sehr dünner Platten (Dicke= A./2), die sich mit Phasengeschwindigkeit bewegen. Diezweite, schräg dazu einfallende Welle wird an diesen Plattenteilweise reflektiert, und der Doppler-Effekt bei der Reflexionam bewegten Spiegel ergibt gerade die beobachtetenFrequenzänderungen. Man sieht: Es führen mehrere Wegenach Rom.12.3.1. Bohr-GeschwindigkeitVorausgesetzt ist das Bohr-Rutherford-Modell, in dem derUmlauf des Elektrons die Coulomb-Anziehung des Kernsausgleicht. Für die n-te Wasserstoffbahn folgt mvr = nnund mv 2 /r = e 2 /(4m;or 2 ), also v = e 2 /(4Ireon1i) (unabhängigvon der Masse des umlaufenden Teilchens; also inMyon- und Kaon-Atomen ebensogroß), und w =me 4 ((16Jr 2 e6n 3 h 2 ). Für n = 1 wird v1 = c/137 (das Verhältnise 2 / ( 4Ire0hc) = 1/13 7 heißt Feinstrukturkonstante) undw 1 = 4 · 10 16 s- 1 , was in der Größenordnung der Atomfre-

Kapitel 12: Lösungen 1129quenzen liegt, aber nicht mit einer von ihnen identisch ist(vgl. Abschn.12.3.7). Im komplizierten Feld höherer Atomesind diese Betrachtungen nur bedingt gültig, selbst wenn manmit der effektiven Kernladungszahl rechnet.12.3.2. Rydberg-AtomeDie hohe Temperatur des Funkens begünstigt die höherenAnregungszustände: H3 und H 1 sin~. stärker als Hß undHrx. Die Linie H( entspricht einem Ubergang von m = 8auf n = 2. Der Bahnradius des Elektrons bei m = 8 istm 2 TB = 34 Ä, bei m = 9 schon 43 Ä. Dies entspricht demMolekülabstand in einem Gas von etwas weniger als 1 bar(n = 2,7 · 10 19 cm-3, a = n- 1 1 3 = 30Ä bei 1 bar). In dieserGegend wird der Gasdruck liegen. Höhere Zustände kommeneinfach deswegen nicht vor, weil sich ihre Bahnen wegen derWechselwirkung mit den anderen Teilchen nicht ausbildenkönnen. Bei Verdünnung auf 10mbar z. B. könnten sich Zuständemit dem vierfachen Bahnradius bilden, d. h. etwa bism = 15. Bei gleicher Funkentemperatur, die allerdings in sodünnem Gas schwer zu erreichen ist, wären die Linien umm = 10 am intensivsten.12.3.3. Balmer-AbsorptionEine Balmer-Absorptionslinie entspricht einem Übergang einesElektrons von n = 2 in einen höheren Zustand. Das setztvoraus, daß es genügend viele Atome gibt, die bereits imZustand n = 2 angeregt sind, wenn ein weiteres Photon sieüberras~ht. Die Gleichgewichtsb~setzung des Zustandesn = 2 1st n* = noe-W/(kT), wobe1 W = lOeV der erstenLyman-Linie entspricht. Bei Zimmertemperatur ist kT =ftJ e V, es ist also bestimmt kein einziges Atom im GleichgewichtBalmer:absorptionsfähig. Selbst in der Sonnenphotosphäreist die relative Besetzung nur e- 20 ~ w-9. Je heißerder Stern ist, desto stärker werden i. allg. die Balmer-Absorptionslinien.Auch ein Laserstrahl kann genügend Atome inden Zustand n = 2 schaffen, um Balmer-Absorption zu ermöglichen.12.3.4. IonisierungIonisierung ist Hebung eines Elektrons aus seinem Grundzustand(oder in Ausnahmefällen aus einem angeregten Zustand)ins Unendliche, also in den Zustand n = oo oder einenZustand des "Grenzkontinuums" mit überschüssigerkinetischer Energie. Die Ionisierungsspannung ist also einfachdie durch e dividierte Energie des Grundzustandes,z. B. in einem wasserstoffähnlichen System mit der Kernladun~szahlZ und . dem Grundzustand n: Ulan =Z 2 me /(8aÖh 2 n 2 ). Für Wasserstoff erhält man die beobachteten13,6 V. Für höhere Atome ist für n die Nummer deräußersten Elektronenschale, für Z die effektive Kernladungeinzusetzen (vgl. Abschn. 16.4.4).12.3.5. Pickering-SerieHe-Ionen, die ein Elektron verloren haben, sind wasserstoffähnlicheSysteme: Das verbliebene Elektron umkreist einenKern mit Z = 2. Seine Spektrallinien haben die FrequenzenVnm = 4Roo(n- 2 - m- 2 ). Übereinstimmung mit den Balmer­Linien Vnm = R 00 (2- 2 - m'- 2 ) ergibt sich, wenn n = 4 undm = 2m' ist. Alle geradzahligen Pickering-Linienfallen alsomit Balmer-Linien zusammen, die ungeradzahligen liegendazwischen. Im hochauflösenden Spektrographen siehtman, daß die Balmer-Linien alle um etwa 0,04% langwelligersind als die entsprechenden Pickering-Linien. Daskommt daher, daß der He-Kern sich viermal weniger mitbewegtals der H-Kern (vgl. Aufgabe 12.3.6).12.3.6. KernmitbewegungDas Elektron, Masse m, und der Kern, Masse M, laufen umden gemeinsamen Schwerpunkt, der den Abstand r zwischenbeiden im Verhältnis m/ M teilt. Das Elektron läuft also aufeinem Kreis vom Radius rM / ( M + m) um den Schwerpunkt,der Kern auf einem Kreis vom Radius rm/~M + m). DerGesamtdrehimpuls ist Mwy2m 2 /(M + m) + mwr 2 M 2 /(M + m) 2 = mMwr 2 /(M + m). Das muß nach der Quantenbedingungnli sein, also w = nli(M + m)/(mMr 2 ). Andererseitslautet die Kreisbahnbedingung für das Elektron (undebenso auch für den Kern) mw 2 rM/(M +m) = e 2 j( 411"Boy2) (für die Coulomb-Kraft gilt nach wie vor der volleAbstand r). Einsetzen von w liefert r = n 2 h 2 411"Bo(1 + m/M)/(e 2 m), d.h. die Bahn ist um den Faktor1 + m/M erweitert. Um den gleichen Faktor nimmt die potentielleEnergie ab, ebenso aber auch die kinetische Gesamtenergielmw 2 r 2 M 2 /(M + m) 2 + !Mw 2 r 2 m 2 /(M + m) 2 =!mMw 2 ri/(M + m), denn wr ändert sich nicht. Die fürden unbewegten Kern berechneten Werte für Terrnenergien,Frequenzen und Rydberg-Konstante sind also alledurch 1 + m/ M zu dividieren, was bei H gerade die beobachteten0,055%, bei He+ 0,014% Abnahme bedeutet (vgl. Aufgabe12.3.5). Für sehr schwere Kerne würde die übliche, unkorrigierteRydberg-Konstante R 00 gelten. Das oo bedeutetalso unendliche Kernmasse.12.3. 7. SpektralklassenIn der Reihe 0, B, A, F, G, K, M, R, N nimmt offenbar dieTemperatur ab. Dem entspricht nach Wien ein immer längerwelligesEmissionsmaximum des "schwarzen" Grundkontinuums,über das sich Emissions- und Absorptionslinien lagern.Dieses Kontinuum kommt aus dichteren, tieferen Teilendes Sterns, und die kühleren Außenschichten absorbiereni. allg. mehr oder weniger scharfe Linien heraus. Starke H­Absorptionslinien im Sichtbaren, also Balmer-Linien, setzennach Aufgabe 12.3.3 sehr hohe Temperaturen voraus.Noch mehr gilt das für die He-Absorptionslinien, die voneinem noch höheren Anregungszustand ausgehen.12.3.8. Bohr-Modell andersBei der Ortsangabe kann man sich um nicht mehr als d irren.Die minimale Impulsunschärfe ist also l!.p ~ h/ d. DiesemMinimalimpuls l!.p ist die minimale kinetische EnergieWo~ l!.p2 /(2m)~ h 2 /(2md 2 ) zugeordnet. Je enger mandas Teilchen einsperrt und je schwerer es ist, desto "wilder"wird es. Wählt ein Elektron eine enge Bahn um denKern, dann senkt es seine potentielle, steigert aber seine kinetischeEnergie ( d = 2r). Die GesamtenergieW = -e 2 /(47rsor) + h 2 /(Sm?)

1130 Lösungen zu den Aufgabenist minimal bei dW jdr = 0, d.h. r = 7rh 2 eo/(me 2 ). Das istungefähr der erste Bohr-Radius, die Minimalenergie W =-me 4 j(81r 2 e6h 2 ) ist die Energie des H-Grundzustandes.12.3.9. Fermi-DruckAbgesehen von der Verdopplung dank der beiden Spinrichtungenhat jedes Elektron ein Volumen n- 1 mit demDurchmesser a ~ n-113 zur Verfügung. Nach Aufgabe12.3.8 hat es also die Nullpunktsenergie Wo~ h 2 j(ma 2 ).Verengt man ihm den Lebensraum um da, dann steigt seineEnergie um dWo ~ h2 da/ (ma 3 ). Dieser Energiezuwachsmuß als Kraft · da oder als Druck · Oberfläche · da zugeführtworden sein. Es folgt PF ~ h2 /(ma 5 ) (Zahlenfaktoren s.Abschn.l7.3.3; Druck ist, bis auf Zahlenfaktoren, immergleich Energiedichte). Damit der gaskinetische DruckPT = nkT = kT / a 3 so groß wird wie PF, muß kT ~h 2 / ( ma 2 ) sein. Für kondensierte Materie ( a ~ 3 A) bedeutetdas T ~ 106 K. PF hat dann die Größenordnung 10 11 bis10 12 N m-2 , d. h. entspricht dem Elastizitätsmodul sehr festerStoffe (vgl. Tabelle 3.3). Das ist kein Zufall, denn Kompressioneines Metalls z. B. bedeutet im wesentlichen Kompressionseines Elektronengases. Warum sich dieses Elektronengasnicht explosiv ausdehnt, wird in Kap. 14 klarerwerden.12.3.10. Energie-GrößenordnungenFür das Atomelektron liefert Bohr oder Aufgabe 12.3.8eine Energie e 4 mj(e5h 2 ) ~ lOeV. Chemische Energiensind etwas kleiner: H2 liefert 4 e V. Die Kohäsionsenergiedes Wassers (2 300 J/g) ist nur 0,4 e V. Oberflächen- und elastischeSpannungen müssen auf die Fläche von etwaw- 15 cm2 bezogen werden, die ein Teilchen einnimmt.Aus 7 · w- 2 Jjm 2 für Wasser folgen etwa 0,05 eV;7 · 108 Njm 2 für Stahl, die bis zur Bruchdehnung von 0,4angelegt werden können, liefern etwa 0,02 e V I Atom.Überall handelt es sich letzten Endes um Nullpunktsenergievon Elektronen, wie für Atomelektronen und elastischeEnergie direkt nachgewiesen wurde.12.3.11. BergeshöheJedes Material gibt nach, wenn auf ihm ein Druck lastet, deretwa gleich dem Fermi-Druck PF ~ h 2 / ( 8md 5 ) ist. Mitd ~ 3 Ä folgt PF ~ 10 10 N m- 2 . Das heißt nicht, daß unbeschränkteKompression eintritt, denn die tieferen Elektronenschalensind ja auch noch da. Bei etwa 0,1pp wird das Materialplastisch, entsprechend der Tatsache, daß chemische Bindungsenergienetwa ~ der Atomelektronenenergien betragen.Eine Steinsäule von 30 bis 40 km Höhe übt diesenDruck ghQ ~ 0, 1pp auf die Unterlage aus. In dieser Tiefewird Gestein plastisch. Die Kontinentalschollen sind auchetwa so dick. Kein Berg kann höher werden, denn sonstgäbe die Unterlage oder sein Fuß nach. Auf einem anderenPlaneten ist g durch GM/ R2 = 47rQRG /3 zu ersetzen. Diemaximale Bergeshöhe wird h ~ PF/(4r?GR) (wenn manwill, kann man!.! nach Aufgabe 12.3.20 auch durch atomistischeKonstanten ausdrücken). Je kleiner der Planet, destohöher können die Berge sein: Auf dem Mond 4mal sohoch (wegen der geringeren Dichte sogar 6mal), auf demMars mehr als doppelt. Sie sind dort auch höher (OlympusMons 25 km), wenn sie auch wohl nirgends die theoretischeGrenze erreichen. Der größte unregelmäßige Körper, für denh ~ R ist, hat R ~ J PF / ( 4Q2G) ~ 100 km; Phobos mitR ~ 10 km liegt weit unter dieser Grenze. Eine andere Frageist natürlich, ob die tektonische Aktivität auf einem Planetenso stark ist, daß die maximale Bergeshöhe ausgenutzt wird,bzw. ob einmal entstandene Bergriesen inzwischen abgebautworden sind.12.3.12. KräuselwellenSchwerewellen haben normale, Kapillarwellen anomale Dispersion.Die langsamsten Wellen liegen also im Übergangsbereich.Solche Wellen werden durch einen leichten Windvon ähnlicher Geschwindigkeit vorzugsweise angeregt. Einnoch langsamerer Lufthauch erzeugt gar keine Wellen.Diese langsamsten Wellen haben x = J rJ / (Qg) = 3 mm.Die Oberflächenspannung ist wieder knapp von der GrößenordnungFermi-Druck multi liziert mit Atomabstand, alsokann man setzen X~ ppdj(Qg). Andererseits ist die maximaleBergeshöhe h ~ PF/(Qg), also X~ v'hd. Auf jedemPlaneten liegt das x der "Zephirwellen" in der geometrischenMitte zwischen Atom und Bergriesen.12.3.13. Beste aller WeltenEin Stoff beeinflußt (reflektiert, bricht, beugt) das Licht wesentlich,wenn seine Teilchen zu Schwingungen angeregtwerden, die eine etwa ebensostarke Sekundärwelle emittierenwie die Primärwelle ist. Die Welle mit der FeldstärkeE erzeugt Dipole mit dem Momentp = aE. Die PolarisationP = rxE / d3 entspricht einem Sekundärfeld E' = P / eo, alsoE' jE= aj(e 0d 3 ). Nun ist a = e0 r~. Materie, in der dieAtome dicht gepackt sind, sollte völlig undurchsichtigsein, ein Gas mit d » 113 nicht. Der tiefere Grund dafürist natürlich, daß die Zusammenhaltskräfte der Teilchen inkondensierter Materie die gleichen sind wie die Kräfte inder Lichtwelle. Die obigen Aussagen sind sehr global.Man muß die Phasenverhältnisse zwischen Sekundär- undPrimärwelle beachten: Bei Phasengleichheit bleibt der Stoffdurchsichtig. Phasenverschiebung infolge der Nähe einer Resonanzfrequenzbedingt Absorption auch im Gas, allerdingsmit einer Eindringtiefe » A. Die spektrale Empfindlichkeitder Netzhaut ist rein biologische Anpassung an Sonnenspektrumund Durchlässigkeitsbereich der Atmosphäre. Bei25 000 K -Strahlung (lntensitätsmaximum bei 100 nm) sindviele Metalle schon durchsichtig, weil ihre Plasmafrequenzüberschritten ist.12.3.14. SternatmosphäreDer Virialsatz liefert Wkin = - ~ Wpot. d. h. kT ~ GMm/ R.Der thermische Gasdruck PT = nkT muß dem GravitationsdruckPG ~ GM 2 /R 4 die Waage halten. Wegen M ~ R3nmkommt das auf das gleiche heraus. Wenn ein Teilchensich während eines tangentialen freien Fluges weder vomZentrum entfernen noch ihm nähern soll, muß mv2 j R ~GM/ R 2 sein, was wieder dasselbe ergibt. Wenn der Stern

Kapitel12: Lösungen 1131um öR schrumpft, also seine Schwereenergie um etwaÖW = GM 2 öRIR 2 abnimmt, kommt diese volle Energieder thermischen zugute: Der Stern wird heißer. Wenn Wkinnur um !öW zunähme, bliebe der Virialsatz gewahrt. InWirklichkeit wird der Stern zu heiß und muß sich wiederausdehnen. Das Gleichgewicht ist stabil. kT :::::: GMml R ::::::GNm 2 I dN 1 1 3 = GN213 m2 I d mit m als Protonenmasse istder gesuchte Zusammenhang.12.3.15. SternentwicklungDie Antwort ergibt sich aus Lösung 12.3.14. Wenn der SternEnergie abstrahlt, wird er kleiner und heißer. Beim gebremstenSatelliten und beim Bohr-Atom gilt Entsprechendes,wenn man thermische durch kinetische Energie ersetzt.Die Ableitung der Gleichgewichtsbedingung aus derKreisbahnbedingung zeigt direkt den Grund. Etwas eleganterkann man dasselbe mit dem Virialsatz ausdrücken.12.3.16. SonnenalterWenn die Sonne ganz aus Kohle und der stöchiometrischentsprechenden Menge Sauerstoff wäre (5 ,5 · 10 29 kg C,1 ,45 · 10 30 kg 0 2 ), würde vollständige Verbrennung2 · 10 37 J liefern. Die Sonne strahlt auf 1 m 2 der Kugelschalevom Radius 1,5 · 10 8 km in der Sekunde 1 400 J, auf die ganzeKugelschale 3,9 · 10 26 W. Nach 1 700 Jahren wäre dieHerrlichkeit vorbei. Knallgas würde uns knapp bis zu Echnaton,H + H --> H2 etwa bis zur Grotte von Altamira bringen.Die Gravitationskontraktion ist ausgiebiger. Bei homogenerDichte hätte die Sonne Wpot = - ~ GM 2 IR =2,8 · 10 41 J, d. h. genug für 2 · 10 7 Jahre, wenn sie mit einemwesentlich größeren Radius angefangen hätte. Durch dieMassenkonzentration im Innern erhöht sich diese Schätzungauf knapp 10 8 Jahre. Das erfordert, daß praktisch die ganzeSonnenmasse innerhalb Rl5, d. h. mit einer Dichte von250 g cm - 3 konzentriert ist. Da mit dem Axiom der Unveränderlichkeitder Atome intensivere Energiequellen damalsundenkbar schienen, polemisierten Lord Kelvin u. a. erfolgreichgegen die Jahrmilliarden ungestörter Entwicklung, dieBiologen und Geologen für nötig hielten.12.3.17. FusionsbedingungMan kann so tun (vgl. Aufgabe 13.3.3), als wirke die maximaleCoulomb-Kraft e2 I ( 4m>oa 2 ) voll auf der Flugstrecke2a, also während der Zeit 2alv. Impulsübertragung!::.p = e 2 l(2m>.oav). Dieser Wert !::..p hat nur dann einenSinn, wenn !::..p größer ist als die Impulsunschärfe, die ausder Festlegung des Teilchenorts mit einer GenauigkeitAx :::::: a resultiert, denn sonst weiß niemand, in welchem Abstanddas Teilchen wirklich vorbeifliegt, d. h. wie groß !::..p ist.Es muß also sein !::.p » h I a, d. h. e 4 I ( 47r 2 e5mv 2 ) » h 2 Im,oder W « me 4 1(2s§h 2 ) =Wo. Nur für solche Energienbleibt der Stoß rein klassisch. Für höhere Energien ist mitdem Einfang in einen quantenmechanisch gebundenen Zustandzu rechnen. Wo ist ja im Fall des Elektrons auch praktischdie Energie des H-Grundzustandes. Für zwei Protonenwird Wo :::::: 1 keV, d. h. Wo= kTrus mit Trus:::::: 10 7 K.12.3.18. FusionstemperaturHier ist wieder Wo aus Aufgabe 12.3.17 maßgebend. FürW « Wo können die Protonen auch bei zentralem Stoßeinander nicht so nahe kommen, daß Quanteneffekte, speziellTunneln durch den Coulomb-Wall möglich werden.Sie kommen nämlich auf a = e 2 I ( 4m>o W) aneinander heranmit einem Impuls p = J2m W, d. h. einerde Broglie-Wellenlänge};=nlp = niJ2mW. Tunneln ist möglich bei a ;;S x,d. h. wieder W ~ me 4 I (2s§h 2 ).12.3.19. Der größte PlanetDer Schweredruck des kalten "Sterns" wird entweder durchdie normale Festigkeit der Materie (Metalle, Gestein o. ä.)aufgefangen oder durch den Fermi-Druck des Elektronengases(vgl.Abschn. 17.3.3) PF:::::: h21(md5) (Nullpunktsenergieh 2 I ( md 2 ) dividiert durch mittleres Volumen pro Teilchend 3 ). Im ersten Fall ergibt sich, wie üblich, M = 11reR 3mit festem Q, im zweiten Fall PF:::::: h 2 l(md 5 ) :::::: PG::::::GM 2 1R 4 ::::::Gm 2 N 2 1 3 1d 4 , also M= h 6 1(m 3 m~G 3 R 3 ). Einsolcher Planet wird kleiner, wenn man außen Masse drauftut,denn sie erhöht den Druck im Innern.12.3.20. Jupiter ist aus Fermi-GasIn kondensierter Materie sind die Atome dicht gepackt,also d ~ rs ~ 4JTeo1il(me 2 ) und demnach 12 ~ mrjr~ =~-0 g cm- 3 . Kleine Himmelskörper haben M = 11reR . DerUbe~ zu M ~ h 6 j(m~m 3 G 3 R 3 ) erfolgt bei R ~h\/eoiGI(mmpe) ~ 10 km, d.h. bei etwa Jupiter- Größe.Im Innern eines so großen Planeten werden die regulärenBohrsehen Elektronenschalen zerquetscht, und alle Elektronengehen in ein Fermi-Gas über.12.3.21. Der leichteste SternWenn der Fermi-Druck PF der Elektronen den Gravitationsdruckp 0 kompensiert, besteht kein Anlaß zu mehr alskurzzeitiger Erhitzung, denn beide Drücke sind T -unabhängig.Es entsteht ein Riesenplanet (Aufgabe 12.3.19). Interessantwird die Sache erst, wenn der thermische Druckmitspielt, d. h. von PT ~ PF ~ PG ab. PT ~ PF bedeutetkT::::::! h 2 l(md 2 ), PT~ Pa bedeutet kT ~ GN 2 /3m~ld, beideszusammen d ~ hiJmkT und N 2 1 3 ~ dkTI(Gm~) :::::JhykT I ( y'iiiGm~). Damit Fusion beginnt und ein Stern darauswird, der über vernünftige Zeiträume strahlen kann, mußkT ~ kTfus ~ mpe 4 I (h 2 e§) sein. Die Mindestanzahl derProtonen/ die einen Stern ergibt, ist also Nmin ~ e3 I( ( 47reo) 3 2 c3f 2 m 3 1 2 m~/ 4 ), d. h. die Eddington-Zahl hoch ~(vgl. Aufgabe 13.4.4). Nmin ~ 4 · 10 56 , Mmin >:::: 6 · 10 29 kg.Die Sonne ist nur dreimal schwerer.12.3.22. Chandrasekhar-GrenzeDie Ableitung von Abschn. 1.5.9i bleibt richtig, was dieAuswertung von L,r;p; betrifft. Da aber im relativistischenGrenzfall Wkin :::::: w ~ pc wird, ist LPi h = wkin (undnicht 2Wk.in)- Die Gesamtenergie wird demnach W =Wk.in(1- ll(n- 1)). Im r- 2 -Kraftfeld wird W = 0, d.h.es ist kein stabiles Gebilde mehr möglich. Stabilität gäbees nur für 1 < n < 2. Das zeigt sich bei kalter und zu heißerMaterie: Wenn das Fermi-Gas relativistisch wird, bricht der

1132 , Lösungen zu den Aufgabenweiße Zwerg entweder zum Neutronenstern zusammen oderexplodiert als Supernova oder beides (vgl. Aufgabe 11.3.3).Den heißen Grenzfall diskutiert Aufgabe 12.3.23.12.3.23. Der schwerste SternDer Strahlungsdruck ergibt sich aus der Stefan-Boltzmann-Energiedichtew zu PS= w/c;:;::; 40k 4 T 4 /(c 3 h 3 ).Man kommt zum gleichen Ergebnis, wenn man sagt: EinPhoton hat im Mittel die Enelifie kT und nimmt einenRaum A. 3 = (c/v) 3 = (hc/(kT)) ein (das entspricht derRayleigh-Debye-Abzählung der Schwingungsmodes im k­Raum, vgl. Abschn.14.2.1). ps;:;::; PT;:;::; kT/d 3 bedeutetkT ;:;::; hc / d. Im Strahlungsfeld steckt mehr Energie als inden Teilchen, wenn ps » PT ist. Da Photonen extremrelativistisch sind, kann nach Aufgabe 12.3.22 das Systemnicht stabil sein. Der Grenzfall ps = PT ;:;::; PG ergibtNmax;:;::; (hc/(Gm~)) 3 / 2 ;:;::; 5 · 10 58 (Mmax;:;::; 7 · 10 31 kg). DieSpanne zwischen größten und kleinsten Stemmassen istenger als für andere Zustandsgrößen Mmax/Mrrun ;:;::;(hc4m;om 1 1 2j(e 2 m~/ 2 )) 3 1 2 ;:;::; 100. Bis auf den Faktor2nm112 /m~/ steht in der Klammer die reziproke Feinstrukturkonstante137.12.4.1. RotationsspektrumDas Trägheitsmoment um die Kernverbindungslinie stammtallein von den Elektronen, denn der Kern ist zwar 2 000-5 OOOmal schwerer, aber 104-105mal weniger ausgedehnt,sein Trägheitsmoment mr2 ist daher viel kleiner als dasder Elektronen. Aus ähnlichen Gründen zählen auch fastnur die Außenelektronen. Es sind meistens acht (Schalenabschlußbei der Bindungsabsätti~ung). Man erhältJ ;:;::; ~ 8mr2 ;:;::; 3 · 10- 50 kg m 2 (r ;:;::; 1 A), also mindestens1 OOOmal weniger als um eine dazu senkrechte Achse. Derentsprechende Linienabstand ,1v ;:;::; h/ ( 4n 2 J) liegt mitetwa 10 15 Hz schon fast im Sichtbaren, der Termabstandliegt um 1 e V oder darüber. Selbst bei 3 000 K, wo die meistenMoleküle schon dissoziiert sind, wäre die Besetzung deszweiten Rotationszustandes e-h!J.vj(kT) nur größenordnungsmäßig1 %. Ein Beitrag zur spezifischen Warme (6. Freiheitsgrad)wäre also erst bei Temperaturen zu erwarten,wo es gar keine Moleküle mehr gibt.12.4.2. SchwingungsspektrumNormalerweise steigt das Potential steiler an, wenn man dieAtome aneinanderdrückt, als wenn man sie auseinanderzieht,wie auch in Abb. 12.28b angedeutet. Daher entspricht diemittlere Lage einem um so größeren Kemabstand, je höherangeregt die Kernschwingung ist. Das Trägheitsmoment derhöheren Schwingungsterme ist größer. Gleichzeitig liegendie Schwingungsterme nach oben hin immer dichter: Ineinem Parabelpotential (harmonischer Oszillator) wärensie äquidistant; weiteres Ausladen der Potentialkurve entsprichtengeren Termabständen. Ein höherer Elektronenzustandentspricht sehr häufig auch einer lockeren Bindung,größerem Kernabstand und flacherem Potentialtopf, indem die Schwingungsterme enger liegen. Dann trifft wiein Abb. 12.26 der Fall zu, wo die Bandenkante im R-Zweigliegt und die Bande nach längeren Wellen zu abgeschattet ist.12.4.3. Franck-Condon-PrinzipDa die Kerne ihren Abstand während eines Elektronenübergangespraktisch nicht ändern können, sind solche Übergängeimmer durch senkrechte Linien darzustellen, die zwei Potentialkurvenverbinden, die zu den beiden Elektronenzuständengehören. Jeder der beiden Potentialtöpfe enthält vieleSchwingungsterme. Da ein Schwinger sich immer am längstenan seinen Umkehrpunkten aufhält (quantenmechanischausgedrückt: weil die Wellenfunktion des harmonischen Oszillatorsaußen am größten ist), ist es sehr wahrscheinlich,daß der Elektronenübergang die Atome an Extrempunktenihrer Schwingung antrifft. Diejenigen Linien werden also besondersintensiv, die Schwingungstermen entsprechen, derenUmkehrpunkte im Potentialkurvenschema direkt untereinanderliegen. Je nach der gegenseitigen Lage der Potentialminima(bindender oder lockernder Elektronenübergang) kanndas für sehr verschiedene Termkombinationen zutreffen.12.4.4. DissoziationKernschwingungszustände werden durch horizontale Linienim Potentialtopf dargestellt. Diese Linien konvergieren wegender nichtparabolischen Topfform gegen eine Seriengrenze,die Dissoziationsenergie, gegeben durch die Asymptotedes rechten Astes der Potentialkurve. Ein dissoziierter Zustandliegt bei oder über dieser Grenze. Nach Franck­Condon erfolgen optische Übergänge ohne wesentlicheÄnderung der Kernlagen und -geschwindigkeiten. Ein Übergangvom Grundzustand (fast am Topfboden) unter Erhaltungdes Kemortes, also senkrecht nach oben, führt in einGebiet, das heftiger Kernbewegung mit einer Geschwindigkeitentspricht, die viel größer als die im Grundzustand ist.(Die kinetische Energie wird gegeben durch den Abstandzwischen der Term-Horizontalen und der Potentialkurve.)Daher führt eine Absorption im Bereich des Schwingungsspektrumsnicht zur Dissoziation. Thermische Stöße könnendagegen dissoziieren, indem sie nach und nach immer höhereSchwingungszustände anregen. Optische Dissoziation ist nurunter Beteiligung eines Elektronenüberganges möglich. DiePotentialkurve eines hochangeregten Zustandes liegt entsprechendder Zunahme des Kernabstandes oft mit ihrer Seriengrenzeoder ihrem Dissoziationsgebiet über dem Potentialminimumdes Grundzustandes. Bei einer solchen Dissoziationbleibt meist einer der Bestandteile zunächst im angeregtenZustand. Die Energie des dissoziierenden Photons ist demnachgleich der Anregungsenergie plus der Dissoziationsenergiedes Grundzustandes, die durch die Frequenz derBandenkonvergenz gegeben wird.12.5.1. Röntgens ApparaturRöntgen macht in seinen Originalveröffentlichungen keineAngabe über die Kathodenspannung. Vermutlich benutzteer aber, wie damals für Kathodenstrahlexperimente allgemeinüblich, ein lnduktorium (Rühmkorff-Spule), bei demeine galvanische Niederspannung mittels eines hohen Windungszahlverhältnisses(1 000: 1 oder mehr) und einesUnterbrechers hochtransformiert wurde. Als Kathodenspannungwar natürlich nur eine Spannungsrichtung brauchbar,

meist die dem Öffnen des Kreises entsprechende. Große .Anlagen dieser Art mit sorgfältiger Isolierung erzeugtenmehrere 100 000 V. So hohe Spannung hatte Röntgen sichernicht und legte wohl auch keinen besonderen Wert auf sie,denn alle Leuchterscheinungen, besonders die Fluoreszenzder Glaswand gegenüber der Kathode, sind schon bei einigenkV gut ausgebildet. Er maß visuell und photographischdie Absorption durch ein 3,5 mm-Al-Blech und fand sie annäherndentsprechend der Absorption durch das Fleischseiner Hand und der durch eine 0,1 mm-Zn-Folie. Hätte er120kV Röhrenspannung gehabt (0,1 A), dann wären nachTabelle 12.2 die Kontraste infolge starker Mitwirkung derStreuung viel schwächer gewesen. Bei 12 kV (1 A) wärendurch seine Schichten nur weniger als 10-5 der Anfangsintensitätdurchgekommen, d. h. er hätte nichts mehr vergleichenkönnen. Wahrscheinlich hat er mit 25-40 kV gearbeitet(0,5-0,3Ä). Hier kommen etwa 15-30% der Intensitätdurch.12.5.2. Röntgen-TotalreflexionAlle Stoffe habenjenseits ihrer letzten Absorption (der Röntgen-K-Kante)eine Brechzahl n < 1, d. h. sind optisch dünnerals Luft. Totalreflexion beim Auftreffen von Luft auf Glasist daher möglich. Allerdings ist die . Abweichung derBrechzahl von 1 noch kleiner als für sichtbares Licht inLuft. Nach der klassischen Dispersionstheorie ist angenähertn 2 -1 = Ne 2 j[c:0m(wÖ- w 2 )]. Man erhält größenordnungsmäßign - 1 >::::: 10- 6 , bei Annäherung an die Absorptionskantewo, z. B. bei w = 1,01wo, etwa 100mal mehr. Das entsprichtetwa dem Winkel streifender Inzidenz, den manbraucht, damit ein sehr feines Strichgitter die Röntgenwellenetwa so beugt wie die 10 4 mal längeren sichtbaren Wellen.Unter diesen Umständen verhindert die Totalreflexion denIntensitätsverlust, der sonst durch überwiegendes Eindringenin das Glas einträte. Das Reflexionsvermögen bei steilemEinfall ist nämlich etwa (n- 1) 2 , also äußerst gering.12.5.3. Charakteristische StrahlungAus den Moseley-Barkla-Formeln (12.45) und (12.46) erhältman für die Krx- und Lex-Linien von Mo (Z = 42) 4,1 . 10 18bzw. 5,5 · 10 17 Hz, oder 17 bzw. 2,2 kV, für W (Z=74) entsprechend1,3 ·10 19 bzw. 2,0·10 18 Hz und 54 bzw. 8,2kV.Uran hat eine Krx-Linie bei 2,1 · 10 19 Hz, d. h. 83 kV, Hahnium(Z = 105) hätte sie bei 2,7 ·10 19 Hz oder llOkV.Die Wellenlänge ist im letzten Fall nur noch 0,11 A, wasetwa zehn Durchmessern der Bohrsehen K-Bahn entspricht.Die schwersten Bestandteile normaler Gläser, Kund Ca, haben K-Linien um 4 k V, sind also mit 25 k V gutanreg bar.12.5.4. Auger-EffektDie heutige Theorie deutet den Auger-Effekt strahlungslos:Im allgemeinen rutscht zunächst ein L-Elektron auf denfreigewordenen Platz in der K-Schale nach und gibt die Übergangsenergiean ein anderes Elektron, vorzugsweise wegendessen großer Nähe oder besser Überlappung ebenfalls anein L-Elektron ab, das dadurch aus dem Atom geschleudertKapitel 12: Lösungen 1133wird (die L-K-Termdifferenz ist ja etwa dreimal so großwie die L-Ionisierungsenergie). In den freien L-Platz kannwieder ein M-Elektron nachrutschen und dabei ein anderesM-Elektron freimachen usw. Das Atom kann in einem ziemlichhochionisierten Zustand zurückbleiben. Man muß nochbeachten, daß die Termenergien gegenüber den normalendurch das Fehlen eines oder mehrerer abschirmender Innenelektronenverschoben sind. Die Auswahlregeln für solchestrahlungslosen Auger-Übergänge sind völlig anders alsdie für strahlende Übergänge, die voraussetzen, daß die resultierendeElektronenkonfiguration ein Dipolmoment hat.Die Ausbeute strahlender Übergänge steigt mit der Ordnungszahletwa wie Z 4 , die Auger-Ausbeute hängt längstnicht so stark von Z ab, so daß die Grenze zwischen überwiegendstrahlungslos und überwiegend strahlend in den tiefstenZustand zurückkehrenden Atomen etwa bei Z = 30 liegt.12.5.5. X-Ray panicTextilien haben praktisch die gleiche Zusammensetzung wielebendes Gewebe, abgesehen von den Knochen (C, H, 0, N),und daher auch praktisch das gleiche Absorptionsvermögenfür Röntgenstrahlung. Auf Röntgenaufnahmen sehen dieKleider also· genau so aus wie das, was darunter ist.12.5.6. TomographieEine Röntgenröhre, die ein breites Büschel abstrahlt, und derFilm werden in entgegengesetzten Richtungen am Körpervorbei verschoben (lineare Tomographie). Bei gleichen Geschwindigkeitenstehen nur die Organe in der Ebene halbwegszwischen Röhre und Film immer vor der gleichen Stelledes Films, von der Röhre aus gesehen, und zeichnen sichscharf ab, alles andere ist zum Grauschleier verwischt. Bewegtsich der Film langsamer, liegt diese "Pivotalebene"ihm näher. Schärfer wird das Bild bei kreisförmiger oder elliptischerBewegung. Bei der Computer-Tomographie werdenviele solche Läufe eines engen Bündels elektronisch gesteuertund ausgewertet. Beim Bestrahlen kann man ähnlichvorgehen.12.5.7. PaarvernichtungIm Positronium-"Atom" kreisen, dem Bohrsehen Bild nach,Elektron und Positron in gleichem Abstand vom gemeinsamenSchwerpunkt. Die Korrektur der Rydberg-Konstantegegenüber dem Wert R 00 (ruhender Kern) ist daher erheblich:Entsprechend Aufgabe 12.3.6 ist R = !R 00 • Die kurzwelligsteLyman-Linie hat also i · 13,6eV = 5,1 eV, derGrundzustand liegt bei -6,8 e V. Für die Paarvernichtungeines ruhenden Elektronenpaares würde gelten 2hv =2mc 2 , für die Vernichtung aus dem Positronium-Grundzustand2hv = 2mc2 - !hR 00 • Da der erste Summand1 MeV, der zweite 6,8 eV ausmacht, ist die Verschiebungsehr schwer nachzuweisen. Paarbildung setzt voraus, daßdie Primärwellenlänge },o ;;:; ! },c ist. Die größte Compton­Streuwellenlänge (Rückwärtsstreuung, 9 = 180°) ist dann},max = },o + 2},c. Die Paarvernichtungslinie liegt also immerzwischen unverschobener und maximal verschobenerLinie. Je höher die Primärenergie, desto besser hebt sie

1134 : Lösungen zu den Aufgabensich ab, weil die Paarbildung immer intensiver wird, diePaarvernichtungslinie immer mehr von der Primärlinie abrücktund Campton-Streuung unter großem Winkel relativund absolut immer seltener wird (der Gesamt-Compton­Querschnitt nimmt etwas langsamer als w- 1 ab, der Paarbildungsquerschnittdagegen steil mit W zu, vgl. Abb. 12.54).12.5.8. BremsstrahlungMit einem linearen Näherungsansatz lv( v) = A( Vgr - v) folgtwegen lv = dl/dv = -(dl/dA.) · A 2 je= I;ß/c sofort I;,=Ac2(1/(AgrA. 2 )- 1/}, 3 ). Das Maximum dieser Kurve liegtbei Am = 0,75Agr in der Höhe hm = 0,14Ac 2 I },~r ~ U 3 .Das entspricht gut dem Verhalten der Kurven inAbb. 12.45b. Es besteht eine gewisse Ähnlichkeit mit derPlanck-Kurve: Am ist proportional der Energie W der auslösendenTeilchen (hier eU, dort kT), die Höhe des Maximumsist ~ W3 , also die Fläche unter der Kurve ~ W4 .Das Bremsspektrum ist aber echt abgeschnitten (bei Agr),das Planck-Spektrum nicht. Dementsprechend sieht dasPlanck-Spektrum auch über v qualitativ ähnlich aus wieüber ,.\, was beim Bremsspektrum absolut nicht zutrifft.12.5.9. Protonen-TherapieRöntgen- und y-Quanten, Neutronen und Elektronen, wennnicht zu schnell, laden ihre Energie nach einem exponentiellenAbsorptionsgesetz ab. Ionisierungsdichte und biologischeWirkung nehmen also mit der Gewebetiefe ebenfallsexponentiell ab. Das gesunde Gewebe wird mehr geschädigtals der tiefliegende Tumor. Auch mit mehreren konvergentenStrahlenbündeln ist das nur teilweise zu beheben. Geladeneschwere Teilchen geben ihre Energie in vielen Schritten ab,am wahrscheinlichsten, wenn sie langsam, also nahe demBahnende sind (Aufgabe 13.3.8: Bragg-Kurve). Die Tiefedieser Zone maximaler Wirkung wächst stark mit der Energie(Abb. 13.35), der Bragg-Peak wird immer schärfer. Mankann also gezielt auf den Tumor schießen. 200 Me V-Protonendurchdringen etwa 25 g/cm 2 , in organischem Gewebealso 25 cm. Ihr I"ET (linear energy transfer), also ihre Ionisierungsdichteist dort mehr als 1 Oma! höher als an derOberfläche. Wegen dW /dx ~ M/W haben schwere Ionenein höheres LET, brauchen aber auch noch mehr Energie,um so tief einzudringen.12.6.1. Periodensystem12.6.2. Atomvolumina12.6.3. IonisierungsspannungSiehe Lösung 12.6.4.12.6.4. Verspätete AuffüllungDie entscheidende atomphysikalische Größe ist hier dieIonisierungsenergie Wi, d. h. die Abtrennarbeit des losest gebundenenElektrons. Je kleiner sie ist, desto ausgeprägterwird der Metallcharakter: Mit Erleichterung der Elektronenabgabesteigt die Tendenz zur Kationenbildung und zurAbgabe eines Elektrons an andere Atome oder Radikale,die damit ihre fast abgeschlossene Außenschale auffüllen,besonders an Cl und F sowie OH, das in seiner Elektronenkonfigurationmit F gleichwertig ist. Metalle sind Basenbildner.Auch ohne Elektronen-Akzeptor erfolgt imkondensierten Zustand Elektronenabgabe an das allen Atomengemeinsame Elektronengas, das die Atome zusammenhält.Diese Bindung ist nicht winkelmäßig starr wie bei dergerichteten Valenzbildung: Metalle sind duktil, und um sospröder, je weniger ausgeprägt der Metallcharakter ist. DasElektronengas bedingt auch elektrische und Wärmeleitungsowie die Absorption in fast allen Wellenlängen. Für Nichtmetallegilt genau das Gegenteil: Tendenz zur Elektronenaufnahme(hohe Elektronenaffinität, Elektronegativität), Anionen-und Säurerestbildner, spröde Kristalle, Nichtleiter,durchsichtig oder scharfbegrenzte Absorptionsbereiche. TypischeMetalle haben Wion < 8 e V, typische NichtmetalleWion > !Oe V, Elemente mit Wion zwischen 8 und 10eV nehmeneine Zwischenstellung ein (Be, B, Si, Zn, As, Se, Cd, Sb,Te). Im Periodensystem stehen die Metalle links, die Nichtmetallerechts. Die Metallzone wird dabei nach unten zu immerbreiter: Die zweite Periode hat nur ein typisches Metall(Li), die sechste nur noch ein typisches Nichtmetall (Rn). Injeder Spalte werden daher die Elemente i. allg. nach unten zuimmer metallischer. Gäbe es keine abschirmenden Innenelektronen,dann wäre die Ionisierungsenergie eines Elektronsder n. Schale nach Bohr (und auch nach der strengerenQuantenmechanik) Wion = WHZ2/n2 mit WH= 13,6eV. Dan viellangsamer wächst als Z, müßte Wion mit wachsendem Zständig größer werden. Nur beim Übergang zu einer neuenSchale (Edelgas-Alkali) erfolgt ein Sprung abwärts. In jederSpalte jedenfalls stiege Wion an und nähme der Metallcharakterab. In Wirklichkeit reduzieren die Innenelektronen Z zueiner effektiven Kernladung Zeff· Jedes Innenelektron Ischirmt für ein Außenelektron A um so mehr Kernladungab, je enger sich I und je weniger eng sich A um denKern schnürt. DieBohr-Sommerfeld-Bahnen Abb. 12.23 gebeneinen ungefähren und die quantenmechanischen ElektronenwalkenAbb. 16.8-16.14 einen genaueren Begriff vondiesen Elektronenkonfigurationen. d- und p-Elektronen habenin Kernnähe nur geringe Dichte, jedes tieferliegendeElektron, besonders wenn es ein s-Elektron ist, schirmt fürsie also fast eine volle Kernladung ab (vgl. die Abschirmzahlen,die zwischen 0,65 und 1,00 liegen). Man addiert nuneinfach die Abschirmzahlen der Innenelektronen auf daslosest gebundene Außenelektron und zieht die Summe vonZ ab. So ergibt sich Zeff· Damit wird Wion = WHz;ffjn2.Es zeigt sich, daß Zeff nur knapp so schnell zunimmt wien, so daß Wion langsam abnimmt. Während der Auffüllungeiner d-Schale nimmt Zerf nur so langsam zu, daß alle entsprechendenElemente Metalle bleiben Cd-Elektronen sindbesonders lockere Gebilde). Dies gilt noch mehr für die.f-Schale (Seltene Erden, Aktiniden). Besonders klein istWion• wenn gerade eine neue Schale angelegt wird (Alkalien:Geringer Durchgriff des Kernfeldes durch die kompaktenInnenschalen), besonders groß ist es beim Abschlußeiner Schale oder kurz vorher (Abschluß einer Schale oderUnterschale bedeutet Elektronenpaarung, d. h. Einbau einesElektrons zu einem bereits vorhandenen mit gleicher Ladungskonfiguration,das daher das neue besonders starkabschirmt). Mit dem Schalenabschluß verbunden ist eineAbschwächung der Wechselwirkung mit anderen Atomen

Kapitel 12: Lösungen 1135und daher Absinken der Kondensationstendenz, d. h. desSchmelz- und Siedepunktes: Edelgase, aber auch Hg habenhohe Wion und tiefe Tschm und Ts.Weniger anschaulich-einfach ist die Lage bei den Atomradien.Man bestimmt sie am einfachsten aus der Dichte:Tat ~ {13m/ ( 47rQ ). Bei Kristallen und Flüssigkeiten ist derPackungsfaktor zu berücksichtigen: Es bleibt etwas "Luft"zwischen den Atomen. Im Kristallgitter kann man Atomabstände(Gitterkonstanten) sehr genau aus der Röntgenbeugungbestimmen. Für isolierte Atome gibt das van derWaals-Kovolumen das vierfache Atomvolumen. Transportphänomene,besonders die innere Reibung, liefern über diemittlere freie Weglänge den Teilchenquerschnitt Alle dieseMethoden liefern etwas verschiedene Werte; teils weil es sich·um verschiedene Arten von Wechselwirkung handelt, teilsweil überhaupt die Elektronenkonfiguration im isolierten(Gas) und gebundenen (kondensierten) Zustand verschiedenist. Der Bohr-Radius eines Elektrons der n-ten Schale im Feldder effektiven Kernladung Zeff, nämlich TJ3 = l){n 2 /Zeff, mit1"H = 0,53 A, gibt keine besonders gute Abschätzung: Für dieEdelgase ist er zu klein, für alle anderen Atome zu groß. Dasist qualitativ leicht zu verstehen: Die abgeschlossene Edelgasschaleerlaubt i. allg. keine Bindung, im flüssigen Edelgasliegen die Atome einfach nebeneinander. Da die quantenmechanischenElektronenwolken wesentlich über den Bohr­Radius, der ungefähr dem Gebiet größter Ladungsanhäufungentspricht, hinausreichen, findet man einen vergrößertenAtomradius. Alle Atome, die Bindungen miteinander eingehen,kommen einander eben deswegen näher, und zwar auszwei Gründen: Die quantenmechanischen Elektronenwolkensind etwas enger als der Bohr-Radius angibt (Abb. 16.8-16.14), und die Bindung bringt eine Neuverteilung der Elektronendichtezwischen den beiden Kernen mit sich. Der Gangder Tat ist also grob gesprochen komplementär zu dem vonWion• nur daß die Edelgase längst nicht das dem Wi 0 n-Maximumentsprechende Tat-Minimum bilden, sondern ein vielhöheres Tat haben. Andere, kleinere Abweichungen vonder Regel Tat rv nj ~ergeben sich bei jedem Unterschalenabschluß:Großes Wion• aber auch großes Tat infolge verminderterBindungstendenz. Andererseits sind die Übergangsmetallein der Mitte oder etwas hinter der Mitte derd-Schalenauffüllung ausgezeichnet durch besonders hoheKopplung zwischen den Elektronen von Nachbaratomen.Das führt bei den kleinen Atomen (Fe, Ni, Co) zur spontanenAusrichtung und zum Ferromagnetismus, bei den großen (W,Ta, Re, Hf) zu extrem hohen Schmelz- und Siedepunkten undbei den ganz großen (Os, Ir, Pt) zu besonders kleinen Tat unddamit zu extremen Dichten.Jeder Streifzug durch das Periodensystem, bewaffnet mitatomphysikalischen Prinzipien, wird Ihnen interessanteBeobachtungen und Entdeckungen erschließen.12.6.5. Vakuum-PolarisationNach der Unschärferelation darf der Energiesatz innerhalbeiner Zeit 11t umd 11 W "überzogen" werden, falls11 W · 11t ;$ n. Erzeugung eines Elektronenpaares kostetmindestens 11 W = 2moc 2 . Das Paar kann also höchstenseine Zeit At~ nj (2moc 2 ) existieren. Selbst mit Lichtgeschwindigkeitkämen die Teilchen in dieser Zeit bestenfallsbis T ~ cAt ~ nj(2moc), d.h. um eine Campton-Wellenlängedes Elektrons Xe= Te= nj(moc) weit.12.6.6. Maximale ReichweiteDie Energie 11 W = 2mc2 = 2mo c 2 / J 1 - v2 j c2 ergibt eineExistenz-Höchstdauer 11t = n~ 11 W und eine HöchstflugstreckeT = v 11t =! Tevc- 1 J1 - v 2 Lc2 . Diese Funktionvon v hat ihr Maximum bei v = cjV'i, und zwar T = Te/4.12.6. 7. Legale ÜberziehungKreisbahnbedingung mv 2 / T = Ze 2 / ( 4m:oy2) und DrehimpulsquantelungmvT = nn liefern, ausgedrückt durch Campton-WellenlängeTe= nf(moc) = 3,86 · w- 13 m, RuhenergieWo = m 0c 2 = 0,51 MeV und Feinstrukturkonstantea = e 2 j(4Jreonc) = 1 1 71 Z 2 rx 2W=--Wo--.2 n2Hieraus sieht man, daß die Paarerzeugungsenergie 2Wodurch die Bindungsenergie - W gedeckt werden kann,sobald Z = 2nja wird, d. h. erstmals (für die innersteBahn mit n = 1) für Z = 2/rx = 274. Der Bahnradius wäredann T = ! Te ~ w- 13 m, die Bahngeschwindigkeit V =nnj(mT) = 211/(mTe) = 2c. Dies zeigt, daß die nichtrelativistischeNäherung für so große Kerne längst nicht mehrstimmt. Die relativistische Rechnung gibt eine Grenzez ~ 170.12.6.8. Relativistisches Bohr-ModellAuf der Kreisbahn wird das Elektron immer transversalbeschleunigt. Die hierfür maßgebende Masse m =mo j J 1 - v2 j c2 bestimmt auch den Impuls und den Drehimpuls.Kreisbahn- und Drehimpulsbedingung lauten alsogenau wie im nichtrelativistischen Fall mv 2 = Ze 2 /(47reoT)und mvT = n/i, nur steckt in m noch v. Es fol tvjJ1-v2 jc2 =nn/(rmo), also v=cnTe/ n 2 T~+T2 .Das mv 2 in der Kreisbahnbedingung spalten wir am bestenauf in mv = nnjT und v. Dann erhalten wiralson 2 1i 2 Tec/(TJn 2 Te + T 2 ) = Ze 2 /(47reoT),r = TecJn4 j(z2a2)- 1.Natürlich ergibt sich der übliche Bohr-Radius T = Ten 2 /(Zrx)für Z « n 2 ja. Bei Z = n 2 ja schrumpft der Radius auf Nullzusammen: Oberhalb dieser Grenze hat ein punktförmigerKern nur noch Bahnen mit höherer Quantenzahl. So verschwindetdie 1 s-Bahn bei Z = 1/rx = 137. Im relativistischenFall hat Wkin = (m- mo)c 2 nichts mehr mit Wpot =-mv 2 zu tun. Die Ausrechnung liefert mit der AbkürzungZ 2 rx 2 =X die Gesamtenergie

IIII1136 :: Lösungen zu den AufgabenX - n 2 + nV n 2 -X (W1 ~)= -Wo = -Wo 1 -- v nL- x .n-Jn2 -xnSpeziell für n = 1 wird W = -Wo(1- Vf=X). Dies erreichterst bei x = 1 (Z = 137) den Wert -Wo und wirdfür größere Z sinnlos.12.6.9. Kern-TauchbahnenEin Kern mit Z ~ 137, also A ~ 400 hat einen Radiusl)c ~ roA 1/3 ~ 9 · 10-IS m, ist also etwa 40mal kleiner alsre. Damit die innerste Bahn in den Kern eintaucht, müßtealso n 4 1(Z 2 a 2 ) -1 ~ 1140 2 sein, d.h. für n = 1 müßte Zganz wenig unter 137 liegen (nur etwa 0,3 %o). Von da abwerden aber die Bahnenergien ganz anders, nämlich siestaffeln sich äquidistant, weil im Innem des Kerns das Potentialparabolisch verläuft.12.6.10. Tauchbahnen nach BohrIm Abstand r < lK vom Zentrum wird das Elektron nurdurch die Ladung der noch innerhalb gelegenen Kugel, nämlichdie Ladung Zer 3 I I{ angezogen. Die Kreisbahnbedingungheißt demnach mv 2 Ir = Ze2 r 3 I ( 4Ksorkr 2 ). Aus derDrehimpulsbedingung folgt wieder v = nlil(mr), alson 2 /i 2 l(mr2) = Ze2r 2 l(41rBOrkr2) 1woraus sich ergibtr = (n21i2. 4Ksorkf(zc2m))l/4 = (l"ßrk)l/4'wobei l"ß der Bohr-Radius für einen Punktkern ist. Um dieBahnenergie zu bestimmen, brauchen wir das vollständigePotential. Aus der Kraft F = Ze2 r I ( 4m:orkJ folgt eine potentielleEnergie Wpot = !Ze 2 ? I(4Ksork) + a. Bei r = rK verlangtder Anschluß an das äußere Coulomb-Potential einenWert a = - ~ Ze 2 I ( 4KBorK), alsoWpot = -Ze 2 G- !r 2 /rk)I(4KBorK).Dazu kommt die kinetische Energie, die wegen !mv 2 =!Frgenauso groß ist wie das r 2 -Glied in Wpot· Die BahnenergieistW = _ ~ (~ _ r 2 ) = _ Zalic (~ _ r 2 ) .4KsorK 2 rk 1]( 2 r~Einsetzen des Bahnradius liefertWn =- Zalic (~-nli ~).rK 2 V~Wir wissen, daß der Nukleonenradius durch den Yukawa-Radius,also den Campton-Radius des Pions gegeben ist:rK = A 1 1 3 r" = A 1 I 3 Jil(mrrc).Damit folgtWn = - Wrr A 7/3 G- nm" )ZrxmeA 1/3 ·Wegen A ~ 3Z bei so schweren Kernen und W = 140 MeVkann man Wn direkt in MeV ausdrücken: Wn =-1,06Z 2 13 + 159n. Die Energiestufen sind äquidistant, wieim parabolischen Potential (Oszillatorpotential) üblich. IhrAbstand ist unabhängig von Z. Das liegt daran, daß ein Elektronvon einem wachsenden Z energetisch nicht profitiert,denn es sieht immer nur die Protonen innerhalb seinerBahn. Jedenfalls ist Wn viel größer als Wo für Werte vonZ, die hier interessieren. Demnach kann die nichtrelativistischeRechnung nicht stimmen.12.6.11. Relativistische TauchbahnenNach wie vor gilt v = cnrel J;::-n;,=2r"";'+-r""2 und Wkin =We ( J n2 r; + r2 Ir - 1), denn dies folgt allein aus der Drehimpulsbedingung.Jetzt lautet aber die Kreisbahnbedingungmv 2 = nliv Ir = Fr = Zalicr 2 Ir~ .Daraus folgt n 2 rel(rJn2 r; + r2 ) = Za? Ir~. Da hier ganzbestimmt r « nre ist, vereinfacht sich das zur = rk(ni(Za)) 1 1 3 • Einsetzen in den Energieausdruck liefert- -~ ( 2/3- n2/3)Wn - 2. 31/3 W" Z a2/3--(2/3 -~ 2/")- 1,06 Z al/3 MeV.Das von n unabhängige Glied ist natürlich identisch mitdem nichtrelativistischen, denn es gibt einfach das Potentialminimuman. Nur die n-Abhängigkeit ist wesentlich anders.BeiZ= nla würde diese Näherung Wn = 0 liefern. In Wirklichkeitmüßte zum Anschluß an den Coulomb-FallWn = -We = -0,5MeV herauskommen.12.6.12. Spontane PaarbildungEine Bahnenergie W = -2mec 2 = -1,02MeV ergibt sichfür z~/ 3 = (nla) 2 1 3 + 1, also von den kritischen WertenZ1 = 145, Zz = 283, Z3 = 422 usw. an. Genauere Rechnungnach der relativistischen Wellengleichung des Elektrons(Dirac-G1eichung) liefert Z1 = 173, genau den Wert, derDominiks A = 500 entspräche, Zz = 235 usw. Hierbei istdie Abschirmung durch die bereits eingefangenen Elektronenberücksichtigt.12.6.13. Elektron im Kern?Der übliche Beweis für die Nichtexistenz von Elektronen imKern gründet sich auf deren Nullpunktsenergie bei so engerEinsperrung. Man zeigt, daß diese Nullpunktsenergie größerist als die Ruhenergie des Elektrons. Genau diese Nullpunktsenergiestellt aber im Bohr-Modell die kinetische Energie desElektrons dar, und die Grenze für den Eintritt in den Kernliegt gerade dort, wo die kinetische Energie ungefähr gleichder Ruhenergie wird. Elektronen üben keine starke Wechselwirkungaus, werden also von den Nukleonen nur elektrostatischbeeinflußt und können ungehindert auch innerhalb derProtonen-Ladungswolke kreisen. Deswegen eignen sie sichauch so gut als Geschosse zur Sondierung des Kern- undsogar Nukleoneninnern (Experimente von Hofstadter u. a.).

Kapitel 12: Lösungen 113712.7.1. QuantenbedingungIn der Messung eines Drehwinkels kann man beim bestenWillen keinen größeren Fehler machen als 2n. Dieser maximalenWinkelunschärfe entspricht eine minimale Drehimpulsunschärfeh/(2n) = li. Ebenso wie für Impuls undEnergie kann man diesen Minimalfehler einem nichtunterschreitbarenAbstand gleichsetzen. Die exaktere Begründungliefern für alle drei Größen die Fourier-Analyse bzw.die damit äquivalenten quantenmechanischen Techniken.Für Ort und Zeit sind die Maximalunschärfen von Fall zuFall verschieden oder gar nicht vorhanden, und das gleichegilt für die Stufen von Impuls und Energie.12.7.2. Bohr-MagnetonDas gyromagnetische Verhältnis y = magn. MomenUDrehimpuls ist für ein klassisches kreisendes Punktteilchengleich ! Jloewr 2 / ( mwr 2 ) = ! Jloe / m, also bis auf den Faktorllo gleich der halben spezifischen Ladung. Dem entsprichtgenau die Definition des Bohr-Magnetons: Ein Bahndrehimpulsnn ist mit einem magnetischen Moment von npmB verbunden.Das "spinnende" Elektron hat aber fast genau lPmBund ! li, d. h. y ~ Jloe / m: Das Elektron ist doppelt so magnetisch,wie es als klassisch rotierendes Teilchen sein dürfte.Proton und Neutron sind in noch höherem Maße "übermagnetisch".12.7.3. Stern-Gerlach-VersuchIonen würden durch die Lorentz-Kraft so stark abgelenktwerden, daß die winzige Zusatzablenkung, die im Stern­Gerlach-Versuch interessiert, unterginge. Die Lorentz-Kraftist evB, die Kraft des inhomogenen Magnetfeldes auf dasmagnetische Momentpm istpmgradH ~ PmH/R (R Abmessungdes Feldes). Da nun Pm ~ evelr (r und Vei Bahnradiusund -geschwindigkeit eines Atomelektrons), ist das Verhältnisder beiden Kräfte vR/ (veir), was auch bei sehr "kühlem"Teilchenstrahl und sehr feiner Polschuh-Schneide mindestens10 4 ist. Man kann also die Teilchen nicht elektrischbeschleunigen (höchstens mit Umladung eines vorbeschleunigtenIonenstrahls zum Atomstrahl). Die Atome bringendann die Energieverteilung der Quelle mit, aus der sie verdampftwurden. Ihr Ablenkwinkel ergibt sich analog zuAbschn. 8.2.1 als Fd/(mv 2 ) (F Ablenkkraft, d Länge desFeldes). Der Niederschlagsfleck gibt also eine reziprokeMaxwell-Energieverteilung wieder (schnelle Teilchen sindam steifsten). Die Verteilung von !mv2 hat etwa die BreitekT. Daraus ergibt sich die Bedingung für saubere Trennungals F = Pmgrad H > kT / d. Mit Pm = 1PmB für Silber undeiner sehr langen und sehr scharfen Schneide, so daßd ~ SOOR, müßte sein H > kTR/ (pmd) ~ 7 · 10 5 Alm.12.7.4. Zeeman-EffektDie Zeeman-Aufspaltung ist energetisch L1W = PmH,frequenzmäßig 11vz = PmH / h, oder, wenn man das magnetischeMoment, das die Aufspaltung bewirkt, als BahnmomentPm = JloeVeir darstellt: 11vz ~ eVeirBjh. In verdünntenGasen wie z. B. Sternphotosphären überwiegt dieDoppler-Breite (vgl. Aufgabe 12.2.2). Sie ist 11vo = vvatfc(Vat thermische Atomgeschwindigkeit). Die Zeeman-Aufspaltunghebt sich aus der Linienbreite heraus, wennB > hvvatf(evelcr), also für optische Übergänge mithv ~ 3 eV bei Feldern, die größer als 1 Vs/m 2 sind. In dieserGrößenordnung liegt das Magnetfeld in den Sonnenfleckenund auf der ganzen Oberfläche einiger schnellrotierenderSterne. Die Sonne als Ganzes hat ein viel schwächeresFeld. Das noch viel schwächere Magnetfeld der interstellarenMaterie (etwa 10- 10 T) kann nicht aus dem Zeeman­Effekt, sondern muß anders geschätzt werden (Polarisationdes Lichts ferner Sterne, zurückgeführt auf magnetische Ausrichtungder interstellaren Teilchen).12.7.5. KernspinProton und Neutron addieren ihre Spins und magnetischenMomente im Deuteron (parallele Einstellung), zwei Deuteronensubtrahieren die ihren im a-Teilchen (paarweise antiparalleleEinstellung). Bei ~Li verlangt der Spin z. B. 5 Nukleonenmit "Spin oben", zwei mit "Spin unten". Die möglichenKombinationen von Protonen und Neutronen, die dem entsprechen,liefern magnetische Momente -10,43, -1,03und 8,37, was alles weit danebenliegt. Es müssen Bahndrehimpulsedazukommen.12.7.6. Larmor-PräzessionWenn das B-Feld sich zeitlich mit Bändert, wirkt am Umfangder Elektronenbahnfläche A die InduktionsspannungU = -AB. Sie beschleunigt oder bremst das Elektron, jenach dessen Umlaufrichtung, mit der Kraft F = eE =eU/(2nr) = enr 2 B/(2nr) = erB/2. Wenn das Feld denWert B erreicht hat, ist der Impuls des Elektrons insgesamtum L1p = J F dt = ! er J B dt = ! erB geändert worden.Stellt man das als L1p = m L1wr dar, hat man sofortL1w = eB/(2m).12.7.7. FeinstrukturEin klassisches Elektron, das mit v auf einer Kreisbahnmit r umläuft, erzeugt ein Magnetmoment Pm =flolA = floVenr 2 = !floerv, was einem Bohr-MagnetonPmB = flohe/(2m) entspricht oder einem ganzzahligen Vielfachendavon, denn der Drehimpuls ist L = mvr = nli. DasB-Feld eines solchen Moments nimmt mit dem Abstand rab wie B ~Pm/?, dies allerdings erst für Entfernungen,die groß gegen den Bahnradius sind. Ein anderes Elektronenmomenthat in diesem Feld eine EinstellenergieW = PmH = p~/(Jlor 3 ) = Jloe 2 v 2 /(4r). Erweitert mandies mit 4nsom und beachtet, daß für die Kreisbahnmv 2 = e 2 / ( 4nsor) ist, ferner Boflo = 1/ c 2 , so folgtW /WB~ WB/(mc 2 ) ~ a 2 mit der Feinstrukturkonstanterx = e 2 / ~ 4nsonc) = 1 § 7 : Die Feinstrukturaufspaltung istetwa 10 mal kleiner als die Bahnenergie, diese ist 10 4 malkleiner als die Ruhenergie des Elektrons. Kernmomentund Hyperfein-Aufspaltung sind nochmals etwa tausendmalkleiner. Im mitbewegten Bezugssystem des Elektronsherrscht kein Strom, also auch kein Magnetfeld. Wenn dasElektron zusätzlich noch um seine Achse rotiert, kann dieseBewegung also auch nicht durch das Bahnmagnetfeld be-

1138 : Lösungen zu den Aufgabeneinflußt werden. In Wirklichkeit beeinflussen Bahn- undSpinmoment einander, was bereits zeigt, daß das klassische,an einem Bahnpunkt lokalisierbare Elektron die Situationnicht richtig beschreibt.12.7.8. Rabi-VersuchIm Magnetfeld BB = 0,3453 T führt das Teilchen eine Präzessionsbewegungmit 14,693 MHz aus (Minimum derStrahlintensität). Die entsprechende Larmor-Kreisfrequenzw = PmB/(nJ.lo) läßt auf ein magnetisches MomentPm = 1,771 · 10-32 V s m = 2,7903PmK schließen, also aufein Proton. Wenn in der Elektronenhülle ein Gesamtmomentübrig bliebe, wäre dieses viel größer als das winzige Kernmomentund würde dessen Einfluß überdecken, die Wurfparabelnwürden sich viel stärker krümmen, die Resonanzfrequenzwäre etwa tausendmal höher. Elektronenhüllen müssenaber vorhanden sein, denn unkompensierte Kernladungenwürden im Magnetfeld Lorentz-Kräfte erfahren, dieebenfalls viel zu stark ablenkten. Man muß also mit Molekülenarbeiten, deren Hüllen diamagnetisch sind. Bei dem winzigenMoment des Kerns muß die Inhomogenität des Feldessehr groß sein, damit die Ablenkung wesentlich wird. DieBreite des Maximums ist die reziproke Lebensdauer T desEinstellzustandes. Man liest ab T = 10-5 s. Klassisch betrachtet,zerstört das Feld im Abschnitt C die Einstellungdurch eine Präzessionsbewegung, deren KreisfrequenzL1w ~ 10 5 s- 1 ~ PmBcf(np 0 ) ist. Aus L1wjw = 1,4 · 10- 3erhält man Be ~ 5 · 1 o- 4 T, was nur etwa zehnmal größerist als das erdmagnetische Feld.12.7.9. Protonen im EisDas 30MHz-Signal im 0,7 T-Feld von Abb. 12.67 muß vonProtonen mit Pm = 2,79PmK stammen, ebenso wie das14,7 MHz-Signal im 0,35 T-Feld von Abb.12.65. Die Aufspaltungvon40kHz entspricht einem 375mal kleineren StörfeldB ~ 2 · 10-3 T (parallele und antiparallele Einstellungdifferieren energetisch um L1 W = 2pmH). Ein solches Feldwird vom Protonenmoment Pm = 2 · 10-32 V s m gemäßB =Pm! r3 im Abstand r ~ 2 . 10- 10 m = 2 A erzeugt.Dies ist der tatsächliche Abstand zweier Protonen imH20-Molekül. Jede 0-0-Bindung hat in den beiden Nachbartetraederndes Eisgitters je drei Nachbarbindungen. Sä-energie 11c 2 . Innerhalb der Zeit Mo ~ h / (11c 2 ) kann manalso z. B. nicht einmal feststellen, ob wie bisher nur die TeilchenA und B da sind oder ob noch ein zusätzliches TeilchenC entstanden ist. Allerdings muß dieses virtuelle Teilchen Cspätestens nach der Zeit L1to verschwunden sein, sonst schlägtder Energiesatz Alarm. In dieser Zeit kann das Teilchen höchßendie Protonen in der Mitte dieser 0-0-Bindungen,dann gäbe es je nach der Einstellung der sechs Nachbarprotonennicht nur zwei, sondern sieben verschiedene Werte desStörfeldes (man beachte die Gleichwertigkeit aller Nachbarn).Die Protonen sitzen also wenigstens zeitweise beieinem bestimmten H20-Molekül, springen aber zwischenden beiden Gleichgewichtslagen auf der 0-0-Bindung miteiner Frequenz hin und her, die sich aus der Energieunschärfe,also der Verbreiterung der beiden Peaks zu ebenfalls etwa40kHz ablesen läßt. Das Proton bleibt also im Mittel nuretwa 10-5 s in einem der beiden Potentialtöpfe. Die Höhedes Potentialwalls dazwischen ergibt sich aus dem Boltzmann-Ausdruckfür die Sprungfrequenz v = v0 e-W/(kT) zuetwa 0,4eV.12.7.10. SpinechoDas HF-Feld soll in 10 I!S die Kernmomente um 1r /2 drehen.Dazu ist ein Drehmoment T = PmB/ Po~ Mjt ~ n/t nötig.Mit einem magnetischen Moment Pm = p 0 en/mH ergibt sichB ~ mH/(et) ~ 10-3 T. Die Abklingzeit des Echos bedeutetentweder die Zeit, in der die magnetische Feldenergie ! LPder Spule durch die Joule-Leistung R/ 2 verzehrt wird, alsoLj R ~ 10-2 s, was z. B. L ~ 1 mH, R ~ 0,1 entspräche,oder eine thermische Stoßzeit entsprechender Länge, dieallerdings einem sehr stark verdünnten Gas entspräche,das niemals ein kräftiges Signal ergeben könnte.12.7.11. Chemische VerschiebungDie chemische Verschiebung entspricht der Differenz zwischenverschiedenen Konfigurationen der Elektronenhülle,also einem kleinen Bruchteil der Abschirmwirkung des diamagnetischenGegenmoments der Elektronenhülle auf einäußeres B-Feld. Klassisch präzediert ein Hüllenelektronmit der Larmor-Frequenz WL = eB/m und erzeugt ein Gegenmomentp 0 ewu2 , das das Feld in Kernumgebung umL1B ~ Pm/r 3 ~ p 0 ewL/r ~ f1oe 2 B/(mr) schwächt. Setztman hier den Bohr-Radius ein und beachtet wiederEoflo = 1/ c2, dann entpuppt sich der Bruchteil der Feldschwächungals Quadrat der Feinstrukturkonstanterx = e 2 /(4·m>onc) = 1 ~ 7 . Die chemische Verschiebung machtwieder nur einen Bruchteil von rx2 ~ 10- 4 aus. Dies gilt fürdiamagnetische Elektronenhüllen.13.1.1. AustauschkraftGegeben seien zwei Teilchen A und B. Die Energie diesesSystems (wie jedes anderen auch) läßt sich innerhalb derZeit L1t nicht mit größerer Genauigkeit bestimmen alsL1 W ~ h/ L1t. Ein Teilchen C der Ruhmasse 11 hat die Ruh­stens die Strecke c Mo = h/ (pc) = ro fliegen. Dies ist diemaximale Reichweite einer durch das virtuelle Teilchen vermitteltenWechselwirkung. Wenn die Kernkraft eine solcheAustauschkraft ist, ergibt sich aus ihrer Reichweite von ca.10- 14 m eine Masse der virtuellen Teilchen von!1 = h/(roc) ~ 2 · 10- 28 kg ~ 200 Elektronenmassen. Mankann so, ähnlich wie Yukawa das tat, die Existenz des Pionsvoraussagen.Die Kernkraft hat einen scharf begrenzten Wirkungsbereich,die elektromagnetischen Kräfte nicht; sie werden nurimmer schwächer. Das entspricht dem Umstand, daß die ruh-

Kapitel13: Lösungen 1139masselosen Photonen über jede beliebige Entfernung ausgetauschtwerden können, allerdings unter immer schärfererBegrenzung ihrer Energie.13.1.2. OberflächenenergieDa die dichteste Kugelpackung nur wenig "Luft" läßt (ca.15 %), hat die Kugel, die aus A Kügelchen besteht, nur wenigmehr Volumen als A ·17rT3 ~ 41fR3, also den RadiusR~rA 1 1 3 , was für Kerne nach (13.10) gut zutrifft. Aufdie Oberfläche 47fR 2 dieser großen Kugel entfallen47rR 2 J ( u 2 ) ~ 4A 2 1 3 Querschnitte kleiner Kugeln; so vielevon den A Kugeln sitzen an der Oberfläche. Das gilt für großeA; für kleine A sitzen relativ mehr Kugeln außen, und esgibt keine so einfachen Formeln mehr. Im Innern wird jedeKugel von 12 anderen berührt, an der Oberfläche nur von 9(6 Kugeln sitzen rings um die betrachtete in einer Ebene, 3 in·der Ebene darunter, 3 darüber). Es gibt also 6A - 6A 213 Bindungenzwischen nächsten Nachbarn.13.1.3. Coulomb-EnergieEine Kugel vom Radius R und der Gesamtladung Ze hat,wenn sie homogen geladen ist, die LadungsdichteQ = Ze/(111R3). Wir betrachten eine Teilkugel vom Radiusr < R. Sie hat die Ladung Zer3 JR 3 . Setzen wir an sie. außeneine weitere dünne geladene Kugelschale von der Dicke dran, so wächst die Energie des Systems um die Wechselwirkungsenergieder Teilkugel mit der neuen Schale, d. h. umdW = 41fQr 2 dr Zer3 j(R347reor) = QZer 4 drj(e 0R3). FührenSie diesen Aufbau von r = 0 bis r = R durch; Sie erhaltenals Gesamtenergie W = fg dW = eZeR 2 j(5eo). Einsetzenvon Q liefert W = ~Z 2 e 2 /(47re0R). Das ist das 5. Glied in(13.13).13.1.4. Warum hat der Kern nicht mehr NeutronenIn einem Potentialtopf mit parabolischem Profil (Oszillatorpotential)sind die Energiezustände äquidistant angeordnet.Ihr Abstand sei Wo. In jedem Zustand der Protonenleiter habenzwei Protonen entgegengesetzten Spins Platz, entsprechendfür die Neutronenleiter. Ein Kern mit Z Protonenund N Neutronen (beide Zahlen seien z. B. gerade) fülltdie Protonenleiter bis zum Z/2-Zustand von unten auf, dieNeutronenleiter bis zum N /2-Zustand. Der i-te Zustandhat die Energie iW0 , also haben die Protonen insgesamtWp = 2Wo 2:~1 2 i = 2Wo(Z/2 + 1)Z/4 ~ WoZ 2 /4. Entsprechendergibt sich für die Neutronen Wn ~ WoN 2 /4. Die Gesamtenergieläßt sich darstellen W = Wp + Wn ~! Wo(N2 +Z 2 ) =! Wo(N + Z) 2 +! Wo(N- Z) 2 =! WoA 2 + i Wo(N­Z) 2 . BeiN= Z = A/2 wäre W = i WoA 2 ; jeder Überschußvon Protonen oder Neutronen führt zu einer umi Wo(N- Z) 2 höheren Energie. So kommt das sechste Gliedin (13.13) zustande. Der Vergleich zeigt, daß Wo = 8ry/ A; derPotentialtopf ist um so enger und damit ist Wo um so größer,je leichter der Kern ist.13.1.5. Im Tal der StabilitätOhne die Coulomb-Abstoßung der Protonen wäre nach Aufgabe13.1.4 ein Kern mit Z = N = A/2 energetisch am be-sten dran. In Wirklichkeit liegt das Optimum bei etwas kleinererProtonenzahl, nämlich da, wo die Energie (13.13) minimalist, also ihre Ableitung nach Z bei gegebenem A verschwindet:Wir benutzen die Abkürzungen r:x(mn- mp)c 2 = 0,78MeV (Massendifferenz zwischen Neutronund Proton 0,00084AME) und ß = 3e 2 /(201feoro) =0,639MeV (nach (13.10) ist ro = 1,2·10- 15 m). Dannwird für gu- oder ug-KerneW = mnc 2 A -r:xZ- 6eA + 6eA 2 13 + ßZ2 jA 1 13+ ry(A- 2Z) 2 /A.Die Ableitung nach Z bei konstantem A, also die Steigunglängs einer -45°-Linie im Z,N-Schema istawaz = -r:x + 2ßZ/A 1 1 3·- 4ry + 8ryZjA.Sie verschwindet beiA1 + r:x/(4ry)z = ZTai = 21 + A2/3ßj(4ry) .Allein aus der Tatsache, daß 2 §~U stabil ist, läßt sich ry sehrgenau ermitteln:also92 = 119 1 + r:xj(4ry)1 +A213ßj(4ry) 'YJ = 32,75ß + 1,1a = 21,7 MeV.Für eine Abschätzung von e genügt die Tatsache, daß dankder Definition der atomaren Masseneinheit (AME) praktischalle Nuklide die ganzzahlige Masse haben, die ihrer Nukleonenzahlentspricht, obwohl doch ein Nukleon 1,008 AMEhat; etwa 120 Nukleonen verbrauchen also eine volleAME als Bindungsenergie. Die Bindungsenergie pro Nukleonist also etwa 8 MeV. Genauer: 2 §~U hat die Masse238,05 AME, 238 Neutronenmassen wären 240,06 AME;Differenz 2,01 AME oder 1 870 MeV. Setzt man den obigenWert Z = ZTal in (13.13) ein, dann ergibt sich die Tiefe desEnergietals nach einigen UmformungenWTai = mnc2A- 6e(A- A213) + 1ßA213z.Die negativen Glieder müssen für A = 238 den Wert1 870 MeV haben. Es folgt e = 2,6 MeV.13.1.6. P-ZerfallNach Aufgabe 13.1.5 läßt sich die Gesamtenergie des Kernsdarstellen als W = f(A) - ( r:x + 4ry )Z + (ßA -I/3 +4ryA -I )Z2, wobei f(A) nicht von Z, nur von A abhängt.Das Profil des Energietals, geschnitten längs einer -45°-Liniemit A = const, verläuft also wie W = WTai + ( 4ryA -l +ßA- 1 13)(Z- ZTal) 2 , d.h. wie eine Parabel, die um so engerist, je kleiner A ist. Die Krümmung 2ßA -I 13 + 8ryA -I =1 ,28A -l/3 + 160A -I dieser Parabel wird unterhalb vonA = 1 400, also für alle Kerne, vom 160A - 1-Glied be-

1140 Lösungen zu den Aufgabenherrscht. Auf dieser Parabelliegen alle Kerne, die unter Änderungvon Z bei konstantem A, d. h. durch ß-- oder ß+ -Zerfallauseinander hervorgehen können. Wenn A ungerade ist,können durch Z-Änderung nur immer gu- oder ug-Kerne entstehen.Von diesen Kernen liegt einer am nächsten der Talsohle,also am tiefsten auf der Parabel. Alle anderen Kernekönnen unter Gewinn von Energie, die dem ß-- oder ß+­Teilchen mitgegeben wird, in diesen einzigen stabilenKern übergehen: Bei ungerader Massenzahl gibt es nur einstabiles Isobar (Isobare = Kerne gleicher Massenzahl).Wenn A aber gerade ist, liegt immer ein gg-Kem nebeneinem uu-Kem. lnfolge des Paarabsättigungsgliedes ±b I Aspaltet daher die Parabel in zwei Parabeln mit einer Höhendifferenz2b I A auf. b ist so groß (etwa 60 MeV), daß i. allg.auch der tiefstgelegene Kern der oberen Parabel höher liegtals die tiefsten Kerne der unteren, selbst wenn die Talsohlepraktisch durch diesen oberen Kern läuft. In diesem Fall sinddie beiden gg-Kerne stabil, denn keiner kann, ohne den höhergelegenenuu-Kern zu passieren, in den anderen übergehen.Die ß- und ß+-Zerfallsenergien müssen danach in derGrößenordnung 100IA MeV liegen (z. B. etwa 0,5 MeV beiden natürlich radioaktiven Kernen), oder wesentlich höher,wenn der Kern höher am Seitenhang liegt.13.1.7. a-ZerfallBei Reaktionen ohne Änderung der Gesamtmassenzahl spieltdas Glied mnc 2 A im Ausdruck für die Energie des Talbodenskeine Rolle. Es bleibt W~al = -6&4 + 6~:A 2 1 3 + 1 ßA 2 1 3 z =-14A + 14A 2 1 3 + 0,32A 2 1 3 z. Der lineare Abfall -14A wirdfür größere A durch die beiden anderen Glieder gemildert,und zwar überwiegt bei A « 50 das A 2 1 3 -Glied, beiA » 50 das Glied A 213 Z "'A 5/3. Wie jede Potenz An mitn < 1, fängt A 213 steil an und wird dann flacher, umgekehrtverhält sich A513• So kommt die leichte S-Biegung zustande,die in Abb. 13.16 übertrieben, in Abb. 13.17 ungefähr richtigdargestellt ist. Deutlicher sieht man diese Biegung in derW~a~IA-Darstellung (vgl. Aufgabe 13.1.8, Abb.13.16).Ausstoß eines Teilchens B aus dem Kern K ist energetischmöglich, wenn B und der Restkern zusammen mehrBindungsenergie (also eine stärker negative W~a1 -Summe)haben als der ursprüngliche Kern K. Das or:-Teilchen mit seinerhohen Bindungsenergie von 28,3 MeV oder 7,1 MeV /Nukleon(Massendifferenz 2mp + 2mn - mcx = 0,0302 AME)ist ein besonders aussichtsreicher Kandidat dafür. a-Zerfallist möglich, wenn bei Zunahme von A um 1 die Talsohleweniger als 7,1 MeV abfällt. Zeichnet man W~al, dann siehtman, daß dies ab A = 142 der Fall ist. Tatsächlich ist 1 66Ndder leichteste a-aktive Kern mit der kleinen Zerfallsenergie1,5 MeV und entsprechend langer Halbwertszeit von 10 15 a.In der Gegend des Urans ist die Talneigung nur noch5,6MeV/AME, also bekommt das a-Teilchen eine kinetischeEnergie von 4(7,1 - 5,6) ;:::, 6 MeV mit und tritt sehrschnell aus. In Abb. 13.17 kann es zunächst überraschen,daß die a-Stabilitätsgrenze höher liegt also die Spaltungsgrenze.Daß man die Spaltung als so viel revolutionärer empfindetals den a-Zerfall, hat historische und technische Gründe:Man hat 50 Jahre Zeit gehabt, sich an den a-Zerfall zugewöhnen; andererseits bietet der a-Zerfall keine Möglichkeitzur Kettenreaktion. Rein energetisch ist der a-Zerfallals extrem asymmetrische Spaltung einschneidender: Zwarist die Bindungsenergie pro Nukleon des a sehr hoch, aberdoch kleiner als für ein großes Fragment.13.1.8. Weizsäckers ChanceFür die günstigste Kombination von Z und N, d. h. an derSohle des Energietals, ist die Bindungsenergie pro NukleonJ.,L = 6e - 6eA- 113 - !ßZjA 113 = 14 - llA-113 -0,32ZIA 113. Für Z « 50 überwiegt das A -I/ 3 -Glied und ergibtden steilen Anstieg links in Abb. 13.12. Für Z »50 liefertA-I / 3 Z ~ A 213 den flachen Abfall rechts. Das Maximumliegt bei A = 54 und hat die Höhe 8,6 MeV. Man kommt zumgleichen Ergebnis, wenn man von W = A = 0 aus an dieSohle des Energietals eine Tangentialebene legt. Unsymmetrischbeiderseits dieses Maximums liegen Kerne mit gleicherBindungsenergie pro Nukleon. Speziell liegt ein Kernmit A = 90 ebensohoch wie einer mit A = 45. SchwerereKerne liegen tiefer als der halb so massive Kern, könnenalso im Prinzip unter Energiegewinn symmetrisch spalten.Dieser Energiegewinn läßt sich direkt aus der Form des Energietalsablesen oder berechnen. Ferner liest man sofort ab,daß die hypothetischen symmetrischen Spaltfragmente einviel zu kleines Z haben, d. h. weit oben am Seitenhang desEnergietals hängen. Beim U, wo die Spaltungstendenz und-energie maximal sein müssen, kämen zwei 1 !~ Pd heraus,die eigentlich nur 60 statt 73 Neutronen haben dürftenoder 50 statt 46 Protonen haben müßten. Bei dieser Abweichungvom Talboden t1Z ;:::, 4 ergibt sich nach Aufgabe13.1.6 eine Höhe über dem Boden von 21 MeV. Es lohntalso, unter Opferung der 9 MeV Bindungsenergie ein Neutronauszustoßen, um sich dem Talboden zu nähern. Gleichzeitigkann mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit auch derweniger radikale Weg eines ß- -Zerfalls begangen werden.Zwischen ~Z-Werten von 3 und 2 liegt die 9 MeV-Grenze,unterhalb der kein Neutronenausstoß mehr möglich ist. Soerhält man zwischen 1 und 1,5 Spaltungsneutronen pro Fragment,d. h. die berühmten 2-3 Neutronen pro Spaltung, die,wenn sie innerhalb der kritischen Masse wieder spaltend eingefangenwerden, das Anschwellen der Kettenreaktion garantieren.13.1.9. SpaltungsmodellWir betrachten zunächst nur den Endzustand der Spaltung(Abb.13.18): Eine große Kugel ist in zwei kleine vom halbenVolumen zerfallen.Tabelle L.4Coulomb-En rgieie 2 Z 2 /(411"eoroA 1 .)2~e 2 Z 2 /( l6m:~ n 1 32- 1 13)Diff. 0.37 ßZ 2 jA 1 3 -----Oberflächen-Energie6r.A2/32 . 6r.A2/32-2 3l.55~.:A 213

Kapitel 13: Lösungen 1141Für große A und Z überwiegt das erste Glied. Dann istSpaltung energetisch vorteilhaft, denn der Gewinn an Coulomb-Energieüberwiegt den Aufwand an Oberflächen-Energie.Die Differenz gibt die Gesamtenergie der Spaltung. Sieist 0 bei A = 90, Z = 39. Zirkonium ist eigentlich schon instabilgegen symmetrische Spaltung. Bei A = 235 gewinntman 323 MeV Coulomb-Energie und braucht 138 MeV Oberflächenenergie.Die Spaltungsenergie errechnet sich so zu185MeV.Schwieriger ist die Frage, was zwischen den beiden Endzuständenpassiert. Jede Abweichung von der Kugelgestaltvergrößert die Oberflächen-Energie, verringert aber die Coulomb-Energie(die Protonen rücken weiter auseinander). Esgibt also eine Massenzahl, bei der der zweite Einfluß sofortüberwiegt, so daß die Kugelgestalt ein labiler Gleichgewichtszustandwird. Sie liegt offenbar noch etwas jenseitsder Transurane (A ~ 400). Von A = 90 bis dorthin mußeine Potentialschwelle überwunden werden, um zum energetischgünstigeren gespaltenen Zustand zu gelangen. DieseSchwelle entspricht etwa dem Zustand, wo die beiden Fragmentenoch durch einen Hals verbunden sind. Zu deroben abgeschätzten Energiedifferenz kommt dann dieWechselwirkungsenergie der beiden Fragmente e 2 Z 2 I(16rreo2roA 1132-113 ) = 0,26ßZ21A 113 = 0,17 Z 21A 113 hinzu.Die Schwellenenergie wird also etwa 3,75A213 -0,1Z21A113. Für A~lOO liegt das um 50MeV, fürA = 235 ist es nur noch etwa 8 MeV, d. h. schon die Anlagerungsenergieeines Neutrons kann Kernschwingungen auslösen,die die Schwelle überwinden.13.1.10. ModerationDa Neutronen den Coulomb-Kräften nicht unterliegen,werden sie nur von Kernen abgelenkt und gebremst, nichtwie die geladenen Teilchen auch von Elektronen. Bei einemStoß mit einem Kern der Masse M kann das Neutron mitder Masse m nur maximal (bei zentralem Stoß) einen Bruchteil4mMI(m + M) 2 seiner Energie abgeben (vergleicheAbschn. 1.5.9g). Bei Wasserstoff ist dieser Bruchteil 1, beiBlei nur etwa 0,02. Die zur Bremsung notwendige Anzahlvon Stößen ist also in Blei 50mal größer. Auch der größereStoßquerschnitt des Bleikerns kann das nicht ausgleichen:Selbst bei gleicher Schichtdicke schirmt Wasser Neutronenbesser ab als Blei, erst recht bei gleicher Massendicke(g/cm 2 ).13.1.11. Schweres WasserSeiner Masse nach ist normaler Wasserstoff zur Bremsungvon Neutronen besser geeignet als schwerer, wenn auchnicht erheblich (beim zentralen Stoß mit einem Deuterongibt das Neutron~ seiner Energie ab, mit einem Proton dieganze Energie). Aber das Proton hat einen weit größeren Einfangquerschnittfür Neutronen als das Deuteron, würde alsosehr bald alle Neutronen unter Deuteriumbildung einfangen,statt sie zu bremsen. Daß 16 0 und 2 H einen so kleinen Einfangquerschnitthaben, versteht man am besten daraus, daßsie die für leichte Kerne energetisch optimale ZusammensetzungZ = N haben. Sie haben also keinen Anlaß, noch einNeutron einzufangen. Dies würde zu Isotopen führen, dieihre ungünstige Zusammensetzung durch Instabilität eH)bzw. große Seltenheit ( 17 0) dokumentieren. Diese einfacheBetrachtung trifft zwar hinsichtlich der Neutronen-Einfangquerschnittenicht immer das Richtige, aber oft. Da schweresWasser so teuer ist (Isotopentrennung), moderiert man heuteimmer häufiger mit normalem Wasser. Man kann dann nichtmehr mit Natururan als Brennstoff arbeiten, sondern muß das235U anreichern.13.1.12. Günstigste FusionAlle Kerne bis zur Spaltungsgrenze A ~ 90 haben mehr Bindungsenergie/Nukleonals die halb so großen Kerne. Da aberdie Kurve der Bindungsenergie/Nukleon nach oben konvexist, wächst der entsprechende Unterschied, die Fusionsenergie/Nukleon,wenn man A verringert. Die Rechnung führtzum gleichen Ergebnis: Für die interessierenden leichtenKerne kann man Z = Al2 setzen, also f.1 = 14- l4A - 1 1 3 -0,16A 2 13 . Ein Kern mit dem halben A hat 14 -14A-1132113 - 0 16A2132-213 die Differenz 3 63A- 113 -0,059A 2 1 3 beschr~ibt die Fusio~senergie/Nukleo~ (und würdeauch die Spaltungsenergie/Nukleon beschreiben, nämlichdort, wo das negative Glied überwiegt, wenn die NäherungZ = Al2 dort noch gerechtfertigt wäre). Die Differenz ist beikleinem A am größten; z. B. für 2 H + 2 H ---+ 4 He erhält man2,2MeV/Nukleon. Wenn das Energietal (das natürlich besonderskleine Kerne schlecht beschreibt) diesen glatten Bodenhätte, müßte man 2 1 H ---+ 2 H, 2 2 H ---+ 4 He als beste Fusionskandidatenbetrachten. Das Tal ist aber durch das PaarabsättigungsgliedbiA 2 zugunsten der gg-Kerne aufgerauht, undzwar um so stärker, je kleiner A ist. Dadurch verliert 2 H,und 4 He gewinnt. Das Tröpfchenmodell sagt sogar einenoch höhere Fusionsenergie als die gemessenen 6,0MeV/Nukleon voraus. Für 6Li + 2H ---+ 2 4 He mißt man nur2,80 MeV/Nukleon. ~Li ist ein uu-Kern und daher energieärmerund seltener als das ug-Isotop ~Li. Leider gerät bei derFusionzweier Deuteronen der entstehende 4 He-Kem in einenzu hohen Anregungszustand und stößt entweder ein Protonoder ein Neutron aus. Man nutzt dabei also nur die viel kleinereBindungsenergie der gu- bzw. ug-Kerne 3 He bzw. 3 Haus und erhält noch nicht einmal die vom Tröpfchenmodellvorausgesagten 2,2 MeV /Nukleon, sondern nur 0,8 MeV /Nukleon.Die Lithiumdeuterid-Reaktion wird nur übertroffenvon der Reaktion 3 He + 2 H---+ 4 He + 1 H, die 3,7 MeV/Nukleonliefert. Eben wegen seiner Energiearmut ist aber 3 Heäußerst selten.13.1.13. Magnetische FlascheIn einem Plasma mit der Teilchenzahldichte n ist der mittlereAbstand zwischen Nachbarteilchen a = n- 1 1 3 . Wenn es mitder Geschwindigkeit v vorbeifliegt, übt ein Teilchen auf seinenNachbarn nach Biot-Savart maximal ein Magnetfeld derGrößenordnung H = evi(41Ta 2 ) aus (vgl. Abschll. 7.2.5; diebewegte Ladung kann als Stromelement I dl = ev = dl e I dtaufgefaßt werden). Beim Gasdruck p entfällt auf ein Teilchen,das die Fläche a 2 beherrscht, der Kraftanteil pa 2 •Die Lorentz-Kraft im Feld B ist evB. Gleichsetzen dieser

1142 , Lösungen zu den AufgabenKräfte liefert p = evB I a2, und Benutzung von v aus der erstenBeziehung ergibt p rv 4wHB. Bis auf einen Zahlenfaktorist der magnetische Druck gleich der magnetischen Energiedichte(Jim3 = Nlm 2 ). Mit H = 10 7 Alm, d.h. B ~10 Vslm 2 erhält man p ~ 109 Nlm 2 = 10 4 bar. Man könnteso ein vollionisiertes Deuteriumplasma von 108 K magnetischeinsperren, ohne daß es zu katastrophaler Wandberührungkommt, falls seine Dichte kleiner als 10- 6 glcm 3 ist(technisch experimentiert man z. Z. mit sehr viel geringerenDichten n ~ 10 16 cm- 3 , weil jede magnetische Flasche undichtist). Bei dieser Dichte, d. h. n ~ 10 18 Teilchenlcm3,wäre die freie Weglänge für Stöße mit dem geometrischenKernquerschnitt von 10- 25 cm 2 etwa l = ll(na) ~ 10 7 cm.Bei 108 K fliegen die Deuteronen mit etwa 108 crnls, treffenalso nur zehnmal in der Sekunde einen anderen Kern. Beidieser Geschwindigkeit ist die de Broglie-Wellenlänge desDeuterons ), = hl(mv) ~ 2 · 10- 11 cm. Das Deuteron pralltalso nicht, wie es klassisch müßte, dort vom Potentialwalldes anderen Deuterons ab, wo dessen Höhe kT ~ 10 ke Vbeträgt, also bei etwa 10-11 cm, sondern dringt mit etwa10% Wahrscheinlichkeit ein. Es erfolgen also etwa 10 18Fusionsakte/(cm 3 s), die etwa 3 · 10 18 MeV l(cm3 s) ~3 · 10 5 W I cm 3 erzeugen. Bei den tatsächlich benutzten Dichtenvon n ~ 10 16 cm-3 ergeben sich nur 30W/cm3 (auch dieStoßzahl wird hundertmal kleiner!), und ein 1 MW-Reaktormüßte so groß sein wie ein Fäßchen. Um das nötige Magnetfeldin diesem Volumen aufrechtzuerhalten, braucht man einigeMillionen Ampere.13.1.14. Nukleonen-MikroskopWill man das Innere des Nukleons, also Einzelheiten von10-15 mundweniger sehen, dann muß die deBroglie-Wellenlängedes abbildenden Teilchens kleiner sein als dieseLänge, also sein Impuls p = hl}. > 6 · 10- 19 kg rnls. FürElektronen mit diesem Impuls gilt der relativistische Energiesatz:W = pc > 2 · 10-10 J ~ l,2GeV. Für Nukleonenliegt diese Energie gerade am Übergang zum relativistischenBereich, m. a. W.: Um in ein Teilchen einzudringen, muß manmehr Energie haben als seine eigene Ruhenergie. Bei wesentlichhöherer Energie hängen p und A und damit das Auflösungsvermögennur noch von der Energie, nicht mehr vonder Teilchenart ab. Elektronen, die der starken Wechselwirkungnicht unterliegen, haben ein einfacher durchschaubaresVerhalten in den Feldern des Kern- und Nukleoneninnem.13.1.15. Die größte KraftEin unendlich hartes, aber nicht punktförrniges Teilchen verstießegegen die Relativitätstheorie: Unendliche Härte, d. h.unendlich großer Elastizitätsmodul bei endlicher Dichte würdeunendlich große Schallgeschwindigkeit bedeuten. Dergrößtmögliche Elastizitätsmodul ergibt sich daraus, daßdie Schallgeschwindigkeit c ist: c = VEJQ, also E = (}c 2 .Dies ergibt, auf den Querschnitt des Nukleons wr6 ~5 · w-30 m 2 bezogen, eine Kraft F ::::::! wr6(}c 2 ~ mc 2 I r0 ~105 N, d. h. man brauchte 10 t, um so ein winziges Dingzu zerquetschen. Der E-Modul wird 10 34 Nlm 2 , denn(} ~ 10 17 kglm 3 . Ein entsprechender Druck würde im Innerneines Sterns von etwas mehr als Sonnenmasse herrschen(M ~ 10 31 kg), wenn sein Radius nur einige km betrüge:p ~ GM 2 I R 4 ~ (}c 2 . Wenn der Stern alle Möglichkeitender Kernenergiegewinnung ausgeschöpft hat, also keinenthermischen oder Strahlungs-Gegendruck mehr ausübenkann, läßt ihn die Gravitation tatsächlich so zusammenschrumpfen.Er hat dann die Dichte des Nukleons (Riesenkernaus dichtgepackten Nukleonen). Schreibt manp ~ GM I R3 · MIR ~ G(}M IR, dann entpuppt sich die Bedingungfür den Schweredruck, dem die Nukleonen geradenoch standhalten, nämlich p ~ GQM IR ~ (}c 2 , als äquivalentzu der Bedingung für die Bildung eines Schwarzen Loches(vgl. Abschn. 15.4.4), von dem nicht einmal das Lichtwegkann: GM IR = c 2 . Im Schwarzen Loch werden also sogardie Nukleonen zu Brei zerquetscht.13.1.16. NochmalSherlock HolmesHolmes setzt offenbar einen Reaktor voraus, der annähernddie gleiche Energie liefert, wie sie der Erde von der Sonnezugestrahlt wird. Da die Sonne f breit erscheint (der Daumendeckt sie viermal), ist ihr Radius 2~0 des Erdbahnradius.1 km 2 Erdoberfläche bezieht also seine Energie aus einerPyramide von etwa 4 m Basis-Seitenlänge und annähernddem 1 OOfachen Erdradius als Höhe. Der Reaktor, der denkm 2 versorgen sollte, müßte also, selbst wenn er den ganzenkm2 bedeckt, 10012402 Erdradien oder 10km hoch sein. EinzigerAusweg für den Fusionsreaktor ist erhebliche Steigerungder Reaktionstemperatur über die im Sonneninnern.13.1.17. NeutronendiffusionIm Reaktor-Core sind Quell- und Senkendichte der Neutronenproportional zur Anzahldichte n der Neutronen. Je mehrNeutronen vorhanden sind, desto mehr werden eingefangen:Senkendichte -kn; desto häufiger sind aber auch Spaltungsakte,die neue Neutronen erzeugen: Quelldichte k'n. Die Gesamtquelldichteist k*n = (k'- k)n. Bei k' > k wäre der Reaktorbei unendlicher Ausdehnung überkritisch (explosiv),bei k! = k kritisch, bei k' < k unterkritisch. In Wirklichkeitist er räumlich begrenzt, die Neutronen diffundieren nachdraußen mit einer Teilchenstromdichte j = -D gradn, waseine Teilchenverlustdichte n = div j = -D !J.n bedingt, dieim stationären Zustand durch die Quelldichte ausgeglichenwird: D!J.n = -k*n (!J. ist hier der Laplace-Operator). Genaudieselbe Differentialgleichung ergibt sich aus der Wellengleichung,wenn man nur die Ortsabhängigkeit der Amplitudea betrachtet und die Zeitabhängigkeit wegsepariert:!J.u = -c- 2 ü, Ansatz u(r, t) = a(r)b(t), also b = -Ab, d. h.b = bo e 1 w 1 und !J.a = -w c 2a. Lösung beider Gleichungenbei gegebenen Randbedingungen ist ein Eigenwertproblem.Wenn z. B. am Rand die Amplitude a verschwindensoll, liefert die Wellengleichung die Eigenschwingungen eines"fest eingespannten" Hohlraums. Für ein Quadervolumenläßt sich die Lösung für Wellengleichung und Neutronendiffusionaus Sinusfunktionen zusammensetzen, für einen langenZylinder aus Bessel-Funktionen. Für die Kugel findetman eine Lösung durch Überlagerung eines Coulomb-Potentialsn rv r- 1 , für das !J.n = 0 wäre, mit einem Abschirmglied

..Kapitel13: Lösungen 1 1 1143IIIIe-o:r, nämlich n = nor-1 e-o:r, was die Diffusionsgleichunglöst, wenn IX = yk*fi5 ist. Diese Lösung ist offenbar nurfür k* > 0, d. h. im ideal überkritischen Fall sinnvoll. Im entgegengesetztenFall geht sie rein mathematisch über in eine"Kugelwelle" n = nor- 1 e-io:'r. Gerrau das gleiche abgeschirmtePotential ergibt sich für eine Ladung, um die sichGegenladungen entsprechend einer Boltzmann-Energieverteilungansammeln und ihr Feld abschirmen. Debye undHückel haben gerrau dieselbe Differentialgleichung lösenmüssen. Wir betrachten die überkritische sphärische Lösunggenauer. Wenn der Core-Radius R « 1IIX ist, folgt eineCoulomb-Verteilung n ~ 1 Ir mit im Zentrum theoretischunendlicher Neutronen dichte. Bei R » 1 I IX herrscht nurinnerhalb von r "'" 1 I IX ein merkliches n, außerhalb ist esfast ganz abgeschirmt, wodurch allerdings auch die Verlustenach außen verschwinden, die bei kleinerem Core ungefährunabhängig vom Radius sind, ebenso wie der Fluß einesCoulomb-Feldes.13.1.18. Katalysierte FusionEin Deuteron mit einem negativen gebundenen Teilchen imAbstand a verhält sich in Abständen » a neutral. Für einElektron ist a = 0,5 A, für das 200mal schwerere Myona "'" 2,5 · 10-13 m (Bohr-Radius r ~ m- 1 ). Die Tunnelwahrscheinlichkeitdurch einen Wall der Höhe W"'" e 2 l(47reoro)"'" I MeV (ro "'" 1,3 · 10- 15 m) und der Dicke a ist gegebendurch e-k'a mit k' = v2mWih"'" 1014 m- 1 , wird also aba"'" 10- 13 m erträglich. "Kalte" p,ud-Moleküle werdenalso mit annehmbarer Wahrscheinlichkeit zu 3 He fusionieren.Die aus dem Massendefekt folgende Fusionsenergievon 5,4MeV schleudert i. allg. das Myon ab, das für weitereReaktionen verfügbar ist, falls es noch lebt. Die Bindungsenergiedes P.U folgt zu 2,9keV (W ~ m), mit Berücksichtigungder Kernmitbewegung (Aufgabe 12.3.5, 12.3.6) senktsie sich auf 2, 7 ke V für p,u, 2,8 ke V für d,u. Jedenfalls erhältman aus kT"'" W eine Dissoziationstemperatur um 107 K(knapp 10 5 K für gewöhnliches H). Im Sterninnern könnteMyowasserstoff noch existieren, wenn auch nicht bei denangestrebten noch höheren technischen Fusionstemperaturen.Ein 100eV-Deuteron fliegt mit 105 m/s, braucht alsofür I mm 10- 8 s. Mit dem Einfangquerschnitt 10- 25 m2 entsprechenddem Myonbahnquerschnitt folgt im flüssigenWasserstoff (Teilchenzahldichte n"'" 10 29 m- 3 ) eine freieWeglänge l = I I ( (Jn) "'" I o-4 m und eine Bildungszeit desp,ud-Moleküls von 10- 7 s. Ein Myon könnte etwa 10 Fusionenkatalysieren, nach Alvarez sogar 100, liefert also etwa1 Ge V. Seine Erzeugung aus einem Pion kostet im Prinzipnur dessen Bildungsenergie von etwa 200 MeV, de factoheute aber noch I010mal so viel. Das Myon käme inw- 6 s 10m weit. Also wird es gestoppt. Aus Abb. 13.35schätzt man 1 cm Reichweite.13.2.1. Wieso wird's mehr?Wie Abb. 13.22 und 13.28 zeigen, sind unter den Folgeproduktendes Ra (Halbwertszeit r = I 580 a) am langlebigstenPo, dessen Zerfall zu Pb führt ( r = 136 d) und Rn, das direktaus Ra entsteht (r = 3,8 d). Die sechs Zwischenprodukte zer-fallen viel schneller ( r höchstens einige Minuten). Schonnach etwa einer Stunde haben sich also diese sechs unddas Po mit der jeweils vorhandenen Rn-Menge ins Gleichgewichtgesetzt, d. h. jedes von ihnen führt ebenso viele Zerfälleisaus wie das Rn, wodurch sich dessen Aktivität verachtfachtDas Rn selbst entsteht aus der für Laborzwecke unerschöpflichenRa-Menge gemäß fzRn = ARanRa- },RnnRn,also nRn = nRa},Ral ARn(1 - e-),Rn 1 ) und erreicht nach etwaeiner Woche den Gleichgewichtswert nRn = nRaARal },Rn =nRa7:Rni7:Ra "'" 6. w- 6 nRa. d. h. etwa 6. w- 7 g. Die Po­Atome sind 13613,8mal häufiger (ca. 2 · w-5 g), die Zwischenproduktemindestens hundertmal seltener. Alle neunGlieder der Zerfallsreihe haben dann die gleiche Aktivität,die demnach auf 0,9 Ci angestiegen ist. 0,5 Ci davon entsprechenIX-Strahlung (der Massenunterschied zwischen 226 Raund 206 Pb kann nur durch IX-Zerfall abgebaut werden).13.2.2. Pierres NachtlichtDas Szintillationsfeld von 0,1 mm 2 in 30cm Entfernung vonder Probe deckt einen Bruchteil von 0,11(41!'300 2 )"'" w-7des vollen Raumwinkels. 0,03 Szintillationen/s entsprechenalso einer Aktivität der w- 6 g-Probe von 3 · 10 5 Zerfällen/soder für 0,1 g von 3 · 10 10 Zerfällen/s. Wenn die Curies denAktivitätsanstieg ihrer Probe von Anfang an, d. h. schon wenigeStunden nach seiner Isolierung verfolgt haben, konntensie die Schlüsse von Aufgabe 13.2.1 ziehen und somit 3 · 10 9Zerfälleis aufs Konto der 0,1 g Ra allein buchen, obwohl siedie einzelnen Glieder der Zerfallsreihe noch nicht kannten(Abb. 13.22). 0,1 g Ra enthalten 0,11(200 · 1,6 · 10- 24 ) "'"3 · 10 20 Atome (wir nehmen an, man habe das Atomgewichtaus der chemischen Analogie mit dem Ba und dem periodischenSystem zu etwa 200 geschätzt; auch die Wasserstoffmassewar damals noch nicht so gerrau bekannt). Die Halbwertszeitläßt sich daraus zu 3 · 10 20 I (3 · 10 9 ) "'" 10 11 s "'"3 000 a schätzen. Die Kalorimetermessung ordnet 3 · 109Zerfällen/s eine Energieproduktion von 4 J lh1,2. 10-3 w ZU, also einem Zerfallsakt 4. 10-13 J, wasnach heutiger Terminologie etwa 3 MeV entspricht.13.2.3. Maries WaschkücheSeit der Bildung des Uranerzes hat das radioaktive Gleichgewichtbestimmt für alle Folgeprodukte des U Zeit gehabt,sich einzustellen, selbst für Ra. Also verhalten sichdie Atomanzahlen von Ra und U wie ihre Halbwertzeiten:15801(4,5 · 10 9 ) "'"3 · w- 7 . Selbst wenn bei der Reinigunggar nichts verloren ginge, müßte man also für 0, 1 g Ra schon300 kg U aufbereiten. Die Erzmenge ist natürlich nochviel größer. Aus der gleichenU-Menge gewinnt man höchstens0,1 · 1281 (1 580 · 365) "'"2 · 10- 5 g Po. Man siehtalso, daß die kleine Marie Curie auch physisch mindestensso geschuftet hat wie die Waschfrauen ihrer Zeit. Die erstenPhasen der Aufbereitung erfolgten übrigens in ihrem Waschkessel.13.2.4. StabilitätIn einer Zerfallsreihe A ---> B ---> .•• ---> F ---> G ---> H ---> ••.füge man z. B. zu den im Gleichgewicht befindlichen Nukli-

1144 Lösungen zu den Aufgabenden zur Zeit t = 0 eine gewisse Menge IJ.g des Nuklids Ghinzu. Die Gesamtmenge g dieses Nuklids ändert sich gemäßg = J..pf - J..ag. Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichungbei langsam veränderlichem f ist g =(go- g 00 ) e-1' 01 + g 00 (1 - e-AF 1 ), wobei go die Mengevon G bei t = 0 ist, g 00 =fJ..pl).a dieG-Menge im Gleichgewicht,also go - g 00 gerade die Zusatzmenge IJ.g. Sie klingtoffensichtlich einfach mit der Zeitkonstante 1 I J..0 exponentiellab, ohne daß sich die früheren Glieder der Zerfallsreihedarum kümmern. Wenn unter diesen früheren Gliedern einhinreichend langlebiges ist, verschwindet also die Störungnach einigen Zeitkonstanten l iJ,o: Das Gleichgewicht iststabil.13.2.5. a-, p-, y-AnalyseZur cx- und ß-Messung reichen ziemlich einfache Mittel, z. B.ein Kondensator mit 10cm Plattenbreite, an dem 10 4 V/ernliegen (im Vakuum, um Überschläge zu vermeiden), eineSpule z. B. aus 1 mm-Draht, in 100 Lagen gewickelt, mit3 A belastbar, d. h. 3 · 10 5 Alm oder 0,4 V s/m 2 , 20 cm langund ohne Kern, so daß die Teilchen durchs Spuleninnere fliegenkönnen. Für ß-Teilchen braucht man nur etwa 30 mA.e Im folgt durch Vergleich der beiden Ablenkungen:elm = (/JmgnEai(({JeJB 2 b 2 ). Schätzung der Aktivität (Zerfallsakte/s)mit dem Szintillationsmikroskop und Auffangender Teilchen im Faraday-Becher liefere z. B. 10- 8 C auf3 · 10 10 Zerfälle (Becher mit 100 pF Kapazität, d. h. etwa10 cm Durchmesser, auf 100 V aufgeladen; bei einem1 mCi-Präparat würde das etwa 15 Min. dauern, wenn manalle Teilchen einfängt). Man trennt so e und m, nämlichea ~ 3 · 10-19 C, ma ~ 5 · w-27 kg. Dann kann man ausder magnetischen Ablenkung (/Jmgn = eBbl(mv) direkt denImpuls, aus der elektrischen (/Je! = eEal(mv 2 ) direkt dieEnergie ablesen. Bei y-Strahlung beobachtet man keine Ablenkung,d. h. innerhalb der Meßfehlergrenzen rp < 3 · 1 o-3 .Trügen die y-"Teilchen" eine Elementarladung, dann müßtedemnach ihre Energie größer als 30 MeV, ihr Impuls größerals 5 · 10- 18 kgrn/s sein (Tabelle L. 5).13.2.6. ZufallsereignisseWir betrachten zunächst einen sehr kleinen Zeitabschnitt ' ,so klein, daß es praktisch ausgeschlossen ist, daß zwei odermehr Ereignisse hineinfaUen. Die Wahrscheinlichkeit, daßein Ereignis darin stattfindet, ist n, wenn man t" in Jahrenausdrückt, die Wahrscheinlichkeit, daß keines stattfindet,1 - n. Den betrachteten Zeitraum von ' Jahren zerlegenwir gedanklich in lauter kleine Abschnitte der gleichen Größe'·also in k = tlt" solche Abschnitte (k sehr groß). Daß keinEreignis in den t Jahren stattfindet, heißt, daß in keines der kIntervalle eines fällt. Die Wahrscheinlichkeit hierfür istPo = (1 - v1( Jetzt kommt der Haupttrick: Die Analogiemit der Definition von e oder der e-Funktion, d. h. mite = limk-+oo(l - l l k)k bzw. ex = limk-+oo(l ....:. xl k/ wird. vollkommen, wenn man x = kn = vt setzt (die Konvergenzdieser Folge für ex ist so gut, daß die k Glieder den Limes nurunmerklich verfehlen). Also Po = e- w. Daß ein Ereignis inden t Jahren stattfindet, heißt, daß genau ein Intervall ' unterden k ein Ereignis enthält, die anderen aber keines. Daß einbestimmtes Intervall ein Ereignis hat, die anderen keines,kommt mit der Wahrscheinlichkeit n( l - n )k- l vor; esgibt aber k = tlt" Kandidaten für das "glückliche" Intervall,also P 1 = vt( 1 - n l- 1 • Das Klammerglied unterscheidetsich nur um den Faktorl- n von (1- vrl = e-vt; dan « 1, kann man diesen Unterschied vernachlässigen:P 1 = vte-w. Die Wahrscheinlichkeit Pn für genau n Ereignissein t ergibt sich analog als Wahrscheinlichkeit, daß genaun Intervalle je ein Ereignis enthalten, die anderen keines,also (nt(l - n/-n ~ (n t e- w, multipliziert mit der Anzahlder Möglichkeiten, diesen Intervalle unter denk vorhandenenauszusuchen, also mit (~) . Da n « k, kann man denBinomialkoeffizienten (~) = k~k-21) : .. annähern als kn l n!, alsoP = (vtt e-vtn n! 'worin natürlich die bereits abgeleiteten Ausdrücke eingeschlossensind. Daß I:g

Kapitel 13: Lösungen 114513.2.7. Strenge SittenDie Wahrscheinlichkeit eines Unfalls in der kurzen Zeit r (inJahren) sein. Nacht Jahren ist der Bruchteil der Fahrer, diegenau n Unfälle gehabt haben, Pn = (vtte-vtln!. DerBruchteil der Fahrer, die bis dahin N oder weniger Unfällehatten, also noch fahren dürfen, istN N ( t)n1 •f(t) = LPn = e-vt '2:-v-o o n.Das ist ein analytisch äußerst unhandlicher Ausdruck. DieAbleitung nach t ist dagegen sehr einfach:!'(t) = -ve-vt (t (vtr-t n (vt)~-1)o n. I n.= -ve-vt(f.(vt(-~(vtr) =-ve_w(w),N.0 n. 0 n. N.Die zweite Ableitung"() 2 -vt (vt)N- N(vt)N-1ft=ve 1N.zeigt, daß bei t = N lv ein Wendepunkt liegt, und zwar dereinzige. Die Kurve fällt dort mit der maximalen Neigunge-NNN IN! ab. Nach der Stirling-Formel N! ~NN yfiiN I eN ergibt sichf~p = v I yfiiN. Die Wendepunktstangenteschneidet also die Asymptoten f = 1 und f = 0 inzwei Punkten, deren Abstand geteilt durch die Abszisse desWendepunktes, ~ist. Je größer N ist, desto besser läßtsich die ganze Kurve durch ein Plateau mit f = 1 bis fastzum Wendepunkt, einen Abfall der angegebenen Breiteund Steilheit und einen Schwanz mit f ~ 0 beschreiben.Dies Verhalten ist völlig anders als das der einfachen e-vt_Funktion. Die Nutzanwendung auf die Teilchenbremsungist klar: Teilchen, die ihre ganze Energie in einem Unfallverlieren, folgen dem . üblichen e-IXX-Absorptionsgesetz;sind dazu viele Unfälle nötig, so haben alle Teilchen etwadie gleiche Reichweite.13.2.8. PositronenzerfallNatürlicher ß-Zerfall ist immer eine Folge eines Neutronenüberschusses,der beim IX-Zerfall entsteht. Ein Kern ist auchrelativ um so neutronenreicher, je schwerer er ist: Das Stabilitätstalverläuft flacher als 45° im Z, N-Diagramm. Demnachführt ein IX-Zerfall ( 45° -Schritt) zu einem Tochterkem,dessen Neutronenüberschuß meist für seine Stabilität zu großist. Der Ausgleich erfolgt durch ß- -Zerfall.13.2.9. 14 C-UhrZwischen Erzeugung und Zerfall von 14 C herrscht Gleichgewicht.Da Lebewesen bis auf ganz Wenige Ausnahmen Umschlagzeitenihres C haben, die viel kleiner als 5 600 Jahresind, ist ihr Isotopenverhältnis 14 CJ 12 C zu ihren Lebzeitengleich dem der Atmosphäre (Störungen dieser Gleichgewichtes. unten). Daraus ergibt sich ohne jede Rechnungdie Aktivität "lebenden"-Koh1enstoffs als 2,4/9 Zerfälleprosund g = 16 Zerfälle/(min g). Das ist eine winzige Aktivität.Selbst wenn man sehr viel mehr als 1 g C verfügbarhat, ergäbe die kosmische, atmosphärische und Bodenaktivität(~ 10 Zählakte/min) einen erheblichen Fehler. Sie mußdurch Abschirmung und Koinzidenzschaltung von äußerenund inneren Zählrohren weitgehend ausgeschaltet werden.Für das Alter t von Sneferus Holz folgt rt/5 600 =8,5116,1, also t = 5160 Jahre mit 200 Jahren Fehler. Sneferuoder Snofru, III. Dynastie, Eroberer der Sinai-Halbinsel,wird von den Historikern um -3000 bis -2750 angesetzt.­Die Industrie verbrennt fossile Kohle und Kohlenwasserstoffe,deren 14 C-Gehalt auf 0 abgefallen ist, und entläßt erheblicheMengen nichtmarkiertes C02 in die Luft. Modeme Proben,besonders in Industrie- oder Straßennähe, sehen daherzu alt aus, denn ihr 14 C-Gehalt ist von vomherein herabgesetzt.In umgekehrter Richtung wirken Kemwaffenexperimente.13.2.10. 4 °K-UhrWenn das Mineral bei der Bildung kein Argon enthielt(was speziell untersucht werden muß, denn einige Mineralienbinden Edelgase, teils als "dathrates" in Löchernim Gitter, teils als eine richtige Verbindung), ist der 40 Ar­Bruchteil von 8,8 · 10- 7 aus dem 4 °K entstanden. Gleichzeitigmüssen in dem im Verhältnis 0,585/4,75 verzweigtenZerfall auch 7,15 · 10- 6 Anteile 4 °Ca entstanden sein (dienicht mehr nachweisbar sind), d. h. im ganzen sind 8,03Anteile 4 °K zerfallen, anfangs waren es 13,04 Anteile.Das Alter t folgt aus 5,01113,04 = e-(),1-Jcz)t zu t =1,79 · 109 Jahre.13.2.11. Ist die Erde heiß oder kalt entstanden?3 · 10-4 % Uran oder 10-6 glcm 3 im Gestein stellen eineAktivität von 14 . 10-6 . 1580 I (4,5 . 109) ~ 0,5 .10- 11 Cilcm 3 dar (14 Glieder der Zerfallsreihe im Gleichgewichtmit U, Umrechnung von 4,5 · 109 Jahren des U auf1580 Jahre des Ra, von dem das Ci abgeleitet ist). Das bedeuteteine Wärmequelldichte von 0,5 · 10- 11 · 3,7 · 10 10 • 5 ·10- 13 ~ 10- 13 Jlcm 3 . Schon 100km Gesteinsdicke deckenalso die Leitungsverluste von 5 · 1 o-6 W I ( cm2 s). Entwedergibt es in größerer Tiefe viel weniger Uran, oder die Erdeheizt sich mit einer Zeitkonstante von etwa 106 Jahrenauf, was geologisch unwahrscheinlich ist. GesamtmengeUran ungefähr 2 · 10 17 kg, Gesamtmenge 235 U ~ 1,4 ·1015 kg, Gesamtenergie bei Spaltung 1029 J. Bei 1 kW proKopf und 10 10 Menschen, also 3 · 1020 J/Jahr, würde das3 · 10 8 Jahre reichen.13.2.12. Kann man Radioaktivität beeinflussen?Die Ionisierungsenergie der meisten Atome hat eine bemerkenswertkonstante Höhe um Wi ~ 5 e V. Das Potential, dasder Kern auf das äußerste Elektron durch die Abschirmungder inneren Elektronen hindurch ausübt, hat also ziemlichunabhängig von der Kernladungszahl Z den Wert rpi ~ 5 V.Ein zusätzliches Elektron muß mit seinem Feld ebenfalls

1146 Lösungen zu den Aufgabendurch die inneren Elektronen durchgreifen bzw. die innerenSchalen polarisieren und wird daher am Ort des Kerns nur einZusatzpotential rpjZ ausüben (der Kern hat ja Z Ladungen,das Elektron nur eine). Die potentielle Energie eines IX-Teilchensam Rand des Kerns wird dadurch um ~ W = 2erpjZverschoben. Jetzt betrachten wir das Tunnelmodell vonGamow für einen Kern mit der Massenzahl A ~ 2,5Z unddem Radius R = A 1 1 3 r0(r 0 : Radius des Nukleons =Yukawa-Radius = 1,25 · w-15 m). Außerhalb von R giltdie Coulomb-Energie W = 2Ze 2 /(4m;or) für das IX-Teilchen.Da das IX-Teilchen im Krater eine Energie Wo > 0hat, kann es den Coulomb-Wall durchtunnein und tauchtim Abstand r1 = 2Ze 2 / ( 4m;o Wo) wieder auf. Die Tunnelwahrscheinlichkeitist exp[-ßr1n-1J2m(W'- Wo)], woW' = 2Ze 2 / ( 47reoR) die Höhe des Kraterrandes ist; ß beschreibtdie Form des Potentialwalls: ß = 2 für ein ebenesRechteckpotential; ß = 1 für ein ebenes Dreieckpotential;ß = 1r für ein sphärisches Coulomb-Potential, wobei nochein Faktor (R/r1) 2 vor den e-Ausdruck tritt. Einsetzen vonr 1 liefert für W' » w 2 : P ~ exp( -Bz 3 1 2 j (WoA 116 )) mitB = ße 3 m 1 1 2 /(27r3 / 2 e~/ r61 2 n). Hier kann man noch r 0 alsYukawa-Radius nj(mc) ausdrücken und erhältB = 41X 3 1\fifim; c 2 = 2 · 10 4 e V mit der FeinstrukturkonstanteIX= e 2 /(4m;onc) = 1 j7' Die Zerfallskonstante ergibtsich durch Multiplikation einer Frequenz von der Größenordnungv 0 ~ 10 22 s- 1 mit der obigen Zerfallswahrscheinlichkeit,alsoz4/3lnA =In vo- B--.Wo(L. 2)Wenn eine Änderung in der äußeren Elektronenhülle dasKernpotential um ~ W verschiebt, betrifft dies sowohl dieKraterhöhe Wb als auch die Lage Wo des IX-Teilchens. Daaber W' » Wo, ist die relative Änderung von Wo viel größerund allein ausschlaggebend. Die entsprechende relative Verschiebungder Zerfallskonstanten ergibt sich aus ~ ln Aj In),= ~J,j(AlnA) = -~W/W zu ~A/A ~ -~WlnA./Wo =-2WilnA/(ZWo). Hier können wir noch Wo mittels (L.2)durch A ausdrücken und erhalten ~A / A ~ -2 Wi (In v 0 -lnA)lnA/(Bz 7 1 3 ß). Einsetzen der Zahlenwerte und vonr = r 1 ergibt ~r/r ~ w-3z- 7 13 In r(50 +In r). Die größteVerschiebung entsteht bei kleinem Z und großem r. ZumBeispiel wird die relative Verschiebung für 1 ~Nd(T 1 ; 2 ~ 1015 Jahre, Wo~ 1,5MeV) etwa viermal größerals für 2 §~u.13.2.13. Totzeitfehler IWenn die Impulsrate wie i = io e-}J abklingt, ist die mittlereAnzahl unterschlagener Impulse innerhalb einer Zeit dt gegebendurch d.M = i 2 to dt (s. Aufgabe 13.2.14), also der GesamtverlustAI=1Pto dt = iÖto1e- 2 Jt dt = iÖt(1 - e- 211 )/(2A).pie gesamte gemessene Impulszahl ist I = J~ i dt/o(1- e- 11 )/A. Damit wird der relative Fehler von/:. -2}( .AI = foto 1 - e · = foto ( -J.t)I 2 e-J,t 2 1 + e= IAto l + e-J.t = IAto coth (!:!_) .2 1- e-J.t 2 2Für )"t « l ergibt sich wie in Aufgabe 13.2.12 AI/I= Jt0 jt.Für At » l zerfallen praktisch alle Kerne während der Meßzeit,und es wird AI/ I = ! /At0 .13.2.14. Totzeitfehler IIDas Präparat enthalte N Kerne (zu bestimmen aus Masse mdes Präparats und relativer Nuklidmasse A alsN = m/(AmH)). In der Sekunde zerfallen im Mittel!NI = AN Kerne. In der Meßzeit t beobachtet manI = INit = )Nt Zerfallsakte und erhält daraus die ZerfallskonstanteA =!/(Nt). Wenn mantalsexakt gemessen ansieht,ist der relative Fehler ~A/ A. = AI/ I+ M jN. In Wirklichkeitkann kein Zähler alle Impulse erfassen, sondern nurdie in einen Raumwinkel Q fallenden Teilchen. Dann mußman die gemessene Impulszahl auf den vollen 47r-Winkelumrechnen: ), = 47rlj(QNt). Es kommt dann noch der relativeFehler von Q hinzu, der oft größer ist als die übrigen. Wirbeschäftigen uns nun mit dem Fehler der Impulszahl /.Wenndie Impulsrate i klein ist, wird der relative statistische Fehler(Poisson-Fehler) Mst/1 = v'l/1 = 1/.Jii zu groß. Wenn igroß ist, kommt es zu oft vor, daß ein zweiter Impuls indie Totzeit des Zählers fällt, d. h. in das Zeitintervall, indem die Entladung, die ein anderer Impuls ausgelöst hat,noch nicht abgeklungen ist. Ein solcher zweiter Impulswird dann nicht registriert. Am kleinsten wird der relativeFehler also bei mittlerer Impulsrate. Wie groß ist der Totzeitfehler?In ein beliebiges Zeitintervall der Länge to fällt mitder Wah~scheinlichkeit toi mindestens ein weiterer Impuls.Wenn tol « l ist, kommt es kaum vor, daß mehr als ein Impulsin dieses Intervall fällt. Während der ganzen Meßzeitgibt es I solche Intervalle, in denen der Zähler nicht anspricht,und in diese gesamte Totzeit fallen insgesamt ItoiImpulse, die nicht registriert werden. Der relative Totzeitfehlerist demnach ~!tot! I = toi. Der GesamtfehlerM/I=Aist/I+Aitot!I= (it)- 1 1 2 +ito nimmt ein Minimumhinsichtlich i an (Nullsetzen der Ableitung nach i)für i = 1/(2 2 1 3 t 1 1 3 t~/ 3 ). Einsetzen dieses Wertes ergibtden Minimalfehler /Min/1 = 1,9(to/t) 1 1 3 . Für to = 10 f.tS,t = 4Monate ~ 10 7 s erhält man iopt = 6,3 s-1 undAIMin/1 = 1,9 · 10- 4 .13.3.1. NebelkammerspurenGeladene Teilchen werden vorwiegend durch Wechselwirkungmit Atomelektronen gebremst. Das schwere IX-Teilchenkann einem Elektron selbst beim zentralen Stoß nureinen Bruchteil 4m/M ~ 5 · 10- 4 seiner Energie übergeben,meist viel weniger. Das ß-Teilchen wird viel stärker abgelenkt,beim zentralen Stoß z. B. verliert es alle seine Energie.Das erklärt Geradheit bzw. Zittrigkeit der Bahnen. DerEnergieverlust auf der gleichen Bahnlänge ist dagegen fürdas a-Teilchen fast M / m = 7 600mal größer als für ein ß­Teilchen gleicher Energie (vgl. Aufgaben 13.3.3-13.3.6).

Kapitel 13: Lösungen 1147Daher ist die IX-Bahn viel dicker und kürzer. Ein y-Quant löstnur hin und wieder, meist durch Compton-Stoß, Elektronenaus Atomen aus, die vielfach so viel Energie mitbekommen,daß sie ähnliche Spuren wie ß-Teilchen hinterlassen (2>-Elektronen).13.3.2. Lange SpurWenn die Spur eines IX-Teilchens in Abb.l3.32 um ca. 15%länger ist als die übrigen, läßt das nach der Reichweiteformel(13.27) auf eine um ca. 7% größere Energie schließen. DasPräparat besteht aus RaC', das nach Abb. 13.22 die kürzesteHalbwertzeit der ganzen U-Reihe und damit nach Geiger­Nuttall die größte Energie und Reichweite hat. Eine Verunreinigungdes Präparats durch eines der übrigen Glieder derU-Reihe könnte also höchstens einige IX-Spuren niedererEnergie beitragen, die in dem dicken Pinsel kaum zu sehenwären. (Eine solche Verunreinigung durch spätere Gliederder Zerfallsreihe ist natürlich bei einem so kurzlebigen Nuklidunvermeidlich; alle Glieder nach RaC' sind aber ß-aktiv,außer dem Po, dessen Halbwertzeit 10 7 mal größer ist, so daßauf 10 7 RaC' -IX-Teilchen nur ein energieärmeres Po-IX-Teilchenkommt.) Das macht sehr wahrscheinlich (andere Messungenbestätigen dies), daß das schnelle IX-Teilchen auseinem angeregten Zustand des RaC'-Kerns stammen muß,der wegen der Kurzlebigkeit des RaC' keine Zeit hat, sichwie üblich durch y-Emission abzubauen, sondern seine Energiedem rx-Teilchen mitgibt. Aus dem Häufigkeitsverhältnislanger und normaler Spuren in Abb. 13.32 kann man alsosogar das Verhältnis von y- und IX-Lebensdauer schätzen.13.3.3. ImpulsübertragungDas schnelle Teilchen habe die MasseMund die Ladung Ze.Auf ein Elektron in einem Atom, von dem es um r entferntist, übt es die Kraft F = Ze 2 / ( 47r

1148 Lösungen zu den AufgabenJen. Für H ist sie natürlich 13,5 eV; für leichtere Atome wie C,N, 0 liegt sie um 30eV und steigt nur langsam mit der Ordnungszahlan. Nach dem Bohrsehen Modell kann man dasziemlich quantitativ verstehen: Ein Elektron in einer Schalemit der Hauptquantenzahl n, auf das eine effektive KernladungZerre wirkt, hat die IonisierungsenergieW = 13,5Zeffln 2 eV. Gäbe es keine Abschirmung durchdie übrigen Elektronen und erfolgte der Schalenaufbauganz regulär (3d vor 4s usw.), dann besäße ein schweresAtom 2n2 Elektronen in der n-Schale, und die mittlere Ionisierungsenergiewäre Wi = z-l Lf 2n 2 Z 2 n- 2 WH = 2LZWH(L: Anzahl der vollen Schalen). In Wirklichkeit frißt jedesElektron fast eine volle Kernladung durch Abschirmungweg, besonders für die zahlreicheren Außenelektronen. Daherwird die Z-Abhängigkeit viel schwächer.Die lonisierungsdichte, wie man inkonsequenterweisedie Anzahl erzeugter Ionen pro Längeneinheit der Bahnnennt, ist also I~ 10 6 Z 2 gMW- 1 In(4mWI(MWi )). Einewirkliche Ionisierungsdichte, d. h. eine Anzahl erzeugter Ionenpro Volumen- und Zeiteinheit, wird daraus, wenn man Imit der Stromdichte einfallender Teilchen, also mit der Anzahlschneller Teilchen pro Flächen- und Zeiteinheit multipliziert:ji = nvi = l06nvZ 2 gMW- 1 ln(4mWI(MWi)).13.3.6. RöntgenEin Präparat von der Aktivität A (in Bq) sendet in der SekundeA Teilchen aus. Bei einer Zerfallsenergie W (in MeV)erzeugt jedes Teilchen in Luft, Wasser oder organischer SubstanzN = 3 · 10 4 W Ionenpaare, denn zur Erzeugung einesPaares verbraucht es 32eV. Das ganze Präparat erzeugtalso 3 · 10 4 WA Ionenpaare/s. Wenn die Strahlung die Reichweiter hat, erfüllt diese Ionisierung eine Kugel vom Volumen17rr 3 , wobei allerdings Teilchenstrahlung dicht amRand dieser Kugel, kurz bevor sie sich totgelaufen hat, trotzder Verdünnung mit zunehmendem Abstand von der Quelleu. U. stärker ionisiert als in der Mitte. Die mittlere Ionendosisleistungin dieser Kugel ist also 10 4 WAir 3 . In Luft entspricht1 R (1 Röntgen) 2,08 · 109 lonenpaaren/cm3, alsoist die Dosisleistung 5 · 10- 6 WA i r3 Rs- 1 . Aus Abb.13.34bzw. der Geiger- oder Whiddington-Formel, ferner für y­Strahlung aus Tabelle 12.2 liest man folgende Reichweitenab, die zu Dosisleistungen D für ein Präparat von3 · 1010 Bq führen:Tabelle L. 6Luft6 MeV-ex 3 MeV-ß I MeV-y 25 keV-yr/ mm 60 · HP 1.2. 10S 1,2 · IaiD/ Rs- 1 700 · 10 · 10- 8 · lo- sWas errj mm 0.045 10 140 14D/ R - I 1012 1, 5 · 10S 0 5 · lcfBleirl mm 0,02 13 0.2D/ R - I 1013 I , . 10 7 · Ia' I 10Für das Abschirmproblem ist das unterschiedliche Absorptionsverhaltenvon Teilchen und Photonen entscheidend:Teilchenstrahlung wird vollkommen abgeschirmt,wenn die Dicke etwas größer ist als die Reichweite; y-Strahlungwird durch eine Dicke, die gleich dem reziproken Absorptionskoeffizientenist, nur um den Faktor e geschwächt.Um z. B. ein 6°Co-Präparat (y mit 1,17 MeV) von 3 · 10 12 Bqso abzuschirmen, daß die Umwelt nicht mehr als 1 mRih erhält,muß man 2 · 109mal schwächen, braucht also mindestens22 cm Blei. Der Mensch, der sich der unabgeschirmtenQuelle näherte, hätte schon nach wenigen Sekunden die tödlicheDosis. Weichere y- oder Röntgenstrahlung erzeugt vielhöhere Dosisleistungen, ist aber viel leichter abzuschirmen.Entsprechendes gilt für ß- und IX-Strahlung. Ein IX-Präparat istsogar relativ ungefährlich, weil seine Strahlung schon in denobersten Hautschichten absorbiert wird, die sowieso tot sind.Man darf nur nichts davon verschlucken.13.3.7. Reichweite IIn Abb. 13.24 erkennt man deutlich mindestens zwei Grup­~en von IX-Teilchen verschiedener Reichweite, die einen etwa3 so lang wie die anderen (das Präparat ist außerhalb des Bildes).Das Präparat kann also kein reines Po sein, denn daszerfällt direkt ins stabile Blei, hat also kein Tochterproduktbei sich und emittiert IX-Teilchen einheitlicher Energie undReichweite. Vermutlich handelt es sich auch, wie oft bei Rutherford,um den aktiven Niederschlag von Rn. Rn ist einEdelgas, sein Folgeprodukt RaA ein Chalkogen, also fest.Die Wände eines Gefäßes, das Rn enthielt (etwa aufgefangenüber Ra) bedecken sich daher nach einigen Stundenoder Tagen mit einem Niederschlag aus RaA und dessen Folgeprodukten.Er strahlt eigentlich drei IX-Gruppen(Abb. 13.22), aber die Reichweiten der RaA- und derRaC-Strahlung sind nicht so sehr verschieden. Jedenfallsist es kein IX-Teilchen aus dem häufigsten Po-Isotop 210(T 1 ; 2 = 138 d, W = 5,3 MeV), sondern aus 214 Po = RaC'(Tl/2 = 1,6 · 10-4 s, W = 7,7MeV).Wir betrachten den Reaktionsakt Die IX-Spur gabelt sichin eine kurze dicke und eine lange dünne Spur. Die dünne istviellänger als die Restlänge, die der IX-Spur ohne Stoß nochzustünde, mindestens 4mal so lang. Da das "dünne" Teilchenkaum mehr Energie haben kann als das IX mitbrachte, mußseine Masse nach Whiddington oder Geiger mindestens4mal kleiner sein. Für ein ß ist die Bahn viel zu gerade,also kann es nur ein Proton sein. Die dicke Bahn bildetfast die Verlängerung der IX-Spur, d. h. das unbekannte Teilchen(Masse M AME) hat fast den ganzen IX-Impuls übernommen(Ausmessung der Winkel liefert px = Pa · 1,07;das ist mehr als Pa. weil das dünne Teilchen nach "hinten"läuft). Sagen wir also px = Pa · Für das Ende der Bahn besondersstimmt die Geiger-Formel besser: ReichweiteR ~ W 1 ,s 1 M "' p 3 I M 2•5 . Schätzt man die dicke Bahn alsetwa~ so lang wie die IX-Restspur, dann folgt M ~ 3,2ma~ 13 AME; der Stoßpartner ist also eher ein N- als ein 0-Kern, was schon wegen des Mischungsverhältnisses wahrscheinlichist.

Kapitel 13: Lösungen 114913.3.8. Reichweite IIBetrachtet man den Logarithmus in der Bethe-Formel alspraktisch konstant, dann kann man sofort integrierendW = _ 36 z 2 aM 1 n 4mWdx W MWi2 4mW=> WdW = -36Z gMln-- dxMWiW 2 = WJ -72Z2gMx1n 4 mW.MEiW(x) ist dann eine liegende Parabel, nach links offen, diedie X-Achse bei X= R = WÖ/(72 Z 2 gM) ln(4mW j(MWi))schneidet. Das ist die Reichweite nach Whiddington. DieSteilheit von W(x), d. h. Energieverlust und Ionisierungsdichtewerden also längs der Bahn immer größer und beix = R hiernach sogar unendlich. Dies zeigt an, daß die Näherungln( 4m W j (MWi)) = const hier nicht mehr stimmt: Ebenweil der Energieverlust absolut und besonders relativ so großist, beginnt jetzt sogar der träge Logarithmus sich merklichzu ändern. Damit rundet sich der steile Zahn der Ionisierungskurvekurz vor dem Ende der Bahn ab.13.3.9. Maximale EnergieübertragungDie allgemeine Ableitung steht in Abschn. 1.5.9. AbgekürzteBetrachtung: Es ist anschaulich klar, daß maximale Energiebeim zentralen Stoß übertragen wird. Im Schwerpunktsystemsieht die Sache so aus, daß die Teilchen mit den Massen mund M mit -vMj(M + m) bzw. vmj(M + m) aufeinanderzufliegen (v: Geschwindigkeit des stoßenden Teilchens imLaborsystem, wo das andere ruht). Impuls- und Energiesatzfordern bei elastischem Stoß, daß die Teilchen mit genau umgekehrtgleichen Geschwindigkeiten zurückprallen. ImLaborsystem hat das Teilchen m daher nach dem Stoß dieGeschwindigkeit 2vMj(M + m) und die Energie,1W = !4v 2 mM 2 j(M + m) 2 = W · 4mMj(M + m) 2 .13.3.10. Geiger-NuttallAus der Abb. 13.22 liest man die Halbwertzeiten für den IX­Zerfall von 238U, 226Ra, 210Po, 214Po (RaC') ab als4,5 ·109 a, 1580a, 136d, 1,5 ·10- 4 s. Die ZerfallskonstantenJe sind 5 .lQ-18 , 1,4 ·10-11 , 6 ·10-8 , 4 ·103 s-1 (esgilt Je= ln2/T). Nach der Geiger-Nuttall-Regel sind dieReichweiten in Normalluft 2,7, 3,5, 4,2 bzw. 6,2cm (vgl.Abb. 13.28 . Die Whiddin ton-Formel liefert die EnergieW = z2nz'e4Mr/(47rBÖm) also, mit W in MeV und r incm, W = 2,5r. Damit ergeben sich die Energien 4,1, 4,7,5,1, 6,2MeV. Die Geiger-Formel W = 2,1r213 liefert 4,1,4,8, 5,5, 7,1 MeV, was noch besser mit den direkt gemessenen4, 18, 4, 78, 5 ,30, 7,68 MeV übereinstimmt. WhiddingtonundGeiger-Formel wurden einschließlich ihrer Proportionalitätskonstantenempirisch aufgestellt und erst später entsprechendAufgaben 13.3.3-13.3.5 theoretisch bestätigt.13.3.11. Reichweite 111Die Bremskurven (13.25) für verschiedene Teilchen undBremssubstanzen lassen sich durch Maßstabsänderung vonW und x alle zur Deckung bringen. Man messe z. B. die Energiein der Einheit 1J = MI/(4m), den Abstand in der Einheit~ = 81re6MPj(e 4 Z 2 Z'nm) und erhält d1J/d~ = ln1J/1J. Diedaraus folgende einheitliche Energieabhängigkeit der Reichweiteläuft bei mittleren Energien wie r"' W 2 : Whiddington­Gesetz (13.26); bei kleineren Energien flacher als W 2 : Einflußdes In-Gliedes, annähernd dargestellt durch die Geiger­Formel (W1•5). Die Grenze zwischen beiden Bereichen liegtda, wo der In etwa den Wert 7 hat, also beiW r:::; 1 000/M j ( 4m). Bei sehr hohen (relativistischen) Energienwird r"' W. Hier ist in der Formel (13.25) der Faktor1n(4mW /(MI)) zu ersetzen durch ln(4mW /(MI)) -ln(1- v2 jc2)- v2 jc2; diese Korrektur beschreibt u. a. dieLorentz-Kontraktion der Abstände längs der Bahn des fastmit c fliegenden Teilchens, von diesem aus gesehen. Mankann also die Kurven in Abb.13.35 sofort zeichnen, wennman zuerst die Koordinaten des Knicks zwischen W 1 • 5und W 2 festlegt, die Kurvenabschnitte mit den Steigungen1,5 bzw. 2 auszieht und am Knick abgerundet zusammenführt,und analog beim Knick zwischen W 2 und W 1 verfährt(er liegt bei W r:::; mc 2 ). Bei Zunahme der Ordnungszahl derBremssubstanz steigt I, also wandert der W 1 • 5 - W 2 -Knicknach rechts. Dasselbe tut er, wenn das ionisierende Teilchenschwerer wird.13.3.12. Relativistische BremsungBei der Herleitung von (13.25) stand im Nenner des Ausdrucksfür die Energieübertragung ,1 W zunächst v2 . Wir habendas durch 2 W j M ersetzt. Aber das v war wirklich ein reinkinematisches v, seiner Herleitung nach. Also lassen wir v 2stehen oder ersetzen es durch c 2 (für relativistische Teilchen).Unter dem In dagegen steht wirklich die kinetische TeilchenenergieW. Die relativistische kinetische Energie heißtw = moc2 I -./1 - v2 I c2 - moc2. Für relativistische Teilchengeht also der 1/W-Abfall der Bethe-Kurve in einganz schwach ansteigendes PlateaudWjdx = -0,3Z 2 g(ln(W/(Moc 2 )) + 10)über, und zwar erfolgt der Übergang bei W r:::; Mc 2 . InAbb. 13.34 ist das für Elektronen berücksichtigt. Für die anderenTeilchen läge das Plateau etwa ebenso hoch,· beginntaber erst rechts außerhalb der Zeichnung. Wenn Energieverlustund Ionisierungsdichte W-unabhängig werden, ist natürlichdie Reichweite einfach proportional zur Energie. InAbb.13.35 ist dieser Übergang von R"' W 2 zu R"' W fürElektronen ebenfalls zu erkennen.13.3.13. BremsformelnDer Charakter des Stoßes hängt von zwei Umständen ab: (1)Führt ein einziger Stoß zu praktisch vollständiger Bremsung,oder sind dazu sehr viele Stöße nötig? (2) Handelt es sich umeine Coulomb-Wechselwirkung, oder sind die Stoßpartner

1150 Lösungen zu den Aufgabenungeladen? Langsame ungeladene Teilchen geben ihre Energiegrößtenteils ab, wenn sie ein auderes Teilchen innerhalbseines geometrischen Querschnitts treffen. Dieser ist unabhängigvon der Energie. So entsteht das übliche e-ocx-Absorptionsgesetz.Geladene langsame Teilchen laufen sich ebenfallsin einem Stoß praktisch tot. Ein Stoß erfolgt dann,wenn sich die Partner so nahekommen, daß Wpot ;(; Wkinwird, d. h. e2 / ( 4m>or) ;c; W. Der Stoßquerschnitt ista"' w-2. Die Stoßfrequenz ist v = nav, und mitV"' w 1 1 2 entsteht die Abhängigkeit T = 1/v = W 3 1 2 . Sehrschnelle Teilchen ändern ihr v bei der Wechselwirkungnur wenig. Die Dauer des Stoßaktes und damit die Impulsübertragungist proportional v-1 "' w-112 , unabhängig vomStoßmechanismus (nichtrelativistische Teilchen). Damit ergibtsich nach Aufgabe 13.3.5 die Zeit zwischen zwei IonisierungsaktenT "' W, was mit T = 1 j ( nav), also a "' w- 1 1 2zu deuten ist.13.3.14. Bremsen Kerne auch?Auf ein schweres geladenes Teilchen wird zwar der gleicheImpuls /!,.p = Ze 2 I ( 2m:;oav) übertragen wie auf ein Elektron,aber die Energieübertragung 1'1 W = !'1p 2 /(2m) ist bei Protonenum den Faktor 1 840 kleiner, bei schwereren Kernen sogaretwa um den Faktor 4 000. Der Energieverlust durch Stößemit Kernen ist also zu vernachlässigen. Dies gilt unterVernachlässigung der direkten Kernstöße (Stoßquerschnitt:::::! geometrischer Kernquerschnitt), die erst bei hochrelativistischenEnergien wesentlich werden, wo der Bethe-Bohr­Querschnitt bis in diese Größenordnung abgefallen ist.13.3.15. MaterialabhängigkeitFür ein gegebenes ionisierendes Teilchen steckt der Einflußder Bremssubstanz auf die Reichweite nach (13.27) in demFaktor nZ 1 , die Ionisierungsdichte, die gleich I- 1 dW jdx ist,hängt außerdem noch von der mittleren Ionisierungsenergie Iab. Da nZ' etwa proportional der Dichte ist (es kommen jaimmer etwa zwei Nukleonen auf ein Elektron), sollte dieReichweite, in g/cm 2 ausgedrückt, sogar unabhängig vonder Bremssubstanz sein. Daß sie das nicht ganz ist, liegtam In-Glied von (13.25), das in (13.27) vernachlässigt wurde.Bei höherer Energie macht dies Glied weniger aus, unddie Regel, daß jede Substanz entsprechend ihrer Dichte abschirmt,gilt ganz gut. Für fY.-Teilchen liegt der Bereich, wodas In-Glied wesentlich ist, gerade in der interessanten Gegendvon einigen MeV. Die Ionisierungsdichte geht bei gegebenemionisierenden Teilchen etwa wie nZ' /(WI). Fürkleinere Energien, wo der In wesentlich wird, erfolgt ein Maximum,dann ein steiler "Haken" (Abb.13.34). Das Maximumliegt bei W = eMI / ( 4m), seine Höhe ist proportionalnZZ' jP. Bei gegebener Bremssubstanz liegen also die Maximafür p, e, f1- etwa gleichhoch, das für ry_ doppelt so hoch.Im relativistischen Bereich nimmt die Ionisierungsdichte einenpraktisch W-unabhängigen Minimalwert an, der sich aus(13.25) ergibt, wenn man W :::::! Mc2 setzt. Das Verhältniszwischen Maximal- und Minimalionisierung ist ungefähr4mc 2 / lln(2mc 2 /I), d. h. für Luft, Wasser usw. etwa 5 000,für schwere Elemente größer. Kenntnis der Dichte und dermittleren Ionisierungsenergie (die sich aus dem Bohr-Modellschätzen läßt) genügen, um diese und viele andere Folgerungenaus (13.25) zu ziehen.13.3.16. Abschirmung13.3.17. DosisleistungSiehe Lösung 13.3.6.13.3.18. Theorie der NebelkammerDie Bedingungen für Tröpfchenbildung in übersättigtemDampf und Blasenbildung in überhitzter Flüssigkeit sind ungefährdieselben: Da jedes Tröpfchen oder Bläschen ganzklein anfangen muß, wenn keine mechanischen Ansatzpunkteda sind, ist als Energiedifferenz zwischen den beidenkonkurrierenden Phasen nicht die volle Kondensationsenergieeinzusetzen, sondern sie muß um eine erhebliche Oberflächenenergiereduziertwerden (thermodynamisch richtigermüßte man statt Energie immer Enthalpie sagen). Phasengleichgewichtherrscht, wenn die freien Enthalpien (Gibbs­Potentiale) gleich sind, d. h. wenn T = (Hn - Hg)/(Sn- Sg). In der H-Differenz ist dabei für die TröpfchenoderBläschen-Nukleation die OberflächenenergieNolumen4Jrr 2 a / (17rr 3 ) = 3a / r und, wenn Ionen vorhanden sind,auch eine evtl. Coulomb-Energie mitzuberücksichtigen.Die Verschiebung 1'1T der effektiven Kondensationstemperaturgegenüber dem Normalwert T ergibt sich dann, wenn manannimmt, daß die spezifische Entropie nicht von der Tröpfchengrößeabhängt, einfach zu 1'1T jT = 1'1H / (Hfl -Hg). ImNenner steht die übliche spezifische Kondensationsenthalpie,im Zähler die spezifischen Oberflächen- und Coulomb-Energien.Die Rechnung wurde in Aufgabe 6.5.1durchgeführt. Bei einer Elementarladung im Tröpfchen ist1'1H maximal etwa 160 J/cm 3 , man muß also um mindestensetwa 25° unterkühlen, damit sich aus gesättigtem Dampf Nebelspuren um die Bahn des ionisierenden Teilchens bilden.Nach der Adiabatengleichung rv- 1 = const erfordert daseine schnelle Expansion um etwa 20 %.13.3.19. i\ W, W-Detektor-TeleskopProtonen und a-Teilchen mit den für Kernreaktionen typischenEnergien von etwa lOMeV bleiben nach Abb.13.35in einigen mm Halbleiterschicht stecken, werden aber voneinigen J.lm nur schwach gebremst. Für Elektronen geltenviel höhere Dicken. Da die Energieabhängigkeit der Reichweitesehr steil läuft, gelten diese Werte nur in einem ziemlichengen W-Bereich. Die hyperbelähnliche 1'1W(W)-Kurveist nichts weiter als ein Bild der Bethe-Kurve, nach der derEnergieverlust im wesentlichen proportional w- 1 ist. Dieeinzelnen Teilchensorten unterscheiden sich durch den FaktorZ2 M vor dem w- 1 , liefern also um so enger an die W­Achse geschmiegte Hyperbeln, je kleinerZ und M sind. Zusätzlichliefert das Detektor-Teleskop noch Aufschluß überdie Einfallsrichtung des Teilchens.13.3.20. Zyklotron-ModellDas B-Feld wird repräsentiert durch die Rillen, die die Teilchenin die Kreisbahn zwingen, das beschleunigende E-Felddurch die schiefe Ebene zwischen den D's. Wenn diese Ebene

Kapitel13: Lösungen 1151ihren Neigungssinn mit der Periode T ändert, müssen Rillenradiusund Kugelgeschwindigkeit so eingerichtet sein, daßein halber Umlauf T 12 dauert: für die n-te Halbrille mußgelten rn = Tvnl2. Dann wird die Kugel, wenn sie in derrichtigen Phase eingesetzt wird, bei jedem Halbumlauf beschleunigt,und zwar gewinnt sie dabei jedesmal die Energiemgh, wenn h die maximale Höhendifferenz der D's ist. Biszum n-ten Rillenhalbumgang ist die Kugel n-mal beschleunigtworden und hat die Energie nmgh und die GeschwindigkeitVn = J2ngh. Der n-te Halbkreis muß also den Radiusrn = T,j2nghl(2rr) haben. Die Rillen folgen nach außenzu immer enger aufeinander. Für Konstrukteure: Gesamtbrettradiusz. B. 60 cm, Kugeldurchmesser 0,8 cm, Rillenbreite0,6 cm, 8 Halbrillen von 20,8 bis 58,7 cm Radius,Übergangsbrett 5 cm breit, maximal 45° schief, T = 8 s.Nachrechnen, ausprobieren! Ohne Rille, mit Spiralfeder: ElastischeBindung ans Zentrum, Zentripetalkraft k(r- r 0 ),wobei ro Ruhelänge der Feder. Kreisbahn beimv 2 Ir= k(r- ro), also für kleine r ebenfalls rn ~ n 1 1 2 •Beim echten Zyklotron ist wegen mv 2 Ir= evB für den n­ten Umlauf eB = Jm2Wonlr, d. h. rn = Jn2mWol(eB),die Bahnhalbkreise sind also ebenso abgestuft wie beim Modell,nicht äquidistant, wie man sie gewöhnlich zeichnet.13.3.21. LinearbeschleunigerDas n-te Rohr habe die Länge ln und werde in der Zeittn = lnlvn durchflogen. Diese Zeit muß immer gleich derWechselspannungsperiode T sein. In jedem Rohrzwischenraumgewinnen die Teilchen die Energie Wo = eU, habenalso im n-ten Rohr Wn = n Wo, falls sie schon mit Wo inserste ein eschossen wurden. Es folgt Vn = J2nWolm undln = T2nWolm: Die Rohrlängen müssen wie die Wurzelaus n zunehmen. Bei großer Gesamtrohrzahl N ist die Längedes ganzen Beschleunigers L = 'Lf ln ;::; Jt' ln dn = ~ N 3 1 2 z1 .Bei bekannten L und WN ergeben sich natürlich aus den beidenBeziehungen WN = NW0, L = ~l 1 N3 1 2 die drei Unbekannten/1, N, Wo nicht eindeutig, aber es ist plausibel,daß /1 nicht kleiner als 1 cm ist. Dann muß in StanfordWo:::: 7MeV, N:::: 6 · 10 3 sein, das letzte Rohr wäre knapp1m lang. Der "kleine" CE&.~-Protonen-Linearbeschleunigerhat WN =50 MeV, L =30m, N = 111. Man erhältWo= 450keV, /1 = 3,85 cm, IN= 40,6cm.13.3.22. Teures SynchrotronUns interessiert der relativistische Bereich, wo W ;::; pc ist.Dann geht die Kreisbahnbedingung mv 2 Ir = evB oderplr = eB über in W = ecrB. So großräumige Magnetfeldersind nicht viel größer als 1 T, also rlm;::; 3W/GeV. Tatsächlichhaben Berkeley und Genf 30 Ge V-Anlagen mitr = 100m, Serpuchow hat 76 Ge V mit r = 250m. 1 Te V erfordertr = 3 km. Der Äquatorring würde W;::; 2 · 10 15 eVliefern.13.3.23. SynchrozyklotronBei 750MeV hat das Proton die 1,7fache Ruhmasse. DieUmlauf-Kreisfrequenz, die bei kleiner Energie w = eBImo = 1,7 · 10 8 s- 1 beträgt, muß bei Maximalenergie auf108 s - 1 absinken. Man braucht 250 000 Schritte von 5 ke V,also 125 000 volle Umläufe bis dahin. Sie dauern etwa5 ms (Mittelwert der beiden Frequenzen). Der Magnetmuß mindestens r = W I ( ecB) ;::; 1,5 m Radius haben (inWirklichkeit etwa doppelt so groß). Die Teilchen laufen annähernd1 000 km.13.4.1. Vorspiel auf dem TheaterDer Inhalt der Diskussion ist ungefähr identisch mitAbschn. 13.4. Auftretende Ähnlichkeiten sind nicht ganz zufällig:Monopetras = Einstein, Orothermos = Heisenberg,Okoun-Andros =Gell-Mann (okoun ist eines der Flickwörter,die Prof. Unrat mit "traun fürwahr" zu übersetzen pflegte;Süddeutsche dürften "gell" sagen); Trochites = Wheeler; Polyhistor=ungewöhnlich belesener Reporter; Demokrit, Aristoteles,Aristophanes spielen sich selbst (echtes Demokrit­Zitat); Alexander, Achill, Nymphen Füllfiguren.13.4.2. Vorspiel im HimmelMephistopheles kommt mit der feinsten Höllenbratenzange.Alle beugen sich über eine Luke im Himmelsfußboden.Meph. (reißt blitzschnell die Zange hoch und steckt sich etwasin die Schwanzquaste): Voila! You see! Wot! Ecco! Heureka!(Die anderen starren immer noch nach unten.)Mich.: Das Feld!Meph.: Was fällt? Erzählt das euren Ammen!Max.: Die Ladung. Depp! Denn die ist nicht mehr da, undweil sie weg ist, bricht ihr Feld zusammen ...Her.: Ja, doch nicht überall zur gleichen Zeit! Ganz innen ist'sschon weg, drumrum noch nicht, die Grenze zwischen Nichtsund Feld, soweit wie sie halt laufen kann, schnell wie dasLicht .. .Max.: ... ja, da, wo sie vorbeisaust, gibt's E, darum schlingtsich ein H, et cetera.Her.: Seht Ihr's, Herr Junker? Wer was klaut, der funkt derUntat Kunde in den Äther, Da! Die Kunde ist ein Photon, oderzwei. Und des gestohl'nen Teilchens Energie, die steckt inden Photonen.Der Herr: Ja, vorbei ist's mit der blinden, wütenden Maniedes Nur-Vernichtens. Alles ist Verwandlung. Nichts ist verloren,nichts umsonst getan. Was dich betrifft, so weiß ich 'neBehandlung: Geh heim ins Bett und sauf dir einen an.Meph.: Ja, Ihr habt recht. Est veritas in vino. Das nächste Malklau ich bloß ein Neutrino.13.4.3. Eddingtons SpekulationWenn man N Teilchen regellos über einen Raum der AbmessungR verstreut, ist die Standardabweichung der Lage ihresSchwerpunkts nach Poisson Rl ..jN (vgl. Abschn. 1.1.7, Aufgabe13.2.6, auch Aufgabe 14.6.2). Im Binstein-Weltall(Dichte 10-29 glcm 3 ) ist R ;::; GMic 2 ;::; 10 10 Lichtjahre;::; 10 26 m. Die gesuchte Masse ist m = plc = VNhl(cR);::; 2 · 10-28 kg, d. h. etwa die Pion- oder Myon-Masse. DieseÜbereinstimmung kommt daher, daß R I ..jN sich als etwagleich dem Yukawa-Radius ergibt. Damit reduziert sichdas Wunder auf das in Aufgabe 13.4.4 diskutierte.

1152 Lösungen zu den Aufgaben13.4.4. Eddington-Diracs WunderzahlDaß T lro = Rl lo, folgt daraus, daß sich das Hubble- (eigentlichde Sitter-)Weltall mit c ausdehnt. Die Übereinstimmungzwischen dem Einstein-de SittersehenRund T, gewonnenaus der Theorie lediglich mit Hilfe der mittleren Dichte,und der reziproken Rubble-Konstante, gewonnen aus derRotverschiebung in Spiralnebel-Spektren, ist allerdings verblüffend,jedoch nicht der Elementarlänge gutzuschreiben.Die mittlere Dichte kann man so schätzen: Eine Galaxismit etwa 10 11 Sonnenmassen, d. h. 10 44 g, hat von der nächsteneinige Millionen Lichtjahre Abstand, beansprucht alsoetwa 1019 Lichtjahre 3 !"=! 1073 cm3 ; also Q !"=! w- 29 gcm-3.Das Verhältnis zwischen Coulomb-Kraft und Gravitationzwischen zwei Elektronen ist (unabhängig vom Abstand)y = e 2 I ( 4KeoGm 2 ) !"=! 4 · 10 42 , also wirklich von ähnlicherGrößenordnung wie Rllo !"=! 10 41 ./o ist ja aber z. B. definiertals klassischer Elektronenradius (vgl. Aufgabe 13.4.5):!0 = e 2 l(47rBomc 2 ), andererseits (mit M = Nmp = Massedes Weltalls) R als R = GMic 2 = GmpN lc 2 , alsoRllo = Nmpi(Yme). Wenn demnach N !"=! (Rilo) 2 , mußy !"=! Rllo sein, bis auf den Unterschied zwischen mp undme. Es bleibt also nur die eine, allerdings geheimnisvolleBeziehung N = (Rilof Zufall oder tiefere Bedeutung?Rllo hätte ja in den 80 Zehnerpotenzen von N sehr vielPlatz. Warum setzt es sich gerade in die Mitte?13.4.5. Hat das Elektron eine richtige Masse?Das Elektron braucht dieZeit r I v, um seine Ladung e durchdie Ebene ganz durchzuschieben, repräsentiert also denStrom I = ev Ir. Die "Spule" der Länge l ~ 2r mit n = 1Windung der Fläche A !"=! 1rr 2 hat die Induktivität L !"=! Jlor.Beschleunigung a = V, d. h. Stromänderung i = ev Ir kosteteine Spannung U = Li !"=! Jloev, ein FeldE = U Ir !"=! Jloev Ir,eine Kraft F = Ee !"=! J1oe 2 vlr. Der Faktor zwischen v und Fist die Masse, also m !"=! J1oe 2 Ir, und wegen JloBo = c- 2 giltm !"=! e2 l(sorc 2 ). Damit m = me = 9 · w- 31 kg wird, mußr !"=! e 2 I ( Bomec 2 ) !"=! w- 14 m sein. Die genauere Rechnungliefert r = e 2 l(87rBomec2 ) = 1,4 · 10-IS m, den klassischenElektronenradius. So klein muß das Elektron sein, damit seineInduktivität seine beobachtete Trägheit erklärt, ohne daß"richtige Masse" dahintersteckt13.4.6. Planek-LängeDamit ein Teilchen eine Ortsunschärfe kleiner als d hat, mußseine Impulsunschärfe, also auch sein Impuls selbst, größersein als p = hl d, seine Energie im relativistischen Fall größerals W = pc = hc I d, seine Masse größer alsm = Wlc 2 = hl(cd). Das Gravitationspotential eines solchenTeilchens erreicht den Grenzwert c 2 , bei dem Abkapselungerfolgt, für Gmlr = c2 oder rG = Gmjc2. Das ist seinGravitationsradius. Wenn er kleiner sein soll als die auszumessendeJänge d, folgt rG = Gmlc 2 = Ghl(c 3 d) < doder d > Ghlc3 = lp. Rechts steht die kleinste meßbareLänge, die Planck-Länge. Man kann sie auch auffassen alsgeometrisches Mittel aus der de Broglie-Wellenlänge unddem Gravitationsradius eines relativistischen Teilchens beliebigerArt. Wenn es überhaupt einen Sinn hat, von Raumbereichen< lp zu sprechen, dann sind sie jedenfalls vonvornherein gegen den Rest des Universums abgekapselt.Diese "Körnung" der Welt ist die Grundlage moderner Ansätzezur "Quantengeometrodynamik", die hofft, endlichTeilchen- und Feldbild, Relativität und Quanten unter einenHut zu bringen.13.4.7. Pion-UmwandlungEs handelt sich um drei Ereignisse: 1r+ + n -+ 1r 0 + p,1r0 -+ 2y (unsichtbar), y -+ e+ + e-. Daß die Richtung desPhotons, das die e+e--Gabel erzeugt hat (Winkelhalbierendedieser Gabel) so genau auf den Knick zeigt (mit knapp 2°Abweichung), muß folgenden Grund haben: Das 1r 0 ist sehrbald nach seiner Entstehung zerfallen. Ein ruhendes 1r0 zerfälltin r = 2,3 · 10-16 s. Bei relativistischer Energie verlängertsich diese Lebensdauer (um den Faktor W j(m"'c2), Aufgabe15.2.4), aber selbst bei einigen Ge V kommt das 1r0 nurwenige 11m weit. - Die Richtungen der beiden Zerfallsphotonendivergieren dann um etwa 4°. Daraus kann man dieEnergie schätzen. Wir setzen uns ins Bezugssystem, indem das 1r 0 ruhte, wo also die y in entgegengesetzte Richtungenemittiert werden. In diesem System ist die y-EnergieW' = !m"'c 2 , der Impuls p 1 = W'/c = !m"c. Im Laborsystemgilt ungefähr der gleiche Querimpuls (die Emissionbraucht nicht senkrecht zur Flugrichtung des 1r0 zu erfolgen,aber größenordnungsmäßig stimmen die Impulse dochüberein). Es kommt ein sehr viel größerer Längsimpulsdazu (kleiner Winkel!), der damit die Energie Wy in diesemSystem bestimmt: Wy = PxC. Der Winkel zwischen y- und1r 0 -Richtung ist rt. ~ p' IPx ~ m"'c 2 I(2Wy) = mc 2 /W"'. Diesgilt ganz allgemein: Hochrelativistische Teilchen(W » moc 2 ) strahlen n:ur in einen engen Vorwärtskegelmit der Öffnung m 0c 2 jW (Abschn. 12.5.4). Es folgtW"' !"=! 30m"'c 2 !"=! 4 Ge V. Das Primärpion hatte auch nichtviel mehr Energie, denn an das schwere Nukleon konntees nicht viel abgeben. Ein scheinbarer Widerspruch ergibtsich aus der e+e--Gabel selbst: Müßte sie nicht viel engersein, wenn die "Zerstrahlung" des y auch nur in einenmec 2 /Wy-Kege1 erfolgt, da doch me « m"' ist? Der Mechanismusder Paarbildung ist aber ganz anders. Ein weitererStoßpartner ist erforderlich, der einen Teil des y-Impulsesaufnimmt. Sonst hätten Energiesatz Wy = pyc = 2We =2Vp~c 2 + m5c4 und Impulssatz p = Pex gar keine Lösung:Es fehlte der Betrag moc2 , selbst bei Pex = Pe. Wirziehen also einen Kern der Masse M hinzu, der den Impulsp 0 aufnimmt, aber dabei nichtrelativistisch bleibt. In derEnergiebilanz ist p6f (2M) wegen des großen M dann zu vernachlässigen:Wy = PyC = 2We, Py = 2Pex + po, Die Elektronensollen hochrelativistisch sein: We = PeC + m5c 3 j(2pe). Dann folgt Py = 2pe + m§c 2 IPe = 2Pex +PO· Beikleinem Winkel rt. ist Pey = rt.Pex. Pe = Pex(1 + rt. 2 /2), alsoPo = Pert. 2 + m§c 2 IPe· Zwar ist Po minimal beirt. = moc/pe = moc 2 /Wy, aber auch andere po sind möglich,bei denen rt. größer wird. Daß die Gabel auch etwa 4 oÖffnung hat, ist hiernach nur ein Zufall.

Kapitel13: Lösungen 115313.4.8. MyonzerfallWenn man weiß, daß der Zerfall in drei Teilchen erfolgt, argumentiertman so: e, Ve, v 11 teilen sich praktisch die volleRuhenergie des Myons (106 MeV), denn die Ruhenergiedes e ist klein dagegen. Aus demselben Grund sind alledrei Teilchen ultrarelativistisch: W = pc, PI + P2 + P3 =W 11 1 c, p 1 + P2 + p 3 = 0. Die beiden Neutrinoimpulse undder umgekehrte Elektronenimpuls schließen sich also zueinem Dreieck (Impulssatz), dessen Umfang fest gegebenist (Energiesatz). Die eine Seite (pe) hat maximale Länge,wenn das Dreieck zur Linie entartet, d. h. wenn die beidenNeutrinos in entgegengesetzte Richtung zum Elektron emittiertwerden. Dann erhält das Elektron den halben Dreiecksumfang,also die halbe Zerfallsenergie. Beim üblichen ß-Zerfallist die Lage anders, weil der Tochterkern selbst bei höchstenZerfallsenergien nichtrelativistisch ist. Wegen seinergroßen Masse nimmt er nach den nichtrelativistischen Stoßgesetzenkaum Energie auf, aber Impuls. Das Elektron kannsich, um möglichst günstig wegzukommen, vom Tochterkernabstoßen, um seinen Impuls zu kompensieren (nicht vomNeutrino) und verliert dabei kaum Energie.Umgekehrte Argumentation: Man weiß von vornherein,daß das Elektron keine Energie ohne Impuls haben kann, undder muß durch mindestens ein unsichtbares Teilchen kompensiertwerden. Wenn das Elektron maximal nur die halbe Zerfallsenergiehat, müßte im nichtrelativistischen Fall das andereTeilchen genau gleichschwer sein. Das Elektron istaber bestimmt ultrarelativistisch, das unsichtbare Teilchenauch (s. oben: ß-Zerfall, vgl. auch Aufgabe 15.2.14). Dasunsichtbare Teilchen ist also vielleichter als das Myon, d. h.bestimmt ein Lepton (ein Photon würde man ja "sehen").Ob es mehr als ein unsichtbares Teilchen gibt, kann man sonicht sagen. Die Erhaltung der Leptonzahl fordert zwei Teilchen,genauer: ein Teilchen, ein Antiteilchen (noch genauer:eine gerade Anzahl von Teilchen). Daß das eine ein Ve, dasandere ein v 11 ist, entspricht der Erhaltung der p-Leptonzahl.13.4.9. Myon-AtomAus der Kreisbahnbedingung im Coulomb-Feld und derDrehimpulsquantelung folgen analog zu Abschn. 12.3.4Ze 2 mZ 2 e 4v = n2n24ns 0 ' W = - 32n2s6n2h2 ·Die Bahnradien sind also beim Myon-Atom 217mal, beimKaon-Atom fast 1 OOOmal kleiner als beim entsprechendennormalen Atom, die Energien und Frequenzen um den gleichenFaktor größer. Der Grundzustand von Kaon-Uran istum den Faktor mKZ 2 lme = 8 · 10 6 mal energiereicher alsder von normalem H, liegt also bei 8 · 10 6 · 13 ,5 e V =llOMeV. Die K"-Röntgen-Energie ist ~ so groß. Die entsprechendeFrequenz ist 4 · 10 21 s-1 . Der Bahnradius istmKZime = 9 · 10 4 mal kleiner als beim H, liegt also um1 fm: Das Kaon läuft mitten im Kern um, wo das Kraftfeldlängst nicht mehr coulombsch ist. Schon bei leichterenMyon- und Kaon-Atomen geben daher die Abweichungenvon den Bohrsehen Frequenzwerten Aufschlüsse über dieStruktur des Kernfeldes.13.4.10. Cowan-Reines-VersuchBei der Kernspaltung entstehen infolge der Krümmung desTals der stabilen Kerne (Z,N-Diagrarnm, Abb.l3.15) Fragmentemit einem Neutronenüberschuß, der sich teilweisedurch Direktemission von Neutronen, teilweise durch ß-­Zerfall abbaut (vgl. Aufgaben 13.1.6-13.1.8). Die Neutrinoart,die beim ß--Zerfall die Leptonenbilanz in Ordnungbringt, bezeichnet man als Antineutrino. Das Neutrino dagegenentsteht beim Positronen- oder AntielektronenzerfalLAus diesem mehr terminologischen Grund ist das Antineutrinodas auf der Erde weitaus am häufigsten hergestellte Antiteilchen.Ein 100 MW-Reaktor spaltet bei einer mittlerenSpaltungsenergie von 200 MeV ~ 3 · 10-11 J in der Sekunde3 · 1010 Kerne. Das führt zu mehr als 1019 ß- -Prozessen!s,also auch zur Emission von mehr als 10 19 Antineutrinos/s.Sie treten aus der Oberfläche des Reaktors (größenordnungsmäßig100m 2 ) mit einer Flußdichte von mehr als1017 m-2 s-1 aus. Cowan und Reines haben in ihrer Flüssigwasserstoff-Blasenkammernur wenige Wechselwirkungsaktemit Protonen gefunden. Bei einem KammervolumenV von etwa 1m 3 , der Dichte e = 0,07 gl cm 3 und einer effektivenBeobachtungszeit t von einigen Stunden ergibtsich ein Wechselwirkungsquerschnitt zwischen Antineutrinound Proton

IIII1154 : : Lösungen zu den AufgabenNetzebenen, die so steil zum Strahl stehen, daß sie in dessenRichtung einen Abstand A./2 voneinander haben. Dann trittwieder Auslöschung ein. Nur bei W < 1,8 · 10-3 eV istdas nicht der Fall. Diese Energie entspräche gaskinetischeiner Temperatur von < 22 K.13.4.12. EinfangquerschnittKernkräfte sind Nahewirkungskräfte, d. h. Wechselwirkungfindet praktisch nur innerhalb eines Bereichs vom Radiusr 0 statt. Man kann aber nicht einfach sagen, es kommezum Einfang, wenn sich ein Teilchen dem anderen bis aufr 0 oder weniger nähert, was einen W -unabhängigen EinfangquerschnittCJ = 1rr6 mit sich brächte. Voraussetzung zumEinfang ist nämlich, daß der Impuls des stoßenden Teilchensaufgezehrt wird. Ein einfangendes Punktteilchen kann dasnicht tun, denn Energie- und Impulssatz lassen sich nichtgleichzeitig befriedigen, indem die beiden Teilchen hinterhereinfach zusammenkleben. Also muß ein drittes Teilchenoder in unserem Fall das. komplexe System des Kerns dieEnergie-Impuls-Bilanz so gestalten, daß ein völlig inelastischerStoß möglich wird. Die Wahrscheinlichkeit, daß diesgelingt, ist proportional zur Dauer der Wechselwirkung,also zu r0 jv. Das ergibt für nichtrelativistische stoßende Teilchendie allgemeine Abhängigkeit a < w- 1 1 2 . Wenn dieEnergie des Neutrons aber gerade dem Abstand zu einemangeregten Zustand des Kerns entspricht, wird die Energiebilanzeinfach durch Übergang in diesen angeregten Zustandgerettet. Die dadurch erhöhte Einfangwahrscheinlichkeitdrückt sich als Resonanzpeak in der Energieabhängigkeitdes Einfangquerschnitts aus.13.4.13. Sonnen-NeutrinosDa die stabilen Kerne bis auf die leichtesten mehr Neutronenals Protonen haben, ist ihr Aufbau durch Fusion aus Wasserstoffund sogar aus Deuterium überwiegend mit p+ -Zerfallverbunden, der Protonen in Neutronen verwandelt. Innerhalbeines Zyklus der CN-Reaktion z. B., der effektiv vierH in He verwandelt, muß es zwei p+ -Akte geben. Beim Positronenzerfallwerden Neutrinos frei, während die Kernspaltung,die mit p- -Akten verbunden ist, überwiegend Antineutrinoserzeugt (vgl. Aufgabe 13.4.10). Fusion von vier H zuHe bringt 4 · 1 ,008 - 4,003 = 0,029 AME oder 27 MeV =5. 10- 12 J ein. Die Erde empfängt 0,14 W/cm 2 von derSonne als Strahlung, die aus der vielfach umgewandeltenFusionsenergie stammt. Die damit verbundenen0,14/(5 ·10-12 ) ~ 3 · 10 11 Neutrinos/(cm2 s) sind dagegennoch dieselben, die im Sonneninnern erzeugt wurden:Nach Aufgabe 13.4.1 0 durchdringen Neutrinos praktisch ungehindertdie ganze Erde und sogar die Sonne. Auf der Erdegibt es also viel mehr Neutrinos als Antineutrinos, bis auf dieunmittelbare Nähe von Hochleistungsreaktoren.13.4.14. ProtonenzerfallWir betrachten z. B. die Vernichtung von p und e- "aus derRuhe", z. B. aus dem Grundzustand des H-Atoms. Es ist einSingulett-Zustand (Bahndrehimpuls = 0). Für Ortho-Wasserstoffsind Elektronen- und Kernspin antiparallel, also ist derDrehimpulssatz für p + e- --> 2y erfüllt, wenn beide y antiparallelenSpin haben. Der Impulssatz verlangt Ernission derbeiden y in entgegengesetzte Richtungen, der Energiesatzhv = imrc 2 = 480MeV (wogegen Ruh- und Bindungsenergiedes Elektrons kaum eine Rolle spielen). Um zu "erklären"warum so etwas trotzdem nicht passiert, warum es also überhauptnormale Materie gibt, braucht man noch mindestenseinen weiteren Erhaltungssatz. Dieses Beispiel und ähnlicheerweisen sogar zwei neue Erhaltungsgrößen als nötig: BaryonenzahlA und Leptonenzahl L.13.4.15. HyperonzerfallDer zweite Teil der zweiten Aussage ist unter mehr als 10 14Fällen, d. h. 10 14 "Beobachtungsperioden" von je 10- 23 s,nur etwa einmal falsch. 10 14 Tage sind etwa die vermutlicheLebensdauer der Sonne bis zu ihrem praktischen Verlöschen(wir sehen von allem ab, was der Erde zustoßen könnte).Beide Aussagen haben die gleiche Sicherheit. Das Hyperonist tatsächlich fast stabil. Man darf sich eben nicht dadurchtäuschen lassen, daß 10- 10 s schon so kurz erscheint.13.4.16. SpeicherringWie jeder weiß, ist der Frontalzusammenstoß zweier Autosmit je 50 kmlh viel effektvoller als der Stoß eines Autos mitder doppelten kinetischen Energie, d. h. mit 70 km/h, auf einstehendes, ungebremstes Auto. Im zweiten Fall rollen beideidealerweise mit 35 kmlh weiter (total anelastischer Stoß). ImSchwerpunktsystem fuhren beide also anfangs nur mit 35 km/h aufeinander zu, der Energieumsatz ist nur halb so groß wiebeim 50-50-Unfall. Wir übersetzen: Auto = Teilchen, anelastischeZerstörungsenergie 1J = in Teilchenerzeugung investierteEnergie, Auffahrunfall = Stoß mir ruhendem Target,Frontalunfall =Speicherring-Experiment. Wir betrachten immermaximal anelastische Stöße, bei denen maximal vieleneue Teilchen erzeugt werden können. Dabei bleiben die ursprünglichenStoßpartner "aneinander kleben". Bei relativistischenTeilchen wird die Bevorzugung des Speicherring­Stoßes noch viel größer, denn das stoßende Teilchen hatviel größere Masse (im L-Systern). Ein 6 Ge V-Elektron hatm = 12 OOOmo und gibt nur ganz wenig Energie 1] an ein ruhendesab, ähnlich wie ein Auto beim Stoß mit einem 70 g­Vogel. Quantitativ stimmt der Vergleich nicht ganz, dennbeim Stoß ändert sich die Masse des stoßenden Teilchensauch (sonst würde man immer 1] = m 0c2 erhalten, also bestenfallsein neuerzeugtes Elektron). Anders ausgedrückt:Relativistisch kann man leider nicht mehr sagen, die Stoßpartnerteilten sich den verfügbaren Impuls im Verhältnisihrer Massen. Impuls und Energie bilden den Vierervektorp; = (p!,P2,P3,iWjc), der sich beim Übergang zu einemanderen Bezugssystem durch Drehung, also unter Konstanzdes Betrages(L. 3)transformiert (relativistischer Energiesatz, Abschn. 15.2.7).Bei ruhendem Target und gleichen Teilchen ist im L-SysternW1 = W, PI = p, W2 = moc2, P2 = 0. Das S-System ist da-

Kapitel13: Lösungen 1155durch gegeben, daß beide Pi-Vektoren symmetrisch zur W­Achse liegen: p~ = -p~ = p', w; = W~ = W'. Man liest abpc 2tan(al2) 2p'c1W'tana =- = ------'-o,-:___--'---,-W 1 - tan2 (al2) 1 + p 1 2c2 IWI2 ·p und p 1 werden nach (L. 3) durch W und W' ausgedrückt.Man erhält schließlich W' = J~moc 2 (W + moc2 ). Im S-Systemsteht also sehr viel weniger Energie (2W') zur Verfügungals im L-System aufgewandt worden ist (W), nämlichim ultrarelativistischen Fall (W ::'P moc 2 ) nur 2W' =.j2Wm0c2 (Abschn.l3.3.3 und 17.3.4, Aufgabe 15.2.15).Bei W = 6GeV ist für Elektronen nur 2W' = 110moc 2 . ImSpeicherring geben zwei 3 Ge V-Elektronen ihre vollen12 000moc2 her.13.4.17. '1'/J-ZerfallBeim Ablesen der Peakbreite beachte man die logarithmischea-Skala. Schon bei Abweichung um etwa 1 MeV vom Peakmaximumfällt die Kurve auf!· Damit ergibt sich die Lebensdauerzu r ~ hl 1'1 W ~ 4 · 1 0~ 21 s. Das scheint noch sehrkurz. Man bedenke aber, daß eine für Resonen übliche Lebensdauervon einigen 10~ 24 s ein 1'1 W von einigen Ge V ergäbe,d. h. einen Buckel, der etwa bis zur doppelten Peakenergiereichte. Die verschiedene und unsymmetrische Längeder Fehlerbalken beruht hauptsächlich auf der logarithmischenAuftragung. Der absolute Fehler ist überall 8-15 Einheitender a-Skala, nur an der rechten Peak-Flanke etwasgrößer.13.4.18. Ein Zerfall oder zwei?Wir transformieren zunächst auf das Schwerpunktsystem,d. h. auf das System, in dem die Granate ruht. Im Fall B erhaltendie Teilstücke a und bc bei der ersten Explosion entgegengesetzteImpulse. Ihre Energien verhalten sich also wieWaiWbc = mbc/ma, d. h. das Stück a erhält den Anteilmbc W l(ma + mbc) der Detonationsenergie W. Im S-Systemhat also Wa einen scharfen Wert. Die aufs Laborsystem zurücktransformierteEnergie W~ kann nur variieren, weil derDetonationsimpuls verschiedene Winkel mit der Raketenbahnbildete. Man könnte den Zusammenhang zwischenW~ und dem Flugwinkel a von a ausrechnen. Wesentlichist hier aber nur, daß zu jedem a nur ein bestimmter Wertvon W~ gehört. Im Fall A ist das anders, denn Impuls undEnergie können sich schon im S-System ganz verschiedenauf a, b und c verteilen. Dementsprechend erhält man beiAbmessung vieler Ereignisse für jede Richtung a ein ganzeskontinuierliches W~ -Spektrum.13.4.19. Negative RuhmasseDer 4 He-Kem (m = 4,003 AME) ist leichter als seine Bestandteile(2mp + 2mn = 4,032 AME). Der Massendefektist bis auf den Faktor c 2 die (maximale) Fusionsenergie.Er ist kleiner als die Nukleonenmasse. Nichts Prinzipielleshindert aber eine Bindung, z. B. zwischen zwei Teilchen Aund B, so stark zu sein, daß der Massendefekt die Ruhenergiejedes der Bestandteile übertrifft. Der Komplex AB wäredann leichter als A oder B einzeln. Bei der Bindung vonQuarks, z. B. im Pion, scheint das zuzutreffen. Nehmenwir willkürlich die Ruhenergie des Quarks zu 10 Ge V an.Die des Pions ist 0,1 Ge V, also die Bindungsenergie desQuarkpaars 19,9 Ge V. Es kostet nur um die kleine Pionemuhenergiemehr, ein Quarkpaar aus dem Nichts zu machen, alsein Pion zu zerschlagen. Kann eine Bindung noch etwas stärkersein, so daß die Masse des Komplexes negativ wird? Wirhätten dann ein "Eselsteilchen" (vgl. Aufgabe 13.4.20). EinTachyon mit seiner imaginären Ruhmasse kommt allerdingsselbst so nicht heraus (vgl. Aufgabe 13.4.21).13.4.20. AsinonNach Newtons Bewegungsgleichung a = F Im würde einTeilchen negativer Masse sich in Gegenrichtung zur Kraftbeschleunigen ("Eselsteilchen"). Nach dem Gravitationsgesetzwürden ein normales und ein Eselsteilchen einander abstoßenwie zwei gleichnamige Ladungen: F = -Gm 1 m2r I r 3 ,zwei Eselsteilchen würden sich wieder anziehen. Dies betrifftdie Richtung der Kräfte zwischen ihnen. Auf diese Kräftewürden aber die beiden Eselsteilchen reagieren, indem sievoneinander weg liefen. Noch bizarrer würden sich das Teilchenund das Eselsteilchen verhalten: Das normale Teilchenwürde durch die Abstoßung vom Eselsteilchen weggetrieben,dieses aber gerade zum normalen Teilchen hin, würde diesesalso unter ständiger Beschleunigung verfolgen, bis beidepraktisch Lichtgeschwindigkeit erreicht haben, wobei beiderMassen gegen Unendlich gingen, ohne daß der Energiesatzim Geringsten verletzt wäre: Beide Energien haben jaentgegengesetztes Vorzeichen! Zwei Teilchen gleicher Absolutmassehielten bei dieser Jagd immer den gleichen Abstand,ein absolut leichteres Eselsteilchen rückte dem anderen beschleunigtnäher auf den Pelz, ein absolut schwereres hinktehoffnungslos hinterher. Kein bekannter Erhaltungssatzschützt uns vor solchen Verrücktheiten. Man könnte zunächstdenken: Montieren wir doch Teilchen und Eselsteilchenauf zwei Schaufeln einer Turbine. Sie rennen einandernach, die Turbine dreht sich als perpetuum mobile- also gibtes keine Eselsteilchen oder, noch besser, wir sind alle Energiesorgenlos. Aber wie will man das Eselsteilchen an dieSchaufel binden? Durch eine anziehende Kraft. Aber dannläuft es gerade weg! Binden kann man es nur durch eine Abstoßung.Deren Reaktionskraft treibt aber die Schaufel geradeim falschen Sinn, was den angeblichen Antrieb genauaufhebt. Herstellung von Eselsteilchen: vgl. Aufgabe13.4.19.13.4.21. TachyonWenn trotz imaginären mo die Energie w = moc2 I.jl- v2 lc2 reell sein soll, muß die Wurzel auch imaginär,d. h. die Klammer negativ, d. h. v > c sein. Ein Tachyonhat immer Überlichtgeschwindigkeit. Je mehr es sich c vonoben her nähert, desto größer wird seine Energie, und zwarunbegrenzt. Deswegen kann es c auch, von oben her, nieüberschreiten. Es hat auch keinerlei Neigung dazu, besonderswenn es geladen ist. Als Ladung mit v > c sendet esnämlich immer, sogar im Vakuum, Tscherenkow-Strahlungaus, wie ein normales geladenes Teilchen in einem Medi-

IIII1156 : : Lösungen zu den Aufgabenum, in dem die Phasengeschwindigkeit des Lichts kleiner istals seine eigene. Tscherenkow-Strahlung verzehrt aber Energie;das W des Tachyons nimmt ständig ab, sein v nimmt zuundzwar beschleunigt, denn je höher die Überlichtgeschwindigkeit,desto stärker die Tscherenkow-Strahlung - d. h. dasTachyon wird im Umsehen unendlich schnell! Feynman hatgeargwöhnt, es könne Tachyons geben, und in mehrerenBeschleuniger-Labors sucht man allen Ernstes nach ihrenSpuren. Trotz ihrer imaginären Ruhmasse können übrigensdie Tachyonen dmchaus eine positiv-reelle Massem = mo I J 1 - v2 I c 2 haben, brauchen sich also nicht "eselhaft"zu verhalten (vgl. Aufgabe 13.4.20).13.4.22. Back in timeIn ein x, t-Diagramm, wie üblich mit vertikaler t-Achse,zeichne man ein "N", das die Jetzt-Achse mit allen drei"Beinen" schneidet. Nach Wheeler-Feynman gelesen, stelltdas zwei e- und eine+ (oder umgekehrt), eine Paarbildungin der Vergangenheit, eine Paarvernichtung in der Zukunftdar. Die Knicke mit ihren abrupten Beschleunigungen erfordernnatürlich Beteiligung von Photonen. Durch Verlängerungder Zickzacklinie kann man beliebig viele Elektronenund Positronen "machen", allerdings immer in gleicher Anzahl(evtl. bis auf eines). Die Positronen, die man nicht sieht,sind dann vielleicht in den Protonen versteckt. Ein in der Zeitrückwärts laufendes Elektron sieht z. B. eine positive Ladung."Da muß ich hin", sagt es sich, und tut das auch.Für uns aber, die den Film seines Verhaltens in umgekehrterRichtung sehen, entfernt es sich von der+ -Ladung, als ob esselbst positiv wäre, und zwar mit genau der Beschleunigung,die der Elektronenmasse entspricht: Es verhält sich wie einPositron.13.4.23. Quark confinementMindestimpuls nach der Unschärferelation p:::::! hlr, Mindestenergiefür relativistische Teilchen W = pc:::::! hclr.Eine Kraft, die auf dem Abstand r diese Energie vernichtet,ergibt sich aus For = W zu Fo:::::! hclr2 . Da nach(13.11) r:::::! hl(mc), kann man auch schreibenFo :::::! m 2 c 3 lh. Dies ist die einzige Kombination von h, c,m mit der Dimension einer Kraft. Wollte man die Teilchendurch einen "Gummibeutel" vom Radius r zusammenhalten,müßte dieser einen Wanddruck Folr 2 :::::! m 2 c 3 l(hr 2 ):::::! m 4 c5 1 h 3 aushalten. Auch dies ist die einzige Kombinationvon der Dimension eines Druckes. Die Schallgeschwindigkeitals Wurzel aus Druck/Dichte mit der Dichte mlr 3wird gleich der Lichtgeschwindigkeit.13.4.24. Bohr-Modell für QuarksGleichgewichtsbedingung: Zentrifugalkraft mw 2 r = Fo.Drehimpulse müssen ganzzahlige Vielfache von li sein:mwr2 = nn. Daraus folgt w = nlil(mr 2j, in die Gleichgewichtsbedingungeingesetzt Fo = n 2 Tz l(mr 3 ), also r =jn2li 2 l(mFo). Die potentielle Energie ist Wpot = For =\J n2li 2 FÖim. Vergleich mit (13.11) liefert sofortv = wr = nli I ( mr) :::::! c, also bewegen sich die Teilchen relativistisch.Sie können so leicht sein wie sie wollen, ihreMasse und die des Mesons sind überwiegend kinetischund potentiell: m = W I c2 (man beachte: Wpot ist hier vomZustand r = 0 aus positiv zu rechnen, nicht negativ wieim Coulomb-Feld von r = oo aus). Setzt man einfachWpot = mc 2 (die kinetische Energie ist von gleicher Größenordnung,wie im Coulomb-Feld), so folgt mc 2 =(nliF 0 ) 2 1 3 m-113, also mn = )nnFoc3. Zahlenmäßig: mn:::::!7 · w- 28 kg vfn, was die richtige Größenordnung hat. DieVii-Abhängigkeit ist ganz gut erfüllt. Man sieht das, wennman den Dreiergruppen in der Tabelle die n-Werte 1, 2, 3oder 0, 1, 2 zuordnet und entweder die Massen betrachtet,gegen die die drei Massenfolgen offenbar konvergieren(:::::! 1,:::::! 1,5, 1,8), oder die Masse des ersten Gliedes abzieht.13.4.25. Dipolkräfte IIm Atom hat i. allg. der Zustand die geringste Energie, in demdie Elektronen gleiche Spins haben, sofern das Pauli-Prinzipdas zuläßt (Hund-Regel). Als parallele Kreisströme aufgefaßt,müssen ja Elektronen mit parallelen Drehachsen einanderanziehen. Bei den Quarks im Meson ist es umgekehrt,denn Quark und Antiquark hab(m komplementäre Farben,ebenso wie ein Quark und die beiden anderen im Baryon.Alle Hadronen sind ja "weiß". Es ist so, als enthielte einAtom ein Elektron und ein Positron. Dieses System hat beiantiparallelen Spins die kleinste Energie, denn dann rotiertdie Ladung in beiden Kreisströmen entgegengesetzt wiedie Antiladung im anderen, d. h. beide Ströme sind wiederparallel. Dieser Spinimpuls ist natürlich zu unterscheidenvon dem in der vorigen Aufgabe behandelten Bahnimpulsder Quarks. Die Massenaufspaltung zwischen 2. und 4.Spalte der Tabelle 13.12 entspricht der Feinstruktur-Aufspaltungder Elektronenzustände. Mit wachsendem n (nach untenin jeder Dreiergruppe) wird sie immer kleiner, weil der Abstandrn zwischen den Quarks größer wird, also die "farbmagnetischeDipolenergie" abnimmt. Eine Dipol-Dipol-Energieist um einen Faktor ~ r- 2 kleiner als die entsprechende Pol­Pol-Energie, falls die Dipollänge d « r ist (Dipolfeld istDifferenz zweier Polfelder, Differentiation nach dem Ortgibt ein r im Nenner; Kraft auf Dipol ist Gezeitenkraft,stammt aus Inhomogenität des Feldes, weitere Differentiationergibt weiteren Faktor r im Nenner). Wegen rn ~ vfn bedeutetdas hier eine Abnahme ~ 1 In. Offenbar ist aber bei derstarken Wechselwirkung die Dipolenergie von gleicher Größenordnungwie die Polenergie, im elektrischen Fall ist sie umden Faktor r1 2 kleiner (IX= e 2 l(4nl'.onc) = 11 7 Feinstrukturkonstante).Die starke Wechselwirkung hat eine Feinstrukturkonstantevon der Größenordnung 1. Zahlenmäßig stimmtdie n- 1 -Abhängigkeit nicht so gut wie vfn in der vorigenAufgabe. Die Lage ist also in Wirklichkeit komplizierter.13.4.26. Dipolkräfte IIDie Wechselwirkungsenergie zweier magnetischer Dipolemit den Momenten p und p' im Abstand r voneinander istW = ±J-loPP 1 I ( 4nr 3 ) ( + für parallele, - für antiparalleleEinstellung), analog zum elektrischen Fall, wo esW = pp' I ( 4nBor 3 ) heißt. Das Elektron hat das magnetische

Kapitel13: Lösungen 1157Moment Pe = eTil(2me) = 9,27 · 10- 24 J/T, das Proton hat2,79mal mehr als man entsprechend seiner Masse erwartensollte, nämlich Pp = 1,41 · 10- 26 J/T, beim Neutron ist dieserFaktor -1,91, also Pn = -0,97 · w-26 J/T, bei denQuarks kann man aus Ladung und Masse eine ähnliche Größenordnungvermuten, wobei der p-Betrag bei u größer seinsollte als bei d und s. Für Elektron und Proton im H-Atomfolgt als Energiedifferenz zwischen den beiden Einstellungen1,7 · 10-25 J (genauer: Aufgabe 16.4.9). Bei zwei Elektronenim Atom kommt fast das Tausendfache heraus, alsoeinige hundertstel eV, der typische Abstand der Feinstrukturterme.Für zwei Nukleonen kommt knapp 1 MeV heraus, fürdie Quarks im Baryon etwas mehr als 1 MeV. Tatsächlichjedoch ist jedes Baryon um einige MeV leichter als das benachbarte,um eine Stufe negativere. Das positivere Teilchenenthält ja ein u statt eines d mehr, und das u mit seinem größerenMoment bringt einen höheren Energiegewinn bei derMomentenabsättigung. Leider ist dies keine vollständigeTheorie, denn wenn es nur auf die Ladungen der Quarks ankäme,müßten neutrale und negative Baryonen gleiche Massenhaben. Auch die magnetischen Gesamtmomente der Baryonenkommen nicht so richtig heraus.13.4.27. HyperonzerfallIn allen Fällen kann man sich vorstellen, daß zuerst derelektroschwache, also langsame Zerfall s --> d + u + uoder s --> d + d + d erfolgt. Das sind die einzigen Zerfälle,die Ladungs- und Energieerhaltung respektieren.Nun kommt es darauf an, ob die Endprodukte sich zu neuenTeilchen, Baryon +Meson, mit geringerer Gesamtmasse umordnenlassen. Von I:- = dds aus geht das nur beidds--> udd + ud, denn ddd =LI- wäre sogar schwerer alsI:-. Von 1:+ = uus aus sind beide Kanäle gangbar:uus --> uud + dd und uus --> udd + ud. Je mehr gleichberechtigteKanäle da sind, desto kürzer ist die Lebensdauer.Bei den E-Hyperonen bleibt eines der s übrig und muß insBaryon eingebaut werden, denn ein Kaon wäre zu schwer.Auch jede mögliche Kombination I: + 1r wäre zu schwer,so daß nur jeweils ein Kanal E --> A + 1r bleibt. Nach derAnzahl der Kanäle müßte s- langsamer zerfallen(ssd --> dddsd liefert keine erlaubte Kombination), aberder Einfluß der verfügbaren Zerfallsenergie (r,...., w- 6 )scheint dies überzukompensieren: s- ist ja schwerer als 3' 0 .13.4.28. Wieviele Quarks gibt es?Der Wirkungsquerschnitt für die Erzeugung eines Teilchenpaaresder Ladung ±Q in einem elektromagnetischenProzeß ist a :::::; e 2 Q 2 I ( 4Jrso W) 2 , wo W die Energie imSchwerpunktsystem ist. Myonen haben Q = e, die Quarksu, d, s haben Qu = 2el3, Qd = -el3, Qs = -el3, jedesvon ihnen kommt in drei Farben vor. Wenn die Energieausreicht, um alle diese drei Quarks zu erzeugen, ist dasVerhältnis zwischen Quark- und Myonerzeugungsrate3. ( (213) 2 + 2. (113) 2 ) = 2. Wenn das c- und das b-Quarkmit 2el3 bzw. -e/.3 dazukommen, ergibt sich3. (2. (213) 2 + 3. (113) 2 ) = 3,67. Diese Verhältnisse findetman auch im Experiment.13.4.29. Monopol-KräfteDie Ladung e erzeugt ein Radialfeld E = ei(4Jrso,-l), derMonopolp analog ein Radialfeld B = f1oPI(4u 2 ). Wir setzene und p in den Abstand 2d voneinander. Auf der Verbindungslinieist der Poynting-Vektor S = 0, weil E II H, sonstist er überall I 0 und zeigt überall senkrecht zur Verbindungslinie,und zwar so, daß er überall den gleichen Drehsinnum diese ergibt: In der Zeichenebene mit e links, prechts zeigt S oben auf uns zu, unten von uns weg. In derMittelebene im Abstand d von der Achse istS = epi(64Jr 2 Bod 4 ). Die Impulsdichte des Feldes mußSI c 2 sein, denn S ist Energiestromdichte, d. h. Energiedichte·c, und Energie = Impuls· c. Die Drehimpulsdichteergibt sich also durch Multiplikation von SI c 2 mit dem Abstandvon der Achse, der gesamte Drehimpuls durch Integrationüber den ganzen Raum. Werte ähnlich dem oben angegebenenhat S überall in einem Zylinder der Höhe 4d und desRadius 2d, außerhalb davon ist S schon viel kleiner. Damitfolgt der Drehimpuls des Feldes zu L = epf1oi(4Jr), wennman beachtet, daß c- 2 = Boflo· Die (mühsame) Ausrechnungdes Integrals bestätigt das. Es klingt zunächst überraschend,daß L nicht von d abhängen soll. Bei großem dwird S zwar kleiner (wie d-4 , die Drehimpulsdichte wied-3), aber dafür ausgedehnter (wie d3 ). Wenn man z. B. dverdoppelt, gilt das alte Feldlinienbild und damit der Winkelzwischen E und H noch. S ist überall durch 16 zu teilen, dieDrehimpulsdichte durch 8. Dafür haben sich aber alle Voluminaverachtfacht - Der Drehimpuls L muß, wie immer, einVielfaches von Ti sein, mindestens Ti. Damit folgt ep = 2hl flo(im CGS-System ep = Tic). Die Beziehung (13.38) schreibtsich im SI genauso mit r:x = e 2 I ( 4Jrsonc). - Diesen Drehimpulswürde man auch direkt spüren, wenn man die Achse zuschwenken versuchte. Man tue dies mit der Winkelgeschwindigkeitw, so daß die Ladung e sich mit v = wd bewegt, z. B.nach unten. Sie erfährt dann im B-Feld des Monopols eineLorentz-Kraft F = evB = wepf1oi(4Jrd) und zwar vom Beschauerweg. Die Drehung erfordert also ein DrehmomentFd = epf1 0 wi(4Ir), genau wie bei einem Kreisel mitL = epf1ol(41r).13.4.30. War es ein Monopol?Da keine Tscherenkow-Strahlung auftrat, war das beobachteteTeilchen langsamer als ein:::::; 0,67c und hatte ein VerhältnisW IM = c2(II y'1 - v2 I c2 - 1) < 0,4c 2 . Die nichtrelativistischeBethe-Formel (13.25) fordert dann Zi;;;, 100(aus der gemessenen Ionisierungsdichte). Andererseits istdie praktisch fehlende Bremsung nur mit einer MasseM > lOOmp zu vereinbaren. Strenggenommen folgt aus(13.25) und (13.38) Z4m > 4 · 1010. So schwere Kernesind in der kosmischen Strahlung fast ausgeschlossen. EinMonopol mit p = l37e (13.38) und v:::::; c würde ähnlich ionisierenwie eine elektrische Ladung Ze mit Z = 137. Manversteht das am besten im Bezugssystem des Monopols.Atomelektronen, die mit v am Monopol vorbeisausen, erfahreneine Lorentz-Kraft F = evB in dessen MagnetfeldB = f1acpl(41r,-l). Mit v:::::; c wird F:::::; epi(4Jrso?). Daß

IIII1158 :: Lösungen zu den Aufgabendiese Kraft nicht radial, sondern quer zum Monopol gerichtetist, ändert nichts an der Argumentation (Aufgaben 13.3.3 bis13.3.5), die zur Bethe-Formel führt (nur die V-Abhängigkeitändert sich). Man hat inzwischen eine andere Deutung für dieSpur von Sioux City gefunden.13.4.31. Neutrino-OszillationDie Unschärfe des Impulses ist tip ;;;:; h/x. Beim Elektronz. B. kann sich dies nur als Unschärfe von v äußern, bei Neutrinosentsprechend W = V m6c4 + p2c2 auch als ÄnderungIimo der Ruhmasse: ti(mÖ) ~ ti(p 2 )/c 2 . Wegen tip « p undmoc « p (falls vorhanden, beträgt die Ruhenergie höchstenseinige eV), also W ~ pc, folgt für die Strecke, nach der einesolche Verwandlung möglich wäre, x ~ 2Wh/(ti(mÖ)c 3 ).Bei mo = 0 wird das unendlich (keine Oszillation möglich),bei plausiblen endlichen Ruhenergien (einige eV)sollte es schon einige Meter oder weniger von der Quelleentfernt nur noch ein Gemisch von e-, p,- und r-Neutrinosgeben. Dieser offenbar empfindlichste Test auf die Existenzeiner Neutrino-Ruhmasse hat aber noch kein klares Ergebnisgeliefert. Sonst hätte man hier die einfachste Erklärung fürdie Tatsache, daß Davis in der Hornestake Mine mit seinen550 Tonnen Cl nur 1/3 der erwarteten Solar-Neutrinos findet.13.5.1. K. o. durch ein Proton?4 · 1021 eV = 6401. Ein Vorschlaghammer, auf 2mSchwungweite ständig mit 300 N bescheunigt, hat ebensoviel.Trotzdem täte uns solch ein Teilchen selbst im Weltraumnichts, eben wegen seiner großen "Härte": Seine Reichweitewäre etwa 10 12 g/cm 2 , d.h. von den 6401 werden inunserem Körper, der ca. 100 g/cm 2 bietet, schlimmstenfallsnur ca. 1 o- 7 J frei. Die Ionisierungsdichte ist kaum höherals die eines 100keV-Elektrons (vgl. Abschn.l3.3.1).13.5.2. Solarer BeschleunigerKräftige Sonnenflecken recken ihr Magnetfeld weit in dieCorona hinaus, wie man schon daran erkennt, daß überdem Fleck die Corona als Strahl weiter in den Raum hinausragtals anderswo. Dort ist aber die Gasdichte so gering, daßgeladene Teilchen fast ungestört dem ringförmigen elektrischenInduktionsfeld folgen, das den Sonnenfleck mit seinemanwachsenden oder abnehmenden Magnetfeld umspannt.Die Magnetfeldänderung ist im BeispielB = 0,3 T/(100d) ~ 3 · 10- 8 T/s ~ 3 · 10-8 V /m 2 . Sie erzeugtnach der Maxwell-Gleichung ein Ringfeld E gemäß21rrE = 1rr 2 B, also E ~ ! rB ~ 1 V /m. Im Gegensatz zumtechnischen Betatron sind die Strahlungsverluste, die dortdie erreichbare Energie begrenzen, vernachlässigbar, weildie Bahnradien so groß und die Beschleunigungen so kleinsind. Das Teilchen wird daher so lange beschleunigt, bisder Energieverlust an die Restgasteilchen, beschriebendurch die Bethe-Forrnel (13.25) bzw. einen Ausdruck, derdie Kernstöße berücksichtigt (vgl. Aufgabe 13.5.3), gleichder Energieaufnahme im Feld E wird. Für so hohe Energiengilt der relativistische Grenzfall der Bethe-Forrnel, der demfast energieunabhängigen Plateau rechts in Abb. 13.34 entspricht:dW /dx ~ -0,8Z 2 e (W in MeV, x in cm). Die Energieaufnahmeim Feld ist dW /dx = eE ~ 10- 4 MeV/ern. DieDichte des Corona-Plasmas in einem Abstand von einemSonnenradius über der Sonnenoberfläche ist etwa10- 17 g/ cm 3 . Damit ergibt sich, daß dort praktisch überhauptkeine Bremsung vorliegt: Das TeHchen wird währendder ganzen Lebensdauer des Flecks beschleunigt und kommtso, falls es immer auf der günstigsten Kreisbahn bleibt, aufgrößenordnungsmäßig 10 12 MeV. Realistischere Schätzungenführen auf etwa 109 MeV. Manche Sterne scheinen insgesamtso hohe Magnetfelder zu haben, wie sich bei derSonne im Fleck konzentrieren. Interstellare Magnetfelderkompensieren ihre Schwäche durch ihre ungeheure Ausdehnung.13.5.3. Tiefsee-MyonenBei relativistischen Energien läuft die Bethe-Bremskurve,die die Ionisierungsverluste beschreibt, in ein Plateau aus,das für alle geladenen Teilchen ungefähr gleichhoch liegtund mit wachsender Teilchenenergie W nur sehr schwachansteigt: dW /dx ~ -0,8eZ 2 (1 + 0,1 ·ln(l- v 2 jc 2 )- 1 ).Dabei ist w in MeV, X in cm, e in g/cm 3 ausgedrückt. DieReichweite eines Teilchens gegenüber solchen Verlustenist also etwa proportional der Energie: R ~ W/(0,8eZ 2 )oder als Flächendichte ausgedrückt: QR ~ W /(0,82 2 ). Fürein einfach geladenes Teilchen ist die Reichweite in g/cm2ungefähr gleich seiner Anfangsenergie in MeV. In 4 km Meerestiefe, d. h. hinter 4 · 10 5 g/ cm 2 Abschirmung kann mandaher nur Teilchen mit einer Primärenergie oberhalb300 Ge V antreffen. Von 10-100 MeV an treten Verlustedurch Kernstöße neben die Ionisationsverluste (1 0 MeVetwa sind nötig, um ein Nukleon aus dem Kern zu schlagen,100 MeV, um ein Pion zu erzeugen). Wenn der Stoßquerschnittfür solche Stöße gleich dem geometrischen Querschnittdes Nukleons (5 · 10- 26 cm 2 ) wird, verzehren beideArten von Stößen ungefähr gleichviel Energie: Die freieWeglänge für Kernstöße ist l = 1/(na); dabei ist n, die Nukleonenzahldichte,gleich Q / mH, also die Flächendichte, dieeinem Stoß entspricht, lQ = mH/ a ~ 20 g/ cm 2 .13.5.4. MaximalenergieDas energiereichste bisher beobachtete Teilchen mit4 · 10 21 eV, wahrscheinlich ein Proton mit 4 · 10 12 Ruhmassen,"wog" fast 10- 11 g, also soviel wie ein kräftiges Bakterium.Nach Aufgabe 13.5.1 reichte die Energie, wenn sie sichauf eine entsprechend kurze Laufstrecke konzentrierte, zumk. o. leicht aus. Der Faktor der Lorentz-Abflachung und derZeitdilatation ist ebenfalls 4 · 10 12 , v weicht um etwa 10-25von c ab. Wenn so ein Teilchen also von der Erde aus gesehen50000 Jahre oder über 10 12 s zum Durchqueren der Galaxisbraucht, vergeht in seinem Eigensystem nur knapp 1 s.13.5.5. RaumanzugBei gleicher Energie haben Protonen entsprechend dem Massenverhältniseine viel kleinere Reichweite als Elektronen.Da die Reichweite aber andererseits annähernd wie W 2steigt (Whiddington), sind ISOMeV-Protonen doch etwalOOmal durchdringender als 0,78 MeV-Elektronen. Die Be-

KapHel 13: Lösungen 1159the-Formel bzw. Abb. 13.35liefern 0,2 g/cm 2 für die Elektronen,20 g/cm 2 für die Protonen. Gegen die Elektronen schütztalso schon die Kleidung, die Protonen werden erst durch fast2 cm Blei abgeschirmt.13.5.6. StrahlungsgürtelJedes 100 MeV-Proton setzt auf den 20 cm, die es in organischemGewebe zurücklegt, 10 8 f3~,::,; 3 · 1~ 6 .Ionenpaare frei.Der Protonenfluß von 108 m- s 1 entspncht also 1,5 · 109Paaren/cm 3 s, d. h. 10- 3 Röntgen/s. Beim Durchstoßen derZone maximaler Intensität, die etwa 15 000 km dick ist,mit 10 krn/s würde ein ungeschützter Astronaut etwa15 rem aufnehmen ( Qualitätsfaktor 10 wie für y-Strahlung).Das entspricht zwar noch keiner ernstlichen akutenStrahlenkrankheit, würde aber die maximale Toleranzdosisfür mehrere Jahre aufbrauchen. Protonen mit 100 MeV,also mit 10% der Ruhenergie fliegen mit knapp c /2. DerFluß von 108 m -z s-1 ergibt sich also aus einer Teilchenzahldichtevon etwa w- 6 cm-3 (j = nvt Die Atmosphärendichtein 1 000 km Höhe ist etwa 1 o- is gj cm 3 (Ska1enhöheca. 20 km bei der mittleren Temperatur von annähernd1 000 K). In einem Gas dieser Dichte ergibt sich nachAbb. 13.35 eine Reichweite von 10 19 cm, also eine Lebensdauervon mehreren Jahren. Diese Lebensdauer wird aber umGrößenordnungen verkürzt durch die Undichtigkeiten dermagnetischen Flasche, die einigen Teilchen tiefer in die Exosphäreeinzudringen gestatten.13.5.7. Kosmische SchauerFür nichtrelativistische Teilchen nimmt der Energieverlustpro cm Bahn stark mit der Teilchenenergie W ab (wie1/W), für relativistische ist er praktisch unabhängig vonW. In der Gegend von W = mc 2 ,::,; 1 Ge V liegt auch dieGrenze zwischen überwiegender Wechselwirkung mit Atomelektronenbzw. mit Kernteilchen. Die Sekundärteilchen, aufdie sich die Energie eines hochrelativistischen Teilchens verteilt,haben daher kaum weniger Reichweite, als das Primärteilchengehabt hätte. Die Sekundärteilchen eines langsamerenTeilchens dagegen laufen sich sehr schnell tot oder fallenüberhaupt unter die Grenze, bei der noch Ionisierung möglichist.13.5.8. Unser StrahlungsschirmEin geladenes Teilchen schraubt sich um Magnetfeldlinienmit dem Larmor-Radius r = mcj(eB) = Wj(eBc) (v"" c,Wkin,::,; mc2). Wenn dieser etwa gleich dem Erdradiuswird, ist von einem Einfang nicht mehr die Rede. Das geschiehtum W ,::,; 100 Ge V. Teilchen wesentlich unterhalb dieserEnergie werden von den Feldlinien in die Polarzonen geleitet,schnellere fallen überall ein. Der größte Radius derGalaxis ist 3 · 10 4 Lichtjahre,::,; 3.· 1020 m. Das entsprichtbei B,::,; 5 · 10-10 Tesla einer Maximalenergie von etwa10 20 e V, die günstigstenfalls noch gespeichert werdenkann. Teilchen mit 10 21 eV (vgl. Aufgabe 13.5.1) kommenalso direkt aus außer- oder evtl. innergalaktischen Quellenzu uns.13.5.9. Energien im WeltallKosmische Strahlung: Ein Proton/cm 2 s, mittlere Energie10 10 eV, repräsentiert eine Intensität I,::,; w-5 W m-2 , eineEnergiedichte I je,::,; 10-13 Jm-3 . Die thermische Strahlungder Sterne entspricht an einem typischen Ort der Galaxis 6 K(Aufgabe 11.2.19); damit wird I,::,; aT4 ,::,; 10-4 Wm-2 , nurwenig mehr als in den kosmischen Teilchen steckt ThermischeEnergie der Sternmaterie (größtenteils H vonT,::,; 10 7 K): ~kT jm,::,; 10 8 J/g, aber nur Q,::,; 10- 24 gjcm 3 ,wenn Sterne über Volumen der Galaxis verschmiert, also10- 10 J m-3 . Die kinetische Energie der Translation derSterne mit v,::,; lOOkrn/s entspricht nur der thennischenEnergie bei knapp 10 6 K (bei 300 K fliegen Protonen mit2,5 km/s), ist also lOmal kleiner als die wirkliche thermischeEnergiedichte. Die Gravitationsenergie der Sterne muß nachdem Virialsatz (oder der Kreisbahnbedingung) etwa gleichder thermischen, die Gravitationsenergie der Galaxis ausdemselben Grund gleich der Translationsenergie der Sternesein. Die kosmische Strahlung enthält also einen merklichenTeil der Gesamtenergie des Weltalls.13.5.10. AufladungWenn die kosmischen Teilchen die einzige Ursache einerLadungsänderung wären, würde die Flächenladungsdichte(J der Erde ansteigen wie iJ,::,; 10-15 cm-2 s- 1, die FeldstärkeE = (J I BQ wie E """ w- 4 V m - 1 s- 1 . Das Potential gegenr = oo ist U =ER, stiege also wie tJ,::,; 600 V s- 1 .Schon nach 50 Jahren könnten keine Protonen unter10 12 eV mehr auf der Erde landen. In Wirklichkeit wirdjede erhebliche Aufladung der Erde durch vermehrten Einfangvon Elektronen aus dem "Sonnenwind" (der relativlangsamen Plasmastrahlung der Sonne) ausgeglichen odernoch einfacher durch Abgabe von Ionen in den Raum (einProton hat nur 1 e V potentielle Energie im Schwerefeldder Erde).13.5.11. Space tennisDer Magnet fliege mit w, das Teilchen mit v, also relativ zumMagneten mit v + w. Senkrecht auf das Feld und seineBegrenzung auftreffend, wird das Teilchen nach einemHalbkreis mit dem Radius r = m(v + w)j(ZeB) wieder austreten.Im Bezugssystem des Magneten ändert sich dieGeschwindigkeit nicht, im Laborsystem kommt das Teilchenalso mit v + 2w zurück (analog zum tangentialenKatapultieren einer Raumsonde durch einen Planeten, Aufgabe1.8.14) und hat die Energie 2mw(v+w) gewonnen.Dies scheint zwei Thesen zu widersprechen, nämlich daßein statisches Magnetfeld kein Teilchen beschleunigenkönne (wenn es sich bewegt, kann es das doch}, und daß Feldlinienkeine beweglichen Borsten seien, wie es manche populärenDeutungen des Induktionsgesetzes suggerieren. Wirgehen jetzt ins Laborsystem. Der bewegte Magnet enthältdort nicht nur ein B-Feld, sondern . auch ein E-FeldE = wB senkrecht dazu und zu w. Während das Teilchenauf seinem Halbkreis seitwärts fliegt (im ganzen um2r = 2m(v + w)j(ZeB)), wird es in dem E-Feld beschleunigtund gewinnt die Energie ZeE2r = 2mw(v + w), genau

1160 Lösungen zu den Aufgabenwie oben. Wenn v und w gleichsinnig sind, tritt das Teilchenim Laborsystem mit v - 2w aus und hat die Energie2mw(v- w) verloren.13.5.12. Fermi-BeschleunigerDaß interstellare Gaswolken magnetisiert sind, weiß man ausder Polarisation des Stemlichts, das durch solche Wolkengelaufen ist. Sie bewegen sich typischerweise mit etwa100 km/s. Geladene Teilchen treffen auf ihrem Weg ebensooftauf Wolken, die in der gleichen, wie auf solche, die14.1.2. Diamant-SchleifereiDiamant ist zwar härter als Stahl - d. h. bei gegenseitigerLangzeitbeanspruchung würde der Stahl nachgeben -, aberals Valenzkristall spröder als das Metall, das keine gerichtetenBindungen hat und bei hinreichend kurzzeitiger Beanspruchungüberlegen ist. Oktaederflächen sind 111-Flächen.Sie sind dichter mit Atommittelpunkten besetzt alsalle anderen Flächen. Eben deswegen aber ist der Abstandzweier benachbarter 111-Flächen größer als für alle anderenFlächen (Flächendichte ~ Netzebenenabstand, denn die GeinGegenrichtung fliegen. Im ersten Fall verlieren sie2mw( v - w) an Energie, im zweiten gewinnen sie2mw(v + w). Im Mittel bleibt für jeden Stoß ein Gewinnvon 2mw2 . Ein Teilchen, das fast mit c fliegt, trifft allepaar Jahre auf eine Wolke von einigen Lichtjahren Durchmesser.Ein Proton gewinnt jedesmal etwa 100 e V; in 10 10Jahren, während deren das galaktische Magnetfeld es indichtbesiedelte Gebiete fesseln könnte, kann es auf einige100 Ge V kommen, vielleicht noch höher, wenn zwei einanderentgegenfliegende Wolken damit Tennis spielen.14.1.1. Eisen-KristallDie Raumerfüllungen durch kugelförmige Ionenrümpfe sind0,7405 im kubisch-flächenzentrierten (kfz), 0,6802 im kubisch-raumzentrierten(krz) Gitter. Im kfzGitterpassen nämlichvier Ionenradien auf die Flächendiagonale des Elementarwürfels:d = 2.J2T; im krz Gitter passen vier Ionenradienauf die Raumdiagonale: d = 4T j v'3; Raumerfüllungv47rT 3 /(3d 3 ) mit v = 4 (kfz) bzw. v = 2 (krz). An Zwischengitterplätzenstehen zur Verfügung: Im kfz Gitter eine Oktaederlückepro Gitterteilchen, maximaler Radius einer einzubauendenKugel r 2 = 0,414r (Würfelzentrum und Flächenmittendes Elementarwürfels), zwei Tetraederlücken pro Gitterteilchenmit Tz = 0,225r (eine in jedem Achtelwürfel). Imkrz Gitter gibt es drei Oktaederlücken pro Gitterteilchen mitr 2 = 0, 155r (in den Flächenmitten und gleichwertig in denKantenmitten). Obwohl also das krz Gitter im ganzenmehr "Luft" enthält, passen nur kleinere Zwischengitterteilebenhinein, weil dieser Platz schlechter verteilt ist. Die Lükkensind in einer Richtung sehr breit (0,633r in der Würfelfläche),können aber trotzdem nur sehr kleine Kugeln aufnehmen(0,155r senkrecht zur Würfelfläche). Kohlenstoff mitrc = 0,77 A (vgl. Abb.l2.56) paßt annähernd in die Oktaederlückendes kfz Gitters des Eisens (r = 1,24 A,Tz = 0,51 A) und baut sich daher leicht in die Schmelzeein. Beim Übergang zum krz IX-Gitter bei Abkühlung bleibendem C zwei Wege: Er kann das Gitter zum tetragonalen Martensit-Gitterdeformieren (der Elementarwürfel streckt sichdann in einer Richtung in die Länge), oder er kann sich ausscheiden,und zwar i. allg. als Eisenkarbid Fe3C. Diese intermetallischeVerbindung ist viel härter als Eisen. Ihre Einschlüsseverhindem das Übereinandergleiten der Fe-Gitterebenenund härten das Eisen zum Stahl.samtzahl der Atome muß immer gleich sein). Dodekaederflächen(110) und Würfelflächen (100) sind um die Faktoren0,612 bzw. 0,866 lockerer besetzt und einander näher. Nurjedes zweite Atom einer Oktaederfläche hat eine Bindungzur Nachbarnetzebene (dritte Bindung in der Netzebene verbraucht;abwechselnd eine Bindung zur oberen, eine zur unterenNetzebene). Jedes Atom in einer Würfelfläche recktzwei Bindungen schräg der Nachbarfläche entgegen, diesich in sie verzahnt.- Dodekaederfläche: Auch zwei Bindungen/Atomzur Nachbarfläche; nicht so stark verzahnt wie dieWürfelflächen. Die verschiedenen Schleifrichtungen einerFläche unterscheiden sich ähnlich wie die Streichelrichtungeneines Hundefells mit dem Strich bzw. gegen ihn. DieHaare sind hier natürlich die schräg wegstehenden Bindungen.In einer 111-0ktaederfläche hat jedes Atom sechs nächsteNachbarn in sechszähliger Symmetrie um sich, in der 100-Würfelfläche vier nächste Nachbarn in vierzähliger Symmetrie,in der 110-Dodekaederfläche nur zwei nächste Nachbarnin zweizähliger Symmetrie (die anderen beiden Nachbarnsind weiter entfernt). Das erklärt die Form der Schlagnarben.14.1.3. MadeJung-Konstantee 2 2 2w = ---(2- 2 + 3- 4 + - ...).4m>oroDie Reihe konvergiert zum Verzweifeln langsam. Vergleichmit der ln-Reihe entpuppt die Madelung-Konstante, d. h. denKlammerausdruck als 2ln 2 = 1,39. Für N aCl ist To =I 1/3 o(2 (23+35,5)mp/Q) = 2,81A, also W = 5,1eV·1,39= -7,0 eV. Beim dreidimensionalen NaCl-Kristall kommen-8,8 eV heraus.14.1.4. GitterpotentialBei großem Abstand überwiegt im Ionenkristall die Coulomb-Anziehung(n = 1), bei kleinem die r-m-Abstoßung.Das Minimum bei ro = (mA/B) 1 /(m-I) hat die Tiefe Wo= -(1- 1/m)B/To. Dort herrscht die Krümmung wg =(m- I)B/Tß. Die Dichte oder die Röntgenstreuung liefernro 2,8 A, der Bom-Haber-Kreisprozeß Wo6,2 · 10- 19 J pro Gitterion. Nach Abb. 11.20 haben die Gitterschwingungendie beherrschende Wellenlänge 60 11m,w = 3 · 1013 s- 1 . Im Topf mit der Krümmung wg schwingtein Teilchen der Masse m mit w = Jwg j m. Es folgt m = 4,

Kapitel14: Lösungen 1161B = 2,3 . w- 28 J m (genau der Coulomb-Wert e 2 I ( 47r80))und A = 1,3 · w- 57 Jm 4 .14.1.5. Thermische AusdehnungDie Ionen schwingen im Potential W = Wo + ! W3x 2 +!W3'~ = Wo(1 +2xllr6 -lfx 3 1rÖ) (Aufgabe 14.1.4, Taylor-Entwicklungum Minimum) mit der EnergiekT 12 = 2 · 10-12 J bei 300 K. Die Auswärts- bzw. Einwärts-Amplitudenfolgen aus 2x 2 /r5 - lf x 3 I rÖkT I (2Wo) zu x = 0,062ro bzw. -0,053ro. Das Mittelxlro = 0,0045 bedeutet einen Ausdehnungskoeffizienten3 · w-5 K-1 (die W-Kurve ist genähert parabolisch, daherein Faktor 2; gemessen 4 · 10- 5 K- 1 , Tabelle 5.2).14.1.6. E-ModulUnter der Zugspannung a gilt ein Potential W = Wo +! W3 x 2 - a? x mit seinem um x = a? W3 verschobenen Minimum.Der E-Modul E = W3 I ro hängt mit der beherrschendenGitterfrequenz w und der Gitterenergie Wo zusammen:E = mw 2 lro = mnWolrö. Die Bruchdehnung entsprichtdem Wendepunkt von W(r). Wenn die Kraft pro Teilchenar5 größer wird als die Wendepunktsteigung des ungestörtenW(r), gibt es weder Minimum noch Maximum, der Kristallzerreißt spätestens dann, bei den Werten von Aufgabe 14.1.4bei 4 · 1010 Nlm 2 . Das ist zu hoch: Ein Festkörper zerreißtnicht, indem jedes Einzelteilchen aus der Bindung an dieNachbarn herausschnappt, sondern indem ganze Reihenvon Gitterteilchen in Versetzungen (Dislokationen) aneinandervorbeigleiten.14.1.7. GitterenergieIonenkristall, z. B. NaCl: Jedes Na+ als Würfelmitte ist imeinfach-kubischen Gitter umgeben von sechs Cl- im Abstanda = 2,8A (Flächenmitten), ferner von 12Na+ im Abstanda;fi (Kantenmitten), 8 Cl- im Abstand av'3 (Ecken)usw. Die bis dahin aufgezählten Teilchen üben auf jedes Na+. . e 2 ( 12 8 ) 2, 1e 2em Potenttal -- - 6 +--- = - 047rl:oa ,fi y3 4Ireo 2,8 A~11 eV, d. h. 1 040kJimol aus. Für den nächstgrößeren Würfelfolgen 510kJimol, was den beobachteten 370kJ/molschon viel näher kommt.Valenzkristalle sind nicht so einfach zu behandeln, da eskeine einfache Theorie der homöopolaren Bindung gibt. DieBindung ist eine absättigbare Nahewirkungskraft; z. B. fürDiamant: Gitterenergie = ~ Bindungsenergien C-C. DieseBindungsenergie ist teilweise weggefallene Nunpunktsenergieder bindenden Elektronen, weggefallen infolge Erweiterungdes Potentia1topfes. Bei Erweiterung von 1 A auf 1 ,5 Ain einer Richtung ergibt sich eine Senkung der Nullpunktsenergieh 2 l(8md 2 ) um 4eVoder 370kJ/mol, also 740kJ/molfür das vierseitig gebundene Atom, was einigermaßenstimmt. Im Metall bietet das gesamte Gitter den Leitungselektroneneinen gemeinsamen Potentialtopf von makroskopischenAbmessungen an. Verglichen mit den isolierten Atomenfällt also die Nullpunktsenergie der Leitungselektronenvollkommen weg. Na hat eine effektive KernladungZeff ~ 1 ,8, sein Außenelektron sitzt in der Schale mitn = 3, die also nach Bohr den Radius n 2 · 0,5 AIZeff ~2,4 A hat. Die Nullpunktsenergie in einem Topf mit diesenAbmessungen ist 3,8eV, d.h. 370kJ/mol. Dies ist auch dieGitterenergie pro Atom (ein Elektron pro Atom).Dipol-Bindung (Eis): Das Dipolmoment des H 20-Molekülsläßt sich schätzen als p ~ 0,6e · 1 A · cos 52,5° (vgl.Abschn. 16.4.7), also p ~ 6 · w- ° 3 C m. Zwei solche Dipole,antiparallel im Abstand a = 3,1 A gelegen, der ausder Dichte des Eises folgt, üben aufeinander die potentielleEnergie q f 2 (4Ireo) . (21 a- 21 va 2 + 1 2 ) ~ q 2 l 2 I ( 4Ireoa 3 ) =p 2 I ( 4Ireoa ) = 0,07 e V aus. Die Umgebung jedes Molekülsin der hexagonal-dichtesten Struktur hat vier nächste Nachbarn.Die entfernteren spielen kaum eine Rolle, da die Dipolkraftschneller als die Coulomb-Kraft abfällt (mit r- 3 stattr- 2 ). Auf jedes Molekül entfallen wieder ~ Paarenergien,also 0,14eV oder 12kJ/mol, d.h. 240J/g, was weit hinterder Verdampfungswärme (2 400 J/g) bleibt. Der Rest starrimtaus der H-Bliickenbindung.14.1.8. Diamant und EisIm Eis sind nur zwei der vier von einem 0 ausgehenden Bindungenmit Protonen besetzt, die zu diesem 0 gehören; dieanderen beiden sind weiter entfernt. Im Diamant sitzt mittenauf jeder der vier Bindungen ein Elektronenpaar. Wir zeichnenzwei Nachbarteilchen und legen die Zeichenebene senkrechtzu ihrer Verbindungslinie. Abgesehen von dieser gemeinsamenBindung strecktjedes Teilchen noch drei Bindungenseitwärts aus. Im Diamant ist es energetisch am günstigsten,wenn die Bindungen des einen C sich in dieser Ansichtzwischen die des anderen lagern, denn so wird der Abstandzwischen den Elektronenpaaren maximal. Es ergibt sich dieGrundeinheit des kubisch-flächenzentrierten Zinkblendegitters.Im Eis sitzt von den vier Protonen, die zu den beidenbetrachteten 0 gehören, eines auf der Verbindungslinie. Sagenwir, das untere 0 habe es gestiftet. Die beiden Protonenauf den Seitenbindungen des oberen 0 können sich maximalvon dem verbleibenden Proton des unteren 0 entfernen,wenn die Bindungen nicht abwechselnd liegen wie im Zinkblendegitter,sondern übereinanderfallen wie im Wurtzitgitter.Wenn Sie die vier wesentlich verschiedenen Anordnungenfür das Eis (zwei für Zinkblende, zwei für Wurtzit) zeichnen,sehen Sie das sofort.14.1.9 Reziprokes GitterDer Abstand Auge-Modell gibt den k-Vektor der Primärstrahlungwieder. Jeder Punkt des reziproken Gitters ergibteinen möglichen Reflex, d. h. eine mögliche k'-Richtungk' = k + g. Der k'-Vektor fangt da an, wo der Kristall war,also wo das Auge jetzt ist. Die Vektoren des reziproken Gittershaben eine Länge, die sich in reziproken Längeneinheitenausdrückt. Hier sind natürlich die Einheiten A bzw. Avorausgesetzt. Das Modell muß ziemlich ausgedehnt sein,um alle möglichen Reflexe darzustellen. Der Ursprung liegeetwa in der Mitte des Modells, damit die praktisch wichtigeng-Richtungen alle vertreten sind. Wenn }, des Primärbündelswächst, muß man das Modell näherholen: Das Beugungsbilderweitert sich.0 0-1

1162 Lösungen zu den Aufgaben14.1.10. Bucky ballEulers Satz über einfach zusammenhängende Polyeder: DieAnzahl der Ecken plus der der Flächen ist immer um 2 größerals die Anzahl der Kanten, E + F = K + 2. Beweis: Manbaut das "Netz" des Polyeders auf, ausgehend von einemDreieck, für das natürlich E + F = K + 1 gilt. Bis dasNetz fertig ist, fügt man Dreiecke an,wobei sichE + F- K nicht ändert (zum Aufbau eines Fünfecks z. B.muß man an das ursprüngliche zwei neue Dreiecke anfügenund die beiden entstehenden Diagonalen auslöschen; solleine neue Fläche entstehen, läßt man die Grenzlinie stehen).Zum Schluß braucht man das Netz nur ins Räumlichezu ziehen und durch einen Deckel als letzte Fläche zu schließen:E + F - K = 2.Nun setzen wir x Fünfecke und y Sechsecke zusammen.Sie haben, einzeln betrachtet, zusammen 5x + 6y Ecken undebensoviele Seiten, aber erst zwei solche Seiten bilden eineräumliche Kante, drei solche Ecken eine räumliche Ecke(vier oder mehr solche Polygone können nicht in einerEcke zuammenstoßen, denn ihre Winkel geben zusammenmehr als 360°). Der Polyedersatz heißt hier also(5x + 6y)j3 +x + y = (5x + 6y)/2 + 2. Beim Umordnenbleibt x = 12, und y fällt ganz weg: Die Anzahl der Sechseckeist hierdurch nicht bestimmt. Schon mit y = 0 entstehtdas Dodekaeder. Verlangt man noch Semiregularität (das Polyedersoll aus lauter regulären Fünf- und Sechseckenbestehen und in eine Kugel einbeschrieben werdenkönnen), bleibt außerdem nur noch y = 20, der Fulleren-Fußball.14.2.1. AbtasttheoremAm einfachsten ist wieder die komplexe Darstellung. Dieaugenblickliche Auslenkung des Gitterpunktes Nr. n in einerWelle mit dem Wellenvektor k ist gegeben durch den Imaginärteilvon eiknd. Dabei kann n alle ganzen Zahlen von -oobis +oo durchlaufen. Die Punkte eiknd verteilen sich auf demEinheitskreis als Vielfache des Grundwinkels kd. Genau diegleichen Punkte kommen auch heraus, wenn man 271' - kd alsGrundwinkel benutzt, allerdings mit anderer Zählung derVielfachen, nämlich rückwärts statt vorwärts. Die Wellenzahlk' mit k' d = 271' - kd oder k' + k = 271' / d beschreibtdie Auslenkungen der Teilchen also genausogut In Wellenlängenergibt sich 1/ A + 1/ A' = 1/ d: Die Gitterkonstante istdas harmonische Mittel der beiden in Frage kommendenWellenlängen. Wenn die eine größer als 2d ist, bleibt die anderekleiner. Man erfaßt also alle Möglichkeiten allein mitA ~2d (ebensogut könnte man auch alle), ~2d nehmen).Für fortschreitende Wellen dreht sich das Bild, und zwardas k-Bild links herum, das k' -Bild rechts herum. Die beidenmöglichen Wellen sind gegenläufig. Da ihre w gleich sind,verhalten sich ihre Phasengeschwindigkeiten w1ec-1 + c'-1 = 21rj(wd).14.2.2. Einsteins spezifische WärmeIm klassischen Fall muß die Fläche unter der N ( e )-Kurve T­unabhängig sein, bei Einstein die Summe der Nj, denn beidestellen die Gesamtzahl der Oszillatoren dar. Beide Verteilungenklingen aber um so steiler mit e ab, je kleiner T ist. Daherist J c;N(c;) dc; bzw. ~jN_j sehr viel kleiner, wenn T klein ist.Die meisten Oszillatoren haben immer die Energie 0, aber dergrößte Beitrag zur Energie stammt von denen mit e = kT(Ableitung von e e-e/(kT) verschwindet bei 8 = kT). SolcheOszillatoren sind e-mal seltener als die mit 8 = 0. Die Breiteder N(8)-Verteilung, nämlich N(8)/N 11 (8) an der Stelle8 = kT, ist kT. Gesamtenergie :=::; Breite · Höhe :=::; NkT.Bei Tun« kT ist die'Einstein-Verteilung nicht von der klassischenzu unterscheiden. Im anderen Grenzfall muß W beiEinstein viel kleiner bleiben, weil selbst der erste Term praktischnoch außer Reichweite ist.14.2.3. Debyes spezifische WärmeNach Debye steht ein parabolisches, bei k = 1r / d abbrechendesw(k )-Spektrum von Oszillatormodes zur Verfügung. Jederdieser Modes kann nach Einstein j-fach angeregt sein.Der Beitrag zur Gesamtenergie steigt mit T, bleibt abervon w :=::; kT /Ii ab hinter der Parabel zurück( (!)3 I ( eliw I ( kT) - 1)). Für T » e wird die ganze Parabel ausgenutzt(klassischer Grenzfall). T muß andererseits sehr kleingegen e sein, damit der Energiebeitrag nur von w ;S kT jnstammt, d. h. damit die T 3 -Näherung gilt. T = e /3 liegtnoch deutlich im komplizierten Übergangsbereich(Abb. 14.29). Bei kleinen T läuft die spezifische Wärmenach Debye flacher als nach Einstein, weil Debye auch energieärmereSchwingungen zuläßt, deren erste Terme immer inReichweite liegen. Die Anzahl solcher Modes nimmt allerdingsmit abnehmendem T parabolisch ab.14.2.4. Wie zählt man Wellen?In den würfelförmigen Hohlraum vom Volumen a3 passenstehende Wellen nur bei),= 2ajn. Im Intervall (v, v + dv)liegen 47ra 3 c 3 v 2 dv solche Wellen. Beim Licht zählt jededoppelt (2 Polarisationsrichtungen), beim Schall dreifach(1 longitudinale, 2 transversale Richtungen). Rayleigh­Jeans setzen für die Energie jeder Elementarwelle kT,Wien W e-w /(kT) mit der Boltzmann-Wahrscheinlichkeitund W = hv in heutiger Schreibweise, Planck und Debyesetzen hvj(e"v/(kT)- 1). Debye muß bei der Maximalfrequenz1rc / a abschneiden, beim Licht braucht man dasnicht, weil der Hohlraum keine Körnung hat.14.2.5. DispersionBei m1 = m2 wird~= m/2, alsow 2 = 2Dm- 1 ( 1 ± V 1 - sin 2 (kd/2))= 2Dm- 1 (I± cos(kd/2)).Unterschied: d/2 statt d (Teilchenabstand halb so groß wiedie Gitterkonstante); Auftreten des optischen Zweiges1 + cos(kd/2). Verschiedenheit von Massen oder Ladungenist nicht maßgebend für das Auftreten des optischen Zweiges(wohl aber für seine Absorptionseigenschaften), sondern nurdie Tatsache, daß die Elementarzelle zwei Teilchen hat. In derkurzwelligen Grenze sind optische und akustische Frequenzbeide 2D / m; der verbotene w-Bereich ist für m 1 = m2 nicht

Kapitel14: Lösungen 1163vorhanden. c 5 und Vg verhalten sich im akustischen Zweigwie in Abb. 14.36 beschrieben. Im optischen verschwindetVg für lange und für kurze Wellen, es = wjk wird unendlichfür k = 0 und hat den "akustischen" Wert für kurze Wellen.Das Unendlichwerden von Cs für Wopt = 0 zeigt, daß hierbeidie größten Deformationen auftreten (Grundschwingung:ganzes Kationengitter schwingt gegen ganzes Anionengitter).14.2.6. PhononenstoßDas neue Phonon hat k' ~ 21r I d. Dieser Wellenvektor fälltins "verbotene Gebiet", d. h. der entsprechende Schwingungszustandläßt sich realistischer durch eine Welle miteinem kleinen k" darstellen, das nach Aufgabe 14.2.1 derDifferenz 21r I d - k' entspricht. Die Ausbreitungsrichtungist ebenfalls nach Aufgabe 14.2.1 entgegengesetzt zu derder einfallenden Phononen: Es scheint, als sei das Phononam Gitter reflektiert worden. Der Impulssatz ist befriedigt,wenn das Gitter einen Impuls !ik' ~ !i21rjd aufgenommenhat. 21r j d ist ein Vektor des reziproken Gitters. Auch jederandere reziproke Gittervektor g käme in Frage: Wennk 1 + k2 zu groß wird, kann man es mit k 1 + k2 = k 11 + gin den erlaubten Bereich zurückholen. Die Energie wirddurch diese Umdeutung nicht berührt: Das neue Phononhat w' ~ 2w. Man kann auch sagen, das Gitter nehme keineEnergie auf, weil es so schwer ist.14.2.7. SteinsalzoptikJeder Stoff reflektiert dort, wo er absorbiert. Das folgt ausdem Kirchhoffschen Strahlungsgesetz (außer für den idealschwarzen Körper), aber auch aus der Elektrodynamik: Absorptionund Reflexion beruhen auf mitschwingenden Ladungen.Absorption drückt sich im einfachsten Fall durchein negatives e, d. h. eine imaginäre Brechzahl n = -/8aus. In Ionenkristallen trifft das zu zwischen wo und w1,der langwelligen Grenzfrequenz des optischen Zweigesund einer um den Faktor Je(O)/e(oo) höheren Frequenz.e(oo) beruht auf Hüllenpolarisation, e(O)- e(oo) auf statischerGitterpolarisation. Für NaCI liest man ausAbb. 11.20 und 14.38 ab wo ~ 5 · 10 13 s- 1 , also D =~,uw~ ~ 3-10 4 gs- 2 ~ 2eVjA 2 . w 1 ist offenbar etwa doppeltso groß, also e(O) etwa viermal so groß wie e(oo).14.2.8. Leitet Diamant?Das Wiedemann-Franz-Gesetz gilt nur, wenn beide Artenvon Leitung durch Elektronen besorgt werden, d. h. für Metalleund trägerreiche Halbleiter. Wenn Phononen für dieWärmeleitung verantwortlich sind, kann die Lage sich umkehren:Je fester die Bindung und je reiner der Kristall, destoweniger freie Elektronen, also desto weniger elektrische Leitunggibt es, desto schneller und desto ungestörter laufen aberdie Phononen. Beim Diamant, speziell beim synthetischen,ist das besonders deutlich.14.2.9. Leitet Germanium?Im gewöhnlichen (isotopengemischten) Ge sind die Kernemit den Massenzahlen 74, 72 und 70 (dazu etwas 76 und73) regellos über die Gitterpunkte verteilt. Wegen seinervom Durchschnitt abweichenden Masse wirkt jeder Kernals Streuzentrum für Phononen, denn das Gitter ist nichtmehr streng periodisch. Daher leitet angereichertes Ge besser.Die thermische Energie steckt ganz in den Phononen.Wenn T und damit W von Ort zu Ort verschieden sind, heißtdies, daß die Phononen verschiedene Anzahldichte habenund diffundieren. Ihre Diffusionsstromdichte D grad n gibtden Wärmestrom q = eD grad n = D graden = D grad W= D(dWj dT)gradT = DcvgradT. Dergibt sich aus Geschwindigkeitc 5 und freier Weglänge l, die Wärmeleitfähigkeitauch: A. = ic 5lcv. Bei tiefen Temperaturen ergibt diedoppeltlogarithmische Auftragung eine Steigung 3, d. h.~ T 3• So verhält sich die Debyesehe spezifische Wärme,d. h. die gesamte Phononenenergie. l muß also konstantund z. B. durch Kristallitgrößen bestimmt sein. Man findetl ~ 0,1-1 mm. Bei höherem T werden Phonon-Phonon-Stößeunter Gitterbeteiligung (Peierls-Umklappen) häufiger, undzwar~ n2. Daher biegt die Kurve in eine ungefähre r-3-Abhängigkeitein.14.3.1. Fermi-GrenzeTypische Elektronenkonzentrationen sind n ~ 10 22 -1023 cm-3 für Metalle, 1016-1021 cm-3 für Halbleiter,105-1016 cm-3 für Plasmen. Jedes Elektron braucht das Volumenh3 / 2 im sechsdimensionalen Phasenraum. Im OrtsvolumenV sitzen n V Elektronen. Sie brauchen das ImpulsraumvolumennVh 3 /(2V) = nh 3 / 2. Dieses Volumen bildeteine Kugel vom Radius pP, da die Auffüllung von kleinenEnergien an erfolgt: 17rP~ = nh 3 / 2. Die Maximalenergie(Fermi-Grenze) ist also Wp = p~ j (2m) = kn 2 1 3 h 2 3 2 1 3 1(m1r 2 l 3 ) (vgl. (14.54)).Tabelle L.7IIClß -'eK10101010 J1021 IQll0.3 1.33.10 1 ~~102365 · IO"'Im Metall ist das Elektronengas immer entartet und nachder Fermi-Statistik zu behandeln, im Halbleiter nur bei sehrhoher Leitungselektronenkonzentration (um 10 20 cm- 3 undhöher). Für die Valenzelektronen und meist auch für die Störtermemuß man dagegen mit der Fermi-Verteilung rechnen.Plasmen sind i. allg. nichtentartet, d. h. durch die Boltzmann­Statistik beschreibbar. Nur im Innern der Sterne kommt esvor, daß die Zunahme von WF mit der Dichte die Zunahmevon kT überholt und Entartung eintritt.14.3.2. Brillouin-ZonenWir betrachten eine bestimmte Netzebene in einem Kristallund Elektronen, die senkrecht zu dieser Netzebene fliegen,d. h. deren I/I-Wellen sich senkrecht zu ihr ausbreiten. DerAbstand solcher Netzebenen sei d. Wenn die Bragg-Bedingung2d = nA. erfüllt ist, werden die Elektronen an jederNetzebene reflektiert, und zwar so, daß alle reflektiertenWellen in Phase sind und einander verstärken. Die primäreund die reflektierte Welle setzen sich daher zu einer stehen-

1164 Lösungen zu den Aufgabenden Welle zusammen. Eine fortschreitende Welle dieserRichtung und Wellenlänge kann sich im Kristall nicht ausbreiten.Durch den Elektronenimpuls p = hj}. ausgedrückt,lautet diese Bedingung p = nhl(2d). Die Ausbreitungsrichtungist mitberücksichtigt, wenn man schreibt p = lik. Diestehende Welle hat zwei Hauptschwingungsformen: In denGitterpunkten, d. h. dort, wo die positiven Ionen sitzen, könnenKnoten oder Bäuche der Elektronendichte sein. Derzweite Fall ist energetisch um die Coulomb-Energie der größerenWechselwirkung günstiger. Jeder Zustand, der zueinem solchen Impulswert gehört, spaltet also in zwei Zuständeauf, die sich energetisch um eine beträchtliche Energie,die Breite der verbotenen Zone, unterscheiden. Je nachdemob man sich dem kritischen Impulswert von unten odervon oben her nähert, mündet die fortschreitende Welle in denunteren oder den oberen Zustand mit stehender Welle ein. Die"stehenden" Zustände entsprechen also den Bandrän dem, die"fortschreitenden" dem Innern des Bandes. Das freie Elektronhätte die übliche Energie-Impuls-Abhängigkeit W =p 2 1(2m), eine Parabel. Diese Parabel wird an den kritischenp-Werten aufgeschnitten, und die losen Enden werden aufwärtsbzw. abwärts gebogen, um die verbotenen Zonen zuerzeugen (Abb. 14.50). Jedes Band, außer dem ersten, erhältso eine S-förmige W(p)-Abhängigkeit mit einem Wendepunkt,der nicht notwendig in die Mitte fällt.14.3.3. Effektive MasseWenn die if;-Welle eines Teilchens gegeben ist, kann manEnergie und Impuls sofort als W = hv, p = hl A ablesen.Der Impuls ist dabei noch nicht notwendig mit einer Geschwindigkeitverbunden: Die Phasengeschwindigkeit derWelle hat nichts damit zu tun. Wenn man eine Wellengruppeaus mehreren monochromatischen Einzelwellen zusammenbaut,hat man die Gruppengeschwindigkeit v = dv I dA -l(vgl. Abschn. 4.2.4b), d. h. v = dW ldp. Dies ist für ein freiesTeilchen mit W = p 2 I (2m) selbstverständlich, gilt aber auch,wenn dieser einfache Zusammenhang W(p) nicht mehr zutrifft,z. B. im Kristall. Die Beschleunigung ergibt sich darausals v = fJ I ot ( d W I dp) = p 8 2 W I op 2 . Beachtet man,daß die Impulsänderung eine Kraft ist, dann verhält sichdas Elektron so, als habe es die "effektive Masse"( 82 W I op2 ) -l. Für das freie Teilchen mit W = p2 I (2m) ergibtsich so der übliche, konstante Wert. Im Energieband einesKristalls mit seinem S-förmigen W(p) (vgl. Aufgabe14.3.2) entspricht der Wendepunkt von W(p) seltsamerweiseeiner unendlichen effektiven Masse. Am Wendepunktwechselt diese das Vorzeichen: im unteren Teil des Bandesist sie positiv, im oberen negativ. Teilchen mit negativerMasse laufen langsamer, wenn man sie zu beschleunigen versucht.So radikal und eigenartig wirkt sich die Bindung ansKristallgitter auf die Elektronen aus, die offenbar nur mitgroßem Vorbehalt als "quasifrei" anzusehen sind. Für diemeisten Betrachtungen kommt man allerdings mit dem üblichenTeilchenbild aus, wenn man diese seltsamen Werte derMasse und ihre Veränderlichkeit beim Aufsteigen und Absinkenim Band berücksichtigt.14.3.4. Elektron und LochEin Loch im Valenzband ist ein fehlendes Elektron, genauwie in der Dirac-Theorie ein Positron ein fehlendes Elektronin einer sonst vollbesetzten "energetischen Unterwelt" ist.Die energetische Trennung von Unter- und Oberwelt ist allerdingsim Festkörper viel kleiner: Einige e V gegen 1 MeVim Vakuum. Man kann also das Loch als Antielektron, dieAbsorption eines Photons mit Hebung eines Valenzelektronsins Leitungsband als Paarbildung und die Rekombinationzwischen Elektron und Loch als Paarvernichtung auffassen.Legt man ein elektrisches Feld an einen Kristall, derLöcher im Valenzband hat, dann nutzen die Valenzelektronendie Möglichkeit aus, durch reihenweises Hineinspringenin den unbesetzten Zustand sich vom Feld ziehen zu lassen.Das Loch wandert in entgegengesetzter Richtung. Wenn eineBlase aufsteigt, kann man ja auch gleichberechtigt sagen "dieBlase steigt" oder "ein Wasservolumen von der Größe derBlase fällt .in diese hinein, usw.". Das Loch transportiertdann positive Ladung in Gegenrichtung zum Elektronenfluß,leistet also einen Strombeitrag gleichen Vorzeichenswie die Leitungselektronen, nur i. allg. mit anderer Beweglichkeit.Die Leitfähigkeit ist (J = e(nJ.tn + PJ-lp)·14.3.5. Quanten-Hall-EffektEin Elektron führt im Hall-Element außer der Driftbewegunglängs E, die im Magnetfeld zum Querabtrieb und zum Hall­Feld führt, auch die viel schnellere thermische Bewegungaus, die für ein freies Elektron zum Kreis bzw. zur Spiraleaufgerollt wird. Bezeichnungen wie in Abb. 7.6. QuerspannungU' = E'd = vBd = j.tUdBil, I = bdJ-!enE =bdj.tenUil, also RH =U'II = Bl(enb). Ein Elektronnimmt, in Richtung des B-Feldes, also der Dicke b betrachtet,die Fläche 1 I ( nb) ein (hinter der Fläche ld liegen ja alleldbn Elektronen). Auf diese Fläche entfällt ein Flußquanthl(2e) (Aufgabe 14.7.2) bei RH= hl(2e 2 ) = 12906!.1.Ein freies Elektron würde auf seiner Kreisbahn um dasFeld B genau die Bohr-Bedingung erfüllen, wenn dieseBahn ein Flußquant umschlingt: mv2 Ir = evB =hvl(2u2 ), also L = mvr = hl(27r). Eine solche Bahnkommt im Kristall nur zustande, wenn ihr Radiusr = mvl(eB) wenige Atomabstände ausmacht, also bei kleinemv (kleinem T) und großem B. Bei B = 20 T, T = 2 Kwird nach der klassischen Statistik r :o::l 10-9 m. Gerrauer verstehtman den Klitzing-Effekt aus der Struktur der Fermi-Flächenim Zusammenwirken mit dem Landau-Paramagnetismus(Aufgabe 7.4.4).14.4.1. Reiner HalbleiterMan kann das Problem auf mehrere scheinbar verschiedeneArten behandeln: Als chemisches Gleichgewicht zwischenElektronen und Löchern (Massenwirkungsgesetz), analogzur thermischen Ionisation (Saha-Eggert-Gleichung), mittelsder Boltzmann-Verteilung und, was am angemessenstenerscheint, mittels der Fermi-Verteilung. Das Ergebnis ist jedesmaldasselbe, weil allen speziellen Betrachtungsweisendie Boltzmann-Verteilung zugrundeliegt, die bei den großenenergetischen Abständen, um die es sich hier handelt, von der

Fermi-Verteilung nicht zu unterscheiden ist. Nehmen wir alsogleich die Fermi-Verteilung. Für jedes Elektron, das ins Leitungsbandgehoben wird, muß im störstellenfreien Kristallein Loch im Valenzband entstehen. Wenn beide Bänder ungefährdie gleiche Gestalt (das gleiche statistische Gewicht)haben, liegt daher die Fermi-Grenze in der Mitte der verbotenenZone. Die Breite ~ W der verbotenen Zone ist » kT,also sieht der Schwanz der Fermi-Verteilung, der in die Bänderragt, genau wie eine Boltzmann-Verteilung aus:j(W) = fo e-t'>w /(2kT), fo ist die Elektronendichte pro Energieintervallim Valenzband, f(W) diejenige in der Höhe Wüber dem Leitungsbandrand. Praktisch liegen alle Leitungselektronenin einem Streifen der Breite kT am unteren Bandrand,also n =No e-t'>W f( 2kT) mit No = JokT. Vom Rekombinationskoeffizientenist hier noch nicht die Rede. Andererseitsmuß aber die gefundene Gleichgewichtsbesetzungauch aus der Gleichheit zwischen thermischer Anregungund Rekombination folgen: n = rxNo - ßn 2 = 0, alson = ..jrxNolß. Es muß also sein rx = ßN 0 e-t'>W/(kT)_ DieWerte von rx und ß einzeln spielen nur im Nichtgleichgewichteine Rolle. Bei langsamer T-Änderung bleibt manimmer im Gleichgewicht, und die Leitfähigkeit ändert sichproportional n. Die Neigung der Arrhenius-Geradenln (J = const - ~ W I ( kT) gibt dann direkt ~ W.14.4.2. IsolatorNach Aufgabe 14.3.2 entsteht die verbotene Zone durch Aufspaltungder Energie einer stehenden I/I-Welle in einen Zustand,wo die Elektronen alle nahe bei den Ionenrümpfensind, und einen anderen, wo sie dazwischenliegen. Es handeltsich also im zweiten Zustand sozusagen um eine halbeIonisation. Da die typischen Ionisierungsenergien von Halbleiter-und Isolatorbausteinen zwischen 4 und 9 e V liegen,kann man Bandbreiten von maximal 2-5 eV erwarten. Füreinen fast störstellenfreien Kristall mit ~ W = 2 e V erhältman nach Aufgabe 14.4.1 etwa n = N 0 e-t'>W/(lkT) ~102°e-40 ~ 103 cm-3 . Für eine Konzentration ionisierterStörstellen von 10-6 Atomen/Grundgitteratom, d. h. N ~10 17 cm-3, erhält man nach Abschn.14.3.1 eine Beweglichkeitder Leitungselektronen von J-1 ~ 10 2 cm2Ns; bei sehrviel unreinerem Kristall (N ~ 1022 ) J-1 ~ 10-3 cm2Ns. Damitergeben sich Leitfähigkeiten um 10- 14 bzw.10-20 n- 1 cm- 1 . Der kleinere dieser Werte wird deshalbnur in Ausnahmefällen erreicht, weil eine erhebliche Verunreinigungauch die effektive Breite der verbotenen Zone reduziert,womit n meist schneller steigt als J-1 abnimmt.14.4.3. DotierungEin As-Atom im Si- oder Ge-Gitter sucht sich so gut wiemöglich seiner kubisch-flächenzentrierten Umgebung einzufügen.Seine vier Nachbaratome reichen ihm je ein Elektronentgegen. Das As steuert seinerseits je ein Elektron zur Bindungbei, behält aber noch ein Außenelektron übrig. Diesesist infolge der verstärkten Abschirmung durch die anderenElektronen nur noch sehr lose gebunden und macht sichsehr leicht als Leitungselektron selbständig. Das As bildetalso einen Donator. Der positive As-Rumpf und das Über-Kapitel 14: Lösungen 1165Schußelektron verhalten sich wie ein wasserstoffähnlichesSystem, eingebettet in ein Medium hoher DK. Nach Bohrwird die Ionisierungsenergie eines solchen Systems umden Faktor e2 gesenkt, der Bahnradius um den Faktor e erhöht:Wion = 13,6eVIe2, d.h. 0,014eV für Ge, 0,045eVfür Si: r = e · 0,52 A, d. h. 16 A für Ge, 9,0 A für Si. Damitist gesichert, daß das Elektron eine weite Bahn beschreibt, diesehr viele Gitterpunkte umfaßt, so daß man tatsächlich mitder makroskopischen DK rechnen kann. Die Ionisierungsenergieentspricht etwa 3kT, d. h. thermische Ionisierungist sogar bei Zimmertemperatur leicht. Beim Einbau einesGa-Atoms fehlt ein Bindungselektron. Verglichen mit derkompletten Vierelektronenpaar-Umgebung kann man dasSystem als Loch im Feld eines negativen Ions auffassen.Die Ionisierungsenergie ist die gleiche wie oben. ÄhnlicheBetrachtungen gelten allgemein für den Einbau von Teilchenaus "falschen" Spalten des Periodensystems in einGitter.14.4.4. BeweglichkeitDer Hall-Effekt liefert direkt ne, d. h. Ladungsvorzeichenund Trägerkonzentration (vgl. Abschn. 7.1.4). Handelt essich um Elektronen und Löcher, dann findet man e(p- n).Man kann also folgern, welche Trägersorte überwiegt (dieBilanz n = p gilt ja nur, wenn es keine Störstellen gibt,die einen erheblichen Teil der Träger eines Vorzeichens abfangenkönnen). Im allgemeinen überwiegt eine Trägerart sostark, daß man nur -en bzw. ep braucht. Eine direkte Leitfähigkeitsmessungliefert (J = e(nJ-tn + PJ-tp), also zusammenmit RH die Beweglichkeit der überwiegenden Trägersorte.Man kontaktiere z. B. ein Kristallplättchen von 1 x 1 cm 2Fläche und 1 mm Dicke an den Längsseiten und lege 1 V· an. Dann möge lOmA fließen, und senkrecht dazu undzum Magnetfeld B = 1 Vslm 2 mögen sich die Querspannungvon 10m V aufbauen. Man findet (Jw-3 n- 1 cm-1 und n 6. 1015 cm-3 und J-1100cm 2 IVs. Die Träger sind positiv, wenn Querfeld, Längsfeldund Magnetfeld die rechte-Hand-Regel erfüllen.14.4.5. RandschichtWenn der Kristall absolut nicht leitete, würde sich eine ganzeBandstruktur im homogenen Feld durch Addition des PotentialsEx einfach etwas schrägstellen. In Wirklichkeit gilt dieseSituation nur eine sehr kurze Zeit nach Einschalten des Feldes;dann häuft der Strom schließlich so viele Elektronen ander einen und Löcher an der anderen Stirnfläche an, daß dasFeld im Innern gerade kompensiert wird. Diese Ladungsanhäufungfrißt also das angelegte Feld auf und muß, als Flächenladungaufgefaßt, die Flächenladungsdichte r/ = eeoEhaben (vgl. Abschn. 6.1.4). Tatsächlich gibt es keine flächenhafteAufladun , sondern eine Wolke mit der Debye-Hückel­Dicke d = eeokT l(e2n 00 ), die sich aus dem Gleichgewichtvon Feldstrom und Diffusionsstrom ergibt (vgl.Abschn. 6.4.6). Die "Flächenladungsdichte" ist dannrl = en 00d = eeoE, d. h. man erhält d = kT I ( eE) undn00 = ee 0E 2 l(kT). Für Felder von 104 bzw. 106 V/ern ergebensich Randschichtdicken d von 200 A bzw. 2 A und La-

IIII1166 : : Lösungen zu den Aufgabendungsträgeraufgebote n 00 von 2 · 10 15 bzw. 2 · 1019 cm-3 . ImKristallinnem laufen die Bandränder horizontal. Wenn mankorrekterweise mit der vertikalen Koordinate die Elektronenenergiemeint, muß man in den Randschichten die Bandränderund die Störstellenniveaus auf- bzw. abwärtsbiegen. Ganzam Rand, wo das äußere Feld noch eindringt, folgen die Niveausder Richtung des äußeren Potentials. Die Fermi-Grenze,die angibt, wie hoch die Zustände besetzt sind, verläuftdagegen horizontal. Täte sie das nicht, d. h. wären die Elektronenirgendwo energetisch höher getürmt als anderswo,dann würden Diffusionsströme einsetzen, die diese Unebenheitder Fermi-Grenze ausglichen. Bei so auf- bzw. abgewölbtenNiveaus wird klar, warum auf der einen Seitemehr, auf der anderen weniger Elektronen sitzen als ohneFeld. Ganz allgemein läuft also die Fermi-Grenze (auch elektrochemischesPotential genannt) im Gleichgewicht immerhorizontal. Längs jeder Neigung der Fermi-Grenze müssensofort Elektronen fließen.14.4.6. KontaktierungIn einem Halbleiter mit Donatoren verläuft die Fermi-Grenzeoberhalb von diesen, denn sonst wären sie leer, also keineDonatoren. Beim Kontaktieren setzt sofort ein Diffusionsstromein, der wasserfallartig Elektronen über die Stufeder Fermi-Grenze stürzen läßt, bis die Randschicht so anElektronen verarmt ist, daß die Fermi-Grenzen sich einanderangeglichen haben. Bandränder und Donatorniveau habensich dann so hochgebogen, daß die entleerten Donatorenoberhalb der Fermi-Grenze zu liegen kommen. Wenn Ddie "Dotierung", d. h. die Konzentration der Donatoren prom 3 ist, kann man ohne Anzapfung des Valenzbandes maximaldas Elektronendefizit n 00 = D pro m 3 der Randschichterzeugen. Die Randschichtdicke wird dann dJ ssokT l(e2D) und entspricht nach Aufgabe 14.4.5 einerFeldstärke E = kTI(ed) = JkTDI(sso) oder einer SpannungU = Ed = kT I e, die an der Randschicht liegt. Bei Zimmertemperaturist diese Spannung nur fo V. Die Randschichtals der elektronenärmste, also schiechtestleitende Teil wirktwie ein großer Widerstand, der hinter einem kleineren liegt.Infolgedessen fällt i. allg. die volle am Kontakt liegendeSpannung an der Randschicht ab. Hat diese Spannung inder richtigen Polung, d. h. so, daß sie Elektronen aus demHalbleiter in die Randschicht treibt, den Wert kT I e odermehr, dann "weht die Randschicht zu", die Bandkrümmunggleicht sich aus und der Leitwert des ganzen Kontakts entsprichtdem des ungestörten Halbleiters. Bei der entgegengesetztenPolung werden noch mehr Elektronen aus der Randschichtabgezogen, diese wird breiter, und der Widerstand desKontakts nimmt zu. So ergibt sich eine Gleichrichter-CharakteristikI(U), auf der einen Seite steil, auf der anderen flach.Auf diesem Prinzip beruhten die Detektoren der alten Radiotechnik(Metallspitzen auf Halbleiterkristallen), die durchElektronenröhren ersetzt wurden, aber in den Kristalldiodenwieder zu Ehren gekommen sind und immer noch das stilisierteelektrotechnische Symbol eines Gleichrichters hergeben.14.4.7. DiodenkennlinieEs kommt darauf an, was die vertikale Koordinate darstellensoll. Wenn sie die Elektronenenergie unter Einbeziehung dereigenen Felder angeben soll, muß die Fermi-Grenze imGleichgewicht waagerecht laufen, und zwar im Fall vonAbb. 14.63b links zwischen Donatoren und Leitungsband,rechts zwischen Akzeptoren und Valenzband. Die Niveaussind also schon ohne äußeres Feld S-förmig verbogen. DieVersetzung der Fermi-Grenzen entspricht einer Kontaktspannungvon der Größenordnung 1 V. Links von der Grenzflächebildet sich eine Elektronen-, rechts eine Löcher-Verarmungsrandschicht,in denen die Donatoren (links) bzw. die Akzeptoren(rechts) praktisch unbesetzt sind. Links ist die n-Leitung,rechts die p-Leitung stark herabgesetzt. Wenn die Spannungin Durchlaßrichtung größer ist als die Kontaktspannung,sind die Randschichten zugeweht: Die Diode leitet entsprechendden "bulk"-Eigenschaften der kompakten Halbleiter.Für die Speirichtung ergibt sich der Feldverlauf in derRandschicht so: Die Potentialkrümmung U" ist nach PoissonU" = Ql(eeo) = eDI(eeo), wo D die Dotierung (Donatorenbzw. Akzeptoren pro cm 3 ) ist. Integration ergibt fürdie Spannung an den Randschichten U = eDd 2 l(4ee0 ). Jemehr Spannung U man anlegt, desto dicker wird die Randschicht,d. h. die von Elektronen entblößte Schicht. Der Widerstandder ganzen Diode ist proportional d, also ~ U 1 12,d. h. es ergibt sich eine I ~ U 1 1 2 -Kennlinie in Sperrichtung.Wird die Spannung für die gegebene Dotierung zuhoch, dann reichen die Störterme nicht aus, um die nötigePotentialdifferenz zu erzeugen. Man braucht zusätzlich Leitungselektronenlinks, Valenzlöcher rechts. Sie können u. U.erzeugt werden, indem die Randschicht durchtunnelt wird.Der für den Tunneleffekt typische eU/Uo_Faktor tauchtdann auch in der Kennlinie der Tunnel-Diode auf.14.4.8. ThermolumineszenzDas Gleichgewicht zwischen Leitungs- und Trapelektronenläßt sich nur selten nach dem gleichen Schema behandelnwie das zwischen Leitungselektronen und Valenzlöchern,nämlich dann, wenn die Valenzlöcher sich an der Trägerbilanznicht merklich beteiligen, d. h. wenn die Fermi-Grenzezwischen Traps und Leitungsband liegt. Im allgemeinen liegtsie tiefer, d. h. im Valenzband sind ebensoviele Löcher (p imcm3), wie Traps und Leitungsband zusammen Elektronenenthalten (h bzw. n im cm3). Der Ausläufer der Fermi-Verteilung,der die relative Besetzung von Traps und Leitungsbandbeschreibt, kann als Boltzmann-Verteilung angenähertwerden, d. h. es ist niNo = (hiH) e-w /(kT) (W: Traptiefevom Leitungsband aus). No ist das statistische Gewichtdes Leitungsbandes, in dem die Elektronen ein quasifreiesFermi-Gas bilden, also analog zur Eggert-Saha-Gleichung(Abschn. 8.1.5, Herleitung entsprechend Abschn. 17.3.3):No= (27rmkT lh 2 ) 3 1 2 = 1,2 · 10 19 cm-3 . H 1st d1e Anzahl/cm3 der Traps, also die Dotierung. Dieses Verhältnis zwischenn und h muß auch aus dem Gleichgewicht zwischenthermischer Befreiung aus den Traps (yh solche Prozesse/cm 3 s) und Wiedereinfang in leere Traps (rxn(H- h) solche

Kapitel 14: Lösungen 1167Prozesse/cm3 s) folgen. Bei h « H, was der Boltzmann-Näherungentspricht, ergibt sich yh = rxHn, d.h. n = yhl(rxH),und durch Vergleich y = rxNo e-W/(kT). Die Wahrscheinlichkeitfür thermische Befreiung (Ausheizen) steigt also erwartungsgemäßsteil mit T an. Die Einfangswahrscheinlichkeitkann man so abschätzen: rx = Av, wobei A: Einfangquerschnittder Traps, v thermische Elektronengeschwindigkeitim Band. Wenn die leeren Traps positiv geladen sind, ergibtsich nach Abschn. 14.3.1 A:::::: w-10-10-12 cm-2, alsorx = w-3-I0-5cm3 ls. Ungeladene leere Traps fangen nurmit ihrem geometrischen Querschnitt A:::::: 10- 15 cm 3 ein,also rx :::::: 1 o-8 cm3 I s. Bei Temperatursteigerung wächst ysehr steil an. Trapelektronen werden mit zunehmenderRate befreit, fallen z. T. in die Traps zurück, rekombinierenaber auch mit Valenzlöchern. Effektiv nimmt also h zuerstlangsam, bei höheren Temperaturen sehr schnell ab. In denmeisten Fällen steht n immer mit dem jeweiligen h imGleichgewicht: n = No(hiH) e-w /(kT). Der mit T steil ansteigendee-Faktor, multipliziert mit der fallenden Funktionh, ergibt das "Glowmaximum" für die Leitfähigkeit (n) bzw.für die Lumineszenz, die mit der Rekombination verbundenist. Temperaturlage und Form des Glowbuckels geben Aufschlußüber Traptiefe und andere kinetische Parameter.14.4.9. KristallphosphorEin reiner Kristall hat eine wohldefinierte maximale Rekombinationsenergieund daher ein Spektrum, das an einer ziemlichscharfen langwelligen Kante abbricht; sie entspricht derBreite der verbotenen Zone oder, bei wesentlicher Beteili~gung von Störtermen, deren Abstand vom Bandrand. Die darausresultierende Farbigkeit des Spektrums läßt sich für Farb­Bildschirme ausnutzen, muß aber bei Schwarz-Weiß-Schirmenunterdrückt werden (Mischung von Phosphoren mit verschiedenerKantenlage). Der anregende Elektronenstrahl (um1 ke V) wirft Valenzelektronen so hoch ins Leitungsband, daßsie auch aus größerer Höhe rekombinieren. Diese Rekombinationmuß so schnell erfolgen, daß das Nachleuchten.kurzgenug ist, um keine "Leuchtspuren" hinter rasch bewegtenObjekten zu ergeben. Ein Bildpunkt, der bei einem Durchgangdes Elektronenstrahls angeregt wurde, muß also biszum nächsten Durchgang (0,04 s später) so weit abgeklungensein, daß er den nächsten, evtl. viel kleineren Helligkeitswertaufnehmen kann. Die n Leitungselektronen/cm 3 rekombinierenmit den ebenso zahlreichen Valenzlöchern gemäßh = -ßn 2 , integriert n = nol(1 + ßnot). Die ZeitkonstanteT = 1 I (ßno) muß etwa 10 ms sein, damit Helligkeitsschwankungenum den Faktor 5 von Bild zu Bild wiedergegebenwerden können. Wenn jeder Rekombinationsakt ein sichtbaresPhoton erzeugt, kommen aus der Phosphorschicht derDicke d während der Bildperiode nod Photonen/cm 2 ; dasAuge integriert sie über die Bildperiode. Das Bild soll maximalnicht so hell sein wie sonnenbeschienene Ge~enstände.Die Sonnenoberfläche emittiert aT 4 :::::: 10 4 w I cm ' Verdünnungauf 11220 2 bis zur Erde bringt 0,2 W/cm 2 für eineschneeweiße Fläche im Sonnenlicht, d. h. 4 · 10 17 Photonen/cm2s. Das Fernsehbild emittiere 10 15 -10 16 Photonen/cm 2 s, d. h. bei d = 0,1 mm muß no zwischen 10 14 und10 15 cm- 3 liegen. Mit T = 1l(ßno):::::: 10ms erhält manß:::::: w- 10 -10- 11 cm3 ls, was einem RekombinationsquerschnittA = ßlv:::::: w- 17 cm 2 entspricht, also knapp einemAtomquerschnitt14.4.10. TrägerkonzentrationDer Hall-Effekt gibt direkt n(T), die Leitfähigkeit liefert nf.J,.Hohes T: Alle As-Zusatzelektronen im Leitungsband, n = D,tieferes T: n = v'NDe-Wf(kT) (14.75). Die Neigung der Arrhenius-Geradengibt eine Donatortiefe W = 0,09 e V, die fastwaagerechten Abschnitte entsprechen As-Konzentrationenetwas über 10 15 , 10 16 bzw. 10 17 m-3 . Der Übergang solltebei W l(kT) = ln(N ID) erfolgen, d. h. bei IOOK für die unterste,etwas höher für die anderen Kurven, was hervorragendstimmt.14.4.11. Minimale LeitfähigkeitNach dem Drude-Lorentz-Modell ist a = nef.J, = ne 2 ll(mv).Setzt man für mv = lik den Maximalwert Ji1r I d, so folgt fürl:::::: d und n:::::: d-3: a:::::: e2 l(1rlid):::::: I OOOQ- 1 cm-1. Halbmetallewie Bi leiten nur wenig besser, in diesem Fall allerdingsinfolge eines sehr viel geringeren n. Amorphe Halbleiter,deren Fermi-Grenze nur wenig höher liegt als die Beweglichkeitskante,scheinen das beste Beispiel für diese Werte zusein.14.4.12. Excitonen2,16eV entsprechen A, = 5 730nm (Zitronengelb). Der Kristallsieht also im durchscheinenden Licht orange-rot aus(man beachte die spektrale Empfindlichkeitskurve des Auges).Da die Absorptionskante nicht ganz steil ist, verschiebtsich beim dünnen Kristall die Farbe mehr ins Gelbliche. DiePeakenergien lassen sich gut in eine Balmer-SerieWn = W!/n 2 einordnen, wenn man die Ionisierungsenergie(Bandkante) mit 2,166 e V ansetzt und den linken Peak mitn = 2 bezeichnet. Dann wird W1 = 0,10 eV. Wenn es sichum Excitonen-Terme handelt (Elektron und Loch in wasserstoffähnlichemSystem), der Faktor 2 infolge "Kemmitbewegung"beachtet (Aufgabe 12.3.6) und meff = m gesetztwird, erhält man Übereinstimmung mit dem Bohr-Modellfür e :::::: 8. Die Breite der Peaks entspricht einfach kT(0,006 e V). Bei Zimmertemperatur sind die Peaks fast viermalso breit und verschmelzen zu einer geneigten Absorptionskante.14.4.13. SolarzelleIm Dunkeln sind Leerlaufspannung und Kurzschlußstromeiner Diode beide 0. Licht erzeugt Trägerpaare, speziell inder p-n-Grenzschicht, wo einige von ihnen durch das interneFeld getrennt werden. Ein Kurzschlußstrom lK kann fließen,und um lK verschiebt sich die/( U)-Kennlinie nach unten. Sieschneidet also die V-Achse erst bei UL, das wegen der steileneeu /(kT)_Form nur wenige kT I e beträgt. Maximale Leistungentspricht der Fläche des größten in diesen Unten-Rechts­Quadranten der Kennlinie einbeschriebenen Rechtecks,also P = IKUm, wobei Um < UL. Jedes Trägerpaar liefertalso wenige kT, kostet aber mindestens ein solares Photon,

IIII1168 : : Lösungen zu den Aufgabenalso einige kTsonne. Tatsächlich ist das doppelte T-Verhältnis(zwei Träger!), also 10% heute typisch.14.4.14. Goethes LeuchtsteineSchwerspat = Bleiglanz = Galenit = PbS (Dichte 7 600 kg/m 3 ). Das ist der erste historisch nachweisbare Beleg für dieTatsache, daß selbst schwaches blaues Licht irgendwie mehrEnergie enthält als starkes rotes (falls nicht schon babylonischeMaurer wußten, daß Bier in grünen Flaschen in derSonne eher verdirbt als in braunen). Goethes zweiter Effektheißt heute "Ausleuchten": Auch niederfrequente Photonenkönnen Elektronen aus "Traps" befreien, wenn auch nichtüber die ganze verbotene Zone heben (vgl. Abschn. 14.4).14.6.1. DiffusionDie Annahmen, die man bei der Behandlung von Kettenmolekülenmit frei drehbaren Gliedern macht, sind genaudieselben, die der Diffusionstheorie zugrundeliegen (vgl.z. B. Aufgabe 5.2.22). Man ersetze einfach "Länge desKettengliedes a" durch "freie Weglänge /" und "Anzahlder Gliedern" durch "Anzahl der freien Weglängen vtll".Die Funktion P(r) dV wird dann zur Wahrscheinlichkeit,daß ein Teilchen von r = 0 aus in der Zeit t im VolumendV um r landet, oder P(r) ist als Teilchenzahldichteaufzufassen, die sich entwickelt, wenn viele Teilchen allevon r = 0 wegdiffundieren. Durch Umdeutung vona und n schreibt sich P als P(r) dV = Bt-312 e-Ar 2 /t mit A= 3l(2vl) und B= Jr- 2 1 3 27 I (8v 3 l 3 ). Daß dies eineLösung der Diffusionsgleichung P = D AP ist, siehtman sofort durch Ausführung der Differentiationen:F=(Ar 2 lt-~)Br 5 1 2 e-~r 2 / 1 , AP = Prr + 2Prlr =(4Ar21t-6)ABt-512 e-Ar/t. Es muß also D = li(4A) =vll3 sein, wie wir schon wissen (Abschn. 5.4.6). Bei t = 0wird b = oo, also zieht sich die Gauß-Kurve auf einen unendlichhohen b-Berg bei r = 0 zusammen. Der Faktorb3 rv t-312 beschreibt die Abnahme der Höhe des Berges,der dadurch bei seinem Auseinanderlaufen stets das gleicheVolumen behält.14.6.2. Escargots gratinesDie "mittlere freie Weglänge" der Schnecke sei l, ihreMarschgeschwindigkeit auf einer solchen Strecke v. Es bestehekeinerlei Zusammenhang zwischen den Richtungen dereinzelnen Wegstrecken l. Dann ergibt sich für das mittlereVerschiebungsquadrat nach der Zeit t, also nach N = tv I lfreien Weglängen, der Wert Ax2 = N/ 2 = lvt. Die Schnekkenhaben sich über die ganze Fläche verbreitet, wenn~größer geworden ist als der mittlere Abstand a zwischenden Ausbreitungszentren. Mit a = 50 km, l = 20m,v = 2 mm/s folgt für diese Zeitspanne t = a 2 I ( lv) ~6 · I 0 10 s ~ 2 000 Jahre. Damit sollte es, abgesehen von ökologischenGesichtspunkten, überall in Deutschland Weinbergschneckengeben, aber immer noch mit merklicher Konzentrationum die Klöster ( ~ ~ 35 km).14.6.3. Random walkWenn zwischen Wirtshaus und Wohnhaus freies Feld liegt,handelt es sich um ein zweidimensionales Diffusionsproblem.Bei der Schrittlänge l = 0,8 mundder Schrittfrequenzv = 1 s~st das mittlere Verschiebungsquadrat in der Zeit twieder Ax2 = vtz2. Es geht aber nicht nur darum, die Streckea zurückzulegen, was im Mittel die Zeit t = a 2 I ( vP) erfordert,sondern dabei das Haus zu treffen, d. h. in einen Winkelbereichb I a zu kommen, wofür die Wahrscheinlichkeitb I (21ra) ist. Also dauert der Heimweg im Mittel t =2Iralb·a 2 1(vz2)=2Jra 3 l(bvz2), bei a=150m, b=25malso t ~ 14 d, was schon vorgekommen sein soll.14.7.1. Perfekter LeiterWenn in einem normalen Leiter () unendlich würde, müßtejedes E-Feld zusammenbrechen. Das folgt z. B. aus Poisson-und Kontinuitätsgleichung: div (JE = -Q, eeo div E =Q, also i! = -eeoal(), Q = Qo e-t/r mit r = eeol(). Für Egilt dieselbe Abhängigkeit. Bei () = oo brechen jede Raumladungund jedes E-Feld sofort zusammen. Mit E verschwindetauch rot E, also gilt im perfekten Leiter iJ = 0. Jedes B­Feld, das vor dem Übergang bestand, bliebe eingefroren,selbst wenn man es außerhalb des Leiters abschaltet. Mankann sich vorstellen, daß der leiseste Versuch einer B-Änderunginnen sofort einE induzierte, das irrfolgerot H = (JE dasB-Feld wiederherstellte. Beim Supraleiter wird umgekehrtdrinnen B = 0, selbst wenn man draußen ein Feld aufrechterhältoder einschaltet. Dies zeigt, daß die Maxwell-Gleichungenin ihrer üblichen Form im Supraleiter nicht gelten.14.7 .2. Meißner-Ochsenfeld-Effekt(a) Während des Überganges zur Supraleitung induziert daszusammenbrechende B-Feld ein E-Ringfeld (rotE= -B),das die Elektronen gemäß mv = -eE beschleunigt. DieStromdichte ändert sich also wie)= nev = -ne 2 m- 1 E,d.h. rot)= -ne2m-1rot E = ne2m-1 B = ne 2m-1p, 0 H. Daandererseits rot H = j, rot ii = ), folgt. . ne2 .rot rotj = -Aj = -p, 0 j. (L. 4)mIm ebenen Fall (x von der Wand eines hinreichend dickenDrahtes nach innen gerechnet) heißt das)" = -ne2m-1 p,r),also)= )o e-x/d mit d = Jml(ne2 p, 0 ). Dieselbe Ortsabhängigkeitgilt auch für j selbst. Mit n = 1023 cm-3 folgtd = 700A.(b) Um zu zeigen, daß mv- eA = 0, multipliziere mandies mit ne Im und bilde zweimal die Rotation. Man erhältgenau (L. 4). Streng genommen muß man, um diesen Schlußauch umkehren zu können, zeigen, daß j divergenzfrei istUedes Vektorfeld ist Summe einer rot und eines grad, unddiv grad = 0). div j = 0 folgt aber daraus, daß sich nirgendsLadung anhäufen darf. Während jeder Änderung von A ist,wenn kein übliches elektrisches Feld -grad rpvorliegt,E = -Ä., also werden die Elektronen beschleunigt wiemv = -eE = eÄ.. Der Wert mv - eA ändert sich alsonicht, wenn keine anderen Kräfte im Spiel sind. Der Normalleiterim statischen B-Feld hat j = 0 (kein Strom) undA =J 0,auch der perfekte Leiter würde also mv - eA =J 0 behalten.Beim Übergang zum Supraleiter sind offenbar andere Kräfteim Spiel, eben die Cooper-Bindungskräfte.

Kapitel14: Lösungen 1169( c) Ein Teilchen mit dem Impuls f und der Energie W hatdie Wellenfunktion t/J = t/Jo e 1 (kr-wt , wo p = Jik, W = Tiw.In einem Ring muß die Phase auf dem gleichen Wert ankammen,wenn man emma . 1 1m . Kr e1s . h erumge h t: ei:rJ: kdr= 1 ,d. h. § k · dr = n27r. Wegen k = mv /Ti heißt das § mv · dr= nh und wegen mv = eA auch § eA · dr = nh. Nach demSatz von Stokese f A · dr = e J j rot A · df = e j JB · df = ef/J ,also f/J = nh/ e. Die Ladungsträger sind Cooper-Paare mit derLadung 2e, also richtiger f/J = nh/ (2e ). Das Flußquanth/(2e) ist winzig: 2 · 10- 15 Vs. Der schon 1934 von FritzLondon vorausgesagte Effekt wurde erst 1961 von Dollund Näbauer in München und von Deaver und Fairbankin den USA gefunden.14.7 .3. MagnetaufltängungEine völlig reibungsfreie Bahn würde beim Anrollen vonh = 350m auf v = 84 rn/s kommen, also die 260 km Berlin-Hamburgin 52 Minuten zurücklegen. Dabei ist nichtnur reibungsfreie, offenbar magnetische Aufhängung, sondernauch fehlender Luftwiderstand, z. B. im Vakuum-Tunnelvorauszusetzen. Wenn man den angegebenen Fahrplanernst nimmt, bedeutet das 10% Zeitverlust, also Verlust anmittlerer Geschwindigkeit, 20 % an Endgeschwindigkeit,40% an kinetischer Energie. Beschleunigung an den Endstationen(z. B. elektromagnetisch) ist unumgänglich. Für eine100 t-Bahn mit 10m 2 effektivem hydrodynamischen QuerschnittA entspricht dieser Verlust einer BremsleistungP = 4 · 10 4 W, einer Bremskraft F = 500N. Die Wälzlagerreibungwäre bestenfalls 1/100 des Gewichts, also 20mal zugroß. Der normale Luftwiderstand (1 bar) wäreF ::::::: ! agv 2 ::::::: 5 · 10 4 N, im Tunnel dürften also nur knapp10mbar herrschen. Magnetaufhängung eines schnellen Fahrzeugeskann nicht so realisiert werden, daß ein am Fahrzeugbefestigter Magnet an einer normalerweise unmagnetischenEisenschiene langgleitet, denn die B-Änderung in derSchiene würde starke Ströme induzieren, deren Energiedas Fahrzeug liefern müßte. Selbst bei lamelliertem oderfeinkörnigem Material wäre die Wirbelstrombremsung bestimmtviel größer als angegeben. Die Schiene müßte alsomagnetisiert sein. Damit erhält die Bahn nach dem Prinzipdes Unipolargenerators (Aufgabe 15.3.6) als Bonus nocheine kleine Spannung für ihre Beleuchtung. Die Technikermüssen herausfinden, ob magnetische oder Luftkissenlagerunggünstiger ist.14.7.4. Cooper-PaarWir setzen uns ins Bezugssystem des Elektronengases. DasKristallgitter fliegt mit v an uns vorbei. Um es ein wenig zubremsen (der kristallfeste Beobachter würde sagen: Um dieElektronen zu bremsen), sagen wir auf v', muß zum EnergieundImpulsausgleich ein Elektron in einen Zustand mit W,pgehoben werden, so daß Mv 2 -Mv' 2 = 2W, Mv- Mv' = p(M: Masse des Kristalls; wir setzen voraus, daß Pllv; dann istdie Bremsung am wirksamsten). Der Energiesatz läßt sichauch schreiben M(v + v')(v- v') = 2W oder p(v + v') =2W. Die Bremsung durch einen einzigen Stoß kann nur winzigsein, also v' ::::::: v, d. h. vp = W: Für eine "freie" EnergieparabelW = p 2 /(2m), die auf der p-Achse aufsitzt, wäre dasimmer zu erfüllen, für die um die W-Lücke ~ W angehobeneParabel nur oberhalb einer Geschwindigkeit Vcy/2 A W / m, die der Steigung der Tangente von 0 an die Parabelentspricht (zeichnen!). Vc entspricht natürlich !mv~ =~W. Mit AW = 3,5kTc und Tc= 10K folgt Vc::::::: 104 rnls.Die Suprastromdichte könnte also 10 10 A/cm 2 werden,ehe Bremsung durch das Gitter einsetzt. Praktisch erreichtman z. Z. etwa 10 7 A/cm 2 .14.7.5. Josephson-WechselstromIn einer Potentialschwelle von U - W = 3 e V klingt diet/J-Welle ab wie e-k'x mit k' = J2m(U- W)/~ = 1Ä- 1 .Die Durchlässigkeit der Schicht mit d = 10 A ist alsoD::::::: e-2k'd = 2. w-9 . Die Stromdichte j = envD ist vonder Größenordnung 0,1 Am-2. Bei 1 mV Spannung an derjunction ist die Energie der Cooper-Paare beiderseits um3,2 · w-22 J verstimmt. Der Strom oszilliert mitw = AW /Ii = 3,2 · 10 12 s- 1 oder v = 500 GHz. Ein B­Feld, das in der Ebene der junction liegt, bedeutet ein VektorpotentialA senkrecht dazu, aber ebenfalls in dieser Ebene,das sich senkrecht zur Ebene ändert, und zwar so, daß seinUnterschied zwischen den beiden Grenzflächen AA = Bd ist.Diese Differenz erzeugt eine räumliche Modulation der t/1-Funktion mit der Wellenlänge A = h/ (2e AA) = h/ (2eBd).Bei A = l, also B1 = h/(2eld), verschwindet der Josephson-Strom;er wechselt das Vorzeichen, wenn B durch diesenWert geht. Im Beispiel ist B1 = 3 · w-5 Tesla. Eigentlichmuß man überall mit der effektiven Masse von Elektronenbzw. Paaren rechnen, was die Zahlenwerte, besonders denexponentiellen Tunnelstrom, merklich ändern kann.14.7.6. EnergielückeBei T = To sind s- und n-Zustand und speziell ihre H-undS­Werte identisch, im Gegensatz zum Übergang im Magnetfeld,wo die Energielücke noch existiert, H und S verschiedensind und sich erst die Unterschiede in Hund TS kompensieren.Der Übergang im Magnetfeld ist thermodynamischidentisch mit dem Sieden: Sprung von H und S; AH = "latente"Übergangswärme; Überhitzung und Unterkühlungmöglich; Keimbildung der thermodynamisch stabilerenPhase nötig: Übergang 1. Ordnung. Anders beim Übergangs +--> n bei B = 0, d. h. T = Ta: Die Phasen gehen stetig ineinanderüber, keine Übergangswärme, keine Überhitzung oderUnterkühlung, keine Keimbildung: Übergang 2. Ordnung.Analog ist die Lage am kritischen Punkt, dem oberenEnde der Grenzkurve Flüssigkeit-Dampf. cp = 8H / 8T =oo beim Übergang 1. Ordnung, cp springt beim Übergang2. Ordnung. S verhält sich analog zu H, nur komplementär,denn G = H- TS ist am Übergang immer stetig.14.7.7. SprungpunktDie Fermi-Funktionf(W) kümmert sich nicht darum, ob Zuständemit diesem W vorhanden sind oder nicht. Da die Ener-

1170 Lösungen zu den Aufgabengielücke immer um die Fermi-Grenze Wp zentriert ist undf(W) um diesen Punkt symmetrisch ist, erhält man das W­Spektrum der Elektronen im Supraleiter einfach aus der Fermi-Verteilungim Normalleiter, indem man die W-Lücke herausschneidet(da Wg « Wp, verliert man dabei praktischkeine Elektronen). Die spezifische Wärme stammt auszwei Vorgängen: 1. dem Abschmelzen des Fermi-Blocksc = yT = 7r 2 Nk 2 TI(4Wp); 2. dem Schrumpfen der W­Lücke (im Supraleiter). Bei T ::.:::: 0 schneidet die Lücke dieganze Schmelzzone ab, also ist c, « Cn. Bei T::.:::: To nimmtWg sehr schnell ab, also ist c 8 > Cn. Um c, = aT3 zu erhalten,braucht man den ganzen Verlauf von Wg(T). Aus der DefinitionS = J dQIT und c = dQI dT folgt sofort S = J c dT IT.Integration über c IT liefert Sn = yT, S, = ~ aT 3 • Bei T = Tomuß Sn= S, sein, also a = 3yTf;, d. h. S, = yT3 ITf;. Natürlichist die Übereinstimmung mit der T 3 -Gitterwärme nurscheinbar, denn im s- wie im n-Zustand ist die Gitterwärmebei T :S To i. allg. schon viel kleiner als die SommerfeldseheElektronen wärme.14.7.8. GrenzkurveDie Grenzkurve ist gegeben durch Gn = G,, d. h. B 2 I (2J1o) =Un- U,- T(Sn- S,). U = Uo + J cdT, also Un = Uon +hT 2 , U, = Uos + iYT 4 1Tf;. Mit !J.U = Uon -Uo,, derStabilisierungsenergie bei T = 0, folgt B 2 = 2J1 0 (!J.U -hT 2 + !YT 4 1Tf;). Bei T = 0 ist also B maximal mit B~= 2J1o !J.U. Ableitung nach T liefert BB' = Jlo( -yT +yT3 ITf;). Bei T = 0 ist B = Bm # 0, also muß B' = 0sein: Horizontale Einmündung in die B-Achse. Bei T =To ist B = 0, also läßt sich aus BB' = 0 nichts schließen.Man leite nochmal ab: B' 2 + BB" = Jlo( -y + 3yT 2 ITf;),also bei T = To folgt B' = yi2iiöY. Wenn !J.U = yl4, erhältman eine exakte Parabel B = )2J1o !J.U(1 - T 2 ITf;). EineMessung, am einfachsten von B'(To), liefert dann alle Daten.Im allgemeinen Fall braucht man zwei Messungen,z.B. B'(To) für y und Bm für !J.U.15.1.1. Die seltsamen Eigenschaften des ÄthersDie drei angegebenen Abschätzungen liefern relative Änderungsgeschwindigkeitender Jahreslänge um 10-16 , 10-18bzw. 10- 17 . Von der gleichen Größenordnung sind auchdie möglichen relativen Änderungen von Erdbahnradiusund kinetischer Energie der Erde. Diese Energie ist3 · 10 33 J. Die obere Grenze der Leistung der Ätherreibungist also etwa 1015 W. Setzt man sie als gAv3 an mit A ::.::::10 14 m 2 , so folgt für die Ätherdichte Q < w- 13 kglm 3 , entsprechendeinem Vakuum von höchstens 10-10 Torr. DieSonneneinstrahlung ist 1400 W/m 2 , also fallen auf die ganzeErde 10 17 W. Allein hieraus folgt, daß der Äther nichtdichter sein kann als w-8 kglm 3 , denn sonst würde seineReibung den Wärmezufluß zur Erde mehr als verdoppeln,was nach Stefan-Boltzmann eine Erwärmung von mindestens60° über die wirkliche, durch die Sonnenstrahlung geradeerklärte Oberflächentemperatur der Erde zur Folgehätte. Wenn ein Stoff mit Q = 10- 13 kglm 3 Träger elastischerWellen mit c = 3 · 108 m/s sein soll, ergibt sich nachc = /E7Q sein Elastizitätsmodul zu 10 4 Nim 2 , was für einenso dünnen Stoff recht erstaunlich wäre: Wasserstoff vondieser Dichte müßte etwa 1013 K heiß sein, um solche Elastizitätzu haben.15.1.2. Michelson-VersuchZwischen P und A' B' bringt man gewöhnlich eine Kompensatorplattean, die einschließlich ihrer Stellung identisch zurPlatte P ist und daher den gleichen Gangunterschied und Intensitätsverlusterzeugt wie P. Wenn beide Arme genaugleichlang sind, entsteht dann ein heller Fleck beim Zusammentreffender Teilstrahlen; beim Unterschied A/2 interferierensich beide weg. Wenn das Labor sich in Richtung einesArmes mit v = 30 km/s gegen einen das Licht tragendenÄther bewegte, brauchte das Licht eine Zeit !J.t = lv 2 I c 3mehr für den Hin- und Rückweg auf diesem Weg als aufdem anderen. Damit das einer halben Schwingungsdauervon Violettlicht entspricht, braucht die Armlänge l nur20m zu sein. Eine Präzision von 0,211m auf20m Armlängeist natürlich mechanisch nicht erreichbar, aber jedenfallsmüßte bei der 90°-Schwenkung genau Hell in Dunkel übergehen,d. h. das ganze Interferenzbild müßte sich um einehalbe Periode verschieben. Sollte das Fehlen des Effekts daraufberuhen, daß die Erde im Moment der Messung geraderelativ zum Äther ruhte, dann müßte nach 6 Monaten derdoppelte Effekt eintreten. Die "Lorentz-Kontraktion" des Armes,der in Geschwindigkeitsrichtung steht, müßte ebenfallsdem Faktor )1- v21c2 ::.:::: 1-0,5 ·10-8 entsprechen undwäre direkt weder nachzuweisen noch zu widerlegen.15.1.3. WeltlinienDer graphische Fahrplan für die Bahn hat zwei, der für dasMeer drei, der für die Luft vier Dimensionen. Ein ruhendesObjekt hat eine "Weltlinie" parallel zur Zeitachse, ein gleichförmig-geradlinigbewegtes eine gerade Weltlinie, die mit derZeitachse einen Winkel mit dem Tangens v bildet (v in m/s,falls man die Sekunden auf der Zeitachse so groß macht wiedie Meter auf den Ortsachsen). Die Beschleunigung entsprichteiner Krümmung der Weltlinie. Ein Zusammenstoßist der Schnitt zweier (nicht notwendig gerader) Weltlinien.Zum Beispiel würde in Mercatorprojektion die Weltlinieeines mit konstanter Maschinenleistung fahrendenSchiffes immer flacher aussehen, je weiter es sich demNord- oder Südpol nähert.15.1.4. LösungsvorschlägeWenn das Licht relativ zu seiner Quelle immer die gleicheGeschwindigkeit hätte, wäre natürlich für eine Labor-Lichtquellekein Einfluß der Bewegung der Erde zu erwarten. Nun

etrachten wir ein Doppelsternsystem, dessen Schwerpunktrelativ zur Sonne im Abstand ao ruht und dessen Sterne ineiner Kreisbahn, deren Ebene die Sonne enthält, mit demBahnradius r und der Winkelgeschwindigkeit w um diesenSchwerpunkt laufen. Wenn der eine Partner sich gerade .von uns wegbewegt, soll sein Licht nach Ritz mit c - v reisen( v = wr ), also bis zu uns die Zeit a I ( c - v) brauchen.Licht, das ausgesandt wird, wenn der Stern auf uns zukommt,also eine Zeit 1rr I v später, brauchte nuraol(c + v). Wenn aol(c- v) - aol(c + v) ::::o 2aovlc 2 =1rr I v, sähen wir das später ausgesandte, violett-verschobeneLicht gleichzeitig mit dem früher ausgesandten, rotverschobenen,d. h. jeder Stern lieferte mehrere Spektrallinien. Dasginge noch an, denn man weiß ja a priori nicht, wie vieleKomponenten das System hat. Aber eine einfache Zeichnungzeigt, daß bei etwas größerem v drei, fünf oder mehrLinien auftreten würden, die plötzlich verschwinden, verschmelzenusw. Es gibt viele Systeme, die die Bedingung2aovlc 2 > 1rrlv oder ao > rc 2 lv 2 erfüllen. Bei Sonnenmassehätten die Sterne etwa r = YE(T ITE) 2 1 3 (YF.: Erdbahnradius,TE= 1 Jahr). Fast die Hälfte aller genau studiertenDoppelsterne haben Perioden T < IOd. Für jedes derartigeSystem, das weiter von uns ist als 13 Lichtjahre, also fürpraktisch alle, wäre die Bedingung für das spektroskopischeGeisterkonzert erfüllt. Da man nie so etwas beobachtet hat,ist die Ritz-Hypothese. falsch.15.1.5. Wer hat sich bewegt?Eddington sagte ungefähr: "Meine Müdigkeit rührt daher,daß ich den ganzen Tag in einem Kasten eingeschlossenwar, der furchtbar rüttelte. Sie geben zu, daß dieser Effektgenau der gleiche gewesen wäre, wenn Edinburgh zu mirgekommen und London nach der anderen Seite weggefahrenwäre, so daß mein Zug ganz schön dampfen müßte, um hierzu bleiben. Sie sehen, wenn man Koordinatensysteme transformiert,muß man das auch konsequent tun, unter Berücksichtigungaller unbezweifelbaren Beobachtungstatsachen... ",und damit war er wieder in seinem Vortrag.15.1.6. StrahlungsbremsungDie Frage ist in vorrelativistischen Zeiten ernsthaft diskutiertworden. Wenn es einen Äther gäbe, wären vor dem mit vbewegten Stern Dichte und Druck der Strahlung um den Faktorv I c erhöht. Normalerweise sind sie von der GrößenordnungGT 4 1c ::::o 0,2Nm- 2 . Hinter jedem m 2 Sonnenquerschnittsteckt eine Massen-Flächendichte J1 ::::o eR ::::o10 12 kg m- 2 , die schiebt. Aus der Bewegungsgleichung J1V= -vGT 4 j c 2 folgt eine Zeitkonstante der Bremsung -r =vIv = JlC I ( GT 4 ) ::::o 10 21 s ::::o 10 13 Jahre. Sie ist viel kürzerals die Relaxationszeit für "Sternstöße" (Aufgabe 5.2.28).Relativistisch existiert kein Problem. Da es keinen Sinnhat, dem Stern ein v ohne Angabe eines Bezugspunkts zuzuschreiben,kann sich die Strahlung nicht stauen. Das Experimentzeigt auch direkt, daß sich das Licht isotrop ausbreitet.Dagegen wird z. B: ein Planet im Strahlungsfeld der Sonnewirklich etwas gebremst (Poynting-Robertson-Effekt).Wenn er mit v umläuft, fällt diese Strahlung um den WinkelKapitel15: Lösungen 1171v I c von vorn ein (Aberration), die Strahlungsdruckkraft hateine Rückwärts-Komponente Alvlc 2 . Für die Erde konntendiese 105 N das Jahr seit ihrer Entstehung nur um 1 s verlängern.Beim Merkur macht dies fast 100 s aus.15.1. 7. Lorentz-KontraktionEine mit v bewegte Ladung erzeugt um sich ein MagnetfeldH = ev x rl(47rr 3 ) (am einfachsten nach Biot-Savart; dieLadung ist ein Stromelement ev; r Abstand von der Ladung).Im Abstand d senkrecht zu v hat dieses Feld den BetragH = ev I ( 47rd 2 ) und steht senkrecht auf v und dem Abstand.Eine Ladung -e dort, die ebenfalls mit v fliegt, erfährtin diesem Feld die Lorentz-Kraft FLor = -ev x B vom BetragJ1oe 2 v 2 I ( 47rd 2 ) nach außen. Das Verhältnis von LorentzundCoulomb-Kraft ist eoJ1oV 2 = v 2 I c 2 . Der Gleichgewichtsabstandverschiebt sich also dorthin, wo die Abstoßungskraftetwa um FLor kleiner ist (da die Abstoßung soviel steiler ist, macht die Änderung der Anziehung nichtviel aus). Geht die Abstoßung wie ,-n, dann ist das derFall bei einem neuen Abstand d(l + v 2 l(nc 2 )). Für n = 2entspricht das in der Näherung v «: c dem Lorentz-Faktor1/)1- v21c2 .15.2.1. Schnelle Uhren gehen nachWir betrachten vier .Uhren: A ruht in dem Nahezu-Inertialsystem,das mit dem Erdmittelpunkt verbunden ist; B ruht amErdboden, ist also gegen A mit vo = 0,45 km/s bewegt: Cfliegt mit dem Jet in ost-westlicher Richtung, also gegendie Erdrotation, und bewegt sich mit v gegen B, mitv- v0 gegen A; D fliegt ebenso west-östlich, also mit v gegenB, mit v + vo gegen A. Während für A eine Sekunde vergeht,rücktB~m\/r-v61c2vor,CumJl- (v-v0 ) 2 1c2,D um V1- (v + v0 ) 2 lc2 . Alle diese Angaben sind direktvergleichbar, da die bewegten Uhren immer wieder zumOrt der Uhr A zurückkommen. In einer Flugzeit T entwickeltsich daher eine Zeitdifferenz zwischen C und B: !!T ow =T (V 1 - ( vo - v) 2 I c 2 - J I - v6 I c 2 ) ::::o T ( 2vvo - v 2 ) I c 2 ,zwischen D und B: b.Two = T(Vl- (vo + v) 2 lc2 -.)1- v61c2 ) ::::o T(2vvo +v 2 )jc 2 . Die zweite dieser Differenzensoll nach dem Bericht dreimal so groß sein wie dieerste. Das ist der Fall, wenn v = vo = 0,45 kmls =1 640 krnlh. Da der Rundflug auf einem Großkreis somit genaueinen Tag dauert, ergibt sich eine Gesamtverzögerung Dgegen B um ca. 10- 7 s. Die Reporter haben einfach die relativeVerzögerung in s/s, nämlich 10-12, als absolute angegeben.Ihre w- 12 s/Tag, d. h. relativ w-19 s/s, wären auch mitder raffiniertesten Technik nicht meßbar, während 10- 12 s/ses gerade noch sind. Warum die Ost-West-Uhr schneller gehtals die Erduhr, ist ganz einfach zu begreifen: Sie realisiertpraktisch die Inertialuhr A, der gegenüber die Erduhr B natürlichnachgeht. Dazu kommt ein allgemein-relativistischerEffekt: Die Uhren B, C, D befinden sich im kombiniertenSchwere- und Zentrifugalfeld auf verschiedenem Potentialrp =-GM Ir- !w 2 r 2 . Der Unterschied in r (etwas mehr

1172 Lösungen zu den Aufgabenals I 0 km) ist zwar vernachlässigbar, aber nicht der in w.Nach' der obigen Rechnung ist C raumfest, hat also w = 0,B hat w, D hat 2w. Damit ist rtc- rp 8 = ~w 2 R 2 = ~v 2 ,IPD - rp 8 = _l v 2 . Die relative Uhrenverzögerung istf..T IT = f..rp I c~. Bei der angegebenen Fluggeschwindigkeitwürde also die allgemeine Relativität einen ebenso großenEffekt liefern wie die spezielle. Daher darf v um den Faktory2 kleiner sein, um die angegebenen Werte zu liefern.15.2.2. ZeitdilatationArgumentation und Zeichnung (Abb. I5.24) sind richtig (daseinzige, worauf zu achten wäre, ist, daß keine Längen ausdem bewegten System, sofern sie in Bewegungsrichtung liegen,ohne Lorentz-Kontraktion übernommen werden: wennsonst nur von Punktereignissen die Rede ist, kann eigentlichnichts schiefgehen). Der Satz des Pythagoras liefert sofortdie Formel für die Zeitdilatation: f..t' = f..t J I - v2 I c2 .Dies ist wohl die einfachste denkbare Ableitung. Natürlichsind die Richtungen des Sterns für uns und den Astronautenum cx = arc sin( v I c) verschieden. Auf der Erde tritt dieser alsAberration bekannte Effekt auch auf: Im Winter z. B. bewegenwir uns mit 60 km/s gegen das Inertialsystem, das imSommer gilt, also sehen wir senkrecht dazu die Sterne um601300 000 = 2 · w- 4 oder ca. 40" gegen ihre Sommerpositionverschoben. In welcher Richtung ein Stern "wirklich"steht, gehört ebensowenig zu den absoluten Eigenschaftender Welt wie die Frequenz seines Lichts (noch weniger,denn für diese könnte man noch das System als maßgebendansehen, in dem der Stern ruht). Bei der Umzeichnung fürden Fall, daß wir den Stern in senkrechter Richtung sehen,scheint zunächst M' = M( I + v 2 I c 2 ) 1 1 2 herauszukommen.Aber das Argument, daß die schräge Strecke c M' sei, stütztsich ja auf einen stillschweigenden Übergang in das Systemdes Astronauten, wo diese Strecke jetzt teilweise in Bewegungsrichtungliegt, also Lorentz-verkürzt ist. Auch ohnedie entsprechende Korrektur auszuführen (man könnte sodie Lorentz-Kontraktion selbst ableiten!), sieht man leicht,daß auch diesmal das Richtige herauskommt, indem mandie Rollen der beiden Beobachter vertauscht.15.2.3. ZwillingsparadoxonWenn ein Mann A im System S den Mann B im System S'beobachtet, der sich mit 0,99c relativ zu ihm bewegt, stellter nach Voraussetzung fest, daß die "Physik" in S' siebenmallangsamer abläuft als inS. Man beachte nun, daß Koinzidenzeninnerhalb eines Systems absoluten Sinn haben. Daherwird auch B selbst feststellen, daß seine Physik siebenmallangsamer ist als seine Biologie. Mißt er seine Stundenusw. nach physikalischen Uhren identischer Konstruktionwie wir sie haben, wird erz. B. etwa alle drei Stunden schlafenmüssen, allerdings nur ca. eine Stunde lang. Wenn B nunA beobachtet, findet er, daß dessen Physik noch siebenmallangsamer läuft als seine eigene (diese Folgerung Einsteinssoll ja für die Physik anerkannt werden). Da B's Physik aberschon siebenmal langsamer ist als seine eigene Biologie, istA's Physik für B sogar 49mallangsamer als seine eigene Biologie.Daß A's Biologie mit A's Physik im Takt ist, wurdeeingangs postuliert und gilt absolut. Also sieht B auch A'sLeben 49mallangsamer ablaufen als sein eigenes. Die Reziprozitätzwischen S und S' ist demnach in krassester Weiseverletzt. Keinesfalls ist es logisch haltbar, die "vitalistischeHypothese" so zu interpretieren, wie sie bestimmt gemeintwar, nämlich daß man für S jedes Inertialsystem setzenkann. Die Hypothese könnte bestenfalls für ein Inertialsystemstimmen, und dieses dann mit Recht als "absolut ruhend"ausgezeichnet werden; die merkwürdigen Eindrückedazu bewegter Beobachter wären als Folgen ihrer absolutenBewegung aufzufassen. Übrigens wird kein Vitalist leugnen,daß gewisse biologische Vorgänge, speziell mechanische,von der Physik beherrscht werden. B würde für seine eigenenOrgane die gleichen physikalischen Größen (Massen,Dichten usw.) messen wie üblich. Daß seine Muskeln nunseine Beine, seine Kiefer, seine Zunge plötzlich siebenmalso schnell zu bewegen imstande sind als die Physik dies eigentlichgestattet, wäre sehr verwunderlich. Wenn aber dieseVorgänge dem physikalischen (siebenmal langsameren)Tempo folgen, wird sein eigenes Laufen, Essen, Sprechendem armen B so unerträglich langsam vorkommen, daß erfroh sein wird, aus dieser absurden Welt in die Einsteinsehezurückzukehren, wo innerhalb seines Systems alles völlig inOrdnung und im Takt ist.15.2.4. Myonen der kosmischen StrahlungEin Teilchen mit 207 Elektronenmassen oder etwa I 00 MeVRuhmasse, dessen kinetische Energie um I Ge V liegt, hatpraktisch Lichtgeschwindigkeit. Mit der Lebensdauer vonTo = 2 · I o- 6 s kommt es damit nur etwa 600 m weit, gerrauergesagt: Von einem gebündelten Myonenstrahl wären nach600 m schon 63% zerfallen (wir beachten die Zeitdilatationvorläufig noch nicht!). Von den in h = 13 km Höhe erzeugtenMyonen dürfte daher nur der Bruchteil e-h/(cro) ~e-13 000/6°0 ~ 10-9 an der Erdoberfläche ankommen, selbstwenn sie alle direkt nach unten flögen; da sie das bestimmtnicht tun, ist ein weiterer Faktor von der Größenordnung 10anzubringen. Die eigentliche Absorption ist dabei ebenfallsvernachlässigt (s. u.). Den 5 Myonen/cm 2 s, die tatsächlichankommen, müßten also mehr als 10 10 Myonen/cm 2 s entsprechen,die oben erzeugt werden. Da jedes etwa I Ge Vhat (abgesehen von den überdies noch erzeugten Teilchen)wäre der kosmische Energiefluß mindestens 10kJm-2 s- 1,also fast zehnmal mehr als für die Sonnenstrahlung. Fastdie gesamte kosmische Energie wird offensichtlich in derAtmosphäre absorbiert, und zwar sogar oberhalb der Troposphäre,die Sonnenenergie dagegen heizt die Atmosphäre nurindirekt (über eine Erwärmung des Erdbodens). Letzteres istder Grund für die eigentümliche Schichtung der Troposphäre,besonders für die Temperaturabnahme mit der Höhe (ob adiabatischindifferent, labil oder stabil). Eine kosmische Wärmequellevon diesem Ausmaß würde all das völlig umwerfen:die Troposphäre würde hochgradig stabil, es gäbe keineAufwinde, keine Gewitter, keinen Segelflug usw.Die Zeitdilatation löst das Paradoxon: Ein I ,5 Ge V-Myonz. B. hat mlmo = (I- v 2 lc 2 )- 1 1 2 = TITo- I = I5, seine

"Kapitel15: Lösungen 1173Reichweite innerhalb der Lebensdauer r steigt also auf etwa10 km. Damit sind in der Höhe nur etwa 109mal wenigerErzeugungsakte notwendig, um die beobachtete Myonenintensitätam Erdboden zu erklären, als nach der obigen Betrachtung.Der kosmische Beitrag zum Energiehaushalt derErde wird damit vernachlässigbar.Offensichtlich fällt die Flußdichte der Myonen um sosteiler mit der Höhe ab, je geringer ihre Energie ist (biszum oben diskutierten nichtrelativistischen Extremfall).Die quantitative Übereinstimrimng mit den Meßdaten ist befriedigend,besonders wenn man die atmosphärische Absorptionberücksichtigt. Die "Absorptionslänge" (durch die dieFlußdichte auf 1/e geschwächt wird) wäre in Luft von1 bar Labs = 10 km; dies ist größer als die Skalenhöhe H,längs der die Luftdichte selbst auf 1/e abfällt. Unter diesenUmständen ist die Schwächung der Flußdichte auf der Höhendifferenzhn [ H h/H]noLabs- = exp --(1 - e- ) .15.2.5. Transversaler Doppler-EffektDie Wellenlängen in der ersten (und jeder anderen) Zeileentsprechen genau der Balmer-Formel, wie man am bestenaus den Frequenzen sieht: v = R' ( 1 I n 2 - 1 I m 2 ). Das istklar denn He+ mit seinem einen Elektron ist ein wasserstoffähniichesSystem. Da die Kernladung 2 ist, multiplizierensich Termenergien und Frequenzen, verglichen mit dem Wasserstoff,mit dem Faktor 4 (eine 2 kommt von der Verengungder Bohrsehen Bahnen, die andere direkt aus der Coulomb­Energie). So erklärt es sich, daß jede zweite Linie der Pickering-Seriefast genau mit einer Balmer-Linie des H zusammenfällt.Die kleine Abweichung kommt durch die größereMasse des He-Kerns zustande, der sich daher weniger starkmitbewegt als der H-Kern. Der Endzustand aller Übergängeder Pickering-Serieist aber der He+ -Term n = 4, währenddie Balmer-Übergänge im H-Term n = 2 enden. Die Verschiebungmit der Beschleunigungsspannung, also der Ionengeschwindigkeitist eine Folge der Zeitdilatation: Das Ionrichtet sich beim Strahlen natürlich nach seiner Eigenzeit,und die Periode (und ebenso die Wellenlänge) des Lichtesvergrößert sich also, vom Laborsystem aus gesehen, umden Faktor (1- v2 lc2)-!/Z. Rechnet man BeschleunigungsspannungU in Geschwindigkeit v um, so kann man diesenZusammenhang aus der Tabelle gut bestätigen, besonderswenn man über die Zeilen rnittelt (unter Ausschluß desschon nach dem Seriengesetz als falsch zu erkennenden Wertesin der vierten Zeile und zweiten Spalte). Bei longitudinalerBeobachtung würde man einfach den normalen Doppler­Effekt finden. Da er als "Effekt 1. Ordnung" um den Faktorv I c, also 10 bis 60mal größer ist als der relativistische Effekt(der von 2. Ordnung ist), würde man diesen, obwohl er zweifellosda ist, bei der aus der Tabelle zu ersehenden Meßgenauigkeitnur schwer direkt herausfischen können. Das zeigtauch wie kritisch die Güte der Transversalität ist: Bei 1 MeVz. B. 'müßte der Sehwinkel, unter dem der Abschnitt des Io-nenstrahls, dessen Ernission in den Kollimator gelangt, vondiesem aus gesehen wesentlich kleiner als 1° (fo) sein, damitnicht der longitudinale Doppler-Effekt den transversalenüberdeckt. Das ergibt natürlich beachtliche Intensitätsprobleme!15.2.6. v-StapeleiDie Geschwindigkeit der i-ten Raketenstufe relativ zur Erdesei Vi· Nach dem Additionstheorem (15.5) ist dannVi = Vi-J + cl2 = 2vi-J + c. c. (L. 5)1 + CVi-J/(2c 2 ) 2c + Vi-!Wenn Vi-! ::::; c, ist danach 2vi-l + c::::; 2c + vi-J, alsoauch Vi ::::; c: die Lichtgeschwindigkeit kann, von kleinerenGeschwindigkeiten herkommend, nicht überschritten werden.Die Folge der Vi konvergiert aber gegen c, und zwarziemlich schnell: 0,5c, O,Sc, 0,93c, 0,975c .... Man kannVi auch direkt ausdrücken ohne die Rekursion (L. 5): Vi =c(3i+ 1 - 1)l(3i+l + 1). Das ist leicht zu bestätigen (ameinfachsten durch vollständige Induktion nach i, aber auchaus der Rekursionsformel (L. 5)).15.2.7. Fizeau-VersuchDie Phasengeschwindigkeiten in den beiden Armen der Längel (Abb. 15.25) seien CJ =ein+ ~c und c2 =ein- ~c(ein: Phasengeschwindigkeit in der ruhenden Flüssigkeit).Da die Frequenz v längs des ganzen Lichtweges konstantist, entfallen auf die Längen der beiden Arme lv I CJ bzw.lv 1 c 2 Wellenlängen. Der Gangunterschied beträgt alsolv( cj 1 - c2 1 ) Wellenlängen. Soll gerade eine halbe Wellenlängeherauskommen, so muß sein /v(c] 1 - c2 1 ) ~2lv(n 2 lc 2 ) ~c ~ 112, d. h. ~c ~ c2 l(4lvn 2 ), in unserem Beispiel~c = 12,5ln 2 m/s. Der Zusammenhang zwischen diesemWert und der Strömungsgeschwindigkeit VJ kann nurdurch die Brechzahl n bestimmt sein. Durch graphischeoder rechnerische Anpassung der fünf Punkte, die wir haben(die vier angegebenen und n = 0, v 1 = oo für das Vakuum),findet man (z. B. aus der Auftragung von ~c lv! als Funktionvon n) als beste (wenn auch nicht ganz willkürfreie) AnpassungAc= vJ/(1- n 2 ). Eine Formel wie c = v(a + bn)könnte wohl die vier Meßpunkte ebensogut beschreiben,aber der Vakuum-Punkt fiele erheblich heraus. Ätherstandpunkt:Vollständige Mitführung würde bedeuten ~c = v,keine Mitführung ~c = 0. Die Wahrheit liegt dazwischen,und zwar um so näher an der Mitführung, je größer n ist.Eine befriedigende nichtrelativistische Deutung ist nie gefundenworden. (Fresnel nahm ad hoc an, die Dichte desÄthers in den verschiedenen Stoffen sei verschieden, nämlichproportional n 2 ; er kam damit aber auf anderen Gebietender Optik in Schwierigkeiten.) Relativistischer Standpunkt:Wenn sich das Licht auch im strömenden Wasser (relativzum Medium) mit der Phasengeschwindigkeit ein ausbreitet,ist ganz klar, daß der ruhende Beobachter nach dem Additionstheorem(15.5) eine Phasengeschwindigkeitcjn±vc' - 1 ±(ein) vc- 2cln±v1±vl(nc)

=117 4 Lösungen zu den Aufgabenmißt. Das ist aber für praktische Größenordnungen von vvöllig identisch mit dem experimentellen Ergebnis.15.2.8. Transversale BeschleunigungB habe die Geschwindigkeit v relativ zu mir. B beschleunigteinen Körper K, der in B's System zunächst ruht, so daß B umseine Zeit !lt' später für K die Geschwindigkeit ßw mißt, alsoeine mittlere Beschleunigung a' = ßw Ißt'. Da w l_v, messeich den gleichen zurückgelegten Weg ßs, aber meine Zeitdifferenzist anders: ßt = M'(1- v21c2 )-lf 2 . Also messe ichdie Beschleunigung a = 2 ßs I ßt 2 = a' ( 1 - v2 I c 2 ).15.2.9. ZyklotronWenn man einem Teilchen im Zyklotron Energie zuführt,wächst seine Masse und damit auch seine Umlaufsperiodeim konstanten Magnetfeld. Die Teilchen fallen dann immermehr außer Takt mit dem auf ihre Ruhmasse mo abgestimmtenelektrischen Wechselfeld. Bei einer Masse von 2mo wäredie Periode verdoppelt, und das Teilchen würde, wenn es aufder einen Seite das Feld in der zur Beschleunigung richtigenPhase vorfindet, auf der anderen Seite um ebensovielgebremst werden. m = 2m0 bedeutet W = mc 2 = 2m0c 2 ,also Wkin = moc 2 . Bei Protonen tritt das ein fürWkin = 930 MeV. Natürlich wird aber die Beschleunigungschon erheblich früher praktisch unmöglich. Weiter kommtman, wenn man die Frequenz des elektrischen (oder die Stärkedes magnetischen) Feldes genau der Massenänderung eineseinmal eingeschossenen engbegrenzten Teilchenbündelsfolgen läßt (Synchro-Zyklotron). - Elektronen lassen sichnach dem einfachen Zyklotronprinzip nur auf wenig über100 ke V bringen.15.2.1 0. ElektronengeschwindigkeitDie kinetische Energie der Elektronen mit der BeschleunigungsspannungU ist eU und kommt zur Ruhenergie m 0c 2hinzu. Beide zusammen ergeben W = mc 2 = moc2 IJl - v 2 I c 2 = moc 2 + eU. Auflösung nach v I c ergibtV1 - 1 I (1 + eU I (moc2 ) ) 2 . Man könnte dies direkt ausrechnen,aber einfacher ist der trigonometrische Pythagorassin a = v' 1 - cos2 a. Man faßt also den Bruch unter der großenWurzel als Quadrat eines Cosinus auf und braucht nurnoch den zugehörigen Winkel und hiervon den Sinus, dervlc ergibt.15.2.11. Kernenergie1 mol = 235,1 g spaltbaren Materials zerfällt in 137,95 +93,93 + 3 · 1,008 = 234,9 g Spaltprodukte. Der Rest, d. h.0,2 g oder ca. 111 000 der Ausgangsmasse, sind in Energieverwandelt worden. Pro kg spaltbaren Materials sind das9 · 10 13 J. Ein Ozeandampfer mit 40000PS normaler Maschinenleistung("United States") könnte damit mehr als einenMonat fahren, ein Großkraftwerk von 1 000 MW könnteeinen Tag betrieben werden. Verglichen mit der gleichenMenge besten chemischen Brennstoffs liefert das Uranüber 106mal mehr Energie.Fusion: 6,5 g Massenverlust pro kg, also fast um eineZehnerpotenz mehr Energie als bei der Spaltung.Vollständige Vernichtung liefert den 1 OOOfachen Energieinhalt,verglichen mit der Spaltung.15.2.12. Wie lange lebt die Sonne?Die gesamte Energieabstrahlung ist (1,4kWim 2 ) . 47r .(1 ,5. 10 11 m) 2 = 4 · 10 26 W. Dem entspricht ein Massenverlust5 · 109 kg/s. Die gesamte Sonne hat 2 · 10 30 kg. Bei vollständigerVernichtung würde das für 10 13 a vorhalten. InWirklichkeit handelt es sich aber um Fusionsreaktionen,die nur knapp 1% der Masse zerstrahlen (vgl. Aufgabe15.2.11). Die Sonne kann demnach höchstens !Oll Jahreauf so großem Fuße leben wie jetzt (nach den heutigen astrophysikalischenTheorien wird sie ihre Ausgaben sogar "bald"wesentlich steigern). Von dieser Lebensdauer hat sie schoneinen merklichen Teil hinter sich, denn schon die feste Erdkrusteist mindestens 4 · 10 9 Jahre alt. Entsprechend muß dieSonne, selbst wenn sie anfangs aus reinem Wasserstoff bestandenhätte, schon mindestens 10% davon in Helium verwandelthaben.15.2.13. EnergiesatzAus (15.11) und (15.13) eliminiere man v (es sollen ja, außerm 0 und c, nur W und p übrigbleiben). Man erhält sofort(15.14). Oder, rechnerisch einfacher: Man verifiziert(15.14), indem man es quadriert und mit (15.11) und(15.13) vergleicht. Die Näherung für p 2 « m5c 2 , d. h.v « c, lautet W;:::, moc 2 + ~p 2 lmo. (1. Glied der Binomialreihemit n = ~); für p 2 » m§c 2 , oder v 2 lc 2 » 1- v 2 lc 2 ,ergibt sich W = cp, wie z. B. für die Photonen.15.2.14. Pion-ZerfallWenn die Pion-Ruhmasse von 273me = 139,6MeV in dieMyon-Ruhmasse von 207me = 105,7MeV übergeht (dasNeutrino hat keine Ruhmasse), wird der Rest von33,9 MeVals kinetische Energie frei. Der Impulssatz fordertentgegengesetzt gleiche Impulse von J1 und v (das Pion ruhteja!): IP 111IPvl· Der Energiesatz lautetw" = m1fc 2 = wfl + Wv = Jm~c4 + c 2p~ + CPv= Jm~c4 + c 2p~ + cp11oder, nach p 11 aufgelöst: p 11 =! (m;- m~)clm". Also2 2m"- mfl 2Wv = c = 26,7MeV,2m"2 2m"+mfl 2W 11 = c = 109,8MeV.2m"Wv ist reine kinetische Energie. Beim Myon ist Wkin =W 11 - m 11 c 2 = 4,1 MeV. Auf Grund der auffälligen Myonenenergievon 4,1 MeV wurde das Pion überhaupt erst entdecktund seine Masse bestimmt (Powell, Occhialini, 1947).Nichtrelativistisch: Wenn man die angegebenen Massenwerteanerkennt, müßte man folgern, daß das Zerfallsmyonruht, da eine Masse 0 wie das Neutrino weder Energie nochImpuls aufnehmen kann. Eigentlich müßte man aber aus den

"Kapitel 15: Lösungen 1175bekannten Massen von 1r und f.1 schließen, daß der Fehlbetragm . v stec k t. D ann mu ··ßt e sem . mJlv!l = mvVv, 2.mllvJl 1 2 +!mvv; = 0, was nur mit vll = Vv = 0 lösbar wäre: beideProduktteilchen müßten ebenfalls ruhen.15.2.15. Antiproton-ErzeugungDa zwei Protonenmassen neu zu erzeugen sind, sollte manzunächst glauben, daß für das stoßende Proton eine Energievon 2mHc 2 = 1,88 Ge V genüge. Dann wären alle Teilchennach der Reaktion in Ruhe (nur Ruhmassen!). Das ist abernicht möglich, denn der Impuls des stoßenden Teilchenskann nicht einfach verschwinden. Allerdings kommt manam billigsten weg, wenn die vier Teilchen nach der Reaktionalle relativ zueinander ruhen (aber nicht relativ zum Labor!).Gesamtenergie und Impuls der beiden Protonen vor der Reaktionseien Wund p, jedes der vier Protonen nach dem Stoßhabe W' und p'.Impulssatz: p = 4p' ,Energiesatz: W = 4 W 1oder V m~c4 + c2p 2 + m0c 2= 4Jm~c4 + c2p2l16,woraus mit leichter Rechnung folgt p 2 = 48moc 2 , alsoW = 8moc2, und für die kinetische Energie des stoßendenProtonsWkin = W- 2moc 2 = 6moc2 = 5,63 Ge V.15.2.16. Masse-Energie-ÄquivalenzDer Strahlungsdruck bei Emission oder Absorption einerIntensität I ist p =I I c (Abschn. 12.1.2). Auf die Fläche Awirkt die Kraft F = pA = JAic. In der Zeit At werden dieEnergie W = JA At und der Impuls P = F At = JA At I c =W I c übertragen. Die Raketenmasse M kommt dadurch aufdie Geschwindigkeit v = PIM = W I(Mc). In der Laufzeitllc verschiebt sich so die Rakete um x = vllc =Wli(Mc 2 ) nach "vom". Austausch der Laser muß den gleichenRuck nach "hinten" bringen, sonst ist der Schwerpunktsatzverletzt. Das ist der Fall, wenn der angeregte Laser um f.1massereicherist als der unangeregte. Dann bedeutet der Austauschpraktisch Verschiebung der Masse f.1 um l nach "vom",worauf die Rakete mit einer Verschiebung um f.-tliM nach"hinten" reagiert. Beide Rucke müssen gleich groß sein:f.-tliM = Wli(Mc 2 ), also f.1 = Wlc 2 .15.2.17. Photon-Ruhmasse?Wir nennen die Grenzgeschwindigkeit der Relativitätstheorieco und untersuchen, ob und wie weit die Photonengeschwindigkeitkleiner sein kann als co. Das Photon hat die EnergieW=hciJ..=Jp2 c~+m~c6=Jh 2 cöfJ..2 +m~c6 und diePhasengeschwindigkeit c = co J 1 + m~c~J.. 2 I h2 . mo ist dieangebliche Ruhmasse des Photons, p = hl J.. sein Impuls. cist größer als c0, aber die beobachtbare Photonengeschwindigkeit,die Gruppengeschwindigkeit v, ist kleiner:v = c- J..dcld}, = col J1 + m~cÖ}, 2 lh 2;::::: co(1- !m6c6J.. 2 lh 2 ) = co(1 -!m~lm 2 ),wo m = W lc2 = hi(J..c) die kinetische Masse des Photonsist. Bei einer relativen Verzögerung vonAvlc < 1 msl1 OOOJahre = 3 · 10~ 14 zwischen dem Rotunddem Blausignal von der Doppelstemverfinsterungschätzt man mo < m Av I c ;::::: 10~ 42 kg als Grenze für dieRuhmasse. Lange Radiowellen geben ein 1010mal kleineresm, aber die Meßgenauigkeit für die Laufzeit ist nicht so groß.Immerhin kann man so die obere Grenze bis auf 10~ 46 kgschieben. Die Reichweite eines ruhmassebehafteten Teilchensist nach Yukawa r = hl(moc). Mit mo;::::: 10~ 46 kg erhältman für r etwa den Abstand Erde-Sonne. Wenn es nureine Sorte Photonen mit dieser Ruhmasse mo gibt, deren kinetischeMasse und Frequenz verschieden groß sein können,weil ihre Geschwindigkeit sich in verschiedenem Grade conähert, gilt das Coulomb-Gesetz bis zur Sonne. Dieses Gesetzmit seinem r~ 1 -Abfall ohne Abschirmfaktor beruht nämlichdarauf, daß für jede Entfernung hinreichend langwelligevirtuelle Photonen zum Austausch verfügbar sein sollen(Abschn. 13.4.5). Schlimmstenfalls ist das in Sonnenentfernungnicht mehr der Fall, weil dann die Photonenruhmasseerreicht ist und kein größeres ). existiert. - Meßtechnisch mußder hier betrachtete Laufzeitunterschied sauber von dem getrenntwerden, der auf der Dispersion des interstellaren Plasmasberuht (Aufgabe 17.3.3). Bei Lichtwellen ist dieser Störeffektsehr klein, bei Radiowellen erheblich.15.2.18. Wird Andy es überleben?Bob hält, von seinem Bezugssystem aus betrachtet, das Schiffimmer parallel zu Andy, der mit v angeflogen kommt. DasSchiff hebt sich mit u senkrecht zu Andys Flugrichtung diesementgegen. Da Andy Lorentz-verkürzt ist, geht bei exaktemManövrieren alles gut. Für Andy müssen wir sauber unterscheidenzwischen dem, was er sieht, und dem, was ernach entsprechender Rückdatierung in seinem Bezugssystemals gleichzeitige Ereignisse betrachtet. Was er sieht,ist niederschmetternd: Er sieht das Schiff zunächst vor undetwas unter sich, mit dem Bug höher als dem Heck, d. h.für den geplanten Einfang gerade falschherum gekippt.Licht, das ihn vom Heck erreicht, ist nämlich früher emittiertworden als Licht, das ihn gleichzeitig vom Bug erreicht, undzwar um die Zeit Llc (L: Schiffslänge). Dementsprechendsieht Andy das Heck um ullc weiter unten als den Bug,d. h. das Schiff scheint um den Winkel ul c "falschherum"gekippt. Etwas später, wenn er genau über der Schiffswandist, scheint diese sich ihm aus dem gleichen Grund entgegenzuwölben.Diese Effekte verschwinden durch richtige Rückdatierung,sind also nur "optische Täuschungen". Es bleibtaber die Relativität der Gleichzeitigkeit. Wenn Andy nachrechts fliegt, ist seine Jetzt-Achse gegenüber Bob's um amit tan a = v I c nach links gekippt. Im gleichen Moment(für Andy), wo der Bug noch um y unter ihm ist (senkrechtzur Flugrichtung gemessen), ist das Heck nicht, wie Bobmeint, ebenfalls um y unter ihm, sondern nur um

1176 Lösungen zu den Aufgabenß Luke---- a arctan tlllkzI /t- c'"'2' (t ~"2 ) Ic: '"yJ r.P-fc2Abb. L. 13. Das Raumschiff nähert sichdem Astronauten Andy in dessen Längsrichtungmit v = c 12, quer dazu mitu = cl 4. Obwohl Andy im System desRaumschiffs parallel zur Schiffswandsteht, ist diese für Andy gekippt. Daherpaßt Andy auch durch die für ihn Lorentz-verkürzteLuke. l ist Andy's Längey - uvl I c 2 . Denn für Andy ist ein um l entfernt stattfindendesEreignis um vllc 2 später als für Bob. Für Andy sind Bordwandund Luke also um den Winkel uv I c 2 gekippt, diesmalim "richtigen" Sinn. So kann er in flachem Kopfsprung auchin die verkürzte Luke tauchen. Wenn er z. B. dabei mit demKopf haarscharf am hinteren Lukenrand entlangstreicht,bleibt ihm nach Abb.L.13 an den Füßen noch soviel Frei-heit, daß er sogar durchkäme, wenn er um den Faktor( 1 _ v2 1nach E = -gradlfl -Ä identisch mit iEJ/c. Der Feldtensorwird alsoc2) -1/ 2 länger wäre, genau wie Bob das auch be- Bei dieser Definition von TJlv ist automatischhauptet. TJ.Jl,v + TJlv,Ä + TvJ.,Jl = 0 , (L. 6)e=-15.2.19. Tachyro-=n:.::. n ___Wenn W = y' m6c4 + p 2c2 und p = movJ1 - v 2 I c 2 reellsein sollen trotz v > c, muß mo imaginär sein. Bei Energieverlust,z. B. durch Tscherenkow-Strahlung, wird v größer.Das Tachyon "kommt erst zur Ruhe", wenn W = 0, alsov = oo geworden ist. Die de Broglie-Welle eines Tachyonsbreitet sich mit Unterlichtgeschwindigkeit aus: VPhase = c 2 /v.15.3.1. VierervektorenAlle Vierervektoren transformieren sich wie der Vierer-Ortsvektor,d. h. nach (15.27) durch Anwendung der Matrix(1L _ 1 0- y'! - v2jc2 0-ivlc0..jJ-v2 j c20000..j!-v2fc20 T)Betrag des ersten Zeilenvektors: J ( 1 - v2 I c2 ) I ( 1 - v2 I c2 )= 1, ebenso für die anderen. Skalarprodukt zweier verschiedenerZeilen gleich Null, ebenso für die Spalten. L ist reineViererdrehung und läßt Ia I unverändert. L - I = L *. Wenn inb = Ta sowohlaalsauch b sich mit L transformieren, mußTsich transformieren wie T' = LTL *, denn dann giltb' = T'a' = LTL*La = LTa = Lb (L*L = V , und V kannim Produkt weggelassen werden).15.3.2. Vierer-MaxwellA und 1fi verschmelzen zum Viererpotential Av(A 1 ,A2, A 3, ilfll c). Dimension von A: Vsm- 1 , von lfl: V,also c im Nenner. Der Feldtensor ist definitionsgemäß antimetrisch:TJlv = - Tv 11 • Er hat also sechs unabhängige Komponenten,seine Diagonale enthält Nullen. Im Dreidimensionalengibt es drei unabhängige Komponenten, die man alsVektor auffassen kann. Wenn weder p, noch v den Wert 4hat, wird z. B. T12 = -A2,1 + A1 ,2, d. h. gleich der negativen3. Komponente von rot A, die B3 ist (B = rot A). Andererseitsz.B. T14 = - A4,1 + A!,4 = - ilf!,d c+Ä! I(ic). Das istunabhängig von den Werten .l., p,, v. Man sieht das sofort,wenn man auf die Definition durch Av zurückgeht und beachtet,daß z. B. A;,, 11 v = A J.,vw Wenn A, p,, v = 1, 2, 3, deutet sich(L. 6) als div B = 0. Wenn eine 4 dabei ist, folgen die dreiKomponenten einer Vektorgleichung, nämlich rotE= -B.- Der Induktionstensor WJlv ergibt sich aus T 11 v, indemman H statt B und cD statt E / c schreibt. Wir definierenDiv w flV = wf1V,f1 und können die anderen beiden Maxwell-Gleichungenschreiben Div W 11 v = j v. v = 4 ergibtdiv D = Q, v = 1, 2, 3 die Komponenten von rot H - D =j. Im Vakuum ist W 11 v = T 11 v/J.to (p,o: Induktionskonstante).Dann kann man auch sagen A ,v 11 - Av, 1111 = ~.tuiv · Die Lorentz-KonventiondivA + iplc'f = 0 oder A 11 ,11 = 0 sorgt dafür,daß A 11,v11 = A 11 ,11v = 0. Es bleibt Av,f1J1 = OAv = J.tofvoder, wenn keine Ströme fließen, OAv = 0, die vierdimensionaleWellengleichung. Die Kontinuitätsgleichungdivj = - iJ. schreibt sich ebenfalls automatisch Lorentz-invariantj 11 ,11 = 0.15.3.3. Lorentz-KraftMan lege die x-Achse in v-Richtung, die y-Achse so, daß Bin der x, y-Ebene liegt. Dann lautet der Feldtensor im Laborsystem( 00 BzT- 0 0 - B!- -~2 B! 00 0~)Transformation liefert für das System des ElektronsT' = LTL*, d. h.mit y = l i J 1 - v21c2 , [J = ivylc. Das longitudinale Magnetfeldändert sich also nicht: B~ = B 1, das transversale

"wird größer: B~ = B2IJl- v21c2. Es entsteht ein E-Feldsenkrecht zu v und B: E~ = vB2I Jl - v21 c2 . Kein Wunder,daß das Elektron in diesem E-Feld, das es selbstsieht, die Kraft eE; erfährt, die gerrau gleich der durchden Wurzelfaktor korrigierten Lorentz-Kraft ist (größenundrichtungsmäßig).15.3.4. Trouton-Noble-VersuchZwischen zwei Punktladungen Q+ und Q- im Abstand dherrscht die Spannung U = Ql(4neod). Wenn die LadungQ+ mit v fliegt, repräsentiert sie ein Stromelement Qv,das im Abstand d senkrecht zu v ein Feld B = f.lo Qv I d2 senkrechtzu v und der Verbindungslinie erzeugt (Biot-Savart).Bei einem Winkel rp zwischen v und der Verbindungsliniewirkt auf Q- die Lorentz-Kraft F = QvB sin rp, im ganzenwirkt ein DrehmomentT = QvBd sin rpcos rp = !f1 0 Q2v2d- 1 sin(2rp)= 8n2eov2c- 2 U 2 d.Bei U = 10 6 V, d = 0,1 m würde T ~ w-8 Nm, was gutmeßbar wäre. Ganz allgemein würde folgen T = Wv 2 1c 2 ,wo W die Feldenergie im Kondensator ist. In Wirklichkeittritt natürlich im Laborsystem keinerlei Drehmoment auf,denn hier gelten die Maxwell-Gleichungen ebensogut wiein jedem anderen Inertialsystem, und hier tritt kein Stromauf. Ein Beobachter, der sich relativ zur Erde bewegt, solltezunächst annehmen, daß sich der Kondensator dreht, abereine gerrauere Betrachtung unter Einbeziehung der mechanischenSpannungen (relativistischer Energie-Impuls-Tensor)zeigt, daß eine solche Spannung die Lorentz-Kräfte gerraukompensiert. Der negative Ausgang des Trouton-Noble-Versuchswar neben dem des Michelson-Versuchs eine der wichtigstenBestätigungen der speziellen Relativitätstheorie.15.3.5. Bewegte KugelDie Transformation des E-Feldes liefert für die Komponentenparallel bzw. senkrecht zu v: E[ 1= E 11 , aber E~ = E1_lJl- v21c2 . E1_ ist größer geworden. Die Niveauflächendes Feldes sind keine Kugeln mehr, sondern in Fahrtrichtungc2 abgeplattete Ellipsoide. Da dieum den Faktor J 1 - v21Kugel um eben diesen Faktor Lorentz-kontrahiert erscheint,steht das Feld nach wie vor senkrecht auf ihrer Ober- ·fläche. Das muß auch so sein, denn an der Homogenität derRaumladung ändert sich nichts, allerdings ist die Ladungsdichtejetzt größer: r/ = 121J1- v21c2.15.3.6. Relativistisches KraftwerkÜber der Schiene herrsche das Feld B. Elektronen im Draht,der die Schleifkontakte verbindet, erfahren eine Lorentz­Kraft evB, die einem Feld E = vB, einer SpannungU = vBd äquivalent ist (d: Dicke der Schiene). Beiv = lOOm/s, B = 1 Tesla, d = lOcm würde U = 10V, imErdfeld allerdings nur etwa 1 m V. Bei bewegter Schieneist wegen B = 0 allerdings zunächst kein E-Feld zu erwarten,wenn man nicht bedenkt, daß die Schiene eine Querpolarisationannehmen muß: Die bewegten LeitungselektronenKapitel 15: Lösungen 1177in ihr werden durch F = evB seitwärts gedrückt, bis sich einQuerfeld E = vB aufgebaut hat, das zum gleichen Ergebnisführt wie oben. Der Rotor der Unipolarmaschine entsprichtetwa den obigen Zahlenwertt;:n. Der Strom, den er erzeugt,hängt im wesentlichen vom Leitungswiderstand ab. Mankann sagen, Hunderte von Ampere werden hier rein relativistischerzeugt.15.3.7. Bewegte Leiter laden sich aufDer Strom beruht darauf, daß Elektronen der Anzahldichte nmit einer mittleren Driftgeschwindigkeit u durch den Drahtwandern: j = -nue. Die entsprechenden Ionen sind im Drahtfixiert. Ein Beobachter B fliege mit v in Richtung des Elektronenstromes.Für ihn ist die Ionendichte um den Faktor11 J 1 - v21 c2 höher, weil die Gitterkonstante des DrahtesLoren tz-kontrahiert ist: n' = nl J 1 - v21 c2. Für die Elektronen,die nur mit v - u relativ zu B fliegen, ist dieser Faktorkleiner: n~ 1 = niJ1- (v- u)21c2 .. B sieht demnach denDraht positiv aufgeladen. Dies wird auch rein geometrischsehr anschaulich, wenn man die Weltlinien der Ionen (vertikal)und der Elektronen (leicht nach rechts gekippt) ins Bezugssystemdes Drahtes einzeichnet. Die Elektronenlinienschneiden B's nach links gekippte Jetzt-Achse in größerenAbständen als die Ionenlinien. Bei u « v, was praktisch immerzutrifft, ist n~ 1 = n' ( 1 - uv I c 2 ) (Entwicklung der Wurzel).Also sieht B eine Ladungsdichte 12.' = en 1 uvlc2 =jv I ( c2 J 1 - v21 c2). Formal transformiert sich die Stromdichteals Vierervektor ); = Ux,)y,)z, ic12.) so, daß aus); =Ux, 0, 0, 0) beim Übergang zu B's System jf = UxlJ1- v21c2,0,0,ivjxl(cJ1- v21c2)) wird, d.h. daß ausder Stromdichte Jx eine Ladungsdichte 12.' = vJxl( c 2 J 1 - v21 c2 ) herauswächst.15.3.8. Tscherenkow-StrahlungWir zeigen, daß ein geladenes Teilchen aus Energie-Impulsgründennur dann Photonen emittieren kann, wenn es schnellerist als die Phasengeschwindigkeit des Lichts, was offenbareine Brechzahl n > 1 voraussetzt. Außerdem zeigen wir, daßPhotonen gegebener Wellenlänge nur unter einem ganz bestimmtenWinkel 9 gegen die Bahnrichtung des Teilchensemittiert werden können. Dazu schreiben wir den relativistischenEnergie- und Impulssatz vor und nach der Emissioneines Photons mit w und k:Ipc2Energie: w = cy m6c2 + p2 =V= w' + nw= cJm6c2 +p'2 + nwImpuls: p p' + TzkWir bildenvor der Emission nach der Emission .W 12 = (W- nw) 2 = p2c 4 1v 2 + n2w2 - 2pc2nwlv= c2(mÖc2 + p'2)

1178 Lösungen zu den Aufgabenund setzen einp' 2 = p' . p 1 = p 2 + IP k 2 - 2phk cos 9(hier ist 9 der Emissionswinkel, der Winkel zwischen k undp). Wir erhaltenw' 2 = p 2 c 4 1v 2 + 1i 2 o}- 2pc 2 nwlv= mÖc 4 + p 2 c 2 + n 2 k 2 c 2 - 2phkc 2 cos 9.Das erste Glied in der linken Summe und die beiden ersten inder rechten stellen W2 dar, heben sich also weg. Es bleibtn 2 w 2 - 2pc 2 nwlv = n 2 k 2 c 2 - 2phkc 2 cos 9.Die Phasengeschwindigkeit des Lichtes ist wlk =ein. Auflösungnach cos 9 führt also auf cos 9 = c I ( nv) +1i · k(l - n- 2 ) I (2p ). Nur bei n > 1 hat diese Gleichung überhaupteine Lösung 9, außerdem bei n = 1 und einem Teilchen,das exakt mit v = c flöge. Langwellige Photonen(k

..Kapitel15: Lösungen 1 1 1179IIIIScheibe aus gesehen, von Z weg. H sagt: Das scheint nur so,weil sich die Scheibe darunter wegdreht S sagt: DasSchwerefeld drückt auch das Licht nach draußen. Der Krümmungsradiusder Lichtstrahlen ist R ;:::; c I w, denn in der Zeitdt, in der das Licht ds = c dt zurücklegt, dreht sich dieScheibe (oder die Lichtrichtung relativ zur Scheibe) umda = w dt = w ds / c, und ds /da ist der Krümmungsradius.-Der Umfang des Kreises mit dem Radius r, der nach Ausweisder auf ihm eingetragenen Meterstriche die Länge 21rrhat, ist von Z aus gesehen nur 21rr( 1 - w 2 r 2 I c 2 ) lang. Von Zaus erscheint die Scheibe gewölbt, und zwar wieder mit demKrümmungsradius R ;:::; c I w. Auf einer Kugel mit demRadius R hat ein Kreis mit dem längs der Oberfläche gemessenenRadius r nur den Umfang 27rRsin(riR) ;:::;27rr(1- r 2 1(6R 2 )). Größere Abstände als R dürften für Sauf der Scheibe nicht existieren. Dem Abstand R entsprichtein Potential rp ;:::; w 2 k 2 ;:::; c 2 • In der üblichen Ausdrucksweise( rp = GM IR) ist dies die Schließungsbedingung desSchwarzen Loches.15.4.4. LichtablenkungIm Beschleunigungs- oder homogenen Schwerefeld muß nunten größer sein; wegen k = dnl(ndy) folgt n =1 - gy I c 2 = 1 - rp / c 2 . Auf der Drehscheibe muß n außengrößer sein, denn das Licht krümmt sich nach außen weg(oder die Scheibe dreht sich unter ihm weg). Es folgtn = 1 + w 2 ? lc 2 = 1- rplc 2 . Im Schwerefeld der Kugelmasseist n innen größer, denn das Licht krümmt sich aufdie Masse zu. Aus dnl(ndr) = 2glc 2 = 2GMI(r 2 c 2 ) folgtangenähert n ;:::; 1 - 2rp I c 2 . Ein solches Feld konzentriertLicht- oder Gravitationswellen, ohne sie allerdings auf einenPunkt zu fokussieren, wie jede Zeichnung der Bahnen(;:::;Hyperbeln) für verschiedene "Stoßparameter" zeigt.15.4.5. Die fernsten Objekte?Das Gravitationspotential müßte nahezu c 2 sein. BeiM::::; 10M 8 folgt R::::; 30km. Der Stern wäre also fast10 9 mal, d. h. 22 Größenklassen weniger hell als dieSonne. Er müßte uns wesentlich näher sein als a Centauri.Verzehnfachen der Masse verzehnfacht auch Radius und geschätztenAbstand. Die Quasars würden dann aber immernoch eine größere mittlere Dichte der Galaxis liefern alsdie bekannten Sterne, deren Dichte gerade mit der beobachtetenRotation der Galaxis zusammenpaßt15.4.6. Laplaces Schwarzes LochMit Huygens' Wellenvorstellung wußte man nicht viel anzufangen,bis Young und Fresnel sie um 1810 wiederbelebten.Ausgehend von Newtons Bild der mit c fliegenden Lichtteilchenwar es für Laplace ganz natürlich, die von Newton selbsteingeleiteten Überlegungen über das Entweichen aus demSchwerefeld von Himmelskörpern bis zu einer Fluchtgeschwindigkeitc zu extrapolieren. Es folgt zwangsläufigdie Bedingung ~ c 2 = GM IR = 17rGQR 2 , also für Q =5 glcm 3 : R = 1,8 · 10 8 km::::; 250 Sonnenradien. WelchenEinfluß die Gravitation auf die Ausbreitung einer Welle habensollte, wäre mangels genauerer Kenntnis über diesenWellenvorgang nicht zu entscheiden gewesen. BeiQ::::; 1015 glcm 3 (Kerndichte) folgt R;:::; 10km, also etwasmehr als Sonnenmasse. Ein Schwarzes Loch mitR::::; 10-13 cm hätte M::::; 1012 kg, Q::::; 1030 gjcm 3 ·(Aufgabe15.4.10). Bei R;:::; 10 10 Lichtjahre ;:::; 10 26 m müßteM::::; 1053 kg, Q;:::; 10-30 glcm 3 sein (Einstein-Weltall).Dies kommt der direkt beobachteten mittleren Dichte imWeltall ziemlich nahe.15.4.7. Olbers-ParadoxonWenn das Weltall unendlich groß und im Mittel in konstanterDichte mit Sternen besetzt wäre, müßte jeder von uns gezogeneSehstrahl schließlich auf eine Lichtscheibe treffen. DieFlächenhelligkeit eines Strahlers hängt aber nicht vom Abstandab (scheinbare Fläche ~ a-2 ~ Gesamthelligkeit).Wenn alle Sterne im Mittel sonnenähnlich sind, müßtealso der Himmel bei Tag und Nacht die Flächenhelligkeitder Sonnenscheibe haben. Dieser ganze "Hohlraum" einschließlichder Erde müßte etwa 6 000 K haben. Eine andereÜberlefung führt zum gleichen Ergebnis: Die Sonne nimmt::::; w- der Gesamthimmelsfläche ein (1r(O,S0t l(47r) ::::;2 · w-5 ). Im Olbers-Modell erhielte die Erde 10 mal sovielStrahlung, hätte also nach Stefan-Boltzmann etwa 5 000 K.Hierbei ist berücksichtigt, daß sich die Sterne teilweise überdecken.Sie strahlen aber trotzdem. Wir betrachten eine sehrgroße Kugelschale zwischen r und r + dr (auch dr groß gegenden mittleren Sternabstand). Eine solche Kugelschaleenthält eine Sternanzahl proportional r 2 . Ihr Beitrag zur Gesamtstrahlungoder zur Gravitation am Ort der Erde ist alsounabhängig von r. Da es unendlich viele Schalen gibt, sindStrahlungsdichte, Temperatur, Gravitationspotential unendlich.Ausweg: Die Materie. ist auf ein enges Teilgebiet beschränkt;die Materiedichte nimmt mit wachsender Entfernungvon uns immer mehr ab. Beides widerspricht der Beobachtungund ist philosophisch unbefriedigend (Inhomogenität,Anthropozentrismus). Die Materie hat begrenztes Alter,speziell die strahlende; aus sehr entfernten Bereichen gehtuns keine Strahlung zu, weil dort zu der Zeit, als das Lichthätte aufbrechen müssen, noch keine Materie oder wenigstensnoch keine Sterne existierten (gleiche Einwände wieoben). Andere Auswege vgl. Aufgaben 15.4.8 und 15.4.9.15.4.8. Olbers-Lösung?Nein. Streut man kalte absorbierende Materie zwischen dieSterne, dann reduziert sie zunächst den Bereich, aus dem wirStrahlung erhalten, auf r;:::; 1 /K (K: Absorptionskoeffizientder interstellaren Materie). Sehr bald aber setzt sich dieseMaterie ins Strahlungsgleichgewicht mit den Sternen undstrahlt uns, wenn auch indirekt, ebensoviel zu wie diese.15.4.9. Charlier-ModellMn, rn, !?n seien Masse, Radius und Dichte des Systems n.Ordnung, Rn der Abstand zwischen zwei nächstbemichbartenSystemen dieser Art. Dann ist offenbar !?n =3Mnl~47rr~), aber auch !?n = Mn-I/R~_ 1 , also !?n+1 =Mn/Rn. Das Olbers-Paradoxon verschwindet, wenn die mittlereDichte gegen Null geht, sofern die Systemordnung n

1180 , Lösungen zu den Aufgabengegen Unendlich geht. Das ist bestimmt der Fall, wennQn+ d Qn ~ a, wobei a beliebig, aber < 1. Wir verlangenalso Qn+llen = 4n-r~I(3R~) ~ a < 1, d.h. rniRn ~(3al(47r)) 1 1 3 . Dann konvergiert f2n mindestens so gut wiean. Die Welt hätte eine verschwindende mittlere Dichte,wenn man über einen hinreichend großen Bereich mittelt.Trotzdem wäre sie homogen in dem Sinn, daß keins der Systemeeine Vorzugsrolle hat. In der wirklichen Welt gibt eszwar "Clusters" von Galaxien, aber über Systeme höhererOrdnung ist nicht viel bekannt.15.4.10. Sind Schwarze Löcher wirklich schwarz?Nur Teilchen ohne Ruhmasse können auf so hinterlistigeWeise aus dem Schwarzen Loch ausbrechen, denn selbstein virtuelles Elektron käme nur 10-10 cm weit, bis die Unschärferelationihren schützenden Mantel wegzieht und derEnergiesatz einschreitet. Ein Photon mit p < h / R dagegenläßt sich nicht in ein Gebilde mit der Abmessung R =GM I c 2 einsperren. Anders ausgedrückt: Bei W < hc / R erlaubtihm die Unschärfe, weiter als R zu fliegen. Photonenmit W = hv = hc / R = hc 3 / (GM) würden vorzugsweisevon einem schwarzen Körper mit kT i::,j hc3 I (GM) emittiert.Wenn das Spektrum, wie es scheint, auch sonst schwarzist, strahlt das Schwarze Loch i!ll ganzen P i::,j R 2 k 4 T 4 j (j: 3 c 2 )ab. Sein Massenverlust ist M = -Pic 2 i::,j -hc 4 j(G M 2 ),integriert M ·= Mo(1- t/r:) 1 1 3 , was bei t = r: =G 2 MÖ/(hc 4 ) brüsk zu Ende ist. Für Mo= 10 16 g folgtr; = 10!l) Jahre. In der letzten Millisekunde werden nochM 0 (1 ms/r:) 1 1 3 = 10 11 g, d. h. 10 25 J umgesetzt, soviel wievon 10 8 Megatonnen TNT. Mo = 10 16 g entsprichtR i::,j 10-13 cm, d. h. der Elementarlänge. Ist es Zufall odernicht, daß gerade in unserem Weltalter Schwarze Löchervon diesem typischen Radius zum Verpuffen dran sind? Handeltes sich um eine neue Verletzung (außer dem Urknall,wenn es ihn gab) des kosmologischen Postulats, nach demunsere Zeit nichts Besonderes an sich haben dürfte? WennSie nachrechnen, finden Sie hier eine neue Ausdrucksformder Eddington-Dirac-"Wunderzahl" (Aufgabe 13.4.4).15.4.11. Einstein kontra BohrBohr sagte ungefähr: Die Strahlungsmenge W wird nicht momentanaus dem Verschluß austreten, denn dazu müßte entwederdie Strahlungsdichte oder ihre Geschwindigkeit unendlichgroß sein. Der Austritt erfolgt auch nicht ganz gleichmäßig,denn es gibt ja Photonen. Es geht also darum, denganzen Verlauf des Austritts zeitlich exakt zu verfolgen.Ist das mit der Waage möglich? Sowie das erste Licht austritt,wird der Kasten leichter, die Waage setzt sich in Bewegung.Zwischen ihrer alten und neuen Ruhestellung liegeeine Höhendifferenz y, der Einstellvorgang dauere eineZeit t. Waagschale und Kasten haben eine mittlere Geschwindigkeitylt, einen Impuls myjt. Da wir nicht wissen, wannwährend dieser Zeit die Strahlung W austritt (das wollenwir ja gerade erst feststellen), besteht in der Masse eine Unsicherheit!J.m = W / c 2 , im Impuls eine Unsicherheit!J.p = !J.my/t = Wyj(c 2 t). Diese Unschärfe im Vertikalimpulszieht nach einem Prinzip, das Einstein vorläufig nichtdirekt angreift, eine Unschärfe in der Höhenlage des Kastensvon !J.y = h/ !J.p = hc 2 tj(Wy) nach sich. Man weiß also nichtimmer haargenau, unter welchem Gravitationspotential rp ersich befindet. Die Unschärfe ist !J.rp = g !J.y = ghc 2 t/(Wy).Die Ganggeschwindigkeit einer Uhr im Kasten - auf dieseUhr kommt es hier an, bzw .. auf ihre korrekte Umrechnungin die Zeit des Laborsystems - hängt aber von rp ab: Vonder im Laborsystem weicht diese Ganggeschwindigkeit umden Faktor 1 - rp / c 2 ab. Dieser Faktor ist um!J.rpjc 2 = gthi(Wy) unsicher. Innerhalb der Gesamtzeit tkann er eine Unsicherheit in der Beziehung zwischen Kastenzeitund Laborzeit von !J.t = t!J.rplc 2 = gt2hi(Wy) bringen.Nun ist aber y ;c; gt2, denn selbst wenn die andere Waagschale,die nach Entlastung des Kastens Übergewicht hat,frei fiele, würde sie in der Zeit t sich nur um y = ~ gt 2 verschieben.Damit haben wir die Unschärferelation!J.t ;c; h/W. Wenn ein Vorgang den Energieumsatz W hat,läßt sich sein Eintreten auch in diesem Gedankenexperimentnur bis auf den Fehler !J.t ;c; h/W festlegen.- Einstein mußtezugeben, daß man die W, t-Relation nicht zu Fall bringenkann, ohne auch die p, x-Relation zu widerlegen, sonderndaß beide zusammenhängen, was vom relativistischen Standpunktauch selbstverständlich ist.15.4.12. DoppelsternEin Punkt auf der Drehachse im Abstand z » d von derDrehebene hat ein Potential(wir nennen der Bequemlichkeit halber den Abstand derSterne 2d). Verfleich mit (15.40) liefert ein QuadrupolmomentQ = 2Md . Kräftegleichgewicht auf der Bahn verlangtill 2 d = GM/(4d 2 ),alsoill 2 = GM/(4d 3 ) (3.Kepler-Gesetz).Die Strahlungsleistung P i::,j GQ 2 ill 6 jc 5 = G 4 M 5 l(l6c 5 d 5 )steigt also sehr schnell, wenn d abnimmt. Zwei Pulsarsoder Schwarze Löcher, die sich in wenigen Dutzend km Abstandumkreisen, könnten 10 40 W oder mehr abstrahlen. Ihreganze Masse wäre dann allerdings in 1 Jahr oder wenigergravitativ zerstrahlt. Ein normaler Doppelstern mit d i::,j Erdbahnradiusstrahltdagegen nur etwa 10 10 Wund wäre z. Z. inkeinem Fall als Quelle von Gravitationswellen nachweisbar.15.4.13. Gravitationswellen-AntenneDa ein Doppel-Pulsar mit 10-100km Sternabstand nur sehrkurzlebig wäre, kann man kaum erwarten, näher als 1 000-10 000 Lichtjahre einen zu finden. Seine Strahlungsleistungvon 10 40 Wergäbe dann 0,1-10 W/m 2 Intensität bei uns. DiePeriode der Strahlung, d. h. die Periode der Rotation des Doppelsterns,wäre mindestens einige ms, die WellenlängeJe = cT mindestens einige tausend km. Webers Zylinder(l i::,j 1m) kann also höchstens !2 I 2 2 i::,j 10-12 der Leistungeinfangen, d. h. 1 o-13 -1 o-ll W (die Länge l fängt höchstenseinen Bruchteil!/}, der Amplitude ein, die Intensität geht wiedas Quadrat der Amplitude). Die Schallgeschwindigkeit inAluminium ist 5 100 m/s, die Grundschwingung (Je = 2l)hat ill i::,j 10 4 s- 1 . Annähernd so breit ist der durchgelassene

Kapitel15: Lösungen 1181Frequenzbereich, also ist die Nyquist-Rauschleistung kT ~wannähernd 10-16 W. Das Signal-Rausch-Verhältnis wird besser,wenn man kühlt und einen Empfänger mit engerer Resonanz,also schwächerer Dämpfung benutzt.15.4.14. DoppelpulsarDie Schwankung der Pulsperiode beruht auf einem Doppler­Effekt: Umlaufgeschwindigkeit V ~ 5 . w- 4 c = 1,5 .105 m/s, Umlaufperiode 28 000 s, Bahnradius r ~ 7 · 108 m(in Wirklichkeit stark exzentrische Bahnen). Das 3. Kepler­Gesetz und W = -GM/ (2r), logarithmisch differenziert, geben2T/T = -3r/r = 3W/W ~ w- 16 s-l, also mit M =3 · 10 30 kg ( Grenzmasse zwischen weißem Zwerg und Pulsar,aus Rotverschiebung u. a. gemessen): W ~ -4 · 10 41 J,W ~ 2 · 10 25 W (fast 1110 der gesamten Sonnenstrahlung).Nach P ~ G 4 M5 / ( c5 r5 ) (Abschn. 15.4.3) führen die Gravitationswellenetwa 2 · 10 25 W ab. Mit den wirklichen Wertenwird die Übereinstimmung perfekt und schließt alle Alternativenzu Einsteins Gravitationstheorie ziemlich sicher aus.15.4.15. Thnguska~ MeteoritAm 30.6.1908 steht in Kansk auf 56° N die Sonne um 7h 17Ortszeit schon ziemlich hoch und zwar fast im Osten. DerHelligkeitsvergleich durch die Augenzeugen ist also direktgenug, um glaubhaft zu sein. Wenn ein 600 km entferntesObjekt so hell aussieht wie die 2,5 · l0 5 mal fernere Sonne,ist seine Strahlungsleistung l;lei ähnlicher Spektralverteilungum den Faktor 10 11 kleiner, also 3 · 10 15 W. Der leuchtendeKörper müßte einige km Durchmesser gehabt haben. Tatsächlichwird die Strahlung als bläulich geschildert, wasden Durchmesser etwas reduziert, aber die Leistung erhöht.Die Dauer des Ereignisses wird als mehrere Sekundenangegeben, aber besonders bei hellen Lichterscheinungenüberschätzt man die Dauer gewöhnlich. Ein Objekt mit kosmischerGeschwindigkeit von 10-lOOkm/s durchquert dendichten Teil der Atmosphäre auch bei schrägem Flug in1 s oder wenig mehr. Die Gesamtenergie ergibt sich dannzu 10 16 -10 17 J, entsprechend einigen Megatonnen TNT(1 ,2 · 107 J/kg). Schätzungen aus der weltweit registriertenErdbebenwelle führen auf ähnliche Werte. Eine U-Bombedieser Sprengkraft hätte etwa 1 t, eine H-Bombe lOOkg(bei vollständiger Reaktion). Ein Stück Antimateriebrauchte nur 1 kg zu haben. Bei der Dichte eines Steinsbrauchte ein solcher Anti-Meteorit nur ro oder IÖo der Atmosphärenmassezu durchschlagen, um in seinem Flugkanal genügendLuftmoleküle zu seiner vollständigen Vernichtungeinzufangen. In 20-40 km Höhe wäre er verpufft. Aus600 km Abstand sieht man nur Dinge, die sich mindestens30 km über dem Boden abspielen. Es ist also nicht auszuschließen,daß die Bahn dort endete. Wesentliche MengenSprengstücke wie bei einem normalen Meteoritenfall hatman auch nicht gefunden. Ein Schwarzes Loch der Massem und der Geschwindigkeit v schluckt umgebende Materieso ein, daß diese zum Schluß c erreicht. Welchen Radius rhat der ausgelutschte Kanal? Während der Fallzeit, die wiebeim üblichen Kepler-Problem ,31 2 (G/M)- 1 1 2 ist, darf dasSchwarze Loch nicht mehr als r weitergeflogen sein, alsor ~ GMjv 2 . Bei r ~ 1 cm wird in der ganzen Atmosphäre1 kg aufgefressen, was die Lichterscheinung erklärt. Beiv ~ 100 km!s ergibt das M ~ 10 18 g, knapp oberhalb der Zerstrahlungsgrenze (Aufgabe 15.4.10). Auf dem Weg durch denErdkörper würden dagegen 10 7 kg verschluckt und 10 24 J erzeugt,das Äquivalent von 10 10 Megatonnen TNT oder demAufprall eines normalen Meteoriten von mehr als Ceres­Größe oder dem Mehrfachen der Bildungsenergie sämtlicherGebirge. Am wahrscheinlichsten ist immer noch ein Kometenkopfvon einigen 100m Durchmesser, der seine kinetischeEnergie in Reibungshitze und Strahlung umsetzt und von demnach dem "dirty snowball"-Modell nicht viel übrigbleibt15.4.16. n-KugelEine n-Kugel vom Radius R läßt sich aus Scheibchen aufbauen,deren Fläche das Volumen einer n- I-Kugel vomRadius R sin ß und deren Dicke -Rd cos ß = R sin ß dß ist(ß = arccos(x/R), x: Abstand der Scheibe vom Zentrum).Vn}R) = 2 J; 12 Vn-l (R sin ß)R sinß dß. Wir brauchen In =J; 2 sinn ß dß. Partielle Integration führt auf In =((n- 1)/n)In-2· So wird, ausgehend von V1 = 2R, das Vonlumen Vn = 2nRnf1Jv. die Oberfläche On= nVn/R, speziellV4 = !1r 2 R 4 , 04 = 21r 2 R 3 .15.4.17. UrstrahJungIDas isotrope Strahlungsfeld hat die Zustandsgleichungu = 3p (vgl. Aufgabe 5.3.7). Die Gesamtenergie W = uVändert sich adiabatisch gemäß d W = u d V + V du =-pdV. Einsetzen von p = u/3 liefert duju = -4dV /(3V)oder, integriert, u ~ v- 4 13 . Die Expansionsarbeit läßt uschneller abnehmen als einfach mit v-I. Für die schwarzeStrahlung ist u ~ T4 , also nimmt T bei der Expansion abwie v- 1 1 3 , d. h. wie der Radius-1. Daß eine schwarze,also Gleichgewichtsstrahlung im Gleichgewicht bleibt,kann man daraus vermuten, daß die adiabatische Expansionkeine Entropieänderung bringt. Viel anschaulicher: DerDoppler-Effekt verschiebt alle Frequenzen um den gleichenFaktor, ändert also die Form des Spektrums nicht. Eine 2, 7 K­Strahlung hat u ~ 4 · w- 6 J /m 3 , also etwa die Gesamtintensitätder Sonnenstrahlung in 10 4 Erdradien ~ 0,02 LichtjahrenAbstand (r ~ T-2). Ihr Emissionsmaximum liegt bei1 mm. Das Planck-Spektrum der Sonne ist dort nach der Rayleigh-Jeans-Näherungvi/v~ ~ 4 · 106mal schwächer als imEmissionsmaximum der Sonne, unter Berücksichtigungder geometrischen Verdünnung um 240 2 also 2 · I0 11 malschwächer; das 2,7 K-Maximum ist Ti /Ti ~ 10 10 ma1schwächer. Wenn wir auf dem Merkur wohnten, hätten wirdie 2,7 K-Strahlung wohl kaum gefunden. Die Abkühlungder Strahlung im expandierenden Weltall folgte verschiedenenGesetzen, je nachdem, ob die Strahlung noch mit derMaterie im Gleichgewicht stand (Photonenära), oder nichtmehr (Stellarära). Nur für die Stellarära mit ihrer konstantenPhotonenzahl gilt die obige Betrachtung. In Aufgabe 15.4.19wird diese Entwicklung genauer durchgerechnet. Ergebnis:Anfang der Photonenära nach t ~ 10 s mit T ~ 1010 K, währendder Photonenära T ~ R- 3 1 4 "'t- 1 1 2 , also 10 8 K nach

1182 Lösungen zu den Aufgabenetwa 1 Tag; Anfang der Stellarära nach t::::;; 104 Jahren mitT::::;; 5. 104 K, danach T rv R-1 rv t-213, wie oben abgeleitet,also heute t ::::;; 2 · 1010 Jahre mit T::::;; 3 K.15.4.18. Steady stateEiner Lebensdauer T entspricht eine nichtunterschreitbareEnergieunschärfe .1 W ::::;; Ti/T oder eine Unschärfe in derAnzahl der Teilchen der Ruhmasse m vom Betragfo.N::::;; Tij(Tmc 2 ). Für jedes Nukleonvolumen 17rlÖ könnteder Energiesatz also aus Unschärfegründen nicht ausschließen,daß darin innerhalb der Zeit Tein Nukleon neu entstandenist. Wenn hier wie in der Theorie der Wechselwirkungenalles erlaubt ist, was nicht verboten ist, wäre eine Neuentstehungsraten Nukleonen s-1 m-3möglich, die sich alsn = fo.Nj(TZÖ) = 3Ti/(mc 2 T 2 ZÖ47r) ergibt. Bei gleichmäßigerExpansion wächst jeder Abstand gemäß r/r = 1/T, jedesVolumen wie V /V= 3r/r = 3/T, die Dichte würde ohneTeilchenerzeugung abnehmen wie njn = -3/T odern ~ -~n/T. Mit Teilchenerzeugung folgt n = a- ~njT.Die Losung n = no e-3t/T + nst( 1 - e-3tfT) strebt mit derZeitkonstante T /3 exponentiell der stationären Dichtenst = aT /3 = Ti/(47rlÖTmc 2 ) zu. Mit dem Weltradius R =cT folgt eine Gesamtteilchenzahl N ::::;; 21r2nR3 ::::;;1r1iR 2 / ( mclÖ) (der geschlossene sphärische Raum, also dieOberfläche der vierdimensionalen "Kugel", hat das Volumen2~R 3 , Aufgabe 15.4.16). Da der Radius des Nukleons fastgleich seiner Compton-Wellenlänge ist: lo ::::;; h/ (mc ), ergibtsich einfach N::::;; R 2 /(87rlÖ). Das ist die geheimnisvole Eddington-Dirac-Beziehung,die Eddington selbst auf ganz andere,nicht sehr überzeugende Weise abzuleiten versucht hat,obwohl er immer betonte, wie fundamental die Raumexpansionsei, die bei uns als direkte Ursache der Teilchenerzeugungund des stationären N-Werts erscheint. Deuten wir den Weltradiusanders, als Radius des "schwarzen Loches" Universum,dann folgt R = GNm/ c 2 . Vergleich mit der obigen Beziehungfür N liefert dann Werte für N, Rund T (die reziproke Rubble­Konstante), ausgedrückt durch die Naturkonstanten, nämlichR::::;; 81rh 2 /(Gm 3 ) ::::;; 10 25 m, N::::;; 81rh 2 c 2 /(G 2 m 4 )::::;; 10 79 ,T ::::;; 109 Jahre, und eine mittlere Dichte Q ::::;; 10- 5 kgjm 3 ,die mit den Beobachtungen ganz gut übereinstimmen. UnserModell rettet also das erweiterte kosmologische Prinzip, nachdem die Welt überall und immer im wesentlichen gleichbeschaffen ist und war, vermeidet den Urknall, deutet denRubble-Effekt, leitet Größe und Masse des Weltalls ausden Naturkonstanten ab, erklärt die Eddington-Dirac-Beziehung- alles aus der einen Annahme, daß der Raum expandiert,was de Sitter, Lernaltre und Friedmann allein aus denEinsteinsehen Gravitationsgleichungen ableiten. Dazu brauchenwir nur eine eigenwillige Lesart der Unschärferelation.15.4.19. Geschichte des UniversumsDie Friedmann-Gleichung ~ R 2 - GM/ R = 11 liefert miteiner Energiedichte 11::::;; 0 die Lösung R312 = 3JGM/2t.Das entspricht einer Näherung der Zykloidenlösung(Abschn. 15.4.5 und 1.5.9e) für kleine Zeiten. Von dem Zeitpunktan, wo die Masse M überwiegend als Materie vorlagund diese nicht mehr neu erzeugt wurde, nahm ihre Dichtealso ab wie (! = Mj(21r2R3 ) = (97r 2 Gt 2 )- 1 . Während derPhotonenära stand die Strahlung mit der Materie in ständigerWechselwirkung. Beide hatten ungefähr die gleiche Energiedichte.Nach Stefan-Boltzmann ist die Energiedichte derStrahlung Q rv T4 . Es folgt T ""R-31 4 rv t- 112• Das Endeder Hadronenära ist charakterisiert durch Kerndichte12K::::;; 10 17 kg m- 3 und TK::::;; 10 13 K mit kTK::::;; 1 Ge V. DiePhotonenära begann demnach bei T0 ::::;; 1010 K (kTo ::::;;1 MeV), to ::::;; 10 s mit 12o ::::;; 105 kg m- 3 , Ro ::::;; 10ll m. Sieendete, als die freie Weglänge l = 1/ (an) des Photonsgleich dem Weltradius R wurde. Hierbei ist n die Teilchenzahldichteder Nukleonen, als Absorptionsquerschnitt a setzenwir den Thomson-Querschnitt, der ungefähr gleich demgeometrischen Querschnitt des Nukleons ist. Unsere Bedingungwird l = R ::::;; R 3 /10- 32 m 2 · 1080 , also Rs ::::;; 1024 m,was zutraf bei ts ::::;; 10 4 Jahre und Ts ::::;; 5 · 104 K,12s ::::;; 10-15 kg m- 3 . Seitdem ist die Anzahl der Photonenim Weltall konstant, denn sie treffen praktisch niemalsmehr auf Materie (hier ist natürlich nicht die Rede vonden durch Sterne emittierten Photonen, sondern von den"primordialen" kosmischen Photonen). Sie werden nur immerröter, d. h. langweiliger, was man als Doppler-Effekt infolgeder Expansion auffassen kann. Man kann aber auchthermodynamisch rechnen (Aufgabe 15.4.17): T nimmt abwie R-1 und t- 3 1 2 (schneller als während der Photonenära,wo T rv t-112 war; damals wurde die Expansionsarbeitsofort wieder durch Wechselwirkung mit der Materie ersetzt).Das jetzige Weltalter ist etwas mehr als 10 6 mal späterals das Ende der Photonenära. So erhält man für die jetzigeStrahlungstemperatur den richtigen Wert von einigen K. Deswegenfaßt man die Penzias-Wilson-Strahlung als verdünnteUrstrahJung und als beste Bestätigung der Urknalltheorie auf.Alpher, Bethe und Gamow hatten sie am 1. April 1948 vorausgesagt(die Zusammenstellung der Autoren und das Erscheinungsdatumstammen natürlich vom Witzbold GeorgeGamow).15.4.20. Primordiales HeliumDer Massenunterschied von 0,78 MeV/c 2 entspricht kT mitT::::;; 10 10 K, was laut Aufgabe 15.4.19 nach etwa 1 s erreichtwar. Von da ab nahm die Häufigkeit der Neutronenvernichtungenentsprechend der Neutrinodichte mit t- 2 ab: iln =-Acnvnn = -Acn 0 /(911' 2 mGt 2 ), also 1nn 0 /nn 0 = -Ac/(97r 2 mGt2); die Endzeit spielt keine Rolle. MitA::::;; 10- m 2 folgt etwa das Richtige (für hohe Energie).Wäre A nur wenig größer, gäbe es keine Neutronen, alsonur Wasserstoff, bestimmt kein Leben, wäre A kleiner,gäbe es fast nur Helium, keine normale Fusion in Sternen,vermutlich auch kein Leben. Sind die Naturkonstanten sofein abgestimmt, damit es uns gibt, oder gibt es viele Universen,und wir bewohnen nur das bewohnbare (anthropischesPrinzip)?15.4.21. Periheldrehung IStatt r schreiben wir überall r - R (in der verlangten Näherungstimmt das, wenn auch nicht völlig allgemein). Der Flächensatzliefert ip = L/(m(r- R) 2 ), der Energiesatz

". 2 2W 2GM L 2r =-+--- 2.m r- R m2(r- R)Wir eliminieren dt durch Division beider Gleichungen undvernachlässigen höhere Potenzen des kleinen Abstandes R:r'2 = 2mW (r _ R)4 + 2GMm 2 (r _ R)3 _ (r _ R)2L2L2= 2mW r4 + (2GMm 2 _ 8mW R)r3 _ (l _ 6GMm 2 R)r2 .L2 L2 L2 L2Mit z = llr wird,2 _ 2mW 2GMm 2 2 ( 6GMm 2 R)z ----yy:-+z~-z 1- L2 ·Die Ellipsengleichung muß durch einen Faktor v unter demcos modifiziert werden: z = (1 + ecos(wp))lp, alsoe 2 v 2 (e 2 - 1) 2v 2z' 2 =-(1- cos 2 (vfJJ)) = v 2 + -z- v 2 z 2 .~ ~ pDer Vergleich liefert2 _ 6GMm 2 R ~V - 1- L2 ~ 1'2 GMm 2 2 GMm 2-=--=?Lp L2 pe2 - 1 2mW 1 (1 - e2)GM GM--=--=?W=-- =--p2 L2 2 p 2awie bei Newton, für v folgtv ~ 1 _ 3GMm 2 R = 1 _ 3RL2 pr erreicht nicht nach der Periode 27f, sondern erst nach21rlv = 27f + 61rGMI(pc 2 ) wieder den gleichen Wert. DasPerihel verschiebt sich bei jedem Umlauf um61rGM I (pc 2 ) = 61rv 2 I c 2 .Leverrier, der gleichzeitig mit Adams den Neptun mitdem Rechenstift entdeckte, führte die Merkurpräzessionauf einen noch Sonnennäheren Planeten, den Vulkan zurück.So unrecht hatte er nicht: Es gibt Masse außer derSonne innerhalb der Merkurbahn und auch außerhalb davon.Gemeint ist nicht die interplanetare Materie (sie istviel dünner), sondern die Tatsache, daß im Schwerefeldwie in jedem Feld eine Energiedichte, also auch eine Massendichtesteckt.15.4.22. FeldmasseDie Grundgleichung der Feldwirkung heißt im elektrischenFeld F = QE, im Schwerefeld F = mg (hier ist g allgemeinals Schwerebeschleunigung verstanden, nicht beschränkt aufdie Erdoberfläche). Die Felderzeugung wird beschriebendurch 1J E ·dA= Qleo bzw. 1J g ·dA= 47rGM. Wie mansieht, spielt g die Rolle der Feldstärke E, und 1 I ( 47rG) entsprichte0 . Die Energiedichte des E-Feldes ist ~eoE 2(Abschn. 6.2.4), die des Schwerefeldes ist wg = g 2 I (81rG).Kapitel15: Lösungen 1183Dem entspricht die Massendichte Qg = wjc 2 = g 2 I(81rGc2 ). In Erdnähe ist Qg = 6,4 -10-7 kgm- 3 . Schon inetwa 150 km Höhe ist die Atmosphäre weniger dicht alsdas Schwerefeld. Am Sonnenrand ist g 30mal höher alsbei uns, das Schwerefeld der Sonne ist mit Qg =6 . w-4 kg m- 3 viel dichter als Corona und interplanetaresGas (Coronadichte am Sonnenrand 10-12 kgm- 3 ). EinStern der Masse M hat im Abstand r die Feldstärke g =GMir 2 , also die Feldmassendichte Qg = GM 2 j(S1rr 4 c 2 ).Zwischen dem Sternradius R und dem Abstand r sitzt dieFeldmasse J; Qg41fr 2 dr = ~GM 2 c- 2 (1/R- llr), im ganzen(bis r = oo) mg = ~ GM 2 I ( c 2 RJ. Dies ist gleich der ganzenSternmasse, wenn GM IR = 2c . Bis auf den Faktor 2 istdies die Schwarzschild-Bedingung: Ein schwarzes Loch bestehteigentlich nur aus Feldmasse.15.4.23. Periheldrehung IINach Aufgabe 15.4.22 erzeugt die Sonne kein reines r-1-Potential, denn einschließlich der im Feld steckenden Massesitzt innerhalb des Radius r die MasseM- ~ GM 2 c- 2 Ir (denkonstanten Anteil ~GM 2 c- 2 IR haben wirzuM mit dazugeschlagen;die Feldmasse außerhalb r erzeugt wegen ihrer Kugelsymmetriein ihrem Innern keine Feldstärke). DieseMasse, die wir mit dem Schwarzschild-Radius Rs auchschreiben können M(l- ~Rslr), erzeugt ein PotentialGM(l - ~Rs/r)lr. Wegen r « Rs stimmt es bis auf den Faktor-2 mit dem in Aufgabe 15.4.22 überein, ergibt also imwesentlichen dieselbe Präzession der Ellipsenbahn, diesich wegen der Abweichung vom r-1-Potential nicht mehrganz schließt.15.4.24. Überlichtgeschwindigkeit IDer Mond ist etwas mehr als eine Lichtsekunde entfernt. Man·braucht den Laser also nur etwa einmal in 6 s zu drehen, undschon huscht der Lichtfleck schneller als c über den Mondhin. Einstein hat davon nichts zu befürchten, denn dies isteine rein geometrische Geschwindigkeit. Nichts Materiellesund auch kein Signal bewegt sich mit dem Ende des Bündels.Es wäre z. B. unmöglich, so Information von einem Punkt des· Mondes zu einem anderen zu übertragen: Man müßte immererst zur Erde zurück und könnte daraufhin den Strahl entsprechendmodulieren, aber dieser Hin- und Rückweg wird natürlichmit c zurückgelegt.15.4.25. Überlichtgeschwindigkeit IIWenn die Schneiden der Schere einen Winkel IX bilden, undwenn ihr augenblicklicher Schnittpunkt y-mal weiter vomDrehpunkt entfernt ist als die Griffe für die Finger, undwenn man die Finger mit v aufeinander zubewegt, dann bewegtsich der Schnittpunkt mit vy I IX auswärts. Mit einigemAufwand (zwei Raketen mit je 15 km/s in 100m Abstand, diean zwei lOOkm langen Hebelarmen ziehen, wenn die anderenScherenarme I 000 km lang sind) könnte man den"Schnitt" mit c oder mehr vortreiben. Auch dies wäre abereine rein geometrische Bewegung, die weder Materie nochEnergie noch Information von einem Ort zum anderen beförderte.

1184 Lösungen zu den Aufgaben15.4.26. Überlicht-JetsWenn derBlob mit der Geschwindigkeit v unter einem Winkelrx gegen die Sichtlinie austritt, kommt er mit der Komponentev cos rx auf uns zu und fliegt mit v sin rx seitlich weg. Umdie Zeit t nach seinem Austritt ist der Blob nicht mehr um avon uns entfernt wie seine Galaxie, sondern nur a - vt cos IX.Das Licht vom Blob braucht dann eine Zeit (a- vtcos 1X)Icbis zu uns, kommt also um t( 1 - v cos IX I c) später bei uns anals das Licht, das die Galaxie beim Austritt des Blobs ausgesandthat, und das eine Zeit a I c braucht. Zu dieser IetztgenanntenZeit sehen wir den Blob gerade austreten, umtl(1- vcosrxlc) später sehen wir ihn bereits in einem seitlichenAbstand vt sin IX von seiner Galaxie. Daraus errechnenwir eine scheinbare Seitwärtsgeschwindigkeitv' = vtsinrxl(t(1- vcosrxlc)) = cvsinrxl(c- vcosrx).Dies kann größer als c werden, sobald v I c > 1 I v'2 ist, undzwar für Winkel rx, deren Sinus zwischen (c- V2v2 - c2 )1(2v) und (c + V2v2 - c2)1(2v) liegen. Bei gegebenem vwird v' maximal, wenn cos rx = v I c ist, und nimmt dannden Wert Vmax = vl J1 - v2 lc2 an. Für vlc = 1-8 mit8 « 1 kann man nähern: "Überlicht"-Winkelbereich zwischen8 und 7r 12 - 8, lXmax ~ -J2e, v:Uax = c I -J2e.15.4.27. GravitationslinseEin Objekt A, Masse M, Radius R, liege im Abstand a vonuns. Genau dahinter, und zwar um b weiter weg, liegt einanderes B. Strahlen, die von B ausgehend einen Kegel derÖffnung 2rx ~ 2Rib bilden, werden im SchwerefeldGM IR des Objekts A etwa um den Winkel y ~ GM I Rc 2 abgelenkt(y ~ pj_IP = FRI(mc 2 ) = GMI(Rc 2 ), vgl. Aufgabe13.3.3). Die Öffnung des Lichtkegels verengt sich also von2rx auf 2ß = 2rx- 2y ~ 2Rib- 2GMI(Rc2 ). Dadurch steigtdie scheinbare Helligkeit von B um den Faktor rx 2 I ß 2 . DamitB ebensohell aussieht wie ein ObJekt A gleicher Leuchtkraft,muß dieser Faktor gleich ( a + b) I a 2 sein, also ( a + b) I a =rxlß = RI(R- GMbi(Rc 2 )), woraus M = R 2 c 2 al(Gb(a + b)) folgt. Unsere Beispiele liefern mit demHubbie-Gesetz v = Ha beide M ~ 1043 kg, fast 1 OOmalmehr als die Masse der 10ll Sterne in einer normalen Galaxie.Ein ähnliches Überwiegen unsichtbarer, noch nicht identifizierterMasse folgt auch aus anderen Beobachtungen z. B.schon der Tatsache, daß der Andromedanebel auf uns zukommt.Umgekehrt erhält man mit diesen M als typischenAbstand solcher "anomalen" Gruppen einige 100 Mpc mitFluchtgeschwindigkeiten von einigen 10 4 km/s, wie beobachtet.Nähere Quintette wie das von Stephan gleichen daskleine a durch ein großes b I a aus. Auch eine Gravitationslinsekann die Flächenhelligkeit nicht beeinflussen, gleichtalso zusammen mit der scheinbaren Helligkeit auch diescheinbare Fläche aus, was man auch durch eine einfacheZeichnung direkt nachweisen kann.16.1.1. Funktionen als VektorenFür die Funktionenmenge fn = einx mit ganzzahligem n folgtr27r .( )sofortJ; · fm = Jo e 1 m-n x dx = 2Irbmn (Kronecker-Symbolbmn = 1 für m = n, sonst 0). Die fn bilden ein Orthogonalsystem,die Funktionen (27r)- 1 / 2 fn sind sogar orthonormal.Nun betrachten wir gn = cos nx = ! ifn + J; ), hn = sin nx=! ifn-J;)li. Alsog~ · gm = ~(J; ·fm + fn ·J; + fn ·fm + J; ·J;) ·Da fn · fm = 0, außer bei n = m = 0, wo es 1 ist, folgtg~ · g 111 = 0 für n =I m, 1r für n = m =I 0, 27r für n = m = 0.Analog h~ · hm = 0 für n =I m, 1r für n = m =I 0, 0 fürn = m = 0. h~ · gm immer 0, auch bei n = m. All dieskann man natürlich auch durch direktes Ausintegrierenfinden, am besten mittels der Beziehungen ~g,'nx~g,'mx= ±!(cos(m+n)x±cos(m-n)x), sinmxcosnx =! (sin(m + n)x + sin(m- n)x), die ein vernünftiger Menschnicht auswendig weiß, sondern wieder aus der e-Darstellungentnimmt. Erweiterung des Definitionsbereichs auf (0, 47r)bewirkt, daß man auch halbzahlige n und m ins Orthogonalsystemaufnehmen kann. Bei Extrapolation auf ( -oo, oo)sind alle eikx mit beliebig reellem k orthogonal.16.1.2. Orthogonalität IDie Fourier-Entwicklung einer Funktion rp(x) mit der Periode2Ir schreibt sich rp(x) =I:::+:~ cnfn, wobei Cn = J; · rp(x). Üblicherweiseentwickelt man nach fn = ~g,'nx, oder einfacherfn = (27r)-l/l e 1 nx. Für jedes andere orthonormale Funktionensystemfn hat aber die Entwicklung genau dieselbeForm, denn ihre Gültigkeit hängt nur von J; · fm = bmn ab.Setzt man nämlich den Ausdruck für Cn in die Entwicklungein, fallen dank dieser Tatsache alle Glieder außer m = nweg. Die Entwicklung nach einem nichtorthogonalen Systemist auch möglich, aber viel komplizierter, denn die ProdukteJ; · fm = Pnm bilden dann keine Einheitsmatrix bnmmehr. Wenn das Systemfn vollständig ist, kann man die Reihenentwicklungvon rp(x) noch schreiben, aber die Cn ergebensich erst durch Auflösen des unendlichen linearen GleichungssystemsJ; · rp = L.::!~-oo CmPnm· Beim Fourier-Integralliegen die Verhältnisse analog.16.1.3. Lineare UnabhängigkeitVektoren a; sind linear abhängig, wenn es Zahlen c; gibt, sodaß I:: c;a; = 0, ohne daß die c; alle 0 sind. Die a; seien Eigenvektorenvon A, also Aa; = J..;a;. Wären sie linear abhän-

Kapitel 16: Lösungen 1185gig, könnte man einen, z. B. a 11 , aus den anderen kombinieren:an= 2:,;~/ c;a;. Wir wendenA hierauf an: Aan = },nan =},11 2:,7-l c;a; = L,';-1 c;},;a;. Die Differenz der beiden letztenAusdrücke 2:,7-I c;(A.n - },;)a; = 0 zeigt, daß schondie übrigen n - 1 Eigenvektoren linear abhängig sein müßten.So kann man einen Vektor nach dem anderen herausnehmen,und die übrigen müßten linear abhängig sein, sogar derallerletzte ganz allein, was absurd ist: Das ganze System dera; ist linear unabhängig, es spannt den ganzen n-dimensionalenRaum auf: Man kann jeden beliebigen Vektor aus ihnenkombinieren.16.1.4. Orthogonalität IIEine symmetrische Matrix hat a;k = aki· Die SkalarprodukteAx · y = '2:,; L,k a;kXkYi und x · Ay = '2:,; x; L,k a;kYk sinddann beide gleich. Nun seien x und y Eigenvektoren vonA zu verschiedenen Eigenwerten: Ax = A.x und Ay = flY·Auch hier ist Ax · y = x · Ay, also A.x · y = f1X · y. DaA. =f fl, ist das nur möglich, wenn x · y = 0: Die Eigenvektorenstehen senkrecht aufeinander.16.1.5. Hermitesche OperatorenWir betrachten fünf Operatoren: Aif = f + a, Azf = af,A3.f=xf, A4=8f/8x, Asf=JK(x,y)f(x)dx. Sinngemäßist unter A * die Addition oder Multiplikation mit demkonjugiert Komplexen zu verstehen. Ein Operator istlinear, wenn A(f+g) =Af+Ag. Für A 1 trifft das nichtzu, denn rechts würde sich die Konstante a zweimal addieren,links nur einmal. Die anderen Operatoren sind linear. A 1ist auch nicht hermitesch, denn A *j* · g = f* · g + a* g, aberj* ·Ag = j* g + aj*. Az ist hermitesch, wenn a reell. Für A 4betrachten wir den Ausdruck J j* g dx. Das ist ein bestimmtesIntegral und hat einen festen Wert, seine Ableitung nach x istalso 0: J(!* ßgjßx + gßj*jßx) dx = 0. Das sieht fast auswie die Definitionsgleichung eines hermiteschen Operators,wenn nur das Vorzeichen in der Mitte anders wäre.Das Vorzeichen ändert sich beim "Überwälzen" des Operators,d. h. beim Übergang zum konjugiert Komplexen, wennein i davorsteht A = iß / ßx ist hermitesch. Der IntegraloperatorA 5 ist hermitesch, wenn der "Kern" K(x,y) reell undsymmetrisch ist, d.h. K(x,y) = K(y,x) oder wenn K komplexist und K(x,y) = K*(y,x). Das ergibt sich, wenn mandie Bedingung für hermiteschen Charakter hinschreibt unddie Beziehung der Variablen beachtet. Eigenfunktionenvon A1 sind alle konstanten Funktionen, von Az alle Funktionen,von A3 die b-Funktionen, von A4 die e-Funktionen;für As sind keine allgemeinen Aussagen möglich, denn jederOperator läßt sich als Integraloperator darstellen.16.1.6. Entwicklung nach EigenfunktionenA sei hermitesch, habe also orthogonale Eigenfunktionenfbdie außerdem vollständig sein sollen. Dann läßt sich jedeFunktion rp entwickeln wie rp = L, cifk mit q = J; · rp.Durch Angabe der q ist rp vollständig gekennzeichnet.Diese Darstellung ist dieselbe wie für einen Vektor x (z. B.im dreidimensionalen Raum) mittels der Basisvektoren a 1,az, a3: x = L, ckak mit q = ak · x. Auch diese Darstellungwird nur so einfach bei orthonormaler Basis; andernfallswäre sie genau analog zu Aufgabe 16.1.2. Auch in Komponentendarstellungsind die Skalarprodukte von Funktionenund Vektoren völlig analog: !{!* · rp = L, qfk · L, dzfzL, qdk. x · y = L, Xkak · 2:_yzaz = L, XkYk. Wenn die !koder ak schiefwinklig sind, bleiben in !{!* · rpLk.l ckdzfk · ft ·alle Produkte stehen, nicht nur die diagonalen.·Arp = A 2:_ cdk = L, ckadk. wo ak der Eigenwert zu!k ist. Die Funktion Arp hat die Entwicklungskoeffizientenckak. Multiplikation mit A heißt Skalarmultiplikation mitdem Vektor der ak. Für ein anderes Orthogonalsystem gkgilt die Entwicklung tp = 2:_dkgko dk = gk · tp. Wir entwikkelnspeziell die Eigenfunktionen fk von A: fk = 2:, 1 bkzgz.Die Matrix bkz charakterisiert den Übergang von den fk zuden gk: Wenn die Funktion rp in der fk-Darstellung den VektorCk hat, ergibt sich in der gk-Darstellung der Vektord; = L, b;kCk·16.1. 7. Eigenwertbestimmung(1) Die Eigenwertgleichung Ax = A.x läßt sich auch schreibenAx - )x = (A - A.U)x = 0. Eine solche linear homogeneGleichung für x hat nur dann eine Lösung x =I 0,wenn ihre Determinante verschwindet: IIA- A.UII = 0. Füreine n x n-Matrix A ist das eine Gleichung n-ten Gradesin ). Sie hat nach dem Fundamentalsatz der Algebra genaun Lösungen, von denen allerdings einige komplex sein können.Diese Lösungen sind die Eigenwerte. A - A.U unterscheidetsich von A dadurch, daß von allen Diagonalgliedern}, abgezogen ist. Die übliche Form der Gleichung n-ten Gradeslautet so: Sn - Sn-1}, + ... + ( -l)n- 1 S1A.n-l +( -1 )" So},n = 0. Dabei ist Sv die "Spur v-ter Ordnung" vonA, d. h. die Summe aller zur Hauptdiagonale symmetrischliegenden Unterdeterminanten v-ter Ordnung. SpeziellSo = 1, S 1 = L, au, Sn = IlA II· Praktisch ist die Aufstellungder Gleichung n-ten Grades n nicht so schwierig wie ihreLösung. Für Spezialfälle gibt es Abkürzungsverfahren.(2) Es sei Ax; = x;+ 1, der Betrag lx:+ 1 1 = 2;+ 1, alsox;+I = Ai+IXi+[, woxi+I normiert ist. Wenn sichx; und damitA; bei der erneuten Anwendung von A nicht mehr wesentliehändern, kann man näherungsweise den Index weglassenund erhält die Eigenwertgleichung Ax = A.x. Hat man einenEigenwert, kann man die Ordnung der Matrix um 1 reduzierenund die anderen Eigenwerte nach dem gleichen Verfahrenbestimmen. Auf dem Papier ist die Multiplikation Ax vontödlicher Kompliziertheit, Computer machen sich nichts darausund finden Methode 2 viel einfacher als 1.16.1.8. Hilbert-RaumDie betrachtete Funktionenmenge muß quadratisch integrierbarsein, d. h. das Skalarprodukt f* · g = J j* g dx muß fürjede Kombination J, g einen vernünftigen Wert haben. DerNachweis, daß eine solche Funktionenmenge existiert undsich angeben läßt, ist allerdings ein erhebliches mathematischesProblem. Dann aber sind die angegebenen Axiomedes Vektorraums alle erfüllt, wie man durch Hinschreibensieht. Dabei ist gleichgültig, ob man die Menge aller Funk-

1186 Lösungen zu den Aufgabentionen mit der Periode 21r oder die Menge aller "vernünftigen"Funktionen überhaupt betrachtet; das beeinflußt nurden Integrationsbereich. Im ersten Fall zeigt die Fourier-Entwicklung,daß dieser Raum unendlich viele, aber abzählbarviele Dimensionen hat, denn so viele Basisfunktionenbraucht man, um jede beliebige Funktion darstellen zu können.16.1.9. Operator der Standard-AbweichungWir betrachten den Operator A 2 . Seine Eigenwerte sind dieQuadrate der Eigenwerte von A, denn A 2 j = AAJ = Aaf =a 2 j, sein Mittelwert in einem Zustand rp ist der Mittelwert derGröße a2. Für jeden Zustand, der kein Eigenzustand von Aist, ist a 2 verschieden von zi. Der Unterschied ist gerade dasmittlere Schwankungsquadrat, die Wurzel aus diesem ist dieStreuun~. Der Operator ~e~ _Schwa~kungsquadrats heißt(A - a) , denn Ausmultlpl1Z1eren _]1efert den OperatorA 2 - 2M + a2 , der den Mittelwert a2 - a2 hat. (Allerdingsbezieht sich dieser Operator eigentlich nur auf Zustände, dieden gleichen Mittelwert a haben.) Der Operator der Streuungist aber nicht etwa A - a, denn dessen Mittelwert wäre immer0. Das Wurzelziehen aus Operatoren ist nicht ohne weitereserlaubt.16.1.10. UnschärferelationF( rx) ist als Betragsquadrat einer FunktionDI/J immer positiv.Wir multiplizieren aus:F(rx) = (A *- irxB)I/1* · (A + irxB)I/1= A *I/I*· AI/I - irxB*I/1* · Alf; + irxA *I/I*· BI/I+ rx 2 B*I/J*· BI/I= 1/J* -A 2 lf;- irx(lf;*· BAI/J-1/1* ·ABI/I)+rx 2 1/f*·BI/I= A2 + irx(AB- BA)+ rx 2 132= A 2 + rxC + rx 2 B2 = 0 .A 2 und B 2 sind ebenfalls immer positiv. Die Funktion F(rx)hat ein Minimum bei 8F I 8rx = C + 2rxB2 = 0, also rx =-CI(2B2 ). Dort hat F(rx) den Wert A2- C 2 I(4B2), deralso auch noch positiv sein muß. Daraus folgt die gesuchteBeziehung C 2 ;S4A2B2• Daß das Extremum bei 8FI8rx = 0ein Minimum ist, ergibt sich aus 8 2 F I 8rx 2 = 2B2 ~ 0. - PhysikalischeNutzanwendung: A und B seien Operatoren für dieGrößen a und b, die für den betrachteten Zustand 1/J die Mittelwerte0 haben (das ist keine Beschränkung der Allgemeinheit,denn andernfalls brauchte man nur den Nullpunkt derbetreffenden Größe zu verschieben). Dann sind A2 =(da) 2 und B2 = (db) 2 die Schwankungsquadrate von aund b. Ihr Produkt ist immer größer als der Mittelwert desMinuskommutators C. Wenn A und B vertauschbar sind,ist C = 0, und die Schwankungen von a und b können gleichzeitigverschwinden. Wenn aber, wie im Fall von Koordinatex und Impuls Px, oder Zeit t und Energie W, der Minuskommutatoralle Zustände zu Eigenzuständen hat, und zwar immermit dem Eigenwert n, ergibt sich die Unschärferelationdadb ~nl2.16.2.1. Teilchen = WelleTypisch für Wellen sind ihre Überlagerungseigenschaften.Teilwellen addieren sich zu einem Gesamtvorgang, umgekehrtläßt sich jeder Vorgang in Teilwellen zerlegen. Dabeihat man ziemliche Freiheit (Fourier-Analyse und -Synthese,Aufgabe 10.1.13). Typisch ist auch, daß diese Additionvielfach auf eine Subtraktion hinausläuft, weil die Amplitudebeide Vorzeichen haben kann. Eine Größe, die sich soverhält, kann offenbar keine Teilchendichte oder keine Wahrscheinlichkeitdarstellen, denn beide sind positiv definit.Wellen- und Teilcheninterferenz werden erst dadurch möglich,daß sich die Teilamplituden bzw. Teil-1/1 überlagernund dann erst zur Intensität quadrieren. Würden sich immerdie Dichten, Auftreffwahrscheinlichkeiten usw. überlagern,käme z. B. beim Doppelspaltversuch (Aufgabe 10.1.16) einfachdie Summe der beiden Teilbilder heraus, und auch imBild des Einzelspalts gäbe es keine Interferenzstreifen. Obdie Wellen harmonisch sind wie die Impuls-Eigenfunktionen,ist nicht ausschlaggebend. Daß die I/I-Funktion komplexist, würde ihre direkte physikalische Deutung nochnicht beeinträchtigen, denn aus rechnerischen Gründen setztman ja Wechselstromgrößen und Amplituden auch komplexan. Der weitere Ausbau der Quantenmechanik zeigt allerdings,daß der komplexe Charakter hier keine reine Rechenhilfe,sondern ein wesentlicher Zug ist.16.2.2. VertauschbarkeitEin scharfer Wert für a existiert nur in einem EigenzustandvonA, entsprechend für b. Wir setzen also voraus, alle Eigenfunktionenvon A seien auch Eigenfunktionen von B und umgekehrt,und müssen zeigen, daß für jede Funktion 1/J, auchwenn sie nicht Eigenfunktion ist, ABI/I = BAI/I gilt. I/I läßtsich nach gemeinsamen Eigenfunktionen entwickeln:1/J = I: cifk· Dann ist AI/I = I: qakfk> BI/I = I: qbkfbalso BAlf; = I: ckakbdk =ABI/I. - Die Umkehrung giltauch: A und B seien vertauschbar; wir wollen zeigen, daßsie dann auch gemeinsame Eigenfunktionen haben. Wennf Eigenfunktion von A ist, also Af = af, gilt auchBAJ = aBf. Wegen der Vertauschbarkeit kann man auchsagen A(Bf) = a(Bf). Die Funktion g = Bf ist also ebenfallsEigenfunktion von A zum Eigenwert a. Wenn a nichtentartet ist, gehört zu ihm nur eine einzige Eigenfunktion.g undf können sich höchstens um einen Zahlenfaktor unterscheiden:g = cf. Da g = Bf, bedeutet das aber, daß f auchEigenfunktion von B ist, und zwar mit dem Eigenwert c. ImFall eines entarteten Eigenwerts kommt man etwas umständlicherzum entsprechenden Ergebnis.16.2.3. ImpulsoperatorDie Operatoren verschiedener Impulskomponenten, z. B.Px = -in8l8x undpy = -in8l8y sind vertauschbar, dennbei einer vernünftigen Funktion 1/f(x, y, z) kommt es aufdie Reihenfolge der Ableitungen nicht an. Nach Aufgabe16.2.2 gibt es also Zustände, in denen alle Komponenten

scharfe Werte haben. Sonst könnte ja auch der Gesamtimpulsnicht scharf sein, ebensowenig sein Betrag. p = -ili grad istmit Px vertauschbar (jeder Operator ist mit sich selbst vertauschbar).Das Quadrieren ändert nichts an der Vertauschbarkeit:Wenn AB = BA, folgt A 2 B = ABA = BA 2 . Alsosind Impulskomponente und Impulsbetrag auch vertauschbar.16.2.4. Drehimpuls ISiehe Lösung 16.2.5.16.2.5. Drehimpuls liDer Operator der Impulskomponente Px = -i1i8j8x beschreibt,wie sich der Zustand bei einer x-Verschiebung verhält.Ändert er sich dabei nicht (bis auf die Phase), dann ist erEigenzustand von Px und hat scharfes festes Px- RäumlicheHomogenität bedeutet Impulserhaltung (Satz von Noether).Der Operator der Drehimpulskomponente Lx beschreibtdas Verhalten bei Drehung um die x-Achse. Ändert sich dabeinur die Phase, ist lx fest und scharf. Räumliche Isotropiebedeutet Drehimpulserhaltung. Wir setzen an Lx = -in 8/ 8rpund drücken das in kartesischen Koordinaten aus. Wenn manum die x-Achse um drp dreht (in positivem Sinn, d. h. von derpositiven y- zur positiven z-Achse hin mit rp = 0 auf der positiveny-Achse ), nimmt z um dz = r drp cos rp = y drp zu, ynimmt um dy = - r drp sin rp = - z dtp ab. Also gilt 8 I 8tp =y8j8z-z8j8y, d.h. Lx = -iTi(y8/8z-z8/8y). Das entsprichtgenau L = r x p. Für eine Eigenfunktion f von Lxmuß gelten -ili 8! I 8rp = lxf, also f = fo eilxtpfn. Das siehtganz analog zu einer Px·Eigenfunktion aus, aber mit demwesentlichen Unterschied, daß sich f hier in den Schwanzbeißen muß:J(21r) = f(O), also lx = nTi. Die einzigen scharfenWerte der X-Komponente des Drehimpulses sind Vielfachevon Ti. Das ist das Bohrsehe Postulat, das zur Aufklärungdes Wasserstoffspektrums und vieler Eigenschaften der Molekülspektrenführte. Die zugehörigen Eigenfunktionen haben(n + 1)-zählige Symmetrie um die x-Achse; sie habenn + 1 identische "Blütenblätter". Genau diese Struktur derWellenfunktionen findet man im H-Atom (Abb. 16.8-16.14). Von den beiden übrigen Richtungen (rund x) kannf dabei noch beliebig abhängen. Lx ist hermitesch wie jederOperator der Form -in 8/8 (der Faktor i ist wesentlich). Lxund Ly sind nicht vertauschbar, weil sie nicht nur die Ableitungen,sondern auch die Koordinaten selbst enthalten. DerMinuskommutator ist LxLy - LyLx. Man multipliziere dasaus, wobei man streng auf Vertauschbarkeil achtet, und erhältiTi(xpy- ypx) = iTiLz. Dies ist die z-Komponente vonL x L = iliL. L 2 = L; + L; + L; ist mit Lx vertauschbar.In L 2 Lx - LxL 2 fällt L~ gleich weg. In L;Lx ziehe man Lxschrittweise mittels LyLx = LxLy - iTiL 2 nach vorn, entsprechendin L;Lx. Zum Schluß hebt sich alles weg. Ein Zustandmit scharfem lx hat also auch einen scharfen GesamtdrehimpulsbetragL. Bei lx = nTi kann aber bestimmt nicht auchL = nTi sein, denn das würde heißen, daß auch ly und / 2 scharfeWerte hätten, nämlich 0, was nicht möglich ist, weil dieOperatoren der Komponenten nicht vertauschbar sind. Wievielmuß für ly und lz übrigbleiben? Eine Überlegung ähnlichKapitel16: Lösungen 1187Aufgabe 16.1.1 0, angewandt auf den Operator Ly + iL 2 zeigt,daß (Ly - iL 2 ) (Ly + iL 2 ) = L; + L; + i(LyLz - L 2Ly) =L~ + L~ - TiLx immer den Eigenwert 0 hat. Demnach hatL 2 = L~ + L; + L; denselben Eigenwert wie L; + TiLx,nämlich n 2 Ti 2 + nTi 2 = n(n + 1)1i 2 . Der Operator der Rotationsenergieheißt nach klassischem Vorbild Wrot =L 2 /(21) (1: Trägheitsmoment), seine Eigenwerte sindn(n + 1)1i/(21). Das ist die Grundlage der Theorie der Bandenspektren.Zu dem gleichen Ergebnis kommt man auchrein analytisch mittels der Kugelfunktionen, aber diese Rechnungensind noch unangenehmer als die Operatoralgebra. EinKreisel mit raumfester Achse, bei dem Wrot = n 2 Ti 2 / (21)wäre, ist quantenmechanisch unmöglich, da bei ihm ly undl 2 gleichzeitig verschwänden. Bei freier Achse muß mann 2 ersetzen durch n(n + 1). Das Zusatzglied ist die Nullpunktsenergieder beiden anderen Drehungskomponenten.16.2.6. Standard-AbweichungFür eine Größe a mit dem Mittelwert 0 (notfalls durch Achsenverschiebungzu erreichen) hat das mittlere Schwankungsquadratden Operator A 2 (Aufgabe 16.1.9). Allgemeingilt (A - a) 2 . Ein Zustand mit scharfem Wert für a hat dasSchwankungsquadrat 0, ist also Eigenfunktion von (A- a) 2mit dem Eigenwert 0: (A - a) 2 l{! = 0. Das ist nur möglich,wenn l{! Eigenfunktion von A mit dem Eigenwert a ist (vgl.den Gedankengang von Aufgabe 16.2.2: (A - a) 2 ist mit Avertauschbar).16.2.7. Hamitton-OperatorWennA zur Größe a gehört, bezeichnen wir den Operator, derzu a gehört, als Ä. Wir behaupten Ä = iTi - 1 (HA - AH). FürH kann man wahlweise -iTi8j8t oder p 2 /(2m)+ U setzen.Anwendung von -in 8/ 8t auf eine konkrete Funktion l{!ergibt formal genau das Richtige: iTi- 1 (HAl{! -AHl{!) =Äl{! + A~ - A~ =Al{!. Wenn A mit H vertauschbar ist, istÄ = 0 und hat nur den Eigenwert 0, also ist a konstant inallen Eigenzuständen, die nach Aufgabe 16.2.2 auch Eigenzuständevon A sind. Der Impulsoperator ist mit H genaudann vertauschbar, wenn U = const, (H =p2 j(2m) + U).Bei Kräftefreiheit haben stationäre Zustände außer konstantemW auch konstantes p. Andernfalls muß man schreibenjJ = iTi- 1 (Hp- pH). Der Anteilp 2 /(2m) ist mitp vertausch­. bar, also bleibt in Anwendung auf eine Funktion l{! nur jJl{! =iTi- 1 (Upl{!-pUl{!) = Ugradl{!- grad(Ul/1) = -l{!gradU.Der Operator jJ ist gleich dem Operator - grad U. Das istNewtons Aktionsprinzip in Operatorsprache. Die Änderungder Koordinate x hat den Operator x = ili- 1 (Hx- xH).Hier fällt der V-Anteil infolge Vertauschbarkeil weg, ebensowiep; undp;. Es bleibt .X= in- 1 (p;x -xp;)/(2m). Schafftman m xp; mittels XPx - PxX = ili das x in zwei Schrittennach hinten, bleibt jedesmal iTipx stehen, also x = Pxfm.In Zuständen mit scharfem Px gilt also der übliche ZusammenhangPx = mx.16.2.8. Teilchen im MagnetfeldDie Lorentz-Kraft ist von ganz anderer Art als etwa die Coulomb-Kraft:Wenn ein Teilchen sich nicht bewegt, kann auch

1188 Lösungen zu den Aufgabendas stärkste B-Feld seinem Impuls nichts anhaben. Ein Magnetfeldwird daher auch in den H -Operator anders eingehenals einfach durch Addition seines Potentials. Wir betrachtenein homogenes Feld B = (0, B, 0). Es leitet sich aus einemVektorpotential A = (Bz, 0, 0) ab (Aufgabe 7.6.3). Die Lorentz-Kraftauf ein Teilchen mit v = (v1, v2, v3) istF = e( -v3B, 0, v1B), diex-Komponente seines Impulses ändertsich wie PI = -ev3B = -eZB = -eÄ (A ändert sich.fiirdas Teilchen, eben weil es in z-Richtung fliegt). Integrationzeigt, daß man im Magnetfeld zu dem üblichen Ausdruck fürden Impuls noch das Glied -eA hinzufügen muß, damit eineKonstante der Bewegung herauskommt. Für den H-Operatorsetzen wir also nicht p 2 /(2m)+ U, sondern (p- eA) 2 /(2m) + U. Stationäre Zustände bei konstantem U sind Eigenfunktionennicht von p, sondern von p- eA und natürlichauch von seinem Quadrat. Für unser homogenes B-Feld folgtTiotft/ox=i(eBz+p1)t/t, d.h. 1/t=t/toei(kx+eBzx/li). DiePhase ändert sich in z-Richtung, die Wellenflächen sindschräg, und zwar hyperbolisch gekrümmt. Ihre Orthogonaltrajektoriensind Kreise mit dem Radius Tik/ (eB) = mv / (eB).Hier erkennt man die Larmor-Kreise wieder.- Wenn -eA dieRolle eines Impulses spielt, muß sich im Magnetfeld die 1/t­Welle räumlich modulieren (ebenso wie ein E-Feld sie zeitlichmoduliert): Wenn zwei Stellen eine A-Differenz M haben,bedeutet das einen Unterschied M = e M/Ti im k-Vektor(eine Differenz L1 V des üblichen Potentials bedeutet einew-Differenz um Liw = eV /Ti). Daß dies stimmt, zeigt der Josephson-Effekt(Abschn. 14.7). Auch die Existenz des Suprastromsüberhaupt läßt sich durch den Zusatzimpuls -eA ausdrücken(Aufgabe 14.7.2). Ein noch direkterer, wenn auchexperimentell sehr schwieriger Beweis ist der Versuch vonAharanov und Bohm: Das Elektronen-Interferenzmusterbeim Doppelspaltversuch (Abschn. 10.4.3) verschiebt sich,wenn man ein B-Feld quer (in y-Richtung) zur Ebene derElektronenbündel legt, die in x-Richtung laufen. Dabeinimmt nämlich A in z-Richtung zu, d. h. die beiden Bündellaufen durch verschiedenes A und haben daher verschiedeneA., selbst wenn sie vorher streng monochromatisch waren. ImPrinzip tritt diese Verschiebung auch ein, wenn das B-Feldzwar zwischen den Bündeln, nicht aber in ihrem Weg selbstbesteht, d. h. ohne daß auf die Elektronen eine Lorentz-Kraftwirkt.16.2.9. Unschärfe IWir reden nicht von der praktisch auch nicht vorhersagbarenAblenkung bei den Stößen, besonders solchen, die zur Ionisationdes getroffenen Atoms führen, sondern von der reinquantenmechanischen Unschärfe. Die Nebelspur legt dieTeilchenbahn auf einige J.Lm fest. Daraus ergibt sich fürein Elektron eine Unschärfe des Impulses (genauer seinerKomponente quer zur Bahn) von h/(1J.Lm), eine V-Unschärfevon etwa 100 m/s. Bei schweren Teilchen ist Liv viel kleiner.Ein Elektron kann nur dann mehrfach ionisieren, wenn eseinige ke V hat (mittlere Ionisierungsenergie in Luft 30 e V).Bei 1 keV ist v ~ 2 · 10 7 m/s, die Durchquerung der Kammerdauert etwa 10- 8 s. In dieser Zeit kann die Unschärfe derQuergeschwindigkeit eine gerade merkliche Verschiebungvon einigen J.Lm bedingen. Für schnellere Elektronen oderschwere Teilchen ist die Verschiebung unmerklich.16.2.10. Unschärfe IIDieses Problem gehört zu den lehrreichsten, denn es zeigtu. a., wann Großzügigkeit mit dem Faktor 2 in Abschätzungenzu üblen Fehlschlüssen führen kann. Der Zustand desZahnstochers sei beschrieben durch einen Kippwinkel rp gegendie Senkrechte und dessen Änderungsgeschwindigkeit ip,bzw. den Drehimpuls Jip um den UnterstützungspunktKönnte man den Anfangswert rp 0 exakt gleich Null machen,würde die Unschärferelation den Drehimpuls beliebigunsicher machen, und der Zahnstocher fiele eben deswegenmit rp = ip 0 t um. Umgekehrt: Bei ip 0 = 0 wird rp beliebig unsicher.Das Kippmoment ist für kleine Winkel 11lmgrp, die Bewegungsgleichung ip = 1lmg sin rp ~lmgrp / J = 3grp / (21)mit J~~mz2, also rp=rp 0 erfr mit T= }l/1,5g, fallsip 0 = 0. Offenbar ist eine Kompromißlösung angebracht.Bei beliebigem rp 0 und ip 0 ist rp = ip 0 t + rp 0 e 1 /'. Die prinzipiellnicht unterschreitbaren rp 0 und ip 0 hängen zusammenwie rp 0 Jip 0 . ~ h, also kippt der Zahnstocher günstigstenfallsmit rp = ht/(Jrp 0 ) + rp 0 e 1 1'. Wir wollen rp bei gegebenem tmöglichst klein machen. Nullsetzen der Ableitung nach rp 0liefert rp 0 = yfiii1i e-tf(2r), also als minimale Kippungrp = 2 .jhifT e 1 I (Zr). Bei l = 4 cm und einer Dicke von2mm wird J~ lgcm2 , also rp~2·10- 13 -Jte 1 /( 2 rl. Fürrp ~ 1° begrenzt die Unschärferelation die Kippzeit auf2,5 s. Da dies scheinbar nicht hoffnungslos über dem liegt,was ein geschickter Mensch erreichen kann, könnte man meinen,die Unschärferelation bilde hier die praktische Begrenzung.Daß das nicht stimmt, sieht man sofort, wenn man dasunschärfemäßig zulässige rp 0 bestimmt: rp 0 ~ 10- 24 , also10-10 Nukleonenradien Abweichung für die Spitze desZahnstochers. Ein Faktor 2 in der Kippzeit ist hier nämlichkeinesfalls zu unterschlagen, denn wegen rp rv et/r bedeuteter, daß das entsprechende rp 0 ins Quadrat erhoben wird. Beigroßem Geschick erreicht man vielleicht rp 0 ~ 1' ~ 3 · 1 o- 4 ,also t = dnrp/rp 0 ~ 0,2s für rp = F, 0,4s für rp ~ 1 (vollständigesUmkippen). Wenn man t verzehnfachen will,muß man rp 0 mit 10 potenzieren, wodurch es utopisch kleinwird.16.2.11. Fermionen und BosonenP(x1,xz)dx1 dx2 = t/t(xi,x2)t/t*(xi,x2)· Vertauschung kannP nicht ändern, da Teilchen gleicher Art nicht unterscheidbarsind. Entweder ändert sich 1/t auch nicht, oder es ändertsein Vorzeichen, was auf P keinen Einfluß hat. Teilchen mitWellenfunktionen der ersten Art sind Bosonen, mit solchender zweiten Fermionen. Zwei Fermionen können nie am gleichenOrt XJ sein, allgemein keine identischen Wellenfunktionenhaben, sonst müßte ja tft(x1,x1) = -t/t(x1,xi) sein;Bosonen können dies. Im zweidimensionalen Raum wärenAnyonen mit beliebiger Änderung des Phasenfaktors beiVertauschung denkbar. Möglicherweise spielen sie z. B. inder Hochtemperatur-Supraleitung eine Rolle.

16.3.1. Harmonischer OszillatorDieses Problem und die folgenden sind leider typisch dafür,wie abschreckend mühsam die konkrete Durchrechnung einfachsterEigenwertprobleme oft ist. Eben weil sie so typischsind, muß man aber einige gängige Vereinfachungsmittelkennen lernen. Wir suchen die Funktionen tjJ, die die ebeneSchrödinger-Gleichung mit harmonischem Potential-!n2m- 1 11t/J+!Dx2t/J=Wt/J erfüllen und vernünftigsind, d. h. im Unendlichen verschwinden (auf die Umgebungvon x = 0 beschränkt sind). Dies sind Eigenfunktionen, diezugehörigen W-Werte sind Eigenwerte des Problems. Maßstabsänderungs = 2 W I ( nwo), ~ = x I xo mit wo = -./Dfi1i,xo = n 1 1 2 (Dm)-if 4 vereinfacht zu -t/1 11 + et/1 = etjf. Fürsehr große ~ bleibt nur t/1" = et/1. Die Gauß-FunktiontjJ = Ae-a( 2 ergibt t/J' = -2a~t/J, t/1 11 = (4a2e- 2a~)tjf,löst also mit a =! asymptotisch (für ~ » 1) das Problemund verhält sich auch physikalisch vernünftig: Groß umx = 0, draußen schnell abnehmend. Für e = 1 löst sie essogar exakt, aber nur für diesen e-Wert. Höhere Energiezuständeerhält man als H ( ~) e -e 1 2 mit einem PolynomH(O = 2:~ 0 c;~i, also t/J' = (H'- ~H)e-~ 2 /2, tjf" =( H" - H - 2~H' + eH) e -( 2 1 2 . Einsetzen in die Schrödinger-Gleichungliefert H" = 2~H' + (e- I)H = 0. Mit derPotenzreihe ist0000eHI= L ic-):1 .~ ~~ ' H" = L i(i- 1 )c;~i- 2i=Oi=200= L(i+2)(i+ l)ci+2~i,i=Oalso 2:~0 [(i+2)(i+l)c;+z-2ic;+(e-I)g'=O, d.h.Ci+2 = c;(2i + 1- e)l[(i + 2)(i + 1)]. Nur wenn e =2n + 1, bricht das Polynom H mit Cn ab; sonst könnte esals unendliche Potenzreihe selbst das Abklingen der Gauß­Funktion aufheben. Abbrechen ist genau · dann garantiert,wenn bei geradem n: co =/= 0, c, = 0, bei ungeradem n:co = 0, CJ =/= 0. Bein= 0 wird e = l, H = 1 (nach Normierungdurch f~:tjf 2 dx=l). n=l: e=3, H=~, n=2:e = 5, H = 2e- 1; n = 3: e = 7, H =e-H· Die stationärenEnergiewerte sind also W = ! hwo ( 2n + 1) mitn = 0, 1, .... Die Eigenfunktionen sind Gauß-Funktionen,moduliert durch das Polynom H, das im Zustand n entsprechenddem Knotensatz n Nulldurchgänge hat (Abb. 16.6 stelltnicht t/J, sondern die Aufenthaltswahrscheinlichkeit t/1 2 dar).Bei W = U, wo klassisch die maximale Amplitude des Teilchensliegt, ist quantenmechanisch der äußerste Wendepunktder t/1-Funktion; das Teilchen dringt etwas in den "verbotenen"Bereich ein. Bei kleinem n ist klassisch das Teilchen amwahrscheinlichsten an den Umkehrpunkten, quantenmechanischin der Mitte zu finden. Bei großem n werden die beidenBilder entsprechend dem Korrespondenzprinzip ähnlicher.16.3.2. Theorie des a-ZerfallsDer Krater hat außen Coulomb-Form U = 2Ze2 l(47reor),innen, wo die Kernkraft einsetzt, lassen wir ihn bei r = r 1Kapitel16: Lösungensteil abbrechen (r, = A 1 13ro, ro = 1,3 fm). a-Teilchen, dieKandidaten für den Austritt sein sollen, müssen W > 0 haben.Nach Aufgabe 13.1.7 ist das ab A ~ 140 der Fall,aber bei kleinem W ist die Austrittswahrscheinlichkeitsehr klein. Der Tunnelausgang liegt bei W = U, d. h.r2 = 2Ze2 I ( 47reo W). Das Potential sieht nur bei groberZeichnung dreiecksähnlich aus: Sein Gipfel liegt bei 120bis 200 MeV, es hängt also bis zum Austrittspunkt, derden wenigen MeV des a-Teilchens entspricht, erheblichdurch. Im kugelsymmetrischen Potential ist tjJ eine Kugelwellear-1 e-ikr, wo W > U ist, dagegen t/1 = ar-1 e-Krim Tunnel, wo W < U ist. Einsetzen in die Schrödinger­Gleichung -!n2m- 1 11tjf = -!n 2 m- 1 (t/lrr + 2t/Jrlr) =(W- U)t/1 liefert K = V(2mln2)(2Ze21(47reor)- W). DieAustrittswahrscheinlichkeit folgt als Verhältnis der tjf 2 -Werteam Ausgang und am Eingang des Tunnels: D =exp(-2 J~ 2 K dr). Mit x = r I rz vereinfacht sich das Integralzu[2m 2ze2 1' v'x-'- 1 dx.V fi2 47l"eo W 112 x 1Da XJ = rl/r2 « 1, kann man bei x ;Sx, unter der Wurzeldie 1 vernachlässigen, und das Integral wirdf~ v'x- 1 - 1 dx- f~ 1 x- 1 1 2 dx. Mit x = sin 2 a verwandeltsich das erste Integral in )o/ 2 2 cos 2 a da = 7r 12 (der Mittelwertvon cos 2 ist !). Das zweite Integral gibt 2xi/ 2 =2~, was auch mit dem davorstehenden Faktor immerklein gegen Eins ist, also im Exponenten keine Rollespielt. Zahlenmäßig mit W in MeV erhält man D =exp( -0,9ZI v'W) und für die Zerfallskonstante A. = voD, wobeivo = v I (2ri) ~ 1021 s- 1 ist: ln A. = 48 - 0,9Z I v'W. Mitder Whiddington-Reichweite R ~ v'W hätte man lieber v'Wim Zähler gehabt, aber trotzdem kommt die Geiger-Nuttal­Beziehung gut heraus: 10log A. = -3 für 218 Po, -15 für238 U; für 1 ~Nd erhält man 3 · 10 11 Jahre Halbwertszeit,was etwas zu wenig ist.16.3.3. FeldemissionDas Potential geht außerhalb des Metalls wie U = -eEx,innen ist es horizontal (wäre es das nicht, würden Elektronensich verschieben, bis es horizontal ist). Dazwischen liegt eineStufe, deren Höhe annähernd gleich der aus Photo- oder Richardson-Effektgemessenen Austrittsarbeit Uo ist (da dieseSchwelle nicht ganz scharf ist, sondern sich über einige Aerstreckt, bauen große Felder auch ihre Höhe etwas ab,wie man beim Zeichnen sofort sieht). Durch diese Dreiecksschwelleder Dicke d = Uol ( eE) tunnein Elektronen mit derWahrscheinlichkeitD = e-4..j2mU0d/(31i) = e-7-!0 9 ~/E(Uo in eV, E in V/rn). Bei U = 1 eV ist der Tunnelstromj = nevD ~ l Ajm 2 für E = 2 · 10 6 V/ern, bei 10 6 V/ernerst 10- 30 Alm , bei 3 · 10 6 V/ern schon 10 10 Alm 2 • Durch-1189

1190 Lösungen zu den Aufgabenschlag erfolgt spätestens um 2,5 · 10 6 V/ern. Bei Halbleiterdiodenkann es vorkommen, daß besetzte Zustände der p-leitendenSchicht ebensohoch liegen wie leere im n-leitendenTeil, besonders bei angelegtem Feld in Flußrichtung. Dannkönnen Elektronen durch die Übergangsschicht tunneln,falls diese nicht dicker als 50 A ist.16.3.4. PotentialgrabenIm Graben sei das Potential 0, außerhalb U. Der Graben reichevon x = 0 bis x = d. Wir untersuchen zuerst TeilchenenergienW < U. Die Schrödinger-Gleichung lautet im Graben:-!n 2 m- 1 t/J 11 = Wt/J, allgemeine Lösung t/1 = Aeik.x +Be -ik.x' k = v2m w I Ti; außerhalb vom Graben: - ~ li 2 m -I t/1 11= (W- U)t/J, Lösung t/1 = Cek'x (links), i/J = De-k'x(rechts), k' = yl2m(U- W)lli. Der Vollständigkeit halberkönnte man außerhalb noch ein Glied mit dem anderen Vorzeichendes Exponenten hinschreiben, aber sein Koeffizientmuß Null sein, weil es im Unendlichen divergiert. An denGrenzflächen x = 0 und x = d müssen t/1 und t/1' stetigsein, also mit den Abkürzungen o: = eikd, ß = e-k'dA+B=C,ik(A - B) = k' C,Aa+Bia=Dß,ik(Aa- Bio:)= -k'Dß.(L. 7)Hier kann man C und D sofort eliminieren und erhält zweiGleichungen in A und B:(ik - k')A = (ik + k')B, o:(ik + k')A = ~ (ik - k')B.Damit nichtverschwindende Lösungen A und B existieren,muß für AlB beide Male das gleiche herauskommen:2 (ik - k') 2 k' 2 - k 2 - 2ikk' 2ikdo: = = e(ik + k1) 2 k' 2 - k 2 + 2ikk'Der Bruch ist von der Form zlz* (*: konjugiert komplex).Komplexe Zahlen dividiert man, indem man ihre Winkel subtrahiertund ihre Beträge dividiert, zlz* hat den Betrag 1 undden doppelten Winkel von z. Der gleiche Winkel erscheint imExponenten (z = jzj ei'~'). Es folgt die Eigenwertgleichung2kk'tankd = k 2 _ k'2 .Nur für solche k und k', d. h. für solche W existiert eine stationäret/1-Funktion. Dasselbe erhält man auch durch Nullsetzender Determinante von (L. 7).- Man zeichne die Folge dertan-Funktionen. Sie schneiden die Kurve 2kk' l(k2 - k' 2 ),ebenfalls als Funktion von kd aufgetragen, an unendlich vielenStellen, im erlaubten Bereich W < U, d. h. k ;S 2mU ln 2nur an endlich vielen. Wenn k' » k, liegen die Schnittpunktebei kd = mr (n = 1, 2, ... ). k' » k bedeutet W « U, d. h.tiefe Zustände in einem tiefen Graben. Wenn das nichtmehr zutrifft, verschieben sich die Schnittpunkte nach untenbzw. oben auf den tan-Kurven, nähern sich also kd =(n + !)1r. Diese Verschiebung ist zusammen mit dem gedämpftenEindringen in den Außenraum der Haupteffekt0:der endlichen Grabentiefe. Bei endlichem U liegen immernur endlich viele Zustände im Rechteckgraben, es erfolgtkeine Häufung an der oberen Begrenzung wie beim ausladendenCoulomb-Topf. - Bei W > U muß man auch draußenbeide Teillösungen beibehalten, die jetzt richtige Wellene±ik'x darstellen. Die vier Anschlußbedingungen könnendie sechs Koeffizienten nicht festlegen, es ergibt sich auchkeine Lösbarkeitsbedingung mehr: Alle Energien oberhalbdes Grabenrandes sind zugelassen. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeitist aber im Graben größer als draußen.16.3.5. Zwei PotentialgräbenWir betrachten der Einfachheit halber. ein symmetrischesPotential: U für jxj < a, 0 für a < jxj < d, oo für jxj > d.In den beiden Gräben spart man dann je eine Konstante:t/1 1 = Csink(d-x) bzw. t/Jm = Dsink(d+x). In derSchwelle ist tbn = Aek'x +Be-k'x für W < U, t/ln =A eik'x + B e-il!x für W > U. Aus den Anschlußbedingungenkann man die Determinante aufstellen und Null setzen, aberabenteuerlicher ist der direkte Weg. Elimination von C und D(Division je zweier Gleichungen) führt auf A 2 = B 2 , d. h.A = ±B. In der Schwelle gilt also entweder eine cashodereine sinh-Funktion, entsprechend bei W > U einesin- oder cos-Funktion (symmetrischer oder antimetrischerZustand). Damit folgt auch C = ±D. Als Lösbarkeitsbedingungerhält man für diese vier Fälle, daß k' tank( d - a)gleich k tanh k' a, k coth k' a, k cot k' a bzw. -k tank' a seinmuß. Die vollständige Diskussion ist langwierig. Wir betrachtennur einige Grenzfälle: Bei U » n2 l(2ma), d. h.k 2 + k' 2 » 1 schneiden coth und tanh im Bereich W < Udie tan-Kurve nicht, es gibt keinen in einem der Töpfe gebundenenZustand. Der gesamte Topf (einschließlich Schwelle)wird von den bekannten, in Wund ljJ nur wenig modifiziertenZuständen eingenommen (2k(a + d) = n1r). Bei U « li 2 I(2ma) liegen in jedem Teiltopf zunächst tiefe, schwach miteinandergekoppelte Zustände. Sie entsprechen dem Bereich,wo coth und tanh schon beide 1 sind. Oberhalb der Schwelleliegen Zustände, deren Energie und Amplitude durch dieSchwelle erheblich beeinflußt werden. Man beachte immer,daß alle Zweige der tan- bzw. cot-Kurve zu berücksichtigensind.16.3.6. KugelwelleDaß ljJ ~ r- 1 eikr die stationäre Schrödinger-Gleichung imkugelsymmetrischen Fall löst, haben wir z. B. in Aufgabe16.3.2 benutzt. Dazu kommt der zeitabhängige Faktore±iwt wie für jeden stationären Zustand und macht eine Kugelwelle daraus. Für U > Wergibt sich analog zum Debye­Hückel-Potential t/1 ~ r- 1 e-k'r. Jetzt betrachten wir einenkugelsymmetrischen Potentialtopf statt eines ebenen Grabens:Potential 0 für r < ro, U für r > ro. Allgemein istim Topf t/1 = Ar-1 eikr + Br- 1 e-ikr_ Damit t/1 bei r = 0 endlichbleibt, muß A = -B sein, also t/1 = A'r- 1 sinkr. Dannbleiben nur die Anschlußbedingungen für roA' C-sinkro =- e-k'roro ro

Kapitel16: Lösungen 1191A' ( sin kro) __ Ck' e-k'ro- kcoskro---ro ro roEndliche A' und C gibt es nur, wenn cot kro =(k'ro + 1)l(kr0 ). Die Folge der cot-Funktionen wird geschnittenbei kro = mr, wenn k' » k, näher beikro = (n + !)n, wenn das nicht der Fall ist. Wie tief mußein Topf vom Radius r 0 sein, damit wenigstens ein stationärerZustand darinliegt? W = U bedeutet k' = 0, also lautetdie Eigenwertbedingung tan kro = kro, d. h. kro = 4,4943,U = 1011 2 I (rÖm). Kernkraft-Potentialtöpfe haben fast die angenommenesteile Form mit ro R:: 2,6 fm für das Deuteron.Damit ein gebundener Zustand möglich ist, mußU > 50 MeV sein. Der gemessene Massendefekt des Deuteronsist 0,00239 AME, die Bindungsenergie 2,23 MeV. DieNullpunktsenergie (ungenutzte Topftiefe) beträgt also mehrals 50MeV.16.3.7. TunneleffektDie I/I-Funktion in Abb. 16.4 erfüllt zwar die stationäreSchrödinger-Gleichung und die Randbedingungen (1/1 und1/1 1 überall stetig), aber sie ist nicht normiert. Rechts liegtja der ganze unendliche Außenraum, in dem nurI 1/1*1/1 dV = 1 sein kann, wenn 1/J = 0 ist. Entweder ist drinnenauch 1/J = 0 (Teilchen hat sich ganz zerstreut), oder manerhält Sprünge in 1/J oder 1/J'. Man kann sich drehen wie manwill: Erzwingt man die Normierung, indem man den Raumrechts auch durch eine unendlich hohe Wand abschließt,müßte dort 1/J = 0 sein, und mit einer auslaufenden Wellewie in Abb. 16.4, die ja noch den e 1 mr-Faktor hat, geht dasnicht; man brauchte eine stehende Welle, womit man wiederbei Aufgabe 16.3.5 anlangt.- Wir retten die Normierungsbedingung,wo das am unschädlichsten ist, nämlich rechts. Dortdämpfen wir die !/!~Welle durch_ einen_ e-Jx~Faktor: Stattve(kx-wt) setzen Wlr ve(kx-wt) lix. DieS druckt aus, daßsich die aus dem Topf aussiekemden Teilchen nicht gleichzerstreuen, sondern zunächst vor der Schwelle ansammeln.Auf den Wert von ,5 kommt es nicht an, wie wir gleich sehenwerden. Jedenfalls wird ,5 « k sein, d. h. die Dämpfung erstrecktsich über viele Wellenlängen. Die modifizierte I/I­Funktion kann natürlich die stationäre Schrödinger-Gleichungnicht mehr erfüllen. Einsetzen zeigt, daß nicht mehrHI/J = WI/J, sondern HI/J = WI/J + ibk,!fi 2 m- 1 ~ (hier ist c5 2gegen ikb vernachlässigt). Die nichtstationäre Schrödinger­Gleichung liefert also (nli)I/J = WI/J +!n 2 m-1 ibki/J, d.h.1/1 = Dcp(x) eiWt/n e-nklit/(lm). 1/J klingt ab mit der Zeitkonstantenr = 2ml(1ik

IIII1192 :: Lösungen zu den Aufgabenbeim Verschwinden der Störung H' in einen bestimmtenBasiszustand, z. B. inf1 überginge. Dann wird CJ viel größersein als alle anderen q, und noch praktisch c 1 = 1. Links in(L. 8) bleibt dann nur jeweils das Glied mit k = 1 stehen,also für i=l: H; 1c1=(W-s!)c1, d.h. W=s1+H; 1(die Verschiebung des Eigenwertes ist gleich der StörungH', gemittelt über den ganzen Zustand ft) und für i =/= 1:c; = H! 1 / (W- B1) (die Beiträge der anderen Basisfunktionenwachsen mit dem Kopplungsglied H! 1 und mit abnehmendemenergetischen Abstand der Zustände i und 1).Wenn die Zustände von Ho entartet sind, d. h. mehrere fkzum gleichen Eigenwert gehören, zeigt schon das Nullwerdendes Nenners, daß man etwas anders verfahrenmuß. Höhere Näherungen baut man durch sukzessive.Approximation auf, indem man jeweils die vorige Näherungin (L. 8) einsetzt.16.4.3. AbsorptionEine Störung wie das elektrische Feld einer Lichtwelle istdurch ein orts- und zeitabhängiges Zusatzpotential U' zubeschreiben, z. B. für eine harmonische, in x-Richtung polarisierteWelle U' = -eAxeiwr. Der ungestörte Rarnilton­Operator Ho hat die Eigenfunktionen fk(r, t) = gk(r) eiwkrmit wk = Wk/n. Er erweitert sich jetzt zu H =Ho+ U'.Wir bauen den gestörten Zustand ausden fk auf:t/1 = .2::: ckfk· In die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung-int/1 = (Ho+ U')t/1 eingesetzt und mit !;* linksmultipliziert,gibt das -inc1 + nw;c; = W;c; + l::kf;' · U'fkCk oder'. _ 't.-1 '"""'u' i(Wk-Wi+w)tc, -ln 6 ike Ckkmit dem Matrixelement u;k = g7 · U' gb das nur die räumlichenAnteile von f;,fk und U' enthält (die zeitlichen stekkenim e-Faktor). Vor dem Einschalten des Lichtes sei dasSystem im Zustand !1 gewesen, d. h. alle c; waren 0, außerCJ = 1. Dann vereinfacht sich die Summe zu c; =in-1 u;l ei(w!-Wi+w)t. Wenn w =I= W; -Wj' istC; eine periodischeFunktion mit dem Zeitmittel 0. Deshalb bleibt c;, abgesehenvon sehr kurzzeitigen Schwankungen, immer 0.Bei w = w;- w 1 dagegen ist der e-Faktor immer 1:c; = in-1 U! 1 • In diesem Resonanzfall wächst c; linear mitt an, falls U! 1 =/= 0. Das trifft zu, wenn die beteiligten Funktioneng; und g 1 in der Feldrichtung, d. h. hinsichtlich der y, z­Ebene verschiedene Spiegelsymmetrie haben (Abb. 16.16).So ergeben sich die Auswahlregeln für Dipolstrahlung, speziell!= ± 1 für Elektronen im zentralsymmetrischen Feld. Indieser Theorie und ihren Verfeinerungen stecken noch vieleandere Züge der Lichtabsorption, der Raman-Streuung usw.16.4.4. NH 3 -UhrIm N-Atom mit der Elektronenkonfiguration Is2 2s2 2p3 besetzendie drei 2p-Elektronen nach der Hund-Regel die ZuständePx, Py• Pz mit ihren paarweise senkrechten t/1-Keulen.Ein einwertiger Bindungspartner mit der gleichen ElektronegativitätwieNwürde die Ecken einer dreiseitigen Pyramidemit 90°-Winkeln an der Spitze einnehmen. H ist elektropositiverals N, also wird sein Elektron etwas zum N hingezogen,und die Coulomb-Abstoßung spreizt die drei Bindungsrichtungen,ähnlich wie beim H20. Beide Molekülesollten ähnliche Dipolmomente von der Größenordnunge ·1 A ~ 1,6 ·10-3°Cm haben. Man mißt für H200,6 · 10-30, für NH3 0,5 · 10-3° C m. - Eine Frequenz von24GHz, also ein Energieabstand W = 1,4 · 10-23 J ~10- 4 e V ist für einen Elektronenübergang viel zu klein.Für di~. Rotation erwartet man ein Träfheitsm~ment J vonder Großenordnung mr2 ~ 1 o-47 kg m , also eme EnergiestufeTi 2 /(21) ::::o 10-21 J. Wir deuten die 24 GHz als Frequenzfür das Durchschwingen des N durch die H3-Ebene.Hierbei kehrt sich das Dipolmoment um, der Übergang istalso optisch sehr aktiv (sein U! 1 ist sehr groß, Aufgabe16.4.3). Die entsprechende Energie hv ~ 10-4 eV muß dasStörglied H12 = H2 1 von Aufgabe 16.4.1 darstellen. Umdiese Energie ist der symmetrische Zustand nach unten,der antimetrische nach oben verschoben. Im konstanten elektrischenFeld E in Richtung der Molekülachse verlieren diePotentialtöpfe ihre Symmetrie: H11 = Ho + pE, Hn =Ho - pE. Die Form des Potentialwalls zwischen den Töpfendürfte vom Feld nicht wesentlich beeinflußt werden, daherbleibt H12 = H21 = H'. Die Eigenwertgleichung muß allgemeingelöst werden:I Ho + pE - W H' I = 0H' Ho -pE- W .Man erhältW =Ho± vH' 2 + p 2 E 2 ::::o Ho± (H' +! p 2 E 2 jH')für erreichbare Felder E ~ H' jp. Ein NH 3-Molekülstrahlspaltet in einem starken transversalen Feld in zwei Teilstrahleuauf: Moleküle mit den beiden Einstellungen des Dipolmomentswerden verschieden abgelenkt. Der eine Teilstrahl,bei dem z. B. die N alle "oben" sind, kann durcheine Blende in ein Wechselfeld geleitet werden, das mit24 GHz schwingt und dadurch Übergänge in den anderenPolarisationszustand abruft. Die 24 GHz werden so nachdem Maserprinzip verstärkt. Die Schärfe der Resonanzwird von pE bestimmt, denn Ii/ (pE) ist die mittlere Lebensdauereines Zustandes und damit die reziproke Breite derResonanzlinie (Abschn. 12.2.2). Um die letzte Aussage zubeweisen, müssen wir die Theorie der Übergänge (Aufgabe16.4.3) anwenden. Im Wechselfeld E = Eo e'wr erfolgenÜbergänge gemäß c; =in-] L:k u:kqei(wk-Wi+w)t. U' istdas Potential des Wechselfeldes, in u; 1 ist es über die Elektronenverteilungdes Moleküls gemittelt, also u; I = pE, entsprechendu; 2 = -pE. Dagegen u; 2 = u; 1 = 0, denn hierwerden zwei t/1-Funktionen, die spiegelbildlich zur y, z­Ebene sind, mit x multipliziert. In der Resonanz, d. h. fürw = w 1 - w 2 wird der e-Faktor 1, also c; = in- 1 pECJ. DieBesetzungen der beiden Zustände schwingen tatsächlichmit der Frequenz w' = pE. Die relative Breite der Resonanzist11wjw ~ pEjH1• Bei E = IOV/m folgt11wjw ::::o 3. 10-5 .Schon viel kleinere Verstimmungen machen sich durch Lei-

Kapitel 16: Lösungen 1193stungsabfall bemerkbar, und ein Resonanzhohlraum kann alsSteuerorgan einer Uhr dienen.16.4.5. PotentialeInnerhalb der Schwelle wird k imaginär, also fällt die Wellenfunktionab wie 1/1 = 1/Jo e-Kx im ebenen bzw.I/J = l/f 0 r- 1 e-nim kugelsymmetrischen Fall. Das Quadrat davon gibt dieDurchtrittswahrscheinlichkeit eines Teilchens. Wenn diesesTeilchen das Quant eines Kraftfeldes ist, verhält sich das Potentialdieses Feldes entsprechend: cp,...., r-1 e-n ist das Potentialum eine Punktquelle von Feldquanten. Für Feldquantenmit einer bestimmten Ruhmasse m (Pionen der Kernkraft)ist als Potentialschwelle die Erzeugungsenergie U = mc 2 anzusetzen,also hat K den Wert ..;2mUj1i ~ mc/1i (Yukawa­Potential). Ein solches Potential erhält man auch für eineZentralladung, deren Feld durch freie Gegenladungen abgeschirmtwird (Debye-Hückel-Potential, Abschn. 6.4.6). Beider chemischen Bindung, die durch Elektronenaustausch vermitteltwird, kommen ähnliche Potentiale vor. Bei Feldquantenohne Ruhmasse tritt keine Schwelle U von bestimmterendlicher Größe auf. Dann bleibt nur das 1/r-Potential derCoulomb-Kraft.16.4.6. Chemische BindungWenn der H-Operator bekannt ist, kennt man im Prinzip auchseine Eigenfunktionen, d. h. die möglichen stationären Zustände,und die Eigenwerte. Jeder nichtstationäre Zustandist eine Linearkombination der Eigenzustände: 1/1 =I: cifk· Welchen Zustand das System z. Z. einnimmt, isteine Frage der Vorgeschichte und gehört nicht zur allgemeinenKennzeichnung. Wie sich ein gegebener Ausgangszustandzeitlich weiterentwickelt, ist wieder vollständig durchH in der Form ;p = ili- 1 Hl/f bestimmt, oder in nach den fkentwickelter Form i:; = ili- 1 I:H;kCk· Die Quantenmechanikbehauptet also auch nicht mehr zu wissen als die klassischeMechanik, die die wesentlichen Eigenschaften eines Systemsz. B. durch die Abhängigkeit seiner Energie von denKoordinaten und Impulsen der Einzelteilchen ausdrückt,die Anfangswerte dieser Koordinaten und Impulse aberauch als zufällig ansieht. - Der Grundzustand eines Systems,also der energieärmste Zustand, entspricht natürlichdem tiefsten Eigenwert. Wenn das Eigenwertproblem abernicht direkt lösbar ist, wie meist, nutzt diese Tatsache nurindirekt. Der exakteH-OperatorseiH =Ho +H', die Eigenfunktionenvon H 0 seien /b wir entwickeln die exakteEigenfunktion 1/1 = I: cifk· Statt die übliche Störungsrechnungzu treiben, fragen wir: Bei welchen Werten der qwird die Energie des Zustandes minimal? Diese Energieist W = 1/1* · Hl/1 (diese Formulierung ist sogar allgemeiner,denn sie trifft nicht nur für Eigenwerte, sondern auchfür Erwartungswerte von W zu). Entwickelt: W =2::; k c'Jt · ckHfk = 2::; k cjckHik· Das soll minimal sein,' ,also öW = 2::;(8W /8c;) Öc; = 0 mit der NebenbedingungI:cf = 0 (Normierung). Bei der Bildung von 8Wj8c; störenzunächst die cj. Wir betrachten das Glied c'kc;Hki· SeineAbleitung nach c; ist c'kHki· Unter den q kommt c; aber auchvor. Die Ableitung ergibt sich mittels 8/8cj = (8/8c;)* alsqH~. H ist hermitesch, d.h. H~ = Hki· Es folgt 8W j8c; =I:k cZHki· Wären die c; unabhängig, könnte man alle dieseAusdrücke Null setzen und hätte das Minimum. Es sollaber I: cf = 1 bleiben. Diese Bedingung wird nachLagrange (Abschn. 17.1.5) berücksichtigt, indem man dieVariation von I: cf !Jlit dem noch unbestimmten Faktor IXmultipliziert und zu ÖW addiert:ÖW+IXÖLc; =2'L::c'kHk;+21Xc7 =0oder I: Hk;c'k = -rxcj. Hier ist der Vektor c'k mit der MatrixHki multipliziert, und herauskommen soll wieder c'k maleinem Zahlenfaktor -IX. Das ist nichts weiter als die Eigenwertgleichung.Die Suche nach einer Eigenfunktion des Systemsund die Suche nach dem Zustand minimaler Energiesind völlig äquivalent. Verfahren wie das von Ritz, bei denendie Eigenfunktionen aus geeigneten einfachen Funktionenmit Koeffizienten zusammengesetzt und die Koeffizientendann so bestimmt werden, daß die Gesamtenergie minimalwird, sind im wesentlichen identisch mit der Störungsrechnungoder dem Fall zweier schwach gekoppelter Teilsysteme(Aufgaben 16.4.1, 16.4.2, 16.4.4). Wir können dieErgebnisse übernehmen: Annäherung zweier identischerTeilsysteme bringt Überlagerung der Teilzustände zu einemsymmetrischen und einem antimetrischen Zustand mit Energien,die gegenüber der Gesamtenergie der getrennten Systemeum die "Resonanzenergie" abgesenkt bzw. angehobensind. Das ist die Grundlage der Theorie der homöopo1arenBindung (Heitler und London), ist aber viel allgemeiner gültig(Aufgaben 16.4.4, 16.4.5).16.4.7. Wird er Doktor?Physiker A mißt z. B. ein Magnetfeld H. Kommt es vomSpin eines um r entfernten ruhenden Elektrons (Hr) odervon einem mit v bewegten Elektron ohne Spin? NachBiot-Savart ist Hv ~ evjr2, nach Aufgabe 7.2.3 Hr ~eh/(4mr 3 ). Der Abstand r sei bis auf !1r festgelegt. Der entsprechendeFehler in Hr ist 11Hr ~eh !1r/(mr 4 ). Wegen derUnschärferelation muß dann ein !1v ~ h/(m!1r) in Kaufgenommen werden, also 11Hv ~ eh/(mr 2 !1r). Der gesamteH-Fehler !1H = 11Hr + 11Hv wird minimal für !1r ~ r,nämlich !1H ~ 2eh/(mr3 ). Der Fehler ist prinzipiell nichtkleiner zu machen als der zu messende Effekt, oder umgekehrtsind Hr und Hv im günstigsten Fall gleichgroß.16.4.8. Zwei ElektronenDie Gesamtenergie W des Systems besteht aus den drei potentiellenWechselwirkungsenergien der drei Teilchen undder kinetischen Energie der Elektronen, die gleich der vonder Unschärferelation geforderten Nullpunktsenergie infolgeder Einsperrung auf einen Bereich vom Radius r ist.Aus !1p · 2r ~ h und Wkin = !1p 2 /(2m) erhält man annäherndWkin ~ h 2 /(8mr 2 ). Wir setzen allgemeiner anWkin = ah 2 /(mr 2 ) und bestimmen a aus dem Fall des H­Atoms. Es hat W = -e 2 /(47reor) + ah/(m?), was minimalwird für 8Wj8r = 0, d.h. r 0 = 81rae0h 2 j(me 2 ). Die Mini-

IIII1194 : : Lösungen zu den Aufgabenmalenergie ist Wo = -! e 2 I ( 41!"Boro) = -me 4 I ( 641!" 2 s6ah 2 )und muß gleich der Rydberg-Energie WRy = -me 4 I (8a6h 2 )sein, also a = 11(8~). Damit ist die Energie des Zweielektronensystemsmit einem Kern der Ladung Zee2 (z z 1 ) h2 ( 1 1)W = 41rao ~ + r2 - r1 + r2 + 81r2mr ri + r~ ·Der Ansatz für die Wechselwirkungsenergie der beiden Elektronen,der einen mittleren Abstand r1 + r2 voraussetzt, istallerdings geometrisch etwas anfechtbar. Jetzt muß mannach r1 und r2 ableiten, um das Minimum von W zu finden.Wie zu erwarten, liegt es bei q = r2, und zwarr1 = r2 = ro = soh2 l(1rme2(Z- :l)), so daß Wo =-e 4 m(Z- :1) 2 l(4a6h 2 ) = 2(Z- :l) 2 WRy wird. Die ÜbereinstimmungderWerte 2(Z- :1) 2 von 1,1; 6,1; 15,1; 28,1; 45,1;64,1 mit der Beobachtung ist geradezu unheimlich.16.4.9. 21 cm-LinieMagnetisches Moment des Elektronenspins Pe = ! {lolie I me,des Protons Pp = 2,79 ·!1-lolielmp, Bohr-Radius ro41l"Boli 2 I ( mee 2 )' klassische Wechsel Wirkungsenergie wklPePpl(41r{lorÖ) !2,79mec 2 a 4 me/mp, wo IXe 2 I ( 47raolic) = 1l 7 die Feinstrukturkonstante und c11 FoliO ist, also 2Wkl = 1,77. w-25 J, V= 2,68. 108 Hz,A. = 112cm. Quantenmechanisch muß man die Wechselwirkungsenergieüber den ganzen Raum mitteln, also r0 3 ersetzendurchr-3 = Jl/Jr-3ljl*dV = JC:e-2r/ror-3r2drJ l/ll/1* dV fooo e-2r/ro r2 dr8 fooo e-xx-l dxr3 roo e-xx2 dx .o JoFür das untere Integral erhält man durch zweimalige partielleIntegration den Wert 2, das obere verwandelt sich durchy = e-x in den Integrallogarithmus J dy I lny, dessen Wertmit den Grenzen 0 und oo die Euler-Mascheroni-Konstante0,57722 ist. So ergibt sich die Wellenlänge 20,9 cmfür die wichtigste Linie der Radioastronomie.16.4.10. ElektronegativitätHomonukleare Moleküle wie AA werden nur durch die Delokalisationeines Elektronenpaares zusammengehalten, fürdas heteronukleare AB kommt ein elektrostatischer Anteilhinzu: Das Elektronenpaar verschiebt sich zum elektronegativerenPartner hin, der im Periodensystem weiter rechtssteht. Beide Partner nehmen entgegengesetzte PartialladungenOe an, was eine Stabilisierungsenergie ~AB= fJ 2 e 2 I(47reor)=14,3eVfJ21r ergibt (r in A). Für OH mitr ~ 1 A folgt aus den x-Werten ~ = 2,65 e V, [J = 0,43, fürNaCl mit r = 2,75 A (aus der Dichte zu bestimmen):~ = 5,96eV, [J ~ 1,0 (voll ionogene Bindung).16.4.11. WasserstoftbrückeDie Partialladungen von 0 bzw. N in OH bzw. NH ergebensich aus den Elektronegativitäten zu 0,43 bzw. 0,26. Für dieN-H-0-Brücke 0,82eV für die H-O-Anziehung, 0,54eV fürdie 0-N-Abstoßung, d. h. 0,28 e V oder 27 kJ/mol, was &utstimmt. Wasser hat etwas mehr (H-O-Abstand 1,76A):1,47eV für H-0, 0,94eV für 0-0, d.h. 0,54eV. JedesH20 ist im Eis und fast auch so im Wasser an vier H-Brükkenzur Hälfte beteiligt. 0,27 eV sind etwas zu wenig (Verdampfungsenergie0,42 e V). In jedem Fall kommt eine Delokalisierungsenergiehinzu: Das Proton hat zwei Potentialminimabei 0 bzw. bei N, zwischen denen es springen kann(vgl. Abschn.14.1.6).17.1.1. Abstrakt-KonkretWenn kein Anhaltspunkt für die gesuchte Zahl vorliegt, wennalso jede der Zahlen 0 bis 999 mit gleicher Wahrscheinlichkeitvorliegen kann, teilt man den Bereich in zwei Hälften:"Kleiner als 500?", den durch die Antwort bestimmten Bereichwieder in zwei Hälften usw. Mit höchstens zehn Fragenist man am Ziel, denn 2 10 = 1024, d. h. der zehnfach hal-bierte Bereich umfaßt höchstens noch eine Zahl. Jede andereStrategie kann u. U. die Antwort schneller bringen, im Durchschnittaber erst später. Haben die Zahlen ungleiche Wahrscheinlichkeiten(Geschichtszahlen: 19. und 20. Jh. wahrscheinlicher),teile man so in zwei Bereiche, daß die Summeder Wahrscheinlichkeiten gleich ist. Eine kluge Frage isteine, auf die ebenso wahrscheinlich ein Ja erfolgt wie ein

Kapitel 17: Lösungen 1195Nein. Wenn ein kompliziertes Objekt zu seiner Festlegung 60kluge Fragen braucht, folgt daraus, daß es ungefähr260 ::;:, 1018 Objekte von dieser Komplexität in der Welt(der realen und der gedachten) gibt. Das ist noch nicht einmaldie Anzahl der Luftmoleküle in einem Fingerhut.17.1.2. AutonummernEs gibt 509 Kreise (Stand von 1994), davon hat etwa dieHälfte dreibuchstabige Symbole: 1 235 Buchstaben im ganzen.Davon nur 72 E (5,8% statt 17,5% wie sonst im Deutschen),81 B (6,5% statt sonst 1,7 %). Als mnemonischesPrinzip muß der Anfangsbuchstabe vom stehenbleiben (außerbei den Hansestädten, denen dieser Titel wichtiger ist alsdas Privileg der Einbuchstabigkeit). Sonst käme man mitzwei Buchstaben gut aus (könnte sogar 702 Kreise codieren,wobei alle Buchstaben gleichhäufig wären). Mit derErstbuchstaben-Klausel geht das nicht mehr: Zu viele Kreisefangen mit B, H, M, S, W an. E und überhaupt die Vokale sindunterdrückt, weil sie so häufig sind, also wenig Informationvermitteln (darum hört man wohl auch, wenn man ein Wortabkürzt, immer mit einem Konsonanten auf). Außerdem istes klar, daß z. B. nach H oderMein Vokal kommen muß. Derdritte Buchstabe (über 20 Möglichkeiten) sagt also viel mehraus als der zweite (nur 8 Möglichkeiten hinter H oder M). DerKennzeichen-Code versucht also sowohl die Redundanz (denInformationsverlust) durch ungleiche Zeichenhäufigkeit alsauch die durch Häufigkeitskopplung (ungleiche Markow­Wahrscheinlichkeiten) abzubauen, und zwar mit gutem Erfolg,denn ein Buchstabe überträgt 4,12 bit statt 4,70(Redundanz nur 0,12).Tabelle L. 8BcDEFG1-1KLM0pQRDeul,ch Eng!.7.21.4. • 34.516.22.1. . 05.37.10.10.93.53.0I 0.61.90.30.07.1T 5.1wyz5,10.41.60.00,00.99.11.61.84.712.2._,47.1.30.40.74.22.76.37,11.20.06.26.1.10.2.70.11.40,0ranz.1.71,64.016.01.20.0.67.91.40.0.34.06.65.1.60.9.96.46.97.01.40.00.20.30,Ru~ . .10.22.10.6.06.10,01.-0.66.5.63.6.13,6.110.42...t0.03.1.I6.63.80.04,00.01.Lpan.13.1.33.54.14.10.51.00.60 ..0.0.4.07.1.32.41.17.36.9.J.I·t1.-0,00.01.20.3llal.9.60,54.43.613.21,2I.1.410.00.00.0.04.26.610,42.90,66.15.46.4-.92.30,00,00,00.717 .1.3. InformationDie Folge der Antworten auf eine Anzahl n kluger Fragenengt den Bereich der Möglichkeiten um den Faktor P =2- n ein. Sie liefert definitionsgemäß eine Information Iovon n bit. Offenbar gilt hier Io = - ld P. Wenn die Wahrscheinlichkeitenungleich sind, z. B. p für Ja, 1 - p fürNein, ist P seq = pv (1 - p r-v für V Ja und n - V Nein, gleichgültigin welcher Reihenfolge. Eine Antwort liefert imDurchschnitt !0 = - p ld p - ( 1 - p) ld( 1 - p) bit. Allgemein:Für k verschiedene Antworten (Symbole) mit den HäufigkeitenPi bringt eine Antwort /0 = - 'L.Pi ldp;. DieserWert ist am größten, wenn alle Pi gleich sind, nämlichPi = 1/ k. Dann wird Io = - L_k- 1 ldk = - ldk. Fürk = 26 ist 1 0 = 4,70. Eigentlich besteht ein Text aus mindestens27 Symbolen (Buchstaben und Spatium). Io = ld 27 =4,75. Daß Pi = 1 / k maximales Io ergibt, sieht man z. B. nachder Lagrange-Methode (Abschn. 17.1.5): 8/o + ao 'L.Pi =L_ Öp; (lnpi + 1 + a) = 0, d. h.lnp; = - 1 - a. Alle p; müssengleich sein, nämlich 1/ k . Beispiele für !0 -Werte bei ungleichenPi in den folgenden Aufgaben.17.1.4. GoldbugMan braucht Textlängen von gut 1 000 Buchstaben, bis sichdie Verteilung nicht mehr sehr ändert. Buchstabenhäufigkeitenin % in sechs Sprachen:Sie ist von der Sprache und der Art des Textes abhängig undsogar als Stilkennzeichen benutzt worden. Im Deutschen,Englischen und besonders im Französischen überwiegt dasE so sehr, daß man Texte in einem Substitutionscode (jederBuchstabe durch ein bestimmtes Zeichen ersetzt), schnell miteinigen zusätzlichen Plausibilitätsschlüssen entziffern kann.Manchmal hilft sich der Codierer, indem er E, N, A wahlweisedurch mehrere Zeichen ausdrückt. "Tobe or not to be" hatPseq = 1,1 · 10- 20 und 66 bit. Dieser kurze Text hat aber einesehr extreme Komposition (z. B. zu viele 0). Der ganze Harnlethat etwa die in der Tabelle angegebene Verteilung und2 800 Verse mit 105 Symbolen. Ein Symbol bringt 4,3 bit(Aufgabe 17.1.9), also hat der Harnlet etwa 4 · 105 bit.Wenn er aus lauter so unwahrscheinlichen Sätzen wie "Tobe or not to be" bestünde, erhielte man etwa 50 % mehr Information.17.1.5. Morse-AlphabetWenn die Übertragung von · oder - eine Zeit r dauert,braucht man für einen Buchstaben im Durchschnittt = L,pin;-r: (pi: Häufigkeit des i-ten Buchstaben, der ausni Zeichen besteht). Nach Aufgabe 17 .1.3 wird t minimal,wenn ni ~ ldp;, d.h. Pi~ 2"i . Der Morse-Code übertrügealso maximale Information pro Zeichen (- oder - ), wennE und T je doppelt so häufig wären wie A, M, N, I (zwei

1196 Lösungen zu den AufgabenZeichen), diese wiederdoppelt so häufig wie D, G, K, R, S, 0,U, W (drei Zeichen). Morse hätte besser so einteilen sollen: E,A; 0, T, S, I; N, R, L, H, C, F, U, M; restliche zwölf Buchstaben.Der Unterschied in t für diese Zuordnung, die vonMorse und die ideale (die nur möglich wäre, wenn das Englischedie am Anfang der Lösung angegebene Häufigkeitsverteilunghätte), ist aber gering: 2,47T, 2,48T bzw. 2,44T.17.1.6. RedundanzUm 105 Wörter durch ein Alphabet von 26 Symbolen optimalzu codieren, braucht man eigentlich nur 3,53 Buchstaben/Wort, denen 26 3 • 53 = 10 5 . In einem solchen Wörterbuch,das 26, 676, 17 576, 81722 ein-, zwei-, drei- bzw. vierbuchstabigeWörter enthielte, überträgt jeder Buchstabe ld 26 =4,70 bit, jedes Wort 16,61 bit, entsprechend der Tatsache,daß der Wörter-Zeichenvorrat 2 16 • 61 = 105 Zeichen enthält."Wörter" wie xqpz wären eventuell merkbar, fallsman eine durchgehende Klassifizierung der Begriffe ähnlichder Dezimalklassifikation der Bibliotheken aufstellenkönnte. Um sie aussprechbar zu machen, könnte man vereinbaren,daß Vokale und Konsonanten abwechseln müssen. Daskostet Information, denn die Übergangswahrscheinlichkeitenin Markow-Ketten (Aufgabe 17.1.7) werden damit sehr ungleichförmig.Zählt man Y und Ö als Vokale, hat man7 · 19 = 133 zweibuchstabige Wörter usw. Jeder Buchstabeüberträgt nur ! (ld 7 + ld 19) = 3,53 bit, was eine mittlereWortlänge im Wörterbuch von 4,75 Buchstaben ergibt. Merkbarkeitkönnte man so erzeugen: Alle Substantive fangen mitVokalen an, alle Tiere mit A, alle Säugetiere mit AS usw.Asapo = Pferd, Asapi = Esel. Möglichkeiten und Schwierigkeitensind leicht auszumalen. Die Redundanz gegenüberdem "idealen" System ist 0,25 (bedingt durch die Kopplungzwischen Nachbarbuchstaben). Im realen deutschen Wörterbuchüberträgt ein Buchstabe nur 1,66 bit, die Redundanz desDeutschen ist demnach 0,65.17.1.7. Markow-Kette IAus den Pi der Tabelle in Lösung 17 .1.4 berechnet man die"Information 1. Ordnung" /1 = 'E.Pi lnpi im Deutschen zu4,27 bit. Verglichen mit der optimalen Quelle (pi = 1/27,Io = 4,75) ist die Redundanz 1. Ordnung nur 0,10. DerRest bis zur in Aufgabe 17 .1.6 geschätzten wirklichenRedundanz von 0,65 muß auf der Kopplung zwischen Buchstabenberuhen. Das Gedächtnis von Texten, als Markow­Ketten aufgefaßt, ist viel größer als 1. Ähnlich ist es mitden Wetterlagen an aufeinanderfolgenden Tagen. Hier sinddie Diagonal-q-Werte größer: Wenn es heute regnet, regnetes morgen wahrscheinlich auch noch. Die Gedächtnislängeentspricht dabei etwa der Dauer einer Großwetterlage.17.1.8. Markow-Kette IIFür die Zeichenhäufigkeit Pi in einer unendlich langen Markow-Kettekommt es auf das Anfangssymbol nicht mehr an,denn die Erinnerung daran ist nach einem endlich langenStück praktisch ausgelöscht, und dieses Stück kann man getrostabschneiden, ohne die Pi zu beeinflussen. Strenger formuliert:Die Wahrscheinlichkeit, daß auf der Position n einSymbol i steht, sei Pin· Für die nächste Position folgt mitPinqik ein Symbol k. Ein solches Symbol k kann aber auchauf andere Symbole als i folgen. Im ganzen ist seine WahrscheinlichkeitPk,n+1 = 'E.;Pinqik· Das heißt: Man multipliziereden Vektor Pin mit der Matrix q;k und erhält den VektorPk,n+1· Aus Aufgabe 16.1.7 wissen wir, daß Pin, so behandelt,gegen einen Eigenvektor von q;k konvergiert, und zwar gegenden mit dem größten Eigenwert. Dieser Eigenwert heißt hieroffenbar 1. Daß ein solcher Eigenwert 1 immer existiert, folgtdaraus, daß q;k die Zeilensumme 1 hat. 'E.k q;k = 1, irgendeinSymbol muß ja auf i folgen. Wir beweisen: Eine Matrix q;kmit 'E.k q;k = I hat immer einen Eigenwert 1. Alle anderenEigenwerte haben Eigenvektoren Pi mit 'E.P; = 0, die hiernicht in Frage kommen. Es sei 'E.; q;kPi = APk· Dann istauch 'E.k 'E.; q;kPi = ). 'E.k Pk = 'E.; Pi 'E.k q;b was nach Voraussetzung'E.Pi ist. Also }, "E_p; = "E_p;, d. h. A. = 1 oder"E_p; = 0. Erst wenn Sie das Eigenwertproblem auch nurfür den vergleichsweise kindlich einfachen Fall zweier Symbolefür ein Zahlenbeispiel gelöst haben, wissen Sie, was dieallgemeinen Überlegungen wert sind.17.1.9. Markow-Kette 111Die Sequenz ikl ... hat die Wahrscheinlichkeit Pseq =p;q;kqkl· Die Verallgemeinerung ist offensichtlich. Die relativeHäufigkeit des Paares ik ist p;q;k. Der Faktor q;k kommtalso in Pseq für eine Kette aus N Symbolen Np;q;k-mal vor:Pseq = Tii,k qfkq,kN, Information -N 'E.i,kp;q;k ld q;b Information2. Ordnung pro Buchstabe [z =- "E_;kPiqik ldqik·Auszählung der Paarhäufigkeiten für einen deutschen Text(Text der Aufgaben 17.1.1 bis 17.1.13) ergibt eine Information2. Ordnung pro Buchstaben von 3,62 bit, also eineRedundanz 2. Ordnung von 0,14 infolge von Paarkopplung.Der größte Teil der wirklichen Redundanz (Aufgabe17 .1.6) beruht also auf größerer Gedächtnislänge als 1.17.1.10. ÜbertragungskapazitätDas Zeichen 1 soll durch einen annähernd rechteckigenStromimpuls derDauerT gegeben sein. Um ihn aus harmonischenWellen zu bilden, braucht man nach Fourier ein Frequenzbandder Breite ~v ~ c 1 (z. B. Abschn.12.2.2).Einem Kanal mit der Bandbreite ~ v kann man also höchstens,-I ~ ~v Zeichen/s aufprägen. Man beachte: Manmuß jede beliebige Folge von 0 und l übertragen können.Wenn die Nachricht aus regelmäßig abwechselnden 0 undI bestünde, würde eine reine Sinuswelle der Frequenz ,-1ausreichen, aber eine solche Nachricht enthielte keine Information,denn man weiß schon was kommt. Beim Morsen (biszu vier Binärzeichen/Buchstabe) kommen noch die Überlegungenvon Aufgabe 17 .1.5 dazu. Wenn mehrere, z. B. kSymbole durch ihre Amplitudenniveaus unterschieden werdensollen, ist das gleichbedeutend damit, daß jedes Symbolaus ldk Binärzeichen besteht. Pro Sekunde können also~ v / ld k solche Symbole übertragen werden.17.1.11. GehirnkapazitätSinnlose Buchstabenketten kann man unter günstigsten Bedingungen,d. h. optisch, mit etwa sechs Buchstaben/s fehler-

..Kapitel17: Lösungen 1 1 1197IIIIfrei aufnehmen. Mit 4,7 bit/Buchstabe bedeutet das etwa28 bit/s. Einen sinnvollen Text liest man sehr viel schneller.Offenbar errät man das meiste, übersieht aber auchz. B. Druckfehler. Ein Schwarz-Weiß-Fernsehbild (625 x833 ;::.:; 5 · 105 Bildpunkte mit etwa 30 ;::.:; 25 unterscheidbarenHelligkeitswerten) enthält 25 · 10 5 bit - viel mehr alsder ganze Harnlet Der Kasten flimmert uns fast 108 bits/svor. Um die Information eines Bildes vollständig aufzunehmen,würde unser Sinnesapparat etwa 24 Std brauchen. ZumGlück ist das Bild meist einigermaßen sinnvoll, und vor allemscheinen die meisten Einzelheiten unwesentlich. Wennjemand alles aufnähme, was er im Leben sieht, käme er größenordnungsmäßigauf 10 17 bit. Sein Sinnesapparat kannaber höchstens 10ll bit aufnehmen. Das Gehirn verarbeitetviel weniger, sonst wüßte man ja soviel, wie in 104 dickenBüchern steht. 1 000 Seiten zu 2 000 Buchstaben: 107 bit.In Wirklichkeit enthält ein Buch viel weniger Information,sonst würde jedes Wort, jeder Buchstabe uns als unerwartetüberraschen, und das Buch wäre ungenießbar.17.1.12. Das letzte BitDa die Zauberin vier Karten sieht, kommen nur noch 48 Zielkartenin Frage. Die vier Karten im Umschlag können auf4! = 24 Arten angeordnet sein. Man kann diese Permutationennumerieren und den ebenfalls numerierten Zielkartenzuordnen. Es fehlt aber immer noch 1 bit Information, umdie 24 "Code-Wörter" auf 48 zu erweitern. Zauberers bewohnenzwei anstoßende Hotelzimmer. Dadurch, daß der Zaubererdem Zuschauer die Nummer eines davon nennt und dieserdann an die entsprechende Tür klopft, erhält die Zauberin dasfehlende bit.17.1.13. Protein-InformationEs kann 200 20 ;::.:; 10 46 verschiedene Proteinmoleküle derLänge 200 geben. Ob man die der Länge 199 mitzählt,macht kaum etwas aus, denn es sind 20mal weniger. Wenndie organische, besonders bakterielle und pflanzliche Substanzdicht gepackt die Erdoberfläche überall 10 cm dick bedeckt(Mittel von Wald, Wüste, Meer usw.), gibt es bei 3 %Proteingehalt etwa 10 18 g Protein auf der Erde. Eine Aminosäurewiegt im Mittel etwa 10- 22 g, also gibt es z. Z. kna~10 38 Proteinmoleküle, in 3 · 10 9 Jahren hat es maximal 10 5Moleküle gegeben. Zwar wäre jede Möglichkeit nach demZufallsspiel schon oft dagewesen. Aber die Kombinationvon mehr als drei bestimmten Proteinen wäre unmöglich zufälligzu erzeugen. Ein höherer Organismus enthält aber an10 24 Proteinmoleküle, die einigen 10 000 Klassen mit genaubestimmter Sequenz angehören. Die moderne Molekularbiologiebeginnt gerade das Wechselspiel von Regelung, Vererbung,Selektion zu enthüllen, das diese Hürde an Unwahrscheinlichkeitüberwunden hat.17.2.1. Mikro- und MakrozuständeDer Mikrozustand ist gekennzeichnet durch Angabe "rechts"oder "links" für jedes Molekül, der Makrozustand durch "nrechts, N- n links". Wahrscheinlichkeit (~)2-N und EntropieS = NlnN- Nln2- nlnn- (N- n)ln(N- n) sindmaximal für n = N /2. Obwohl die Übergangswahrscheinlichkeitenhin und zurück zwischen zwei Mikrozuständenvöllig gleich sind, besteht ein ausgeglichener Makrozustandaus soviel mehr Mikrozuständen als ein extremer, daß es vielsicherer ist, daß der extreme Zustand in irgendeinen der vielenausgeglichenen Mikrozustände übergeht als umgekehrt, besondersbei großem N. Die Entropie bei n = N /2 ist S ;::.:; 0,nach Abschn. 17.2.8 ist sie S = (W - F)/T = kN(ln V+const). Der scheinbare Widerspruch verschwindet, wennman nicht die Halbkästen als Grundlage der Fallabzählungnimmt, sondern Volumenelemente von konstanter Einheitsgröße.17.2.2. Arbeit und WärmeWenn der Zustand i eines Teilchens seine Energie b; ändert,kann das nur daher kommen, daß das Teilchen durch eineKraft F; um ein Stück dx; verschoben worden ist (z. B. durchdie Kraft eE): db; = F dx;. Voraussetzung ist, daß das Teilchenin diesem Zustand bleibt, d. h. daß dn; = 0. Damit istI: n;F; dx; die Summe aller Arbeiten, die man auf die Teilchenleistet. Wenn man den 1. Hauptsatz voraussetzt, mußI: b; dn; der andere Teil der Energieänderung, also die WärmezufuhrdQ sein. Man kann aber auch von der Definitionder Entropieänderung dS = dQ/T ausgehen. Aus (17.9)folgt dS = -k I: ln n; dn;. Die Boltzmann-Verteilung liefertlnn; = const- bi/(kT). Das erste Glied fällt in der Summeweg, denn I;dn; = 0. Also dS = T- 1 L;b;dn;, d.h.dQ = L;b;dn;.17 .2.3. Boltzmann-VerteilungDer einfachste Vorgang, der W konstant läßt, ist: "Ein Teilchenspringt aus i nach i + k, gleichzeitig springt ein Teilchenvon j nach j - k." Beim ersten Sprung ändert sich die Zustandswahrscheinlichkeitum den Faktor ni/ni+b beim zweitenum den Faktor n1jnJ-k· Die wahrscheinlichste Verteilungist die, bei der sich durch den Doppelsprung die Gesamtwahrscheinlichkeitnicht ändert, also n; / ni+k = nj-k / nJ. Für beliebigei, j, k ist das genau dann richtig, wenn die n; eine geometrischeReihe bilden: n; = n 0 qi = no eßb;. Das ist bereitsdie Boltzmann-Verteilung.17 .2.4. Entropiekraft17.2.5. Kräfte und Ströme17 .2.6. Onsager-RelationIn dem n + I-dimensionalen Phasenraum mit den Koordinatena1, .. . , an, S beschreibt die Funktion S = S(ai, ... , an)eine Fläche. Wo diese Fläche in S-Richtung am höchstenist, liegt das Gleichgewicht, der wahrscheinlichste Zustand.Das sei bei a; = a;o. Der Abstand in i-Richtung vondiesem Gipfel ist IJ.; = a;- a; 0 . In der Umgebung des Gipfelssieht der Berg immer aus wie ein Paraboloid:S = So - L; k l;klJ.ilJ.k. Die Krümmungen in verschiedenenRichtungen sind verschieden, weil die Parameter a; "naiv"gewählt sind und nicht so normiert, daß sie auf S alle dengleichen Einfluß haben. Es liegt keine Hauptachsendarstellungvor, d. h. die gemischten Glieder haben l;k # 0, weildie verschiedenen Parameter nicht nur unabhängige, son-

1198 Lösungen zu den Aufgabendem auch "gemischte" Effekte auf S haben, wie z. B. beithermoelektrischen, mechanokalorischen Effekten usw. Wirsetzen jetzt voraus, daß diese Entwicklung von S für praktischinteressierende Systeme immer gilt. Die Rechtfertigungist, daß ein System mit größerer Abweichung vonSo, d. h. mit zu geringer Wahrscheinlichkeit P, überhauptkeine Chance hat zu existieren. Für kompliziertere, besondersauch biologische Systeme gilt diese Annahme oft nichtmehr. - Das System sei nun an einer Stelle r:x; unterhalb desGipfels. Was macht es? Nach allen Seiten sieht es möglicheMikrozustände, in die es übergehen könnte, und zwar besondersviele in einer bestimmten Richtung. Das ist die Richtungdes Gradienten von S, denn S = k ln P, und P = Anzahl derMikrozustände. In dieser Richtung liegen auch wesentlichmehr Zustände als dort, wo das System z. Z. ist. Alle diese?-Unterschiede sind riesig, worüber ihr logarithmisch abgeschwächtesS-Bild nicht hinwegtäuschen darf. Das Systemwird sich also sehr wahrscheinlich in Richtung von grad Sverschieben. Wenn von Ihrem Standort 100 Straßen ins Stadtinnereführen und nur zehn hinaus, werden Sie ohne besondereMaßregeln sicher im Zentrum landen. Die Geschwindigkeitdes Systempunktes wird also&.; ~ oS I OIY.; = - Lk L;kiY.k(beim Ableiten bedenke man, daß jedes r:x; zweimal auftritt,als vorderer und als hinterer Faktor; L;k = l;k + lk;). Mit solcherendlichen Geschwindigkeit verlaufen alle Prozesse, derenRichtung eindeutig festgelegt ist, alle irreversiblen Prozesse.Reversibel sind nur Verschiebungen längs eines Grateskonstanter Höhe im S-Gebirge, wenn es solche Grate gibtoder sie vom Experimentator bewußt erzeugt werden. DasSystem verschiebt sich im S-Gebirge wie eine Kugel imV-Gebirge in einer viskosen Flüssigkeit, wobei v ~ F =-grad U ist. Wie dabei Leistung -U = v · F erzeugt wird,so entsteht hier ein Entropiezuwachs S = - L Ct.; oS / or:x;= Lik L;kr:xk&.;. Im V-Gebirge hat man sich daran gewöhnt,'die Möglichkeit zur V-Abnahme, d. h. die Kraft,als Ursache der Bewegung anzusehen. Im S-Gebirge betrachtetman gewöhnlich S als Folge des irreversiblen Vorgangs,aber auch die umgekehrte Ansicht ist sehr fruchtbar. Die Aussagenvon Aufgabe 17.2.5 unterscheiden sich nur in derSchreibweise vom Bisherigen. Die Symmetrie der L;k, dieOnsager-Relation L;k = Lk; hat sich aus diesem vereinfachtenModell automatisch ergeben. - Im Gleichgewicht angekommen,bleibt das System nicht auf dem Gipfel, denn dichtdabei liegen Zustände, die auch nicht viel unwahrscheinlichersind. Entscheidend dafür, wie weit das System vomGipfel abweicht, ist der Unterschied in P, d. h. in S. DasSystem schwankt innerhalb einer bestimmten "Höhenlinie",die ein Ellipsoid im a 1, ... , an-Raum darstellt. DerS-Berg ist ein logarithmierter Gauß-Berg. Die Standardabweichungder Gauß-Verteilung (J\pschn. 17.1.4) zeigt, daßdas System im Durchschnitt um eine S-Einheit, also um kunter dem Gipfel ist (Faktor e-1 iQ. P). In dem diskutierteneinfachen S-Profil zeigt grad S, also ;mch der &.;-Vektor, immerauf den Gipfel zu. Während des irreversiblen Prozessesändert sich also r:x;/r:xk nicht, es gilt rxkit.i = r:x;Ct.k. Setzt man hierCt.; = Lk L;krxk ein, sieht man, daß das nur möglich ist, wennL;k = Lki· Dieser Nachweis ist hier überflüssig, denn wir habenihn schon geführt. Mit einer ähnlichen Betrachtung gewinntaber auch Onsager seine Relation, ohne sich auf ein soeinfaches Profil festlegen zu müssen wie wir.17 .2. 7. ThermoelektrizitätDas System wird beschrieben durch die Spannung U undLadung q am Kondensator und die Temperatur der Lötstellen,besonders ihre Differenz 11T, die klein sei. Wenn dieWärmemenge Q von 2 nach 1 fließt, nimmt der Draht bei2 die Entropie dSz = dQ/Tz auf, bei 1 verliert er Entropie:dS1 = -dQjT,. Da T, < T2, ist dSz > ldS1I. d. h. Wärmeleitungerzeugt immer Entropie: dS = dQ /',.T jT 2 . Wenndie Ladungsmenge dq auf den Kondensator gebracht wird,entsteht im Draht die Joule-Wärme U dq, d. h. es wird dieEntropie dS3 = U dqjT erzeugt. Insgesamt ist die EntropieänderungS = Q 11T jT 2 + q_u jT = IQ 11T jT2 + IeU jT.Dieser Ausdruck hat die Form S = L l;X; mit den Flüssen11 = IQ, h = Ie. Als "Kräfte" sind anzusetzen X1 =11T jT 2 und X2 = U jT. Zwischen Flüssen und Kräften giltnach Aufgabe 17.2.5 IQ = L,ti1TjT2 +L,2U/T, le =L 21 11T jT 2 + L22 U jT. L11 und L22 sind im wesentlichenWärme- und elektrischer Leitwert: L22 = T jR, L11 =T 2 / RQ. L 12 und L21 beschreiben die thermoelektrischen Effekte.Nach Onsager ist L21 = L12, was jetzt absolut nichtmehr trivial aussieht. Bei fe = 0 und festem 11T, d. h. stromloserMessung mit dem Thermoelement folgt U / 11T =-L12/L22T. Diese Größe nennt man Thermokraft 17 (diescheinbare r-1-Abhängigkeit besagt nicht viel, bevor mandie T-Abhängigkeiten der L;k festlegt). Bei festem U und11T = 0 folgt IQ/le = L12/L22. Dieses Verhältnis zwischenWärme- und elektrischem Strom heißt Peltier-KoeffizientII (Abschn. 6.6.2). Aus L12 = L21 ergibt sich sofort dieThomson-Gleichung (6.105): II = ryT, die auf andere Weisenur sehr schwierig abzuleiten ist.17.2.8. Thermo-mechanische EffekteOffensichtlich haben 11T und /',.p zwischen den beiden Gefäßenetwas mit den "Kräften" zu tun, die irreversible Vorgängewie Strömung, Wärmeleitung, Diffusion antreiben. Der vernünftigeAnsatz für die Kräfte ergibt sich aber wieder erst ausder Entropieerzeugung. Wenn ein Wärmestrom IQ von 2 nach1 fließt, bedeutet das nach Aufgabe 17 .2. 7 eine EntropieerzeugungIQ /',.T jT 2 . Wenn eine Masse von dM mol von 2nach 1 fließt, verliert sie in 2 die Entropie sz dM, in 1 gewinntsie s1 dM. s; ist die molare Entropie. Nach (17.54)hat ein ideales Gas bis auf eine unwesentliche Konstantes = -~(In V +~In T). Also ist die Entropieerzeugungbeim Ubergang eines mol von 2 nach l: ds = R /',.V/V +~RI1T/T= -RI1pjp+~R11TjT. Die Entropieände~ungdurch Wärmestrom IQ und Massenstrom IM ist S =IQ 11T jT 2 +IM(~ R 11T jT - R /',.p / p). Zwischen Strömenund Kräften bestehen die phänomenologischen BeziehungenIQ = L 11 11T jT 2 + L12RG 11T jT- !1pjp),IM= L21 11T jT 2 + L22R(~ 11TjT- !1pjp).

"Kapitel 17: Lösungen 1199Bei AT= 0 ergibt sich IqjlM = L 12 /L22 , d. h. mit jedemMassenstrom IM ist eine "Uberführungsenergie" IQ verbunden:Mechanokalorischer Effekt. Wenn keine Masse mehrströmt (/M = 0), stellt sich zwischen Ap und AT der ZusammenhangAp/AT = L2lP/(LnRT2) + p/T ein. Dieses Verhältnisheißt inkonsequenterweise thermomolekulare Druckdifferenz.Aus L12 = L21 folgt Ap/AT = IQ/(/MVT) + p/Toder wegen dU = dQ - p dV mit Q* als reinem Wärmeeffektdes Massenstroms in J/mol: Ap/ AT= Q* /(VT). Wenn dasLoch zwischen den beiden Gefäßen groß ist (groß gegendie freie Weglänge), tritt keine Überführungswärme Q auf(Versuch von Gay-Lussac). Dementsprechend erwartetman auch im stationären Fall UM = 0), daß Ap = 0 ist,selbst für AT =1- 0. Bei sehr kleinem Loch oder feiner Membranergibt sich eine Überführungswärme Q* = ~RT, weilvorwiegend die schnellen Moleküle durchtreten. Damit folgtAp/ AT= ~p/T oder PI/P2 = JTI/T2 (Knudsen-Beziehung).17.2.9. StationaritätDer Stab hatte zunächst eine beliebige T-Verteilung. SeinEinschub erzeugt ein T-Profil mit einem oder mehrerenSprüngen zwischen den Reservoiren, das sich in einer durchdie Wärmekapazität des Stabes bestimmten kurzen Zeit in einlineares T-Profil verwandelt. Dann fließt durch jeden Querschnittgleichviel Wärme. Dieser Zustand ist stabil, denn jederBuckel im T-Profil würde sich schnell abbauen. In einenBuckel nach oben z. B. fließt "vorn" infolge des abgeschwächtenT-Gefälles weniger Wärme hinein, "hinten"fließt mehr heraus. Die Lebensdauer des stationären Zustandesselbst, bestimmt durch die Wärmekapazität der Reservoire,kann sehr viel größer sein. Im stationären Zustand ändertder Stab seinen Zustand nicht, also auch nicht seine Entropie.Da Wärme aber notgedrungen bei höherer Temperaturin ihn einströmt als sie ausströmt, fließt ihm weniger Entropiezu als er verliert. Um das auszugleichen, muß in seinem Innernständig Entropie erzeugt werden. Wenn ein WärmestromIQ fließt, ergibt sich eine Entropieerzeugung S' = IQ AT jT2(Aufgabe 17 .2.7). Auf die Volumeneinheit bezogen, ist dieErzeugungsrate (Quelldichte) a = jqT' jT2 = l(T' jT) 2 =Je( d ln T / ctxl. Als Quadrat ist diese Rate nichtnegativ, wiesie es sein muß. Im stationären Zustand ist die GesamterzeugungS = Ja dx kleiner als für j~de andere mit den Randbedingungenvereinbare T-Verteilung. Das folgt aus der Euler­Lagrange-Gleichung der Variationsrechnung: J F(x, y, y') dxist extremal, wenn dFy' /dx = Fy. Hier ist y = ln T, F = y' 2 ,also Fy = 0 und demnach y 11 = 0. Bei kleiner T-Differenzläuft diese eigentlich exponentielle T-Abhängigkeit aufeine lineare hinaus.17.2.10. Satz von PrigogineWenn man z. B. im Thermoelement von Aufgabe 17 .2. 7 ATfesthält, fließt zwar immer Wärme durch den Draht, aber derelektrische Strom wird bald Null werden, nämlich wenn derKondensator bis zur Thermospannung U = 17 AT aufgeladenist. Dann verschwindet die zusätzliche Entropieerzeugungin folge Joule-Wärme. Allgemein: X1, ... , Xk seien festgehal-ten .. Die Entropieerzeugung ist S = 'L'.J.;Xi = 'L'.; .. LijX;X1.Ihr Minimum ergibt sich aus as I oX; ~ 0 ='L'- 1 (Lij + LJi )XJ = 2 'L'. LijXJ für i = k + 1, ... , n. Dies besagtl; = 0 für diese i-Werte. Der beschriebene Zustandheißt Stationarität k-ter Ordnung.17.2.11. Minimale EntropieerzeugungEin Fluß wird immer durch eine Abweichung von der Stationaritätausgelöst und versucht, diese Abweichung zu verringern.Dieses Prinzip von Le Chatelier-Braun läßt sich ausÜberlegungen ähnlich Aufgabe 17.2.10 ableiten und verallgemeinern.Stationarität bedeutet Verschwinden der entsprechendenFlüsse, wie aus dem Prinzip der minimalen Entropieerzeugungfolgt. Ein System muß daher von einem beliebigenAusgangszustand aus Stationantäten immer niedererOrdnung durchlaufen, bis zur nullten Ordnung, dem echtenthermischen Gleichgewicht. Wie lange es sich in den einzelnenZuständen aufhält, hängt von den Umständen ab. DasPrinzip der minimalen Entropieerzeugung spielt für dieTheorie der stationären Zustände eine ähnliche Rolle wiedas Prinzip der maximalen Entropie für die Gleichgewichtstheorie.Während sich aber im Gleichgewicht nichts ändert,erfassen stationäre Zustände höherer Ordnung Prozesse vonimmer größerer Kompliziertheit.17 .2.12. IsotopieeffektDie Unschärferelation erlaubt einem Teilchen nie, amBodeneines begrenzten Potentialtopfs zu sitzen, sondern mindestensum die Nullpunktsenergie darüber. Diese hat für einenRechtecktopf der Breite d den Wert Wo = p 2 /(2m) =h 2 /(8md 2 ), für einen Paraboltopf Wo= ~nw = ~n~(Aufgabe 16.3.1). Beides kommt etwa auf dasselbe hinaus,da man die Breite des Paraboltopfes durch D = 2W0 jd2 definierenkann. Der Paraboltopf ist aber dem Problem angemessener,denn z. B. auf Proton und Deuteron wirken gleichgroßeRückstellkräfte, die etwa proportional zur Auslenkungaus der Ruhelage sind. Mit d ~ 10- 10 m folgt Wo ~0,03/ f1 e V, wo f1 die relative Molekülmasse ist. Im Exponentender Boltzmann-Funktion, die die Reaktionsrate bestimmt,steht W /(kT), also ist dieser Exponent betragsmäßig beiZimmertemperatur für H um 0,2 größer als bei D, bei 16 0um 0,02 größer als bei 18 0. Wenn sich nicht nur ein Teilchenbewegt, sondern auch der Rest des Moleküls, an den es gebundenist, ersetze man m durch die reduzierte Masse(Abschn. 12.4.4), die bei großem Massenunterschied nurdurch den leichteren Partner gegeben ist. Das Proton solltedanach um den Faktor 1,2 schneller reagieren als das Deuteron,das 160 um den Faktor 1,02 schneller als das 18 0.Das ist die "normale" Richtung des kinetischen Isotopieeffekts.Manchmal ist der Potentialtopf des aktivierten Komplexesenger, also das entsprechende Wo größer. Dann reagiertumgekehrt das· schwere Teilchen schneller. Das Konzentrationsverhältnisim Gleichgewicht hängt nur von derDifferenz der Anfangs- und Endwerte G und G' ab. Ist derEndtopf tiefer und enger, also sein Wo größer, dann istn~/nH < n~/no. Bei der Verdunstung hat das Wassermolekülnur im Anfangszustand (flüssig) einen Topf und ein Wo,

1200 Lösungen zu den Aufgabender Dampfzustand entspricht einer Hochebene. Also verdampftHzO leichter als HDO (DzO ist noch viel seltener).17.3.1. GlühemissionFür den Austritt aus dem Metall kommen nur die Elektronenim Ausläufer der Fermi-Verteilung in Betracht, denn dieFermi-Kante liegt tief unter dem Potential, das die Elektronendraußen haben. Dieser Ausläufer fällt wie die Maxwell­Verteilung mit e-W/(kT) ab, aber von einem ganz anderenAnfangsniveau aus. Wir vergleichen die Dichten im Geschwindigkeits-oder Impulsraum bei den beiden Verteilungen.Bei Maxwell verteilen sich N = n V Teilchen über eineKugel mit dem Impuls p = V3mkT als Radius, d. h. über dasPhasenvolumen V~7r(3mkT) 3 1 2 . Die Phasenraumdichte ist3n/(47r(3mkT) 3 f 2 ). Bei Fermi ist die Phasenraumdichteeinfach 2jh3 . Das Maxwell-Ergebnis (Aufgabe8.1.2) jM =f,enJ3kT fme-w /(kT) für die Emissionsstromdichte ist mitdem Verhältnis der beiden Phasenraumdichten zu multiplizierenund wird somitjp = 47remh-3k2T 2 e-w /(kT). DerZahlenfaktor47remk 2 jh 3 ist 1,2 · 10 6 A/m2 K 2 , und zwar unabhängigvon der Elektronendichte n, weil nur durch die Phasenraumdichteder Fermi-Verteilung bestimmt. Mit einer Reflexionswahrscheinlichkeit!an der Potentialstufe der Metalloberflächeergibt sich genau der beobachtete Wert.17.3.2. SupernovaWenn ein Stern der Masse M::::; 1030 kg mit w::::; 200 s-1 rotiert,bleibt er nur dann heil, wenn die SchwerebeschleunigungGM/ R 2 an seiner Oberfläche größer ist als die Fliehbeschleunigungw 2 R, d.h. R <

Kapitel 18: Lösungen 120117.3.7. Weiße ZwergeEin Stern bricht zum Weißen Zwerg (oder, wenn er zu schwerist, sogar zum Neutronenstern oder Schwarzen Loch) zusammen,wenn sein fusionierbares Material im wesentlichen aufgebrauchtist. Über den Kern des ausgebrannten Sternsschichtet sich eine Hülle aus normalem Gas, deren Masseausreicht, um den Fermi-Druck von einigen Mbar zu erzeugen.Im riesigen Schwerefeld des kontrahierten Sterns.(lOOmal kleinerer Radius, also IOOOOmal höheres g alsfür die Sonne, 300000mal höheres g als auf der Erde) reichtdazu eine erstaunlich dünne Hülle: 1 kg/cm 2 liefert auf derErde 1 bar und auf einem solchen Stern fast 1 Mbar. Die Gasatmosphäredes Weißen Zwerges ist also auch nur wenige kmdick. Darunter liegt das Fermi-Gas aus quasifreien Elektronen,durchsetzt natürlich von den Restionen. Es hat enormeelektrische und Wärmeleitfähigkeit, so daß sich darin kaumT-Unterschiede ausbilden können. Die Temperatur, die vomFusionsbrennen her noch mehrere Mill. K beträgt, beherrschtalso den ganzen Stern bis an den Grund der dünnen Hülle, dienatürlich nicht so undurchlässig ist wie die sehr viel dickereHülle des jüngeren Sterns. Daher leuchtet der Weiße Zwergmit extrem hoher Strahlungstemperatur (meist weit über20 000 K), bis die Wärmeenergie, die überwiegend in denIonen steckt, verbraucht ist (Beitrag der Elektronen wie imMetall sehr klein). Durch Kontraktion kann der WeißeZwerg nur geringe Energiemengen freisetzen, denn derDruck des Fermi-Gases hängt kaum von T ab, nur von derDichte, und daher ist seine Struktur stabil, egal wie hochT ist. Allein die thermische Energie (um 1040 J), die wegender winzigen Oberfläche nur langsam abgestrahlt wird (etwa10 22 W), hält aber für etwa 109 Jahre vor. Sobald beim Abkühlendie thermische Energie etwa gleich der Coulomb­Energie wird, "kondensiert" das Fermi-Gas: Die Teilchenordnen sich zum regelmäßigen Gitter. Die Teilchenabständeliegen zwischen 10-11 und 10-10 m, die Coulomb-Energiezwischen 10 und lOOeV, die "Gefriertemperaturen" zwischen10 5 und 10 6 K.17 .3.8. SuprafluiditätBosonen, d. h. Teilchen mit ganzzahligem Spin wie 4 He mitje zwei Protonen, Neutronen und Elektronen gehorchen derBose-Einstein-Statistik und können jeden Energiezustand inbeliebiger Anzahl besetzen. Wenn nicht die interatomarenBindungskräfte das durch Kristallisation verhindern, kondensierenbei Abkühlung also immer mehr Teilchen im Zustandohne thermische Energie. Damit sinkt die spezifische Wärmekapazität.Viskosität beruht auf dem Impulsaustausch zwischenverschieden schnell strömenden Schichten infolgethermischer Querbewegung. Ohne diese gibt es keine innereReibung, die das Fließen in hauchdünnen Schichten oder Kapillarenhemmte. Die Wärmeleitung beruht immer wenigerauf Stößen zwischen schnelleren und langsameren Teilchen:Wenn normale Flüssigkeit an die kalte Stellekommt, wandelt sie sich teilweise in suprafluide um und umgekehrt.Normales He führt aber thermische Energie mit, suprafluidesnicht. Der 3He-Kern ist ein Fermion. Alle anderenElemente, selbst Edelgase, haben zu hohe Bindungskräfte,daher wird 4 He wohl die einzige Supraflüssigkeit bleiben.= Kapitel18: Lösungen ...18.1.1. Lineare Vielfalt ITabelle L. 9n b c d T D i.l A~ ().1;«) (i.1ba)- -I 3 - I - 2 - 6 II komplex- 2 3 I - 4 -6 - 5 - I 5 0.333 - I-2 3 -4 2 0 komple"- I 2 6 9 3 3 - I - I- 2 .j - 3 3 6 mph:I - 3 5 6 4 2 I2 4 3 6 0 0 I. - 0.2 3 - 3 - 4 - 2 - I I - I - I- 3 2 6 - 4 - 7 0 -7 0 - 2 -1.5-4 2 -2 -6 -2 0 17 -6.316 2.1 9 -1.1592 3 I - 4 -2 -II 2.464 - -1.464 0.155 - 2.155- 2 3 2 0 - 7 2.646 - 2.646 4.646 - 0.6462 3 2 3 - 4 4 - I I. -I18.1.2. Lineare Vielfalt IIDurch die Translation, die die Inhomogenität b beseitigt, habenwirden einzigen Fixpunkt nach 0 geschoben (das homogeneGleichungssystem Ax = 0 hat nur die Lösung x = 0,falls A die Determinante D = 0 hat; den Fall D = 0 erledigenwirin den Aufgaben 18.1.4 und 18.1.7). A habe die SpurT (Summe der Diagonalelemente). Die Eigenwertgleichung.?.. 2 - n + D = 0 hat die Lösungen .?.. = T 12 ±! .JT2 - 4D.Bei D < T2 14 gibt es zwei reelle, bei D = T2 I 4 einen reel-Jen, bei D > T2 I 4 zwei konjugiert komplexe Eigenwerte. Imkomplexen Fall bestimmt das Vorzeichen von T, ob der Realteilpositiv ist (Orbits sind Auswärtsspiralen) oder negativ(Einwärtsspiralen) oder Null (geschlossene Zyklen). Eigengeraden,an die sich die Orbits anschmiegen, gibt es nicht:Die Eigenvektoren sind auch komplex. Anders im reellenFall D < T2 14: Hier teilen die Eigengeraden die Ebene invier Sektoren. Jede Trajektorie bleibt immer in ihrem Sektor.Bei T2 I 4 > D > 0 ist die Wurzel kleiner als T 12, alsohaben beide .?.. das gleiche Vorzeichen, nämlich das von T .

IIIIII1202 Lösungen zu den AufgabenBei T > 0 laufen alle Orbits auswärts (Gipfel), bei T < 0einwärts (Senke). Bei D < 0 haben die A, verschiedene Vorzeichen:Es gibt eine Einwärts-, eine Auswärts-Eigengerade,zwischen ihnen laufen alle Orbitsam Sattelpunkt 0 vorbei. Esbleibt der Fall D = T 2 I 4. Die Freude über den einzigenEigenwert A. ist verfrüht: Man braucht auch hier zwei unabhängigeEigenlösungen. Die erste heißt wieder eh, die zweitet eJ.t. Die Orbits schmiegen sich der einzigen Eigengeradenan, einwärts oder auswärts, je nach dem Vorzeichen vonA, = T 12. Für das diskrete System x +- Ax lautet das Eigenwertproblernx = Ax oder (A - E)x = 0. Statt A muß mandann die Matrix A - E analysieren.18.1.3. Chemische KinetikIn der Chemie wird die Produktions- oder Zerfallsrate x; einerTeilchensorte direkt geregelt durch die vorhandene Konzentrationx; dieser Teilchen und evtl. durch die KonzentrationenXb k -I i anderer Teilchen, mit denen i wechselwirkt Elementarechemische Wechselwirkungen sind monomolekular(z. B.: ein Teilchen i zerfällt in ein Teilchen k) oder bimolekular(k und l reagieren und erzeugen i). MonomolekulareReaktionsraten haben die Form a;kXb bimolekularea;ktXkXt. Das System x; = ~k a;kXk beschreibt also monomolekulareÜbergänge. Normalerweise ist a;k > 0 und a;; < 0(außer bei autokatalytischen Reaktionen), denn je mehr k dasind, desto öfter entsteht ein i daraus, aber i zerfällt um soschneller, je mehr davon da ist. Auch allgemeinere Reaktionssysteme(mit bimolekularen Übergängen) lassen sich linearisierenauf die angegebene Form, wenn man als x; nurdie kleinen Abweichungen von den Gleichgewichtskonzentrationenbezeichnet. - Das System x = Ax läßt sich lösen,indem man das Koordinatensystem dreht, was für x die Multiplikationmit einer orthonormalen Matrix S bedeutet: DerVektor heißt in den neuen Koordinaten x' = Sx. Für das Gleichungssystembedeutet das x' Sx SAxSAs-'sx = A'x', d. h. die neue Matrix ist A' = SAS- 1 •Nun wähle man S so, daß seine Spaltenvektoren alle Eigenvektorenvon A sind. Dann ist nämlich A' eine Diagonalmatrix:In der Diagonale stehen die Eigenwerte von A, außerhalbder Diagonalen nur Nullen. Das folgt aus der Definitionder Matrizenmultiplikation. Das System zerfällt dann inlauter ganz einfache Gleichungen: .x; = a;x';, also x; =x'; 0 ea;t. Rücktransformation mit s- 1 liefert x;. Die Konzentrationensind als Summen von Exponential- oder gedämpftenSinusfunktionen darstellbar (je nachdem, ob der betreffendeEigenwert a; reell oder komplex ist). Wenn alle Eigenwertenegativen Realteil haben, klingen alle diese Funktionenab. Dann herrscht stabiles Gleichgewicht. Andernfallsklingen die Abweichungen vom Gleichgewicht ins Unendlichean.18.1.4. HomogenisierungWir suchen einen Verschiebungsvektor v, so daß in den neuenKoordinaten y = x + v das konstante Glied wegfällt. Dazumuß Av = b sein. Eine solche Lösung v dieses inhomogenenSystems existiert nicht, wenn A die Determinante 0 hat. Dannsind die Zeilenvektoren von A linear abhängig (die Spaltenvektorenauch), d. h.: Eines der x; läßt sich linear aus denanderen kombinieren, und dasselbe gilt für dieses x;. Manbraucht sich also nur mit den übrigen zu beschäftigen.Wenn deren Systemdeterminante nicht 0 ist, hat man die Ordnungreduziert; sonst kann man noch weiter vereinfachen.18.1.5, EigenvektorenDie Matrix ( ~ :) hat die Eigenwerte A1,2 = (a + d)l2 ±! J(a- d) 2 + 4bc. Eigenvektor ist jeder Vektor derGeraden y = (.1- a)xlb. Ein Systempunkt auf einer solchenGeraden wandert gemäß x = xo eJ.t. Jede andere Trajektorieläßt sich aus beiden Eigenvektoren kombinieren wiex = CJXJO ei'~ 1 + c2x2o e;'21 . Bei großen t gewinnt das größereA: Die Trajektorien werden dann parallel zum entsprechen"den Eigenvektor.18.1.6. Spiralenx = ax + by löse man nach y auf und setze dies in die y-Gleichungein. Man erhält x- (a + d)x + (ad- bc)x = 0, wassich wie im Fall der gedämpften Schwingung löst: x =efl 1 (x 1 cos(wt) + x2 sin(wt)) mit p. = (a+d)l2, w =! J -(a- d) 2 - 4bc. y(t) sieht entsprechend aus mit denKonstanten Yl = ((p.- a)x1 + wx2)lb, Y2 = ((p.- a)xz -wx1) lb. Überall auf dem Radius y = mx (m = tan q,>) giltx = (a+mb)x, y = (c+md)x, dyldx = tanß =(c- md)l(a + mb). Für den Winkel y = ß- q,> zum Radiusgilt tan(ß - q,>) = (c + md - ma - m 2 b)l(a + mb + mc + m 2 d). Die x-Achse (m = 0) wird untertany=cla, die y-Achse (m=oo) unter -bld geschnitten.Orbits laufen parallel zum Radius bei m =(d-a± J(d- a) 2 + 4bc)l(2b). Das sind die Steigungender Eigengeraden, die bei 4D > T2 im Reellen nicht existieren.In diesem Fall echter Spiralen schneiden alle Orbits einenRadius unter dem gleichen Winkel, der aber für jedenRadius anders ist, im Gegensatz zur logarithmischen Spiraler = ro earp, wo tan y = 1 I a für alle Radien gleich ist, oder zurarchimedischen r = aq,>, wo tan y = r I a ist (je weiter außen,desto steiler; die beiden letzten Beziehungen folgen austan-y = r dq,> Ir, was man leicht aus der Zeichnung abliest).Den Abstand zwischen Spiralarmen finden wir z. B. aufder x-Achse: x = 0 =? tan(wt) = -xJ/xz. Zeitlicher Abstandßt r::::: 1rlw, räumlicher folgt aus rn+J/r 12 r::::: 1rp.lw.Die Iog-Spirale hat hier exakt e2·m, die archimedische hatkonstanten Abstand 2Ira.18.1.7. D = 0Wenn die Determinante D = 0 ist und damit ein Eigenwert 0,der andere T = a + d, sind die beiden Gleichungen x und ylinear abhängig: y = cx I a, d. h. eine ist eigentlich überflüssig.Es bleibt z. B. x = ax + by. Das wird 0, und y ebenso, aufder ganzen Geraden y = axlb. Auf diese Gerade streben alleOrbits zu oder von ihr weg, und zwar bilden sie ihrerseitsGeraden y = cx I a. Speziell bei b = c stehen sie senkrechtauf der "Fixgeraden".

Kapitel 18: Lösungen 120318.1.8. FeldlinienIn einem Potentialfeid kann man die Feldstärke, hier i:, alsGradient einer Potentialfunktion ip(x, y) darstellen: i: =(x,y) = (f(x,y),g(x,y)) = -(qJx,(/Jy)· (Index: Partielle Ableitung.)Wenn eine solche Funktion existiert, spielt die Reihenfolgeder Ableitungen nach x und y keine Rolle: Es muß(/Jxy = (/Jyx sein (Cauchy-Riemann-Dgl.), was hier bedeutetjy = gx und im linearen System zweiter Ordnung mit derMatrix ( ~ ! ) einfach b = c. Die Matrix muß symmetrischsein. Nach Aufgabe 16.1.4 sind die Eigenvektorendann orthogonal, die Eigenwerte ~ (a + d) ±~V (a - d) 2 + 4b2 immer reell. Das Potential (/1 ist leichtzu finden: qJ = -(~ax 2 + bxy + ~dy 2 ). Die Koordinatendrehung,die A diagonalisiert, bringt (/1 auf die Form(/1 = - ~ (.~. 1 x2 + A2y2). Niveaulinien sind Ellipsen- bzw.Hyperbelscharen, je nachdem, ob die Eigenwerte gleicheoder verschiedene Vorzeichen haben. Damit ein System dritterOrdnung ein Potential hat, muß rot x = 0 sein (vgl. Aufgabe6.1.4). Mitx = (u, v, w) bedeutet das Wy = Vz, Uz = Wx,Vx = uy. Auch die 3 · 3-Matrix muß symmetrisch sein, dieEigenwerte sind reell, die Eigenvektoren orthogonal.18.1.9. GrenzzyklusNatürlich ist dies nur eine hinterlistige Verkleidung vonr = r- (b- ccosrp)r2, ip = alr2, wie man mühsam feststellt.Einen Fixpunkt gibt es nicht, denn ip wird nie 0.r = 0 liefert den Grenzzyklus r = l I ~b- c cos (/1 ), der mitder Winkelgeschwindigkeit ip = alr durchlaufen wird.Das sieht aus wie der Flächensatz, das zweite Kepler-Gesetz,und tatsächlich gibt r( rp) mit b = 1lp, c = elp die Polarformder Kepler-Ellipse. Bezeichnen wir das Grenzzyklus-r( (/1) alsr 0 (rp) und nehmen eine kleine Abweichung Q(rp) davon an,dann gilt r=ro+i!=ro+Q-(rÖ+2roQ)(b-ccosrp),also (! = -Q: Die Abweichung klingt mit Q = Qo e- 1 ab,die Bahn ist stabil. Natürlich ist damit nichts über die Stabilitätdes Sonnensystems gesagt, denn der Grenzzyklus wurdeauf ganz mechanik-widrige Weise erzwungen, wie schon dieunsinnigen Einheiten zeigen.18.1.10. Linearer GrenzzyklusWir schreiben die n Systemgleichungen für die n Komponentenvektoriell: i: = Ax + b. Es soll i: = 0, alsoAx = -b sein. Bei b =/= 0 und einer Determinante lA I =/= 0gibt es genau eine Lösung, d. h. genau einen Fixpunkt(Berechnung nach der Kramer-Regel). b = 0 und lAI =/= 0läßt nur die "triviale" Lösung x = 0 zu; dort ist der einzigeFixpunkt. Den Fall lAI = 0 studieren wir für n = 2:ax + by = -c, dax + dby = -e führt zum Widerspruch,außer bei e = dc. In diesem Fall ist jeder Punkt der Geradeny = -(ax + c)lb eine Lösung von i: = 0. Aber es gilt jay = dx, also y = dx + f (j = Yo- dxo). In die erste Gleichungeingesetzt: x = (a + bd)x + c + bf = Ax + B mitder Lösung x = (x0 + BIA) eAt- BIA. Bei A > 0 geht dasgegen Unendlich, bei A < 0 gegen -BIA. Die Anfangsbedingungenselektieren also nur höchstens einen Punkt derGeraden als Fixpunkt. Grenzzyklen gibt es in linearen Systemennicht.18.1.11. PendelBewegungsgleichung mli:i. + mg sin a = 0. Der Phasenraumhat die Koordinaten a und a. Der Energiesatz liefert Wkin= ~ mz2a 2 = Wpor = mgl( cos IY.- cos ao), vom Vollausschlagao an gerechnet, also a = vfii!l..Jcos a - cos ao. Beim kopfstehendenPendel ao = 1r folgt a = vfiill..jl + cos a =vfiillcos(al2). Diesecos-Linie trennt die geschlossenenTrajektorien ohne Überschlag von den offenen mit Überschlag.Nur ganz innen (für kleine a0 ) liegen die Ellipsendes linearen Schwingers.18.1.12. ElektronenstoßDer Energiesatz liefert die geschlossene Lösung v =e I ..j2m3om,/1 Ir - 1 I ro. Bei r = ro, vo = 0 beginnt eine zunächstgeringe Beschleunigung; nahe dem Proton kommt esauf die Anfangswerte kaum noch an; dazwischen liegt einWendepunkt bei r = 3rol4 (Nullsetzen der zweiten Ableitung).Über die Grenzkurve v = e I ..j2Jrmeor für ro = ookommt keiner hinaus, der mit vo = 0 beginnt.18.1.13. AbsturzDies ist nicht mehr geschlossen, sondern nur noch durch Iterationlösbar: mv = mg- !AQo e-h/Hv 2 . Wir wissen aber:Nach kurzer Zeit mündet v(h) in die stationäre Kurvev, 1 "' e-h/(ZH) ein, die sich aus der Gleichheit von Schwerkraftund Luftwiderstand ergibt. Diese Einstellzeit folgt annäherndaus gt = Vsr. ist also in der Höhe länger.18.1.14. MeteoritOberhalb von etwa 80 km ist die Luft so dünn, daß abgesehenvon der leichteng-Änderungdie liegende Parabel des freienFalles herauskommt. Um 80km geht sie in die e-Kurve derstationären Geschwindigkeit über. Diese Höhe sinkt, die Endgeschwindigkeitsteigt mit zunehmender flächenbezogenerMasse des Körpers.18.1.15. StabilitätsbedingungGraphisch: Ein Fixpunkt von x +-- f(x) ist ein Schnittpunktder Kurve y =f(x) mit der Geraden y = x. Die Spinne,die von x zur Kurve steigt und dann waagerecht zur Geradengeht, um das neue x zu finden usw., landet schließlich imFixpunkt, falls die Kurve die Gerade dort von oben kommendschneidet, aber nicht steiler als 45° (vgl. Aufgabe3.3.27). Analytisch: In der Nähe des Punktes x, mitXs = f(xs) schreiben wir x = x, + u und linearisierenXs + ut+! =f(xs + u1) =f(x,) + f'(x,)u1, also Ut+I = Au1mit A = f'(x,). Danach ist u 1 = A 1 uo. Dies geht gegen 0oder gegen oo, die Abweichung von x, verschwindet alsooder wächst unbegrenzt, je nachdem, ob lf'(xs)l § 1.18.2.1. Ein IntegralEs s_ei 1,: = I ~in 211 x dx. Der Integrand sin 2 n-I x sin x ~r~i~t,partteil mtegnert, - sm 2 "- 1 x cos x - (2n - 1) I sm " 2x cos 2 x dx. Mit den Grenzen 0, 1r 12 verschwindet der ersteTerm. Im zweiten setzt man cos 2 x = 1 - sin 2 x, womit

1204 Lösungen zu den Aufgabenman hinten wieder In erhält, das man natürlich mit dem vorderenzusammenfaßt In=! (2n- 1)In-I / n. So arbeitet mansich hinunter bis /0 = .Jo/2 sin 2 xd.x = 7r/4 (die sin 2 -Kurveschwingt symmetrisch um y = !). Also z. B. I3 =-!7r5·3·1/(6·4·2)=-!7r(-~1 2 ). allgemein In=( -1 r ! 7r ( - ~ 2 ).18.2.2. Noch ein IntegralEine Entwicklung nach cos a würde sehr schlecht oder garnicht konvergieren, weil dies sogar größer ist als cos a0 .Etwas besser sähe es aus, wenn man cos a = cos2 ( a / 2) -sin 2 (a/2) = 1 - 2 sin 2 (a/2) benutzt, also sin 2 (ao/2) -sin 2 (a/2) betrachtet, denn hier ist das zweite Glied meistkleiner als das erste, obgleich immer noch zu groß füreine vernünftige Entwicklung. Außerhalb haben die Integraleüber die einzelnen Glieder der Reihe, d. h. übersin 2 "(a/2), nur dann einigermaßen handliche Form, wenndie Integration sich von 0 bis 1r / 2 oder 1r erstreckt. Dies erreichtman, wenn man sin ( a / 2) / sin ( ao / 2) = sin v setzt undsomit dena-Bereich (O,ao) in den v-Bereich (0, 7r/ 2) transformiert.Wegen cosvdv = 2cos(a/2)da/sin(ao/ 2) gehtdann das Integral in ein sog. elliptisches Integral zweiter Gattungüber, und seine Binomialentwicklung lautet mit k =sin(ao/2)l rr/2dv001"0- 1/2---r==~=;;= = L ( ) (0 V 1 - k2 sin2 v n=O 0 n- k 2 sin 2 vt .Das Integral über sin 2 " v dv enthält merkwürdigerweise genauden gleichen Faktor (Aufgabe 18.2.1): .Jo/ 2 sin2" vdv= ~ ( -1 t (- ~ 2 ) . So erhält manr 0 interessieren uns große w. Bei mw 2 » D,mw2 » F/ x folgt aus (18.16) die Amplitude x1 ~J4m/(3E) w. Die nächste Näherung schreiben wir x1 =y'4m/ (3E) w + E und setzen dies in (18.16) ein, wobeiwir natürlich nur bis zum in 8 linearen Glied gehen. Es folgtunter Beachtung der Näherung 8 = - D/(2w)J4/(3mE).Der "Rüssel" (von dessen beiden Ästen eigentlich der eineim Positiven, der andere im Negativen liegt: Wurzelvorzeichen!Phasensprung um 1r beim Übergang vom einen zumanderen) wird nach rechts zu immer schmäler, seine Achsebildet die Gerade x = J 4m/ (3E) w. Im Fall E < 0 gibt esdann und nur dann drei Lösungen, also einen "Rüssel",wenn D > 3 ( F 2 E) 11 3 ist. Hier interessieren kleine w, speziellw = 0. Wie das w 2 in (18.16) zeigt, ist das ganzeXJ (w)-Bild symmetrisch zur x1-Achse, die Kurven schneidenalso diese Achse alle rechtwinklig (auch bei E > 0).Wie dick ist der Rüssel dort? Es geht um den Abstand zwischender größeren positiven und dem Betrag der negativenLösung vonx 3 - 4Dx/(3IEI) + 4F / (3IEI) = 0. Dax1 +x2 +x3 = 0 (kein quadratisches Glied vorhanden), ist dieser Abstandgleich der dritten Lösung. Wenn diese klein ist, ist diegleiche Näherung wie oben erlaubt und liefert eine halbeBreite E = -F / (2D).18.2.5. Van der PolVom Fourier-Ansatz x = L::::o an cos(nwt) + bn sin(nwt)brauchen wir im kleinen Störglied -8(x~ - x2)i nur diecos-Grundschwingung: - 8 (x~ - arcos2(wt))al w sin(wt) =-W J W (x~- aT/4) sin(wt) - (aT/4) sin(3wt) (vgl. BeispielS. 972). Dies muß gleich - mw 2 L:n 2 (an cos(nwt) +bn sin(nwt)) + D 'L:(an cos(nwt) + bn sin(nwt)) sein. DerKoeffizientenvergleich gibtTabelle L. 10au den co -Gliedernk= lmai = Dlt. - 2 (/! = 0k- 3 Cl3- 0au den sin-Giiedem0] = 2xtb! =018.2.6. Nichtlinearer SchwingkreisbJ = -w~w/(3 -D )&wxt/(40)j = (Uo cos(wt) - Rl - U) j L, U = I j(C(U / UI + 1)), mitx = U/ Uo, y = RI/ Uo, z = wt wird daraus x' =By(Dx + 1), y 1 = A(cos z- x - y). Bei A = 0,06, B = 10,D = 3 Dreierperiode, die schon bei D = 3,1 in eine Neunerperiodeaufspaltet. Die beste Annäherung ans Realexperimentergibt sich bei AB~ 10. Sinusform gilt nur, wenn beideGin. effektiv linear sind, also bei x « 1/ D, d. h. U « U1.Dann ist x = x 1 eiz, y = YI eiz mit komplexen x1 und Yl · Einsetzenliefert y1 = A / (A + i - iAB), x 1 = AB/(AB- 1 + i).Die Dgl. sind nichtautonom, formal kommt eine dritte dazu,nämlich z = w oder z! = 1, womit Poincare- Bendixson zufriedensind. Bei der normalen Diode sind U und I direktgekoppelt: I= lo(eeU/(kT)- 1), nicht U und Q wie beimVaraktor. Dann haben wir nur eine Gleichung Li + RI +(kT/ e) ln(I/ Io + 1) = Uocos(wt) bzw. zwei formal autonomeeinschließlich z = w.

IIIIKapitel 18: Lösungen 120518.2.7. SchaukelDas Kind verschiebt seinen Schwerpunkt mit der doppeltenFrequenz der Schaukel um ! 1 sin(2wt) gegenüber der mittlerenLänge lo der Aufhängung. x = xo sin(wt), y = l =lo + l1 sin(2wt) ergibt die verlangte "liegende Acht". Nunist sin(2wt) = 2sin(wt) cos(wt) = 2xij(wxÖ), also l =lo + 2llxxj(wxö). In der Pendelgleichung mi + kX + mgxjlwürde dann die Summe im Nenner mehr stören als im Zähler.Da l1 « lo, können wir schreiben l = lo + l1 sin(2wt) ~lo/(1- (IJ/lo) sin(2wt)) und erhalten mi + mgxflo +.i(k- 2mgl]x2 f(lÖwXÖ)). Das ist eine van der Pol-Gleichung,allerdings mit umgekehrtem Störglied-Vorzeichen:Dämpfung bei k > 2mglJ/(wlÖ) (bei zu kleinem /1 kommtdie Schaukel nicht in Gang), andernfalls wird die Schwingungangefacht, in dieser Näherung unbegrenzt.18.2.8. Beta-FunktionAus l(a, b) = Id .x"(l - x)b dx erhalten wir durch Raufintegrierenvon .x" und Runterdifferenzieren des anderen Gliedesb j ( a + 1) I ( a + 1, b - 1) (der Term ohne Integral ist 0 wegender Grenzen). Dies treiben wir, falls b eine natürlicheZahl ist, weiter bis I(a + b- I, 0) = Ij(a + b). Inzwischensind b Faktoren davorgerutscht I(a,b) = b(b -1) ... 1/((a+l)(a+2) ... (a+b)) = b!a!j(a+b)!, allgemeinl(a, b) = r(a + 1)F(b + 1)/F(a + b + 1) auch für unganzea,b. Mit x = sin 2 ß, dx = 2sinßcosß folgt I(a,b) =2 .fo/ 2 sin2a+l ß cos2b+l ß dß.18.2.9. SuperellipsenDie Super- und Subellipsen (c = d) vermitteln den Übergangvon der normalen Ellipse ( c = !) zum liegenden Rechteck(c = 0), nach der anderen Seite über den Rhombus( c = 1) zum Linienkreuz ( c = oo). c = ~ gibt die Astroide,unser Karo der Spielkarten. Die Fläche 4 I; y dx =4ab Id (1- u11c)d du (u = xja, v = yjb) geht mit s = I -u 1 1c über in 4abc Id ~(1- st-l ds = 4abcB(d + 1, c) =4abcdj(c + d)F(c)F(d)/F(c + d). Für die normale Ellipsefolgt abr{!) 2 , also r 2 sind die Poleoben und unten glatt, bei 1 < c < 2 haben sie einenKnick, bei c < 1 eine scharfe Spitze. d bestimmt entsprechenddie Form der Pole rechts und links. Man sieht dasaus der Stetigkeit von dy j dx ~ xc-l / yd-l. Ein kleines dund großes c erzeugen Münder von beliebiger Sinnlichkeit,besonders wenn man die Exponenten für oben und untenverschieden macht. Im Dreidimensionalen ist das Super­Ei mit Exponenten > 2,5 interessant: Es steht auf jedem seinersechs Pole stabil. Gäbe es in Spanien Superhühner, hätteColumbus es leichter oder schwerer gehabt?18.2.10. Minimaler FlugplatzEinen Kreis vom Durchmesser L zu betonieren, ist teuer undlandschaftsfressend. Die Dreispitz-Hypozykloide (Rad mitr = R/3 rollt im Kreis mit R) hat in jeder .Richtung denDurchmesser L = 4Rj3. Man sieht das am . einfachsten,wenn man zwei Räder mit r = R/3 durch eine Pleuelstangeder Länge L verbindet und im R-Kreis rollen läßt. Die ·Stangebleibt immer ganz in dem Dreispitz und bildet dessen Innentangente.Die Gleichung einer Hypo- oder auch Epizykloide(wo das Rad außen am Kreis abrollt) erhalten wir am bestenkomplex: Die Radfelge läuft auf einem R + r-Kreis, sierotiert (R- r) / r-mal schneller als sie umläuft (Epi: r > 0,Hypo: r < 0): z = (R + r) e 1 'f1 + re 1 (R-r)rp/r. Spaltet mandas nach x und y, bildet dx und I;l 2 ydx, hat man Termemit sin 2 rp, die 1r ergeben (vgl. Effektivwert!), mitsin rp sin(nrp ), die 0 ergeben (Fourier!), und mit sin 2 (nrp),die n1r ergeben: Im Ganzen: Fläche 1r(R + r)(R + 2r). DerDreispitz (r = -R/3) hat 2u 2 , also genau halb soviel wieder Kreis mit dem verlangten Durchmesser 4r. Wenn derWind nur aus zwei Quadranten kommen kann, genügt einViertel der Astroide (Aufgabe 18.2.9). Diese entsteht auchals Hypozykloide: Rad mit r = R/4 rollt im Kreis mit R.Man sieht das aus der Parameterdarstellung x( rp), y( rp),wenn man hier cos (3rp) usw. in Potenzen von cos rp verwandelt.Es bleibt nur x = 4r cos 3 rp, y = 4r sin 3 rp, und der Pythagorasheißt hier x213 + y213 = R213. Die Fläche der Viertel­Astroide ergibt sich also auf zwei Arten als 3IrL 2 /32, also nur37,5% der Kreisfläche 1rL2 /4. Hätten wir nicht gewußt, wasr{!) ist, hätten wir es durch den Vergleich hier erfahren.18.2.11. Gamma-FunktionMan integriert e- 1 und differenziert r:- 1. Der Term ohneIntegral verschwindet an den Grenzen, es bleibt(x- l)F(x- 1). Für ein natürliches x kann man das bisx = 1 treiben, wo Iooo e -I dt = 1 bleibt. Die inzwischen rausgeholtenFaktoren bilden r(x) = (x- 1)!. r(!) geht mitu = yfi, du= dt/ yfi über in 2 Iooo e-u 2 du, was nach Aufgabe1.1.8 ,[ir ist.18.2.12. Pendel-Periode Ia0 = 1rj2, cosa0 = 0 gibt T = 4Jl/(2g) I;o da/ cosa. Dasbestimmte Integral hat den Wert r (!) . r (±)Ir (i) = 2,62207(Aufgaben 18.2.8, 18.2.9), also T = 1,18034To. Die beidenersten Glieder von (18.13) geben 1,125To, die drei ersten1,1602To.18.2.13. Pendel-Periode IIa0 =Ir, cos a0 = -1 gibt t = 2/fii I da/ cos(a/2). Wieman leicht durch Umkehrung prüft, ist I dx/ cosx =ln(l/cosx+tanx). Für die ganze Schwingung liefert dertan natürlich Unendlich (labiles Gleichgewicht); von 1r /2bis 0 dauert es ffg ·ln(.J2 + 1) = 0,1403To. Die linearisierteGleichung würde für diese ,,Achtelschwingung"(ao/2 bis 0) To/12 liefern.18.2.14. Van der Pol-FixpunktWir schreiben die Systemgleichungen normiert: u' = v,v' = -u + ev(1 - u2) (Ableitungen nach z = wt). Es gibtnur einen Fixpunkt (0, 0). Die Jacobi-Matrix lautet allgemeinbzw. am Fixpunkt ( _ 1 : 2 evu e(1 ~ u2)) bzw.0 1( ). Ihre Eigenwerte folgen aus ..1. 2 - d + 1 = 0und heißen .A.=!(e±ve2 -4). Bei e>O ist einer posi--1 e

+-1206 : Lösungen zu den Aufgabentiv: Die Orbits laufen vom Fixpunkt weg. Ob sie bis ins Unendlichelaufen oder nur zu einem Grenzzyklus, kann manhieraus nicht sehen. Bei e < 0 ist (0, 0) ein Attraktor.18.2.15. Van der Pol-SchwänzeIn u" + u - eu' ( 1 - u2) = 0 konkurrieren drei Glieder.Wenn z. B. u" schwach wird, bleibt die Quasistationarität(QSt) u = eu'(1 - u2), also u 1 = v = ul(e(1- u2)). Genaudies ist der "Schwanz" (für u » 1 eine Hyperbelv = 1 I ( eu) ). Warum stellt sich die QSt bei u » 1 so schnellein? Die Einstellzeit -r = 1 I ( eu 2 ) ist bei u » 1 bestimmt vielkürzer als die Periode des Zyklus, die 21r beträgt. Warum aberbleibt die QSt nicht erhalten, sondern mündet die Trajektoriein den Grenzzyklus? Da v' = v(l + u2)1(1- u2)2, wird v'sehr groß, wenn u sich der 1 nähert, und bricht das bisherigeGleichgewicht der beiden anderen Glieder.18.3.1. Descartes' RegelBeweis durch vollständige Induktion: Die Regel gilt sicherfür n = 1: P 1 = ao + x hat eine positive oder eine negativeLösung, je nachdem, ob ao negativ oder positiv ist. Wir nehmenan, die Regel gelte auch für jedes Polynom n - 1-tenGrades Pn-1· Jedes Polynom n-ten Grades Pn läßt sich auseinem Pn-! erzeugen durch Multiplikation mit x, Umtaufender Koeffizienten und Addition eines neuen a 0 . Nun hatPn - ao = xPn-! ebensoviele Zeichenwechsel und Nullstellenwie Pn-! und dazu eine Nullstelle bei x = 0. Geht manzum vollständigen P n über, verschiebt also die KurvePn - ao um ao, dann rutscht diese zusätzliche Nullstelleins Positive oder Negative, je nachdem, ob a 0 ein anderesoder dasselbe Vorzeichen hat wie die Ableitung vonPn - ao bei x = 0, die ja einfach a1 heißt. Ein durch ao erzeugterzusätzlicher Zeichenwechsel schafft also eine neuepositive Nullstelle, ein zusätzlicher Zeichenwechsel in derabwechselnd vorzeichengeänderten a;-Folge eine neue negativeNullstelle. Beim Verschieben um ao kann aber eine geradeAnzahl Nullstellen verlorengehen, wenn dies einen odereinige "Busen" der Kurve über die x-Achse hebt oder untersie senkt. Solche Paare verlorener reeller Nullstellen werdenzu konjugiert komplexen Paaren. Hat Ihnen dies Mühe gemacht?Dann können Sie werten, wie genial manche Leuteschon vor fast 400 Jahren waren.18.3;2. Bevölkerungsexplosion IEs gibt z. Z. 5 · 109 Menschen. Sie haben, einschließlich derEntwicklungsländer, vielleicht eine mittlere Lebensdauervon 50 Jahren. Bei Stationarität müßten pro Jahr 108, proSekunde 3 Leute sterben, ebensoviele geboren werden. InWirklichkeit schätzt man eine Verdopplungszeit von etwa25 Jahren: N =No exp(tl(25ln 2)), N = N 136: Es erfolgenin der Sekunde 4,6 mehr Geburten als Todesfälle.18.3.3. Bevölkerungsexplosion IIMit 2k Kindern/Paar, die ihr fruchtbares Alter erreichen undnützen, und einer Generationsdauer T wächst die Menschheitwie Noe!T. Tippen wir erst auf 2k = 4 und T = 30 (mittlererAltersunterschied zwischen Eltern und Kind). Es würde folgenN = No2 1 1 30 . Wenn die wirkliche Verdopplungszeit 25Jahre ist, müssen wir 2k auf 2 · 26/ 5 = 4,6 Kinder/Paar heraufsetzen.A.D. 2365 wohnte auf jedem m2 ein Mensch,wenn es so weiterginge.18.3.4. Sterbemodell IModell (1) liefert in Analogie zum radioaktiven Zerfall oderzur Absorptionskurve eine exponentielle Pyramide. Modell(2) ist analog zur Absorption von rx-Teilchen (Aufgabe13.2.7) mit glockenförrniger Verteilung der erreichten Lebensalter,um so schmaler, je größer die fatale Anzahl derDefekte ist.18.3.5. Sterbemodell IIN = Anzahl der Defekte, die zum Tod führen; v dt = mittlereWahrscheinlichkeit für Auftreten eines Defekts in der Zeit dt(t in Jahren). Mittleres SterbealterN lv = 74a. Viertelwerts-Breite ,;;NTSiv = 9,5 a, alsoN = 23,8: v = 0,23 a-1. (Vgl.Aufgabe 13.2.7.)18.3.6. TierwachstumDas Modell sagt m = am 2 13 - bm, oder durch den "Radius" rdes Körpers ausgedrückt (m ~ r 2 r): r = A- Br, alsor =AlB+ (ro- AlB) e- 81 . Für m ergibt sich eine S-Kurve,die das Wachstum vieler Tierarten ganz gut wiedergibt.Für n-dimensionale Tiere sieht r(t) genauso aus, m ~ rn.Die S-Kurve nähert sich asymptotisch m 00 = (AIBf, derWendepunkt liegt bei mw = (1 - 1lnfm 00 , für sehr großen also m 001e, und fw = ln(n- nBroiA)IB.18.3.7. Talent-RückkopplungSei L der Überschuß meiner "Leistung" über einen gewissen"Normalwert". Dieser Erfolg beflügelt mich zu weiterer Steigerung,nur begrenzt durch eine ebenfalls L-ab hängige Ermüdung(heute vielfach auch durch die Furcht, aus der Reihe zutanzen): L = aL(l -LI K). Das ist wieder die Verhulst-Gleichung(18.27). Entscheiden Sie selbst, ob das für Sie annäherndzutrifft und wo die Parameter Ihrer Kurve liegen.18.3.8. BifurkationDie x-Werte der Zweierperiode sind die stabilen Lösungenvon x =f(f(x)) =J 2 (x), d.h. von3 2 ( 1) l 1x -2x + 1.x--+-.a a a3(L. 9)Eine weitere Lösung dieser Gleichung ist leicht zu finden:x =f(x) =} x =f(f(x)) usw.: Alle Kurvenr(x) schneidensich und die x-Gerade bei x = 1 - 1 I a, aber dieser Punktist bei den meisten instabil (Betrag der Steigung > 1). Erhilft uns aber beim Lösen von (L. 9): Division dieses Polynomsdurch x- 1 + lla liefert x 2 - (1 + lla)x + 1la +1 la 3 mit den Wurzeln x2,3 = (a + 1 ± v' a2 - 2a- 3)1(2a).Diese stationären Punkte werden instabil, wenn j 2 (x) dortsteiler als -1 fällt, also ab x3 - 3x 2 12 + (1 + 1la)xl2-ll(4a)- ll(4a 3 ) = 0. Wir subtrahieren dies von (L. 9)und erhalten eine quadratische Gleichung mit der Lösungx = ( a + 1 ± j a 2 - 4a + 1 -10 I a) I (2a). Dies muß gleichx2,3 sein, woraus a = 1 + v'6 folgt. Einsetzen dieses a in x 2,3liefert die übrigen angegebenen Werte.

"Kapitel18: Lösungen 120718.3.9. Anti-WojtilaHier ist Xt+I für jedes x1 > 0 sinnvoll, nämlich positiv. Stationaritätbei x = 0 und Xs = 1 + (1lb) lna. Eigenwerte:f' ( 0) = a eh, f' ( 1 + ( 1 I b) ln a) = 1 - b - ln a = A =1 - ln(f' (0) ). Für a eh < 1 ist x = 0 stabil, der andere Fixpunktnicht: Die Bevölkerung stirbt aus. Bei 0 < b +ln a < 2 ist Xs stabil und wird monoton angestrebt, bei1 < .b + ln a < 2 abwechselnd von beiden Seiten, oberhalbdavon Bifurkation zu Periodizität mit Feigenbaum-Szenarioder Periodenverdopplung bis zum Chaos.18.3.10. Lösbares ChaosMit 1 - x = cos 2 qJ folgt Xn+ 1 = 4 sin 2 rp 11 cos 2 rp 11sin 2 (2rp 11 ). rp 11 verdoppelt sich bei jedem Schritt, aber dersin 2 stutzt es immer wieder auf den Bereich (0, 2w) oder eigentlich(0, 1r 12) zusammen. rp verhält sich also in diesemBereich genauso wie x bei der Iteration x Xm, hatj 2 (x)zwei Maxima dort, wof(x) = Xm, und ein Minimum bei Xm.Dies folgt aus j 2 '(x) = (f(f(x)))' =f'(f(x))f'(x) = 0. DieGerade y = x kann eine solche Kurve nur an höchstens einerStelle berühren. Beim Fixpunkt Xf vonj(x) ist das der Fall,bei dem Parameterwert, wo er seine Stabilität verliert, woalso f' (x 1 ) = -1 ist: Dort ist auch j 2 (xJ) = j(f(xJ)) =f(xJ) = Xf, und f 2 '(xJ) = f'(f(x))f'(x) = f'(xJ) 2 = 1.Bei der zweiten Ableitung muß man noch mehr daraufachten, nach was abgeleitet wird: j 2" (x 1 ) = (f(f(x)) )" =(f'(f(x))f'(x))' = f"(x)(f'(x)) 2 + f'(f(x))f"(x), also bei x= XJ:P' =f"(xj)(f'(xJ) 2 +f'(xJ)) =!"(1-1) = 0. DieTangente ist immer eine Wendetangente. Wenn mit steigendemParameter die Buckel von f und j 2 sich stärker vorwölben,entstehen aus x1 drei Schnitte der Geraden mitj 2 ( x): Ein instabiler Fixpunkt (f 2 ' > 1), flankiert von zweistabilen (f 2 ' < 1). Die Periode hat sich verdoppelt. Vonj 2 (x) ausgehend, folgert man das Analoge für j 4 (x) usw.,nur in immer engeren Parameterbereichen. Anders mitr(x), wenn n andere Primfaktoren als 2 enthält. Dann istauch Intermittenz möglich.18.3.12. lntermittenzIntermittentee Übergang ins Chaos bedeutet, daß sich eineKurve x = f(x) soeben von der Geraden y = x gelöst hat.Die Kurve y = f(x)- x hängt dann ähnlich einer Parabeldicht über y = 0. Wir nähern sie als y = a + bx 2 . Die Spinnezieht jetzt unter 45° und kommt, wenn sie bei x war, nur einStück ( a + bx 2 ) I v2 weiter. Wie viele Schritte braucht sie bisx1, wo die Engstelle überwunden, also bx 1 » a ist? Wenn einSchritt eine Zeiteinheit dauert, können wir sagen dxldt =(a+bx 2 )1v2, mit der Lösung x = 1/( Vab arctan( y'b/ax)).Den Kanal, beginnend bei - x1, endend bei XJ, zu passieren,braucht also t = 2w I Vab Schritte (man beachtex 1 > Vafh). Nun springt die Spinne, wenn sie in den Kanalgerät, nicht immer an sein Ende, sondern an irgendeine Stelledes Kanals; daher braucht sie im Mittel die Hälfte dieser Passagedauer.18.3.13. Stetig und diskretLaut (18.30) ist der Zuwachs von N in einer GenerationaN(!- NIK), in der Zeit dt laut (18.27) A dtN(l- N IN,1).Dem a in (18.30) entspricht also 1 + A dt in (18.27), unddies ist nur infinitesimal größer als 1 und kann nie in denperiodischen oder gar chaotischen Bereich gelangen.18.3.14. Die Sünden der OpasDies ist das diskrete Modell: Xt+I = x1 + ax1(1 - x1_,) nachevtl. Normierung. Stationarität: Xs = 1, Linearisierung inderen Umgebung: x = Xs + u, Ut+i = u1 - au1_,, Lösungu1 = .lc 1 u0 mit .Jc 2 = ), - a, also ), =!±Fa· Beia < 0,25 sind beide A reell und liegen zwischen 0 und 1:Stabilität mit monotonem An- oder Abklingen gegenx = 1. Bei 0,25 < a < 1 sind die ), konjugiert komplexmit j),j < 1: Stabilität mit gedämpfter Schwingung umx = 1. Bei a = 1 erfolgt Bifurkation zur Instabilität.A =! ± iR = A eiß mit ß = arctanv'4a- 1, allgemeineLösung x 1 = B(eißt + e-ißt) = 2Bcos(ßt). Bei a = 1wird ß = 60°: Übergang zu einer ungedämpften Sechserperiode,für größere a Chaos, unterbrochen durch anderePerioden, z. B. Siebenerperiode um a = 1, 2.18.3.15. SymbioseEinsetzen der x- und y-Werte für den vierten Fixpunkt verwandeltdie Systemmatrix in1 ( ac(e-d) -ae(d-e))cd- ej -bf(c-f) bd(f- c) ·Ihre Determinante D = ab(cd - ef)(e - d)(f - c)l(cd- ej) 2 ist bei schwacher Symbiose (cd > ej) immerpositiv, die Spur T = (ac(e- d) + bd(f- c,j)l(cd- ef)ist dann immer negativ, beide Wurzeln von ), - T ), + D= 0 haben negative Realteile: Der Fixpunkt ist stabil. Dasselbegilt in den übrigen Fällen der Öko-Tabelle, falls0 < e < d und 0 < f < c.18.3.16. Konkurrenzy = Ax" müßte auch die Systemgleichungen erfüllen. Wirbilden die logarithmischen Ableitungen beider Seiten:YIY = nilx = b(l- dy-fx) = na(l- cx- ey). Es ergibtsich also ein linearer Zusammenhang zwischen y und x,was der Forderung widerspricht, außer für n = 1. Für diesenFall müßte a = b sein, dann erfüllt y = (e- d)xl(f- c) dieForderung: Die Separatfix ist eine Gerade. Den anderen Fall,d = e und c = f (identische Ressourcen), der y rv xhfa ergibt,kennen wir schon aus dem Text.

IIII1208 : : Lösungen zu den Aufgaben18.3.17. ÖkologieMit u = cx, v = dy, z = at wird u' = u(l - u- Bv),v' = Av(l- v- Cu), wobei A = bja, B = ejd, C = f je.Die Vorzeichen von A, B, C sind für Räuber-Beute- + +, für Symbiose +- -, für Konkurrenz + + +. DieJacobi-Matrix mit den Elementen 1 - 2u- Bv, -Eu,-ACv, A(l - 2v- Cu) hat an den vier Fixpunkten (0, 0),(0,1), (1,0), ((1-B)/(1-BC),(l-C)/(1-BC)) dieEigenwerte 1, A (instabiler Knoten bei A > 0, Sattel beiA < 0); 1 - B, -A (stabiler Knoten bei A > 0, B > 1, sonstSattel); -l,A(l- C) (stabiler Knoten beiA > 0, C > 1 oderA < 0, C < 1, sonst Sattel). Der vierte Fixpunkt liegt imPositiven, wenn B > 1, C > 1 (P4 Sattel, weil SpurT4 > 0; P2 und P3 stabile Knoten, zwischen ihnen Separatrixdurch P4: Schwacher Wettbewerb), oder wenn B < 0,C < 0 und BC < 1 (T4 < 0, D4 > 0, P 4 einziger stabiler Fixpunkt:Koexistenz). Bei negativen B und C sowie BC > 1gibt es keinen stabilen Fixpunkt (starke Symbiose). Diesgalt für A > 0. Bei A < 0 ist P3 fast überall stabil (fürC < 1). Das Gebiet B > 1, C > 1 wird durch die GeradeC = 1 + (B- 1)/A nochmal in zwei Sektoren mit T4 < 0(P 4 stabil) bzw. T4 > 0 zerlegt.18.3.18. ParasitismusVorzeichen der A, B, C + - + oder + + -: v nützt dem u,aber u schadet dem v; u parasitiert an v oder umgekehrt.Wenn der Parasit, z. B. u, es übertreibt, ( C > 1 bei B < 0),tötet er seinen Wirt und könnte als Vollparasit auch selbstnicht überleben. Wegen des u-Gliedes ist er aber nichtganz auf den Wirt v angewiesen (P3 stabil). Bei A < 0 kehrensich die Vorzeichen des v-und des v 2 -Gliedes um. Das V­Glied wäre als Tod, das v 2 -Glied als Solidarität zu deuten(man überlebt besser dank gegenseitiger Hilfe) oder durcheine sehr geringe Bevölkerungsdichte, bei der sich Paarenur zufällig finden ("bimolekulare" Zeugung). Dann könnten- + -, -- +, --- wieder Konkurrenz, Symbiosebzw. Parasitismus von u an v bedeuten. P1 und P2 sinddann immer instabil, P3 ist stabil bei C < 1, P 4 wurde inAufgabe 18.3.17 diskutiert.18.3.19. pHDie Säure heiße HR mit dem Säurerest R. Die Konzentrationender Teilchen H+, OH-, H20, HR, R- seien h, o, v, s, r.Dann gelten die Erhaltungssätze o + v = w, r + s = c, dieMassenwirkungsgleichungen hojv = Kw, hrjs = Ks unddie Neutralität h = o + r. Durch Elimination von o, r, s, vaus den ersten vier Gleichungen liefert die letzte h =Ksh/(Ks + h) + Kww/(Kw + h). Wasser ist sehr schwacheSäure: Kw « Ks und h > Kw (selbst ohne Säure). So ergebensich drei Abschnitte: ( 1) c « K ww = 10- 7 =:> h = K ww(Säure zu dünn); (2) Kww « c « Ks =:> h = c (volle Dissoziation);(3) Ks « c =:> h = yfKSC (Teildissoziation). Bei derBase gilt für o Entsprechendes, h = Kww/o ist gegenläufig.18.3.20. Auch nicht so einfach!Mit den Konstanten a + c = d, b + c = e (einige Teilchen Aund B stecken ja in C) haben wir c = k(d- c)(e- c) -lc,was sich von (18.27) durch das konstante Glied a = kde unterscheidet.Mit den Abkürzungen ß = l + kd + ke unde = ß2 - 4ak folgtß c; ( 1 2kxo - ß )c = ~ + ~tanh - -et + artanh .2k2k 2 e18.3.21. EnzymkinetikWir behalten nicht vier, sondern nur zwei unabhängige Gleichungen,z. B. für s und c:s = -kse + lc = -kseo + ksc + lc,c = -s- mc.Solange c noch sehr klein ist, genauer c « keos /(ks + l + m), gilts = -keos =:> s =so e-keot,c = s 0 (1 - e-keot).Dieser Zustand endet spätestens, wenn eines der Glieder mitc das Glied keos eingeholt hat. Dies gelingt zuerst dem Gliedc(l + m + ks), das größer ist als lc. Von da ab gilt ein Quasigleichgewichtkeos::::; (l + m + ks)c und bleibt auch erhaltenbis zum Schluß. Trotz dieses Quasigleichgewichts ändernsich s und c, und zwar durch Erzeugung von P:. . keosp = -s = mc = m .l+m+ksDie Übergangszeit t1 ergibt sich aus der Übergangsbedingungkeosouc::::; so(1 - u) ::::; mit u = e-keot.l +m +ksouDa eo « so (wenig Enzym verarbeitet viel Substrat), ist dierechte Seite «so, d. h. u::::; 1, u = 1 - e,e::::; keo/(kso + l + m),t1 = 1/(kso+l+m).J!as Quasigleichgewicht ist stabil: Sei c = cq + b, dann istb = cq- (ks + l + m)b: Die Abweichung b baut sich ineiner Zeit t 1 exponentiell ab, die viel kürzer ist als dieZeit t2 = s/s = (l + m + ks)/(mkeo), die die Änderung innerhalbdes Quasigleichgewichts kennzeichnet.18.3.22. InhibitionIm ReaktionssystemmtC+T;='Im_ln 1D+S;='In_lm2F-+E +P+ Qstellen sich sehr bald die Quasistationantätenc k] 1 c---=K- =:>e=Ke·sk-1+k2 sd !1 _ 1 K t-=---=L =:>d=--cLse·t L1+l2

Kapitel 18: Lösungen 1209m 1ct + n1ds m1t + n1tKjLf = = c = Mtcm_l + n-1 + mz m-1 + n-1 + mzein. Die Produktionsrate von P folgt wieder einem Michaelis­Menten-Gesetz, nur mit komplizierteren Parametern:p- 1 = a(t) + b(t)s-1,b(t) =KM L+tLc kzM + mztDie Lineweaver-Burk-Gerade geht jetzt nicht mehr durch denUrsprung. Ordinatenabschnitt und Steigung hängen von t ab:Es entsteht ein Geradenbüschel mit dem Schnittpunktso-1Man erhält die in Abb. L.14 dargestellten Fälle von Aktivierungoder Inhibition der ?-Produktion durch T bzw. Wechselzwischen beiden je nach Konzentration von S.Abb. L. 14. Abhängigkeiten der Produktionsrate p von derSubstratkonzentration s für ein Enzym mit Aktivator- bzw.Inhibitor-Stellen, aufgetragen als p(s) (Kurven) und als Lineweaver-Burk-Plotp- 1 (s-1) (Geradenbüschel). SteigendeAktivator- bzw. Inhibitor-Konzentration als Parameter derKurven ist durch die Zahlenfolge 1, 2, 3 gekennzeichnet.Die Pfeile ordnen die Diagramme den Bereichen der KoeffizientenL/M und kz/mz zu (Mitte)18.3.23. Hämoglobinh; sei die Konzentration von Rb-Molekülen, in denen iStellen besetzt sind, p der 0 2 -Druck. Die Hin- und Rückreaktionenzur nächsten Stufe haben die Raten ( 4 - i)k;_ 1ph;bzw. (i + l)li+thi+l· Im Gleichgewicht gilt also h;+l(4 - i)ki+IPhd((i + l)li+I). Auf ho zurückbezogen: h; =(j)P;piho mit P; = ft=l kv/ lv = TI ~=l Kv. Gesamtkonzentrationder Hb in allen Stufen: h = L,j=O h; =L,~0 (j)P;piho. Gesamtkonzentration der gebundenen Oz:o = L-i ih; = 4p "L.Ö (DPi+tPiho, Sättigungsgrad v = oj h= 4p"L,Ö G)Pi+1Pi/ L,6 (i}P;pi. Wenn die K; mit wachsendemi schnell größer werden, liegen praktisch nur leere odervoll oxygenierte Moleküle vor: Bei p « (P}/ P 4) 1 / 3 dorniniertho, bei (PI/P4) 1 1 3 « p « (1/ ?4) 1 steigt v wie4P 4p4, bei p » (1 / P 4) ' /4 ist alles voll besetzt:v ~ 4/(1 + z) mit z = 1/(P4p4). Der Partialdruck in derLunge sei p, im Gewebe p / ß, alsoL1 = v1 - Vg = 4(1 / (1 + z)- 1/ (1 + ß 4 z 2 )). Die günstigsteLage der v(p )-Kurve folgt aus dLl / dz = 0, d. h. z = 1/ ß 2 ,Vf = 4ß 2 / ~1 + ß 2 ), Vg = 4/(1 + ß 2 ), Ausnutzungsgrad(ß 2 - 1) / (ß + 1), z. B. 60 % für ß = 2.18.3.24. TrapmodellAus d = an(D - d) - yd, p = I - ßp(p - d) ergeben sichdie Vorzeichenmatrix ( ~~ ) und das Möglichkeitsschema.Wenn p und d beide stiegen (beide fielen), tun sie esmonoton weiter bis zum Fixpunkt. Für n, d bleibt dannbeim Anklingen nur die obere Hälfte des Schemas(Abb.l8.29). Im ersten Fall steigt n ebenfalls monoton, imzweiten kann es nach einem Maximum monoton weiterfallen.Die Simulation bestätigt, daß diese Möglichkeitenauch tatsächlich eintreten.18.3.25. Was ist besser?Die klassische Stabilitätsanalyse durch Linearisierung in derUmgebung von Fixpunkten kann nicht sagen, was weiteraußerhalb passiert, z. B. ob bei Instabilität die Orbits in einenanderen Attraktor, z. B. einen Grenzzyklus, münden oder insUnendliche. Das Möglichkeitsschema beschreibt, wenn auchnur qualitativ, den ganzen Verlauf. Wenn es nichtzyklisch ist,schließt es solche periodischen oder mehrfach-periodischenOrbits aus. Falls es zyklisch ist, kann es aber nicht sagen, wieviele Zyklen die Orbits durchlaufen oder ob sie nicht dochmonoton bleiben. Allgemein erhält man nur einen Überblicküber die möglichen, nicht über die bei den gegebenen Anfangsbedingungenrealisierten Verläufe. Beide Überlegungen(und zusätzliche wie in Aufgabe 18.3.26) ergänzen einander.18.3.26. BrauereiKonzentration des Substrats n im Kessel vom Volumen V,zugeführt mit der Konzentration n1 im Volumenstrom J.Konzentration der Mikroorganismen m. Einfachster Ansatzbei gründlichem Rühren:h = n1J /V - nJ / V- anm = c(nr - n) - anmZufuhr Abfuhr Verbrauch zur Produkterzeugungm= bnm -ml/V = bnm - cm .Wachstum Abfuhr

IIII1210 : : Lösungen zu den AufgabenNormierung mittels x = bnlc. y = amlc, z = ct, d = bnJ/c,ergibt x' = d- x- xy, y' = xy - y, u = x + y, d. h. u' =d-uführt zur Bernoulli-Gleichung y 1 = -i + y(d- 1 - (d -uo) e-z), die mit v = 1ly linear wird: v' = 1-f(z)v. Aberdie Lösung (Variation der Konstanten) ist wegen der unlösbarenIntegrale sehr unübersichtlich. Auch das Möglichkeitsschemaallein gibt keine klare Auskunft: Beide Schemata (fürd > 1 und d < 1) sind zyklisch, erlauben also beliebig vieleUmläufe mit abwechselnden Extrema von n und m, also auchperiodische Schwingungen. Wir machen es lieber anders: Anden Fixpunkten Pt = (1, d- 1 ), Pz = (d, 0) hat die Jacobi­Matrix die Eigenwerte -1, 1 - d bzw. d - 1, -1. Bei d > list also P1 stabil, Pz ein Sattel, bei d < 1 umgekehrt. Wiemünden die Trajektorien in den jeweiligen Fixpunkt? Manbeachte: y = d- x ist selbst eine Trajektorie (einsetzen!),kann daher von keiner anderen Trajektorie überschritten werdenund schneidet die hyperbelförmige Nullklirre y = d I x- 1genau in den beiden Fixpunkten. Bei d > 1 zerlegen dieNullklirren x = 1 und y = dlx- 1 den positiven Quadrantenin vier Teile mit verschiedener Richtung der Tangentenpfeile(Abb. 18.7). Folgt man diesen Richtungen, dann sieht man:Bei Yo < d - xo steigt x bis zur Hyperbel und muß auf dieserin den engen Zwickel 3' zwischen ihr und y = d - x einbiegen(Maximum von x), in dem sie bis P 1 läuft. Entsprechendläuft sie bei yo > d- xo von oben in den Zwickel I'. Beid < 1 gibt es nur den Fixpunkt Pz: Die Bakterien verhungernirrfolge Unterversorgung.18.4.1. DreiecksdynamikXt = 2al ( 1 + 2a) ist ein Fixpunkt für a > ! (rechter Ast desDreiecks). Wegen f' (xi) = -2a > 1 ist er instabil: Abweichungenvon XI werden immer größer. Eine Zweierperiodeist nur so möglich, daß x zwischen den beiden Ästen hinundherspringt: Es muß 2a(1 - 2ax) = x sein, also x = x2= 2a I ( 1 + 4a 2 ). Wenn a wenig größer als ! ist, ist der Bereichzwischen Dreiecksspitze und der x-Geraden, in demauch xz liegt, so eng, daß man irgendwann immer einescheinbare Zweierperiode erreicht. Auch diese ist aber instabil:Jede Abweichung wächst schnell an. x = x3 =2al ( 1 + 8a3) liefert eine Dreierperiode, x = x4 =2al(1 + 16a4) mit a > 0,919616 eine Viererperiode usw.,alle instabil. Der Ljapunow-Exponent ist nämlich in jedemFall positiv, denn lf' (x) J ist auf beiden Ästen größer als 1.18.4.2. Irrationale ÜberraschungVon Rationalzahlen reden wir nicht: In ihnen wiederholt sichnur eine bestimmte Ziffernfolge, aber sie bilden eine verschwindendeMinderheit; die Menge der Irrationalzahlenist im Gegensatz zu ihnen nicht abzählbar. Wir greifen irgendeineIrrationalzahl heraus. Gibt es in ihr z. B. eine Ziffer7? Wenn nicht, kommen nur die neun anderen Ziffern vor.Wenn man z. B. die ersten 100 Ziffern betrachtet, gibt esnur 9 100 Zahlen ohne 7 unter 10 100 Zahlen überhaupt. Nurjede 38 000-ste Zahl ist dort ohne 7. Für unendlich viele Zifferngeht dieses Verhältnis gegen Null. Es ist aber egal, obman mit der Zählung vorn anfängt oder erst nach der ersten7, also kommen in fast allen Zahlen noch unendlich vieleZiffern 7. Daß wir aber dezimal schreiben, ist nur ein anatomischerZufall. Ein Tausendfüßler rechnet wahrscheinlich imTausendersystem und hat z. B. eine eigene Ziffer für 777. Fürdiese gilt dasselbe wie für unsere 7: Auch diese wie jedeZiffernfolge wiederholt sich fast immer unendlich oft.18.4.3. Mal andersDie schulmäßige Lösung wird für a > ~ komplex, Parabely = x 2 + a und Gerade y = x schneiden sich nicht mehr.Das Spinn web-Verfahren muß gegen oo führen. Auch füra < ~ ist das der Fall, wenn man mit xo > xz =! + Fa beginnt. Wenn überhaupt Konvergenz erfolgt,nämlich bei - ~ < a < ~. dann gegen die kleinere LösungXI = 2 I - y ~ 4 - a. F'' ur - 5 34 < a < - 4 osz1 'll' 1ert x zw1sc . h enzwei Werten, deren Summe immer -1 ist. Warum alldies? Die Fixpunkte x 1 und xz der Abbildung x

Kapitel 18: Lösungen 1211gends eine Tangente. Herr X. ist nirgends und geht in keineRichtung. Wenn Sie es nicht glauben, zeigen Sie, wo er istund wie er geht! Verdreifachung des Maßstabs bringt eineneue Zackengeneration zum Vorschein, womit die gemesseneLänge sich vervierfacht (nicht nur um den Faktor 3wie der Maßstab, sondern um 1 mehr). Die Hausdorff-Dimensionist ln4/ln3 = 1,2619.18.4.6. Cantor-StaubMaßstabsvergrößerung um den Faktor 3 enthüllt neue Löcher,ändert die gemessene Länge um den Faktor 2. Dimensionln 2/ ln 3 = 0,631. Der Sierpinski-Te~pich ändert beijedem Schritt seine Fläche um den Faktor 9, der Schwammum ~, zum Schluß bleiben Gespinste von der Fläche bzw.vom Volumen Null. Verdreifachung des Maßstabs bringt Faktoren8 bzw. 26 in Fläche und Volumen: Dimension 1,893bzw. 2,966.18.4.7. Affine Transformation IEs genügt zu beweisen, daß A (x + y) = Ax + Ay und speziellA(mx) = mAx ist (reelles m; distributives Gesetz). Natürlich:Die i-te Komponente von Ax ist das Skalarproduktdes i-ten Zeilenvektors von A mit x, und die skalare Multiplikationist distributiv. Die Gerade x = a + mh (Gerade inRichtung b, zu der der Vektor a vom Ursprung aus hinführt)geht also über in x' = a 1 + mh' mit a' = Aa,b' =Ab. Parallele Gerade lassen sich durch das gleiche b,nur mit verschiedenen a darstellen, also auch nach der Transformationdurch das gleiche b'. Die durch m gegebenen Längenverhältnisseändern sich nicht.18.4.8. Affine Transformation IIHier handelt es sich offenbar um Abbildungen der Ebene,vermittelt durch die Matrix A = ( ~ ~) . Das Quadrataus den Punkten (0, 0), (1, 0), (0, 1 ), (1, 1) z. B. wird zumParallelogramm mit den Ecken (0,0), (a,c), (b,d),(a + b, c + d). Die Verhältnisse paralleler Strecken bleibenja erhalten. Der ins Quadrat einbeschriebene Kreis wirdzur Ellipse zusammengedrückt. Eine nicht verzerrendeMatrix muß die Form A = a ( co~ rp-Sill rpsin rp ) haben.COS rpIhre Eigenwerte sind ll1,z = e±iq.>. Allgemein tritt Dehnungoder Stauchung ein in den Hauptrichtungen, die sich durchdie Drehmatrix der Hauptachsentransformation ergeben.Die Verzerrungsfaktoren sind die Beträge der (meist komplexen)Eigenwerte ),1,Z = ~ (a + d ±)Ca- d)z + 4cb),der Elemente der Diagonalmatrix.18.4.9. FarnTz verkleinert unverzerrt um den Faktor 0,85 und dreht um1,75°, erzeugt also aus dem ganzen Wedel den Rest, derbleibt, wenn man unten zwei Seitenäste wegläßt. Wendetman Tz sehr oft an, gelangt man von der Länge 1 ausgehendbis I:::o 0,85 11 = 6,67. Tj zieht das Bild in X-Richtung aufdie Breite 0 zusammen, in y-Richtung um den Faktor 0,17:Das ergibt die Stenge!, auch die der Seitenzweige. T3 und T4bilden die Seitenzweige, die bei 1,2 bzw. 3 ansetzen undschmäler sind als der ganze Wedel.18.4.10. Julia und MandelbrotBei c = 0 konvergiert die Folge z, zz, z 4 , . . . genau für[z[ < 1: Die Julia-Menge ist der Einheitskreis. z = x + iygeht mit c = a + ib über in z' = x' + iy' = xz - yz + a+ i(2xy + b). Bei reellem c ändert der Übergang zu z =x - iy nur das Vorzeichen von z', was keinen Einfluß aufdie Konvergenz hat. z* geht über in i* (der Stern bedeutet:konjugiert komplex). Die Julia-Menge ist symmetrischzur x- und zur y-Achse. Allgemein: Ist ein Imaginärteil bvorhanden, muß man mit dem Vorzeichen von y auch dasvon x ändern, damit sich an z' nichts ändert. Die Julia-Mengeist jetzt nicht mehr axial-, sondern nur noch punktsymmetrischum z = 0.18.4.11. BrennlinieSollte es sich um eine Epi- oder Hypozykloide handeln,müßte sie so zustande kommen: Ein Rad vom Radius R/4rollt auf einer Kreisscheibe vom Radius R/2 außen ab (R:Radius des Glases). Wir beweisen: (1) Wenn das Rad dasGlas in A berührt, geht der in A reflektierte Strahl durchden entsprechenden Hypozykloidenpunkt P auf seinerFelge. (2) Wenn das Rad ein bißeben weiterrollt, bleibtder Punkt auf seiner Felge auf dem reflektierten Strahl. Beweisfür (1): M = Radmittelpunkt, rx Winkel von AM gegenHorizontale. Winkel PMA = 180° - 2rx. Genau um sovielhat sich das Rad seit der Mittellage gedreht, da sein Radiushalb so groß ist wie der der Scheibe, auf der es abrollt. P istalso der Hypozykloidenpunkt Beweis für (2): Wir drehen dasBild so, daß das Rad momentan horizontal rollt. Wenn es nurganz wenig weiterrollt, ist es egal, ob es auf einem Leitkreisoder einer Leitgeraden abrollt. Die Kurve, die P beschreibt,steigt also wie bei der normalen Zykloide um 90° - ß /2.Hier ist aber ß = 2rx. Steigung gegenüber Leitkreis90° - rL Dieser selbst steigt um 90° - rx, also Steigungswinkelinsgesamt 180° - 2rx, und das ist auch die Richtungdes reflektierten Strahls. Dieser bildet also tatsächlich dieTangente an die Hypozykloide, was auch für die Brennliniegilt.18.4.12. l = 1Die Funktion y = z 3 - 1 hat bei z = 0 eine horizontale Tangente,der Newton-Algorithmus divergiert also sofort: Beizo = 0 liegt das schlimmste schwarze Loch. Das nächste(z1) liegt da, wo man beim ersten Schritt nach zo = 0 gelangt,das zweite ( zz), wo man erst nach Zl, dann nach zogelangt usw. Die Tangente im Punkt (znJ(zn)) hat die Steigung3z~. Soll sie auch durch (Zn-1, 0) gehen, muß gelten(z~-1)/(zn-Zn-J)=3z~ oder z~-~Zn-IZ~+~=O.Man erhält die reellen Werte -0,7937; -1,434; -2,251;. . . Die "Trilobiten" zwischen diesen Werten alternierenalso in ihrer Größe. Auf demselben Kreis um 0, um 120°versetzt, gibt es je zwei komplexe Lösungen derselben Gleichungen.Aber im Komplexen liegen unendlich viel mehrschwarze Punkte, zwischen je zwei "Trilobiten", auch den

IIIIII1212 Lösungen zu den Aufgabenwinzigsten. Die Gleichung z 3 - ~ z 2 zn-i +! = 0 gilt auch imKomplexen und erzeugt aus jedem schwarzen Loch der Ordnungn - 1 bei Zn-1 nach dem Fundamentalsatz der Algebradrei Lösungen Zn· Aus zo entstehen so drei Löcher ZJ, darausneun Löcher z2, daraus 27 ... In Abb. 18.36 ist die Genealogieder Löcher so bezeichnet: Vom Loch 21 stammen abdie Löcher 211, 212 und 213 usw.18.4.13. IterationDie erste Aussage folgt aus der Kettenregel der Differentiation:Der Strich bedeutet ja immer Ableitung nach dem dahinterstehendenArgument, also j 2 ' (x) = f' (f ( x)) f' ( x) =f'(xi)f'(xo). Für einen Fixpunkt sind alle x; identisch, wasdie beiden nächsten Aussagen bestätig;t. Ein stabiler FixpunktX hat j'(x) < 1, also ist dort r (x) erst recht < 1:Die Stabilität überträgt sich auf die geschachtelten Iterationen,ebenso die Instabilität.18.4.14. PercolationDie leitenden Teilchen bedeuten Wasser, die nichtleitendenLand. Bei kleinem p bilden sich isolierte Inseln im Meer,bei großem eine Seenlandschaft Der Stoff leitet, wennman mit dem Boot von der Ost- zur Westküste kommenkann. Das ist genau dann der Fall, wenn man nicht trockenenFußes von Nord nach Süd gehen kann. Wasser und Land sindalso völlig gleichberechtigt: Der Übergang zwischen beidenFällen liegt bei p = !·Beim Drei- oder Viereck ist das anders:Es gibt zwei Sorten Nachbarn; die einen berühren sich mitder Seite, die anderen mit der Spitze, was nicht als echterKontakt zählt. Hier gibt es einen Bereich um p = !, wo wederdas Boot noch der Wanderer durchkommt.18.4.15. WurzelFür Va wähle man den Schätzwert xo. Was am exakten Ergebnisfehlt, nenne man yo, d. h. (xo + Yo) 2 = a "'"x6 + 2xoyo,daraus Yo = ! (al xo - xo) und die nächste Näherung XJ =! (xo + alxo). Die Rechnergenauigkeit ist nach wenigenSchritten erschöpft. y'a erhält man analog durch die IterationXi+i = (aiX:-i +x;(n- 1))1n. Diese Art Iterationsetzt offenbar voraus, daß man die Urnkehrfunktion, hierdie Potenz, beherrscht. Mit ex oder sinx muß man andersvorgehen. Entweder man erinnert sich an die Taylor-Reihen(echte Iteration) oder an die Definition von ~ alslim(1 +xln)n. Mit n = 2 32 (viermal Quadrieren) gibt dereinfachste Taschenrechner e"'" 2,718239964, also fünfstelligeGenauigkeit. Umgekehrt ist lnx "'" n( y'x - 1); mitn = 220 folgt In 10 "'" 2,3025 (fünf Stellen stimmen).18.4.16. Trick 17Die fallende Funktion ae-x schneidet die Gerade y = x genaueinmal. Die Ableitung -a e-x ist am Fixpunkt gleich -x.Dies muß zwischen -1 und 1 liegen, damit dieser Fixpunktstabil ist. x = 1 bedeutet ae- 1 = 1, d.h. a = e; x = -1 bedeuteta = 1 I e. Außerhalb des Bereichs 1 I e < a < e kehreman die Funktion um: x +--- -ln(xla). Ihre Ableitung hatdann als Kehrwert der Ableitung von ae-x bestimmt einenBetrag < 1.18.4.17. Charlier-ModellDie Hausdorff-Dimension ist geometrisch definiert, alsomüssen wir zuerst Massen in Volumina verwandeln, z. B.durch die Annahme, daß Sterne im Mittel ungefähr die gleicheDichte haben. Wenn nun ein System n + 1-ter Ordnungaus N Systemen n-ter Ordnung besteht, deren Durchmesserdn und deren Abstand Rn = brn ist, hat es selbst die MasseMn+! = NMn und den Durchmesser dn+i = N 1 i 3 brn. BeijedemSchritt wächst die Masse um den Faktor N, der Durchmesserum den größeren Faktor bN 1 1 3 , so daß die Dichtegegen 0 geht: Die Hausdorff-Dimension ist D = IogN I1og(bN11 3 ) = 31(1 + 31ogbj1ogN). Für Galaxienclustergilt etwa b = 10, N = 10 000; wenn das sich so weiterstaffelt,hat das Weltall D = 1, 71. Modeme Beobachtungen deutenallerdings eher auf eine Schaumstruktur mit "großenMauern" u. ä. hin, aber auch auf "große Attraktoren", dievielleicht solche Super-Superclusters sind.18.4.18. Hele-Shaw-MusterBeim Auseinanderziehen dringt die Luft nicht allseitig ein,sondern in Form einiger langer Zungen, die sich bald immermehr verzweigen. Nach der Trennung hat man auf beidenPlatten ein sehr fein verästeltes System von scharfen Rückenmit einem flachen Hof, der jeden Ast beiderseits begleitet. ImPositiv wie im Negativ ähnelt dies einem Flußsystem odereinem Strauch oder stark verzweigten Kraut. Der Ingenieur,der ein Gebiet durch Wasser- oder Stromleitungen versorgenoder dem Straßenverkehr erschließen soll, erzeugtganz ähnliche Muster, ebenso wie ein Embryo, der seineBlutgefäße anlegt. Da man Fett, das einmal im Fließen ist,leichter weiterschieben kann, versteht man, warum eine zufälligeEinbuchtung sich zum langen Fjord vertieft. Aberwarum verzweigt dieser sich nach ziemlich wohldefinierterLänge? Es handelt sich ja um ein negatives fraktales Wachstum,und auch dabei zeigt die Laplace-Gleichung oder anschaulicherdie Gummimembran, daß an stark gekrümmtenStellen der größte Vortrieb wirkt (vgl. Abschn. 18.4.3).18.4.19. Ein unmögliches ErgebnisMan warte besonders lange in dem Zustand, wo einige Kugelnnoch gerade über die Trennwand hüpfen können. Dabeiwird man beobachten, daß sie auf einer Seite höher springen,nämlich da, wo zufällig weniger Kugeln sind. Die meistenKugeln in jeder Hälfte bilden ja ein schwebendes Kissen,das das Hochspringen der Vorwitzigen behindert. So verstärktsich eine anfängliche Überzahl einer Seite von selbstdauernd, bis im Extremfall alleN Kugeln in einer Hälfte sind,entgegen der angeblich winzigen Wahrscheinlichkeit von2-N. Selbstverstärkung, auch als positive Rückkopplungoder Autokatalyse zu bezeichnen, führt hier wie in allen diesenExperimenten zu einem Keim der Strukturbildung.18.4.20. StromsystemDas hohe Feld an der Drahtspitze polarisiert zunächst dienahegelegenen Kugeln und zieht die entstandenen Dipoleirrfolge seiner Inhomogenität an. Zwischen sich berührendenKugeln brechen Ladungstrennung und Feld zusammen, und

Kapitel18: Lösungen 1213nur am Ende einer solchen Kette oder an scharfen Knickenherrscht noch ein Feld, das weitere Kugeln angliedert. Beieinseitiger Erdung entsteht manchmal ein Bäumchen, dasan das Amazonasbecken erinnert.18.4.21. VersorgungsnetzDie Natur löst viele solche Optimierungsprobleme durchAnalogcomputer; speziell meint die Bionik, die Lebewesenhätten durch Millionen Jahre Versuch und Irrtum optimaleLösungen gefunden. Bäume verästeln sich so, daß überalldie gleiche, als erträglich betrachtete mechanische Spannungherrscht, daß also der Gesamtquerschnitt ober- und unterhalbder Verzweigung gleich ist. Sogar die exakte Formdes Astwuchses mit seinen Abrundungen, der Wundheilstellenund der Wurzelanordnung folgt diesem Prinzip, wobeinicht nur Gewichte, sondern vor allem winderzeugte Drehmomenteeingehen. Vieles läßt sich auf Wasser- und Stromleitungenübertragen. Der Blutkreislauf sollte laminar sein;wegen V "' r 4 gelten hier andere Radienverhältnisse. Welchesist das kürzeste Straßennetz, das n Städte verbindet?Rechnerisch nicht einfach. Stellen Sie die Städte durch Nägelin einem Brett dar, legen Sie eine Glasplatte darauf undtauchen alles in Seifenlösung: Die Seifenhäute zwischen denNägeln lösen das Problem, allerdings ohne Unterschiede imVerkehrsaufkommen zu berücksichtigen. Meist bilden sichKnoten außerhalb der Städte, die sich dorthin verschieben,wo die Oberflächenkräfte im Gleichgewicht sind ( 120°-Winkel!).Löst die Potentialtheorie, die ja hinter dem Prinzip derMinimalflächen steckt, auch das allgemeinere Problem, indemsie verschiedene zu übertragende Leistungen, Volumen-oder Verkehrsströme, also Straßenbreiten, Querschnitteusw. durch Kräfte verschiedenen Betrages darstellt?Hier liegt ein unermeßliches Feld für Fragen und Antwortversuche.18.4.22. KonvektionszenenDer von Wärmeleitung getragene Wärmestrom wächst proportionalzum Temperaturgradienten: Für den Auftrieb einesFlüssigkeitspaketes, das zufällig etwas aufsteigt, gilt auchF "' grad T (Aufgabe 5.4.9), aber der durch dieses F angetriebeneFlüssigkeitsstrom transportiert bei gleichem V umso mehr Wärme, je höher grad T ist. Der konvektive Transportsteigt also mit höherer Potenz (ungefähr der zweiten)von gradTalsdie Leitung und muß diese irgendwann überholen.Quantitativ: Leitung bewirktk = -A.grad T, Konvektion}K ~ (}.VC AT~ c AT r 3 g(}. 2 ß grad T /rt (vgl. Aufgabe5.4.9). Gleichheit beider liefert bis auf einen Zahlenfaktordasselbe Kriterium wie die kausale Betrachtung in Aufgabe5.4.9.18.4.23. Video-RückkopplungEin gutes Video-Kabel soll die Signale der Kamera oder desRecorders linear auf den Bildschirm übertragen, um Verzerrungender Grau- oder Farbwerte zu vermeiden. Die FolgeSchirmbild, von Kamera gesehen- Bild, auf Schirm übertragen- ... ist dann eine lineare Iteration mit linearer Abbildungsfunktion.Man sieht nur einen je nach Blendenöffnungbis ins blendend helle oder stockfinstere Unendlich laufendenGang, bei Kippung eine Wendeltreppe aus immer kleineroder größer werdenden Bildschirmen (Attraktor oder Repulsor).Chaotische, ständig unvorhersagbar wechselnde Bildervon oft abenteuerlicher Schönheit entstehen erst miteinem nichtlinearen Übertragungsglied. Dies kann ein nichtlinearerVerstärker sein oder einfach ein RC-Glied, aber einnichtabgeschirmtes Kabel mit seinem effektiven RC genügtbei diesen Signalfrequenzen (um 10 MHz) auch: Es schneidetja die Signale um w = 1/ (RC) ab.18.4.24. Hamittons PrinzipDas System sei beschrieben durch die Koordinaten x; undihre Ableitungen v; = .:i:;. Die Lagrange-Funktion hängtdann ab von x;(t), .:i:;(t) und vielleicht auch t direkt. Nehmenwir an, wir hätten die Trajektorie x;(t), .:i:;(t) gefunden, für diedas Integral ein Extremumhat (hoffentlich ein Minimum).Dieser Verlauf ist dadurch gekennzeichnet, daß sich das IntegralW = J L dt kaum ändert (nur in höherer Ordnung),wenn wir statt x;(t) die nahe benachbarte Trajektoriex;(t) + eu;(t) mit sehr kleinem B setzen. Nullsetzen der Ableitungvon W nach B ergibt also den gesuchten Verlauf. Da Bklein ist, können wir nach Taylor entwickeln:L(x; + eu;,.:i:; + BÜ;, t)~ L(x;,.:i:;, t) + e(u; äL/äx; + u; äL/ä.:i:;).Unter dem Integralzeichen kann man nach B differenzierenund erhält für jedes i als Extremumsbedingung dW /de =J(u; äL/äx; + Ü; äL/äx;) dt = 0. Der zweite Term ergibt,partiell integriert, u; äL/ä.:i:;- J u; d/dt(äL/äi;) dt. Weil u;an beiden Grenzen Null ist, bleibt nur das zweite Integral,und insgesamt muß sein J u;(äLjäx; - d/dt(äLjä.:i:;)) dt= 0. Da aber die Verschiebung u;(t) ganz willkürlich war,läßt sich das nur allgemein erreichen, wenn d/dt(8L/8.:i:;)- äL/äx; = 0 ist. Dies ist die Euler-Gieichung des allgemeinenVariationsproblems. Im Beispiel der Mechanik bildendiese Gleichungen für alle i die Lagrange-Gleichungenzweiter Art, die in cartesischen Koordinaten in Newtons Bewegungsgleichungenübergehen.18.4.25. Fermats PrinzipKompaß und Bordcomputer stecken natürlich in der Welle.Sie schnüffelt sozusagen auch Wege ab, die dem optimalenbenachbart sind, und erkennt dann durch Versuch und Irrtum,daß diese Wege nichts taugen. Man kann nämlich alle diesedenkbaren benachbarten Wellen überlagern, und sie werdennur auf dem optimalen Weg konstruktiv interferieren. Nebenbeilöschen sie sich so weitgehend aus, daß nur die Beugungserscheinungenübrigbleiben.18.4.26. Lorenz-BifurkationenDer Fixpunkt (0, 0, 0) verliert beiß = 1 seine Stabilität, wieim Text diskutiert, und gleichzeitig werden die beiden anderen(±Jy(ß-1), ±Jy(ß-1),ß-; 1) reell. Für sie heißtdie charakteristische Gleichung für die Eigenwerte f(},) =2 3 + (1 + rx + y)2 2 + y(rx + ß)A. + 2rxy(ß- 1) = 0. Sie hatkeinen Zeichenwechsel, also nach Descartes keine positiv

IIIIII1214 Lösungen zu den Aufgabenreelle Lösung, demnach entweder drei negative oder einenegative und ein komplex konjugiertes Paar. Am Übergangzwischen beiden Fällen fallen zwei reelle Lösungen zusammen,die Kurvef(J.) berührt dort mit ihrem Minimum die},­Achse. Hier verwandeln sich die bisher stabilen Knoten ineinlaufende Spiralen. Das komplexe Paar hat ja zunächstnoch negative Realteile, die Stabilität bleibt vorläufig erhalten.Wo die Doppelwurzel liegt, ist mühsam zu berechnen.Man schreibe die charakteristische Gleichung x 3 + bx 2 +cx + d = 0, substituiere y = x - b/3, was auf f(y) = y3+ 3py + 2q = 0 mit p = c/3 - b 2 j9, q = b 3 j27 -bc/6 + d/2 führt. Bedingung für die Doppelwurzel: f = 0und f' = 0, woraus folgt y = -q / p, und dies in f' = 0 eingesetztgibt p 3 + q 2 = 0. Bei rx = 10, y = 3 z. B. ergibt dasß = 1,3 85. Das zweite wichtige Ereignis findet statt, wenndas komplexe Paar die imaginäre Achse überschreitet, alsodie Wirbel instabil werden. Dann müssen die Eigenwerte lauten(), is -is, und f(}c) heißt (J,- ()) · (J.- il:) · (i, + is) =;.3 + (5}.2 + 8 2 }. + ()s2 = 0. Vergleich mit der Originalgestaltergibt () = 1 + a + y = 2rx(ß- 1)/(rx + ß) oder ß =(3 + rx + y)j(rx- 1 - y). Bei rx = 10, y = 3 haben wir für1,385 < ß < 26,67 stabile Spiralen, darüber den chaotischenLorenz-Attraktor.18.4.27. Das Apfelmännchen auf dem FeigenbaumMandelbrot geht einfacher, weil er kein lineares Glied enthält.Das Komplexe stört dabei gar nicht. Mit x =l/2- z/a, a = I+ Vl- 4c können wir die Ergebnisseauf die logistische Iteration übertragen. Der einfache Fixpunktistdefiniert durch z = z 2 + c. Das Produkt der beidenLösungen ist c (Vieta: z 2 - z + c = (z- Zl) (z- zz) ). Stabilitätsgrenze:lf' (z;) I = 2lz;l = l. So erhält man die Epizykloide,die den großen "Apfel" begrenzt. Die Zweierperiodeverlangt Z3 = f(zz) = !lf(z1)) = zi + 2czf + c(1 + c) = Z1·Das Polynom z 4 + 2cz - z + c(l + c) = 0 hat vier Wurzeln,deren Produkt c( c + 1) ist. Zwei davon kennen wirschon: Die einfachen Fixpunkte erfüllen die Periodizitätsbedingungauch. Ihr Produkt ist c. Für die beiden anderen bleibtdas Produkt 1 + c. Stabilitätsgrenze: lf2'(z1)1 = lf'(z2)!'(z1)1= 4IZ2Zll = 411 + ci = 1: Kreis um -1 mit Radius;!. Bei derDreierperiode ergibt sich ein Polynom achten Grades mitdem Produkt c(c3 + 2c 2 + c + 1) der acht Wurzeln. Zweidavon für die Einerperiode sind für das c verantwortlich,die sechs anderen bilden drei konjugiert komplexe Paare.Je drei von ihnen ergeben die Stabilitätsgrenze lf3'1 =lf'(zJ)!'(zz)f'(zJ)I = 8lz3Z2Z!I = 1, alle sechs also64 IT~ z; = 64(c3 + 2c 2 + c + 1) = ±1. Man findet leichtdie Lösung c = - i = -1,75 für +I und numerisch c =-1 , 7 59708 für -1, sowie dann die beiden anderen c =- k ± i ß/8. Die reelle entspricht dem winzigen scheinbarisolierten Apfelmännchen ganz links, das komplexe Paar denbeiden großen Buchten oben und unten auf dem großenApfel. Vergleich der Mandelbrot- und der Feigenbaum-Grenzenim Reellen: Einerperiode zwischen ;! und - ~ bzw. 1 und3, Zweierperiode zwischen - ~ und - ~ bzw. 3 und 1 + v'6.Dreierperiode zwischen - i und -1,759708 bzw. 1 + v's =3,828427 und 3,835285.

FarbtafelnTafel 1:Strömungslehre ................... . ... . .......... . . . 1216Tafel2:Optische Phänomene .. . .......... . . . .. . ...... . ...... 1218Tafel3:Nuklidkarte .. . .................................... . 1220Tafel4:Z-Zerfall im ALEPH-Detektor ..... . ... . . ....... ... ... . 1221Tafel 5:Fulleren-Kristalle .. . . .. . . .. . . .. ... . . . . . . .. ...... . . . . 1222Tafel 6:Relativistische Fahrt durch Berlin . . ... . ......... .. ..... 1223Tafel 7:Fraktale Strukturen 1 .. . . . .. .. . . ... . . .. . . . . . . . . . .. . . . 1224Tafel 8:Fraktale Strukturen 2 ......... . ... . . .. ...... . . . .. . ... 1226Tafel9:Spektroskopie und Farbenlehre ..... . ............. .. . .. 1228Tafe110:Farbräume .... . ..... . . . . ..... ... . .......... . ...... . 1230

1216 Tafel1: Strömungslehre(a, b) Schubspannungsverteilung an der Oberfläche einer Kugel in einerScherströmung. Diese fließt oben nach links, unten nach rechtsund versetzt die Kugel in Drehung. Rechts und links nimmt die Kugeldas Fluid mit, und so entsteht dort bei niedriger Reynolds-ZahlRe die gleiche Spannungsverteilung wie oben und unten, nur mit anderenVorzeichen; die Kugel rotiert ja unbeschleunigt. Bei höheremRe verschiebt sich das Bild, weil jetzt die Trägheitskräfte im Fluid einegrößere Rolle spielen und schließlich zur Ablösung der Strömungführen ((a) Re = I, (b) Re = 100))(c, d) Verteilung des Druckes (oben) und der Schubspannung (unten)an der inneren Oberfläche eines Rohrkrümmers, in den ein Fluid vonhinten einströmt. Man sieht auch das für die fin ite element-Rechnungbenutzte Gitter. Der Druck in der Biegung und die Scherspannungdahinter können das Rohr bis zur Zerstörung beanspruchen, was z.B.auch für den Aortenbogen des Menschen von Bedeutung ist ((c) Re =1800, (d) Re = 1800))

Tafel 1: Strömungslehre1217(e-l)Acht Phasen aus der Rotation eines kurzenStabes in einer Scherströmung. Er drehtsich infolge der stark veränderlichen Schubspannungsverteilungmit veränderlicherWinkelgeschwindigkeitw: Abwechselnd beschleunigtdas Fluid den Stab bzw. der Stabdas Fluid. In einer Wasserströmung ist dasmittlere w = I0-7Jr2 s -I (Radius r in m). Beir = 10 f.Lllllägen also die Teilbilder jeweils1 ms auseinander. ((e-1) Re= 1)3.60 ~3 0 g.4 c"' 0.3.20 g..

1218 Tafel 2: Optische Phänomene(a) Polarlicht. Schnelle Elektronen (bis I 0keV) und Protonen (bis fast 1 MeV), die dieSonnencorona als Sonnenwind weggeblasenhat, dringen auf Spiralbahnen um die Magnetfeldlinienbis 90-100 km über dem Bodenin die Erdatmosphäre ein. Dort werdensie durch Dissoziations-, Ionisations- undAnregungsakte gebremst und erzeugen vorallem die blaue 391-428 nm-Bande des N 2 -Ions, aber auch die gelbgrüne 558 nm -unddie rote 630 nm-Linie des atomaren 0 . Entsprechendder Richtung der Feldlinien siehtman nahe den Magnetpolen oft fast senkrechthängende Girlanden, in niederen Breiten(bei extremer Sonnenaktivität bis 40°)mehr flachliegende rasch flackernde Wolken.Das Bild wurde bei Kiruna in Nordschwedenaufgenommen© Foto dpa(b) Tscherenkow-Licht. In der Wasserabschirmungeines Kernreaktors oder einerstarken Strahlenquelle (hier der 6

Tafel 2: Optische Phänomene 1219(c) Regenbogen. Konstruieren Sie paralleleStrahlen, die an verschiedenen Stellen in einenkugeligen Tropfen eintreten, an dessenRückseite reflektiert werden und wieder austreten.Sie werden sehen: Der austretendeStrahl wird erst immer steiler, dann wiederflacher. Bei der Umkehr (42°) drängen sichdie Strahlen besonders zusammen: Dort istes am hellsten. Der Bogen hat immer 42°Radius. Die Umkehrstelle hängt von derBrechzahl ab, daher bildet sich ein Spektrum.Wie ist es aber mit dem zweiten Bogen,der oberhalb des ersten mit umgekehrterFarbfolge hängt? Dicht unterhalb des erstenBogens sieht man manchmal noch zusätzlicheFarbbögen. Sie kommen durch Beugungzustande© H. Vogel, TU München(d) Abendrot. Selbst absolut reine Luft färbtdas Sonnenlicht, hauptsächlich durch Streuungan Luftmolekülen. Diese Rayleigh­Streuung ist proportional zu v4 und ergibtdas Blau des Himmels. Für das direkte Lichtbleibt bei tiefem Sonnenstand auf dem langenWeg durch die Atmosphäre überwiegendGelb und Rot übrig. Sehr verstärkt wird diesdurch feine Dunst- und Staubpartikel, soferndiese klein gegen die Wellenlänge sind. DerStaub, den der mexikanische Vulkan EIChichan 1982 weit in die Stratosphäre geschleuderthat und der jahrelang die Äquator-und Passatzone umrundete, hat noch bis1988 Sonnenuntergänge wie diesen erzeugt,besonders im Sommer sogar im Mittelmeergebiet,wohin sich dann die Roßbreiten verschieben;hier an der französischen Atlantikküste(Les Landes) 1985. Der viel heftigerePinatubo-Ausbruch (1991) hat das noch vieleJahre bis über un sere Breite hinaus getan.Wie langsam sinken denn solche Teilchen inder Strato- oder Troposphäre?© H. Vogel, TU München

1220 Tafel 3: NuklidkarteB = 0pBF= 4MeVz--·.. -.....,------"'··-_.-: •184Z•SOZ•BNDie bisher bekannten NuklideZ, N Anzahlen der Protonen bzw. Neutronene stabile Nuklidee ß+-Strahlere ß--s trahlera -StrahlerMagische Protonen- und Neutronenzahlen sind durch Doppelstriche,die Existenzgrenzen möglicher Kerne durch gestrichelte Linien angedeutet.Bn , Bp : Austrittsarbeiten von Neutronen bzw. Protonen aus einemSystem aus Nukleonen© Prof. Dr. Peter Armbruster, Gesellschaft für Schwerionenforschung, Darmstadt

Tafel 4: Z-Zerfall im ALEPH-Detektor 1221Nachweis eines Ereignisses aus der e+e- Vernichtung mit demALEPH-Detektor, der als LEP Speicherring am CERNeingesetztwird. Das Ereignis wird als Zerfall des neutralen Vektorbosons Z inQuark und Antiquark interpretiert© ALEPH-Kollaboration, CERN, Genf

1222 Tafel s: Fulleren-KristalleIm Vordergrund dieStruktur des fußballförmigenC 60 -Moleküls.Das ist der populärsteVertreter derGattung der Fulleren­Moleküle, die allegeschlossene Käfig­Strukturen aufweisen.Bei der ErforschunginterstellarenStaubes wurde eineMethode entdeckt,C 60 und andere Fullerenein präparativenMengen herzustellen.Man kannKristalle züchten, diegänzlich aus Fullerenenaufgebaut sind.Sie werden Pulleritegenannt und stellenneue Formen elementarenKohlenstoffsdar. Im HintergrundFullerit­Kristalle, die nur ausC 60 -Molekülen bestehen(Mikroskopbild,Durchlicht)©Prof. Dr. W. Krätschmer.MPI für Kernphysik.Heidelberg 1994

Tafel 6: Relativistische Fahrt durch Berlin1223(a) Das Brandenburger Tor als Computergrafik in Normalansicht (etwaeine Lichtsekunde hoch und zwei Lichtsekunden breit), wobei dierelative Geschwindigkeit des Beobachters zum Tor hin Null ist.Farbgebung: Vorderseite hellgelb, Innenseiten leuchtend rot, rechtskräftig gelb, oben schmutzig rot, Rückseite (nicht sichtbar) blau(b) Dasselbe Tor, wenn sich der Beobachter mit 99% der Lichtgeschwindigkeitauf das Tor zubewegt, aus deutlicher Entfernung gezeigt:Das gesamte Tor erscheint zum Beobachter hin gewölbt, dieInnenseiten sind besser sichtbar(c) Gleiche Ansicht wie (b), jedoch aus mittlerer Entfernung. DieWölbung nach vorne ist extrem, die Innenseiten treten stark verzerrthervor(d) Desgleichen kurz vor Eintritt des Beobachters in den mittlerenDurchgang. Es zeigen sich bereits die blauen Flächen der rückwärtigenSeite(e) Blick zurück (immer noch bei 99% der Lichtgeschwindigkeit).Der relativistische Effekt ist gering, macht sich aber durch(f) eine leichte Krümmung vom Beobachter weg immer noch deutlichbemerkbar© Prof. Dr. Hanns Ruder und Unive rsität Tübingen, Institut für Astronomie undAstrophysik, Abteilung Theoretische Astrophysik

1224 Tafel 7: Fraktale Strukturen 1Die Mandelbrot-Menge. Je nach dem komplexenWert c konvergiert die Iteration z ~z2 + c, divergiert verschieden schnell gegenUnendlich oder tut keines von beiden, sondernspringt periodisch oder chaotisch umher.Die Farbe, die ein Punkt der komplexenc-Ebene erhält, hier als Höhe in einer Landschaftdargestellt, hängt davon ab, wieschnell der Betrag von z einen bestimmtenWert R überschreitet. Die c-Punkte, die Konvergenzergeben oder bei denen sich z nacheiner vorgegebenen Zyklenzahl (Rechentiefe)N weder für Konvergenz noch fürs Überschreitender Grenze R entschieden hat, bildenden dunkelblauen Mandelbrot-See. VerschiedeneStellen in dessen Uferzone enthüllenin der Nahaufnahme eine erstaunlicheStrukturfülle, besonders bei Steigerung derZyklenzahl N(a) Die Form des großen "Apfels" und deslinken daransitzenden kreisrunden Sees wirdaufS. 999 diskutiert (Einer- bzw. Zweierperiodeder Iteration)(b) Dieser Archipel (bei c = -0,712 +0,225 i)umschließt mehrere Krater. Wenn der Wasserspiegelsinkt, verwandelt sich so ein Kraterin ein Amphitheater mit einem immerkleiner werdenden, aber unergründlichenSee in der Mitte

Tafel 7: Fraktale Strukturen 1 1225(c) Zu jedem festen komplexen Wert c gehörteine Julia-Menge, bestehend aus denkomplexen Punkten z, für die die Iterationz f- z2 + c weder konvergiert noch ins Unendlicheentweicht. Sie bildet die Uferliniedes hier schwarzen Julia-Sees, der aus denzur Konvergenz führenden Startpunkten zbesteht. Allerdings erhält man eine zusammenhängendeSeefläche nur, wenn c innerhalbdes Mandelbrot-Sees liegt, andernfallseine Sumpflandschaft aus unendlich vielen,unendlich kleinen Tümpeln. Steigerung derZyklenzahl N läßt auch hier den Wasserspiegelabsinken, und manchmal kann man erstdann entscheiden, ob ein zusammenhängenderJulia-See oder ein Julia-Sumpf vorliegt(d) Wir sind am äußersten Punkt der stumpfenHalbinsel rechts (0,250 + 0 i, Kästchen Ain 7a). Die Steilufer des Julia-Sees fallenauch unter Wasser senkrecht weiter: Er istunergründlich. Sowie wir aber ein wenignach rechts gehen (z.B. nach 0,251 + 0 i), erscheintbei Senkung des Wasserspiegels(Steigerung der Zyklenzahl N) der Grund, inden einzelne tiefe kleine Seen eingebettetsind, die sich bei weiterer Senkung in immerwinzigere Wasserlöcher auflösen© H. Vogel, TU München

1226 Tafel 8: Fraktale Strukturen 2(a) Ein Klacks Schmierseife wird zwischenzwei Glasplatten gepreßt. Die Platten werdenlangsam wieder auseinandergezogen. Aufbeiden Platten bleiben verästelte Strukturenwie diese(b) Stahlkügelchen in einem Schälchen mitÖl werden durch das Feld einer 25 kV-Spitzezu baumartigen Strukturen arrangiert

TafelS: Fraktale Strukturen 2 1227(c, d) Video-Rückkopplung. Natürlich werdendie Bilder in der ständigen Bewegungund Veränderung auf dem Bildschirm vielaufregender. (S. 996 und Aufgabe 18.4.23)© H. Vogel, TU München

1228 Tafel 9: Spektroskopie und Farbenlehre400 500 600 A.lnm 700FeaHe(d) Viel besser sind visueller Wirkungsgrad und Anpassung an dasSpektrum des Tageslichts bei der Leuchtstoffröhre. Durch das kontinuierlicheLumineszenzspektrum des Leuchtstoffes auf der Rohrinnenwandschimmern die diskreten Linien der Hg-Füllung durch(a) Spektren einiger Elemente: Fe mit seinen vielen 3d-Elektronenhat sehr viele Linien, Na mit seinem einen Valenzelektron im Sichtbarennur die enge Doppellinie bei 589 nm, die auf dem Übergang3p-3s beruht und auch im Sonnenspektrum als D-Absorptionsliniesehr stark hervortrittGIHyF b EI I IHs Mg CaD C BI I Ia Hu 0(b) Sonnenspektrum: Aus dem Kontinuum der heißen dichten Photosphärengaseabsorbieren die kühleren sehr verdünnten Schichten darüberselektiv die Fraunhofer-Linien, die unten als Emissionsliniendargestellt und den erzeugenden Elementen zugeordnet sind. DieB-Linie stammt allerdings vom atomaren 0 in der irdischen Hochatmosphäreund verschwindet daher bei Messungen vom Satelliten aus(e) Durch additive Mischung kann man aus den drei Grundfarbenalle Farbtöne herstellen (mit verschiedenen Anteilen der Grundfarben,nicht nur mit gleichen wie hier dargestellt). Mischfarben werdenhierbei immer heller als ihre Komponenten, bis hin zum reinen Weiß(c) Das Licht der Glühlampe bildet nur einen schmalen Ausläufer desPlanck-Spektrums des Glühdrahtes und enthält leider nur knapp 5%von dessen Emissionsleistung(f) Subtraktive Mischung der drei Grundfarben (hier mittels durchscheinenderFarbschichten) erzeugt auch alle Mischfarben, aber diesewerden immer dunkler, bis zum fast reinen Schwarz

Tafel 9: Spektroskopie und Farbenlehre(g) Die Netzhaut enthält zwei Arten Lichtrezeptoren:Zäpfchen und Stäbchen. DieZäpfchen haben für die einze l n'~n Spektralanteilesehr verschiedene Empfindlichkeilen(gestrichelte Kurve, Maximum bei 559 nm;s. auch Abb. 11.7). Sehr viel höher und etwasanders wellenlängenabhängig ist die Empfindlichkeitder Stäbchen (obere Kurve,Maximum bei 520 nm); eine Farbempfindungvermitteln sie aber nicht, sondern nurGrau-Eindrücke* Die Abbildungen wurdenmit freundlicher Genehmigungdes VerlagsPaul Haupt Bem gestaltetnach: M. Zwimpfer:Farbe - Licht, Sehen,Empfinden (Haupt, Bem1985);Abbildungs-Nr.: 9a (141 ),9b (142), 9c (144), 9d(144), 9e (90), 9f (11 1),9 g (248), 9 h (257), 9 i(256), 9 j (128) und 9k(127).. .... .....(h, i) Es gibt drei Zäpfchenarten für Blau, Grün und Rot (s. auch Abb.11.17). Aus den Reaktionen von zwei oder drei davon synthetisiertdas Gehirn additiv jede Mischfarbe. Bei den meisten Menschen sitzendie grünen Rezeptoren in einem engeren Netzhautbereich als dieroten und blauen: Bäume muß man genauer fixieren, den Himmelsieht man immer. Ganz außen sitzen nur noch Stäbchen, immer dünnergesät: Was plötzli-ch von außen ins Gesichtsfeld tritt, erscheint ofterschreckend grau-schemenhaft(j, k) In der Drucktechnik gelten Blau, Gelb und Magenta als Grundfarben(obwohl die letzte keine Spektralfarbe ist). Violett, Grün undRot entstehen als binäre subtraktive Mischungen.Die Reemissionsspektren rechts zeigen, welche Spektralanteile diegefärbten Flächen aus weißem Licht reflektieren. Im Fall Grün ist angedeutet,wie sich das Gelb- und das Blau-Spektrum subtraktiv überlagern.Für alle anderen Mischfarben gilt Entsprechendes

1230 Tafel 10: Farbräume•töne auf der Achse, Schwarz und Weiß an den Polen. Eine dreieckigehalbe Schnittfläche (nicht gezeigt) enthält dann lauter gleiche Farbtönemit den Ecken Weiß, Schwarz und Reinbunt(a, b) Im Farbkreisel von Ostwald, wie schon 100 Jahre vorher in derFarbkugel von Philipp Otto Runge, liegen die reinen Buntfarben aufdem Äquator (Komplementärfarben einander gegenüber), die Grauy(c, d) Das Farbdreieck des CIE-Systems (Commission Internationaled' Eclairage; s. auch Abb. 11.18 und 11.19) ordnet alle durch additiveMischung von Spektralfarben erzeugbaren Farbtöne in einer Ebenemit Weiß im Zentrum. Jede Gerade durch das Zentrum verbindetzwei Komplementärfarben. Die reinen Spektralfarben liegen auf derAußenkurve; das Magenta auf der abschließenden Purpurgeradenkommt im Spektrum nicht vor* Die Abbildungen wurden mit freundlicher Genehmigungdes Verlags Paul Haupt Bem gestaltet nach:M. Zwimpfer: Farbe- Licht, Sehen, Empfinden(Haupt, Bem 1985); Abbildungsnummern : !Oa (376),lOb (379), !Oe (405) und IOd (405)

Quellennachweisfür die Einleitungs- und AusblickabbildungenEinleitungsabbildungenFoto Deutsches Museum München (Kap. 1-11, 13, 15-18)Niels Bohr Archive Kopenhagen (Kap. 12)Siemens-Forum München und Familie Schottky (Kap. 14)Nebenstehende Abbildungen wurdenmit freundlicher Genehmigung ins Buchaufgenommen, © ...AusblickabbildungenEBM-Service für Verleger Luzem (Kap. 2)D.M. Eigler, IBM Research Division: Quantum Corrals, in: H. Sakaki undH. Noge (Eds:): Nanostructures and Quantum Effects, Springer Ser. in MaterialsSei., Vol. 31 (Springer, Berlin Beideiberg 1994) (Kap. 16 unten)Foto Deutsches Museum München (Kap. 3-7, 11 - 13)Foto Haie Observatories (Kap. 17)Foto Mt. Wilson and Palomar Observatories (Kap. 9)Intel GmbH München (Kap. 14)Verändert nach LeGrand Atlas de I' Astronomie, Encyclopredia Universalis,3rd Edition, Paris 1994 (Kap.15)D.C. Rapapart and M. Meyer, in: A. Bunde and S. Havlin (Eds.):Fraetats in Science (Springer, Berlin Beideiberg 1994) (Kap. 18)P.E. Toschek, W. Neuhauser, in: D. Kleppner, F.M. Pipkin (Eds.)Atomic Physics 7 (Plenum, New York 1981) (Kap. 8)H. Vogel, TU München (Kap. 1, 10, 16 oben)

Sach- und NamenverzeichnisAbbe, Ernst (1840-1905) 521Abbe-Refraktometer 486Abbe-Theorie des Auflösungsvermögens521Abbildungsgesetz- des Hohlspiegels 484- der Linse 489Abbildungsgleichung 484Abbildungsmaßstab 493Abendrot 554, 1219 (Farbtafel 2)Aberration 500- , chromatische 493- , sphärische 492, 507abgeschlossene Doppelleitung 444abgeschlossenes System 23Abgleich der Brücke 322Abklingzeit 607,608, 807Ablenkkondensator 450Ablenkung- im elektrischen Feld 450- im Magnetfeld 451Ablösearbeit 445Abreißkante 125Abschirmung 346,743,908-, magnetische 369Abschirmzahlen 910, 1134Abschneidebedingung 778absolute Feuchte 262absolute Reaktionsraten 944absolute Ruhe 835absolute Temperatur 209absolute Vergangenheit 855absolute Zukunft 855absoluter Alkohol 292absoluter Nullpunkt 209absolutes Anderswo 855Absorber-Kühlschrank 292Absorption 172, 178, 547- im Ionenkristall 785- im Metall 794- von Mikrowellen 480- schneller Elektronen 669- von Ultraschall 196Absorptionsgesetz 178, 692Absorptionsgrad 570Absorptionskante 642, 803Absorptionskoeffizient 178, 222, 547,642- von Ostwald-Bunsen 275- für Röntgenstrahlen 642- für Teilchenstrahl 222Absorptionslinie 551Absorptionsquerschnitt 223, 642Absorptionsspektrum 547- des Festkörpers 786Abstimmschärfe 413Abstimmung 429Abtasttheorem 830Abtrennenergie 773Abwärme 231Abweichung, Standard- 7Achromat 493Achsen, freie 87Adams, lohn C. (1819-1892) 57,1183Adaptation 499Additionstheorem der Geschwindigkeit844additive Farbmischung 577Additivität der Entropie 243Adhäsionskraft 103Adiabasie der Schallausbreitung 164Adiabate= lsentrope 219Adiabaten-Exponent 219Adiabatengleichungen 219adiabatisch (ohne Wärmeaustausch)219,940adiabatisch-indifferente Schichtung100,587adiabatische Entmagnetisierung 274adiabatische Expansion undKompression 220adiabatische Kompressibilität 164adiabatische Zustandsänderungen219Adsorption 290, 339Aerostatik 93affine Transformation 995Aggregatzustände 260Agone 375Aharanov-Bohm-Effekt 1188Ähnlichkeitsdeformation 129Ähnlichkeitskriterium 117Airconditioner 228, 272Airy-Formel 531Akkommodation 499Akkord 191Akkretionsscheibe 955Akkumulator 342, 350Aktiniden 580,645,650,666,910Aktionspotential 196Aktionsprinzip 12, 13Aktivator 608, 1006aktivierter Zustand 258Aktivierungsenergie llO, 258,287,812Aktivität 703akustischer Zweig 783Akzeptorterm 805akzessorische Pigmente 593Albedo 595Albedo-Neutronen 738d'Alembert, Jean le Rond(1717-1783) 162d'Alembert-Gleichung 162, 183Alfvin, Bannes (1908) 475Alfven-Bedingung 475Alfven-Welle 475Alhazen (Ibn al Haitham)(965- 1039) 481Alkali-Spektren 624Alkalien 645Alkalihalogenid-Optik 579Alkalihalogenide 815allgemeine Relativität 861allosterische Umwandlung 988IX-, ß-, y-Strahlung 478IX-Helix 769, 922IX-Spektrum 688IX-Strahlen, Einzelstreuung 673a-Streuung 670a-Teilchen 686IX-Zerfall 739, 904Alter- der Erde 288- der Welt 871alternierende Gradienten 702Altersbestimmung 690Alvarez, Luis W (1911-1988) 657,740Amboß, Hammer, Steigbügel 194Ammoniak-Maser 614amorphe Halbleiter 810amorphe Stoffe 94, 750amorpher Zustand 94Ampere(= A) 317Ampere, Andre M. (1775-1836) 391Ampere-Ringsträme 388

1234 Sach- und NamenverzeichnisAmperemeter 322Amperes Durchflutungsgesetz 359Amplitude 18-, komplexe 156Amplitudenmodulation 146, 158Analysator 535analytische Funktionen 108Anderson, Carl D. (1905-1991) 706,712,736Andromeda-Nebel 68anelastisches Verhalten 132Anfahrvorgang 45Anfangsbedingungen 15angeregter Zustand 610Angström-Einheit (= A = 10-10 m) 3allharmonischer Oszillator 631, 972Anharmonizität der Gitterschwingung764Anionen 331Anker 418Anklingen der Photoleitung 990Anklingzeit 806Anlauffarben 529Anlaufmoment 422Anlaufstrom 458Anode 330Anodenfall 468anomale Dispersion 199anomale magnetische Momente 716,722anomaler Zeeman-Effekt 661anomales magnetisches Momentdes Elektrons 651Anomalie des Wassers, thermische211,267,291Anpassung, akustische 195Anregung 802Antenne 435Antennenrauschen 884anthropisches Prinzip 1182Antiferroelekrizität 396Antiferromagnetismus 396Antikathode 632Antimaterie 708Antimaterie-Antrieb 852antimetrischer Tensor 854Antineutrino 707,714Antineutron 708Antiproton 708Antiproton-Erzeugung 880Antiteilchen 707Anyonen 1188AO-Methode 917aperiodischer Grenzfall 157Apertur, numerische 496Apfelmännchen 999Aphakie 510Aquaplaning 138Äquipartitionstheorem 212Äquipotentialfläche = Niveaufläche25,300Äquivalentleitfähigkeit 334Äquivalenz von Masse und Energie847Äquivalenzprinzip 861, 862Arago, Dominique (1786-1853) 534Aräometer 98Arbeit 20Arbeit und Wärme 935Arbeitsdiagramm 229Arbeitsfähigkeit eines Systems 259Arbeitspunkt 459Arbeitstakte der Carnot-Maschine 231Arbeitswiderstand 459Arehirnedes (~-285 bis -212) 80,97,776Arehirnedes-, Hebelgesetz 81-, Prinzip des 97, 136Archivmeter 3Argand-Diagramm 156Aristarch von Samos(~-310 bis -230) 597Aristoteles (-384 bis -322) 62,481Aron-Schaltung 410Arrhenius, Svante (1859-1927) 446,478Arrhenius-Auftragung 257,447Aspect-Experiment 917Aspirationspsychrometer 263assoziierte Teilchenerzeugung 709,727Asthenosphäre 376Astigmatismus 492- schiefer Bündel 492Aston, Francis W (1877-1945) 455,676Astan-Dunkelraum 468asymmetrisches C-Atom 545Asynchronmotor 462Äther 836Ätherwind 837Atmosphäre-, Aufbau der 285 ff.- (~bar) 95-, homogene 99-, isotherme 99Atmosphärendruck 99atmosphärische Refraktion 485atmosphärische Turbulenz 498Atom-Strukturfaktor 760atomare Masseneinheit 676Atombombe 681Atomgewicht 645Atomradius 755Atomstoß 611Atomstrahl 227Atomuhren 502, 617Atomvolumen 647Atomwärme 212Attraktor 140, 965-, seltsamer 969Auer-Strumpf 580Aufbau der Elemente 885Aufbauprinzip 649Aufdampfschichten 775Aufenthaltswahrscheinlichkeit 894Auflösungsvermögen 496, 510, 562- des Auges 520- des Elektronenmikroskops 507- des Fernrohrs 520- des Gitters 522- des Mikroskops 520- des Prismas 523- des Spektrographen 523Auftrieb 97-, dynamischer 117Auge 498Augenlinse 495Auger-Effekt 641,666Ausbreitungsvektor 164Ausdehnungskoeffizient-, kubischer 217-, linearer 210Ausdehnungsthermometer 210, 284Ausgleichsrechnung 8Auslöse-Zählrohr 696außerordentliches Licht 536Ausströmgesetz von Torricelli 119Austauschkraft 674,719Austauschwechselwirkung 739Austrittsarbeit 445Auswahlbedingung 620Auswahlregel 610,626,629,631,912Auswuchten 88Autokatalyse 988, 1002Autokorrelation 1002autonome Dynamik 965auxochrome Gruppen 579Avogadro, Amadeo (1776-1856) 98Avogrado-Gesetz 212Avogadro-Zahl 212Axiome- der Elektrodynamik (Maxwell)424- der Mechanik (Newton) 12, 13- der Quantenmechanik 891azeotropes Gemisch 278

Babinet, Jacques (1794-1872) 561Babinet-Prinzip 561Back-Abreißbogen 660Bahndrehimpuls 27, 52, 625Bahngeschwindigkeit 16Bahnlinien 104Bahnmoment 391Bahnstörungen 57Bakteriophage 507Balkenbiegung 134, 140ballistische Kurve 44ballistisches Galvanometer 406Ballon 285Balmer-Formel 621Balmer-Spektrum 621Bandbreite 958Bandenkopf 627Bandenspektrum 627Bändermodell 797 ff.Bandfilter 402, 441bar, mbar 95Bardeen, Brattain, Shockley 809Bardeen, lohn (1908-1991) 826Bardeen-Cooper-Schrieffer-Theorie826Bariumtitanat 316,396Barkbausen-Effekt 396Barkhausen-Kurz-Röhre 461Barkhausen-Röhrenformel 459bam 682,688Barometer 99barometrische Höhenformel 224Baryon 708, 725Baryonenzahl 725Basilarmembran 195,205Basis- eines Gitters 755- eines Transistors 809Basis-Strukturfaktor 760Basiseinheit 755bathochrome Gruppen 579Bäuche und Knoten 165, 185 ff.Bauchflächen 184Bausteinprinzip 649BCS-Theorie 826Beauty Quark = Bottom Quark 727Becquerel ( = Bq) 703Becquerel, Henri (1852-1908) 685Bednorz, J. Georg (1950) 828Beer-Gesetz 178Bekesy, Georg v. (1899-1972) 195Beleuchtung 568Beleuchtungsdichte 568Beleuchtungsstärke 567Beleuchtungstechnik 594Belichtungsmesser 806Bell-Ungleichung 917Benard-Zellen 237Bergmann-Serie 624Bergsteigen 65Bernoulli, Daniel (1700-1782) 118Bernoulli, Jakob (1654-1705) 65Bernoulli, Johann (1667-1748) 65Bemoulli -Gleichung 118 ff.Beschleunigung 11Beschleunigungsleistung 76Beschleunigungsmesser 202Besetzungsumkehrung 614Bessel, Friedrich Wilhelm(1784-1846) 500Bessel-Funktion 171, 520Bestrahlung 565Bestrahlungsstärke 565ß-Faltb1att 922ß-Strahlung 686ß-Spektrum 688ß-Zerfall 718,739r -Zerfall 706Betatron 416, 699Bethe, Hans (1906) 693Bethe-Formel 693Bethe-Weizsäcker-Zyklus 682Beugung 175,513Beugungsbedingung 758Beugungsbild 520Beugungsgitter 176, 488, 517Beugungsspektrum 518 ff.Beweglichkeit 327, 456, 803- von Elektronen 327,456, 803- von Ionen 332 ff., 465Beweglichkeitskante 811Bewegung-, geradlinig gleichförmige 12-, gleichmäßig beschleunigte 14-, gleichförmige Kreis- 16- unter Reibungseinfluß 42Bewegungsamplitude 165Bewegungsgleichung 12, 15,80Bezugssehweite 493Bezugssystem 9, 33-, rotierendes 56Bhabha-Streuung 721Biegung 93, 134Bifurkationen 1001BigBang 874Bilanzgleichung 959Bild 482Bildcodierung · 995Bildgröße 484 ff.Bildkraft 309Sach- und Namenverzeichnis 1235Bildröhre 471Bildwandler 582Bildweite 484Bimetallstreifen 210bimolekulare Kinetik 463, 806bindendes Elektronenpaar 915Bindungen 60Bindungsenergie 902- des H 2 915,921- pro Nukleon 739Bindungstypen 762Binnendruck 268, 270Binnig, Gerd (1947) 448,508Binomialkoeffizient 925Biot-Savart-Gesetz 367Biprisma 515bistabiles Potential 974bit 957 ff.Bitter-Streifen 395B jelou ssow-Zhabotinski-Reaktion989Bjerrum-Fehlei 772Blasenkammer 695Blasenkammerspur 708Blasinstrumente 185Blasius-Gesetz 125, 138Blende 482Blindleistung 402Blindleistungsmesser 439Blindstrom 403Blindstromkompensation 403,405,413Blindwiderstand 402Blitz 347,467Bloch, Felix (1905-1983) 657,658Bloch-Gleichungen 685Bloch-Purcell-Versuch 685Bloch-Wände 395Blut-Viskosität 139Bodenfrost 288Bodenkörper 275Bogenentladung 468Bogenmaß 4Bogenspektrum 620Bohr, Mottelson u. a. 679Bohr, Niels (1885-1962) 620,693,716,883Bohr-Effekt 989Bohr-Energie 590,622Bohr-Frequenzbedingung 610Bohr-Magneton 653, 667Bohr-Modell 618ff., 906- für Kernbahn 667- für Quarks 746Bohr-Postulate 620,898Bohr-Quantenbedingung 859

1236 Sach- und NamenverzeichnisBohr-Radius 622Bohr -Sommerfeld-Bausteinprinzip649Bohr-Sommerfeld-Modell 666Bohr-Sommerfeld-Quantenbedingungen625Bolometer 581Boltzmann, Ludwig (1844-1906)110,225, 336Boltzmann-Arrhenius-Gesetz 328Boltzmann-Konstante 209Boltzmann-Nemst-Satz 340Boltzmann-Planck-Beziehung 243Boltzmann-Verteilung 224,225,931-, einfache Herleitung 959Born, Max (1882-1970) 762Bom-Haber-Kreisprozeß 762Bose-Einstein-Kondensation 961Bose-Einstein-Statistik 946, 949Base-Flüssigkeit 949Boson 654,718,920,946Bothe, Walter W (1891-1957) 602bottom- oder beauty-Quark 727Bottomium 727Bourdon-Rohr 282Boyle-Mariotte-Gesetz 98, 216Brachistochrone 65Brackett-Serie 621Bradley, James (1693-1762) 500Bragg, William Henry (1862-1942)633Bragg, William L. (1890-1971) 633Bragg-Kurve 1134Braggs Reflexionsbedingung 533,634,758,830Brandung 206Braun, Karl Ferdinand (1850-1918)453braune Zwerge 876Braunsehe Röhre 453Bravais-Gitter 756, 831Brechen der Wellen 205brechende Kante 487Brechkraft 490Brechung 485Brechungsgesetz 173- für Elektronen 502- für Magnetfeldlinien 369Brechungsindex 485Brechzahl 485,550Breit-Wigner-Formel 154Breiteneffekt 734,747Bremsen 65Bremsformel 693,741 ff.Bremsstrahlung 637,666,684Brennlinie 492, 509,999Brennpunkt 484Brennspannung 467Brennstoffzelle 345Brennweite 484-, hintere 489-, vordere 489Brewster-Fenster 563Brewster-Gesetz 539Brewster-Winkel 539Bridgman-Verfahren 775Brillouin-Streuung 761, 787Brillouin-Zone 759,830Brinell-Härte 135de Broglie, Louis (1892-1987) 168,556,857,893de Broglie-Beziehung 168de Broglie-Welle 556,858Brown, Robert (1773-1858) 223Brownsche Bewegung 193,223Bruchdehnung 132,761Brücke 140Brückenschaltung 322, 479bucky ball 776Bügeleisen 349Bugwelle 201,206Bündel von Strahlen 481Bunsen, Robert (1811-1899) 120,568Bunsen-Absorptionskoeffizient 275Bunsen-Effusiometer 120Bunsenbrenner 120Burgers-Vektor 81 7Busch, Hans (1884-1973) 502Büschel von Strahlen 481c-Achse 752C-Atom 91614C-Uhr 690,741Candela(= cd) 568Carborund 801Cardioide 53Carnot, Sadi (1796-1832) 229,231,249Camot-Maschine 249Carnot-Prozeß, differentieller 287Carnot-Wirkungsgrad 230Carnot-Zyklus 221Carotinoide 593Cäsium-Uhr 5Catenoide 86, 1030Cavendish, Henry (1731-1810) 47CCD (charge-coupled devices) 582CdS-Zelle 806Celsius-Skala 211Cerenkov, Pawel A. (1904-1990)175,204,444,882Cerenkov-Zähler 697Ceres-Bahn 57CGS-System 3Chadwick, James (1891-1974) 675,706Chad wick -Goldhaber-Experiment713Chalkogene 645Chalkogenidglas 810Chamberlain, Owen (1920) 708Chandler-Nutation 1032Chandrasekhar, Subrahmanyan(1910) 665Chandrasekhar-Grenze 665, 952, 955Channeling-Elektronen 585Chaos 129,980,991chaotische Trajektorie 969Charakteristik des Zählrohrs 697charakteristische Gleichung 150charakteristische Strahlung 639, 666charge conjugation 733charge-coupled devices (CCD) 582Charles-Gesetz 217Charlier-Modell 883charm 727charmed Quark 727Charmonium 727Charpak, George (1924) 698Le Chatelier-Braun-Prinzip 266Chayydm, Omar (1035-1122) 963chemische Bindung 902chemische Energie 257 ff.chemische Fehlordnung 812, 814chemische Kinetik 1003, 1006chemische Verschiebung 668Chezy -Gauckel-Manning-S triekler139Child-Gesetz 458Chiralität 732Chladnische Klangfiguren 186Chlorophyll 591Chopper 581Christiansen-Filter 580chromatische Aberration 493- der Fresnel-Linse 525Chromatographie 290chromophore Gruppen 579Chromosphäre 582Clausius, Rudalf(l822-1888) 37,938Clausius-Clapeyron-Gleichung 264Clausius-Mosotti-Beziehung 314cloudy crystal ball 679ern-Wellen 461

CN-Zyklus 682co2 291C02-Krise 35C0 2 , pV-Diagramm 268Cochlea 195Cockcroft-Walton-Beschleuniger699Coehn-Regel 337,338Cohen-Fritzsche-Ovshinsky-Modell811Color 728Colorimetrie 577Compound-Kern 687Compton, Artkur (1892-1962) 602Compton-Effekt 602, 662Campton-Streuung 721Compton-Wellenlänge 722confinement time 683Conwell-Weisskopf-Theorie 790Cooper, Leon N. (1930) 826Cooper-Paar 826, 833Copernicus, Nikolaus (1473-1543)69,597Coriolis, Gustave (1792-1843) 56Coriolis-Beschleunigung 56, 70, 90Coriolis-Kraft 56, 57Cornu-Spirale 528Corona 205, 375,591Corona-Entladung 467Cortisches Organ 195Couette-Strömung 111Coulomb ( = C) 294, 317Coulomb, Charles A. de(1736-1806) 298Coulomb-Gesetz 295- für Magnetpole 370Coulomb-Kraft 296, 353Coulomb-Potential 301Coulomb-Reibung 40Coulomb-Stoßradius 472. Coulomb-Streuung 672 ff.Coulomb-Wall 681Coulombmeter 408Cowan-Reines-Experiment 706,745cp und cv 213,218CP-Invarianz 733Crab-Nebel 597,960Cs-Uhr 463CsCl-Struktur 753CTP-Invarianz 733Curie (= Ci) 703Curie, Marie (1857-1934) 685,740Curie, Pierre (1859-1906) 390,685,740Curie-Gesetz 391Curie-Temperatur 374,392Curie-Weiss-Gesetz 392Cygnus X-1 869Czochralski-Verfahren 77 5D-Linien 607Dalitz-Plot 711Dampf, übersättigter 269Dampfdruck 260 ff.Dampfdruckdiagramm 277Dampfdrucksenkung 277Dampfmaschine 219,227,229Dampfturbine 227Dämpfung 150,412Dämpfungskonstante 606Darwin-Fowler-Theorie der Mondentstehung68Davis-Experiment 747Davisson, Clinton J. (1881-1958)558Debye 308Debye, Pieter (1884-1966) 184,207,337, 788ff.Debye-Frequenz 197Debye-Giauque-Verfahren 274Debye-Grenzfrequenz 780Debye-Hückel-Länge 337,350Debye-Hückel-Onsager-Theorie 335Debye-Hückel-Wolke 350Debye-Scherrer-Verfahren 558, 635Debye-Sears-Verfahren 191Debye-Temperatur 779Debye-Theorie der dielektrischenPolarisation 314, 348Debye-Waller-Faktor 761Debyes spezifische Wärme 780, 830Decelerationsparameter 871Defektelektronen 801Definition, Operationelle 2Deformationsenergie 134deformierbarer Körper 93Dehmelt, Hans-Georg (1922) 462,463Dehnung 130Dehnungsmeßstreifen 329,790Dehnungsmodul 130Deimos 1103Deklination 375Dekrement, logarithmisches 150i5 Cephei-Sterne 205b-Funktion 893Dendriten 997Descartes, Rene (1596-1650) 481Descartes-Regel 986, 1005Destillation 277,291Sach- und Namenverzeichnis 1237Detektor-Teleskop 743Determinismus 963deterministisches Chaos 980, 993Deuterium 676Deuteron 676Dewar-Gefäß 241Dezibel 194Dia-Projektor 496Dialyse 276Diamagnetismus 390Diamant 754,762,770,775Diamant-Schleiferei 829Diamantgitter 753,829Diathermieströme 416Dichroismus 538Dichte 13,764Dichteanomalie des Wassers 771Dichtemodulation 461Dicke-Brans-Jordan-Theorie 865Dielektrika 311dielektrische Polarisation 312,313,549dielektrische Relaxation 314dielektrische Suszeptibilität 312dielektrische Verluste 314Dielektrizitätskonstante 311- von Ionenkristallen 785Diesel-Motor 221,229,231differentieller Widerstand 468differentieller Wirkungsquerschnitt673differentielles Ionisierungsvermögen466Diffusion 224, 238, 239- von Fehlstellen 813Diffusionsgleichgewicht 225Diffusionsgleichung 238, 832Diffusionskonstante 240Diffusionspumpe 238, 280Diffusionsstrom 224Digitalanzeiger 546Dilatation 93Dimension 3Dingweite 484Diode 447-, Halbleiter- 807 ff., 831Dioptrie 490Dipol 307Dipolantenne 435Dipolbindurig 762, 769Dipolenergie 308Dipolfeld 57,374Dipolkristall 769, 829Dipolmoment 308, 312, 911Dirac, Paul A. M. (1902-1984) 294,706,733

1238 Sach- und NamenverzeichnisDirac-Gleichung 184Dirac-Theorie 912Direktionskraft 19diskrete Dynamik 965Dislokation 765,804,816dispergierende Materiewellen 184disperse Phase 339Dispersion 169,199,205,438,487,548-, akustische 178-, anomale 199,548-,normale 199,487,548Dispersion im interstellaren Plasma961Dispersion von Wasserwellen 199Dispersionsbereich 532Dispersionsbeziehung 183Dispersionsformel 830Dispersionskräfte, Landansehe 768Dispersionskurve, Theorie 549Dispersionsmittel 339Dispersionsrelation für Gitterschwingungen781, 830Dispersionsstufe 178dissipativ 24dissipative Strukturen 960dissipatives System 970Dissoziation 350, 666Dissoziationsgrad 335, 350Dissoziationsenergie 666Dissoziationskinetik 335, 350Divergenz 106DNS 507Donatorterm 805Doppelbrechung 535 ff., 563Doppelhelix 922Doppellogarithmische Auftragung8,9Doppelpulsar 866Doppelschicht 338Doppelschichtlinse 503Doppelspalt 563Doppelspalt, Beugung am 559Doppler, Christian (1803-1853) 177Doppler-Effekt 177,203,501-, relativistischer 843-, transversaler 879Doppler-Verbreiterung 663Dosimetrie 465,703 ff., 743Dosis 704Dosis, tödliche 706Dosisäquivalent 704Dosisleistung 704,743Dotierung 803,804,811Drahtkammer 698Drahtwellen 436Drallstabilisierung 43Drehachse 72-, momentane 88Dreharheit 75Drehbeschleunigung 73Dreheisen-Meßwerk 407Drehfeld 421Drehgeschwindigkeit 73Drehimpuls 27,76- von Elementarteilchen 653Drehimpulskopplung 654Drehimpulsoperator 919Drehimpulsquantelung 652Drehimpulsquantenzahl 625, 648,907Drehimpulssatz 26, 77Drehkondensator 413Drehkristallmethode 635Drehmoment 76Drehpendel 85Drehschieberpumpe 279Drehschwingung 85Drehspiegelmethode 501Drehspulamperemeter 406Drehstrom 409Drehstrom-Asynchronmotor 420Drehung der Polarisationsebene 544Drehung, infinitesimale 73Drehwaage 47Dreiecksschaltung 409Dreierstoß-Rekombination 611Dreiphasenmotor 420Dreiphasenstrom 409 ff.Driftgeschwindigkeit 464Driftkammer 698Drillung 93,131dritte Spektroskopie 728Dritter Hauptsatz der Wärmelehre260Drosselspule 468Druck 95- eines Gases 136, 214 ff.Druckabhängigkeit des Widerstandes329Druckamplitude 162Druckarbeit 95,220Druckaufschmelzung 290Druckfestigkeit 133Druckkraft 111Druckkraftdichte 116Drucksonde 119Druckverbreiterung 607Drude, Paul (1863-1906) 789,794Drude-Absorption 794Drude-Ansatz 472Drude-Lorentz-Theorie 789Dualiät des Lichtes 600Duane-Hunt-Gesetz 639Duffing-Schwinger 972Düker-Möllenstedt-Versuch 564Dulong-Petit-Regel 213,777,793Dunkeladaptierung 499,567Dunkelentladung 467Dunkelfeldbeleuchtung 172Dunkelfeldkondensor 496dunkle Masse 876dünne Blättchen 529 ff.Dünnschicht-Elektrophorese 350Duplex-Interferometrie 532Durchflutungsgesetz = Verkettungsgesetz362Durchgriff 459Durchschlag 480Durchschlagsfeldstärke 467Durchschlagskraft von Geschossen29Durchstrahlungsmikroskop 507Durchtritt durch Potentialschwellen901 ff., 920Düsenantrieb 27, 28Dynamik 12 ff.-, autonome 965-, deterministische 964-, diskrete 965-, probabilistische 964-, stetige 964-, stochastische 964Dynamische Zähigkeit 109 ff.dynamischer Auftrieb 117dynamisches System 964dynamoelektrisches Prinzip 398Dynamomaschine 397 ff.Dynamotheorie 374Dynode 449e-Messung 307,347e/m-Bestimmung 471E-Modul 132,829Ebbe und Flut 50ebener Raum 873Ebullioskopie 277ebullioskopische Konstante 277Echelette-Gitter 533Echo-Satellit 509Eddington, Arthur S. (1882-1944)294,744,878Eddington-Dirac-Beziehung 884Eddington-Grenze 955Edelgase 645edge dislocation 816

effektive Kernladung 908, 910, 1134effektive Masse 800, 831Effektivspannung 399, 400Effektivwert 399Effusiometer 120Eggert-Saha-Gleichung 449Ehrenfest, Paul (1880-1933) 833Eigen, Manfred (1927) 957Eigenfehlstelle 812Eigenfrequenz 182 ff.Eigenfunktion 890Eigenhalbleitung 803Eigenschwingung 181, 182,437Eigenvektor 77,958,966Eigenwert 890, 966eightfold way 724einachsig-negative Kristalle 536Eindringtiefe für Totalreflexion 486einfach-kubische Gitter 753Einfangquerschnitt- für Elektronen 670- für Neutronen 678,714,745- für Rekombination 465eingefrorene Fehlordnung 813eingefrorene Freiheitsgrade 213Einheiten 2, 3Einkristall 811Einphasenmotor 442einsames Elektronenpaar 770Einschlußzeit ( confinement time)683Einschwingvorgang 157Einschwingzeit 154Einstein, Albert (1879-1955) 54,139,530,556,572,600,716, 777.,835,838,883Binstein-Beziehung 225Binstein-Gleichung 447Einstein-de Haas-Effekt 393,654Einstein-Podo1sky-Rosen-Paradoxon917Einstein-Raum 873Einstein-Smoluchowski-Formel 223Einstein-Temperatur 778Einstein-Theorie der spezifischenWärme 830Einstein-Viskosität 139Einstein-Weltall 872Einsteins Ableitung des Planck-Gesetzes 573Einzellinse 504Einzelnukleonen-Modell 678Einzugsgebiete 968Eis 754, 762, 769Eisdecke, Dickenwachstum 291Eisen-Kristall 829Eisenkern 413Eisenverluste 414Eisgitter 753, 829Eiszapfen 771EKG 408elastische Dämpfung 140,815elastische Energie 134elastische Energiedichte 134elastische Hysteresis 133, 816elastische Konstanten 133elastische Kraft 19elastische Membran 184elastische Nachgiebigkeit 815elastische Nachwirkung 133elastische Streuung . 687elastische Welle 162 ff.Elastizitätsgrenze 132Elastizitätsmodul 130,761- von Gummi 821Elektret 396elektrische Elektronenlinse 503elektrische Feldstärke 296, 297elektrische Ladung 293elektrische Leitfähigkeit 327,472- des Plasmas 472elektrische Leitung von Metallen795elektrische Relaxation 329elektrischer Fluß 297elektrischer Unfall 348, 350elektrisches Feld 296elektroakustische Schallgeber 197elektrochemisches Äquivalent 331elektrochemisches Potential335,336Elektrode 330Elektrodynamik 353 ff.elektrodynamisches Meßwerk 406Elektrodynamometer 439Elektrokardiograph 408Elektrolumineszenz 809Elektrolyse 330Elektrolyt 330-, starker 335elektrolytische Polarisation 341elektrolytischer Trog 504Elektromagnet 371elektromagnetische Wellen 423 ff.Elektrometer 307Elektromotor 387,418Elektron 294, 445 ff.Elektron-Phonon-Stöße 787Elektronegativität 922Elektronen-Hohlspiegel 504Elektronen-Synchrotron 699Elektronenaffinität 914, 922Sach- und Namenverzeichnis 1239Elektronenbaupläne der Elemente649Elektronenbeugung 557,560Elektronengas 472Elektroneninterferenz 346, 556 ff.Elektronenlinse-, elektrische 503-, magnetische 505Elektronenmikroskop 502, 506Elektronenoptik 502Elektronenradius, klassischer 744Elektronenröhre 456Elektronenspiegel 512Elektronenspinresonanz (paramagnetischeElektronenresonanz, ESR)658Elektronenstrahloszilloskop 453Elektronenstrahlwaffen 860Elektronenstreuung im Nukleon 722elektrooptischer Effekt 546Elektroosmose 338Elektrophorese 338,350elektroschwache Wechselwirkung719Elektrostatik 293 ff., 317, 353elektrostatische Energie des Kerns739elektrostatischer Entstauber 347elektrostatischer Generator 700Elektrostriktion 197,316Elektrozähler 407Elementarladung 294Elementarlänge 744Elementarteilchen 706Elementarzeit 71 7, 726Elementarzelle 755Ellipsenbahn 52 ff.ellipsoidische Kerne 679elliptische Polarisation 534Elmsfeuer 467Emissionsdichte 567Emissionsmikroskopie 506Emissionsvermögen 236Emitter 809Empedokles ( ~ -490 bis -430) 481Empfindlichkeit 84, 406Enddruck 279endergonische Reaktion 258Endmaße 3endotherme Reaktion 258Energie-, freie 252-, geothermische 36-, kinetische 22-, potentielle 24Energie-Eigenwert899 ff.

1240 Sach- und NamenverzeichnisEnergie-Impuls-Tensor 857Energieauflösung 694Energiebänder 797Energiedichte 169,315,429- des Magnetfeldes 386Energiedosis 704Energiekrise 35Energielücke 826Energieoperator 896, 898Energiequantum 572Energiesatz 180-, mechanischer 25-, quantenmechanischer 899-, relativistischer 848-, thermodynamischer 218Energiespektrum der ß-Teilchen 688Energiespektrum der Primärstrahlung735Energiestromdichte 169,429Energiestufen des Atoms 618 ff.Energietal 677Energieübertragung beim Stoß 34Energieverlust schneller Teilchen693Ensemble von Gibbs 934entarteter Eigenwert 890entartetes Gas 792, 950Entartung 188, 890- der Elektronenzustände 625Entartungstemperatur 792, 950Entdämpfung 614,975Enthalpie 253, 939Entmagnetisierung 389Entmischung 289Entropie 242, 243, 926, 938- und Information 926 ff., 957 ff.- und Wahrscheinlichkeit 242 ff.,926 ff.Entropiekraft 820Entropiequelle 960Entropiestrom 959Entsalzung 291Enzym 258, 945Eötvös, Lordnd (1848-1919) 47Epidemiologie 986epitaxiales Wachstum 774Epizentrum 203Epizykloide 999EPR-Paradoxon 917Erdalkalien 645Erdbebenwellen 203Erde, Alter der 288Erden 645Erdkern 203Erdmagnetismus 373Erdrotation 61Erdsatellit 509Ereignishorizont 875ergodisch 992Erhaltung der Ladung 294Erhaltungssätze 59, 731Erholungszeit 696,813Ermüdung des Lichts 875Ersatzschaltbild 405,415Erstarren 266Erster Hauptsatz der Wärmelehre217Erwartungswert 894erweitertes kosmologisches Postulat874Erzeugung von Magnetfeldern 359erzwungene elektrische Schwingung412erzwungene Emission 515,573,596,613,656erzwungene Schwingung 154Esaki-Diode 462, 809ESR (electron spin resonance) 65611-Meson 707Euklid (~-340 bis -270) 481Buklid-Algorithmus 204Euklidischer Raum 873Euler, Leonhard (1707-1783) 135,143,776Euler-Gleichung 1213Euler-Knicklast 135Euler-Mascheroni-Konstante 1194Euler-Nutation 1032Eustachische Röhre 195Eutektikum 291Everetts viele Welten 918Evolution 1003Ewald-Konstruktion 759Exciton 832Exciton-Supraleiter 823exergonische Reaktion 258Exosphäre 286, 737exotherme Reaktion 258Expansion des Weltalls 870 ff.Extinktionskoeffizient 547Exzentrizität einer Ellipse 52Eyring -G lasstone-Laidler-Theorie944F-Zentrum 815Fabry-Perot-Interferometer 532, 617Facettenauge 562Fadenelektrometer 307Fading 443Fall, freier 15Fall, freier mit Luftwiderstand 43fallende Kennlinie 462fallende Widerstandskennlinie 468Fallschirm 66Fallschnur 15Farad(= F) 305Faraday, Michael (1791-1867) 331,377,716Faraday-Becher 304Faraday-Dunkelraum 468Faraday-Effekt 552Faraday-Gesetze der Elektrolyse 330Faraday-Käfig 304Faraday-Konstante 332Faraday-Modulator 618Farbdreieck 577,597Farbe der Quarks 728Farben dünner Blättchen 529 ff.Farbenblindheit 577Farbfernsehen 578Farbfilm 579Farbkuppler 579Farbladung 728Farbmetrik 577Farbstoffe 578Farbtemperatur 576, 596Farbton 577Farbzentren 815Fast Fourier Transform, FFT 149Fata Morgana 512Federkonstante 19, 134Fehler-, absoluter 5-, grober 5-, konstanter 5-, parallaktischer 5-, relativer 5-, systematischer 6-, zufälliger 6Fehlerfortpflanzungsgesetz 6Fehlerfortpflanzungsgesetz vonGauß 8Fehlerquadrat, mittleres = Standardabweichung7Fehlerrechnung 5 ff.Fehlordnung 812Feigenbaum-Szenario 974,981Feigenbaum-Zahl 129,981Feinstruktur 656,667,908Feinstrukturkonstante 642, 651, 717,734,1128Feinvakuum 278Feldbogen 468Feldemission 448, 904~eldemissions-Mikroskop 347Feldenergie, elektrische 310,315

Felder, konservative 24Feldgradient 702Feldlinien 25-, elektrische 296Feldlinse 495Feldquanten 719Feldstärke-, elektrische 296- des Gravitationsfeldes 48Feldtensor 857Fermat, Pierre (1601-1665) 529Fermat-Prinzip 173Fermi, Enrico (1901-1954) 680,689,706,715,718,735,879,946,952Fermi-Beschleuniger 748Fermi-Dirac-Statistik 946Fermi-Druck 664Fermi-Einheit (10- 15 m = 1 fm) 3Fermi-Energie 792Fermi-Fläche 798Fermi-Gas 471,791,949,954Fermi-Grenze 343, 830, 948Fermi-Impuls 791Fermi-Statistik 718Fermi-Theorie- des ß-Spektrums 961- energiereicher Stöße 952Fermi-Verteilung 446, 948, 1200Fermion 654,718,920,946Fernkraft 55Fernleitung 441Fernrohr 497Fernrohr-Auflösung 520Fernsehantennenkabel 436Fernsehröhre 453, 479, 806Fernsehschirm 608Ferraris-Zähler 407Fernelektrizität 396Ferrimagnetismus 396Ferrite 396Ferritkerne 413Ferroelektrizität 396ferromagnetische Resonanz 659Ferromagnetismus 391Feshbach, Porter, Weisskopf-Modell679feste Körper 93Festigkeitsgrenze 132Festkörper 93, 458, 750 ff.Festkörper-Laser 811Fettauge 103Fettfleckphotometer 568feuchtadiabatischer Gradient 587Feuchte 262Feynman, Richard P. (1918-1988)716,746Feynman-Graphen 720FFAG-Fokussierung 702Fibonacci-Folge 189,204Ficksehe Gesetze 238Figurenachse 88Filter-, akustisches 192-, elektrisches 402, 441-, optisches 580Fitzgerald-Kontraktion 837Fixpunkt 965Fixpunkte der Temperaturskala 211Fixsternparallaxe 597Fizeau, Armand (1819-1896) 501,511Fizeau-Versuch 837, 879Fizeau-Zahnradversuch 501Flächenintegral 106Flächensatz 26, 52Flächenträgheitsmoment 140Flachwasserwellen 200Flageolett 184Flammenionen 450Flare 375Flaschenzug 82flavor 720, 726Fledermaus-Sonar 204Flettner-Rotor 138Fließen 132Flucht vor dem Zwang 266Fluchtgeschwindigkeit 30Flugzeug, dynamischer Auftrieb 128,138fluide Körper 94Fluidität 109Fluoreszenz 607Fluoreszenzlöschung 608Fluß 105-, elektrischer 297flüssige Luft 272flüssiges Helium 272,961Flüssigkeit 93-, ideale 115, 118-, inkompressible 104Flüssigkeitsmanometer 99Flüssigkeitsthermometer 210Flüssigkristalle 546Flußmittel 608Flußquant 832Flußregel 297,301Flußrichtung 808Flußschlauch-Zustand 825Flußspatgitter 753Flußspatoptik 580Fokussierung, starke und schwache700,702Sach- und Namenverzeichnis 1241Fokussierung von Laserlicht 616farmelastisch 93Formierung einer Glühkathode 447Fortrat-Diagramm 631Foucault, lion (1819-1868) 501, 511Foucault-Drehspiegel 501Foucault-Pendel 56, 70Fourier; Jean-Baptiste (1768-1830)146,168,186,207,584,890Fourier-Analyse 146Fourier-Integral 148,918Fourier-Reihe 146,918Fourier-Synthese 522Fourier-Transformation 760Fourier-Transformation, diskrete 148Fourier-Transformations-Spektrometer562fovea centralis 494, 499, 520Fragmentation eines Quarkpaares729Fragmente der Kernspaltung 680Fraktale 969,993Fraktale Dimension 993fraktales Wachstum 996fraktionierte Destillation 278Franck, James (1882-1964) 609Franck-Condon-Prinzip 632Franck-Hertz-Versuch 609Frank-Read-Quelle 818Fraunhofer; Joseph (1787-1826)527Fraunhofer-Beugung 527Fraunhofer-Linien 571,588freie Achse 87freie Elektronen 325,446freie Energie 252,259,939freie Enthalpie 252freie Flugdauer 464freie Ströme 388freie Weglänge 286, 464-, mittlere 222, 286freier Fall 15Freiheitsgrad 72, 182,211-, mechanischer 72-, sechster 213Freiheitsgrade, eingefrorene 213fremderregter Generator 398Frenkel-Fehlstellen 804,812Frequenz 20- einer Welle 164 ff.Frequenz-Meßbrücke 442Frequenzband 168Frequenzmodulation 159Frequenzspektrum 146Fresnel, Augustin J. (1788-1827)173,513,515,530,534,541,559

1242 Sach- und NamenverzeichnisFresnel-Beugung 176,527Fresnel-Biprisma 346, 517Fresnel-Doppelspiegel 517Fresnel-Formeln 540Fresnel-Linsen 524Fresnel-Zonenplatte 525Friedmann, Aleksandr A.(1888-1925) 873Friedmann-Raum 873Friedmann-Zeit 871,873Friedrich, Walther (1883-1968) 633Frontlinse 496Frostschutzmischung 292Fujiyama-Modell 674Fulleren 776Fundamentalschwingungen 181Funken 467, 469Funkenkammer 696Funkenschlagweite 469Funkenspektren 624Funkenstrecke 469Funktion-Vektor-Analogie 888Funkverkehr 474Fusion 37,681,739Fusionsenergie 37Fusionsplasma 476Fusionstemperatur 665fuzzy logic 1002G-Messung 67G-Modul 132Gaede, Wolfgang (1878-1945) 238,280Gaede-Pumpe 280galaktische Magnetfelder 585Galaxien-Haufen 287Galaxien-Quintette 885Galaxis-Rotation 92Galilei, Galileo (1564-1642) 12, 62,68,500,835Galilei-Fernrohr 497Galilei-Transformation 853Galle, Johann Gottfried(1812-1910) 57galvanische Abscheidung 330Galvanische Elemente 340Galvanometer 406,441Gamma-Astronomie 498Gamma-Elektroskop 704y-Lebensdauer 718y-Resonanzabsorption 604Gamow, George (1904-1968) 874Gamow-Modell 741Gangunterschied 514Gasballast 280Gasdruck 98, 136,215Gasdynamik 120Gase 93Gasentartung 791, 946 ff.Gasentladung 463-, selbständig 467-, unselbständig 467Gasentladungslampe 469,583Gaskinetik 214 ff.Gaskonstante 216Gasthermometer 217Gasturbine 227Gasverflüssigung 270Gaszentrifuge 290Gate 810Gauß, Carl Friedrich (1777-1855)57,375,462Gauß-Funktion 61,929Gauß-Krümmungsmaß l 02Gauß-Ostrogradski-Satz 106,297,301,997Gauß-Verteilung 7, 671Gauß-Zahlenebene 143Gay-Lussac-Gesetz 216gebundene Ströme 388gedämpfte Schwingung 150 ff.Gefrierpunktssenkung 277Gegeninduktivität 387Gegenionenwolke 350Gegenkapazität 388Gegenkopplung 460Gegenstandsgröße 484Gegenstandsweite 484Gegenstrom-Wärmeaustauscher 271Geigenspiel 975Geiger, Hans (1882-1945) 602,670,696Geiger-Müller-Zähler 347,465Geiger-Nuttall-Regel 691,742Geiger-Reichweitegesetz 694Geißler-Rohr 468gekoppelte Pendel 181Gelbfilter 564Gell-Mann, Murray (1929) 723Gemenge 274Genauigkeit 406Generator 397,418genetische Mutation 705de Gennes, Pierre G. (1932) 822geodätische Linie 863Geomagnetismus 373 ff.4Jr-Geometrie 61geostationärer Satellit 67geothermische Energie 36geothermische Tiefenstufe 374geradlinig gleichförmige Bewegung12Geräusch 191Germer, Lester H. (1896-1971) 558Gesamtimpuls 23gesättigte Lösung 275Geschoßdrall 92Geschoßgeschwindigkeit 27Geschwindigkeit 10Geschwindigkeitsamplitude 169Geschwindigkeitspotential 108Geschwindigkeitsraum 226Geschwindigkeitsverteilung(Maxwell) 226Getriebe 82Getterpumpe 281Gewächshauslampen 470Gewicht 15, 16Gewitter 467Gewittertheorie 347Gezeitenbremsung 61Gezeitenenergie 36Gezeitenkraft 49, 50, 68gezogener Lauf 92gg-, gu-, ug-, uu-Kerne 677GHz-Schwingungen ( = cm-Wellen)460 ff.Gibbs, Willard (1839-1903) 252,267Gibbs-Ensemble 934Gibbs-Phasenregel 267Gibbs-Potential 252,939Gilbert, William (1544--1603) 373Gitter 517-, Auflösungsvermögen 522- einer Röhre 459Gitterdynamik 781Gitterenergie 761Gitterfehler 811Gitterkonstante 633Gitterschwingung 182, 776Gitterspektrograph, Auflösung 523Gittervektoren 755Glas 750,810-, elektrische Eigenschaften 811Glaser, Donald A. (1926) 695Glasfaser 486Glaskörper 498gleichförmige Kreisbewegung 16Gleichgewicht-, indifferentes 81-, labiles 82-, stabiles 82-, thermodynamisches 251 ff., 939Gleichgewichts-Isotopieeffekt 960Gleichgewichtsbedingungen 80

gleichmäßig beschleunigte Bewegung14Gleichrichter 447Gleichrichterkennlinie 808Gleichstrom 317,321G Ieichstrommotoren 419Gleichverteilungssatz 208,212,777,943Gleichzeitigkeit, Relativität der 840Gleitebene 816Gleitreibung 40, 114Glimmentladung 468Glimmlampe 467,470Glimmlicht, negatives 468Glimmzünder 480Glowkurve 832Glühemission 445, 960Glühkathode 445 ff.Glühlampe 571,596Glühstrumpf 580Gluon 719,720Goeppert-Mayer, Jensen-Modell 678Golay-Zelle 581Goldene Regel der Mechanik 82Goldener Schnitt 189, 204Golfstrom 284Goos-Haenchen-Effekt 486Gradient 25, 232Gradientendrift 477Graetz-Schaltung 400Grammatom 212grand unification 720, 726Granulation 591, 1061graphischer Fahrplan 878Graphit 754, 775Graphit-Moderator 745grauer Strahler 576Gravitation 1, 46 ff.Gravitationsfeld 48Gravitationsgesetz 46Gravitationskollaps 868Gravitationskonstante 86Gravitationslinsen 877Gravitationspotential 87Gravitationstheorie, Einsteinsehe862Gravitationswellen 866, 884Graviton 674,716Gray(= Gy) 704Grenzbedingung = Randbedingung187Grenzenergie- des ß-Spektrums 688- der Röntgenstrahlung 639Grenzflächenspannung 103Grenzfrequenz 639Grenzkontinuum 623Grenzkurve der Supraleitung 824Grenzschicht 124Grenzschichtablösung 125Grenzwinkel 485Grenzzyklus 129, 965,969Grobvakuum 278große Vereinheitlichung 699,720,726Grundgesamtheit 61Grundgitterabsorption 804Grundschwingung 146, 182Grundvektoren 755Grundzustand 610Grüneisen-Kurve 796Gruppengeschwindigkeit 168, 200,206Guericke, Otto von (1602-1686) 136Gummielastizität 821Gunn-Diode 461,809Güte des Schwingkreises 413Gütefaktor 151,157,617gyromagnetisches Verhältnis 393,654,667H-ähnliche Störstelle 805H-Atom 618 ff., 905H-Bombe 476,682H-Brücke 591,769, 922H-Elektrode 341H-Feld 363H-Maser 463H2-Molekül 915Haarhygrometer 263de Haas-van Alpheu-Effekt 798Hadron 725Hadron-Jets 729Hadronenära 885Hadronenerzeugung 729Haftreibung 40Haftspannung 103Haftstellen . 806Hagen-Poiseuille-Gesetz 112Hahn, Otto (1879-1968) 680Haidinger-Streifen 532Halbkristallage 773Halbleiter 799, 801Halbleiter-Bauelemente 807Halbleiter-Detektor 328, 582, 694Halbleiter-Kinetik 805Halbleiter-Laser 810Halbleiterelemente 461, 462Halbwertszeit 690Hall, Edwin H. (1855-1938) 357Sach- und Namenverzeichnis 1243Hall-Effekt 357-, Quanten- 831Hall-Generator 357Hall-Spannung 357Hall-Widerstand 831Halley, Edmond (1656-1742) 61Hallwachs-Effekt (Photoeffekt) 447Haloerscheinung 511Halogene 645Halogenlampe 597Hamilton, William R. (1805-1865)60,892Rarnilton-Funktion 59,970Rarnilton-Mechanik 59Hamilton-Operator 896, 900- im Magnetfeld 919Hammer, Amboß, Steigbügel 194Hämoglobin 65, 988Hämolyse 276Hangabtrieb 85harmonische Schwingung 18, 141harmonische Welle 161,893harmonischer Oszillator 629, 905,933Härte 135- der Röntgenstrahlung 641harte Myon-Komponente 736harte Supraleiter 824, 826hartmagnetisch 392Hauptachse, optische 536Hauptachsen 88Hauptachsentransformation 890Hauptebene der Linse 491Hauptkrümmung 865Hauptkrümmungsradien 187Hauptpunkte der Linse 491Hauptquantenzahl 620, 648, 906Hauptreihensterne 588Hauptsatz der Wärmelehre-, Erster 217-, Zweiter 248-, Dritter 260Hauptschluß 398Hauptschlußmotor 420Hauptserie 624Hauptträgheitsachsen 77Hausdorff-Dimension 993Hauteffekt 422Hawking, Stephen W (1942) 883Hawking-Strahlung 869, 883HBO-Lampe 5833He- 4 He-Verfahren 273He-Ne-Laser 616Hebel 82Hebelgesetz 80Hefner-Kerze (= HK) 568, 594

1244 Sach- und NamenverzeichnisHeisenberg, Werner (1901-1976)129,395Reisenberg-Unschärferelation 560,895Heißluftmotor 229Heitler-London-Methode 917Heizofen 235Heizung 288Heizwert 290Helium II 961Helium 4 961Helium-Problem 885Helizität 732Helladaptierung 567Helligkeit der Sterne 595Helmholtz, Hermann v. (1821-1894)126,192,195,498,577Helmholtz-Gleichung 259Helmholtz-Potential 252, 939Helmholtz-Spulen 452Henry(= H) 384Henry-Dalton-Gesetz 275Herbstlaub 138hermitescher Operator 890, 891Hersehe!, Wilhelm (1738-1822) 579Hertz, Gustav (1887-1975) 609Hertz, Heinrich (1857-1894) 428,554,589,669,717Hertz-Oszillator 431Hertz-Wellen 428Hertzsprung-Russell-Diagramm 588Herzlinie 1103Hess, Viktor (1883-1964) 734heteropolar 762heteropolare Bindung 914Heusler-Legierungen 392hexagonal dichteste Kugelpackung751hexagonal dichtes Gitter 754HF-Spektroskopie 656 ff.Hg-Hochdrucklampe 583Hg-Höchstdrucklampe 470HiFi-Empfang 159Riggs-Teilchen 876Hilbert, David (1862-1943) 887Hilbert-Raum 888,918Himmelsblau 553Hintergrundstrahlung 735Hipparch (~-190 bis -120) 1033Hittoff-Dunkelraum 468Hittoff-Überführungszahlen 334Hitzdrahtamperemeter 408H 2 0-Molekül 916Hoch- und Tiefdruckgebiete 57hochauflösende Kernresonanz 657Hochdrucklampe 467Hochfrequenz-Spektroskopie 658Hochfrequenzströme 416Hochpaß 403Hochpolymere 818,822Hochspannungskabel 348Hochtemperatur-Supraleiter 828Hochvakuum 278Hodograph 38Hof um Sonne und Mond 562van't Hoff, Jacobus H. (1852-1911)257,276,545van't Hoff-Gesetz 257,276Hofstadter-Versuch 723Höhenformel, barometrische 99Höhensonne 469Höhenstrahlung 734 ff.Hohlleiter 434, 437Hohlraumoszillator 429,437Hohlraumresonator 438, 502Hohlraumstrahlung 571Hohlspiegel 483Hohlwelttheorie 510Hohmann-Bahnen 68holländisches Fernrohr 497Holographie 526homogene lineare Differentialgleichung150Homogenität der Zeit 59Homogenität des Raumes 59homöopolar 762homöopolare Bindung 914Hooke-Gesetz 130Hopf-Bifurkation 1001de l'Höpital-Regel 145Hörfläche 194Hornhaut 498horror vacui 278Hörschwelle 194,205Hoyle-Bondi-Gold-Theorie 874, 884Hubble, Edwin P. (1889-1953) 870Rubble-Effekt 69, 870 ff.Rubble-Konstante 870Hubschrauber 139Hui-Hui-Rad 978Hulse, Russell A. (1950) 884Hund-Mulliken-Methode 917Hund-Regel 910Huygens, Christiaan (1629-1695)172,530,633Huygens-Aufhängung 971Huygens-Fresnel-Prinzip 173Huygens-Okular 495Hybridzustand 770,913Hydratationsenergie 340Hydratisierung 330hydraulische Presse 95hydraulische Waage 97hydraulischer Widder 139Hydrodynamik 104 ff.hydrodynamische Ähnlichkeitstheorie117hydrodynamischer Impulssatz 121hydrodynamisches Paradoxon 120Hydrosol 339Hydrostatik 93hydrostatischer Druck 96hydrostatisches Paradoxon 96hydrothermale Züchtung 775Hygrometrie 262Hyperbelbahnen 671hyperbolischer Raum 873Hyperfeinstruktur 656,667,679,908Hyperladung 725Hyperon 708, 709, 725Hyperonzerfall 745, 746hyperop 499Hyperschall 184, 197Hypertonie 276Hypozentrum 203hypsochrome Gruppen 579Hypsothermometer 262Hysteresis-, elastische 133-, ferromagnetischeHysteresis-SchleifeHysteresis-Verluste392133,392415Ibn al Haitham (Alhazen)(965-1 039) 481ideale Flüssigkeit 115, 118ideale Lösung 275idealer Trafo 414idealer Wirkungsgrad 230ideales Gas 98,216-, Entropie 248-, Zustandssumme 943Idealkristall 812Identität träger und schwerer Masse861Ikonoskop 581Immersionslinse 504Immersionsobjektiv 496Impuls 14,23-, relativistischer 853Impulserhaltung 179Impulsoperator 893,919Impulsraum 39,247,791Impulssatz 23- der Hydrodynamik 121Impulsübertragung 33

indifferentes Gleichgewicht 81Induktion 318,377Induktionsdichte 355Induktionsfluß 363Induktionsgesetz 358,379,381Induktionskonstante 363Induktionsmeßwerk 407Induktionsmotor 420Induktionspumpe 441Induktionstensor 881induktive Blindleistung 402Induktivität 384Induktor 416induzierte Emission ( = erzwungeneEmission) 515,613inelastische Streuung 687irrelastischer Stoß 33Inertialsystem 55Infektionskrankheit 986infinitesimale Drehungen 73Influenz 309,347Influenzkonstante 295Influenzmaschine 309Information 168,958Informationsübertragung über Laser617Informationsverlust 992Infrarot 579Inhibitor 988inhomogene Differentialgleichung150Inklinationswinkel 374inkohärent 149inkohärente Streuung 172inkompressible Flüssigkeit 104Innenwiderstand 323,459,479- des Generators 398- einer Röhre 459- einer Spannungsquelle 323innere Konversion 688innere Reibung 93, 109innerer Photoeffekt 641Insektenauge 562Insel der Stabilität 651,678instabile Kerne 685 ff.integrierende Empfänger 582Intensität 169,565Interferenz 513- gleicher Dicke 530- gleicher Neigung 530Interferenzfarben 529Interferenzfilter 531, 580Interferenzglied 150Interferenzmaxima 515Interferenzoptik 515Interferenzordnung 515Interferenzstreifen 515Interferometrie 531Interferrikum 371intermediäres Boson 716lntermittenz 981Internationales System (SI) 2interstellare Materie 1137Interstellarrakete 849Intervalle, musikalische 191Invarianz 59,731-, relativistische 854inverse Osmose 291inverser Compton-Effekt 603Inversion 404, 731Inversionstemperatur 271Invertierung 545Ionen 330Ionenbeweglichkeit 465Ionenbindung 755, 762Ionendosis 704Ionenfehler 771Ionengas 472Ionengetter 239Ionenkinetik 463Ionenkristall 766Ionenkristalle, Optik der 784Ionenlawine 466Ionenleitungsmikroskop 508Ionenradius 755Ionenrakete 480Ionenresonanz 786Ionenwolke 335Ionisations-Vakuummeter 283Ionisationskammer 464,465,694Ionisierung 610, 693Ionisierungsdichte 693Ionisierungsenergie 449, 610Ionisierungsfunktion 466Ionisierungsgrad 449Ionisierungsspannung 647,666ionogene Bindung 914Ionosphäre 375,473IR-Fernsehkamera 582IR-Holographie 526Iris 499Irreversibilität 242irreversible Prozesse 944isentrop 940Isentrope (=Adiabate) 219Ising-Modell 394isobar 220isochor (ohne Volumenänderung)220Isochronie 65, 971Isokline 968Isolator 787,799,831Sach- und Namenverzeichnis 1245Isomere 687Isospin 725Isostasie 67isotherme Expansion 246Isotherme 220Isotonie 276Isotop 645, 676Isotopenverhältnis D : H 682Isotopieeffekt 826Isotopieverschiebung der Sprungtemperatur832Iteration 140iteratives Gleichungslösen 998iteratives Verfahren 129Jacobi-Matrix 967Jeffries-Jeans-Theorie 68Joliot-Curie, Frede.ric (1900-1958)und Jrene (1897-1956) 680,706Jolly-Gasthermometer 217Josephson, Brian D. (1940) 827Josephson-Gleicheffekt 827Josephson-Strom 833Josephson-Wechseleffekt 798, 827Joule (= J) 21Joule, James Prescott (1818-1889)218Joule-Gesetz 321Joule-Thomson-Effekt 270Joule-Wärme 321Julia-Mengen 994Jupiter 665K -Einfang 687K-, L-, M-Serie 641 ff.K 0 -Meson 709k-Raum 7574°K-Uhr 741k-Vektor 164Käfigläufer 420Kalium-Spektrum 624Kalkspat-Optik 535 ff.Kalkspatgitter 753Kalorie 214Kalorimeter 214kalte Neutronen 714Kältemaschine 228Kältemischung 292Kamera 510Kamerasucher 525Kamerlingh Onnes, Heike(1853-1926) 823

1246 Sach- und NamenverzeichnisKanalstrahl 471kanonische Gleichungen 970kanonische Verteilung 929kanonisches Ensemble 934Kant, Immanuel (1724-1804) 61Kaon 708, 726Kapazität 305kapazitive Blindleistung 402Kapillardepression 103Kapillardruck 103Kapillarelektrometer 343Kapillarität 103Kapillarkondensation 292Kapillarsteighöhe 103Kapillarviskosimeter 113Kapillarwellen 199,201, 1050Karborund 801Karman-Wirbelstraße 124Kaskadengenerator 700Katalysator 258, 945katalysierte Fusion 685,740Kathode 330Kathodenfall 468Kathodenstrahlbohrer 471Kathodenstrahl-Oszillograph 409Kathodenstrahlen 471Kathodenstrahlofen 471Kathodenzerstäubung 471Kationen 331Kausalitätsprinzip, schwaches 1002Kavitation 120Kegelschnittbahnen 53Keimbildung 774Kelvin (Thomson, William)(1824-1907) 207,288,411Kelvin-Skala 207Kennlinie 418,465- des Generators 399- der Ionisationskammer 465- des Motors 418- der Spannungsquelle 324Kepler, Johannes (1571-1630) 52Kepler-Bahnen, relativistische 863Kepler-Ellipse 52- des Elektrons 625Kepler-Fernrohr 497Kepler-Gesetze 52,54Kepler-Hyperbel 52- des a-Teilchens 671Kepler-Parabel 52keramische Supraleiter 828Kern der Galaxis 956Kernaktivierung durch Neutronen 716Kernbausteine 674Kernchemie 687Kerndichte 673Kernenergie 674Kernfusion 37,227,476,675,681,904Kerninduktion 652Kernkräfte 674kernmagnetische Resonanz 653Kernmagneton 654Kernmodelle 677Kernmomente 679Kernparamagnetismus 654Kernphotoeffekt 687Kernradien 673Kernreaktion 687Kernreaktor 680,740Kernresonanz, hochauflösende 660Kernspaltung 37,679,739Kernspin 667, 679Kernspinmessung 657Kernspinresonanz (nuclear magneticresonance, NMR) 657,658Kernspurplatten 698,710Kernverdampfung 698,736,961Kernzertrümmerung 698Kerr-Effekt 546Kerr-Zelle 501, 546Kesselzustand 180Kettenlinie 86, 91Kettenmolekül 819Kettenreaktion 680Kilogramm ( = kg) 2Kilopond 16Kinematik 9, 11kinematische Zähigkeit 109Kinetik 987 ff.kinetische Energie 22kinetische Gastheorie 214kinetische Masse 848kinetischer Isotopieeffekt 960Kippdrehzahl 422Kippmoment 422Kippschwingung 973Kippspannung 453Kippung 84, 86Kirchhoff, Gustav (1824-1887) 306,570Kirchhoff-Gesetz 595Kirchhoff-Waage 306Kirchhoffs KnotenregelKirchhoffs MaschenregelKirkwood-Shumaker-Effekt318Kirlian-Figuren 997Klang 191Klangfarbe 192, 204Klangfiguren 186klassischer Elektronenradius722318350589,Klavier 148Klein-Gordon-Gleichung 184Kleinwinkel-Korngrenze 818Klemmenspannung 323Klettern der Versetzung 817Klima 597Klirrfaktor 460Klitzing, Klaus v. (1943) 831Klystron 461Knicklast 135Knickung 135knochensuchende Radioelemente705Knotenebenen 165Knotenflächen 184Knotenlinie 204Knotenregel 318Knotensatz 905Knudsen-Effekt 960Knudsen-Strömung 222, 281Koaxialkabel 438Koaxialleitung 436Kochplatte 349Koerzitivfeld 392Koexistenz von Phasen 260 ff.kohärente Streuung 172Kohärenz 172, 514- des Laserlichts 616Kohärenzlänge 514, 607Kohäsionskraft 103Kohlebogen 469Kohlenstoff-Uhr 690kollektive Elektronenbewegung 796kollektives Kernmodell 679Kollektivlinse 495Kollektor 809kolloidale Lösung 339Kolmogorov-Entropie 992Koma 498Kombinationsprinzip von Ritz 610kommensurable Frequenzen 142kommunizierende Röhren 97Kommutativität 895,919Kommutator 419Kompensationseffekt 478Kompensationsmethode 319Kompensationsschaltung 323Komplementärfarben 577komplexe Amplitude 156komplexe Inversion 402komplexe Rechnung 400komplexe Zahlen 143komplexer Widerstand 401Komposition 924Kompressibilität 96, 98, 131Kompression 93, 130

Kompressionsmodul 133Kompressionsverhältnis 230Kompressor-Kühlschrank 272Kondensation 260Kondensationskeime 269,350Kondensationspumpe 281Kondensationswärme 100Kondensator 347- als Wechselstromwiderstand 401kondensierte Materie 94Kondensor 496konforme Abbildung 108,405konjugierte Größen 896Konkavgitter 524Konkurrenz 985konservative Felder 24konservatives System 970Kontaktspannung 343Kontinentalverschiebung 377kontinuierliches Spektrum 148Kontinuitätsgleichung 320Kontrast 496Konvektion 232,237, 1000Konversionselektronen 688Konzentration 275Kooperativität 989Koordinationszahl 755Kopenhagener Deutung 917Kopernikus, Nikolaus (1473-1543)835Kopfwellen 179Koppelpendel 181Körper-, deformierbare 93-, feste 93-, fluide 94-, starrer 72 ff.KorrelationsanalyseKorrespondenzprinzip1002626Korund 801kosmische Geschwindigkeitsstufen53,868kosmische Häufigkeitkosmische Strahlungkosmische Tankstellen678734,73570kosmischer Schauer 735kosmisches Betatron 735kosmologisches Postulat 870kosmologisches Kraftglied 872Kassel, Walther (1888-1956) 636Kossel-Stranski-Theorie 773kovalente Bindung 755, 768Kovolumen 268, 270Kraft 12-, elastische 19- auf Strom im Magnetfeld 355-, verallgemeinerte 935- zwischen Leitern 368Kraft-Wärme-Maschinen 228Kraftdichte 111- im Magnetfeld 371Kräfte- Fern- 55- Nahewirkungs- 55- Trägheits- 55Kräftepaar 76Kraftfeld 24Krätschmer-Huffmann-Verfahren 776Krebstherapie 666Kreisbewegung, gleichförmige 16Kreisel 88Kreiselkompaß 92Kreiselstabilität 43Kreisfrequenz 20Kreisprozeß 229-, reversibler 250Kreisspiegelung 405Kreuzgitter 634Kreuzspul-Meßwerk 406Kriechfall 151Kristall 94, 750 ff.Kristallbaufehler 812Kristallbindung 762Kristalldiode 807Kristallgitter 750Kristallinterferenz 632 ff., 757 ff.Kristallklassen 756kristallographische Hauptachse 536Kristalloptik 535Kristallphosphor 832KristallschwingungenKristallspektrographKristallstrukturanalyseKristallsysteme 756Kristalltracht 755182ff., 776ff.637757Kristallwachstum 773Kristallzähler 694Kristallzüchtung 774kritische Grenze 680kritische Masse 681kritische Temperatur 267kritisches Magnetfeld 824Kroto-Smalley-Versuch 775Krummes Licht 503Kryopumpe 281Kryoskopie 277kryoskopische Konstante 277kubisch-flächenzentriert 751,754,829kubisch-raumzentriert 753,754, 829kubischer Ausdehnungskoeffizient217,761Sach- und Namenverzeichnis 1247kubisches Gitter 756Kugelfallmethode 113Kugelfunktionen 58, 866Kugelkondensator 305Kugellager 46Kugelpackungen 751Kugelumströmung 124Kugelwelle 160,171Kühlakku 292Kühlfalle 238,281Kühlmittel 292Kühlschrank 228, 272Kundt-Versuch 502Kundtsches Rohr 190künstlicher ß-Zerfall 741Kupferverluste 414Kurbel 82Kurbelwelle 83, 148Kurvenüberhöhung 63kurze magnetische Linse 506Kurzschlußfall 404Kurzschlußläufer 420Kurzsichtigkeit 499Kurzwellenschwund 375Kutta-Shukowski-Formel 128kWh-Zähler 407K yropoulos-Verfahren 775Labilität 82Ladung 293-, wahre und scheinbare 312Ladungsdichte 301Ladungsträger 795 ff.Ladungsumkehr 733Lagrange, Joseph L. (1736-1813)60,892,930Lagrange-Dichte 731Lagrange-Gleichungen 60, 1213Lagrange-Multiplikator 930Lamb shift 651,716,722A.-Punkt 961Lambert-Beer-Bouguer-Gesetz 547Lambert-Gesetz 567Lambert-Strahler 566laminare (schlichte) Strömung 110,115Landau, Lew D. (1908-1968) 129,952,1001Landau-Paramagnetismus 440Landau-Strahlung 444Landau-Theorie energiereicher Stöße952Landau-Turbulenz 1001Lande-Faktor 654

1248 Sach- und NamenverzeichnisLangbasis-Interferometrie 520, 534,864lange magnetische Linse 506Längeneinheit 2Langevin, Paul (1872-1946) 440Langmuir; Irving (1881-1957) 280Langmuir-Frequenz 473,683,793Langmuir-Isotherme 1065Laplace, Pierre S. (1749-1827) 60,164,301,868,883,963Laplace-Formel für Schallgeschwindigkeit164Laplace-Gleichung 102, 301Laplace-Grenze 875,956Laplace-Operator llO, 301, 899Laplace-Operator, vierdimensionaler856Larmor-Frequenz 390,440,451,452,552,667,919Larmor-Präzession 655,656Laser 573,613Laser-Bedingung 614,663Laser-Doppler-Sonde 501Laser-Holographie 526Laser-Nachrichtentechnik 618Laserfusion 476, 683Laserlicht 515Laserreflexion 501Laue, Max v. (1879-1960) 632Laue-Diagramm 633Laue-Indizes (Miller-Indizes) 752,759Lauffeldröhre 461Laufterm 610Lautstärke 193Lawinen-Laufzeitdiode 461Lawrence, Emest 0. (1901-1958)700Lawson-Kriterium 683LCAO-Methode 917LCD (liquid crystal device) 546Lebensdauer 687- des angeregten Zustandes 606- des Kerns 690- des Protons 720- von Ionen 464Lecher-System 436Lecksuche 283LED-Diode (=Elektrolumineszenz-Diode) 809Lederman, Leon M. (1922) 727Lee, Tsung Dao (1926) 733Lee-Yang-Theorie 715, 733Leerlauffall 404Leerlaufspannung 323,397Legierung 274Leistung 26- eines Stromes 321- des Wechselstromes 399Leistungsanpassung 323, 324, 398Leistungsaufnahme eines Schwingers155Leistungsfaktor 402Leistungsmessung- am Drehstrom 410- an einem Motor 45Leiter, elektrischer 326 ff.Leiter im Magnetfeld 355Leiterschleife 356Leitfähigkeit 319 ff.- von Elektrolyten 333- der Luft 465- von Metallen 319Leitungsband 802Leitungselektronen 445Leitwert 401Lemaftre, Georges (1894-1966)872Lemaftre-Eddington-Kosmos 872Lemaftre-Weltall 874Lemniskate 53Lenard, Phitipp (1862-1947) 669Lenard-Bügel 101Lenard-Fenster 669Lenz-Regel 382Lepton 708Leptonenära 885Leptonzahl 714Leslie-Würfel 595LET (linear energy transfer) 693,1134Leuchtcharakteristik 567Leuchtdichte 567Leuchtdiode (LED) 328,501,511Leuchtkraft 590Leuchtschirm 454Leuchtstoffröhre 467,469,594Leverrier; Urbain (18ll-1877) 57,1183Lichtablenkung 883Lichtausbeute 595Lichtbogen 467, 468Lichtbündel 481Lichtelektrischer Effekt ( = Photoeffekt)447Lichtemission, -absorption 569, 620,911 ff.Lichtenberg-Figuren 997Lichtgeschwindigkeit 500 ff.Lichtkegel 855Lichtkrümmung 485Lichtleiter 486Lichtmenge 567Lichtmühle 292Lichtquant 569 ff.Lichtstärke 568Lichtstrahl 481 ff.Lichtstrom 568Lichtsumme 608Lichtweg 174Lie-Algebra 725Linde-Verfahren 271linear energy transfer 693, 1131Linearbeschleuniger 699,700,743lineare Dynamik 966lineare Operatoren 890lineare Polarisation 534 ff.lineare Regression 8lineare Vektorfunktion 889linearer Ausdehnungskoeffizient210,766linearer Oszillator 429Linearisierung 967Linearität der Wellengleichung 164Linearmotor 399Lineweaver-Burk-Plot 988Linienflüchtigkeit 76Linienintegral 21, 108Linienspektrum 147Linienverbreiterung 606Linse 488,490,491,498-, dicke 491-, dünne 490-, elektrische 504-, kurze magnetische 506-, lange magnetische 505Linsenfehler 492, 507Liouville, Satz von 941, 970Lissajous-Schleife 142Ljapunow-Exponent 992Ljapunow-Funktion 969Lobatschewski, Nikolai (1792-1856)873Lobatschewski-Bolyai-Raum 873Loch (Defektelektron) 799,801Lochblende 519Lochblendenlinse 504Löcherleitung 802Lochkamera 481, 525lockerndes Elektronenpaar 915logarithmische Auftragung 8logarithmische Mischungsregel 348logarithmische Spirale 53logarithmischer Verstärker 460logarithmisches Dekrement 150logistische Gleichung 980Landansehe Dispersionskräfte 768lang, short Kaon 726

longitudinale Beschleunigung 846longitudinale Gitterschwingung 781longitudinale Schwingung 182Longitudinalwelle 161Lorentz, Hendrik A. (1853-1928)296,355,661,716,789,837Lorentz-lnvarianz 853Lorentz-Karussell 441Lorentz-Kontraktion 837,842Lorentz-Konvention 881Lorentz-Kraft 296,355,451Lorentz-Theorie der Metalle 789Lorentz-Transformation 853Lorenz-Attraktor 994, 1000Loschrnidt-Zahl 212Löschspannung 470Lösung 274Lösungstension 341Lösungswärme 258, 275Lotablenkung 67Lotka-Volterra-Modell 985Lowell, Percival (1855-1916) 57Luftballon 285Luftdruck 99LuftkissenbootLuftperspektiveLuftspalt 371Luftwiderstand 41Lumen 567Lumineszenz 806206564Lummer, Otto (1860-1925) 571Lummer-Brodhun-Würfel 568Lummer-Gehrcke-Platte 533Lummer-Pringsheim-Messungen 571Lupe 494Lux(= Lx) 567Lyman-Serie 621M-Zentrum 815Mach, Ernst (1838-1916) 533Mach-Kegel 175,177Mach-Welle 177Mach-Zahl 178Mach-Zehender-Interferometer 533Madelung-Faktor 767,829Magdeburger Halbkugelnmagische NukleonenzahlenMagnetband 192Magnetfeld 296, 362- des Drahtes 364- der Erde 373 ff.- des Kreisringes 368- der Spule 365Magnetfluß 362136189,678magnetisch eingeschlossenes Plasma684magnetisch hart, weich 392magnetische Abschirmung 369magnetische Anomalien 375magnetische Antenne 444magnetische Aufspaltung 661magnetische Flasche 476,736magnetische Kernresonanz 657 ff.magnetische Kühlung 274magnetische Linse 505magnetische Polarisation 390magnetische Polstärke 370magnetische Quantenzahl 625,648magnetische Relaxation 475magnetische Sättigung 392magnetische Spannung 372magnetische Speichen 476magnetische Stürme 375magnetische Suszeptibilität 389, 390magnetischer Dipol 374magnetischer Druck 475,684,739magnetischer Monopol 733magnetischer Widerstand 372magnetisches Moment 356- des Nukleons 722- des Stromkreises 368Magnetisierung 373, 389Magnetit 396Magnetohydrodynamik 476magnetohydrodynamische Relaxationszeit475magnetohydrodynamischer Generator397,441magnetomechanische Anomalie 393,654Magnetometer 440magnetooptischer Effekt(= Faraday-Effekt) 552Magnetopause 375Magnetoresistenz 328, 798Magnetosphäre 375Magnetostatik 369Magnetostriktion 197Magnetpolstärke 370Magnetron 462,480Magnus-Effekt 128, 138Makromolekül 819Makrozustand 242, 959Malus, Etienne (1775-1812) 534Mandelbrot-Menge 994,999Manometer 99, 119Markow-Kette 958·Mars-Klima 285Marsmonde 1103Maschenregel 318Sach- und Namenverzeichnis 1249Maschinen, einfache 82Maser 573Maser-Bedingung 615Masse 12Masse-Energie-Äquivalenz 847Masse-Leuchtkraft -Gesetz 590Maßeinheiten 2, 13Massenabsorptionskoeffizient 642,670Massenänderung, relativistische 847Massendefekt 675Massenpunkt, Begriff und Problematik1Massenspektrograph 455Massenspektrographie 676Massenspektrum der Hadronen 746Massenstreukoeffizient 643Massenverlust der Sonne 880Massenwirkungsgesetz 256, 335Massenzahl 645Maßstabsvergleich 841Maßsysteme 2Materiewellen 857Mathias-Regel 823Matrix 77, 889Matrixelement des Dipolmoments912Maxwell, James Clerk (1831-1879)128,225,423,716,853Maxwell-Gerade 268Maxwell-Gleichungen 424- in bewegten Medien 439-, relativistische 855 ff., 881Maxwell-Lorentz-Theorie 599Maxwell-Relation 428,548Maxwell-Schwanz 227Maxwell-Verteilung 225, 286, 458,682,943Mayer, Robert (1814--1878) 218McLeod-Vakuskop 282mechanisches Wärmeäquivalent 218mechanokalorischer Effekt 960,961van der Meer, Simon (1925) 703Megaparsec (= Mpc) 870Meißner-Dreipunktschaltung 479Meißner-Ochsenfeld-Effekt 824, 832Meitner, Lise (1878-1968) 680Membranschwingungen 187Mendelejew, Dmitri (1834--1907)645Mercalli-Skala 203Meson 674,708,723Meßbereichsumschaltung 321Meßgeräte, elektrische 321Meßinstrument 1s'1, 203Meßvorgang 917

1250 Sach- und NamenverzeichnisMetagalaxis 883Metallbindung 755, 762Metalle 769, 799metallischer Wasserstoff 954Metalloptik 793metastabiler Zustand 612Metazentrum 98Meter(= m) 3Methode der kleinsten Quadrate 8Methode der stationären Phase 200Metrik im Schwerefeld 862Meyer, Lothar (1830-1895) 645MHD-Generator 397, 441Michaelis-Menten-Kinetik 988Michelson, Albert A. (1852-1931)533,836Michelson-Interferometer 533Miche1son-Versuch 501, 836, 877Mie-Streuung 554Mikroskop 172, 494-, Auflösungsvermögen 521Mikrotron 701Mikrowellen- -Generator 827- -Heizung 480- -Herd 480Mikrowellenbrücke 659Mikrozustand 242, 959Milankovic, Milutin (1879-1958) 60Miller-Indizes (Laue-Indizes) 752,759Millikan, Robert A. (1868-1953)307Millikan-Versuch 307,347Minimalflächen 102minimum legibile, perceptibile,separabile 499Mintrop-Welle 174Minuskommutator 919Mischbarkeit 290Mischkristall 275Mischungsdiagramm 292Mischungsentropie 246, 253, 290,933Mischungskalorimeter 214Mischungslücke 275missing solar neutrinos 747Mitführungshypothese 837Mittelpunktsleiter 409Mittelwert 6mittlere freie Weglänge 222mittlere kinetische Energie 208mittlere Lebensdauer 690mittleres Geschwindigkeitsquadrat227mittleres Verschiebungsquadrat 223MO-Methode 917Moderation von Neutronen 680, 739Moderator 714Modulation 146, 158Mögel-Dellinger-Effekt 375Möglichkeitsschema 990Mohs-Härte 135mol 212molare Wärmekapazität 212Molarität 275, 334molecular orbital-Methode 917Molekulargewichtsbestimmung 277Molekularkräfte 137Molekularpumpe 280Molekularstrahlen 227Molekularströmung 281, 282Molekülgeschwindigkeit 209Molekülkristalle 762,768Molekülmasse 212Molekülmassenbestimmung nachBunsen 120Molekülspektren 627Molekülzahldichte 215Möllenstedt-Düker-Versuch 346, 557M!llller-Streuung 721Molvolumen 212Molwärme 213Momentanbeschleunigung 11Momentangeschwindigkeit 10Momentenkennlinie 418 ff.Mond 50,67Mondfinsternis 508monoklines Gitter 756Monomer 818monomolekulare Schicht 103Monopol 747Morse-Code 958Moseley, Henry (1887-1915) 639Moseley-Gesetz 639MOSFET 810Mößbauer, Rudolf(1929) 604- -Effekt 603,663,690,718,761,862Motorkennlinie 399ms-Pulsar 444Müller, Karl Alex (1927) 828Multimeter 322, 349Multinomialkoeffizienten 925Multiplett 725Multiplex-Interferometrie 532Multiplier 449, 568, 581, 582Multiplizität des Sterns 952Multipol-Kernschwingungen 717Mutation, somatische und genetische705Myo-Wasserstoff 685,712Myoglobin 989Myon 706,712,879Myon-Neutrino 715Myonium-Atom 712,745Myonzerfall 744myop 499n-Leitung 804n-p-Übergang 807Na-Dampflampe 470Näbauer-Doll-Versuch 832Nabla-Operator 107Nachhall 205Nachhallzeit 186Nachthimmelleuchten 595NaCl-Struktur 753Nahewirkungskraft 54Nahordnung 94Nahpunkt 493Nahzone 432nasse S traBe 512Natriumdampflampe 609natürliche Linienbreite 606, 607Naturtöne 192Navier-Stokes-Gleichung 115, 237Nebelkammer 220,695,743Nebelkammerspur 708Nebengruppe 645,910Nebenquantenzahl 625, 648, 907Nebenschluß 398Nebenschlußmotor 420Nebenserie 624Neel-Temperatur 396Ne'eman, Yuval (1925) 723negative Temperatur 615negatives Glimmlicht 468Negativfilm 579nematisch 546Neper 194Neptun-Bahn 57Nernst, Watther (1864-1941) 260Nernst-Gleichung 340Nernst-Stift 580Nemst-Verteilungssatz 275Nernstscher Satz 260Nervenerregung 196Netzebene 633,759Netzebenenkeime 774Neukurve 392Neumann, Jdnos v. (1903-1957) 690Neumann-Kopp-Regel 777neutrale Faser 134neutrale Wechselwirkung 720Neutralgas 472

Neutralität, elektrische 294Neutrino 689,706,714Neutrino-Masse 961Neutrino-Oszillation 716,747Neutrino-Stoßquerschnitt 720Neutron 675,706Neutron-Phonon -Streuung 787Neutron-Zerfall 714Neutronen-Nachweis 713Neutronenbeugung 564Neutronenbombe 681Neutronendiffusion 740Neutroneneinfang 687Neutronenerzeugung 713Neutronenflußdichte 740Neutronengas 471,955Neutronenstern 444,597,952,960Neutronenstreuung 760Newton (= N) 13Newton, Isaac (1643-1727) 12, 16,29, 46, 55, 60, 108, 123, 163, 304,498,511,513,530,559,597,716Newton-Abbildungsgesetz 484, 489Newton-Reibung 41Newton-Ringe 529,561Newtons Abkühlungsgesetz 236Newtons Axiome 12, 13Newtons Iteration 994, 998Newtons Weltmodelle 869 ff.NHrMaser 614ff., 921nichtlineare Dynamik 964 ff.nichtlineare Optik 663nichtlineare Schwingungen 971 ff.nichtsphärische Kerne 679Nichtstöchiometrie 804Nieal-Prisma 538Niveaufläche 25,300NMR (nuclear magnetic resonance)657 ff.Noether, Emmy (1882-1935) 731- Satz von 60Nordlicht 480Norm eines Vektors 888Normale 2normale Dispersion 199normaler Zeeman-Effekt 661Normalität einer Lösung 333Normalkomponente 11Normalkraft 40Normalschwingung 779Normalton 194Normalverteilung 7, 62Normierung der potentiellen Energie24Normierung von 'I' 892np- und npn-Übergang 807 ff.NTC-Leiter 327Nuklearantrieb 210Nukleinsäure 769,922Nukleon 675Nukleon, innere Struktur 722Nuklid 676Nulleiter 409Nullkline 968Nullpunkt absoluter, Unerreichbarkeil260Nullpunktsenergie 629,777,902Nullpunktsentropie des Eises 772numerische Apertur 496, 521Nutation 88,91Nutationskegel 89Nutzeffekt der Wärmekraftmaschine228Nutzlast 28Nyquist-Formel 1089Nyquist-Rauschen 224,581, 8670-, B-, A-Sterne 664oberflächenaktive Stoffe 101Oberflächendiffusion 774Oberflächenenergie 100Oberflächenenergie der Kerne 677Oberflächenspannung 100,343Oberschwingungen 146Obertöne 202Objektiv 494ocean floor spreading 377Öffnungsfunken 385Ohm(= Q) 319Ohm, Georg S. (1787-1854) 318Ohmsches Gesetz 319, 456, 789- des Magnetismus 372- für Wärmeleitung 233- für Wechselstrom 400 ff.Ohr 194ff.ökologische Modelle 984Oktaederlücken 751Oktopolmoment 58Okular 495Okularskala 495Olbers-Paradoxon 883Ölhaut-Schillern 529Ommatidium 562Onsager, Lars (1903-1976) 959,960Onsager-Koeffizienten 959Onsager-Relation 959operationeHe Definitionen 2Operationsverstärker 460Operator 889- der Impulskomponente 893Sach- und Namenverzeichnis 1251- der kinetischen Energie 899- der Lagekoordinate 893- der potentiellen Energie 899optische Achse 536optische Aktivität 544optische Anisotropie 535optische Dichte 485,547optische Drehung 545optische Gitterschwingungen 783optische Isotropie 535optischer Transistor 533optischer Zweig 783optisches Kernmodell 679optisches Pumpen 616Orbit 965Orbital 915Orbitalbewegung in der Wasserwelle198ordentliches Licht 536Ordnung der Interferenz 516 ff.Ordnungszahl 645Orientierungspolarisation 314organische Supraleiter 832Orientierungsquantelung 652, 909Ortho-Positronium 727Ortho-Zustand 727Orthogonalität 888, 891,918- von sin und cos 147Orthogonalsystem 149Orthogonaltrajektorie 25orthorhombisches Gitter 756Ortskurve 403Ortsoperator 893Ortsvektor 9Osmose 275osmotischer Druck 276Ost-West-Effekt 734Ostwald-Absorptionskoeffizient 275Ostwald-Farbenkreisel 578Ostwaldsches Verdünnungsgesetz335,350oszillierende Reaktion 989Oszilloskop 453,479Otto-Motor 220, 229Overhead-Projektor 525Oxygenierung 988Ozon 583p-Leitung 801p-i-n-Diode 809p-n-Übergang 808p, T-Diagramm 261 ff.p, V-Diagramm 229Paarbildung 644,721

1252 Sach- und NamenverzeichnisPaarvernichtung 644, 666Paläomagnetismus 376Pangäa 376Pansperrnie 662Para-Positronium 727Parabelbahn 52Parabolspiegel 484, 509paraelektrischer Zustand 397parallaktischer Fehler 5Parallelschaltung 320Parallelschwingkreis 412paramagnetische Kühlung 273paramagnetische Resonanz 653 ff.Paramagnetismus 390parametrische Schwingungserregung978Parität 732Paritätsverletzung 733Partialdruck 262Partialladung 916,922partikuläre Lösung 157partition function 931Parton 723Pascal (=Pa) 95Pascal, Blaise (1623-1662) 285Pascal-Schnecke 53Paschen, Friedrich ( 1865-194 7)468Paschen-Back-Effekt 661Paschen-Regel 466Paschen-Serie 621Paul, Wolfgang (1913-1993) 462,463Pauli, Wolfgang (1900-1958) 689,706Pauli-Prinzip 649,677,910,945Pauling, Linus (1901-1994) 922Peierls-Urnklappen 788Peltier-Effekt 345Peltier-Koeffizient 345,960Peltier-Kühlung 273Pendel- mit großer Amplitude 971-, mathematisches 32-, physikalisches 86Pendellänge, reduzierte 86Pendeluhr 61Penning-Vakuummeter 283Pentode 460Penzias-Wilson-Strahlung 874,884Percolation 997perfekter Leiter 832Perihelverschiebung 865Perihelverschiebung des Merkur 57Periode 19Periodensystem 189,645,666,908Periodenverdopplung 974 ff., 980 ff.Permanentmagnet 389Permeabilität 363, 389Permutation 924Perowskit-Struktur 828perpetuum mobile 1. Art 217perpetuum mobile 2. Art 248Perrin, Jean (1870-1942) 286Perrin-Versuch 286, 1052Pfeffersehe Zelle 275Pfeife 185Pfund-Serie 621Phase 19Phase (thermodynamisch) 261Phase der Welle 160Phasenanschnitt 810Phasendiagramm 261Phasengeschwindigkeit 161,204Phasengleichgewicht 255 ff.Phasenintegral 625Phasenkontrast 496Phasenkontrast-Mikroskop 160Phasenmodulation 159Phasenporträt 965Phasenprüfer 468,470Phasenraum 59, 129,718,941,965Phasenraumdichte 1200Phasenregel von Gibbs 267Phasenschieber 159,403Phasenschieberoszillator 479Phasenspektrum 148Phasensprung 170Phasenstabilität 700Phasenübergänge 833Phasenverschiebung 156,401Phasenvolumen 941Phobos 1103Phon 194Phonometrie 194Phonon 786Phononen-Supraleiter 828Phononenspektrum 208Phononenstoß 830Phosphor 832Phosphoreszenz 608Phot 567Photodiode 328,511,809Photoeffekt 447,641-, äußerer 328-, innerer 328- bei Röntgenstrahlung 641 ff.Photoelement 328, 809Photoleiter 328Photometrie 565photometrische Größen 567Photon 599 ff.Photon-Photon-Streuung 663Photonenära 885Photonenrakete 480,852Photonenstoß 600Photonenzähler 599Photophorese 292Photosphäre 587Photostrom 807Photosynthese 591Photovoltaik 832Photowiderstand 568Photozelle 448, 568, 581Phycobiline 593physikalisches Pendel 86physiologische Lösung 276, 3501r-Bindung 915Piazzi, Giuseppe (1746-1826) 57Pickering, Edward (1846-1919) 57Pickering-Serie 664Pictet-Trouton-Regel 255Piezoeffekt 197, 316Piezometer 96Pinch-Effekt 477,684Pinning-Zentren 826Pion 706,709,713Pion-Zerfall 744, 1174Pirani-Vakuummeter 283Pitot-Rohr 119Pixel 582Pizzicato 186Planck, Max (1858-1947) 556,572,599Planck-Boltzmann-Beziehung 243,926Planck-Gesetz 573, 574Planck-Konstante 572Planek-Länge 730,744Planck-Strahlungsgesetz 933Plancksches Wirkungsquant 447,572Planeten 51Planeten-Helligkeit 595Planeten-Oberflächentemperatur 596Planetenbahnen 52Planetensysteme, ferne 562planparallele Schicht, Interferenz529Plasma 471,682Plasmafrequenz 473, 480Plasmaschwingungen 795Plasmolyse 276Plasmon 796plastische Verformung 816plastisches Fließen 93Plateau des Zählrohrs 697Platon (-428 bis -348) 481

Plattenkondensator 305Plattenschwingungen 186 ff.Plattentektonik 376, 377Platzwechselvorgänge 109Pleuelstange 83Pluto 58Pluto-Bahn 57pneumatisches Feuerzeug 220Poggendorf-Schaltung 323Pohl, Robert W. (1884-1976) 815Poincare, Henri (1854-1912) 60,129,963Poincare-Bendixson, Satz von 994,1001Poincare-Bendixson-Kriterium 969Poincare-Schnitt 969Poisson, Denis (1781-1840) 164,581Poisson-Fleck 528Poisson-Gleichung 301,353,457Poisson-Gleichungen (Adiabaten-Gleichungen) 219Poisson-Rauschen 581Poisson-Verteilung 692, 693, 735Poisson-Zahl 130polare Achse 316Polarisation 534-, dielektrische 312-, elektrolytische 341-, lineare, elliptische und zirkulare534- der Röntgenstrahlung 638- des Vakuums 651Polarisationsapparat 535Polarisationsfilter 538, 568Polarisationsmikroskopie 543Polarisationsphotometer 535Polarisationsrichtung 164Polarisationswinkel 539Polarisator 535Polarisierbarkeit 313Polarlicht 375, 480,1218 (Farbtafel 2)Polonium 685Polpaare 421Polschwankung 91Polstärken 370Polwanderung 375Pomeau-Manneville-Szenario 981Pomerantschuk-Effekt 274Populationsdynamik 979positive Säule 468Positron 706, 736Positronenstrahlung 687Positronium 666Positronium-Atom 645Positronzerfall 741Potential 49, 108,299Potentialfelder 24Potentialfläche 300Potentialkasten 445Potentialkurve- des Kristallteilchens 764- im Molekül 631Potentialkurvenschema 666Potentialströmung 126Potentialtheorie 298 ff.Potentialtopf, Teilchen im 900potentielle Energie 24, 899- im Erdschwerefeld 30Potentiometer 319,324Pound-Rebka-Versuch 604Powell, Cecil F. (1903-1969) 706,708Poynting-Robertson-Effekt 1171Poynting-Vektor 428,429,431,443pp-Reaktion 682Präfixe für Einheiten 3Prandtl, Ludwig (1875-1953) 129Prandtl-Grenzschicht 113Prandtl-Staurohr 119Prandtl-Zahl 1000Präzession- der Erdachse 92- der Kepler-Ellipse 58- des Kreisels 44Präzessionsbewegung 89Prigogine, Ilya (1917) 960Prigogine, Satz von 960Primärstrahlung 734Pringsheim, Ernst (1850-1941) 571Prinzip- von Fermat 173- von Huygens-Fresnel 172- des kleinsten Zwanges 266- der virtuellen Verschiebung 82Prisma 487-, Auflösungsvermögen 523Prismenfeldstecher 509Prismenfernrohr 497Produktmesser 407Prony-Zaum 45Propeller 122Propellerantrieb 28Proportionalzähler 697Proportionalitätsgrenze 132Protein 959Proteinmolekül, Entropie 289Proton 674Proton-Antiproton-Paar 880Protonen-Synchrotron 699Protonen-Therapie 666Sach- und Namenverzeichnis 1253Protonenzerfall 720,745Protuberanzen 476P /I-Teilchen 712,727P /I-Zerfall 745PTC-Leiter 327Pulfrich-Refraktometer 486Pulsar 444, 585, 952, 955, 960Pulsationsveränderliche 205Pumpstrahlung 615Punktereignis 838Punktladung 3Punktsymmetrieklasse 756Purcell, Edward M. (1912) 658Purcell-Versuch 658Purpurgerade 577Pyroelektrizität 316Pyrometrie 2, 575pythagoräische Stimmung 191Pythagoras (~-570 bis --480) 191mQCD 728QED 718QGD 730quadratischer Stark-Effekt 662Quadrupol-Kernschwingungen 717Quadrupolfeld 57Quadrupolmoment 883Quadrupolpotential 866Quadrupolschwingung 717Quadrupolstrahlung 866Qualitätsfaktor 704Quantelung der Ladung 294Quanten-Hall-Effekt 831Quantenausbeute 581Quantenbedingung 621Quantenchemie 914Quantenchromodynamik 727Quantenelektrodynamik 654,674,716,720,721Quantenfeldtheorie 912Quantenfluktuation 730Quantengeometrodynamik 730Quantenhypothese 572Quanteninterferenz 828quantenmechanische Axiome 891quantenmechanische Messung 917Quantenstatistik 945Quantenzahl 648, 905Quark 723, 746Quark confinement 728,746Quarkmodell 723Quarkonia 727Quarz 316Quarz, Rechts- und Links- 545

1254 Sach- und NamenverzeichnisQuarzoptik 579,580Quarzuhr 5, 479Quasar 874, 883,956quasielastische Kraft 141quasifreier Bereich 155quasineutrales Plasma 472quasistationärer Zustand 42quasistatischer Bereich 155Quelldichte 106, 301Quellen und Senken 105Quellenfreiheit des Magnetfeldes360Querkontraktion 130Quinckesches Resonanzrohr 190Quotientenmesser 406R-, P-, Q-Zweige 628Rabi, lsidor J. (1898-1988) 657Rabi-Versuch 657, 668rad ( = rd) 704Radarkontrolle 177Radarortung 501Radarreflexion 501Radfahren 91Radiant(= rad) 4radioaktive Erdwärme 741radioaktiver Fallout 681radioaktives Gleichgewicht 691,740Radioaktivität 685 ff.Radioastronomie 1194Radiofenster 566Radiokarbon-Uhr 690Radiometer-Effekt 282, 292Radioteleskop 520Radiotherapie 666Radiowellen-Ausbreitung 433Radium 685Radius eines Nukleons 673Radon 686, 735Rakete, Antrieb 28, 64, 138,209,284Raman, Chandrasekhara(1888-1970) 613Raman-Effekt 612Ramsey, Norman (1915) 463Randbedingungen 187random walk 822Randschicht 831Randverdunkelung 590Randwertprobleme der Wärmeleitung234Randwinkel 103Raoult, Fran

Resonanz 154,412Resonanzeinfang 714Resonanzenergie 921Resonanzfluoreszenz 608Resonanzkurve 156,549Resonanzpeak 714Resonanzteilchen 712Resonatormethode 502Reststrahlmethode 580Restwiderstand 790Retina 499reversibel 242reversibler Kreisprozeß 249Reversionspendel 86Reynolds, Osborne (1842-1912) 129Reynolds-Kriterium 42Reynolds-Zahl 117reziprokes Gitter 758Reziprozität von Onsager 959Rheostat (Widerstand) 318rhomboedrisches Gitter 756Richardson-Effekt 960Richardson-Gesetz 446, 960Richtdiode 808Richter, Burton (1931) 727Richtgröße eines gedrillten Drahtes131Richtungsfeld 968Richtungsquantelung 652, 909Riemann, G. F. Bernhard(1826--1866) 595Riemengetriebe 82Riesen-Laserpuls 617Riesensterne 590Rifts 376Ringströme, Amperesehe 388Rishon-Modell 730Ritter, Johann W. (1776--1810) 582Ritz, Walther (1878-1909) 878Ritz-Hypothese 837,878Ritz-Kombinationsprinzip 610,898Roche-Grenze 50,875, 1024Roche-Lobe 956Rocheile-Salz 316Rohr, laminare Strömung 112Rohrer, Heinrich (1933) 448,508Rohrlinse 504Rohrströmung 112, 125, 138Rolle 82Rollreibung 45Rpmer, Ole (1644-1710) 500,511Röntgen ( = R) 704Röntgen, Wilhelm Conrad(1845-1923) 632Röntgen-Astronomie 498Röntgen-Grenzfrequenz 639Röntgen-Strukturanalyse 632 ff.,757 ff.Röntgenabsorption 641Röntgenbeugung 632Röntgenfluoreszenz 639Röntgenmikroskop 637Röntgenoptik 637Röntgenröhre 471Röntgenstrahlung 632Röntgenstreuung 760Roots-Pumpe 280Rotation 72, 107Rotation der Galaxis 68Rotations-Doppler-Effekt 552Rotations-Freiheitsgrad 211Rotations-Operator (rot) 107,362Rotations-Schwingungs-Spektrum629Rotationsbanden 627Rotationsdispersion 545Rotationsenergie 74Rotationsparaboloid 94Rotator 628,919Roter Riese 956rotierendes Bezugssystem 56Rotor 418Rotverschiebung 870Rowland-Kreis 524RTM 508Rubbia, Carlo (1934) 703Rubens, Heinrich (1865-1922) 580Rubin-Ford-Effekt 875Rubin-Laser 616Rubinglas 804Rückdatierung 839Rückkopplung 152, 1002Rückkopplungsfaktor 460Rückstoßenergie 761rückstoßfreie Emission 604Rückstoßkern 689Ruelle-Takens-Newhouse-Szenario1001Ruhenergie 848Ruhmasse des Neutrinos 715,716,961Ruhmasse des Photons 881Runge-Regel 661Rutherford, Ernest (1871-1937) 670,687,706,716Rutherford-Modell 618Rutherford-Soddy-Regeln 686Rutherford-Streufonnel 673Rutherford-Streuung von Leitungselektronen790Rydberg-Atome 663Rydberg-Konstante 621Sach- und Namenverzeichnis 1255s-, p-, d-,f-Terme 624,909Saccharimetrie 545Sachs-Lyddane-Teller-Beziehung785Saftsteigen 137Saha-Gleichung 449Saitengalvanometer 408Saitenschwingung 187, 202, 974 ff.Säkular-Gleichung 967Sammellinse 490Sargent-Regel 691Saros-Zyklus 92Satellit 595-, stationärer 67Sattelpunktsmethode 200Sättigung eines Phosphors 608Sättigungsdampfdruck 260Sättigungsfeuchte 262Sättigungskonzentration 275Sättigungsmagnetisierung 371,374,393Sättigungsresonanz 660Sättigungsspannung 448Sättigungsstrom 446, 458, 465Saturnringe 68Satz von Gauß-Ostrogradski 106Satz von Liouville 970Satz von Stokes 108Saugleistung 279Saugvermögen 279Säule, positive 468Säureprüfer 350Säurerest 331scanning microscope 508Schäfchenwolken 205Schalenaufbau des Atoms 649 ff.Schalenmodell der Kerne 678, 679Schallabsorption 178Schalldruck 171,204Schalleistung 194Schallgeschwindigkeit 163,210,782Schallintensität 191Schallmauer 177Schallquant 786Schallradiometer 191Schallreflexion 170, 204Schallschnelle 125,169Schallstärke 194Schallstrahlungsdruck 191Schallwellenwiderstand 170Schärfe der y-Linien 604,717Schärfentiefe 509Schatten 482, 508Schauer, kosmischer 735,747

1256 Sach- und Namenverzeichnisscheinbare Ladungen 312Scheinkraft 55Scheinleistung 402Scheinwiderstand 402Scherrer, Paul (1890-1969) 635Scherung 93, 131schiefe Ebene 82Schießen und Strömen 139Schiffsschraube 122Schiffswellen 201Schlaginstrumente 186Schleifenoszillograph 408Schleifringläufer 422Schlupf 421Schmelzen 265Schmelztemperatur 266,761Schmelzwärme 266Schmerzschwelle 193Schmetterlingsfarben 533Schmidt-Optik 498Schmidt-Platte 533Schmiermittelreibung 45, 114Schnecke (lnnenohr) 195Schneeflocke 770,997Schottky, Walter (1886-1976) 457,750Schottky-Diode 809Schottky-Fehlordnung 804,812Schottky-Langmuir-Raumladungsformel458Schottky-Randschicht 831Schraubenlinie 453Schraubenversetzung 817Schreiber 323Schrieffer, lohn R. (1931) 826Schrödinger, Erwin (1887-1961)188Schrödinger-Gleichung 898, 899- im Magnetfeld 919Schrödingers Katze 918Schub 28Schubmodul 131Schubnikow-Gruppe 757Schubspannung-, kritische 817-, viskose 109Schutzerde 410schwache Wechselwirkung 716 ff.schwacher Stoßquerschnitt 720Schwächungskoeffizient 641 ff.Schwankungen, thermische 441 ff.Schwankungserscheinungen 244,928Schwartz-Lederman-Steinberger­Versuch 715schwarze Strahlung 571schwarze Temperatur 576schwarzer Körper 569 ff.Schwarzes Loch 585, 864,865,868,883,952,955Schwarzschild-Radius 864,865Schwebekondensator 307Schweben 97Schwebung 167, 182Schwebungsfrequenz 146Schwerebeschleunigung 48Schweredruck 96Schwerewellen 197 ff.Schwerionen-Beschleuniger 703Schwerpunkt 23,81Schwerpunktsatz 23Schwerpunktsystem 33Schwimmen 97Schwingtall 150Schwingkreis 411Schwingquarz 460,479Schwingung-, gedämpfte 150-, harmonische 18, 141, 144Schwingungen, höchstfrequente 461Schwingungsdauer einer Welle 161Schwingungsebene des Prismas 538Schwingungsenergie 31Schwingungsmittelpunkt 86Schwungradantrieb 90sechster Freiheitsgrad 213second sound 961Seeheck-Effekt 343,344Sehschärfe 499Sehweite, deutliche 493Sehwinkel 493Seiches 200, 203, 205Seichtwasserwelle 200Seifenblase 102,529,561Seifenhaut-Analogcomputer 236Seignette-Salz 316,396Seilwelle 160Seismograph 203Sekundärelektronen 449,466Sekundärelektronen-Vervielfacher449Sekundärelement 342Sekundäremissionsvermögen 449Sekundärstrahlung 734Sekunde, Sonnen-, Stern- 4seihstadjungierter Operator 890Selbstähnlichkeit 993selbständige Entladung 467Selbstdiffusion 813Selbstenergie 720selbsterregte Schwingung 975selbsterregter Generator 398Selbsterregungsbedingung 479Selbsterregungsgleichung 460Selbstinduktion 384Selbstmasse 722Selbststeuerung 152Selbstverstärkung 1002Seldowitsch-Sunjajew-Effekt 603,663Selektivstrahler 580Selenzelle 328self avoiding walk 822seltene Erden 392, 580, 645, 650,666,910seltsame Teilchen 707seltsamer Attraktor 129, 966,969,993Seltsamkeit 707semipermeable Wand 275Sendeanlage 460Sendemast 435Senken 105sensibilisierte Fluoreszenz 612Separatfix 968Sequenz 924Seriengrenze 610,621Serienschaltung- von C 306- von R 320Serienschwingkreis 412Seyfert-Galaxien 875short, long Kaon 726Shunt 322SI (==Systeme International) 2Sicherheitsabstand 63Siedediagramm 277Sieden 262Siedepunkt 260Siedepunktserhöhung 277Siedetemperatur 262Siedeverzug 269Siemens, Werner v. (1816-1882) 398Sievert(== Sv) 704u-Bindung 915singulärer Punkt 965Sinuston 192Sinuswelle 161Sirius B 67Skalarprodukt von Funktionen 888Skalenhöhe 99Skaleninvarianz 822, 993Skineffekt 422, 443Smekal, Adolph (1895-1959) 613Snellius, (Willebrord, Snel van Royen)(1580-1626) 485Snellius-Gesetz 485- für Elektronenstrahlen 502

Snoek-Effekt 814Sol 339Solarenergie 36Solarkollektor 597Solarkonstante 585Solarzelle, Wirkungsgrad 832Solvatation 273Solvatationsenergie 340somatische Mutation 705Sommeifeld, Arnold (1868-1951)625Sommerfeld-Theorie der spezifischenWärme 793Sonar 196Sonde 450Sone-Skala 194Sonne, Temperatur 285Sonnen- und Sterntag 4, 61Sonnenaktivität 375Sonnenenergie 682Sonnenfinsternis 61,508Sonnenflecken 475,667,747Sonneninneres 597Sonnenkollektor 597Sonnenneutrino 745Sonnenstrahlung 585Sonnensystem 51, 57Sonnentag 4Sonnenwind 375Sonnenzelle 809Sorptionspumpen 281sp-Hybridisierung 913Spaltblende 175,519Spaltpolmotor 442Spaltströmung 111Spaltung, Kern- 37,680Spaltungsenergie 680Spaltungsgrenze 679Spilltungsneutronen 680Spannung 298-, mechanische 130Spannungs-Dehnungskurve 132Spannungsabfall am Widerstand 319Spannungsdoppelbrechung 543Spannungspfad 407Spannungsquelle 318Spannungsreihe-, elektrochemische 340-, reibungselektrische 337-, thermoelektrische 344Spannungsverstärkung 459Spartransformator 325Spatprodukt 71Speicherring 702,711,745,860Spektralanalyse 605Spektralapparat 487spektrale Empfindlichkeitskurvedes Auges 567spektrale Energiedichte 571spektrales Auflösungsvermögen 523Spektralfarbenzug 577Spektralklassen 664Spektrallampe 467Spektrallinien 146,606Spektralserie 610Spektralterm 610Spektraltypen der Sterne 664Spektren 605Spektrograph 487-, Auflösungsvermögen 522Spektroskop 487spektroskopische Termsymbole 624,909Spektrum 487-, diskretes 599-, Fourier 146 ff.-, kontinuierliches 148-, der schwarzen Strahlung 569 ff.Speirichtung 808Sperrschichtzähler 694Sperrschieberpumpe 279spezifische Ausstrahlung 566spezifische Entropie 254spezifische Ladung 325spezifische Oberflächenenergie 100spezifische Wärme 830spezifische Wärmekapazität 212,777- des Elektronengases 793- des Festkörpers 777 ff.- bei konstantem Druck 213, 218- bei konstantem Volumen 213,218spezifischer Widerstand 319Sphalerit-Struktur 753sphärische Aberration 492, 507sphärisches Weltall 873Spiegel 428 ff.Spiegelgalvanometer 224Spiegelkraft 478Spiegelladung 309Spiegeloptik in Tieraugen 533Spin 79, 648, 654Spin-Bahn-Kopplung 661Spin-Gitter-Relaxation 659Spinabsättigung 677Spindrehimpuls 908Spinecho 668Spinecho-Verfahren 658Spinmoment 391,393Spinquantenzahl 625,648Spinresonanz 656Spirale, logarithmische 53Spiralfeder 85Sach- und Namenverzeichnis 1257Spiralwachstum 774, 818Spitzenentladung 304spontane Ernission 573spontane Magnetisierung 394Sprengstoff 27Spring- und Nipptiden 68Springbrunneneffekt 960Sprungbrett 91Sprungpunkt 823,833Spule als Wechselstromwiderstand401Spulenfeld 365Sputtering 471Stäbchen (Auge) 499stabiles Gleichgewicht 82Stabilität- von Fixpunkten 966- des Schwimmens 98Stabilitätstal 739Stabilitätsuntersuchung 964Stabschwingungen 186STAG-Glas 810Stahlherstellung 829Standard-Abweichung 6, 61,692,919Standfestigkeit 84Stark-Effekt 661starke Kraft 728starke Wechselwirkung 679, 722ff.starrer Körper 71 ff.stationäre Atomzustände 900stationäre Ionenkonzentration 464stationäre Phase, Prinzip der 200stationäre Strömung 104, 116stationäre Temperaturverteilung 232,234stationärer Energiezustand 620stationärer Kosmos 874stationärer Zustand 464,897,900Stationarität 232Stationaritätsbedingung der Gasentladung466statischer Druck 118statischer Einstein-Kosmos 872statistische Kernmodelle 679statistische Kette 819statistische Mechanik 923 ff.statistische Schwankungen 691statistischer Charakter der Kernprozesse691statistisches Gewicht 225, 940- des Leitungsbandes 803Stator 418Staubfilter 347Staudruck 118steady-state-Kosmologie 870, 874

1258 Sach- und NamenverzeichnisStefan-Boltzmann-Gesetz 236,575Stefan-Boltzmann-Konstante 575stehende Lichtwelle 528stehende Wellen 166, 184, 189Steilheit der Kennlinie 459Steincrseher Satz 75, 85Steinsalzoptik 830Stellarator 477Steradiant 4Stereoplatte 192Sterilisationslampe 469sterische Behinderung 820Stern in kosmischer Strahlung 736Stern-Gerlach-Versuch 655,667Sternenergie 682Sternhelligkeit 595Sternmultiplizität 952Sternschaltung 409Sternseismograph 867Sterntag 4stetige Dynamik 964Stetigkeit der I/I-Funktion 901Steuergitter 459Steuerspannung 459Stilb 567Stimmgabel 186stimulierte Emission 613Stirling-Formel 144,246,289,927Stirling-Maschine 220, 229stochastische Kühlung 703stochastische Prozesse 964Stockbarger-Verfahren 775Stokes (= St) 109Stokes, George Gabrief (1819-1903),Satz von 108Stokes-Gesetz 112- für Rotation 137Stokes-Regel 608Stokes-Reibung 41Stokes-Verschiebung 4 70Störterme 790, 804 ff.Störungsrechnung 57Stoß 32ff.-, zentraler 33Stoß zweiter Art 611Stoßanregung 227Stoßfrequenz 222Stoßgesetze 32, 849-, relativistische 849Stoßionisation 227Stoßionisationslawine 465Stoßparameter 671Stoßquerschnitt 222, 742Stoßverbreiterung 607, 660, 1046Stoßwellen 179Stoßzahl 215Straggling 693Strahl (Wellennormale) 481Strahlenchemie 705Strahlendosis 703Strahleneffekte 705Strahlenschutz 705Strahlungsdämpfung 430, 663Strahlungsdichte 566Strahlungsdruck 171,287,600,662,1124Strahlungsempfänger 581Strahlungsfeld des Hertz-Dipols565Strahlungsfeldgrößen 567Strahlungsfluß 565Strahlungsgesetz- von Kirchhof[ 570- von Planck 572 ff., 933Strahlungsgürtel 375,736,747Strahlungslänge des y-Quants 736Strahlungsleistung 566strahlungsloser Übergang 641Strahlungsstärke 566Strahlungsstromdichte 565Strahlungsverluste im Betatron 418strange attractor 129, 966strange particles 708,710strangeness 708, 725Straßmann, Fritz (1902-1980) 680Stratosphärentemperatur 587Streckgrenze 132streifende Inzidenz 637Streufluß 414Streukoeffizient 643Streuquerschnitt 554Streuung 919- von rx-Teilchen 670 ff.-, inkohärente 172-, kohärente 172-, Operator 919- von Röntgenstrahlung 643Streuverluste 414Streuwelle 172,521Streuwinkel 33Streuzentren 789Stripper 700Stroboskopeffekt 61Strom-Spannungs-Kennlinie 318,324,457Stromdichte 105, 319Strömen und SchießenStromlinien 104, 106Stromlinienform 125Strompfad 407Stromröhre 106Stromstärke 317139Strömung 104-, ideale 115-, inkompressible 104-, laminare (schlichte) 110, 115-, stationäre 104, 116-, turbulente 115Strömungsdoppelbrechung 535, 543Strömungslehre 104Strömungswiderstand 108, 112, 123Stromverzweigung 318Stufengitter 533, 555Stufenlinse 488Stufenprinzip (Rakete) 28Stufenversetzung 816Sturm-Liouville-Randwertaufgabe905SU(3)-Schema 724 ff.Subduktionszonen 376Sublimationskurve 266Sublimationswärme 266Substitutionswaage 84subtraktive Farbmischung 578Superaktiniden 646Supernova 597,956,960Superposition 346-, ungestörte 164Superpositionsprinzip 364superstabile Elemente 651Suprafluidität 961Supraleitung 328, 329, 823surge glaciers 115Suszeptibilität-, dielektrische 314-, magnetische 389, 390Symmetrie 731Symmetriebetrachtungen 912Symmetrieelemente 756Symmetrieprinzip 364symmetrische Belastung 410symmetrische Schaltung 410symmetrischer Durchgang 487Synchronisierung von Uhren 842Synchronmotor 421Synchrotron 701,743Synchrotron-Strahlung 583, 700Synchrozyklotron 701,743systematischer Fehler 6Szintillationsmikroskop 670Szintillationsspektrometer 695Szintillationszähler 697T 3 1 2 -Gesetz 790T-312-Gesetz 791T-J ump-Relaxation 290

T,S-Diagramm 229,231Tachyon 746,881Tacke, !da (verh. Noddack)(1896-1978) 680Tageslänge 61Takens, Satz von 1002Tandem-van de Graaff 700Target 688T-Meson, Tauon 715Tauchkugel 140Tauchspindel (Aräometer) 98Tauchspule 413Taupunkt 263tautochrone Aufhängung 971Taylor-Hulse-Doppelpulsar 866, 884Taylor-Orowan-Polanyi-Versetzung816Teilchenbeschleuniger 699Teilchenstrahlwaffe 859Teilchenstromdichte 238Teilchenzahldichte 215Telegraphengleichung 433Temperatur 2, 208, 936Temperatur-Leitwert 234Temperaturen, tiefste 272Temperaturgradient 232Temperaturkoeffizient des Widerstandes327Temperaturskala 209Temperaturstrahler 580Temperaturwellen im Erdboden 288temperierte Stimmung 192,205Tensor 77Tensorellipsoid 87terrestrisches Fernrohr 497Tesla (T = Vs/m 2 ) 355Tesla-Transformator 416Tetraederlücken 751tetragonales Gitter 756Tetrode 460Theorie des ß-Zerfalls 715thermische Anomalien des Wassers771thermische Ausdehnung 765, 829thermische Bewegung 94thermische effektive Masse 793thermische Fehlordnung 812thermische Gitterschwingungen776 ff.thermische Ionisation 449thermische Kernreaktion 681thermische Neutronen 714thermische Relaxationszeit 234thermisches Gleichgewicht 569thermisches Rauschen 205,223,442Thermodynamik 227 ff.Thermodynamik irreversiblerProzesse 959thermodynamische Temperaturskala209thermodynamisches Gleichgewicht251thermoelektrische Spannungsreihe344Thermoelement 344,568,581Thermogenerator 345Thermokraft 344, 960Thermometer 210thermomolekulare Druckdifferenz960thermonukleare Bombe 682thermonukleare Reaktion 180Thermoosmose 960Thermosäule 581Thermosflasche 569Thermospannung 344Thermostrom 3449-Pinch 477Thomson, George P. (1892-1975)558Thomson, Elihu, Versuch von 415Thomson, Sir Joseph lohn(1856-1940) 455,471,618Thomson, William (Lord Kelvin)(1824-1907) 207,209,271,411Thomson-Absorptionsquerschnitt589Thomson-Atommodell 346Thomson-Beziehung 960Thomson-Effekt 345Thomson-Gleichung 411Thomson-Koeffizient 345Thomson-Modell 618,670,671Thomson-Parabelversuch 454,479Thomson-Querschnitt 642, 955Thyristor 810Tidenhub 68Tiefpaß 403Tiegelverfahren 775Ting, Samuel (1936) 727Tisza-Modell 961Tokamak 684Tolnwn, Richard (1881-1948) 325Talman-Versuch 325,326,349Tombaugh, Clyde (1906) 57Tomographie 666Ton 191Tonband 192Tonfilm 192Tonhöhe von Musikinstrumenten185top-Quark 727Torr 99Sach- und Namenverzeichnis 1259Torricelli, Evangelista (1608-1647)119,475Torricelli-Ausströmgesetz 119Torricelli-Vakuum 260Torsion 140Torsionsmodul 131Torsionsschwingungen 185Torus 965,969Totalreflexion 485Totalrefraktometer 486tote Zone für Schall 204Totwasser 123,205Totzeit des Geigerzählers 696Townsend-Forrnel 466träge Masse 12Trägerwelle 158,435,460Tragfähigkeit des Balkens 134, 140Tragflächenprofil 128Trägheitsellipsoid 88Trägheitskraft 54, 70Trägheitsmoment 74- des Moleküls 628Trägheitsprinzip 12, 13Tragkraft des Magneten 371Trajektorie 965Traktrix 62Transformator 387,413,442Transistor 460, 809Translation 72Translations-Freiheitsgrad 211Translationsgitter 755Transmissionsfaktor 170Transmissionsgrad 547Transportphänomene 239Transkription der DNS in RNS 922Transurane 651,910transversale Beschleunigung 880transversale Schwingung 182transversaler Doppler-Effekt 879Transversalität der elektromagnetischenWelle 426Transversalwelle 161Traps 806travelling wave tube 462Treibhauseffekt 35, 597Treibmittelpumpe 280Treibstrahlgeschwindigkeit 28, 209Trennfläche 126trigonales (rhomboedrisches) Gitter756triklines Gitter 756Triode 459,479Tripelpunkt 266Trochoide 198trockenadiabatischer T-Gradient 587

1260 Sach- und NamenverzeichnisTrockenobjektiv 496Trommelfell 194Tröpfchenmodell 677,739Tropfen 101Tropfenbildung 137Troposphäre 100Trauton-Noble-Versuch 882Trübung 172Tscherenkow (Cerenkov), Pawel A.(1904-1990) 175,204,444,882Tscherenkow-Effekt 175, 204Tscherenkow-Strahlung 444, 882Tscherenkow-Welle 178Tscherenkow-Zähler 697Tsunami 200, 206Tubuslänge, optische 495Tunguska-Meteorit 869Tunnel-Mikroskop 508Tunneldiode 461,462, 810,904Tunneleffekt 486, 682, 811, 902Tunneleffekt-Rastermikroskop 508Tunnelhaftleitung 904Tunnelstrom 448turbulente Strömung 115Turbulenz, atmosphärische 498Turmalin 316Tyndall-Streuung 787Typ I-, Typ Ir-Supraleiter 823U-Bombe 681U-Reihe 740Überbesetzung 614Überdruck in der Seifenblase 102Überführungszahlen, Hittorfsehe 334Übergangskurve normal- supraleitend824,833Übergangsmetalle 650,666,764Übergangswahrscheinlichkeit 718,947Überhitzung 264Überlagerung- von Schwingungen 142- von Wellen 164Überlappungsintegral 914Überlichtelektron 174, 175übersättigter Dampf 269Überschallknall 175, 177Überschallströmung 120, 179Übersetzungsverhältnis des Transformators414übersichtig 499überthermische Fehlordnung 813Übertragungskapazität 958Uhren 4,479Uhrenparadoxon 882Uhrenvergleich 842- im Schwerefeld 862UKW 159Ulbricht-Kugel 569Ultramikroskop 172,521ultrarelativistischer Compton-Effekt876Ultrarot 579 ff.Ultrarotdetektor 596Ultraschall 196, 205Ultraschall-Holographie 526Ultraschall-Interferometer 190Ultraschallabsorption 196Ultraschallkavitation 120Ultraviolett 579, 582Ultraviolett-Katastrophe 574umkehrende Schichten 588Umkehrfilm 579Umkehrosmose 291Umkehrprisma 509Umklapp-Prozesse 788Umkristallisierung 775Umlaufzeit 16- auf Kepler-Bahnen 54Unerreichbarkeit des absoluten Nullpunktes260ungestörte Superposition 164unipolare Ströme 338Unipolargenerator 882unitäre Symmetrie 724Universalität 981Unschärferelation 153, 168, 560, 564,667,894,919,1117,1186unselbständige Entladung 467Unterkühlung 264Unterwasserfotografie 510Urknall 870Ursprung der Elemente 874Ursprung der kosmischen Strahlung735UrstrahJung 715UV-Astronomie 498UV-Laser 663UV-Quelle 582V-Teilchen 708V-Zentrum 815Vakuum 278Vakuum-Polarisation 666,722Vakuum-Spektrometer 583Vakuumpumpen 279Vakuumröhre 457Valenzband 802Valenzbindung 762Valenzelektron 624Valenzkristalle 767van Allen-Gürtel 375,738,747van Arkel-de Boer-Verfahren 775van de Graaff-Generator 699van der Meer, Sirnon (1925) 703van der Pol-Gleichung 976van der Waals-Bindung 762van der Waals-Gleichung 268,291van der Waals-Kräfte 768van't Hoff-Gesetz 276van't Hoff-Gleichung 257Varaktor 974variable range hopping 811Varianz 61Variationsrechnung 1008Veksler (Weksler), Wladimir I.(1907-1966) 701Vektor 9, 71Vektor-Funktion-Analogie 888Vektorboson 674Vektorfeld 104Vektorpotential 372Vektorprodukt 71Vektorraum 888,918Venushorizont 512Verarmungsrandschicht 8313-5-Verbindung 801verborgene Masse 956verborgene Parameter 690, 918verbotene Übergänge 718verbotene Zone 798, 802Verbrennungsmotor 227Verdampfung 260 ff.Verdampfungsenergie-, molare 264-, spezifische 264Verdampfungsenthalpie 254Verdampfungswärme 264Verdet-Konstante 552Verdunstungskälte 264Vergaser 139Vergrößerung 493Vergütung 541Verhulst-Gleichung 980Verkettung von Spannungen 409Verkettungsgesetz (Durchflutungsgesetz)362Vemeuil-Verfahren 775Verschiebungsdichte 310Verschiebungsenergie 298Verschiebungspolarisation 313Verschiebungsquadrat, mittleres 223Verschiebungssätze von Rutherfordund Soddy 686

Verschiebungsstrom 358,423Versetzung (Dislokation) 804,812,815,816Versetzungslinie 816Verstärker 459Verstärkung, Spannungs- 809Vertauschbarkeit 919Vertauschbarkeit von Ding und Bild489Vertauschungsrelation 895Verteilungsfunktion 931Verteilungskoeffizient 275Verteilungsmodul 931Verteilungssatz von Nernst 275Vertrauensgrenze 7verunreinigungskompensierter Halbleiter803verzerrungsfreie Aufzeichnung 158Verzögerungsleitung 462Vestibularapparat 195Video-Rückkopplung 996Vielfachmesser 349Vielstrahlinterferenz 533Vierer-Elektrodynamik 855 ff.,881 ff.Viererabstand 854Viererdivergenz 856Vierergeschwindigkeit 857Viererpotential 857Viererrotation 857Viererstromdichte 856Vierertensor 857Vierervektor 373, 854Vierpol 403Viertelwellenplättchen 543Vieta-Satz 1008Virgo-Haufen 876Virialsatz 37virtuelle Teilchen 721virtuelle Verschiebung 82virtuelles Bild 482Viskometer 113viskose Reibung 41viskose Schubspannung 109Viskosität 41, 109,239,240- von Suspensionen 139vollkommene Abbildung 483Vollmond 595vollständige Basis 149vollständiges Orthogonalsystem 891,918Vollständigkeit 891Volt(= V) 296Voltameter 408Voltaspannung 343Voltmeter 321Volumenelastizität 93Vorherbestimmtheit 963Vorhersagbarkeit 963Vorpumpe 238Vortex-ZustandVorwiderstandVulkanisierung825324821W-Teilchen 674,719Waage 83van der Waals, Johannes D.(1837-1923) 268Wahrscheinlichkeit und Entropie242 ff., 926 ff.Wanderfeldröhre 462Waltenhafen-Pendel 383Wälzlager 46Wandverschiebung 395Wärme 207 ff., 935Wärmeaustausch 247Wärmedurchgang 236Wärmeenergie 212 ff. ·Wärmekapazität 212Wärmekraftmaschinen 227, 249Wärmeleitfähigkeit 233, 241, 329,472Wärmeleitung 232, 239- in Isolatoren 787- in Metallen 795- im Plasma 472Wärmeleitungsgleichung 233Wärmeleitwert 237Wärmepumpe 228Wärmequelldichte 234Wärmequellen 232Wärmestrahlung 232Wärmestromdichte 233Wärmeströmung 232Wärmeübergang 236Wärmewellen 786, 830Wärmewiderstand 237Wasserkraft 36Wasserleitung 138Wassermolekül 916Wasserschlag 139Wassersprung 139Wasserstoff-Elektrode 340,341wasserstoffähnliches System 805,831,905Wasserstoffatom 905Wasserstoffbrücke 397, 591, 770Wasserstoffspektrum 620Wasserstrahlpumpe 120Wasserstruktur 290Sach- und Namenverzeichnis 1261Wasserwellen 197Wasserwert 214Watt(=W) 21,321Wattmeter 402,407,439Weakonen 719Weber-Fechner-Gesetz 193,581Weber-Versuch 867,884Wechselstrom 321,396Wechselstromwiderstände 400Wechselwirkung, starke undschwache 674,716Weckglas 285Wegener, Alfred (1880-1930) 376Wehnelt-Kathode 447Wehnelt-Zylinder 453,454weiche Supraleiter 824Weicheisen-Meßwerk 407weichmagnetisch 392Weiss, Pierre (1865-1940) 392,395Weiss-Eereiche 395Weiss-Gesetz 392Weißer Zwerg 951,954,961Weizsäcker, Carl Friedrich Freiherr v.(1912) 682,739Weksler (Veksler), Wladimir I.(1907-1966) 701Welle 141-, Ausbreitungsgeschwindigkeit160 ff.-, ebene 160-, elastische 162-, stehende 166, 184Wellengleichung 433- von d'Alembert 162- für dispergierendes Medium 183-, relativistische 856Wellengruppe 169,206Wellenimpuls 171Wellenlänge 161Wellenleiter 437Wellenpaket 167,894Wellenwiderstand 170, 427Wellenzahl 161Wellenzahl-Vektor 164Wellenzone 431Wellenzug 167 ff.Weltalter 871Weltlinie 838Weltraumspiegel 509Weltraumstrahlung 884Weltraumtemperatur 596Wettbewerb 985Wetterprognose 999Wheatstone-Brücke 322Wheeler, lohn Archibald (1911) 746Whiddington-Gesetz 693

1262 Sach- und NamenverzeichnisWhiskers 775,818Widderstoß 139Wideroe, Rolf(1902) 700Wideroe-Bedingung 417Widerstand 319, 401-, spezifischer 319Widerstandsbeiwert 123, 125Widerstandsrauschen 1089Widerstandsthermometer 328Widerwelle 139Wiedemann-Franz-Gesetz 329,350,789,830Wiederkehr-Abbildung 1002Wien, Wilhelm (1864-1928) 574Wiener, Otto H. (1862-1927) 528Wiener-Versuch 237Wiensches Strahlungsgesetz 574Wiensches Verschiebungsgesetz 574wigglers 584Wilson, Charles T. R. (1869-1959)695Wilson, Kenneth G. (1936) 822Wilson-Formel 803Wilson-Kammer 919Windenergie 36Windkanal 117Windrichtung 69Winkel 4, 888Winkelgeschwindigkeit 16,73Winkelrichtgröße 85Winkelspiegel 483Wirbel 123, 125Wirbeldichte 126Wirbelkern 126Wirbelpaar 124Wirbelstärke 126Wirbelstraße 124Wirbelstrom-Verluste 414Wirbelströme 383Wirkleistung 402Wirkleistungsmesser 439Wirkungsgrad 228, 229, 287, 419- des Generators 398Wirkungslinie einer Kraft 74Wirkungsquant 572 ff.Wirkungsquerschnitt 688-, differentieller 673- schneller Elektronen mit Atomen670Wirkwiderstand 402Wölbspiegel 484Wolkenbildung 290Wollaston-Prisma 563Wurf, schiefer 16,63Wurfweite 63Wurtzit-Struktur 753X-Teilchen 720XBO-Lampe 583Xe-HöchstdrucklampeXerox-Kopierverfahren470810Yang, Chen Ning (1922) 733Ybacuo 828Young, Thomas (1773-1829) 513,515,530,559,577Young-Helmholtz-Theorie 577Yukawa, Hideki (1907-1981) 674,706,712,719Yukawa-Kraft 674,719z-Pinch 477Z0 -Teilchen 720Zähigkeit 109 ff.Zähldiode 694Zählertotzeit 741Zählrate 692Zählrohr 465,696Zahnradgetriebe 82Zahnradversuch von Fizeau 500Zäpfchen (Auge) 499,520Zeeman, Pieter (1865-1943) 553Zeeman-Effekt 553, 660, 667Zeeman-Aufspaltung 655Zeigerdiagramm 143,400,531- des Trafos 414zeitabhängige und zeitunabhängigeSchrödinger-Gleichung 899Zeitdilatation 843, 878Zeitgleichung 148Zeitkonstante- L/R 385- RC 401Zener-Diode 809zentraler Stoß 33Zentralkraft 26Zentrifugaldrift 476Zentrifugalkraft 17, 56Zentrifuge 64Zentripetalbeschleunigung 17Zerfall des neutralen Vakuums 651,703Zerfallsenergie 688Zerfallsgesetz, radioaktives 690Zerfallskonstante 687, 690Zerfallsreihen 686Zersetzungsspannung 341Zerstäubung 139Zerstreuungslinse 490Zeta-Funktion 595Zhabotinski-Reaktion 989Zinkblende 753Zirkularbeschleuniger 699zirkulare Welle 543Zirkularpolarisation 534Zirkulation 108, 125, 126Zonen-Nivellierung 775Zonenplatte 525Zonenschmelzverfahren 775zufällige Fehler 6Zugfestigkeit 133Zündbedingung 467Zündspannung 470Zustandsänderung 936Zustandsfunktion 892Zustandsgleichung 216Zustandssumme 931Zustandsvariable 216Zwei-Flüssigkeiten-Modell von Tisza961zweiachsige Kristalle 538Zweielektronen-Atom 922Zweig, George (1937) 723Zweikammer-Klystron 461Zweipol 403Zweiter Hauptsatz der Wärmelehre248zweiter Schall 961Zwillingsparadoxon 878, 882Zwischenbild 494Zwischengitterdiffusion 812Zwischengitterplatz 812Zwischenkern 687Zykloide 65Zykloidenbahn 65,358,439Zykloidenmodell des Weltalls 871Zykloidenpendel 65,971Zyklotron 699,700,743,880Zyklotronresonanz 798Zyklotronstrahlung 684, 700Zylinder-Funktionen 171Zylinderfehler 492Zylinderlinse 510Zylindersymmetrie 235Zylinderwelle 160, 171

Das Experiment ist eine gezielte Anfrage an die Natur, auf diebei geeigneter experimenteller Anordnung eine eindeutige Antworterhalten werden kann.Experimentalphysik2Elektrizität und OptikW. DemtröderExperimentalphysikBd. 1: Mechanik und Wärme1994. XIV, 438 S. 558 meist zweifarb. Abb.,9 Farbtafeln, 38 Tab., zahlr. durch-gerechneteBeispiele, 159 Übungsaufgaben mit ausführlichenLösungenBrosch. DM 64,-; öS 499,20; sFr 61,50ISBN 3-540-56543-4W. DemtröderBd. 2: Elektrizität und Optik1995. XVI, 431 S. 608, meist zweifarb. Abb.,11 Farbtafeln, 17 Tab., zahlr. durchgerechneteBeispiele, 132 "bungsaufgaben mit ausführlichenLösungen.Brosch. DM 64,-; öS 499,20; sFr 61,50ISB 3-540-57095-0W. DemtröderBd. 3: Atome, Moleküle und Festkörper1996. Etwa 400 S. Brosch. ISBN 3-540-57096-9In VorbereitungW. Demtröder•••••••••••Bd. 4: Kern-, Teilchen- und Astrophysik1997. Etwa 400 S. Brosch. I 8 3-540-57097-7In Vorbereitung• SpringerSpringer-Verlag, Postfach 31 13 40, D-10643 Berlin, Fax 0 30 I 82 07 - 3 01 I 4 48 e-mail: orders@springer.detmBA95.06.27b

---------------Physiksehen - verstehen - erlebenmit der LernsoftwareAlbert ist Ihr Lernpartner fürPhysik. Genauer gesagt, eineWindows Lemsoftware, diephysikalische Experimente für alleFachrichtungen am PC-Bildschinnsimuliert und erklärt.---------------1Hardware- und SoftwareanforderungenffiM 80486 oder kompatibler PC mit VGA-Grafik und Maus,ca. 5 MB frei auf der Festplatte für das GesamtpaketMicrosoft Windows 3.1Laden Sie sich die aturgesetze derPhysik in lhrem PC, inklusive aller nöli·gen ersuchsautbauten und Meßapparaturen.Legen Sie selbst die Versuchsbedingungenfest.Sie suchen sich einfach Ihr Programmaus und legen los. Quantenmechanik?Optik? Thermodynamik? Was darfs ein?Bei Albert sind alle Fachrichtungen vertreten.nd das Beste, Ihnen eröffnensich während lhrer Experimente völligneue MögUchkeiten. Sie können z.B.mal eben die Reibung abschalten oderdie Erdbeschleunigung auf ull setzen.Ihrer Experimentierfreude sind (fast)keine Grenzen gesetzt.Sie starten mit dem Grundpaket zwölfExperimente aus der Mechanik Auf dereinfach zu bedienenden Windows-Oberflächeführen ie Ihre Experimente undMeßreihen durch. Ändern Sie die Parameterund Darstellungen, und beobachtenSie die Auswirkungen. Lesen Sie dieerläuternden Texte, und überprüfen iedie so envorbenen Kenntnisse durchdie mitgelieferten ·· bungen. Wenn Sie indie Tiefe gehen wollen, bietet IhnenAlbert auch abgeschlossene Lektionenan. Er läßt Sie Versuche durchführen,beobachten und chlußfolgerungen zie·hen. Sie müssen Hypothesen bilden undbegründen. Erst auf MauskUckerscheint die Antwort.Erweiterungsmodule gibt es zu folgen·den Themen: Mechanik, Elektrizitätslehre,Optik, Tbermodynamik und Stalitik,QuantenmechanikIIIIIIUnd jetzt neu zu Albert: I:Pbjsl:M __ _I Die neu entwickelte ProgranuniersprachePhysCAL eröffnet Umen nun auchdie Möglichkeit, eigene Programmeunter Albert zu erleugen. PhysCAL stehtI fiir "Physics Compuling in Alberts Lan-1 guage" und ist eine Art1 PASCAL, das spezielle Funktionen zurI Ansteuerung der Albert-Oberfläche entlhält.----------Besonders günstig ist dieAchterlizenz, d.h. AlBERTkann auf acht verschiedenenComputern installiert werden.Alle Programme erhaltenSie in Ihrer Buchhandlung.Springerd&p." l238/3.9'1

Springer-Verlag und UmweltAls internationaler wissenschaftlicher Verlagsind wir uns unserer besonderen Verpflichtungder Umwelt gegenüber bewußt und beziehenumweltorientierte Grundsätze 1nUnternehmensentscheidungen mit ein.Von unseren Geschäftspartnern(Druckereien, Papierfobriken, Verpokkungsherstellernusw.) verlangen wir, daß siesowohl beim Herstellungsprozeß selbst alsauch beim Einsatz der zur Verwendung kommendenlv\oteriolien ökologische Gesichtspunkteberücksichtigen.D os für dieses Buch verwendetePapier ist aus chlorfrei bzw. chlorarm hergestelltemZellstoff gefertigt und im pH-Wertneutral.

Wie können wir unsere Lehrbücher noch besser machen?Diese Frage können wir nur mit Ihrer Hilfe beantworten. Zu den untenangesprochenen Themen interessiert uns Ihre Meinung ganz besonders.Natürlich sind wir auch für weitergehende Kommentare und Anregungendankbar.Unter ollen Einsendern der ausgefüllten Karten aus Springer-Lehrbüchernverlosen wir pro Semester Überraschungspreise im Wert von insgesamtDM 5000.·1!Der Rechtsweg ist ausgeschlossen)Springer-VerlagDamit wir noch besser auf Ihre Wünsche eingehen können, bitten wir Sie,uns Ihre persönliche Meinung zu diesem Springer-lehrbuch mitzuteilen.Bitte kreuzen Sie an: sgt. bfr. mgh.Didaktisches Konzept 0 0Beispiele 0 0 0 0 0Ausblicke 0 0 0 0 0Aufgaben und Lösungen 0 0 0 0 0AbbildungenFarbtafeln 0gerademehr richtig wenigerBeispiele 0 0 0 0 0DefinitionenAufgaben und Lösungen 0 0 0 0 0AbbildungenBegriffe des SachverzeichnissesZu welchem Zweck hoben Sie diesesBuch gekauft?zur Prüfungsvorbereitung imPrüfungsfach _____ _0 Verwendung neben einer Vorlesungzur Nachbereitung einer Vorlesungzum Selbststudium0 ---------Wos würden Sie onders machen?Wollen Sie eine Demodiskette von Albef1®?0 jo

Gerthsen Physik, H. Vogel18. AuflageAbsender:Bittefre,machenIch bin:0 Student im __·ten Fachsemester0 Grund-0 Hauptstudium0 Diplomand 0 Doktorand0 ---------------------Fachrichtung0 PhysikHochschule/Universität:0 ChemieAntwortAn denSpringer-VerlagPlanung Physik 111D-69112 Heidelberg0 FH 0 THOTU0 u

~IHlEinige Eigenschaften fester Elemente.----- .----Fe Element HeO,IWI 7ß7 Dochte (g cm l) 0~14.01 111011 s~hmetzpunkl IK> 4,220.01 4.29 Oirterenergie (eV/GJnelleil hen)12 lin . Au~ungslcoeffiz.oenr (10 6 K· 1)0.0010,02 16,83 ElastizJIJill modul ( 1010 m :).....__0,01r- .---u Be 8 c 0 F Ne0,542 1,82 2.47 3.52 1,03 1.14 I .SI453.7 1551 2570 3820 63,3 54ß S3.S Z4.S1,65 JJJ g '" enborg.ium nach Gl~ttn T a~borg "1912 Sßl 7.36 0,06 o.cn 0.1)2S8 u.J. iclsbohrium1.21.16 10,03 ( ir/5 Bohr. dim~ieher Phy tker l - 1962) 17.8 54,5 0.12 0,10;=---; H = Hassmm ::=-a(lat. Hlll:ria = H n, deut.rle Bunde land)MIAl Si p a Ar1.013 1,74Mt "' Mcitncrium ( L.is" Mtunu, 2,70 2.33 1,82 1,96 2,03 t,nterreichi he Ph ikerin,l87 - 1968)371.0 922.0933.5 1683 317.2 386.0 172.2 83.95•Eka-Gold (Dezember 1994 am G I s nthetisiert)1.13 1.533.]4 4.64 0.54 O,ll 0,106 O,(ll()71 26 23.8 7,6 124 64,10.68 3.54 7.22 9,88 3.04 1,78 0,16~';: ~·,-------, ,-----, :==K Ca Cr Mll Fe Co i Cll Zu Ga Ge Se Br Kr0,91 1.53 ~~ 2. 99 4.S 1 i · 6,(/J V 7,19 7,47 1$1 8,90 8,91 8,93 7,13 5,91 5,32 s.n 4.81 4,05 3,CIJ336,8 1112 1812 1933 ! 2163 2130 1517 111011 1768 1726 1357 fRl,1 302,9 1211 1f1JO 490 266,0 116,60,941 1,825 3.93 4.855 5.30 4,10 2,98 4.29 4,387 4,435 3,50 1,3S 2.78 3,87 3,0 2.13 0.151 0,11684 22.5 9 7.5 23 12 13 12,8 16.8 26.3 18 6 370.32 1.52 4,35 10,51 16,19 19.01 5,96 16.83 19.14 18.6 13,7 5.98 .5,69 7,72 3.94 0,91 0,18......___.·- ~-= :-:-:-=--: . ."~ r=- '=='"'="=' ........c;Rb Sr y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Aa Cd Ia So Sb Tc J Xe1,63 2.58 4,48 6.SI 1! 8,58 10,22 ll.SO 12.36 12.42 12.00 10,50 8,65 7,29 5,76 6,69 6.2.5 4,9S 3,78312.0 1042 17'96 2125 2741 2890 244.5 2583 2239 1825 1235 594 429,3 SOS.l 903.9 7'12,1 386.7 161,30,858 4.387 6,316 747 6.810 6.615 S.7S3 3,936 2,96 1.160 2.6 3.12 2.7 2.0 0,226 0,1690 4.8 7,1 5 9,6 8,5 11 19,7 29,4 S6 rr 10,9 17.2 830.31 1.16 3,66 !· 8,33 17,02 33,6 29,7 32,08 27,04 18,08 10,Cf1 4,67 4,11 5.S 3.83 2,JO- La-l='=iOs !f IrCa Ba Hf ff Ta w Re Pt Au Ha n Pb T Bi PO Al Ro1.997 3,S9 6,17 13.20 16.66 19.2.5 21,03 22.58 22,5~ 21,47 19.28 14.26 11,87 11.34 9.80 9,31 4,4301,6 998 1193 2SOO 3269 3683 3453 3318 2683 2045 1338 234.3 576,7 600,6 :! 544.5 527 575 2.02.10.827 1.86 4,491 6.35 8.~ 8,66 8.10 8 , 6,93 S.8S2 3,78 0.694 1.873'17 6.S 4.39,0 14,3 29 29,4 13.S:;~ w~ r ·0.2 1,03 2,43 lo,9 I 20,0 32.32 37.2 27.83 17.32 3,82 3,59 4.30 J,IS 2.6I:;;; •....;;;O - ;:: ::o=; ...., ~-Fr Ra AcKu /~ 1 s, I Hs MI 110 tu•,.&5 to.rn300 '173 1323!il~...-- ,_...;;...-..., ...-- ~ ..--.-- -=-I Ce Pr Nd Pm -Eu Gd n 0,. Ho Er Tm Yb LA0.2 132 2.56.77 6,78 7/XJ 7.54 S,2S 8,27 8,S3 8,80 9,()4 9,32 6!J7 8.841~ ICfll 121M 12&1 13SO 1345 1095 1.584 1633 1682 1743 1795 1811 101J7 1929~ 4,77 3,9 3,3S 2.11 1,80 4,14 4.1 JJ 3.0 3.3 2.6 1.6 4,42.39 3.D6 3,27 3.S 2JN 1.41 3.83 3,99 3JM 3:Tl 4,11 l:Tl 1,33 4.11Qudlto: Handboot 111 PI u Np .... AID CID Bit a EI Fm Md 0 Lror Chemimy and PhysicsCRC Press 1912·1973 11.72 15,37 19,05 210,45 19,81 11$1 13,S1 14Kurd- lnll'oducttoo 2020 1900 1405 913 914 1267 161010 Sohd SIIIC Ph)"ICS 5,93 5,46 5,405 ".5.5 4.0 2.6ewYork W'tle 197111LUII.pfC Teubaer t!IS6 5,43 7.6 911 6.8 S,4Ko/o/,.,....

Umrechnung von Energiemaßen und -äquivalentenerg mkp cal eV TJK kcallmn1 v/Hz .Hm m/A.\if.11 0,1020 0,2389 6,242·10 11 7.244·10ll 1,4~9 · 10 111 1.509·JOI1 1.91l6·1045 6.701 · 10'I erg 10·• 1,020·10-3 2.389·10-3 6,242 · 10 11 7.244 · 10'5 t.439·tOil 1.509 ·1026 1.986 · w- 1 • 6,701 • J0 11 mkp 9,807 2.343 6,121 • JU 19 7,103 • JOU 1,411 • 1QU 1,480 • 10:10 2,025 · 10.20\ 6.571· 10 10lcal 4,184 4,184 ·101 0,4269 2,6lJ • 10" 3,032 • 1013 6.023 • 10111 6.JJt! • JQ» 4.745 • 10~ 2.805 • JOIOleV 1.602 • 10' 19 1,602 ·10-n 1.634 · 10·· 3.827 · JO ·:.'D I 23,05 2,418 · 10 1 ' 1.240· 10 4 1.073 • 10"'1.381 • JO·Zl 1.381·10· 1• 1.408 · 10·14 3.298 · JO·:.O K617 • 10'' I 1.986. JO·l 2.084. 10'0 0.0149 9.250 10'141 kcal/mol 6,951 ·10·11 6.951 ·10·1• 7.088 ·10·11 1,660 · JO·ll 0.0434 503,47 1,049 · 1011 2,858 · 10 ' 4.657 · IO •II6,626 ·10"'" 6,626 . w-r 6,756. IQ•ll 1.5 • JO-J.I 4.136 · 10'" 4.799. 10'11 9,532 . 10 .. I 2.998 · 10' 4,440 • 10 'AI m 1,986·10-2!1 1,986•10'11 2,025·10~ 4,745 · 10-'JII 1.240·10~ 0,0149 t.33l · to ·LSm 1 AME 1,492 ·10'10 1.492 •10-l 1.522 · 10·11 3.565 ·10-11 9,315 ·10 1 1,01 · 1011 2,147 • J01° 2.252 1023 1.31 · 10·UAnwendungsbeupte/e:Wenn eine Atomgewichtseinheit (AME) zerstrahlte, könnte ein Photonvon 2,252 · 10 23 lli oder Ä = 1.331 · 10 15 m entstehen; diese Energie entsprichtT= 1,081 lOnK odereinem Umsatz von 2.147 ·10 10 kcal/mol.Bei II 600 K hat ein Teilchen etwa I eV, ein Photon etwa 2 · 101' Hz und). .. IO~m = 104 A. Ein Photon von).= 1 A = 10 10 m hatl2400 eV undentspricht 1,49 · 10 8 Kund 1,331 · IQ -~ AME (da W = hcl )., ist die J.-Zeiledie einzige, bei der man dividieren muß, tall zu multiplizieren).