Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1094 Lösungen zu den Aufgaben240 Q-Doppelleitung, aufgefaßt als Doppelblech mit d :::::o b,folgtausZ :::::o Vflol(sso) = 240QeinsvonähnlicherGröße.Wenn Sie die Doppelleitung wählen sollten, malen Sie sienicht etwa an und legen Sie sie nicht unter Putz: Es isteben kein Doppelblech, die Felder dringen teilweise ausdem Kabel heraus, und wenn dort keine Luft ist, stimmtder Wellenwiderstand nicht mehr.7.6.13. KabelabschlußHin- und rücklaufende Welle überlagern sich zu einer stehendenWelle, in der Energie nur stellenweise hin- und herschwappt,aber nicht kontinuierlich· fließen kann. Schließtman die Kabelenden über einen Widerstand zusammen,der gleich dem Wellenwiderstand des ganzen Kabels ist,dann "denkt"die Welle, das Kabel gehe immer so weiter,und wird nicht reflektiert. Die Betrachtung der Widerstandsleiter(Aufgabe 6.3.9) liefert mit allgemeinen komplexen WiderständenZ1 im Holm und Zz quer dazu in jeder Sprosseeinen Gesamtwiderstand Z = Z!/2 ± yfzf/4 + Z1Z2, dergleichzeitig der Abschlußwiderstand ist, bei dem vorn niemandmerken kann, ob die Leiter hinten unendlich weitergehtoder nicht. Wenn ein Kabelstück dx die LängsinduktivitätL*dx und die Querkapazität C*dx hat, ist der AbschlußwiderstandZ = !iwL*dx (I ± J1 - 4l(w2L*C* dx2)).Hier muß man sinngemäß dx gegen 0 gehen lassen. Dadurchwird das zweite Glied in der Wurzel beliebig groß, undZ = J L* I C* wird ein ohmscher Widerstand, der genausogroßist wie der Wellenwiderstand des Kabels. Dies stimmtauch, wenn das Kabel einen Längswiderstand und eine Querleitfähigkeithat (Aufgabe 7.6.11), nur ist der Abschlußwiderstanddann i. allg. nicht rein ohmsch und wird frequenzabhängig.Der richtig augepaßte Empfänger hat ebenfalls den EingangswiderstandZ, z.B. 60Q oder 240Q.7.6.14. WellenwiderstandFür die Doppelleitung ist E = U I d und H = I I b, also stimmenbeide Definitionen des Wellenwiderstandes nur fürd = b überein (wo aber unsere Betrachtungsweise nichtmehr stimmt, denn sie setzt d « b voraus). Das Koaxialkabelhat E = Ul(rln(rzlrl)), H = Il(27rr); nur beiln(rzlrl) =27r, d.h. rz =535r1 ist UII=EIH. Da manso extreme Geometrien im Hausgebrauch kaum wählenkann, hätte die Fernseh- oder Ultrakurzwelle, sogar abgesehenvom Einfluß des Isoliermaterials, beim Übergang aus derLuft ins Antennenkabel ähnliche Schwierigkeiten wie eineSchallwelle beim Übergang von der Luft ins Wasser (Aufgabe4.2.7) oder Licht beim Übergang von Luft in Glas.Die "Anpassung" zwischen den beiden Medien besorgenim Mittelohr die Gehörknöchelchen (Hammer, Amboß,Steigbügel), in der Antenne tut es ein Übertrager, d. h. ein1 : 1-Trafo. - Innerhalb der Doppelleitung ist der Poynting­Vektor S = EH = UI I ( db ), er zeigt in Richtung der Leitung,denn E und H stehen quer dazu und senkrecht aufeinander.Insgesamt fließt durch den Leiterquerschnitt dbdie Leistung Sdb = UI: Man kann diese Leistung ebensogutdurch Strom und Spannung in den Blechen wie aus der reinenFeldvorstellung ausdrücken. Beim Koaxialkabel ist E =Vl(rln(rzlrt)), H = Il(27rr), S = UII(27rr 2 ln(rzlri)).Die Leistung ergibt sich durch Integration über den Querschnitt:P = J:: 21rrS dr = UIIln(rzl r1) · J~ 2 drlr = VI, auchhier.7.6.15. Widerspruch?Wir haben für Doppelblech und Koaxialkabel nur Wellenmodesbetrachtet, die sich um die Existenz der leitendenWände eigentlich gar nicht kümmern, weil ihrE-Feldüberallsenkrecht au{ den Wänden steht. Für solche Modes sieht zwischenden Wänden das Feld genauso aus wie im Vakuum undbreitet sich auch ebensoschnell aus. Anders z. B. im rechtekkigenHohlleiter: Wenn E z. B. senkrecht zu einem Wandpaarsteht, ist es parallel zum anderen und würde darin gewaltigeStröme auslösen, es sei denn, es nimmt an diesen Wänden auf0 ab. Das Feld hat also nicht mehr die Vakuum-Konfiguration,der Einklemmeffekt läßt die Welle schneller fortschreiten.Dasselbe passiert auch im runden Koaxialkabel mit allenWellenmodes, deren E-Feld nicht überall radial gerichtet ist.7 .6.16. Tscherenkow-StrahlungIn dem Feldimpuls, der das geladene Teilchen begleitet,herrschen die Felder E = el(47rso~), B = vEic 2 =evl(47rsoc 2 r) = eVf1ol(47rr 2 ), H = evl(47rr 2 ). E und Hstehen senkrecht aufeinander, also hat der Poynting-Vektorden Betrag S =EH= e 2 vl(16~sor 4 ), seine Richtung istparallel zur Teilchenbahn. Betrachten wir ihn trotzdem alsradial, so erhalten wir eine AbstrahlungsleistungP = 47r~S = e 2 vl(47rs 0r 2 ). Diese Leistung ist, vom Abstandr aus betrachtet, in einem Impuls der Dauer t :::::o r I vkonzentriert, hat also die beherrschende Fourier-Komponentew :::::o t- 1 :::::o vlr. Wir ersetzen also r durch vlw und erhaltenP = e 2 w 2 l(47rsov). Diese Leistung wird in Form vonPhotonen liw abgestrahlt. Ihre Anzahl/s istPl(nw) :::::o e 2 wl(47rs1iv), ihre AnzahVm Bahnlänge istdN I dx = P l(nwv) :::::o e2wl( 4Jrso1iv 2 ). Da der Tscherenkow-Effektnur bei v :::::o c auftritt, gilt auchdN I dx :::::o rxw I c, wo rx = e 2 I ( 4m;o1ic) = 1 ~ 7 die Feinstrukturkonstanteist. w gibt hier die Maximalfrequenz an, mit derPhotonen noch ausgesandt werden können. Dies ist nurder Fall, wenn die Brechzahl n > 1 ist (Aufgabe 15.3.8),d. h. nur bis zur höchsten Resonanzfrequenz des Atoms(Abschn.10.3.3). Für ein H-Atom entspricht dieses wie=x- 1 der höchsten Lyman-Frequenz, d. h. der Rydberg-Konstante(Abschn.l2.3.3): wie :::::o 10 7 m-1. Im Feld einesKerns mit der Ordnungszahl Z werden Maximalenergieund Maximalfre~uenz um den Faktor Z2 größer. Wir erhaltendNidx :::::o rxZ 10 7 :::::o 10 5 2 2 (Weglänge in Meter). Diesweicht nur um den Faktor 2 von der beobachteten und strengberechneten Photonenzahl ab. Diese Emission bremst natürlichdas Teilchen so schnell ab, daß es selten meterweitkommt. Die Anzahl der Photonen ist proportional Z 2 ,ihre Maximalenergie ebenfalls, und zwar etwa W max =Z 2 . lOeV. Damit wird die Wellenlänge X :::::0 w IZ 4 (W inMeV, x in Meter).