Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1150 Lösungen zu den Aufgabenungeladen? Langsame ungeladene Teilchen geben ihre Energiegrößtenteils ab, wenn sie ein auderes Teilchen innerhalbseines geometrischen Querschnitts treffen. Dieser ist unabhängigvon der Energie. So entsteht das übliche e-ocx-Absorptionsgesetz.Geladene langsame Teilchen laufen sich ebenfallsin einem Stoß praktisch tot. Ein Stoß erfolgt dann,wenn sich die Partner so nahekommen, daß Wpot ;(; Wkinwird, d. h. e2 / ( 4m>or) ;c; W. Der Stoßquerschnitt ista"' w-2. Die Stoßfrequenz ist v = nav, und mitV"' w 1 1 2 entsteht die Abhängigkeit T = 1/v = W 3 1 2 . Sehrschnelle Teilchen ändern ihr v bei der Wechselwirkungnur wenig. Die Dauer des Stoßaktes und damit die Impulsübertragungist proportional v-1 "' w-112 , unabhängig vomStoßmechanismus (nichtrelativistische Teilchen). Damit ergibtsich nach Aufgabe 13.3.5 die Zeit zwischen zwei IonisierungsaktenT "' W, was mit T = 1 j ( nav), also a "' w- 1 1 2zu deuten ist.13.3.14. Bremsen Kerne auch?Auf ein schweres geladenes Teilchen wird zwar der gleicheImpuls /!,.p = Ze 2 I ( 2m:;oav) übertragen wie auf ein Elektron,aber die Energieübertragung 1'1 W = !'1p 2 /(2m) ist bei Protonenum den Faktor 1 840 kleiner, bei schwereren Kernen sogaretwa um den Faktor 4 000. Der Energieverlust durch Stößemit Kernen ist also zu vernachlässigen. Dies gilt unterVernachlässigung der direkten Kernstöße (Stoßquerschnitt:::::! geometrischer Kernquerschnitt), die erst bei hochrelativistischenEnergien wesentlich werden, wo der Bethe-Bohr­Querschnitt bis in diese Größenordnung abgefallen ist.13.3.15. MaterialabhängigkeitFür ein gegebenes ionisierendes Teilchen steckt der Einflußder Bremssubstanz auf die Reichweite nach (13.27) in demFaktor nZ 1 , die Ionisierungsdichte, die gleich I- 1 dW jdx ist,hängt außerdem noch von der mittleren Ionisierungsenergie Iab. Da nZ' etwa proportional der Dichte ist (es kommen jaimmer etwa zwei Nukleonen auf ein Elektron), sollte dieReichweite, in g/cm 2 ausgedrückt, sogar unabhängig vonder Bremssubstanz sein. Daß sie das nicht ganz ist, liegtam In-Glied von (13.25), das in (13.27) vernachlässigt wurde.Bei höherer Energie macht dies Glied weniger aus, unddie Regel, daß jede Substanz entsprechend ihrer Dichte abschirmt,gilt ganz gut. Für fY.-Teilchen liegt der Bereich, wodas In-Glied wesentlich ist, gerade in der interessanten Gegendvon einigen MeV. Die Ionisierungsdichte geht bei gegebenemionisierenden Teilchen etwa wie nZ' /(WI). Fürkleinere Energien, wo der In wesentlich wird, erfolgt ein Maximum,dann ein steiler "Haken" (Abb.13.34). Das Maximumliegt bei W = eMI / ( 4m), seine Höhe ist proportionalnZZ' jP. Bei gegebener Bremssubstanz liegen also die Maximafür p, e, f1- etwa gleichhoch, das für ry_ doppelt so hoch.Im relativistischen Bereich nimmt die Ionisierungsdichte einenpraktisch W-unabhängigen Minimalwert an, der sich aus(13.25) ergibt, wenn man W :::::! Mc2 setzt. Das Verhältniszwischen Maximal- und Minimalionisierung ist ungefähr4mc 2 / lln(2mc 2 /I), d. h. für Luft, Wasser usw. etwa 5 000,für schwere Elemente größer. Kenntnis der Dichte und dermittleren Ionisierungsenergie (die sich aus dem Bohr-Modellschätzen läßt) genügen, um diese und viele andere Folgerungenaus (13.25) zu ziehen.13.3.16. Abschirmung13.3.17. DosisleistungSiehe Lösung 13.3.6.13.3.18. Theorie der NebelkammerDie Bedingungen für Tröpfchenbildung in übersättigtemDampf und Blasenbildung in überhitzter Flüssigkeit sind ungefährdieselben: Da jedes Tröpfchen oder Bläschen ganzklein anfangen muß, wenn keine mechanischen Ansatzpunkteda sind, ist als Energiedifferenz zwischen den beidenkonkurrierenden Phasen nicht die volle Kondensationsenergieeinzusetzen, sondern sie muß um eine erhebliche Oberflächenenergiereduziertwerden (thermodynamisch richtigermüßte man statt Energie immer Enthalpie sagen). Phasengleichgewichtherrscht, wenn die freien Enthalpien (Gibbs­Potentiale) gleich sind, d. h. wenn T = (Hn - Hg)/(Sn- Sg). In der H-Differenz ist dabei für die TröpfchenoderBläschen-Nukleation die OberflächenenergieNolumen4Jrr 2 a / (17rr 3 ) = 3a / r und, wenn Ionen vorhanden sind,auch eine evtl. Coulomb-Energie mitzuberücksichtigen.Die Verschiebung 1'1T der effektiven Kondensationstemperaturgegenüber dem Normalwert T ergibt sich dann, wenn manannimmt, daß die spezifische Entropie nicht von der Tröpfchengrößeabhängt, einfach zu 1'1T jT = 1'1H / (Hfl -Hg). ImNenner steht die übliche spezifische Kondensationsenthalpie,im Zähler die spezifischen Oberflächen- und Coulomb-Energien.Die Rechnung wurde in Aufgabe 6.5.1durchgeführt. Bei einer Elementarladung im Tröpfchen ist1'1H maximal etwa 160 J/cm 3 , man muß also um mindestensetwa 25° unterkühlen, damit sich aus gesättigtem Dampf Nebelspuren um die Bahn des ionisierenden Teilchens bilden.Nach der Adiabatengleichung rv- 1 = const erfordert daseine schnelle Expansion um etwa 20 %.13.3.19. i\ W, W-Detektor-TeleskopProtonen und a-Teilchen mit den für Kernreaktionen typischenEnergien von etwa lOMeV bleiben nach Abb.13.35in einigen mm Halbleiterschicht stecken, werden aber voneinigen J.lm nur schwach gebremst. Für Elektronen geltenviel höhere Dicken. Da die Energieabhängigkeit der Reichweitesehr steil läuft, gelten diese Werte nur in einem ziemlichengen W-Bereich. Die hyperbelähnliche 1'1W(W)-Kurveist nichts weiter als ein Bild der Bethe-Kurve, nach der derEnergieverlust im wesentlichen proportional w- 1 ist. Dieeinzelnen Teilchensorten unterscheiden sich durch den FaktorZ2 M vor dem w- 1 , liefern also um so enger an die W­Achse geschmiegte Hyperbeln, je kleinerZ und M sind. Zusätzlichliefert das Detektor-Teleskop noch Aufschluß überdie Einfallsrichtung des Teilchens.13.3.20. Zyklotron-ModellDas B-Feld wird repräsentiert durch die Rillen, die die Teilchenin die Kreisbahn zwingen, das beschleunigende E-Felddurch die schiefe Ebene zwischen den D's. Wenn diese Ebene