Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 14: Lösungen 1167Prozesse/cm3 s) folgen. Bei h « H, was der Boltzmann-Näherungentspricht, ergibt sich yh = rxHn, d.h. n = yhl(rxH),und durch Vergleich y = rxNo e-W/(kT). Die Wahrscheinlichkeitfür thermische Befreiung (Ausheizen) steigt also erwartungsgemäßsteil mit T an. Die Einfangswahrscheinlichkeitkann man so abschätzen: rx = Av, wobei A: Einfangquerschnittder Traps, v thermische Elektronengeschwindigkeitim Band. Wenn die leeren Traps positiv geladen sind, ergibtsich nach Abschn. 14.3.1 A:::::: w-10-10-12 cm-2, alsorx = w-3-I0-5cm3 ls. Ungeladene leere Traps fangen nurmit ihrem geometrischen Querschnitt A:::::: 10- 15 cm 3 ein,also rx :::::: 1 o-8 cm3 I s. Bei Temperatursteigerung wächst ysehr steil an. Trapelektronen werden mit zunehmenderRate befreit, fallen z. T. in die Traps zurück, rekombinierenaber auch mit Valenzlöchern. Effektiv nimmt also h zuerstlangsam, bei höheren Temperaturen sehr schnell ab. In denmeisten Fällen steht n immer mit dem jeweiligen h imGleichgewicht: n = No(hiH) e-w /(kT). Der mit T steil ansteigendee-Faktor, multipliziert mit der fallenden Funktionh, ergibt das "Glowmaximum" für die Leitfähigkeit (n) bzw.für die Lumineszenz, die mit der Rekombination verbundenist. Temperaturlage und Form des Glowbuckels geben Aufschlußüber Traptiefe und andere kinetische Parameter.14.4.9. KristallphosphorEin reiner Kristall hat eine wohldefinierte maximale Rekombinationsenergieund daher ein Spektrum, das an einer ziemlichscharfen langwelligen Kante abbricht; sie entspricht derBreite der verbotenen Zone oder, bei wesentlicher Beteili~gung von Störtermen, deren Abstand vom Bandrand. Die darausresultierende Farbigkeit des Spektrums läßt sich für Farb­Bildschirme ausnutzen, muß aber bei Schwarz-Weiß-Schirmenunterdrückt werden (Mischung von Phosphoren mit verschiedenerKantenlage). Der anregende Elektronenstrahl (um1 ke V) wirft Valenzelektronen so hoch ins Leitungsband, daßsie auch aus größerer Höhe rekombinieren. Diese Rekombinationmuß so schnell erfolgen, daß das Nachleuchten.kurzgenug ist, um keine "Leuchtspuren" hinter rasch bewegtenObjekten zu ergeben. Ein Bildpunkt, der bei einem Durchgangdes Elektronenstrahls angeregt wurde, muß also biszum nächsten Durchgang (0,04 s später) so weit abgeklungensein, daß er den nächsten, evtl. viel kleineren Helligkeitswertaufnehmen kann. Die n Leitungselektronen/cm 3 rekombinierenmit den ebenso zahlreichen Valenzlöchern gemäßh = -ßn 2 , integriert n = nol(1 + ßnot). Die ZeitkonstanteT = 1 I (ßno) muß etwa 10 ms sein, damit Helligkeitsschwankungenum den Faktor 5 von Bild zu Bild wiedergegebenwerden können. Wenn jeder Rekombinationsakt ein sichtbaresPhoton erzeugt, kommen aus der Phosphorschicht derDicke d während der Bildperiode nod Photonen/cm 2 ; dasAuge integriert sie über die Bildperiode. Das Bild soll maximalnicht so hell sein wie sonnenbeschienene Ge~enstände.Die Sonnenoberfläche emittiert aT 4 :::::: 10 4 w I cm ' Verdünnungauf 11220 2 bis zur Erde bringt 0,2 W/cm 2 für eineschneeweiße Fläche im Sonnenlicht, d. h. 4 · 10 17 Photonen/cm2s. Das Fernsehbild emittiere 10 15 -10 16 Photonen/cm 2 s, d. h. bei d = 0,1 mm muß no zwischen 10 14 und10 15 cm- 3 liegen. Mit T = 1l(ßno):::::: 10ms erhält manß:::::: w- 10 -10- 11 cm3 ls, was einem RekombinationsquerschnittA = ßlv:::::: w- 17 cm 2 entspricht, also knapp einemAtomquerschnitt14.4.10. TrägerkonzentrationDer Hall-Effekt gibt direkt n(T), die Leitfähigkeit liefert nf.J,.Hohes T: Alle As-Zusatzelektronen im Leitungsband, n = D,tieferes T: n = v'NDe-Wf(kT) (14.75). Die Neigung der Arrhenius-Geradengibt eine Donatortiefe W = 0,09 e V, die fastwaagerechten Abschnitte entsprechen As-Konzentrationenetwas über 10 15 , 10 16 bzw. 10 17 m-3 . Der Übergang solltebei W l(kT) = ln(N ID) erfolgen, d. h. bei IOOK für die unterste,etwas höher für die anderen Kurven, was hervorragendstimmt.14.4.11. Minimale LeitfähigkeitNach dem Drude-Lorentz-Modell ist a = nef.J, = ne 2 ll(mv).Setzt man für mv = lik den Maximalwert Ji1r I d, so folgt fürl:::::: d und n:::::: d-3: a:::::: e2 l(1rlid):::::: I OOOQ- 1 cm-1. Halbmetallewie Bi leiten nur wenig besser, in diesem Fall allerdingsinfolge eines sehr viel geringeren n. Amorphe Halbleiter,deren Fermi-Grenze nur wenig höher liegt als die Beweglichkeitskante,scheinen das beste Beispiel für diese Werte zusein.14.4.12. Excitonen2,16eV entsprechen A, = 5 730nm (Zitronengelb). Der Kristallsieht also im durchscheinenden Licht orange-rot aus(man beachte die spektrale Empfindlichkeitskurve des Auges).Da die Absorptionskante nicht ganz steil ist, verschiebtsich beim dünnen Kristall die Farbe mehr ins Gelbliche. DiePeakenergien lassen sich gut in eine Balmer-SerieWn = W!/n 2 einordnen, wenn man die Ionisierungsenergie(Bandkante) mit 2,166 e V ansetzt und den linken Peak mitn = 2 bezeichnet. Dann wird W1 = 0,10 eV. Wenn es sichum Excitonen-Terme handelt (Elektron und Loch in wasserstoffähnlichemSystem), der Faktor 2 infolge "Kemmitbewegung"beachtet (Aufgabe 12.3.6) und meff = m gesetztwird, erhält man Übereinstimmung mit dem Bohr-Modellfür e :::::: 8. Die Breite der Peaks entspricht einfach kT(0,006 e V). Bei Zimmertemperatur sind die Peaks fast viermalso breit und verschmelzen zu einer geneigten Absorptionskante.14.4.13. SolarzelleIm Dunkeln sind Leerlaufspannung und Kurzschlußstromeiner Diode beide 0. Licht erzeugt Trägerpaare, speziell inder p-n-Grenzschicht, wo einige von ihnen durch das interneFeld getrennt werden. Ein Kurzschlußstrom lK kann fließen,und um lK verschiebt sich die/( U)-Kennlinie nach unten. Sieschneidet also die V-Achse erst bei UL, das wegen der steileneeu /(kT)_Form nur wenige kT I e beträgt. Maximale Leistungentspricht der Fläche des größten in diesen Unten-Rechts­Quadranten der Kennlinie einbeschriebenen Rechtecks,also P = IKUm, wobei Um < UL. Jedes Trägerpaar liefertalso wenige kT, kostet aber mindestens ein solares Photon,