Lösungen zu den Aufgaben - Springer

IIII1192 :: Lösungen zu den Aufgabenbeim Verschwinden der Störung H' in einen bestimmtenBasiszustand, z. B. inf1 überginge. Dann wird CJ viel größersein als alle anderen q, und noch praktisch c 1 = 1. Links in(L. 8) bleibt dann nur jeweils das Glied mit k = 1 stehen,also für i=l: H; 1c1=(W-s!)c1, d.h. W=s1+H; 1(die Verschiebung des Eigenwertes ist gleich der StörungH', gemittelt über den ganzen Zustand ft) und für i =/= 1:c; = H! 1 / (W- B1) (die Beiträge der anderen Basisfunktionenwachsen mit dem Kopplungsglied H! 1 und mit abnehmendemenergetischen Abstand der Zustände i und 1).Wenn die Zustände von Ho entartet sind, d. h. mehrere fkzum gleichen Eigenwert gehören, zeigt schon das Nullwerdendes Nenners, daß man etwas anders verfahrenmuß. Höhere Näherungen baut man durch sukzessive.Approximation auf, indem man jeweils die vorige Näherungin (L. 8) einsetzt.16.4.3. AbsorptionEine Störung wie das elektrische Feld einer Lichtwelle istdurch ein orts- und zeitabhängiges Zusatzpotential U' zubeschreiben, z. B. für eine harmonische, in x-Richtung polarisierteWelle U' = -eAxeiwr. Der ungestörte Rarnilton­Operator Ho hat die Eigenfunktionen fk(r, t) = gk(r) eiwkrmit wk = Wk/n. Er erweitert sich jetzt zu H =Ho+ U'.Wir bauen den gestörten Zustand ausden fk auf:t/1 = .2::: ckfk· In die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung-int/1 = (Ho+ U')t/1 eingesetzt und mit !;* linksmultipliziert,gibt das -inc1 + nw;c; = W;c; + l::kf;' · U'fkCk oder'. _ 't.-1 '"""'u' i(Wk-Wi+w)tc, -ln 6 ike Ckkmit dem Matrixelement u;k = g7 · U' gb das nur die räumlichenAnteile von f;,fk und U' enthält (die zeitlichen stekkenim e-Faktor). Vor dem Einschalten des Lichtes sei dasSystem im Zustand !1 gewesen, d. h. alle c; waren 0, außerCJ = 1. Dann vereinfacht sich die Summe zu c; =in-1 u;l ei(w!-Wi+w)t. Wenn w =I= W; -Wj' istC; eine periodischeFunktion mit dem Zeitmittel 0. Deshalb bleibt c;, abgesehenvon sehr kurzzeitigen Schwankungen, immer 0.Bei w = w;- w 1 dagegen ist der e-Faktor immer 1:c; = in-1 U! 1 • In diesem Resonanzfall wächst c; linear mitt an, falls U! 1 =/= 0. Das trifft zu, wenn die beteiligten Funktioneng; und g 1 in der Feldrichtung, d. h. hinsichtlich der y, z­Ebene verschiedene Spiegelsymmetrie haben (Abb. 16.16).So ergeben sich die Auswahlregeln für Dipolstrahlung, speziell!= ± 1 für Elektronen im zentralsymmetrischen Feld. Indieser Theorie und ihren Verfeinerungen stecken noch vieleandere Züge der Lichtabsorption, der Raman-Streuung usw.16.4.4. NH 3 -UhrIm N-Atom mit der Elektronenkonfiguration Is2 2s2 2p3 besetzendie drei 2p-Elektronen nach der Hund-Regel die ZuständePx, Py• Pz mit ihren paarweise senkrechten t/1-Keulen.Ein einwertiger Bindungspartner mit der gleichen ElektronegativitätwieNwürde die Ecken einer dreiseitigen Pyramidemit 90°-Winkeln an der Spitze einnehmen. H ist elektropositiverals N, also wird sein Elektron etwas zum N hingezogen,und die Coulomb-Abstoßung spreizt die drei Bindungsrichtungen,ähnlich wie beim H20. Beide Molekülesollten ähnliche Dipolmomente von der Größenordnunge ·1 A ~ 1,6 ·10-3°Cm haben. Man mißt für H200,6 · 10-30, für NH3 0,5 · 10-3° C m. - Eine Frequenz von24GHz, also ein Energieabstand W = 1,4 · 10-23 J ~10- 4 e V ist für einen Elektronenübergang viel zu klein.Für di~. Rotation erwartet man ein Träfheitsm~ment J vonder Großenordnung mr2 ~ 1 o-47 kg m , also eme EnergiestufeTi 2 /(21) ::::o 10-21 J. Wir deuten die 24 GHz als Frequenzfür das Durchschwingen des N durch die H3-Ebene.Hierbei kehrt sich das Dipolmoment um, der Übergang istalso optisch sehr aktiv (sein U! 1 ist sehr groß, Aufgabe16.4.3). Die entsprechende Energie hv ~ 10-4 eV muß dasStörglied H12 = H2 1 von Aufgabe 16.4.1 darstellen. Umdiese Energie ist der symmetrische Zustand nach unten,der antimetrische nach oben verschoben. Im konstanten elektrischenFeld E in Richtung der Molekülachse verlieren diePotentialtöpfe ihre Symmetrie: H11 = Ho + pE, Hn =Ho - pE. Die Form des Potentialwalls zwischen den Töpfendürfte vom Feld nicht wesentlich beeinflußt werden, daherbleibt H12 = H21 = H'. Die Eigenwertgleichung muß allgemeingelöst werden:I Ho + pE - W H' I = 0H' Ho -pE- W .Man erhältW =Ho± vH' 2 + p 2 E 2 ::::o Ho± (H' +! p 2 E 2 jH')für erreichbare Felder E ~ H' jp. Ein NH 3-Molekülstrahlspaltet in einem starken transversalen Feld in zwei Teilstrahleuauf: Moleküle mit den beiden Einstellungen des Dipolmomentswerden verschieden abgelenkt. Der eine Teilstrahl,bei dem z. B. die N alle "oben" sind, kann durcheine Blende in ein Wechselfeld geleitet werden, das mit24 GHz schwingt und dadurch Übergänge in den anderenPolarisationszustand abruft. Die 24 GHz werden so nachdem Maserprinzip verstärkt. Die Schärfe der Resonanzwird von pE bestimmt, denn Ii/ (pE) ist die mittlere Lebensdauereines Zustandes und damit die reziproke Breite derResonanzlinie (Abschn. 12.2.2). Um die letzte Aussage zubeweisen, müssen wir die Theorie der Übergänge (Aufgabe16.4.3) anwenden. Im Wechselfeld E = Eo e'wr erfolgenÜbergänge gemäß c; =in-] L:k u:kqei(wk-Wi+w)t. U' istdas Potential des Wechselfeldes, in u; 1 ist es über die Elektronenverteilungdes Moleküls gemittelt, also u; I = pE, entsprechendu; 2 = -pE. Dagegen u; 2 = u; 1 = 0, denn hierwerden zwei t/1-Funktionen, die spiegelbildlich zur y, z­Ebene sind, mit x multipliziert. In der Resonanz, d. h. fürw = w 1 - w 2 wird der e-Faktor 1, also c; = in- 1 pECJ. DieBesetzungen der beiden Zustände schwingen tatsächlichmit der Frequenz w' = pE. Die relative Breite der Resonanzist11wjw ~ pEjH1• Bei E = IOV/m folgt11wjw ::::o 3. 10-5 .Schon viel kleinere Verstimmungen machen sich durch Lei-