Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel13: Lösungen 1139masselosen Photonen über jede beliebige Entfernung ausgetauschtwerden können, allerdings unter immer schärfererBegrenzung ihrer Energie.13.1.2. OberflächenenergieDa die dichteste Kugelpackung nur wenig "Luft" läßt (ca.15 %), hat die Kugel, die aus A Kügelchen besteht, nur wenigmehr Volumen als A ·17rT3 ~ 41fR3, also den RadiusR~rA 1 1 3 , was für Kerne nach (13.10) gut zutrifft. Aufdie Oberfläche 47fR 2 dieser großen Kugel entfallen47rR 2 J ( u 2 ) ~ 4A 2 1 3 Querschnitte kleiner Kugeln; so vielevon den A Kugeln sitzen an der Oberfläche. Das gilt für großeA; für kleine A sitzen relativ mehr Kugeln außen, und esgibt keine so einfachen Formeln mehr. Im Innern wird jedeKugel von 12 anderen berührt, an der Oberfläche nur von 9(6 Kugeln sitzen rings um die betrachtete in einer Ebene, 3 in·der Ebene darunter, 3 darüber). Es gibt also 6A - 6A 213 Bindungenzwischen nächsten Nachbarn.13.1.3. Coulomb-EnergieEine Kugel vom Radius R und der Gesamtladung Ze hat,wenn sie homogen geladen ist, die LadungsdichteQ = Ze/(111R3). Wir betrachten eine Teilkugel vom Radiusr < R. Sie hat die Ladung Zer3 JR 3 . Setzen wir an sie. außeneine weitere dünne geladene Kugelschale von der Dicke dran, so wächst die Energie des Systems um die Wechselwirkungsenergieder Teilkugel mit der neuen Schale, d. h. umdW = 41fQr 2 dr Zer3 j(R347reor) = QZer 4 drj(e 0R3). FührenSie diesen Aufbau von r = 0 bis r = R durch; Sie erhaltenals Gesamtenergie W = fg dW = eZeR 2 j(5eo). Einsetzenvon Q liefert W = ~Z 2 e 2 /(47re0R). Das ist das 5. Glied in(13.13).13.1.4. Warum hat der Kern nicht mehr NeutronenIn einem Potentialtopf mit parabolischem Profil (Oszillatorpotential)sind die Energiezustände äquidistant angeordnet.Ihr Abstand sei Wo. In jedem Zustand der Protonenleiter habenzwei Protonen entgegengesetzten Spins Platz, entsprechendfür die Neutronenleiter. Ein Kern mit Z Protonenund N Neutronen (beide Zahlen seien z. B. gerade) fülltdie Protonenleiter bis zum Z/2-Zustand von unten auf, dieNeutronenleiter bis zum N /2-Zustand. Der i-te Zustandhat die Energie iW0 , also haben die Protonen insgesamtWp = 2Wo 2:~1 2 i = 2Wo(Z/2 + 1)Z/4 ~ WoZ 2 /4. Entsprechendergibt sich für die Neutronen Wn ~ WoN 2 /4. Die Gesamtenergieläßt sich darstellen W = Wp + Wn ~! Wo(N2 +Z 2 ) =! Wo(N + Z) 2 +! Wo(N- Z) 2 =! WoA 2 + i Wo(N­Z) 2 . BeiN= Z = A/2 wäre W = i WoA 2 ; jeder Überschußvon Protonen oder Neutronen führt zu einer umi Wo(N- Z) 2 höheren Energie. So kommt das sechste Gliedin (13.13) zustande. Der Vergleich zeigt, daß Wo = 8ry/ A; derPotentialtopf ist um so enger und damit ist Wo um so größer,je leichter der Kern ist.13.1.5. Im Tal der StabilitätOhne die Coulomb-Abstoßung der Protonen wäre nach Aufgabe13.1.4 ein Kern mit Z = N = A/2 energetisch am be-sten dran. In Wirklichkeit liegt das Optimum bei etwas kleinererProtonenzahl, nämlich da, wo die Energie (13.13) minimalist, also ihre Ableitung nach Z bei gegebenem A verschwindet:Wir benutzen die Abkürzungen r:x(mn- mp)c 2 = 0,78MeV (Massendifferenz zwischen Neutronund Proton 0,00084AME) und ß = 3e 2 /(201feoro) =0,639MeV (nach (13.10) ist ro = 1,2·10- 15 m). Dannwird für gu- oder ug-KerneW = mnc 2 A -r:xZ- 6eA + 6eA 2 13 + ßZ2 jA 1 13+ ry(A- 2Z) 2 /A.Die Ableitung nach Z bei konstantem A, also die Steigunglängs einer -45°-Linie im Z,N-Schema istawaz = -r:x + 2ßZ/A 1 1 3·- 4ry + 8ryZjA.Sie verschwindet beiA1 + r:x/(4ry)z = ZTai = 21 + A2/3ßj(4ry) .Allein aus der Tatsache, daß 2 §~U stabil ist, läßt sich ry sehrgenau ermitteln:also92 = 119 1 + r:xj(4ry)1 +A213ßj(4ry) 'YJ = 32,75ß + 1,1a = 21,7 MeV.Für eine Abschätzung von e genügt die Tatsache, daß dankder Definition der atomaren Masseneinheit (AME) praktischalle Nuklide die ganzzahlige Masse haben, die ihrer Nukleonenzahlentspricht, obwohl doch ein Nukleon 1,008 AMEhat; etwa 120 Nukleonen verbrauchen also eine volleAME als Bindungsenergie. Die Bindungsenergie pro Nukleonist also etwa 8 MeV. Genauer: 2 §~U hat die Masse238,05 AME, 238 Neutronenmassen wären 240,06 AME;Differenz 2,01 AME oder 1 870 MeV. Setzt man den obigenWert Z = ZTal in (13.13) ein, dann ergibt sich die Tiefe desEnergietals nach einigen UmformungenWTai = mnc2A- 6e(A- A213) + 1ßA213z.Die negativen Glieder müssen für A = 238 den Wert1 870 MeV haben. Es folgt e = 2,6 MeV.13.1.6. P-ZerfallNach Aufgabe 13.1.5 läßt sich die Gesamtenergie des Kernsdarstellen als W = f(A) - ( r:x + 4ry )Z + (ßA -I/3 +4ryA -I )Z2, wobei f(A) nicht von Z, nur von A abhängt.Das Profil des Energietals, geschnitten längs einer -45°-Liniemit A = const, verläuft also wie W = WTai + ( 4ryA -l +ßA- 1 13)(Z- ZTal) 2 , d.h. wie eine Parabel, die um so engerist, je kleiner A ist. Die Krümmung 2ßA -I 13 + 8ryA -I =1 ,28A -l/3 + 160A -I dieser Parabel wird unterhalb vonA = 1 400, also für alle Kerne, vom 160A - 1-Glied be-