Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitelt: Lösungen 10231.7.10. Projekt GravitrainWir vernachlässigen zunächst die Reibung und betrachteneinen flachen Tunnel der Länge 2L « R (R: Erdradius).Im Abstand x von der Tunnelmitte wirkt auf den Wagen inSchienen- oder Straßenrichtung eine SchwerkraftkomponenteF= = mgxiR. Diese Kraft ist quasielastisch (F "'x),d. h. der Wagen führt eine harmonische Schwingung ausmit der von der Tunnel~eunabhängigen PeriodeT = 2JrJml(mgiR) = 2JryRig = 1 h24min. Er schwingtwie ein Pendel, dessen Faden so lang ist wie der Erdradius.Die Höchstgeschwindigkeit in der Tunnelmitte ist dagegenabhängig von L: Sie ist vo = wL = v'ifR · L ~ Ll800 s.Bohrt man tiefer, so daß der Abstand r vom Erdmittelpunktnicht immer als R angesehen werden kann, dann wird dieSchwerebeschleunigung im Innern kleiner. Nur die Teilkugelvom Radius r zieht. Bei konstanter Dichte wird F =mgM(r)R 2 I [M(R)~] = mg~ I R 3 · (R 2 lr 2 ) = mgriR, alsodie Schienenkomponente F= = mgxiR, wie bisher. DieSchwingungsdauer bleibt also noch dieselbe, selbst wennL = R, also wenn der Tunnel durch den Erdmittelpunktgeht: Nach genau 42 min taucht der Wagen in Neuseelandauf, falls Start und Ziel in gleicher Höhe ü. d. M. liegen.Die Kugellagerreibung wirkt als Bremskraft, die ca. 1/100der Normalkraft ausmacht, also für den flachen Tunnel:Antriebskraft F= = mgxiR- 0,01mg. Die halbe TunnellängeL muß mindestens Rl100 = 64km sein, damit derWagen im Rollen bleibt. Er bleibt stehen, wenn dieReibung so viel Energie verzehrt hat, wie dem Unterschiedan potentieller Energie zwischen dem Startort (der Erdoberfläche)und dem Ort des Stehenbleiheus (Tiefe h senkrechtunter dem Erdboden) entspricht. Die Leistung derReibung ist P = 0,01mgv = 0,01mgLw sin wt, also die verzehrteEnergie auf einer Halbperiode W = mgh =0,01mgL)o sinwtd(wt) = 0,02mgL, d.h. h = 0,02L. BeiL = 1 000 km z. B. bleibt der Wagen 140 km vor dem Tunnelendestehen, rollt zurück und schwingt weiter gedämpft umdie Tunnelmitte. So funktioniert nur der Tunnel von Pol zuPol; sonst treibt die Coriolis-Kraft den Wagen an die Wand.1.7.11. IsostasieEine Kugelschale, Radius R, Dicke d, hat die Masse 4JrQdR2und übt an ihrer Oberfläche die Schwerebeschleunigunga = 4JrQGd aus. a I g = 3Qd I (12ErdeR). Differenz zwischenStein- und Wasserschale 3(12st -Qw )dgi(12ErdeR) = 6 ·10- 4 g,mit Präzisionspendeln gut meßbar. Die leichtere Kontinentalschollemuß eine Dicke D haben, so daß die gleiche Masseunter jeder Flächeneinheit liegt: D!Jsial = dQw + (D - d)!Jsima' also D = d(!Jsima -Qw)l({}sima- {}sial) =50 km. EinGebirge muß unter der Scholle um den Faktor !Jsiad(Qsima- 12Sial) weiter vorragen als oberhalb, wenn Isostasieherrschen soll. Die Wurzeln der Faltengebirge ragen alsoetwa 100 km tief.1.7.12. EhrenrettungDer Umlauf um die Sonne erzeugt eine Fliehkraft, die füralle Teile der Erde gleichgroß ist (wir sehen zunächst vonder Achsdrehung ab). Im Schwerpunkt wird sie exakt durchdie Gravitation der Sonne ausgeglichen, aber da, wo Mittagist und die Sonne näher, überwiegt die Gravitation, umgekehrtan der Nachtseite. Ohne Achsdrehung würde die Kugeldes Meeresspiegels in radialer Richtung etwas langgezogen,der Erdkörper hätte aber Zeit, dem zu folgen: Das Wasserstünde dort nicht höher. 12 h reichen nicht für diese Deformationdes Erdkörpers, er dreht sich fast unverzerrt unter demerhöhten Meeresspiegel weg: Zweimal täglich gibt es Flut,hier eine Sonnenflut Sie macht nur etwa -k der Mondflutaus, aber gegenüber dem Mond ist die Situation dieselbe,da die Erde auch hier um. den gemeinsamen Schwerpunktläuft. Es wäre nicht richtig, daß das Meer hin- und herschwappt,weil sich die Nachtseite der Erde um 900 rnlsschneller bewegt als die Tagseite, wie Galilei meinte. VomSchwerefeld und seiner Inhomogenität konnte er ja nochnichts wissen.1.7.13. Homogenes FeldGäbe es positive und negative Massen, dann wäre es ziemlichleicht, ein annähernd homogenes Schwerefeld herzustellen:Analog zum elektrischen Fall stelle man zwei große Scheibenaus positiven und negativen Massen einander dicht gegenüber.In Wirklichkeit ist nichts zu machen: Im homogenenFeld dürften Feldlinien nirgends anfangen noch enden,div g = -Arp = 0, d. h. es dürften überhaupt nirgendsMassen sein, Arp = 4Jr{} = 0. Das einzig mögliche "homogene"Feld ist g = 0. Dicht außerhalb der galaktischenScheibe ist es annähernd realisiert.1.7.14. Tidenhub IDas Rohr der Länge L sei völlig starr. Das Wasser darin stelltsich so ein, daß seine Oberfläche überall auf gleichem Potentialliegt. Wenn der Mond über der Mitte des Rohres steht,sind die Rohrenden um d = R- JR2 -L2 14 ~ L 2 /SR weitervom Mond entfernt als die Mitte. Die Gezeitenbeschleunigungbeim Rohr ist GMMir2 · (2Rir) = w-6 mls 2 , dieDifferenz ihres Potentials zwischen Rohrmitte und -endealso 10-6 d. Diese Potentialdifferenz muß durch eine ebensogroße im Schwerefeld der Erde ausgeglichen werden:gh = 10- 6 d also h = 10- 7 d. Um soviel steht das Wasserin der Mitte höher als am Ende. Für Bodensee, OberenSee, Mittelmeer, d. h. L = 60, 600, 3 200 km erhält manh = 0,01 mrn, 1 mrn, 3 cm, für d = R, d. h. den weltweitenOzean, h = 60 cm. An den Küsten werden die wirklichenGezeiten durch Stauwirkung i. allg. höher.1.7.15. Tidenhub IIEs kommt nicht auf die Beschleunigung a selbst an, sondernauf den dadurch bewirkten Potentialunterschied z. B.zwischen einem Punkt der Erdoberfläche, der direkt unterdem Mond liegt, und einem um 90° dagegen verschobenenPunkt. Dieser Potentialunterschied ist aR, und zwar ist dasGezeitenpotential unter dem Mond um soviel geringer. DieWasseroberfläche ist eine Äquipotentialfläche. Die Differenzim Gezeitenpotential muß durch eine entgegengesetztgleiche Differenz im Potential des Erdschwerefeldes kompensiertwerden, d. h. unter dem Mond steht das Wasser