Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 1: Lösungen 1013den Faktor -)1 - w2 jv2 weniger Zeit als der zweite. DieserFaktor taucht in der Relativitätstheorie überall auf. Der berühmteMichelson-Versuch ist eine einfache Umdeutungdes Schwimmerversuchs.1.2.11. Wie kommt man rüber?Das Wasser habe die Geschwindigkeit w, der Schwimmer v;er stelle seinen Körper unter einen Winkel rp gegen die Uferlinie(mit dem Strom: rp = 0). Seine Geschwindigkeitskomponentenrelativ zum Ufer sind also v sin rp in Querrichtung,w + v cos rp in Strömungsrichtung. Die Überquerung dauertt = bl(vsinrp) (b Breite des Flusses). In dieser Zeit treibtder Schwimmer um a = ( w + v cos rp )b I ( v sin rp) stromabwärtsab. t ist minimal, nämlich bjv, wenn sinrp maximal,d. h. rp = 90° ist. Dann treibt man um a = wbjv ab. Die Abdrifta kann immer nur dann gleich Null gehalten werden,wenn v ~w, und zwar durch rp = arccos( -wlv). Beiv < w ergibt sich minimale Abdrift ausda - sin 2 rp- (~ + cos rp) cos rp-=O=b Vdrp sin 2 rpalso rp = arc cos( -vlw). Die Abdrift ist dann a =b)w2 - v21v. Bei größerem rp dauert die Überquerung zulange, bei kleinerem rp gewinnt man der Strömung zu wenigab.Im Fall (c) geht man am Ufer mit der Geschwindigkeit ueine Strecke 2a (Abdrift beim Hin- und Zurückschwimmen).Man braucht dazu eine Zeit t' = 2alu. Die Gesamtzeit istT = ~ ( 1 + w + vcosrp).vsmrp uDies wird minimal, wenn die Ableitung nach rp verschwindet,d. h. wenn cos rp = -vl(u + w).1.3.1. Hier irrte AristotelesGalilei liebte solche Gedankenversuche, die aus der gegnerischenAnnahme einen Widerspruch herleiten. Er meintewohl, seine gelehrten Gegner ließen sich durch solche aprioristischenArgumente eher überzeugen als durch den vulgärenAugenschein, den sie sich oft genug weigerten zu nehmen.Wenn der leichte Körper langsamer fällt als der schwere,müßte er diesen zurückhalten, falls er fest genug mit ihmverbunden ist. Immer festere Verbindung führt aber zu einemeinheitlichen Körper, der schwerer ist und schneller fallenmüßte als selbst der schwerere Teilkörper. Manche versuchtensich so herauszureden, daß es nicht auf "schwer überhaupt",sondern auf "spezifisch schwer" ankomme. Die verbundenenKörper würden sich dann auf eine mittlere Geschwindigkeiteinigen, die dazu nötige Kraft würde durchdie Verbindung übertragen. Dies kommt der Wahrheit (beiBerücksichtigung des Luftwiderstandes) etwas näher undläßt sich nicht so leicht a priori ausschließen.1.3.2. Was ist Masse?Solange es sich um Körper gleicher Dichte handelt, weißman aus Newtons Definition, daß dem doppelten Volumeneine doppelte Masse entspricht. Hat man Luft doppelterDichte dadurch erzeugt, daß man 21 auf 11 komprimierthat, dann ist auch plausibel, daß doppelt soviel Masse indem Liter ist wie vorher. Daß aber 11 Eisen 7 ,5mal so vielMasse hat wie 11 Wasser, läßt sich ohne Bezug auf dieAxiome, z. B. das Reaktionsprinzip, nicht nachweisen, esgibt also keine allgemeine Definition der Masse, die vonder Bewegungsgleichung (oder vom Gravitationsgesetz) logischunabhängig wäre. Selbst heute kann man zwar direktvergleichen, wie viele Teilchen in einem cm3 Eisen bzw.Wasser sitzen (z. B. durch Röntgen-Beugung), daß aberdas Eisenatom 56, das Wassermolekül nur 18 Nukleonen enthält,ist noch keine direkte Beobachtungstatsache, sondernvon der Massendefinition abhängig.1.3.3. Wie viele Axiome braucht man?Falls die Wechselwirkung zwischen A und B durch das Vorhandenseinder Stange nicht beeinflußt wird, ist die Ableitunglogisch einwandfrei. Newton hatte wohl nicht den Ehrgeiz,ein Minimalsystem von Axiomen aufzustellen, sonderneines, mit dem man bequem arbeiten kann. Die rein logischeSchwäche seiner Massendefinition ist ihm sicher auch nichtentgangen, aber allzu reine Logik bleibt eben oft steril.1.3.4. Da kann man sich sehr täuschenFast jeder argumentiert zuerst so: Die Turmspitze (Höhe H)hat bei der Erdrotation eine größere Bahngeschwindigkeitals der Fuß (außer am Pol). Der Stein bringt diese größereGeschwindigkeit bis zur Erde mit. Die Erde dreht sichnach Osten, also schlägt der Stein östlich vom Abwurfpunktauf. Quantitativ: In der Höhe h herrscht v = w(R + h) cos rp(rp: geogr. Breite), der Stein hat aber noch v' =w(R + H) cos rp, Differenz !:J.v = w(H- h) cos rp. WegenH - h = ! gt 2 wird die Ostabweichung x = J~ !:J.v dt =w cos rp! g Jt 2 dt = ~ wgT 3 cos rp = l v'2w cos rpH 3 1 2 I y/g (T:Flugzeit). Beim hochgeworfenen Stein heben sich die Abweichungennach Westen beim Aufstieg und nach Ostenbeim Abstieg auf. Hierin stecken zwei Fehler: (a) Die Ostabweichungist in Wirklichkeit doppelt so groß, und, wichtiger,(b) es gibt eine viel größere Südabweichung. Begründung:(a) Die obige Rechnung wäre richtig, wenn Turmspitzeund Turmfuß sich geradlinig parallel bewegten, wie zweiLäufer in der Geraden. Wenn der schnellere dem andereneinen Ball zuwirft, genau senkrecht zur Bahn im Moment,wo beide auf gleicher Höhe sind, geht der Ball vom vorbei.Das ganze System dreht sich aber außerdem. Das bringtnochmal eine ebensogroße Ostabweichung. Warum, wird un-.ten klarwerden. (b) Setzen wir uns ernstlich ins nichtrotierendeBezugssystem. Der losgelassene Stein beschreibt wie einSatellit einen Großkreis, gerrauer einen kurzen Bogen einerKepler-Ellipse, deren Ebene eine Großkreisebene ist. Wassollte er sonst tun: Da er nur einer Zentralkraft zum Erdmittelpunktunterworfen ist, muß seine Bahnebene durch diesengehen. Anfangs fliegt der Stein natürlich nach Osten, wie dieTurmspitze. Diese geht dann notgedrungen auf einem Breitenkreisweiter. Der Großkreis des Steins, der den Breitenkreisim Abwurfpunkt tangiert, weicht immer mehr südlichdavon ab (Nordhalbkugel), wie das Flugzeug nach Sydney,