Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1190 Lösungen zu den Aufgabenschlag erfolgt spätestens um 2,5 · 10 6 V/ern. Bei Halbleiterdiodenkann es vorkommen, daß besetzte Zustände der p-leitendenSchicht ebensohoch liegen wie leere im n-leitendenTeil, besonders bei angelegtem Feld in Flußrichtung. Dannkönnen Elektronen durch die Übergangsschicht tunneln,falls diese nicht dicker als 50 A ist.16.3.4. PotentialgrabenIm Graben sei das Potential 0, außerhalb U. Der Graben reichevon x = 0 bis x = d. Wir untersuchen zuerst TeilchenenergienW < U. Die Schrödinger-Gleichung lautet im Graben:-!n 2 m- 1 t/J 11 = Wt/J, allgemeine Lösung t/1 = Aeik.x +Be -ik.x' k = v2m w I Ti; außerhalb vom Graben: - ~ li 2 m -I t/1 11= (W- U)t/J, Lösung t/1 = Cek'x (links), i/J = De-k'x(rechts), k' = yl2m(U- W)lli. Der Vollständigkeit halberkönnte man außerhalb noch ein Glied mit dem anderen Vorzeichendes Exponenten hinschreiben, aber sein Koeffizientmuß Null sein, weil es im Unendlichen divergiert. An denGrenzflächen x = 0 und x = d müssen t/1 und t/1' stetigsein, also mit den Abkürzungen o: = eikd, ß = e-k'dA+B=C,ik(A - B) = k' C,Aa+Bia=Dß,ik(Aa- Bio:)= -k'Dß.(L. 7)Hier kann man C und D sofort eliminieren und erhält zweiGleichungen in A und B:(ik - k')A = (ik + k')B, o:(ik + k')A = ~ (ik - k')B.Damit nichtverschwindende Lösungen A und B existieren,muß für AlB beide Male das gleiche herauskommen:2 (ik - k') 2 k' 2 - k 2 - 2ikk' 2ikdo: = = e(ik + k1) 2 k' 2 - k 2 + 2ikk'Der Bruch ist von der Form zlz* (*: konjugiert komplex).Komplexe Zahlen dividiert man, indem man ihre Winkel subtrahiertund ihre Beträge dividiert, zlz* hat den Betrag 1 undden doppelten Winkel von z. Der gleiche Winkel erscheint imExponenten (z = jzj ei'~'). Es folgt die Eigenwertgleichung2kk'tankd = k 2 _ k'2 .Nur für solche k und k', d. h. für solche W existiert eine stationäret/1-Funktion. Dasselbe erhält man auch durch Nullsetzender Determinante von (L. 7).- Man zeichne die Folge dertan-Funktionen. Sie schneiden die Kurve 2kk' l(k2 - k' 2 ),ebenfalls als Funktion von kd aufgetragen, an unendlich vielenStellen, im erlaubten Bereich W < U, d. h. k ;S 2mU ln 2nur an endlich vielen. Wenn k' » k, liegen die Schnittpunktebei kd = mr (n = 1, 2, ... ). k' » k bedeutet W « U, d. h.tiefe Zustände in einem tiefen Graben. Wenn das nichtmehr zutrifft, verschieben sich die Schnittpunkte nach untenbzw. oben auf den tan-Kurven, nähern sich also kd =(n + !)1r. Diese Verschiebung ist zusammen mit dem gedämpftenEindringen in den Außenraum der Haupteffekt0:der endlichen Grabentiefe. Bei endlichem U liegen immernur endlich viele Zustände im Rechteckgraben, es erfolgtkeine Häufung an der oberen Begrenzung wie beim ausladendenCoulomb-Topf. - Bei W > U muß man auch draußenbeide Teillösungen beibehalten, die jetzt richtige Wellene±ik'x darstellen. Die vier Anschlußbedingungen könnendie sechs Koeffizienten nicht festlegen, es ergibt sich auchkeine Lösbarkeitsbedingung mehr: Alle Energien oberhalbdes Grabenrandes sind zugelassen. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeitist aber im Graben größer als draußen.16.3.5. Zwei PotentialgräbenWir betrachten der Einfachheit halber. ein symmetrischesPotential: U für jxj < a, 0 für a < jxj < d, oo für jxj > d.In den beiden Gräben spart man dann je eine Konstante:t/1 1 = Csink(d-x) bzw. t/Jm = Dsink(d+x). In derSchwelle ist tbn = Aek'x +Be-k'x für W < U, t/ln =A eik'x + B e-il!x für W > U. Aus den Anschlußbedingungenkann man die Determinante aufstellen und Null setzen, aberabenteuerlicher ist der direkte Weg. Elimination von C und D(Division je zweier Gleichungen) führt auf A 2 = B 2 , d. h.A = ±B. In der Schwelle gilt also entweder eine cashodereine sinh-Funktion, entsprechend bei W > U einesin- oder cos-Funktion (symmetrischer oder antimetrischerZustand). Damit folgt auch C = ±D. Als Lösbarkeitsbedingungerhält man für diese vier Fälle, daß k' tank( d - a)gleich k tanh k' a, k coth k' a, k cot k' a bzw. -k tank' a seinmuß. Die vollständige Diskussion ist langwierig. Wir betrachtennur einige Grenzfälle: Bei U » n2 l(2ma), d. h.k 2 + k' 2 » 1 schneiden coth und tanh im Bereich W < Udie tan-Kurve nicht, es gibt keinen in einem der Töpfe gebundenenZustand. Der gesamte Topf (einschließlich Schwelle)wird von den bekannten, in Wund ljJ nur wenig modifiziertenZuständen eingenommen (2k(a + d) = n1r). Bei U « li 2 I(2ma) liegen in jedem Teiltopf zunächst tiefe, schwach miteinandergekoppelte Zustände. Sie entsprechen dem Bereich,wo coth und tanh schon beide 1 sind. Oberhalb der Schwelleliegen Zustände, deren Energie und Amplitude durch dieSchwelle erheblich beeinflußt werden. Man beachte immer,daß alle Zweige der tan- bzw. cot-Kurve zu berücksichtigensind.16.3.6. KugelwelleDaß ljJ ~ r- 1 eikr die stationäre Schrödinger-Gleichung imkugelsymmetrischen Fall löst, haben wir z. B. in Aufgabe16.3.2 benutzt. Dazu kommt der zeitabhängige Faktore±iwt wie für jeden stationären Zustand und macht eine Kugelwelle daraus. Für U > Wergibt sich analog zum Debye­Hückel-Potential t/1 ~ r- 1 e-k'r. Jetzt betrachten wir einenkugelsymmetrischen Potentialtopf statt eines ebenen Grabens:Potential 0 für r < ro, U für r > ro. Allgemein istim Topf t/1 = Ar-1 eikr + Br- 1 e-ikr_ Damit t/1 bei r = 0 endlichbleibt, muß A = -B sein, also t/1 = A'r- 1 sinkr. Dannbleiben nur die Anschlußbedingungen für roA' C-sinkro =- e-k'roro ro