Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 12: Lösungen 113712.7.1. QuantenbedingungIn der Messung eines Drehwinkels kann man beim bestenWillen keinen größeren Fehler machen als 2n. Dieser maximalenWinkelunschärfe entspricht eine minimale Drehimpulsunschärfeh/(2n) = li. Ebenso wie für Impuls undEnergie kann man diesen Minimalfehler einem nichtunterschreitbarenAbstand gleichsetzen. Die exaktere Begründungliefern für alle drei Größen die Fourier-Analyse bzw.die damit äquivalenten quantenmechanischen Techniken.Für Ort und Zeit sind die Maximalunschärfen von Fall zuFall verschieden oder gar nicht vorhanden, und das gleichegilt für die Stufen von Impuls und Energie.12.7.2. Bohr-MagnetonDas gyromagnetische Verhältnis y = magn. MomenUDrehimpuls ist für ein klassisches kreisendes Punktteilchengleich ! Jloewr 2 / ( mwr 2 ) = ! Jloe / m, also bis auf den Faktorllo gleich der halben spezifischen Ladung. Dem entsprichtgenau die Definition des Bohr-Magnetons: Ein Bahndrehimpulsnn ist mit einem magnetischen Moment von npmB verbunden.Das "spinnende" Elektron hat aber fast genau lPmBund ! li, d. h. y ~ Jloe / m: Das Elektron ist doppelt so magnetisch,wie es als klassisch rotierendes Teilchen sein dürfte.Proton und Neutron sind in noch höherem Maße "übermagnetisch".12.7.3. Stern-Gerlach-VersuchIonen würden durch die Lorentz-Kraft so stark abgelenktwerden, daß die winzige Zusatzablenkung, die im Stern­Gerlach-Versuch interessiert, unterginge. Die Lorentz-Kraftist evB, die Kraft des inhomogenen Magnetfeldes auf dasmagnetische Momentpm istpmgradH ~ PmH/R (R Abmessungdes Feldes). Da nun Pm ~ evelr (r und Vei Bahnradiusund -geschwindigkeit eines Atomelektrons), ist das Verhältnisder beiden Kräfte vR/ (veir), was auch bei sehr "kühlem"Teilchenstrahl und sehr feiner Polschuh-Schneide mindestens10 4 ist. Man kann also die Teilchen nicht elektrischbeschleunigen (höchstens mit Umladung eines vorbeschleunigtenIonenstrahls zum Atomstrahl). Die Atome bringendann die Energieverteilung der Quelle mit, aus der sie verdampftwurden. Ihr Ablenkwinkel ergibt sich analog zuAbschn. 8.2.1 als Fd/(mv 2 ) (F Ablenkkraft, d Länge desFeldes). Der Niederschlagsfleck gibt also eine reziprokeMaxwell-Energieverteilung wieder (schnelle Teilchen sindam steifsten). Die Verteilung von !mv2 hat etwa die BreitekT. Daraus ergibt sich die Bedingung für saubere Trennungals F = Pmgrad H > kT / d. Mit Pm = 1PmB für Silber undeiner sehr langen und sehr scharfen Schneide, so daßd ~ SOOR, müßte sein H > kTR/ (pmd) ~ 7 · 10 5 Alm.12.7.4. Zeeman-EffektDie Zeeman-Aufspaltung ist energetisch L1W = PmH,frequenzmäßig 11vz = PmH / h, oder, wenn man das magnetischeMoment, das die Aufspaltung bewirkt, als BahnmomentPm = JloeVeir darstellt: 11vz ~ eVeirBjh. In verdünntenGasen wie z. B. Sternphotosphären überwiegt dieDoppler-Breite (vgl. Aufgabe 12.2.2). Sie ist 11vo = vvatfc(Vat thermische Atomgeschwindigkeit). Die Zeeman-Aufspaltunghebt sich aus der Linienbreite heraus, wennB > hvvatf(evelcr), also für optische Übergänge mithv ~ 3 eV bei Feldern, die größer als 1 Vs/m 2 sind. In dieserGrößenordnung liegt das Magnetfeld in den Sonnenfleckenund auf der ganzen Oberfläche einiger schnellrotierenderSterne. Die Sonne als Ganzes hat ein viel schwächeresFeld. Das noch viel schwächere Magnetfeld der interstellarenMaterie (etwa 10- 10 T) kann nicht aus dem Zeeman­Effekt, sondern muß anders geschätzt werden (Polarisationdes Lichts ferner Sterne, zurückgeführt auf magnetische Ausrichtungder interstellaren Teilchen).12.7.5. KernspinProton und Neutron addieren ihre Spins und magnetischenMomente im Deuteron (parallele Einstellung), zwei Deuteronensubtrahieren die ihren im a-Teilchen (paarweise antiparalleleEinstellung). Bei ~Li verlangt der Spin z. B. 5 Nukleonenmit "Spin oben", zwei mit "Spin unten". Die möglichenKombinationen von Protonen und Neutronen, die dem entsprechen,liefern magnetische Momente -10,43, -1,03und 8,37, was alles weit danebenliegt. Es müssen Bahndrehimpulsedazukommen.12.7.6. Larmor-PräzessionWenn das B-Feld sich zeitlich mit Bändert, wirkt am Umfangder Elektronenbahnfläche A die InduktionsspannungU = -AB. Sie beschleunigt oder bremst das Elektron, jenach dessen Umlaufrichtung, mit der Kraft F = eE =eU/(2nr) = enr 2 B/(2nr) = erB/2. Wenn das Feld denWert B erreicht hat, ist der Impuls des Elektrons insgesamtum L1p = J F dt = ! er J B dt = ! erB geändert worden.Stellt man das als L1p = m L1wr dar, hat man sofortL1w = eB/(2m).12.7.7. FeinstrukturEin klassisches Elektron, das mit v auf einer Kreisbahnmit r umläuft, erzeugt ein Magnetmoment Pm =flolA = floVenr 2 = !floerv, was einem Bohr-MagnetonPmB = flohe/(2m) entspricht oder einem ganzzahligen Vielfachendavon, denn der Drehimpuls ist L = mvr = nli. DasB-Feld eines solchen Moments nimmt mit dem Abstand rab wie B ~Pm/?, dies allerdings erst für Entfernungen,die groß gegen den Bahnradius sind. Ein anderes Elektronenmomenthat in diesem Feld eine EinstellenergieW = PmH = p~/(Jlor 3 ) = Jloe 2 v 2 /(4r). Erweitert mandies mit 4nsom und beachtet, daß für die Kreisbahnmv 2 = e 2 / ( 4nsor) ist, ferner Boflo = 1/ c 2 , so folgtW /WB~ WB/(mc 2 ) ~ a 2 mit der Feinstrukturkonstanterx = e 2 / ~ 4nsonc) = 1 § 7 : Die Feinstrukturaufspaltung istetwa 10 mal kleiner als die Bahnenergie, diese ist 10 4 malkleiner als die Ruhenergie des Elektrons. Kernmomentund Hyperfein-Aufspaltung sind nochmals etwa tausendmalkleiner. Im mitbewegten Bezugssystem des Elektronsherrscht kein Strom, also auch kein Magnetfeld. Wenn dasElektron zusätzlich noch um seine Achse rotiert, kann dieseBewegung also auch nicht durch das Bahnmagnetfeld be-