Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1180 , Lösungen zu den Aufgabengegen Unendlich geht. Das ist bestimmt der Fall, wennQn+ d Qn ~ a, wobei a beliebig, aber < 1. Wir verlangenalso Qn+llen = 4n-r~I(3R~) ~ a < 1, d.h. rniRn ~(3al(47r)) 1 1 3 . Dann konvergiert f2n mindestens so gut wiean. Die Welt hätte eine verschwindende mittlere Dichte,wenn man über einen hinreichend großen Bereich mittelt.Trotzdem wäre sie homogen in dem Sinn, daß keins der Systemeeine Vorzugsrolle hat. In der wirklichen Welt gibt eszwar "Clusters" von Galaxien, aber über Systeme höhererOrdnung ist nicht viel bekannt.15.4.10. Sind Schwarze Löcher wirklich schwarz?Nur Teilchen ohne Ruhmasse können auf so hinterlistigeWeise aus dem Schwarzen Loch ausbrechen, denn selbstein virtuelles Elektron käme nur 10-10 cm weit, bis die Unschärferelationihren schützenden Mantel wegzieht und derEnergiesatz einschreitet. Ein Photon mit p < h / R dagegenläßt sich nicht in ein Gebilde mit der Abmessung R =GM I c 2 einsperren. Anders ausgedrückt: Bei W < hc / R erlaubtihm die Unschärfe, weiter als R zu fliegen. Photonenmit W = hv = hc / R = hc 3 / (GM) würden vorzugsweisevon einem schwarzen Körper mit kT i::,j hc3 I (GM) emittiert.Wenn das Spektrum, wie es scheint, auch sonst schwarzist, strahlt das Schwarze Loch i!ll ganzen P i::,j R 2 k 4 T 4 j (j: 3 c 2 )ab. Sein Massenverlust ist M = -Pic 2 i::,j -hc 4 j(G M 2 ),integriert M ·= Mo(1- t/r:) 1 1 3 , was bei t = r: =G 2 MÖ/(hc 4 ) brüsk zu Ende ist. Für Mo= 10 16 g folgtr; = 10!l) Jahre. In der letzten Millisekunde werden nochM 0 (1 ms/r:) 1 1 3 = 10 11 g, d. h. 10 25 J umgesetzt, soviel wievon 10 8 Megatonnen TNT. Mo = 10 16 g entsprichtR i::,j 10-13 cm, d. h. der Elementarlänge. Ist es Zufall odernicht, daß gerade in unserem Weltalter Schwarze Löchervon diesem typischen Radius zum Verpuffen dran sind? Handeltes sich um eine neue Verletzung (außer dem Urknall,wenn es ihn gab) des kosmologischen Postulats, nach demunsere Zeit nichts Besonderes an sich haben dürfte? WennSie nachrechnen, finden Sie hier eine neue Ausdrucksformder Eddington-Dirac-"Wunderzahl" (Aufgabe 13.4.4).15.4.11. Einstein kontra BohrBohr sagte ungefähr: Die Strahlungsmenge W wird nicht momentanaus dem Verschluß austreten, denn dazu müßte entwederdie Strahlungsdichte oder ihre Geschwindigkeit unendlichgroß sein. Der Austritt erfolgt auch nicht ganz gleichmäßig,denn es gibt ja Photonen. Es geht also darum, denganzen Verlauf des Austritts zeitlich exakt zu verfolgen.Ist das mit der Waage möglich? Sowie das erste Licht austritt,wird der Kasten leichter, die Waage setzt sich in Bewegung.Zwischen ihrer alten und neuen Ruhestellung liegeeine Höhendifferenz y, der Einstellvorgang dauere eineZeit t. Waagschale und Kasten haben eine mittlere Geschwindigkeitylt, einen Impuls myjt. Da wir nicht wissen, wannwährend dieser Zeit die Strahlung W austritt (das wollenwir ja gerade erst feststellen), besteht in der Masse eine Unsicherheit!J.m = W / c 2 , im Impuls eine Unsicherheit!J.p = !J.my/t = Wyj(c 2 t). Diese Unschärfe im Vertikalimpulszieht nach einem Prinzip, das Einstein vorläufig nichtdirekt angreift, eine Unschärfe in der Höhenlage des Kastensvon !J.y = h/ !J.p = hc 2 tj(Wy) nach sich. Man weiß also nichtimmer haargenau, unter welchem Gravitationspotential rp ersich befindet. Die Unschärfe ist !J.rp = g !J.y = ghc 2 t/(Wy).Die Ganggeschwindigkeit einer Uhr im Kasten - auf dieseUhr kommt es hier an, bzw .. auf ihre korrekte Umrechnungin die Zeit des Laborsystems - hängt aber von rp ab: Vonder im Laborsystem weicht diese Ganggeschwindigkeit umden Faktor 1 - rp / c 2 ab. Dieser Faktor ist um!J.rpjc 2 = gthi(Wy) unsicher. Innerhalb der Gesamtzeit tkann er eine Unsicherheit in der Beziehung zwischen Kastenzeitund Laborzeit von !J.t = t!J.rplc 2 = gt2hi(Wy) bringen.Nun ist aber y ;c; gt2, denn selbst wenn die andere Waagschale,die nach Entlastung des Kastens Übergewicht hat,frei fiele, würde sie in der Zeit t sich nur um y = ~ gt 2 verschieben.Damit haben wir die Unschärferelation!J.t ;c; h/W. Wenn ein Vorgang den Energieumsatz W hat,läßt sich sein Eintreten auch in diesem Gedankenexperimentnur bis auf den Fehler !J.t ;c; h/W festlegen.- Einstein mußtezugeben, daß man die W, t-Relation nicht zu Fall bringenkann, ohne auch die p, x-Relation zu widerlegen, sonderndaß beide zusammenhängen, was vom relativistischen Standpunktauch selbstverständlich ist.15.4.12. DoppelsternEin Punkt auf der Drehachse im Abstand z » d von derDrehebene hat ein Potential(wir nennen der Bequemlichkeit halber den Abstand derSterne 2d). Verfleich mit (15.40) liefert ein QuadrupolmomentQ = 2Md . Kräftegleichgewicht auf der Bahn verlangtill 2 d = GM/(4d 2 ),alsoill 2 = GM/(4d 3 ) (3.Kepler-Gesetz).Die Strahlungsleistung P i::,j GQ 2 ill 6 jc 5 = G 4 M 5 l(l6c 5 d 5 )steigt also sehr schnell, wenn d abnimmt. Zwei Pulsarsoder Schwarze Löcher, die sich in wenigen Dutzend km Abstandumkreisen, könnten 10 40 W oder mehr abstrahlen. Ihreganze Masse wäre dann allerdings in 1 Jahr oder wenigergravitativ zerstrahlt. Ein normaler Doppelstern mit d i::,j Erdbahnradiusstrahltdagegen nur etwa 10 10 Wund wäre z. Z. inkeinem Fall als Quelle von Gravitationswellen nachweisbar.15.4.13. Gravitationswellen-AntenneDa ein Doppel-Pulsar mit 10-100km Sternabstand nur sehrkurzlebig wäre, kann man kaum erwarten, näher als 1 000-10 000 Lichtjahre einen zu finden. Seine Strahlungsleistungvon 10 40 Wergäbe dann 0,1-10 W/m 2 Intensität bei uns. DiePeriode der Strahlung, d. h. die Periode der Rotation des Doppelsterns,wäre mindestens einige ms, die WellenlängeJe = cT mindestens einige tausend km. Webers Zylinder(l i::,j 1m) kann also höchstens !2 I 2 2 i::,j 10-12 der Leistungeinfangen, d. h. 1 o-13 -1 o-ll W (die Länge l fängt höchstenseinen Bruchteil!/}, der Amplitude ein, die Intensität geht wiedas Quadrat der Amplitude). Die Schallgeschwindigkeit inAluminium ist 5 100 m/s, die Grundschwingung (Je = 2l)hat ill i::,j 10 4 s- 1 . Annähernd so breit ist der durchgelassene