Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1104 Lösungen zu den AufgabenDie Beugungsringe haben einen Abstand aJcl d ~ 3 cm, vergrößernalso, da ihre Intensität nach außen rasch abnimmt,das beleuchtete Gebiet nicht merklich. Infolge Spiegelunebenheitenund atmosphärischer Streuung werden sie inder Unschärfe des Bildrandes untergehen. Da der Spiegelüber dem Äquator stehen muß (sonst wäre er nicht stationär),taucht er auf einem Stück seiner Bahn, das den Winkel2RI a ~ 0,36 ~ 60° einschließt, also in 4 h durchlaufen wird,in den Erdschatten ein. Dann ist Ruhe. Für einen Astronauten,der dicht vor dem Spiegel schwebt, ist er völlig eben. Einevergrößernde Wirkung hat er also nicht..9.1.10. Echo-SatellitIm Satelliten (Konvexspiegel vom Radius r) erscheint einvirtuelles Bild der Sonne vom Durchmesser B = JG I g,z. B. bei r = 15m von B = 6 cm. Dieses Bild hat die gleicheLeuchtdichte wie die Sonnenscheibe (die Kugel fängt denBruchteil 1r? I ( 47rg 2 ) der Gesamtstrahlung der Sonne aufund konzentriert sie auf die um den Faktor B 2 I G 2 =j 2 I g 2 = ! ? I g 2 kleinere Fläche des Bildes; allgemein bleibtdie Leuchtdichte konstant bei jeder Abbildung, bei der nurReflexion und Brechung, nicht aber Absorption beteiligtsind). Aus einem Abstand a erscheint also der Satellit,genauer das Sonnenbild in ihm, um den FaktorB 2 g 2 I(G 2 a 2 ) =f 2 1a 2 =!?la 2 weniger hell als dieSonne. Bei der Höhe h = 1 000 km über dem Erdbodenund r = 15m ergibt sich bei Zenitstand (a = h) ein Faktor2. w- 10 , d. h. knapp 27 Größenklassen: Der Satellit istheller als Wega, die 0,05 Größenklassen hat. Bis zum Horizont(a = 3 600 km) nimmt er um den Faktor 13, also umdrei Größenklassen ab.9.1.11. ParabolspiegelAchsenparallele Strahlen werden im Parabolspiegel exakt imBrennpunkt vereinigt. Dafür werden aber die Abbildungseigenschaftenfür nichtachsenparallele Strahlen schon beiziemlich kleinen Winkeln noch schlechter als beim Kugelspiegel,der wenigstens für alle Richtungen gleich schlechtist. Bei der Kugel gehen z. B. wenigstens die achsennahenStrahlen alle durch den (jeweiligen) Brennpunkt, beim Paraboloidnicht. Wo sollte auch die Achse der Parabel für einschiefes Bündel sein, vielleicht durch den Brennpunkt F gehen?Aber der Strahl durch F wird doch bestimmt zum Parallelstrahl(Abb. 9.15b).9.1.12. RiesenfernrohrDer Schacht wäre natürlich nur für Sterne brauchbar, die genaudarüberstehen. Sowie der Strahl nicht mehr ganz achsenparallelist, geht die Überlegenheit über den Kugelspiegelbald verloren. Die Brennweite f (Halbparameter der Parabel)ergibt sich nach Abschn.3.1.2 alsf = gl(2o}). Damitdas Zwischenbild immer an der gleichen Stelle bleibt,muß die Drehzahl ( w) hochgradig konstant sein. Damitdie vergrößerte Auflösung ausgenutzt werden kann, darfdas Zwischenbild höchstens um 0,5 ~m zittern. Beif = 50 m bedeutet das einen Fehler in w um höchstensw- 8 (11flf = -ßwl(2w)), was schwer zu erreichen ist.Das Projekt hat noch mehrere ähnliche "Würmer".9.1.13. SchärfentiefeDie Schärfentiefe eines optischen Gerätes kann so definiertwerden: Wenn bei gegebener Brennweite f und Bildweite bdie Gegenstandsweite von dem durch llb = llf- llg gegebenenWert abweicht, wird ein Punkt nicht mehr alsPunkt, sondern als Scheibchen dargestellt. Ist dieses Scheibchenkleiner als das "Korn" des Registrierorgans (Photoemulsion,Netzhaut), so ist diese Abweichung unschädlich.Wir verlangen z. B. von der Kleinbildkamera, daß ein Kontaktabzug,mit bloßem Auge betrachtet, gestochen scharfaussehen soll. Das ergibt eine Korngröße des Films von höchstensbK = 20 ~m (die Netzhaut hat ein 5 ~m-Korn, entsprechenddem Auflösungsvermögen des Auges; Bild- und Gegenstandsgrößeim Nahpunkt des Auges verhalten sich wieAugapfellänge zur Nahpunktweite, also etwa wie 1: 4).Für die Photographie interessieren Gegenstände mit g » f,die nahe der Brennebene abgebildet werden. Der bildseitigeÖffnungswinkel des Lichtbündels, das von einem Gegenstandspunktkommt, ist dann !dlf (dl2: B1endenradius),also sein Durchmesser, wenn die Bildweite um ßb"falsch" ist: J = !d ßblf. Nach der Abbildungsgleichunghängt der Bildweitenfehler ßb mit dem Fehler der Gegenstandsweiteßg bei g » f so zusammen: b = fg I (g - f) ~f(l + f lg), also M ~ -ßgj 2 I g 2 . Es folgt für die Schärfentiefe,d. h. das ßg, das einem J gleich der Korngröße entspricht:lßgl ~ M g 2 1! 2 = 2bKg 2 lifd). Für eine f =50mm-Optik ergibt sich bei Blende 2,8, d. h. d = 5012,8:ßg ~ 0,04g 2 . Wenn ßg ~ g wird (d.h. hier bei g =25 cm), muß man natürlich die Näherung ßb ~ -ßgj2 I g 2aufgeben und mit b = f( 1 - f I g) rechnen. Sie erhalten sodie Begrenzung des Schärfebereichs, die meist gegenüberden Blendenzahlen auf dem drehbaren Ring der EntfernungseinstellungIhrer Kamera aufgedruckt sind. Rechnen Sienach! Diese Unschärfe hat weder mit Beugung noch mitLinsenfehlern zu tun.9.1.14. RefraktometerDie Flüssigkeitsschicht mit der Brechzahl n zwischen denbeiden Glasprismen erlaubt Durchtritt des Lichtes aus demunteren Prisma nur bei genügend steilem Einfall. Dasschwenkbare, schwach divergente Bündel der Lichtquellewird genau zur Hälfte durchgelassen, zur Hälfte nicht,wenn seine Achsenrichtung dem Totalreflexionswinkel entspricht.Dann halbiert im Okular die Hell-Dunkel-Grenzegenau das Blickfeld.9.1.15. Asymmetrischer DurchgangDas Lichtbündel tritt unabgelenkt durch die eine Fläche undfällt auf die andere unter dem Winkel y auf, tritt also unter IXmit sin IX = n sin y wieder aus. Die Ablenkung ist b' = IX - y,also sin y = n- 1 sin(y + b'). Bei symmetrischem Durchganggilt nach (9.10) sin(yl2) = n- 1 sin((y + b)l2). WelcheAblenkung ist größer, b oder b'? Wir schreiben J =2 arcsin(n sin(y 12)) - y, b' = arcsin(n sin y) - y. Ein Blickauf das Bild der arcsin-Funktion zeigt, daß sie im interessierendenWinkelbereich stärker als linear ansteigt (ihr Spiegelbild,die sin-Funktion, steigt schwächer als linear), daß alsofür jedes interessierende x gilt 2 arcsin(xl2) < arcsinx. Es