Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1076 Lösungen zu den Aufgaben6.1.15. StaubfilterIn einem leitenden Teilchen sammeln sich Ladungen so aufden Stirnflächen an, daß im Innern kein Feld mehr herrscht.An der Stirnfläche erfolgt dann ein Feldstärkesprung, dergleich dem äußeren Feld E ist. Dazu muß dort eine Flächenladungsdichte(J = soE sitzen. Das Dipolmoment des Teilchensergibt sich aus seiner Stirnfläche A und seiner Länged zu p = Qd = (JAd = (JV = s 0EV, für ein Kugelteilchenmit dem Radius a ist p ~ 1neoEa3 . Im homogenen Feldsind die Kräfte auf die Ladungen an den Stirnflächen entgegengesetztgleich: keine resultierende Kraft. Wenn das Feldinhomogen ist und sich in seiner eigenen Richtung (r-Richtung)ändert, und zwar mit der Ableitung E' = dE I dr, ist dieKraft auf das eine Ende des Dipols um Q dE' = pE' größerals die Kraft auf das andere Ende. Allgemein wandert dasTeilchen dorthin, wo das Feld größer ist. Ein Plattenkondensatorenthält ein praktisch homogenes Feld, entstaubt alsonicht. Ein kugelförrniges Feld ist noch inhomogener alsein zylindrisches, aber schwieriger in ausreichender Größeherzustellen. F = pE' = 1na 3 soEE'. Unter dem Einfluß dieserKraft bewegt sich das Teilchen laminar umströmt durchdie Luft. Es gilt also das Stokes-Gesetz F = 6nYJaV, d. h.v = F I ( 6nrya) = ~ soa 2 EE' I '1· Die Geschwindigkeit wächstquadratisch mit dem Teilchenradius. Luftmoleküle werdenauch polarisiert und wandern, aber wegen ihres kleinen Radiusunmerklich langsam. Die Abhängigkeit der Feldstärke Evom Abstand r vom Draht ergibt sich aus der Flußregel: Ezeigt überall radial, sein Fluß durch jeden Zylindermantel(Fläche 2nrl) muß im ladungsfreien Raum für alle r denselben Wert haben, also E = klr. Der Wert der Konstantek ergibt sich, wenn wir die Spannung berechnen:rp = -k In r. Die Spannung zwischen Draht (ro) und Rohrwand(R) ist V= rp(ro)- rp(R) = k!n(Riro). Damit ergibtsich E = V l(r!n(Riro)) = V* Ir mit der "effektiven Spannung"V* = V I ln(Riro). Da E = V* Ir, ist E' = -V* lr 2und v = ~ eoa 2 V* 2 I ( w 3 ). Laufzeit vom Ort r bis zum Draht:t = iro drlv = ~IJ(r4 - r6)1(soa 2 V* 2 ).Hier ist r6 i. allg. zu vernachlässigen: Ob der Draht fein oderstark ist, spielt kaum eine Rolle. In einem Raum von 100m 3soll die Luft z. B. alle drei Stunden erneuert und gereinigtwerden. Das bedeutet einen Volumenstrom V= w-2 m3 lsund eine Strömungsgeschwindigkeit durch N parallele Rohrew = Vl(nR 2 N) sowie eine Durchflußzeit t' = llw =nR 2 lN IV. Innerhalb dieser Durchflußzeit muß der Staubwandern können: t