Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1042 Lösungen zu den Aufgabenzur Geraden, usw. Wenn g(x) flacher als 45° steigt oder fällt,z. B. g(x) = A.cosx mit A. < 1,31916, führt eine Treppe bzw.Spirale zum Schnittpunkt. Anderenfalls gibt es drei Möglichkeiten:Die Werte können ins Unendliche entweichen, siekönnen zwischen zwei oder mehr Punkten periodisch zirkulieren,oder sie können scheinbar regellos variieren. Jedenfallskonvergiert dann das Verfahren mit der Urnkehrfunktion,denn wenn g(x) steiler ist als 45°, ist g-1, das Spiegelbild,flacher als 45°, dort wo sich beide auf der 45° -Spiegelgeradenschneiden. Für A. > 2,97169 schneidet die Geradexj A. die cosx-Kurve nicht nur zweimal bei ±x, sondernmindestens sechsmaL3.4.1. TorsionEin Quarzglasfaden von 2 J.lm Dicke und 2 m Länge ergibt beieinem Torsionsmodul G = 3,3 · 10 10 Njm 2 eine Richtgrößen... = 1. 1 5 · 3 3 · 1010 · 10-24 Nm= 2 5 · 10-14 Nm EinLJK 2 ' ' ' .solcher Faden hält maximal etwa 0,2 N, tatsächlich aber wegender immer vorhandenen Oberflächenverletzungen nuretwa 0,01 N aus. Ein Spiegelscherbeherr von 0,3 mm Dickeund 2 mm Länge und Breite, auf diesen Faden geklebt, hatein Trägh~itsmoment .1 ~ 10- 1 ~ 2 . Das System führtDrehschwmgungen rmt w= yiDR/1~0,16s- 1 , T~40saus. Für eine Messung der Brownschen Drehbewegungkönnte man das Spiegelehen auch größer und damit T längermachen, denn das mittlere Ausschlagsquadrat bei gegebenermittlerer Rotationsenergie hängt vom Trägheitsmoment nichtab (vgl. Aufgabe 5.2.21). Bei der Rayleigh-Scheibe ist esdagegen wichtig, daß die Scheibe möglichst klein ist, dennum so kürzere Ultraschallwellen kann man messen (vgl.Abschn.4.5.1). Bei der Gravitationswaage kann man mitviel dickeren Metalldrähten arbeiten (vgl. Aufgabe 1.7.4).3.4.2. ZerreißgefahrDie Bruchlinie der Länge L, die ein potentiell abreißendesTeilstück vom Restkörper abtrennt, ist einer Zentrifugalkraftw 2 mr und einer mittleren Spannung (J ~ w 2 arA/ Lausgesetzt(m, A Masse und Fläche des Teilstücks, r Achsabstand seinesSchwerpunkts). Am größten wird dieser Wert für einenDurchmesser: (J ~ !w 2 R 2 Q = !v 2 Q. Für Stahl von(J = 7 · 108 N jm 2 wird Vzul ~ 300 m/s. Oberhalb vonv = 100 m/s sollte man aber schon in Deckung gehen3.4.3. Härte und SprödigkeitEin hartes Material hat eine steile Spannungs-Dehnungs­Kurve, d. h. großes E. Ein duktiles Material verträgt vielDeformation, seine Spannungs-Dehnungs-Kurve lädt alsoweit nach rechts aus. Beide Merkmalspaare sind begrifflichund tatsächlich gut kombinierbar: Glas, Grauguß sind hartspröde,o:-Eisen ist hart-duktil, Blei weich-spröde, Holzweich-duktil. Zur vollständigeren qualitativen Kennzeichnungder Kurve braucht man mehr Merkmale. Zum Beispielsind V2A und Federstahl etwa gleich hart (E) und gleich fest((Jp), aber die Bruchdehnungen sind sehr verschieden. Offenbarist V2A weit über die Proportionalitätsgrenze hinausdehnbar, Federstahl nicht.3.4.4. Elastische DämpfungHebt man die Belastung (J 0 ,005 , die der Elastizitätsgrenzeentspricht, wieder auf, dann geht die Dehnung definitionsgemäßnicht auf 0, sondern auf 5 · 10-5 zurück. DieHysteresiskurve für Belastungen wechselnden Vorzeichensbis (Jo,oos hat also ungefähr die Fläche dl'f ~2 · 2 · 5 · 10-5 ·! · (Jo,oos. Diese Fläche gibt die Energie an,die in der Volumeneinheit beijedem vollständigen Durchfahrender Kurve, also z. B. bei jeder Schwingungsperiode inWärme übergeht. Die Gesamtenergie pro Volumeneinheitder Schwingung ist gleich der Dreiecksfläche '1 =!(Jo,oosbE (bE: Dehnung an der Elastizitätsgrenze). Energieverlust/Gesamtenergiegibt den doppelten Dämpfungsfaktor(den doppelten, weil die Energie durch das Amplitudenquadratgegeben wird): (j = !Ll.l'f/'1 = 10- 4 /bE. Für den Stahlvon Abb. 3.79 folgt()~ 5 · 10-3 .3.4.5. BalkenbiegungAusgehend von (3.70) kann man sofort das Profil angeben,das der Balken unter der Last F annimmt. Sei y die Auslenkungnach unten, x der Abstand vom Balkenende. Dann istdie Krümmung y"(x), denn die Neigung y' ist so klein, daßman sie im Nenner des vollständigen Ausdrucks gegen die 1vernachlässigen kann. Also y" = 1/r = Fx/(o:Ed3b). Integrationliefert,__F (r A)y - o:Ed3b 2 +An der Einspannstelle sind y = 0 und y 1 = 0. Damit ergibtsichF (x 3 L 2 L 3 )y= o:Ed3b 6-2x+3 'speziell für das Ende (x = 0): y = FL3 /(3o:Ed3b).3.4.6. FernsehturmDer Widerstand gegen Verbiegung und Bruch wird überwiegendvon den Außenzonen des Balkens geleistet, und zwarnach Maßgabe des Quadrats des Abstandes von der neutralenFaser. Es kommt auf das "Flächenträgheitsmoment"I = J J x2 dx dy an. Für den Rundstab ist I "' R 4 , wie manam schnellsten sieht, wenn man das Integral in Polarkoordinatenschreibt. Vollständig I= !7IR4. Beim Rohr, AußenradiusR, innen r, fehlt innen ein Rundstab mit r, alsoI "' R 4 - r 4 . Das Rohr mit r = R/2 ist nur um 6% gegenüberdem Vollstab mit R geschwächt. Ein Rohr mit 2 cmDurchmesser und nur 1,7 mm Wandstärke ist immer nochhalb so fest wie ein 2 cm-Vollstab. Das geringere Eigengewichtdes Rohrs gleicht in vielen Fällen den Festigkeitsverlustmehr als aus. Auch bei der Verdrillung gelten die gleichenVerhältnisse, denn auch hier sind Rückstellmoment undBelastbarkeit proportional zu R 4 .3.4.7. BrückeDer Balken bricht, wenn und wo seine Krümmung den Wertüberschreitet, der der Bruchdehnung (oder Bruchstauchung)der Randzone entspricht. Sägt man den beiderseits eingespanntenBalken in der Mitte durch und macht den Säge-