Lösungen zu den Aufgaben - Springer

..Kapitel 2: LösungenIIII111029allem, die Rollenachse als Drehachse zu betrachten; dadurchwird alles viel schwieriger. Momentane Drehachse ist dieVerbindungslinie der beiden Punkte, wo die Rolle den Bodenberührt. Zieht man unter einem zu steilen Winkel,dann läuft die Verlängerung des Fadens unterhalb dieserDrehachse vorbei, und der Zug am Faden erzeugt ein Drehmoment,das die Rolle nach hinten, weiter unter das Bettdreht. Man muß so flach ziehen, daß diese Verlängerungoberhalb der Drehachse läuft. Bei sehr voller Rolle ohne erhöhtenRand ist der kritische Winkel oft sehr klein. Dannkann man notfalls etwas abwickeln, bis die Rolle gehorsamerwird.2.2.2. Wer dreht den Kerl?Sobald er die Kreiselachse schwenkt, empfindet der Mannein Drehmoment, das sehr groß werden und ihn vomSchemel werfen kann, wenn er diese Schwenkung zu plötzlichmacht und der Kreisel sehr massiv ist und sehr raschrotiert. Das entgegengesetzte Drehmoment wirkt nach demReaktionsprinzip auf den Kreisel selbst. Die entsprechendenKräfte sind dieselben, die den Kreisel senkrecht zu seinerDrehachse und der beabsichtigten Schwenkrichtung ausweichenlassen. Der Mann muß also nicht hochdrücken, sondernkräftemäßig so tun, als wolle er die Achse in einer horizontalenEbene schwenken, wodurch er sich selbst in Drehungversetzt. Der entsprechende Drehmomentvektor steht z. B.im ersten Augenblick, wo die Kreiselachse noch waagerechtliegt, in Richtung der Schemelachse, allgemein immer senkrechtzur Kreiselachse. Daher hat dieses Drehmoment keinenEinfluß auf den Drehimpuls des Kreisels selbst um seineAchse. Die Rotationsenergie, die der Mensch aufnimmt, beziehter aus der Arbeit seiner Muskeln, mit denen er sich vonder Kreiselachse abdrückt.2.2.3. Motor-DrehmomentDreharbeit= Drehmoment· Drehwinkel, also Leistung=Drehmoment· Winkelgeschwindigkeit, ganz analog wiesich bei Translation Leistung als Kraft · Geschwindigkeitergibt. l U/rnin entspricht w = 21ri60 = O,l05s- 1 , alsogibt ein Motor der Leistung P (in W) ein DrehmomentD = Plw = 60PI(2Kf) Nm= 9,5PifNm her. l PS=736Nmls = 736W, also mit P in PS: D = 7026PifNm.Ein 40 PS-Motor zieht bei 3 000 U/min mit 100 Nm, könntealso beim Übersetzungsverhältnis l ein l 000 kg-Auto mit0,4 m Reifenradius nur eine Steigung von 2,5% hochziehen.Selbst der 4. Gang ist also offenbar etwa 3mal untersetzt,der 1. mehr als lümal, wenn er allen Alpenpässen gewachsensein soll. Jede Übersetzung durch Getriebe, Riemenoder einfach durch Radienänderung läßt, bis auf Reibungsverluste,die Leistung unverändert (Energiesatz!), kannaber Drehzahl und Drehmoment in entgegengesetztemSinn ändern.2.2.4. LuftauftriebDie Laborluft (20° C) hat die Dichte 12L = 1,21· 10-3 glcm 3 •Hat das Wägegut die Masse m und die Dichte Qw gl cm 3 , soist sein Gewicht um den Auftrieb mggLfQw, das derMessinggewichte um mg(!LI r!M verringert. Für jedesGramm, das die Waage anzeigt, muß man also 11m =1,21(llr!w- 1lr!M) Milligramm dazuzählen, z.B. beiQw = 1 glcm 3 :11m Im= 0,97 mg/g.2.2.5. SchwungradDie speicherbare Energie ist W = ~Jw 2 , also mit dem Trägheitsmoment1 = ~ MR2 für eine homogene KreisscheibeW = !MR 2 w 2 . Die zulässige Umfangsgeschwindigkeitv = Rw ist nach Aufgabe 3.4.2 durch die Zerreißfestigkeita0 des Materials bestimmt: gv2 :::::: a0 • Die spezifische Speicherfähigkeitergibtsich also als W IM :::::: ! ao I Q und ist somiterstaunlicherweise umgekehrt proportional zur Dichte.Kunststoffe mit der Zerreißfestigkeit von Stahl, wie mansie heute herstellen kann, speichern also mehr als fünfmalbesser als Stahl, nämlich mehr als 10 5 J/kg (ao =10 9 Nlm 2 ). Ein Bleiakku von 12 V, 90 Ah, der ca.1 kWh = 3,6 · 106 J enthält, wiegt 20 kg, speichert also nichtbesser als das Schwungrad. Ein 200 kg-Schwungrad kann4 · 10 7 J speichern, was bei dem nur 20%igen Wirkungsgraddes Ottomotors ca. 51 Benzin (Brennwert 3,7 · 10 7 J/kg)gleichwertig ist, also einen PKW ca. 50 km weit treibenkönnte, bevor an der nächsten Station "aufgetankt" wird.Die einzige Schwierigkeit liegt in der Sicherheit: Wer willein Ding unter der Kühlerhaube haben, das, wenn esplatzt, Masse und Geschwindigkeit einer Granate hat? DieSchwungradachse muß senkrecht stehen, sonst erlebt manÜberraschungen beim Kurvenfahren, d. h. beim Schwenkender Achse.2.3.1. Standfeste DoseWährend der Bierspiegel (Höhe h) von "ganz voll" (h = H)auf "ganz leer" (h = 0) sinkt, fällt gleichzeitig der Schwerpunktder ganzen Dose von h = H 12 auf einen zu bestimmendenMinimal wert, kommt aber für die leere Dose wiederbei H 12 an. Es muß also einen Füllungsgrad geben, wo derSchwerpunkt gerrau im Bierspiegel liegt. Der Verdacht liegtnahe, daß diese Koinzidenz etwas Besonderes bedeutet, vielleichtsogar die gesuchte tiefste Schwerpunktslage. Wir prüfendiese Vermutung und stellen uns dazu vor, das Bier seigefroren, so daß man die Dose auf die Seite legen undden Schwerpunkt durch Balancieren auf einer Messerschneidebestimmen kann, sagen wir, mit dem gefüllten Teil derDose rechts. Betrachten· wir den Zustand, wo der Schwerpunktim Bierspiegel liegt. Fügen wir etwas Biereis hinzu,so wird die Dose links schwerer und kippt nach dort: DerSchwerpunkt ist nach links (d. h. für die stehende Positionnach oben) gerutscht. Nehmen wir etwas Bier weg, sowird sie rechts leichter und kippt ebenfalls nach links: DerSchwerpunkt ist wieder nach oben gewandert. Damit istdie Minimumeigenschaft des betrachteten Zustandes bewiesen.Wenn man so viel weiß, kann man die Höhe des tiefstenSchwerpunkts sofort angeben, sobald man das Massenverhältnisvon voller und leerer Dose hat. Zum Beispiel:mv = 400 g, mr = 100 g. Der Schwerpunkt der leeren Doseliegt bei H 12, der des Bierrestes bei hl2; diese Restfüllung