Lösungen zu den Aufgaben - Springer

IIII1156 : : Lösungen zu den Aufgabenum, in dem die Phasengeschwindigkeit des Lichts kleiner istals seine eigene. Tscherenkow-Strahlung verzehrt aber Energie;das W des Tachyons nimmt ständig ab, sein v nimmt zuundzwar beschleunigt, denn je höher die Überlichtgeschwindigkeit,desto stärker die Tscherenkow-Strahlung - d. h. dasTachyon wird im Umsehen unendlich schnell! Feynman hatgeargwöhnt, es könne Tachyons geben, und in mehrerenBeschleuniger-Labors sucht man allen Ernstes nach ihrenSpuren. Trotz ihrer imaginären Ruhmasse können übrigensdie Tachyonen dmchaus eine positiv-reelle Massem = mo I J 1 - v2 I c 2 haben, brauchen sich also nicht "eselhaft"zu verhalten (vgl. Aufgabe 13.4.20).13.4.22. Back in timeIn ein x, t-Diagramm, wie üblich mit vertikaler t-Achse,zeichne man ein "N", das die Jetzt-Achse mit allen drei"Beinen" schneidet. Nach Wheeler-Feynman gelesen, stelltdas zwei e- und eine+ (oder umgekehrt), eine Paarbildungin der Vergangenheit, eine Paarvernichtung in der Zukunftdar. Die Knicke mit ihren abrupten Beschleunigungen erfordernnatürlich Beteiligung von Photonen. Durch Verlängerungder Zickzacklinie kann man beliebig viele Elektronenund Positronen "machen", allerdings immer in gleicher Anzahl(evtl. bis auf eines). Die Positronen, die man nicht sieht,sind dann vielleicht in den Protonen versteckt. Ein in der Zeitrückwärts laufendes Elektron sieht z. B. eine positive Ladung."Da muß ich hin", sagt es sich, und tut das auch.Für uns aber, die den Film seines Verhaltens in umgekehrterRichtung sehen, entfernt es sich von der+ -Ladung, als ob esselbst positiv wäre, und zwar mit genau der Beschleunigung,die der Elektronenmasse entspricht: Es verhält sich wie einPositron.13.4.23. Quark confinementMindestimpuls nach der Unschärferelation p:::::! hlr, Mindestenergiefür relativistische Teilchen W = pc:::::! hclr.Eine Kraft, die auf dem Abstand r diese Energie vernichtet,ergibt sich aus For = W zu Fo:::::! hclr2 . Da nach(13.11) r:::::! hl(mc), kann man auch schreibenFo :::::! m 2 c 3 lh. Dies ist die einzige Kombination von h, c,m mit der Dimension einer Kraft. Wollte man die Teilchendurch einen "Gummibeutel" vom Radius r zusammenhalten,müßte dieser einen Wanddruck Folr 2 :::::! m 2 c 3 l(hr 2 ):::::! m 4 c5 1 h 3 aushalten. Auch dies ist die einzige Kombinationvon der Dimension eines Druckes. Die Schallgeschwindigkeitals Wurzel aus Druck/Dichte mit der Dichte mlr 3wird gleich der Lichtgeschwindigkeit.13.4.24. Bohr-Modell für QuarksGleichgewichtsbedingung: Zentrifugalkraft mw 2 r = Fo.Drehimpulse müssen ganzzahlige Vielfache von li sein:mwr2 = nn. Daraus folgt w = nlil(mr 2j, in die Gleichgewichtsbedingungeingesetzt Fo = n 2 Tz l(mr 3 ), also r =jn2li 2 l(mFo). Die potentielle Energie ist Wpot = For =\J n2li 2 FÖim. Vergleich mit (13.11) liefert sofortv = wr = nli I ( mr) :::::! c, also bewegen sich die Teilchen relativistisch.Sie können so leicht sein wie sie wollen, ihreMasse und die des Mesons sind überwiegend kinetischund potentiell: m = W I c2 (man beachte: Wpot ist hier vomZustand r = 0 aus positiv zu rechnen, nicht negativ wieim Coulomb-Feld von r = oo aus). Setzt man einfachWpot = mc 2 (die kinetische Energie ist von gleicher Größenordnung,wie im Coulomb-Feld), so folgt mc 2 =(nliF 0 ) 2 1 3 m-113, also mn = )nnFoc3. Zahlenmäßig: mn:::::!7 · w- 28 kg vfn, was die richtige Größenordnung hat. DieVii-Abhängigkeit ist ganz gut erfüllt. Man sieht das, wennman den Dreiergruppen in der Tabelle die n-Werte 1, 2, 3oder 0, 1, 2 zuordnet und entweder die Massen betrachtet,gegen die die drei Massenfolgen offenbar konvergieren(:::::! 1,:::::! 1,5, 1,8), oder die Masse des ersten Gliedes abzieht.13.4.25. Dipolkräfte IIm Atom hat i. allg. der Zustand die geringste Energie, in demdie Elektronen gleiche Spins haben, sofern das Pauli-Prinzipdas zuläßt (Hund-Regel). Als parallele Kreisströme aufgefaßt,müssen ja Elektronen mit parallelen Drehachsen einanderanziehen. Bei den Quarks im Meson ist es umgekehrt,denn Quark und Antiquark hab(m komplementäre Farben,ebenso wie ein Quark und die beiden anderen im Baryon.Alle Hadronen sind ja "weiß". Es ist so, als enthielte einAtom ein Elektron und ein Positron. Dieses System hat beiantiparallelen Spins die kleinste Energie, denn dann rotiertdie Ladung in beiden Kreisströmen entgegengesetzt wiedie Antiladung im anderen, d. h. beide Ströme sind wiederparallel. Dieser Spinimpuls ist natürlich zu unterscheidenvon dem in der vorigen Aufgabe behandelten Bahnimpulsder Quarks. Die Massenaufspaltung zwischen 2. und 4.Spalte der Tabelle 13.12 entspricht der Feinstruktur-Aufspaltungder Elektronenzustände. Mit wachsendem n (nach untenin jeder Dreiergruppe) wird sie immer kleiner, weil der Abstandrn zwischen den Quarks größer wird, also die "farbmagnetischeDipolenergie" abnimmt. Eine Dipol-Dipol-Energieist um einen Faktor ~ r- 2 kleiner als die entsprechende Pol­Pol-Energie, falls die Dipollänge d « r ist (Dipolfeld istDifferenz zweier Polfelder, Differentiation nach dem Ortgibt ein r im Nenner; Kraft auf Dipol ist Gezeitenkraft,stammt aus Inhomogenität des Feldes, weitere Differentiationergibt weiteren Faktor r im Nenner). Wegen rn ~ vfn bedeutetdas hier eine Abnahme ~ 1 In. Offenbar ist aber bei derstarken Wechselwirkung die Dipolenergie von gleicher Größenordnungwie die Polenergie, im elektrischen Fall ist sie umden Faktor r1 2 kleiner (IX= e 2 l(4nl'.onc) = 11 7 Feinstrukturkonstante).Die starke Wechselwirkung hat eine Feinstrukturkonstantevon der Größenordnung 1. Zahlenmäßig stimmtdie n- 1 -Abhängigkeit nicht so gut wie vfn in der vorigenAufgabe. Die Lage ist also in Wirklichkeit komplizierter.13.4.26. Dipolkräfte IIDie Wechselwirkungsenergie zweier magnetischer Dipolemit den Momenten p und p' im Abstand r voneinander istW = ±J-loPP 1 I ( 4nr 3 ) ( + für parallele, - für antiparalleleEinstellung), analog zum elektrischen Fall, wo esW = pp' I ( 4nBor 3 ) heißt. Das Elektron hat das magnetische