Lösungen zu den Aufgaben - Springer

=117 4 Lösungen zu den Aufgabenmißt. Das ist aber für praktische Größenordnungen von vvöllig identisch mit dem experimentellen Ergebnis.15.2.8. Transversale BeschleunigungB habe die Geschwindigkeit v relativ zu mir. B beschleunigteinen Körper K, der in B's System zunächst ruht, so daß B umseine Zeit !lt' später für K die Geschwindigkeit ßw mißt, alsoeine mittlere Beschleunigung a' = ßw Ißt'. Da w l_v, messeich den gleichen zurückgelegten Weg ßs, aber meine Zeitdifferenzist anders: ßt = M'(1- v21c2 )-lf 2 . Also messe ichdie Beschleunigung a = 2 ßs I ßt 2 = a' ( 1 - v2 I c 2 ).15.2.9. ZyklotronWenn man einem Teilchen im Zyklotron Energie zuführt,wächst seine Masse und damit auch seine Umlaufsperiodeim konstanten Magnetfeld. Die Teilchen fallen dann immermehr außer Takt mit dem auf ihre Ruhmasse mo abgestimmtenelektrischen Wechselfeld. Bei einer Masse von 2mo wäredie Periode verdoppelt, und das Teilchen würde, wenn es aufder einen Seite das Feld in der zur Beschleunigung richtigenPhase vorfindet, auf der anderen Seite um ebensovielgebremst werden. m = 2m0 bedeutet W = mc 2 = 2m0c 2 ,also Wkin = moc 2 . Bei Protonen tritt das ein fürWkin = 930 MeV. Natürlich wird aber die Beschleunigungschon erheblich früher praktisch unmöglich. Weiter kommtman, wenn man die Frequenz des elektrischen (oder die Stärkedes magnetischen) Feldes genau der Massenänderung eineseinmal eingeschossenen engbegrenzten Teilchenbündelsfolgen läßt (Synchro-Zyklotron). - Elektronen lassen sichnach dem einfachen Zyklotronprinzip nur auf wenig über100 ke V bringen.15.2.1 0. ElektronengeschwindigkeitDie kinetische Energie der Elektronen mit der BeschleunigungsspannungU ist eU und kommt zur Ruhenergie m 0c 2hinzu. Beide zusammen ergeben W = mc 2 = moc2 IJl - v 2 I c 2 = moc 2 + eU. Auflösung nach v I c ergibtV1 - 1 I (1 + eU I (moc2 ) ) 2 . Man könnte dies direkt ausrechnen,aber einfacher ist der trigonometrische Pythagorassin a = v' 1 - cos2 a. Man faßt also den Bruch unter der großenWurzel als Quadrat eines Cosinus auf und braucht nurnoch den zugehörigen Winkel und hiervon den Sinus, dervlc ergibt.15.2.11. Kernenergie1 mol = 235,1 g spaltbaren Materials zerfällt in 137,95 +93,93 + 3 · 1,008 = 234,9 g Spaltprodukte. Der Rest, d. h.0,2 g oder ca. 111 000 der Ausgangsmasse, sind in Energieverwandelt worden. Pro kg spaltbaren Materials sind das9 · 10 13 J. Ein Ozeandampfer mit 40000PS normaler Maschinenleistung("United States") könnte damit mehr als einenMonat fahren, ein Großkraftwerk von 1 000 MW könnteeinen Tag betrieben werden. Verglichen mit der gleichenMenge besten chemischen Brennstoffs liefert das Uranüber 106mal mehr Energie.Fusion: 6,5 g Massenverlust pro kg, also fast um eineZehnerpotenz mehr Energie als bei der Spaltung.Vollständige Vernichtung liefert den 1 OOOfachen Energieinhalt,verglichen mit der Spaltung.15.2.12. Wie lange lebt die Sonne?Die gesamte Energieabstrahlung ist (1,4kWim 2 ) . 47r .(1 ,5. 10 11 m) 2 = 4 · 10 26 W. Dem entspricht ein Massenverlust5 · 109 kg/s. Die gesamte Sonne hat 2 · 10 30 kg. Bei vollständigerVernichtung würde das für 10 13 a vorhalten. InWirklichkeit handelt es sich aber um Fusionsreaktionen,die nur knapp 1% der Masse zerstrahlen (vgl. Aufgabe15.2.11). Die Sonne kann demnach höchstens !Oll Jahreauf so großem Fuße leben wie jetzt (nach den heutigen astrophysikalischenTheorien wird sie ihre Ausgaben sogar "bald"wesentlich steigern). Von dieser Lebensdauer hat sie schoneinen merklichen Teil hinter sich, denn schon die feste Erdkrusteist mindestens 4 · 10 9 Jahre alt. Entsprechend muß dieSonne, selbst wenn sie anfangs aus reinem Wasserstoff bestandenhätte, schon mindestens 10% davon in Helium verwandelthaben.15.2.13. EnergiesatzAus (15.11) und (15.13) eliminiere man v (es sollen ja, außerm 0 und c, nur W und p übrigbleiben). Man erhält sofort(15.14). Oder, rechnerisch einfacher: Man verifiziert(15.14), indem man es quadriert und mit (15.11) und(15.13) vergleicht. Die Näherung für p 2 « m5c 2 , d. h.v « c, lautet W;:::, moc 2 + ~p 2 lmo. (1. Glied der Binomialreihemit n = ~); für p 2 » m§c 2 , oder v 2 lc 2 » 1- v 2 lc 2 ,ergibt sich W = cp, wie z. B. für die Photonen.15.2.14. Pion-ZerfallWenn die Pion-Ruhmasse von 273me = 139,6MeV in dieMyon-Ruhmasse von 207me = 105,7MeV übergeht (dasNeutrino hat keine Ruhmasse), wird der Rest von33,9 MeVals kinetische Energie frei. Der Impulssatz fordertentgegengesetzt gleiche Impulse von J1 und v (das Pion ruhteja!): IP 111IPvl· Der Energiesatz lautetw" = m1fc 2 = wfl + Wv = Jm~c4 + c 2p~ + CPv= Jm~c4 + c 2p~ + cp11oder, nach p 11 aufgelöst: p 11 =! (m;- m~)clm". Also2 2m"- mfl 2Wv = c = 26,7MeV,2m"2 2m"+mfl 2W 11 = c = 109,8MeV.2m"Wv ist reine kinetische Energie. Beim Myon ist Wkin =W 11 - m 11 c 2 = 4,1 MeV. Auf Grund der auffälligen Myonenenergievon 4,1 MeV wurde das Pion überhaupt erst entdecktund seine Masse bestimmt (Powell, Occhialini, 1947).Nichtrelativistisch: Wenn man die angegebenen Massenwerteanerkennt, müßte man folgern, daß das Zerfallsmyonruht, da eine Masse 0 wie das Neutrino weder Energie nochImpuls aufnehmen kann. Eigentlich müßte man aber aus den