Lösungen zu den Aufgaben - Springer

16.3.1. Harmonischer OszillatorDieses Problem und die folgenden sind leider typisch dafür,wie abschreckend mühsam die konkrete Durchrechnung einfachsterEigenwertprobleme oft ist. Eben weil sie so typischsind, muß man aber einige gängige Vereinfachungsmittelkennen lernen. Wir suchen die Funktionen tjJ, die die ebeneSchrödinger-Gleichung mit harmonischem Potential-!n2m- 1 11t/J+!Dx2t/J=Wt/J erfüllen und vernünftigsind, d. h. im Unendlichen verschwinden (auf die Umgebungvon x = 0 beschränkt sind). Dies sind Eigenfunktionen, diezugehörigen W-Werte sind Eigenwerte des Problems. Maßstabsänderungs = 2 W I ( nwo), ~ = x I xo mit wo = -./Dfi1i,xo = n 1 1 2 (Dm)-if 4 vereinfacht zu -t/1 11 + et/1 = etjf. Fürsehr große ~ bleibt nur t/1" = et/1. Die Gauß-FunktiontjJ = Ae-a( 2 ergibt t/J' = -2a~t/J, t/1 11 = (4a2e- 2a~)tjf,löst also mit a =! asymptotisch (für ~ » 1) das Problemund verhält sich auch physikalisch vernünftig: Groß umx = 0, draußen schnell abnehmend. Für e = 1 löst sie essogar exakt, aber nur für diesen e-Wert. Höhere Energiezuständeerhält man als H ( ~) e -e 1 2 mit einem PolynomH(O = 2:~ 0 c;~i, also t/J' = (H'- ~H)e-~ 2 /2, tjf" =( H" - H - 2~H' + eH) e -( 2 1 2 . Einsetzen in die Schrödinger-Gleichungliefert H" = 2~H' + (e- I)H = 0. Mit derPotenzreihe ist0000eHI= L ic-):1 .~ ~~ ' H" = L i(i- 1 )c;~i- 2i=Oi=200= L(i+2)(i+ l)ci+2~i,i=Oalso 2:~0 [(i+2)(i+l)c;+z-2ic;+(e-I)g'=O, d.h.Ci+2 = c;(2i + 1- e)l[(i + 2)(i + 1)]. Nur wenn e =2n + 1, bricht das Polynom H mit Cn ab; sonst könnte esals unendliche Potenzreihe selbst das Abklingen der Gauß­Funktion aufheben. Abbrechen ist genau · dann garantiert,wenn bei geradem n: co =/= 0, c, = 0, bei ungeradem n:co = 0, CJ =/= 0. Bein= 0 wird e = l, H = 1 (nach Normierungdurch f~:tjf 2 dx=l). n=l: e=3, H=~, n=2:e = 5, H = 2e- 1; n = 3: e = 7, H =e-H· Die stationärenEnergiewerte sind also W = ! hwo ( 2n + 1) mitn = 0, 1, .... Die Eigenfunktionen sind Gauß-Funktionen,moduliert durch das Polynom H, das im Zustand n entsprechenddem Knotensatz n Nulldurchgänge hat (Abb. 16.6 stelltnicht t/J, sondern die Aufenthaltswahrscheinlichkeit t/1 2 dar).Bei W = U, wo klassisch die maximale Amplitude des Teilchensliegt, ist quantenmechanisch der äußerste Wendepunktder t/1-Funktion; das Teilchen dringt etwas in den "verbotenen"Bereich ein. Bei kleinem n ist klassisch das Teilchen amwahrscheinlichsten an den Umkehrpunkten, quantenmechanischin der Mitte zu finden. Bei großem n werden die beidenBilder entsprechend dem Korrespondenzprinzip ähnlicher.16.3.2. Theorie des a-ZerfallsDer Krater hat außen Coulomb-Form U = 2Ze2 l(47reor),innen, wo die Kernkraft einsetzt, lassen wir ihn bei r = r 1Kapitel16: Lösungensteil abbrechen (r, = A 1 13ro, ro = 1,3 fm). a-Teilchen, dieKandidaten für den Austritt sein sollen, müssen W > 0 haben.Nach Aufgabe 13.1.7 ist das ab A ~ 140 der Fall,aber bei kleinem W ist die Austrittswahrscheinlichkeitsehr klein. Der Tunnelausgang liegt bei W = U, d. h.r2 = 2Ze2 I ( 47reo W). Das Potential sieht nur bei groberZeichnung dreiecksähnlich aus: Sein Gipfel liegt bei 120bis 200 MeV, es hängt also bis zum Austrittspunkt, derden wenigen MeV des a-Teilchens entspricht, erheblichdurch. Im kugelsymmetrischen Potential ist tjJ eine Kugelwellear-1 e-ikr, wo W > U ist, dagegen t/1 = ar-1 e-Krim Tunnel, wo W < U ist. Einsetzen in die Schrödinger­Gleichung -!n2m- 1 11tjf = -!n 2 m- 1 (t/lrr + 2t/Jrlr) =(W- U)t/1 liefert K = V(2mln2)(2Ze21(47reor)- W). DieAustrittswahrscheinlichkeit folgt als Verhältnis der tjf 2 -Werteam Ausgang und am Eingang des Tunnels: D =exp(-2 J~ 2 K dr). Mit x = r I rz vereinfacht sich das Integralzu[2m 2ze2 1' v'x-'- 1 dx.V fi2 47l"eo W 112 x 1Da XJ = rl/r2 « 1, kann man bei x ;Sx, unter der Wurzeldie 1 vernachlässigen, und das Integral wirdf~ v'x- 1 - 1 dx- f~ 1 x- 1 1 2 dx. Mit x = sin 2 a verwandeltsich das erste Integral in )o/ 2 2 cos 2 a da = 7r 12 (der Mittelwertvon cos 2 ist !). Das zweite Integral gibt 2xi/ 2 =2~, was auch mit dem davorstehenden Faktor immerklein gegen Eins ist, also im Exponenten keine Rollespielt. Zahlenmäßig mit W in MeV erhält man D =exp( -0,9ZI v'W) und für die Zerfallskonstante A. = voD, wobeivo = v I (2ri) ~ 1021 s- 1 ist: ln A. = 48 - 0,9Z I v'W. Mitder Whiddington-Reichweite R ~ v'W hätte man lieber v'Wim Zähler gehabt, aber trotzdem kommt die Geiger-Nuttal­Beziehung gut heraus: 10log A. = -3 für 218 Po, -15 für238 U; für 1 ~Nd erhält man 3 · 10 11 Jahre Halbwertszeit,was etwas zu wenig ist.16.3.3. FeldemissionDas Potential geht außerhalb des Metalls wie U = -eEx,innen ist es horizontal (wäre es das nicht, würden Elektronensich verschieben, bis es horizontal ist). Dazwischen liegt eineStufe, deren Höhe annähernd gleich der aus Photo- oder Richardson-Effektgemessenen Austrittsarbeit Uo ist (da dieseSchwelle nicht ganz scharf ist, sondern sich über einige Aerstreckt, bauen große Felder auch ihre Höhe etwas ab,wie man beim Zeichnen sofort sieht). Durch diese Dreiecksschwelleder Dicke d = Uol ( eE) tunnein Elektronen mit derWahrscheinlichkeitD = e-4..j2mU0d/(31i) = e-7-!0 9 ~/E(Uo in eV, E in V/rn). Bei U = 1 eV ist der Tunnelstromj = nevD ~ l Ajm 2 für E = 2 · 10 6 V/ern, bei 10 6 V/ernerst 10- 30 Alm , bei 3 · 10 6 V/ern schon 10 10 Alm 2 • Durch-1189