Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 13: Lösungen 114913.3.8. Reichweite IIBetrachtet man den Logarithmus in der Bethe-Formel alspraktisch konstant, dann kann man sofort integrierendW = _ 36 z 2 aM 1 n 4mWdx W MWi2 4mW=> WdW = -36Z gMln-- dxMWiW 2 = WJ -72Z2gMx1n 4 mW.MEiW(x) ist dann eine liegende Parabel, nach links offen, diedie X-Achse bei X= R = WÖ/(72 Z 2 gM) ln(4mW j(MWi))schneidet. Das ist die Reichweite nach Whiddington. DieSteilheit von W(x), d. h. Energieverlust und Ionisierungsdichtewerden also längs der Bahn immer größer und beix = R hiernach sogar unendlich. Dies zeigt an, daß die Näherungln( 4m W j (MWi)) = const hier nicht mehr stimmt: Ebenweil der Energieverlust absolut und besonders relativ so großist, beginnt jetzt sogar der träge Logarithmus sich merklichzu ändern. Damit rundet sich der steile Zahn der Ionisierungskurvekurz vor dem Ende der Bahn ab.13.3.9. Maximale EnergieübertragungDie allgemeine Ableitung steht in Abschn. 1.5.9. AbgekürzteBetrachtung: Es ist anschaulich klar, daß maximale Energiebeim zentralen Stoß übertragen wird. Im Schwerpunktsystemsieht die Sache so aus, daß die Teilchen mit den Massen mund M mit -vMj(M + m) bzw. vmj(M + m) aufeinanderzufliegen (v: Geschwindigkeit des stoßenden Teilchens imLaborsystem, wo das andere ruht). Impuls- und Energiesatzfordern bei elastischem Stoß, daß die Teilchen mit genau umgekehrtgleichen Geschwindigkeiten zurückprallen. ImLaborsystem hat das Teilchen m daher nach dem Stoß dieGeschwindigkeit 2vMj(M + m) und die Energie,1W = !4v 2 mM 2 j(M + m) 2 = W · 4mMj(M + m) 2 .13.3.10. Geiger-NuttallAus der Abb. 13.22 liest man die Halbwertzeiten für den IX­Zerfall von 238U, 226Ra, 210Po, 214Po (RaC') ab als4,5 ·109 a, 1580a, 136d, 1,5 ·10- 4 s. Die ZerfallskonstantenJe sind 5 .lQ-18 , 1,4 ·10-11 , 6 ·10-8 , 4 ·103 s-1 (esgilt Je= ln2/T). Nach der Geiger-Nuttall-Regel sind dieReichweiten in Normalluft 2,7, 3,5, 4,2 bzw. 6,2cm (vgl.Abb. 13.28 . Die Whiddin ton-Formel liefert die EnergieW = z2nz'e4Mr/(47rBÖm) also, mit W in MeV und r incm, W = 2,5r. Damit ergeben sich die Energien 4,1, 4,7,5,1, 6,2MeV. Die Geiger-Formel W = 2,1r213 liefert 4,1,4,8, 5,5, 7,1 MeV, was noch besser mit den direkt gemessenen4, 18, 4, 78, 5 ,30, 7,68 MeV übereinstimmt. WhiddingtonundGeiger-Formel wurden einschließlich ihrer Proportionalitätskonstantenempirisch aufgestellt und erst später entsprechendAufgaben 13.3.3-13.3.5 theoretisch bestätigt.13.3.11. Reichweite 111Die Bremskurven (13.25) für verschiedene Teilchen undBremssubstanzen lassen sich durch Maßstabsänderung vonW und x alle zur Deckung bringen. Man messe z. B. die Energiein der Einheit 1J = MI/(4m), den Abstand in der Einheit~ = 81re6MPj(e 4 Z 2 Z'nm) und erhält d1J/d~ = ln1J/1J. Diedaraus folgende einheitliche Energieabhängigkeit der Reichweiteläuft bei mittleren Energien wie r"' W 2 : Whiddington­Gesetz (13.26); bei kleineren Energien flacher als W 2 : Einflußdes In-Gliedes, annähernd dargestellt durch die Geiger­Formel (W1•5). Die Grenze zwischen beiden Bereichen liegtda, wo der In etwa den Wert 7 hat, also beiW r:::; 1 000/M j ( 4m). Bei sehr hohen (relativistischen) Energienwird r"' W. Hier ist in der Formel (13.25) der Faktor1n(4mW /(MI)) zu ersetzen durch ln(4mW /(MI)) -ln(1- v2 jc2)- v2 jc2; diese Korrektur beschreibt u. a. dieLorentz-Kontraktion der Abstände längs der Bahn des fastmit c fliegenden Teilchens, von diesem aus gesehen. Mankann also die Kurven in Abb.13.35 sofort zeichnen, wennman zuerst die Koordinaten des Knicks zwischen W 1 • 5und W 2 festlegt, die Kurvenabschnitte mit den Steigungen1,5 bzw. 2 auszieht und am Knick abgerundet zusammenführt,und analog beim Knick zwischen W 2 und W 1 verfährt(er liegt bei W r:::; mc 2 ). Bei Zunahme der Ordnungszahl derBremssubstanz steigt I, also wandert der W 1 • 5 - W 2 -Knicknach rechts. Dasselbe tut er, wenn das ionisierende Teilchenschwerer wird.13.3.12. Relativistische BremsungBei der Herleitung von (13.25) stand im Nenner des Ausdrucksfür die Energieübertragung ,1 W zunächst v2 . Wir habendas durch 2 W j M ersetzt. Aber das v war wirklich ein reinkinematisches v, seiner Herleitung nach. Also lassen wir v 2stehen oder ersetzen es durch c 2 (für relativistische Teilchen).Unter dem In dagegen steht wirklich die kinetische TeilchenenergieW. Die relativistische kinetische Energie heißtw = moc2 I -./1 - v2 I c2 - moc2. Für relativistische Teilchengeht also der 1/W-Abfall der Bethe-Kurve in einganz schwach ansteigendes PlateaudWjdx = -0,3Z 2 g(ln(W/(Moc 2 )) + 10)über, und zwar erfolgt der Übergang bei W r:::; Mc 2 . InAbb. 13.34 ist das für Elektronen berücksichtigt. Für die anderenTeilchen läge das Plateau etwa ebenso hoch,· beginntaber erst rechts außerhalb der Zeichnung. Wenn Energieverlustund Ionisierungsdichte W-unabhängig werden, ist natürlichdie Reichweite einfach proportional zur Energie. InAbb.13.35 ist dieser Übergang von R"' W 2 zu R"' W fürElektronen ebenfalls zu erkennen.13.3.13. BremsformelnDer Charakter des Stoßes hängt von zwei Umständen ab: (1)Führt ein einziger Stoß zu praktisch vollständiger Bremsung,oder sind dazu sehr viele Stöße nötig? (2) Handelt es sich umeine Coulomb-Wechselwirkung, oder sind die Stoßpartner