Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel s: Lösungen 1061sie muß ja die aufwärtsfließende Wärme an die Luft abstrahlen.Dazu ist eine Temperaturdifferenz To - T1 nötig,so daß j = a(To - T1) mit dem Wärmeübergangswerta ~ 6Wm-2K- 1 . Mit den obigen Werten wird To- T1 ~1,2 K. Dadurch wird der T-Gradient nicht merklich flacher,aber die verlangten 2 K Unterschied werden schon in4-5 cm Bodentiefe erreicht.5.3.5. WirkungsgradDie Diskussion ist besonders einfach im T, S-Diagramm. Einbeliebiger reversibler Kreisprozeß läßt sich dort durch einegeschlossene Kurve darstellen. Nach der Definition von Sist die Wärmezufuhr zur Arbeitssubstanz Q = J T dS, alsodie Fläche unter der T(S)-Kurve (der Vorgang ist ja als reversibelvorausgesetzt). Die geschlossene Kurve zerfällt in einenoberen und einen unteren Bogen. Die Fläche unter dem oberenist Q2, die dem heißen Reservoir entnommene Wärme,die Fläche unter dem unteren ist Q1, die dem kalten zugeführteWärme (rein mathematisch ist eine davon negativzu rechnen wegen der umgekehrten Laufrichtung). Nachdem Energiesatz (das System kehrt ja in den gleichen Zustandzurück) ist die geleistete Arbeit W die Differenz beiderWärmen: W = Qz - Q1, graphisch dargestellt durch die Flächeinnerhalb der Kurve. Man kann so für jede Maschine denWirkungsgrad direkt ausplanimetriereD (z. B. die Flächen ausPapier ausschneiden und abwiegen). Am einfachsten siehtder Carnot-Prozeß aus: Rechteck aus zwei isothermen(T = const) und zwei adiabatischen (S = const) Takten.Man liest sofort IJ = (T2 - T1) IT2 ab. Hierbei bedenkeman, wie kompliziert der Camot-Zyklus in den "natürlichen"Koordinaten p, V aussieht, sogar für ein Idealgas.Bei anderen Arbeitssubstanzen sieht er in "natürlichen" Koordinatenwieder anders aus, z. B. für ein nichtideales Gas,für ein Flüssigkeits-Dampf-Gemisch (Kühlschrank, Wärmepumpeusw.; hier ist für T = const auch p = const entsprechendder Dampfdruckkurve), für ein paramagnetischesSalz (magnetische Kühlung; natürliche Koordinaten sindhier Magnetfeld und Magnetisierung, mit T verknüpft durchdas Curie-Gesetz). Nur in T, S werden alle diese ProzesseRechtecke. - Jeder andere Kreisprozeß läßt sich aus Carnot-Prozessenzusammensetzen. Man zerlege ihn z. B. imT, S-Diagramm durch hinreichend viele vertikale Adiabaten.Die entstehenden Streifen kann man dann gern obenund unten durch waagerechte Isothermenstücke abschließen,ohne daß man gegenüber dem Originalprozeß flächenmäßigeinen wesentlichen Fehler macht. Natürlich läßt sichdann IJ nicht mehr so einfach durch obere und untere Temperaturausdrücken, weil diese variiert; man muß mitteln oderrein graphisch vorgehen. Speziell beim Otto-Motor ist allerdingsdas T- Verhältnis über die ganze Breite des Zyklus nachder Adiabatengleichung das gleiche, weil das Volumenverhältnisgleich ist.5.3.6. StrahlungsdruckWenn das Strahlungsfeld n Photonen1m 3 enthält, ist seineEnergiedichte u = nhv. Auf l m 2 treffen in der Sekundeinc Photonen auf (vgl. kinetische Gastheorie) und übenden Druck p = ! nchl A. = i nhv aus (Druck= Impuls1m2 s,ein Photon hat den Impuls hl A.). Diese Beziehung u = 3pfolgt allein aus der Isotropie des Strahlungsfeldes und hängtnicht von seiner spektralen Zusammensetzung, speziell nichtvon seinem Gleichgewichtscharakter ab.5.3.7. Differentieller Carnot-ProzeßDa dVad « dVis, brauchen nur die Isothermenarbeiten berücksichtigtzu werden. Eifolgt die Expansion bei T + dT,die Kompression bei T, so sind diese ArbeitendW1 = -p(T + dT) dV, dW2 =p(T) dV, also die Gesamtarbeitsleistungder Maschine d 2 W = -dW1 + dW2 =( op I /JT) dT d V. Die Wärmezufuhr dQ, die für die isothermeExpansion nötig ist, besteht aus zwei Anteilen: Der ArbeitdW 1 und der Änderung der inneren Energie (oWioV)dV,also dQ = (p + /JW loV) dV. Der Wirkungsgrad ist11 = dT IT = d 2 w ldQ = (oploT) dTI(p + aw loV) d. h.oploT = (p + /JW loV)IT. Für Stoff A (ideales Gas) istaw I av = 0, also op I /JT = p IT, also p ~ T (Zustandsgleichung).Für Stoff B (schwarze Strahlung) aw I av = u = 3p,also opi/JT = 4piT, also p"' u"' T 4 (Stefan-Boltzmann).Für Stoff C (Fermi-Gas) oWI/JV = -av:- 5 1 3 . Da W nurschwach von T abhängt, ist auch op I /JT klein, alsop = av-5/3.5.3.8. Sonnenatmosphäre50 000 km~ 0, 1R 8 (R 8 Sonnenradius ); praktisch diegesamte Sonnenmasse liegt innerhalb. Gravitations- undGasdruck sind also p ~ GM8 hr!/R~ ~ 0,1GM 8 QIR. Mit(] ~ 0,1 glcm 3 wird Psoooo ~ 3 · 10 7 bar. 1 bar mitQ ~ 10- 4 glcm 3 gibt 300 K, 3 · 10 7 bar mit 1 g/cm 3 geben106 K. Bei diesen T und(] sind nach Abb. 8.9 alle H-Atomeionisiert, bei den Oberflächenverhältnissen dagegen nicht.Das aufsteigende Plasma muß rekombinieren, wobei espro H-Atom 13,6eV, d. h. ~kT mit T ~ 10 5 K gewinnt.Das Gas dehnt sich also viel stärker aus, als dem reinenDruckgleichgewicht entspräche. Feuchte Luft tut das dankder Kondensationswärme auch, nur in viel geringeremMaße. In der Sonnenatmosphäre ist stabile Schichtung nichtmöglich, sie brodelt ununterbrochen. Es bilden sich relativbeständige Konvektionszellen, die innen einen Aufwärts-,am Rand einen Abwärtsstrom haben, wie im hinreichendflachen Wasser im Kochtopf vor dem Sieden. Auf der Sonneerkennt man diese Zellen in der Granulation und anderenStrukturen wieder.5.4.1. HeizungSauerstoffbedarf und C02-Produktion ergeben sich aus denUmsatzgleichungen, z. B. für Kohlenhydrate. Ein Menschmit 12 000 kJ/d verbraucht 25 mol = 800 g 02 und erzeugt25 mol = 1100 g C02 täglich. Bei z. B. 4 Menschen in300m 3 , d. h. 390 kg Luft mit maximal 3,9 kg C02 mußdie Luft mehr als einmal täglich vollständig erneuert werden.Erwärmung von 440 kg Luft, d. h. 15 000 mol, von-20° auf +20 °C kostet 1,2 · 10 7 J. Durch z.B. 200m 2Außenwand (Stärke 40 cm) und 30m 2 Fensterfläche(Stärke 4 mm) würden die katastrophalen Wärmemengen