Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 3: Lösungen 1039geben uns jetzt ins rotierende Bezugssystem des Tees, odervielmehr der Hauptmasse des Tees, denn es kann nicht allerTee völlig gleichmäßig rotieren: Die wandnahen Zonen bleibeninfolge der Reibung zurück, fließen also relativ zu unseremBezugssystem "rechts herum". Das bedingt aber Coriolis-Kräfte,und zwar, wie auf der Nordhalbkugel der Erde,eine Rechtsablenkung, d.h. eine Ablenkung nach innen.Am Tassenboden, wo dieser Einfluß am stärksten ist, wirdalso eine Strömung nach innen erzwungen (die an der Oberflächedurch eine Auswärtsströmung kompensiert wird, sodaß sich ein geschlossenes Zirkulationssystem wie inAbb. L. 5 ausbildet). Die Einwärtsströmung am Boden ziehtdie Teeblätter in die Mitte; i.allg. ist sie nicht stark genug, umdie spezifisch schwereren Blätter im Schlauch der Aufwärtsströmungmit hochzureißen. Läßt man umgekehrt die Tasserotieren und die anfangs ruhende Flüssigkeit erst allmählich,wieder infolge der Wandreibung, mitnehmen, so ist die Lageumgekehrt: Die Bodenzone strömt schneller, erfährt also imBezugssystem der Hauptmasse der Flüssigkeit eine Linksablenkung,d.h. eine Kraft nach außen.~~ Tae~Abb. L. 5. Im Bezugssystem der Hauptmasse des Tees rotierendie bodennahen Schichten "rückwärts" und werden dahervon einer Coriolis-Kraft einwärts getrieben. Es bildet sich einZirkulationssystem aus, das die Teeblätter nach innen führt3.3.12. WasserraketeWenn im Luftvolumen über dem Wasser ein Druck p, also einÜberd~ = p - po herrscht, wird das Wasser mitw = y211pl(! ausgeschleudert. Die Ausstoßrate istJ.l = gwA (A: Düsenquerschnitt), also der SchubF = J.lW = Agw2 = 2A I::J.p. Die Raketenmasse m wird dadurchbei Senkrechtstart mit a = F Im - g beschleunigt.Bliebe der Druck bis zum "Brennschluß" konstant, wasannähernd der Fall ist, wenn man wenig Wasser hineintut,dann ergäbe sich die Brennschlußgeschwindigkeit alsVB = wln(molm)- gtB mit mo = m + gVw und tB =Vw I (Aw). Die Rakete steigt vom Brennschluß ab nochh = vV(2g). Man kann sie bis p = 6 bar aufpumpen. Siewiegt leer etwa 200 g. Bei Füllung mit 0,31 Wasser (wobeidie Bedingung konstanten Drucks allerdings nicht mehr erfülltist) wird w ~ 30 m/s, mit A = 0,5 cm 2 ist der Schubwährend der 0,2 s Brennzeit 50 N, die Beschleunigungkurz vor Brennschluß über 20 g, die Brennschlußgeschwindigkeit25 m/s, der Brennschluß erfolgt in etwa 3 m Höhe,aber die Rakete steigt noch bis etwa 35 m. In Wirklichkeitfällt der Druck natürlich mit Ausdehnung des Luftvolumensab, und zwar adiabatisch, weil der Vorgang so schnell erfolgt.Man sieht das am besten, wenn man nur mit Luft füllt: Nachdem Druckausgleich hat sich die Luftfüllung so abgekühlt,daß der Wasserdampf kondensiert. Die AdiabatengleichungT ""'pY/(y-l) liefert bei p = 6 bar eine Abkühlung auf200 K. Die Luft schießt dabei anfangs mit w ~ 1 100 m/saus und erzeugt immerhin etwa 0,001 s lang den gleichenSchub, den das Wasser 35mal so lange ausübt. Die Raketenimmt dabei über 3 mls an und springt fast 1 m hoch. Allediese rechnerischen Befunde bestätigt das Experiment.3.3.13. Überlebt er's?Wenn der Mann den ganzen Rohrquerschnitt A abdichtete,würde er nur so weit fallen, bis der Druck der komprimiertenLuft ihn trägt. Bei 50 cm Durchmesser, also A = 2 000 cm 2 ,wäre das bei I::J.p ~ 0,05 bar der Fall, d. h. nach isothermerKompression um to oder 500 m Fall weg. In Wirklichkeit erfolgtdie Kompression schnell genug, um adiabatisch zu sein.Dann ist flplp = - K!::J.VIV = -1,4!::J.VIV: Der Mann fälltin einigen Sekunden bis 350m und sinkt dann in einigenMinuten mit Abkühlung der Luft weiter auf 500 m. Selbstder rundeste Mann muß aber einen Anteil A' des Querschnittsoffen lassen, durch den die Luft wegpfeift, undzwar mit der Geschwindigkeit w = J2 11plg. Der Vorgangzerfällt dann in zwei Etappen: (1) Ungebremster freier Fall;(2) Fall mit konstanter Geschwindigkeit v. Der Überdruckträgt in der zweiten Etappe auf der Fläche A-A' das Gewichtdes Mannes: !::J.p = mgi(A - A'), und er sinkt nurab, weil das Luftpolster am Rand mit w entweicht:(A- A')v = A'w. Dabei ist w = J2mgl(g(A- A')) etwadie stationäre Geschwindigkeit des freien Falls ohne Fallschirm:w ~ 75 mls. Die Sinkgeschwindigkeit v =wsi(A - A') kann in nicht zu weitem Rohr durch "DickeroderDünnermachen" in weiten Grenzen auf u. U. ganzharmlose Werte geregelt werden.3.3.14. ThrbineIm Leerlauf dreht sich das Rad so schnell, daß die Schaufelndie über ihren Weg gemittelte Komponente der Strömungsgeschwindigkeitannehmen. Wenn das Rad Arbeit leistensoll, muß es sich langsamer drehen, damit das relativ zuden Schaufeln vorbeiströmende Wasser eine Kraft auf dieseausüben kann. Effektive Schaufelfläche A, Strömungsgeschwindigkeitrelativ zum Ufer v, relativ zur Schaufelv- u, Schaufel bewegt sich mit u relativ zum Ufer, Kraftauf Schaufel F ~ (v- u) 2 gA. Die Drehzahl wird durch ubestimmt, die verfügbare Leistung auch: P ~ A(v- u) 2 gu.Maximale Leistung bei dPidu = 0, also u = vl3,Pmax ~ gA4v 3 121. Zahlenbeispiel: A = 1m 2 , v = 5 m/s,Pmax ~ 10" W = 13 PS. Verlangt man zu hohes Drehmoment,bleibt das Rad stehen oder dreht sich rückwärts; Pwird 0 oder negativ. Jeder Motor folgt im Leerlauf praktischder Antriebskraft (umlaufendes Magnetfeld, Gasstrom), beiBelastung hinkt er hinterher, bei Überlastung bockt er aufnur äußerlich verschiedene Arten.