Lösungen zu den Aufgaben - Springer

IIII1060 : : Lösungen zu den Aufgaben5.2.29. GalaxienhaufenAuch Galaxien "stoßen" miteinander, d. h. tauschen durchgravitative Wechselwirkung Energie aus und nähern sicheinem thermischen Gleichgewicht, in dem alle etwa diegleiche Energie ! mv 2 haben. Die größeren fliegen daherlangsamer und bewegen sich näher dem Haufenzentrum.Wie groß die "Teilchen" sind, spielt für die statistischeMechanik keine Rolle.5.3.1. OttomotorWenn Oktan und Sauerstoff stöchiometrisch gemischtsein sollen, müssen entsprechend CsH1s + 12,5 Oz--+ 8 C02 + 9 H20 auf 114 g Benzin 400 g Sauerstoff, d. h.2 000 g Luft kommen. Die 4 · 10 6 J, die optimaL beim Verbrennenfrei werden, erhitzen die 75 mol Verbrennungsprodukte+ N2 um 2 700°, wenn keine Verluste auftreten.Nach der Explosion herrschen also mindestens 10bar imZylinder. Die Molzahländerung ist klein: 71,5 mol vor,75 nach der Verbrennung. Sie allein würde den Druck nurum etwa 0,05 bar erhöhen. Jetzt erfolgt adiabatische Expansionauf etwa 1 bar. Dabei nimmt T gemäß T "'p 1 - 1 h aufT2 ~ 1 550 K ab. Wirkungsgrad 1J = (TI - T2) /TI ~ 0,5,Ausdehnung auf V2 ~ 5,2V1. Direkte Berechnung der dabeigeleisteten Arbeit und Vergleich mit der Verbrennungswärmegibt den gleichen Wert für IJ. Offenbar steigt 1J mit demVerdichtungsfaktor (der Kompression) Vz/VI, nämlich1J = (V:-y- Vi-y)jv:-y = 1- (V1/V2)Y- 1. Vorverdichtunggibt höheres 1J. Allerdings kann man beim Ottomotordie Kompression 7-8 kaum überschreiten, weil sie das Gemischbis über den Flammpunkt erhitzen würde. Dieselöl istschwerer entflammbar und wird erst während der Kompressioneingespritzt. Daher kann man im Dieselmotor die Kompressionbis 20 treiben und erzielt damit theoretisch 1J ~ 0,7.Wärmeverluste reduzieren T und 1J erheblich.5.3.2. Kühlschrank75 kg Lebensmittel von 25 °C auf 5 °C abkühlen bedeutetden Entzug der Wärmeenergie W = 6,3 · 10 6 J. Die HeizungP braucht t ~ 11,5 h. Der Kühlschrank braucht offenbar etwasechsmal weniger Zeit, um eine bestimmte Wärmemenge zuentziehen, als eine Heizung gleicher Leistung braucht, umdieselbe Wärmeenergie zuzuführen. Bei Kühlschrank undWärmepumpe ist lediglich die Flußrichtung der Energienumgekehrt wie beim Verbrennungsmotor. Speziell beimKühlschrank werden wir als Nutzeffekt das Verhältnis derWärmeleistung, die dem Kühlgut entzogen wird, zur hineingestecktenelektrischen Leistung bezeichnen, also 11- 1 =P/W' = TJ/(T2- T1). Das warme und das kalte Reservoirsind beim Kühlschrank der Wärmetauscher (schwarzes Gitterhinter dem Schrank) bzw. die Kühlplatten (die Metallplatten,die oft vereist sind, im Innern). Fassen Sie das Gitter an,wenn der Kühlschrank arbeitet: Es hat 50-60 °C. Es mußja auch im heißesten Sommer noch seine Wärme an dieKüchenluft abgeben, muß also heißer sein als diese. Umgekehrtmuß die Kühlplatte kälter sein als die Solltemperaturdes Kühlgutes, also 0 °C oder weniger. Damit erhaltenwir einen theoretischen Nutzeffekt 270 K/50 K = 5,5. Aufdem gleichen Effekt beruht die gute Energieausnutzungdurch eine Wärmepumpe: Die direkte elektrische Heizungsetzt teure mechanisch-elektrische Energie direkt l : I inWärme um. Die Wärmepumpe bringt das Mehrfache deselektrischen Aufwands in das Heizsystem (T2). Der Reststammt aus dem kalten Reservoir (Wasser, Atmosphäre, Erdboden).Kühlschrank und Wärmepumpe leisten dies nachdem Kompressor- oder dem Absorberprinzip: Eine Flüssigkeitwird durch Expansion im Kühlschrank verdampft undentzieht dem Kühlgut die dazu nötige Verdampfungsenergie;im Wärmetauscher wird sie durch Kompression wiederverflüssigt und gibt dort die gleiche Energie wieder ab, oderman nutzt entsprechend die Absorptions- oder Lösungswärmeaus.5.3.3. WärmepumpeDas Kühlmittel wird im Wärmetauscher durch Kompressionverflüssigt, wobei es seine Kondensationswärme an dasHeißwasser abgibt. Das Heißwasser speist die Heizkörper.Die Kühlflüssigkeit wird zum Wärmetauscher im Fluß gepumptund dort entspannt, wobei sie verdampft und demFlußwasser die Verdampfungswärme entzieht (bei T1 =8 °C). Der Nutzeffekt der Anlage, definiert als Heizleistung/Leistungvon Pumpe und Kompressor kann idealerweise11- 1 = Tz/ (T2 - T1) = 4,5 erreichen. Statt 10 8 Wkonventioneller Heizleistung würden wir idealerweise nuretwa 2 · 10 7 W elektrischer Pumpleistung brauchen.5.3.4. Projekt AgrothermAbwärme ist die Energie, die eine Wärmekraftmaschine andas kalte Reservoir (meist Kühlwasser) abgeben muß. Diegewinnbare mechanische oder elektrische Energie ist janur ein Bruchteil 1J < (Tz - T1) /Tz der Energie, die ausdem Brennstoff, also dem heißen Reservoir (Tz) entnommenwird. Der restliche Bruchteil I - 1J muß in das kalte Reservoir(TI) übergehen. Wenn man das Kühlwasser mit einemunendlich großen Volumenstrom zur Verfügung hätte,brauchte man es dabei nicht wesentlich zu erwärmen.Auch Wasser ist aber Mangelware, und man wählt den Volumenstromin der Praxis so, daß das Kühlwasser 20-30 Kwärmer wird als die Luft. Jahresverbrauch der BRD6 · 10 10 kWh, mit Industrie usw. 2,5 · 10 11 kWh im Jahr,der mittlere Leistungsbedarf 2,9 · 10 10 W. Der ideale Wirkungsgradeiner solchen Wärmekraftmaschine ist1J = 600 K/900 K = ~, Abwärme etwa 15 GW. Wenn dieRohre weniger als I m auseinanderliegen, steigt die Temperaturmit der Tiefe linear an, Gradient (Tw- To)/d, wo Twund To die Temperaturen des Wassers und der Ackeroberflächesind. Wärmestromdichtej = Jc(Tw- To)/d. Wenn manauf der Fläche A die Abwärme P abführen will, muß A = P /)sein. Mit d = 1 m ergibt sich eine erwärmte AckerflächeA ~ 2 · 10 3 km 2 . Das ist zwar nur 2% unserer Ackerfläche,aber trotzdem lohnend. Wenn Tw um 20 K höher istals die Lufttemperatur und d = 1 m ist, herrschen in 10 cmTiefe schon 2 K mehr als üblich. Man könnte die Rohreauch tiefer legen und entsprechend mehr Ackerfläche versorgen.Die Bodenoberfläche ist etwas wärmer als die Luft, denn