Lösungen zu den Aufgaben - Springer

"Kapitel 8: Lösungen 10998.2.13. BrückenschaltungAus VA= I(RI + ll(iwCI) + li(IIR2 + iwC2)) und UR=II(IIR2 + Il(iwCz)) folgt liK = 1 + RJ/Rz + CziC1 +iwCzR1- il(wCJRz). Bei w = II)RtRzCtCz ist K reell,aber positiv (deswegen ein zweistufiger Verstärker, der zweimaldie Phase umdreht, also positives V hat). V= liK =1 + RJ/R2 + C2IC1 kann jeden Wert größer als 1 haben.8.2.14. QuarzuhrQuarz ist einer der besten Isolatoren, aber wenn er piezoelektrischschwingt, d. h. wenn sich die positiven gegendie negativen Ionen verschieben, bedeutet dies einen Wechselstrom(Verschiebungsstrom, Influenz auf den anliegendenElektroden). Dies gilt für jedes Dielektrikum. Aber beimQuarz als polarem Kristall sind diese Verschiebung undihre Phase nach einer Resonanzkurve abhängig von der Frequenzdes erzwingenden Feldes. Wenn x die Dickenänderungdes Quarzes ist, geht der Strom mit x. Bei kleinen Frequenzenist x ~ U, der angelegten Spannung, der Quarz verhält sichwie ein Kondensator bzw. dessen Dielektrikum. Bei der Eigenfrequenzdes Quarzplättchens, die sich berechnet wie beider geschlossenen Pfeife, ist x ~ I in Phase mit U, der Quarzwirkt als ohmscher Widerstand. Bei hohen Frequenzen istx ~ I ~ U, der Quarz wird zur Spule. Wegen der geringenDämpfung ist die Resonanz der Quarzschwingung sehrscharf; man kann auch sagen: Das quasistatische AnfangsplateauI = iwCU liegt wegen des winzigen C eines Quarzkondensators(~1 pF) sehr tief, also ist die Güte ll(wCR)dieses Elements sehr hoch. So scharf köm1te die Resonanzeines rein elektrischen Schwingkreises nie sein. Im KreisAbb. 8.31 sperrt also der Quarz bei w « wo, weil sein Cqso klein ist, bei w ~. wo auch, weil I wie 1 I w abgefallenist. Nur ganz nahe der Quarzresonanz kann der Kreis schwingen.Dann ist der Quarz so "weit offen", daß es auf evtl. kleineÄnderungen von L und C z. B. infolge Temperaturschwankungennicht ankommt. Diese Resonanzschwingung, übereinen Transistor rückgekoppelt, hält sich selbst aufrecht,falls man für Gegenphasigkeit der Spannungen an 34 bzw.12 sorgt. Exakt in der Resonanz sind die Spannungen um1r 12 auseinander (Quarz~ R). Schon ganz wenig oberhalbvon wo aber wirkt der Quarz als Spule (die rp( w )-Kurvemacht ja bei hoher Güte eine steile Stufe bei w 0). Dannhaben wir die Situation der Dreipunktschaltung mit derrichtigen Phase der rückgekoppelten Spannung.8.3.1. RekombinationskoeffizientRekombination findet statt, wenn ein negatives Ion einempositiven näher als bis auf einen kritischen Abstand r0kommt, d. h. wenn das eine Ion in eine Scheibe vom StoßquerschnittA = 1rrJ um das andere trifft. Im m 3 sind npositive Ionen, also n solche Scheiben mit der GesamtflächenA. Die Wahrscheinlichkeit, daß das negative Ion auf einemWeg dx eine davon trifft, ist nA dx, oder daß es in der Flugzeitdt eine trifft, nAv dt. Da im m3 auch n negative Ionen sind,finden in diesem Volumen in jeder Sekunde n 2 Av Rekombinationsaktestatt. Der Rekombinationskoeffizient läßt sichalso darstellen als ß = Av. Wie groß ist aber A, d. h. welchesist der ·kritische Abstand ro? Die Ionen können einanderbestimmt nicht einfangen, wenn ihre kinetische Energiegrößer ist als die potentielle in dem Moment, wo beideeinander am nächsten sind. Andernfalls ist Einfang möglich,falls ein dritter Partner in der Nähe ist, der den überschüssigenImpuls abführt. Sieht man dies zunächst als garantiertan, ergibt sich ro aus Wkin = ~ kT = Wpot =e 2 1(47rs0r0 ), also ro = e 2 l(61rs0kT), A = e 4 1(36JrsÖk 2 T 2 ),ß = e 4 vi(36Jrs§k 2 T 2 ) = v'3e 4 1(36Jrs5m 1 1 2 (kT) 3 1 2 ). Bei300 K, wo kT = fo e V, wird ro = 500 A (Vergleich mitdem H-Atom, wo Wpot = 2 ·13,6eV für r = 0,5A), alsoA ~ 10-10 cm 2 , V= 5. 10 4 crn!s, d. h. ß = 5. 10-6 cm3 ls,was der Erfahrung ganz gut entspricht. Falls die Bedingungüber den dritten Partner, der den Impuls abführt, immer erfülltist, hängt ß nicht vom Druck ab. Freie Elektronen brauchenkaum berücksichtigt zu werden, da sie sehr schnell unterBildung negativer Ionen weggefangen werden. In der kinetischenBetrachtung sind natürlich die Worte "negativ" und"positiv" vertauschbar.8.3.2. GlimmentladungDer Strom der unselbständigen Entladung bei ständigerAuslösung von No Elektronen!s an der Kathode ist nachTownsend I= eN 0 ead l(l- y(ead- 1)). Solange y(ead- I)sich der 1 nähert, biegt I nach oben ab und schnellt beiad = ln(1 + lly) ins Unendliche (Durchschlag). Beiy ~ 1 bedeutet die Durchschlagsbedingung ad ~ 1jy;dann kommt die ead-Abhängigkeit gar nicht zum Tragen,sondern der Durchschlag erfolgt praktisch vom AnfangsstromIo = eNo aus. Bei y « 1 liegt der Durchschlag beiad ~ In( 1 jy), was nie viel größer als 1 wird. Als Funktionder Spannung dargestellt, verläuft I noch viel steiler, dennad = pdf(Eip) ist nach Abb. 8.40 eine sehr steile Funktionvon E. Die Summation der geometrischen Reihe, die zudieser Kennlinie führt, ist nur gültig bei y ( e"d - 1) ;'S 1.Schon deshalb hätte es keinen Sinn, die Kurve hinter demDurchschlag weiterzeichnen zu wollen.8.3.3. ZündspannungIm Feld U I d gewinnen die Elektronen längs einer freienWeglänge l die Energie elU I d. Wenn das Elektron beimnächsten Stoß seinen ganzen Energiegewinn wieder hergebenmuß, lautet die Zündbedingung, daß dieser Gewinngleich der Ionisierungsenergie sein muß: elU ld = Wion·Da l = 1l(nA) und p = nkT, kann man auch schreibenU = ApdWionl(ekT). Bei p = 1 bar= 10 5 Nlm 2 undWion ~ 1 e V folgt U I d ~ 10 4 V /cm, bei 0,1 Torr nur etwa1 V /cm. Die Townsend-Theorie enthält nicht die Annahmevollständigen Verlusts nach einer freien Weglänge. IhreZündbedingung lautet ad = pdf(U l(pd)) = ln(l + ljy).Da f(U l(pd)) eine sehr steile Funktion ist, kommt manpraktisch auch wieder auf eine Bedingung der FormU = const pd, wobei ebenfalls const ~ 104 V cm-1 bar-1.8.3.4. DurchschlagE = alr, U = aln(rJ/r0 ), E = Vl(rln(rJ/ro)) ~ 10 7 V/rn;Bereich hat r ~ 100 ~-tm.