Lösungen zu den Aufgaben - Springer

IIII1010 : : Lösungen zu den Aufgaben1.1.5. PendeluhrenDer Einfluß von Massenverschiebungen auf die Fallbeschleunig~g und damit auf die PendelperiodeT = 271'-.jlfg hängt stark von der Verteilung dieser Massenab. Der annähernd kugelschalenförmig verteilte atmosphärischeWasserdampf leistet keinen Beitrag zur Schwerkraft aufein annähernd in Meereshöhe aufgehängtes Pendel. Kondensiertedieses Wasser, so zöge es so an, als sei seine Masse imErdmittelpunkt vereinigt. Das bedeutet eine relative g-Änderungvon Agjg = mjM ~ 10-8 . Ein Gebirge in derNähe desBeobachtungsortes stört i. allg. stärker, falls seine Massenicht isostatisch kompensiert ist (durch eine "Wurzel" ausleichterem Gestein). Die gleiche Änderung der Pendelperiodewie durch Ag/ g = w- 8 würde bedingt durchAljl = -10-8 ; dies entspricht bei einem Draht mit demthermischen Ausdehnungskoeffizienten rx = w-5 K- 1 einerT-Änderung um 10-3 K.1.1.6. TageslängeDie Tageslänge ändere sich täglich um rx (rx z. B. in flS/Tag),d. h. jeder Tag sei um rx flS länger als der vorhergehende.Die mittlere Tageslänge seit 484, d. h. über einen Zeitraumvon t = 5 · 10 5 Tagen, war dann nicht To wie heute, sondernTo - rxt. Rechnet man mit konstanter Tageslänge To, dannfindet man für ein Ereignis, das vor t Tagen stattgefundenhat, eine um ! rxt2 falsche Tageszeit. Die südlichsten Punkteder wirklichen und der berechneten Totalitätszone (Euphrat­Tigris-Mündung bzw. Große Syrte) liegen 30°, d. h. 2 Std.auseinander. Man erhält rx ~ 0,05 flS/Tag. Das stimmt mitder Direktmessung gut überein. Wer sich wundert, daßschon Halley die Finsternisperiode so genau kannte, derbedenke, daß auch hier der mögliche Fehler mit der Längeder Beobachtungszeit wie t- 2 abnimmt. 200jährige Beobachtungmit 2 min Fehler bei der Bestimmung des Totalitätsmaximumsgenügen für die Entdeckung der Diskrepanz.Daß sich die Jahreslänge ändern sollte, ist viel wenigerplausibel. Demnach war der Devon-Tag 10 % kürzer, d. h.rx ~ 0,07 flS/Tag. Diese Bremsung der Erdrotation ist etwalOOmal größer als die in Aufgabe 1.7.19 für einen homogenenOzean geschätzte. Die Existenz von Kontinentalrändernund Flachmeeren ist also sehr entscheidend. DieWartezeit bis zum stationären Mond verkürzt sich entsprechend.1.1.7. Standard-AbweichungWir betrachten speziell eine Grundgesamtheit von unendlichvielen Werten x; ·mit dem Mittel xw = 0 und der VarianzV w = x[. Wenn wir aus dieser Gesamtheit n Werte x; herausgreifen,wird ihr Mittel nicht genau 0 sein, sondern um etwaXs = (J I vn = vv::Fr davon abweichen. Die au~iesen nWerten direkt berechnete Varianz V = XI - x~ =xr - V w In ist also um den Faktor ( n - 1) In kleiner alsdie "wahre" Varianz Vw. In a = vY wandert statt n alson - 1 unter die Wurzel in den Nenner. Die Beschränkungauf xw = 0 ist unwesentlich: Es geht hier nur um Abweichungen.Doppe~ntegraL,schrei~en21.1.8. Gauß-FlächeFür die Abweichung c5 = x - x schreiben wirp(c5) = (IIJ27ra)e-.5 2 /(2 a). Irgendeinen Wert hat j~ c5 bestimmt,also J'~ 0 00 p(c5)dc5 = 1. Das Integral J~00 e-u du bestimmenwir, indem wir es mit dem genauso großenf~oo e -v 2 dv malnehmen. Das Produkt können wir auch alsdenn die ~eiden Variablen .~ind ~nabhängig:JJ _ 00 e-(u +v ldu dv. D1e u, v-Ebene laßt sichaber auch in Polarkoordinaten darstellen: u 2 + v 2 = r 2 ,dudv = rdrdq;. Unser Doppelintegral geht über inJ 000Jg" e-r\drdq;. Die q;-Integration gibt 271', es bleibt271' J(; e-,-2 r dr = 71'. Das ist das Quadrat des gesuchten Integrals:f~oo e-cl 2 dc5 = yfir. Aus unserem p(c5) kommtnoch V2 a aus dem Exponenten nach draußen, also stimmtdie Normierung. Der Mittelwert b = f~oo c5p(c5) dc5 ist 0,weil c5e-t5 2 antimetrisch ist, also ist x wirklich der Mittelwertvon x. Die Standard-Abweichung verlangt Berechnungvon c52e-.5 2 dc5. Wir beachten: Die Ableitung von be-.5 2heißt ( 1 - 2c52) e -l5 2 , also J ( 1 - 2c52) e - 152 dc5 = c5e -.5 2 , wasbei .5 = -oo und bei c5 = oo verschwindet, so daßf~oo (1 - 2c52) e-cl2 dc5 = 0, also f~oo c52e-cl2 dc5 =! f~oo e-.52dc5 = ! yfir. So folgt richtig J()J 00 c5 2 p( c5) dc5 = a 2 .1.1.9. NormalverteilungWenn sich der Gesamtfehler c5 einer Messung auf zwei unabhängigeFehlerquellen aufteilt, addieren sich deren Beitragec5 1 und c52 nicht direkt, sondern nach dem Pythagoras:c52 = c5I + c5~, genauso wie zwei Wegstücke, die jemand inzueinander senkrechten Richtungen zurücklegt. Da beideFehler unabhängig sind, ist die Wahrscheinlichkeit p(c5)für den Gesamtfehler gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeilender Teilfehler: p(c5) = p(c5 1)p(c52)· Die Funktionp muß genauso von c5 abhängen wie die Teilfunktionenvon c5 1 und b2, sonst wäre eine solche Aufteilung, die ja jedernach Belieben ausführen kann, gar nicht möglich. WelcheFunktion führt eine Quadratsumme in ein Produkt über?Nur e