Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1110 : Lösungen zu den Aufgabeneinem sehr kleinen Winkel a gegen die Horizontale auf dieheiße Schicht auffällt, wobei im Grenzfall n cos a = n + !'!.noder n 1 - a 2 2) = n + !'!.n oder a = ~ =2(no - 1) !'!.T ITo ist. Mit no = 1,000272, !'!.T = 30 K,To = 300 K folgt a = 7 · 10- 3 . Hat der Beobachter seine Augenin der Höhe h über der völlig ebenen Straße, dann setztdie Totalreflexion in einer Entfernung a = hla =hl J2(no - 1) T ITo ein, im Beispiel mit h = 1,4 m (Autofahrer)bei a = 200m. Jenseits von a spiegelt sich der Himmelan der Straße, genau als ob diese naß wäre. Der Kamelreiterin der Sahara hat ein größeres h, sieht also den "See" ingrößerem Abstand. Die Entfernung a gibt direkt die Temperaturdifferenz!'!.T. Eigentlich handelt es sich in beiden Fällennicht um eine Totalreflexion, sondern um Lichtkrümmunginnerhalb der wärmeren Schicht. Sie habe die Dicke d,also den Brechzahlgradienten !'!.nld = (no- 1) !'!.T l(dT).Der dazu praktisch senkrechte Lichtstrahl erfährt dieKrümmung 1IR = !'!.nld, wird also, falls er die Straße geradestreift, abgelenkt um den Winkel 2ß = 2J2d!R =2J2(no - 1) !!.T ITo. ß ist genau wieder das oben berechnetea.9.4.5. Atmosphärische RefraktionDas zur Erde tangentiale Licht der untergehenden Sonnehat nach Abschn. 9.4.1 in der Atmosphäre mit ihrer höhenabhängigenBrechzahl die Krümmung 1lr = n- 1 dnldh =d ln n I dh. Die Abweichung der Brechzahl von 1 ist annäherndproportional der Dichte, diese nimmt etwa nachder e-Formel ab: n = 1 + aQ = 1 + be-h/H. Damit wirdlnn :::::J be-h/H und der Krümmungsradius r :::::J Hb-ieh/H,in Bodennähe r :::::J H I b. Für die Erdatmosphäre istH = 8 km und b = 0,0003, also r :::::J 25 000 km. Der tangentialeStrahl läuft eine Strecke x = ..fiRii :::::J 300 km(Pythagoras! R Erdradius) durch die Schichtdicke H. Aufdieser Strecke wird er abgelenkt um xl r :::::J 0,6°. DieSonnenscheibe erscheint unter 0,5° und legt die 0,6° in0,6° · 24 hl360° :::::J 2,4 min zurück, Tagesverlängerung5 min. Bei viermal so dichter Atmosphäre wäre der Krümmungsradiusgleich dem Erdradius: Das Licht liefe ringsum den Planeten, es gäbe keine Nacht und keinen Horizont.Allerdings sähe "ganz hinten" auf dem Planeten dieSonne aus wie ein horizontaler Strich von recht geringerLeuchtkraft. Auf dem planetenumspannenden Meer säheman, entsprechende "Sicht" vorausgesetzt, z. B. sich selbstvon hinten. Ein hoher Berg bei den Antipoden zöge sichals Wand rings um den "Horizont", man sähe alle seine Flanken.Auf der Venus ist sogar r :::::J Rl20 :::::J 320 km. Die Umgebungscheint sich wie eine flache Schüssel um den Beobachterhochzuwölben. Die Wolkenschicht (zweite paralleleSchüssel) deckt allerdings alles ab, was weiter als etwa1 000 km entfernt ist. Das Tageslicht läuft, mehrfach "reflektiert",um den ganzen Planeten. Am Sonnenrand(R = 6 · 10 5 km, H = kT l(mHasonne) :::::J 20 · Skm · 29120 :::::J160km), ist x = ..fiRii :::::J10 4 km, Ablenkung um 2" beir :::::J 109 km; r = H I b liefert b :::::J w- 7 , was weniger als1 mbar Wasserstoff entspricht. So genau muß die Gasdichteüber der Chromosphäre bekannt sein, damit man den relativistischenEffekt aus der gemessenen Ablenkung "herausfischen"kann.9.4.6. ElektronenspiegelMan könnte meinen, die optischen Eigenschaften würdendurch die Form der "Rückwand" in Abb. 9.67 bestimmt,und eine ebene Rückwand z. B. erzeuge einen ebenen Spiegel.Das Wesentliche ist aber das Hervorquellen der Niveauflächenaus der Lochblende, das nur noch stärker wird, wennman die Rückwand eben oder gar konvex macht. Einen ebenenSpiegel, für den bei allen Elektronenenergien und -richtungenEinfallswinkel a = Ausfallswinkel ß wird, erhält mannur, wenn man das Feld auch vorn ganz "plattdrückt", z. B.zwischen einer ebenen Rückwand und einem ebenen Drahtnetzvon genügender Maschenfeinheit ein homogenes Feldherstellt. Darin beschreiben die Elektronen Wurfparabeln,und a = ß ist immer erfüllt. Die Eigenschaften eines beliebigenanderen Feldes E kann man dann ableiten, indem mandie konforme Abbildung sucht, die das homogene Feld in dasFeld E überführt. Die gleiche Abbildung führt auch die leichtanzugebenden Elektronenbahnen im homogenen Feld in dieim FeldE über. Bahnen, die von einem Punkt in verschiedenenRichtungen ausgehen, schneiden sich bei Ablenkungdurch das homogene Feld i. allg .. nicht alle wieder in einemPunkt. Damit sie es im FeldE doch tun, muß der Schnittpunkteine "Singularität" der konformen Abbildung sein. Näheresüber diese begrifflich sehr eleganten Methoden lehrt dieFunktionentheorie.9.4.7. Lange LinseWir rechnen natürlich in Zylinderkoordinaten z, r, rp. Dasrotationssymmetrische Feld hat Brp = 0 und keine rp-Abhängigkeit.Es ist überall divergenzfrei, also div B =Bz,z + 2Br,r = 0 (r zählt doppelt, weil es zwei zueinandersenkrechte r-Richtungen gibt), d. h. Br,r = - ~ Bz,z· Näherungder geometrischen Optik: Ablenkwinkel klein, alsoVz = v praktisch konstant. Bewegungsgleichungen: Vrp =evBrlm, Vr = -evrpBzlm. Wir eliminieren Vrp, indem wirnochmal nach t ableiten: Vr = -evrpBzlm = -e 2 vBrBz.Existenz eines Brennpunktes bedeutet vrlv = rlf. alsoVr,r =vif. Wir leiten die Bewegungsgleichung nochmalnach r ab: Vr,r = -e 2 v(B 2Br,r +BrBz,r)lm 2 . Das Gliedmit Bz,r ist klein, weil das Feld annähernd achsparallel ist.Mit Br,r = - ~ Bz,z bleibt Vr,r = ~ e 2 vB2Bz,zl m 2 . Wir integrierendiese Gleichung nach dem Schema x =!(1 '* dx = f dt = f dzlv =} x = v-i I f dz, also Vr,r =!e B~lm 2 (denn B 2B 22 ist die Ableitung von 1B~). alsoVr,r = !e 2 I B~ dzlm 2 v', und wegeneU = !mv 2 folgt (9.30).