Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 5: Lösungen 1055differenz, die durch den Bernoulli-Sog einer Strömung ausgeglichenwerden muß. Wenn z. B. unten Druckgleichheit beiruhender Luft herrscht, ergibt sich oben im Schornstein einÜberdruck gH l!..e, falls die Luft dort auch ruhte. Sie strömtalso mit einer Geschwindigkeit v aus, so daß !ev 2 = gHI!..e.Bei Druckgleichheit und Ruhe oben wird die Luft unten mitder gleichen Geschwindigkeit angesaugt. Vergleich mit derLaplace-Formel für die Schallgeschwindigkeit zeigt übrigens,daß aus einem Schornstein von halber Skalenhöhe( 4 km) bei 300 oc Innentemperatur die Luft mit Schallgeschwindigkeitausströmen würde.5.2.5. EinweckenVor dem Erhitzen sei im Glas ein Volumen Vp an Flüssigkeitund VL an Luft. Beim Erhitzen auf 100 °C dehnt sich dieFlüssigkeit um Vpß I!..T aus. Die verdrängte Luft kann voninnen austreten, indem sie den Deckel hebt, es erfolgt Druckausgleich.Beim Abkühlen bildet sich ein Unterdruck aus, derDeckel drückt sich an dem Gummiring fest. Luft kann nichthinein. Hat man lange genug eingekocht, so daß der Wasserdampfdie Luft völlig verdrängt hat - sein Druck ist ja amSiedepunkt i bar -, dann bleibt nach dem Abkühlen imGlas nur der Dampfdruck des Wassers bei 20 °C, nämlich0,02 bar. Auf den Deckel von 110 cm2 drücken fastllOON. Bei kurzem Einkochen entsteht der Unterdruckder eingeschlossenen Luft durch das Zurückweichen desWassers: Pinnen = VL/(VL- Vpß I!..T) bar, DruckdifferenzVpß I!..T I (VL - Vpß I!..T) bar. Läßt man gerade VL = 16 rnlLuft im 11-Glas, dann wird Vpß I!..T = VL, also bleibt auchbei kurzem Einkochen nur der Wasserdampf druck, und derDeckel hält optimal zu.5.2.6. Druck in der SonneDer Druck im Innern eines Himmelskörpers entsteht durchdas Gewicht der darüberliegenden Schichten; dieses Gewichtberuht auf der Gravitationsanziehung, die die innerenauf die äußeren Schichten ausüben. Folgende Größen sindfür den Druck maßgebend: Dichte (2 und Radius R des Sterns(die Masse braucht man nicht mehr, denn sie ist durchRund eausdrückbar) und die Gravitationskonstante G. Die Dimensionenvon R, (2, G sind m, kg/m 3 und N mlkg 2 =m 3 ls 2 kg. Hieraus soll p von der Dimension Nlm 2 =kgls 2 m aufgebaut werden. s kommt nur in G vor, alsop ~ G. Um die kg- 1 von G in die kg von p zu verwandeln,brauchen wir zwei g. Der Ausdruck Ge 2 hat die Dimensionkg~m 3 s 2 . Zwei m im Nenner müssen noch weg, alsop ~ Ge R2• Ausführliche Betrachtung für einen Stern homogenerDichte e (in Wirklichkeit ist sogar in Planeten, erstrecht in Sternen die Dichte innen größer): Die Kugelschaleder Dicke dr, Innenradius r, wird von der eingeschlossenenKugel angezogen mit der Kraft dF = 11l'er 3 · 41l'er 2 drG 1 r 2(die äußeren Schichten haben keinen Einfluß, vgl. Aufgabe1.7.10). Der Druck nimmt also auf der Strecke dr zu umdp = dF I ( 47rr 2 ) = 17rGQ 2 r dr. Der Gesamtdruck in der-?).Für Erde, Jupiter,Sonne ergeben sich Mittelpunktsdrucke von 1,3 · 10 6 ,Tiefer ist p(r) = J: dp = ~7rGQ 2 (R21 ,3 · 10 7 , 1 ,4 · 109 bar. Die Dichtezunahme mit der Tiefeläßt die wirklichen Werte erheblich ansteigen. Man schätztfür die Erde 3,6 · 10 6 bar, für die Sonne sogar um 10 11 bar.5.2.7. Wie heiß ist die Sonne?Damit das Sonnengas nicht in sich zusammenstürzt, mußsein thermischer Druck (zu dem genau genommen nochder Strahlungsdruck kommt) dem Schweredruck (vgl. Aufgabe5.2.6) die Waage halten. Wenn man es unter so extremenBedingungen noch als ideales Gas auffassen kann (inWirklichkeit verhält es sich in den Zentren der meistenSterne als Fermi-Gas), bedeutet das im Fall unserer Schätzungenvon einigen 109 bar für das Sonneninnere einfach,daß das Produkt von Temperatur und Dichte über 10 9 malgrößer ist als auf der Erdoberfläche, wo ein H-AtomgasQ = 1,3 · w-3 129 = 4,5 · 10-5 glcm 3 hätte. Ist die Dichteim Sonneninnern nur gleich der mittleren Dichte 1,4 g/cm\ so ist die Temperatur 4,5 · w- 5 · 1,4 · 10 9 ·300 ~ 107 K. Die Dichte ist im Zentrum viel größer; daswürde die Temperatur verringern, aber gleichzeitig nimmtaus dem gleichen Grund der Druck zu, und beide Einflüssekompensieren sich annähernd: Unsere Schätzung für T istrecht gut.5.2.8. Unser LuftmeerDer Luftdruck ergibt sich mit dem Hg-Barometer direkt imMittel zu 760Torr. Messung der Dichte vgl. Aufgabe 5.2.9.Ein berühmter einfacher Versuch zur angenäherten Bestimmungder Luftzusammensetzung ist dieser: Man läßt einenStoff, der sich gierig oxidiert, z. B. Phosphor, unter einerGlasglocke reagieren, deren Rand im Wasser steht. Die Reaktionerlischt, nachdem das Wasser fast ! des anfänglichenLuftvolumens ausgefüllt hat.5.2.9. M. Periers BergtourClermont-Ferrand, wo Paseids Schwager wohnte, liegt selbst400 m hoch. Der Anstieg um 1 060 m läßt Hg um ziemlichgenau 100 mm fallen. Pascal mag die Höhendifferenz auf1 000 m geschätzt haben und folgerte (unabhängig von denbenutzten Längeneinheiten), daß Hg 10 OOOmal schwererist als Luft. Die Dichte von Hg ergibt sich ganz einfachz. B. durch Vergleich mit Wasser im U-Rohr(Abschn. 3.1.4). Man erhält so für Luft den recht gutenDichte-Werte von 1,3 g/1.5.2.10. Hat Mt. Everest Luft?Hätte die Luft überall die Dichte wie am Erdboden, nämlichQ = 1,3 . 10-3 glcm3, dann könnte die Atmosphärenur die Höhe H = lkgcm- 2 1(1,3 ·10-3 gcm- 3 ) = 8kmhaben. Der Druck als das Gewicht der noch darüber lastendenLuftsäule nähme ab wie p = po(1- hiH). Nachder Gasgleichung müßte T genauso abnehmen: T =To(l- hiH). Schon auf dem Mont Blanc wäre es selbstim Sommer -150 °C kalt, auf dem Kilimandscharo wäredie Luft flüssig (falls sie wider Erwarten dort oben schwebenbliebe und nicht auf die Erde regnete), der Mt. Everest würdefast 1 km ins Vakuum ragen, über einem Meer aus 2 km tieferflüssiger Luft.