Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 16: Lösungen 1185gig, könnte man einen, z. B. a 11 , aus den anderen kombinieren:an= 2:,;~/ c;a;. Wir wendenA hierauf an: Aan = },nan =},11 2:,7-l c;a; = L,';-1 c;},;a;. Die Differenz der beiden letztenAusdrücke 2:,7-I c;(A.n - },;)a; = 0 zeigt, daß schondie übrigen n - 1 Eigenvektoren linear abhängig sein müßten.So kann man einen Vektor nach dem anderen herausnehmen,und die übrigen müßten linear abhängig sein, sogar derallerletzte ganz allein, was absurd ist: Das ganze System dera; ist linear unabhängig, es spannt den ganzen n-dimensionalenRaum auf: Man kann jeden beliebigen Vektor aus ihnenkombinieren.16.1.4. Orthogonalität IIEine symmetrische Matrix hat a;k = aki· Die SkalarprodukteAx · y = '2:,; L,k a;kXkYi und x · Ay = '2:,; x; L,k a;kYk sinddann beide gleich. Nun seien x und y Eigenvektoren vonA zu verschiedenen Eigenwerten: Ax = A.x und Ay = flY·Auch hier ist Ax · y = x · Ay, also A.x · y = f1X · y. DaA. =f fl, ist das nur möglich, wenn x · y = 0: Die Eigenvektorenstehen senkrecht aufeinander.16.1.5. Hermitesche OperatorenWir betrachten fünf Operatoren: Aif = f + a, Azf = af,A3.f=xf, A4=8f/8x, Asf=JK(x,y)f(x)dx. Sinngemäßist unter A * die Addition oder Multiplikation mit demkonjugiert Komplexen zu verstehen. Ein Operator istlinear, wenn A(f+g) =Af+Ag. Für A 1 trifft das nichtzu, denn rechts würde sich die Konstante a zweimal addieren,links nur einmal. Die anderen Operatoren sind linear. A 1ist auch nicht hermitesch, denn A *j* · g = f* · g + a* g, aberj* ·Ag = j* g + aj*. Az ist hermitesch, wenn a reell. Für A 4betrachten wir den Ausdruck J j* g dx. Das ist ein bestimmtesIntegral und hat einen festen Wert, seine Ableitung nach x istalso 0: J(!* ßgjßx + gßj*jßx) dx = 0. Das sieht fast auswie die Definitionsgleichung eines hermiteschen Operators,wenn nur das Vorzeichen in der Mitte anders wäre.Das Vorzeichen ändert sich beim "Überwälzen" des Operators,d. h. beim Übergang zum konjugiert Komplexen, wennein i davorsteht A = iß / ßx ist hermitesch. Der IntegraloperatorA 5 ist hermitesch, wenn der "Kern" K(x,y) reell undsymmetrisch ist, d.h. K(x,y) = K(y,x) oder wenn K komplexist und K(x,y) = K*(y,x). Das ergibt sich, wenn mandie Bedingung für hermiteschen Charakter hinschreibt unddie Beziehung der Variablen beachtet. Eigenfunktionenvon A1 sind alle konstanten Funktionen, von Az alle Funktionen,von A3 die b-Funktionen, von A4 die e-Funktionen;für As sind keine allgemeinen Aussagen möglich, denn jederOperator läßt sich als Integraloperator darstellen.16.1.6. Entwicklung nach EigenfunktionenA sei hermitesch, habe also orthogonale Eigenfunktionenfbdie außerdem vollständig sein sollen. Dann läßt sich jedeFunktion rp entwickeln wie rp = L, cifk mit q = J; · rp.Durch Angabe der q ist rp vollständig gekennzeichnet.Diese Darstellung ist dieselbe wie für einen Vektor x (z. B.im dreidimensionalen Raum) mittels der Basisvektoren a 1,az, a3: x = L, ckak mit q = ak · x. Auch diese Darstellungwird nur so einfach bei orthonormaler Basis; andernfallswäre sie genau analog zu Aufgabe 16.1.2. Auch in Komponentendarstellungsind die Skalarprodukte von Funktionenund Vektoren völlig analog: !{!* · rp = L, qfk · L, dzfzL, qdk. x · y = L, Xkak · 2:_yzaz = L, XkYk. Wenn die !koder ak schiefwinklig sind, bleiben in !{!* · rpLk.l ckdzfk · ft ·alle Produkte stehen, nicht nur die diagonalen.·Arp = A 2:_ cdk = L, ckadk. wo ak der Eigenwert zu!k ist. Die Funktion Arp hat die Entwicklungskoeffizientenckak. Multiplikation mit A heißt Skalarmultiplikation mitdem Vektor der ak. Für ein anderes Orthogonalsystem gkgilt die Entwicklung tp = 2:_dkgko dk = gk · tp. Wir entwikkelnspeziell die Eigenfunktionen fk von A: fk = 2:, 1 bkzgz.Die Matrix bkz charakterisiert den Übergang von den fk zuden gk: Wenn die Funktion rp in der fk-Darstellung den VektorCk hat, ergibt sich in der gk-Darstellung der Vektord; = L, b;kCk·16.1. 7. Eigenwertbestimmung(1) Die Eigenwertgleichung Ax = A.x läßt sich auch schreibenAx - )x = (A - A.U)x = 0. Eine solche linear homogeneGleichung für x hat nur dann eine Lösung x =I 0,wenn ihre Determinante verschwindet: IIA- A.UII = 0. Füreine n x n-Matrix A ist das eine Gleichung n-ten Gradesin ). Sie hat nach dem Fundamentalsatz der Algebra genaun Lösungen, von denen allerdings einige komplex sein können.Diese Lösungen sind die Eigenwerte. A - A.U unterscheidetsich von A dadurch, daß von allen Diagonalgliedern}, abgezogen ist. Die übliche Form der Gleichung n-ten Gradeslautet so: Sn - Sn-1}, + ... + ( -l)n- 1 S1A.n-l +( -1 )" So},n = 0. Dabei ist Sv die "Spur v-ter Ordnung" vonA, d. h. die Summe aller zur Hauptdiagonale symmetrischliegenden Unterdeterminanten v-ter Ordnung. SpeziellSo = 1, S 1 = L, au, Sn = IlA II· Praktisch ist die Aufstellungder Gleichung n-ten Grades n nicht so schwierig wie ihreLösung. Für Spezialfälle gibt es Abkürzungsverfahren.(2) Es sei Ax; = x;+ 1, der Betrag lx:+ 1 1 = 2;+ 1, alsox;+I = Ai+IXi+[, woxi+I normiert ist. Wenn sichx; und damitA; bei der erneuten Anwendung von A nicht mehr wesentliehändern, kann man näherungsweise den Index weglassenund erhält die Eigenwertgleichung Ax = A.x. Hat man einenEigenwert, kann man die Ordnung der Matrix um 1 reduzierenund die anderen Eigenwerte nach dem gleichen Verfahrenbestimmen. Auf dem Papier ist die Multiplikation Ax vontödlicher Kompliziertheit, Computer machen sich nichts darausund finden Methode 2 viel einfacher als 1.16.1.8. Hilbert-RaumDie betrachtete Funktionenmenge muß quadratisch integrierbarsein, d. h. das Skalarprodukt f* · g = J j* g dx muß fürjede Kombination J, g einen vernünftigen Wert haben. DerNachweis, daß eine solche Funktionenmenge existiert undsich angeben läßt, ist allerdings ein erhebliches mathematischesProblem. Dann aber sind die angegebenen Axiomedes Vektorraums alle erfüllt, wie man durch Hinschreibensieht. Dabei ist gleichgültig, ob man die Menge aller Funk-