Lösungen zu den Aufgaben - Springer

IIII1208 : : Lösungen zu den Aufgaben18.3.17. ÖkologieMit u = cx, v = dy, z = at wird u' = u(l - u- Bv),v' = Av(l- v- Cu), wobei A = bja, B = ejd, C = f je.Die Vorzeichen von A, B, C sind für Räuber-Beute- + +, für Symbiose +- -, für Konkurrenz + + +. DieJacobi-Matrix mit den Elementen 1 - 2u- Bv, -Eu,-ACv, A(l - 2v- Cu) hat an den vier Fixpunkten (0, 0),(0,1), (1,0), ((1-B)/(1-BC),(l-C)/(1-BC)) dieEigenwerte 1, A (instabiler Knoten bei A > 0, Sattel beiA < 0); 1 - B, -A (stabiler Knoten bei A > 0, B > 1, sonstSattel); -l,A(l- C) (stabiler Knoten beiA > 0, C > 1 oderA < 0, C < 1, sonst Sattel). Der vierte Fixpunkt liegt imPositiven, wenn B > 1, C > 1 (P4 Sattel, weil SpurT4 > 0; P2 und P3 stabile Knoten, zwischen ihnen Separatrixdurch P4: Schwacher Wettbewerb), oder wenn B < 0,C < 0 und BC < 1 (T4 < 0, D4 > 0, P 4 einziger stabiler Fixpunkt:Koexistenz). Bei negativen B und C sowie BC > 1gibt es keinen stabilen Fixpunkt (starke Symbiose). Diesgalt für A > 0. Bei A < 0 ist P3 fast überall stabil (fürC < 1). Das Gebiet B > 1, C > 1 wird durch die GeradeC = 1 + (B- 1)/A nochmal in zwei Sektoren mit T4 < 0(P 4 stabil) bzw. T4 > 0 zerlegt.18.3.18. ParasitismusVorzeichen der A, B, C + - + oder + + -: v nützt dem u,aber u schadet dem v; u parasitiert an v oder umgekehrt.Wenn der Parasit, z. B. u, es übertreibt, ( C > 1 bei B < 0),tötet er seinen Wirt und könnte als Vollparasit auch selbstnicht überleben. Wegen des u-Gliedes ist er aber nichtganz auf den Wirt v angewiesen (P3 stabil). Bei A < 0 kehrensich die Vorzeichen des v-und des v 2 -Gliedes um. Das V­Glied wäre als Tod, das v 2 -Glied als Solidarität zu deuten(man überlebt besser dank gegenseitiger Hilfe) oder durcheine sehr geringe Bevölkerungsdichte, bei der sich Paarenur zufällig finden ("bimolekulare" Zeugung). Dann könnten- + -, -- +, --- wieder Konkurrenz, Symbiosebzw. Parasitismus von u an v bedeuten. P1 und P2 sinddann immer instabil, P3 ist stabil bei C < 1, P 4 wurde inAufgabe 18.3.17 diskutiert.18.3.19. pHDie Säure heiße HR mit dem Säurerest R. Die Konzentrationender Teilchen H+, OH-, H20, HR, R- seien h, o, v, s, r.Dann gelten die Erhaltungssätze o + v = w, r + s = c, dieMassenwirkungsgleichungen hojv = Kw, hrjs = Ks unddie Neutralität h = o + r. Durch Elimination von o, r, s, vaus den ersten vier Gleichungen liefert die letzte h =Ksh/(Ks + h) + Kww/(Kw + h). Wasser ist sehr schwacheSäure: Kw « Ks und h > Kw (selbst ohne Säure). So ergebensich drei Abschnitte: ( 1) c « K ww = 10- 7 =:> h = K ww(Säure zu dünn); (2) Kww « c « Ks =:> h = c (volle Dissoziation);(3) Ks « c =:> h = yfKSC (Teildissoziation). Bei derBase gilt für o Entsprechendes, h = Kww/o ist gegenläufig.18.3.20. Auch nicht so einfach!Mit den Konstanten a + c = d, b + c = e (einige Teilchen Aund B stecken ja in C) haben wir c = k(d- c)(e- c) -lc,was sich von (18.27) durch das konstante Glied a = kde unterscheidet.Mit den Abkürzungen ß = l + kd + ke unde = ß2 - 4ak folgtß c; ( 1 2kxo - ß )c = ~ + ~tanh - -et + artanh .2k2k 2 e18.3.21. EnzymkinetikWir behalten nicht vier, sondern nur zwei unabhängige Gleichungen,z. B. für s und c:s = -kse + lc = -kseo + ksc + lc,c = -s- mc.Solange c noch sehr klein ist, genauer c « keos /(ks + l + m), gilts = -keos =:> s =so e-keot,c = s 0 (1 - e-keot).Dieser Zustand endet spätestens, wenn eines der Glieder mitc das Glied keos eingeholt hat. Dies gelingt zuerst dem Gliedc(l + m + ks), das größer ist als lc. Von da ab gilt ein Quasigleichgewichtkeos::::; (l + m + ks)c und bleibt auch erhaltenbis zum Schluß. Trotz dieses Quasigleichgewichts ändernsich s und c, und zwar durch Erzeugung von P:. . keosp = -s = mc = m .l+m+ksDie Übergangszeit t1 ergibt sich aus der Übergangsbedingungkeosouc::::; so(1 - u) ::::; mit u = e-keot.l +m +ksouDa eo « so (wenig Enzym verarbeitet viel Substrat), ist dierechte Seite «so, d. h. u::::; 1, u = 1 - e,e::::; keo/(kso + l + m),t1 = 1/(kso+l+m).J!as Quasigleichgewicht ist stabil: Sei c = cq + b, dann istb = cq- (ks + l + m)b: Die Abweichung b baut sich ineiner Zeit t 1 exponentiell ab, die viel kürzer ist als dieZeit t2 = s/s = (l + m + ks)/(mkeo), die die Änderung innerhalbdes Quasigleichgewichts kennzeichnet.18.3.22. InhibitionIm ReaktionssystemmtC+T;='Im_ln 1D+S;='In_lm2F-+E +P+ Qstellen sich sehr bald die Quasistationantätenc k] 1 c---=K- =:>e=Ke·sk-1+k2 sd !1 _ 1 K t-=---=L =:>d=--cLse·t L1+l2