Lösungen zu den Aufgaben - Springer

IIIIII1124 Lösungen zu den Aufgaben11.3.3. Crab-NebelBei gleichförmiger Expansion hat der Crab-Nebel sich in920 Jahren um 0,21 11 /Jahr ausgedehnt. Die Doppler-Verschiebungentspricht v = 1 300 km/s, das macht 4 · 10 13 km seitder Explosion. Die parabolische Fluchtgeschwindigkeit vonder Sonnenoberfläche ist 500 km/s, also kommt gravitativeBremsung höchstens ganz zu Anfang in Betracht. Der wahreDurchmesser von 8 · 10 13 km sieht wie 6,5' aus im Abstand4 · 10 16 km ~ 4 000 Lichtjahre. Trotz dieses 1 OOOmal größerenAbstandes war die Supernova fast 10 OOOmal heller alsaCentauri, also absolut fast 10 10 mal heller als dieser oderdie Sonne, m. a. W. fast so hell wie eine ganze Galaxis! EineSupernova in 4 Lichtjahren Abstand wäre 106mal heller alsdie von 1054, d. h. fast so hell wie die Sonne, die Lichtintensitätauf der Erde würde sich verdoppeln, die Temperaturstiege um den Faktor Vl, d. h. um fast 60°. Die Gesamtemissionder Sonne ist 3 · 10 26 W, die der Supernova3 · 10 36 W, sie strahlt in 100 Tagen etwa 3 · 10 43 J aus. Dadie Sonne von ihrem Wasserstoff einige 10 10 Jahre lebenkann (Aufgabe 15.2.12), verbraucht der Supernovaausbrucheinen erheblichen Teil dieser Reserve. Der größte Teil dieserEnergie stammt aber aus der Kontraktion, denn der Ausbrucherfolgt, weil der Kernbrennstoff verbraucht ist. Bei Kontraktionauf 2,9 km Radius würde die Sonne ein schwarzesLoch, d. h. ihre Gravitationsenergie wäre gleich Mc 2(Abschn. 17.3.3). Die Fusionsenergie ist etwa 11100 davon,entspricht also dem hundertfachen Radius, d. h. einigenhundert km. Die Supernova bricht in einen Neutronensternzusammen (s. auch Aufgabe 17.3.2).11.3.4. Fixstern-ParallaxeAbsolutverschiebungen am Himmel zwischen Sommer undWinter kann man mit bloßem Auge, wie Aristarch undCopernicus es mußten, kaum viel genauer als auf ! 0 messen.Also müßten parallaktische Verschiebungen der Sternegegeneinander auftreten. Bei Sternen, die nahe beieinanderzustehenscheinen, kann man . solche Verschiebungen miteiner Genauigkeit feststellen, die praktisch durch das Auflösungsvermögendes Auges gegeben ist (einige Bogenminuten,d. h. w- 3 im Bogenmaß). Wenn man nichts dergleichensieht, müssen die Sterne mindestens 10 3 mal ferner sein alsdie Sonne. Aristarch und Copernicus wagten beide diesenSchluß, der damals noch viel grausiger schien als die postulierteriesige Entfernung der Sonne. Newton wußte, daß Saturnetwa 10 Erdbahnradien entfernt ist und daß sein Radiusetwa 10 Erdradien beträgt. Er fängt also etwa den gleichenBruchteil der Gesamtstrahlung der Sonne auf wie dieErde, nämlich 1/(4 · 200002 ) ~ 5 · 10-lü (RadienverhältnisSonne-Erde 100: 1, Sonnenabstand: Sonnenradius200: 1, dazu ein Faktor 4 von 1r? statt 47rR 2 ). Wenn Saturnim reflektierten Licht ebensohell aussieht wie ein Stern, derebensostark wie die Sonne strahlen dürfte, muß der Stern4 · 1 0 4 mal soweit entfernt sein wie Saturn, nämlich etwa5 Lichtjahre (Sonne-Erde 500 Lichtsekunden). Seine Parallaxeist dann 1/(4 · 10 5 ) ~ 1/2". Diese Schätzungen be•stätigten sich glänzend, als man seit 1842 die ersten Parallaxenbestimmte.11.3.5. SonneneinstrahlungEinfach zu rechnende Fälle: Äquator am ÄquinoktiumSonnenhöhe h = 7rt/12 (t in Stunden seit 6° 0 ; Mittel übersin-Bogen 2/7r = 0,64, Tagesmittel 0,32. N-Pol am 21.6.:sin 23,4° = 0,39, dies 24h lang, also mehr als am Äquator!Die atmosphärische Absorption gleicht dies aber mehr alsaus: Weglänge durch Atmosphäre 1 j sin h, bei h = 7r /2kommen bei klarster Luft 75% am Boden an,l"' sinh · 0,75 1/sinh_ So kommt der Äquator auf 0,21 (fastdas ganze Jahr, der Pol am 21.6. auf 0,18. Der Faktor0,75 1/sinh rundet die Füße des Sinus so ab, daß fast( 1 - cos) /2 mit dem Mittel 1/2 entsteht. Das Jahr über hatder Pol also nur 0,05 und müßte ohne Luftaustausch imMittel etwa 305 K/-14 = 214 K kalt sein.11.3.6. SonneninneresBei T = 6 000 K liegt nach Wien Amax um 500 nm, also bei10 7 K um 0,3 nm. Die entsprechenden Photonenenergiensind 3 eV und 5 keV. In der Sonne scheint noch kein y-,aber Röntgenlicht Die Strahlungsintensität ist an der Sonnenoberflächeetwa 108 W m-2, im Innern 10 21 W m- 2 .Strahlungsdruck 10-5 bzw. 108 bar. 1 cm3 Sonnenkernmateriewürde in 1 km Abstand noch 10- 2 bar ausüben,also auf einen Menschen eine Kraft von 1 000 N. Er würdeumgeblasen. Im Sterninnern ist der thermische Druck sogarnoch größer. Beiden hält der Schweredruck der darüberliegendenSchichten die Waage.11.3.7. TreibhauseffektGlas läßt Sonnenlicht praktisch ungeschwächt durch, hältdagegen einen großen Teil der infraroten Rückstrahlungdes Erdbodens zurück. Im Freien besteht Strahlungsgleichgewichtzwischen der Sonneneinstrahlung und der vollenRückstrahlung, und dies bestimmt die Lufttemperatur. ImGlashaus ist das Gleichgewicht zugunsten der Einstrahlungverschoben, also ist es dort wärmer. Ganz ähnlich wirkendas COz und das H20 in der Erdatmosphäre und in ganzextremer Weise in der Venusatmosphäre, wo der TreibhauseffektTemperaturen um 400 °C erzeugt. Das Sonnenspektrumreicht praktisch nicht in den Absorptionsbereich desGlases hinein. Dagegen liegt etwa 1/3 des Rückstrahlungsspektrumsdarin: Das Glas hält 1/3 der Bodenstrahlung zurück.Wir kennzeichnen die Sonnenintensität durch 6 Pfeilewegen der guten Teilbarkeit der 6. Im Freiland strahlt derBoden dann auch 6 Pfeile zurück. Das tut er auch nochkurz nach dem Schließen des Daches, denn die Bodentemperaturhat noch keine Zeit gehabt, sich zu ändern. Dann läßtdas Glas aber nur 4 Pfeile nach draußen durch. Es bestehtkein thermisches Gleichgewicht: Der Boden erhält mehrEnergie als er abgibt, erwärmt sich also. Diese Erwärmunghört erst auf, wenn wieder 6 Pfeile nach draußen durchdas Glas treten. Dann muß der Boden aber 9 Pfeile abstrahlen,also 1,5mal mehr als vorher. Wenn der Boden im geschlossenenTreibhaus I ,5mal mehr abstrahlt als im Frei-·land, heißt das nach Stefan-Boltzmann (/"' T 4 ): Im Treibhausist T um den Faktor 1,5 1 1 4 = 1,1 größer. Wenn draußen0 oc = 273 K herrschen, kann man drinnen mit 300 K =