Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Fermi-Verteilung nicht zu unterscheiden ist. Nehmen wir alsogleich die Fermi-Verteilung. Für jedes Elektron, das ins Leitungsbandgehoben wird, muß im störstellenfreien Kristallein Loch im Valenzband entstehen. Wenn beide Bänder ungefährdie gleiche Gestalt (das gleiche statistische Gewicht)haben, liegt daher die Fermi-Grenze in der Mitte der verbotenenZone. Die Breite ~ W der verbotenen Zone ist » kT,also sieht der Schwanz der Fermi-Verteilung, der in die Bänderragt, genau wie eine Boltzmann-Verteilung aus:j(W) = fo e-t'>w /(2kT), fo ist die Elektronendichte pro Energieintervallim Valenzband, f(W) diejenige in der Höhe Wüber dem Leitungsbandrand. Praktisch liegen alle Leitungselektronenin einem Streifen der Breite kT am unteren Bandrand,also n =No e-t'>W f( 2kT) mit No = JokT. Vom Rekombinationskoeffizientenist hier noch nicht die Rede. Andererseitsmuß aber die gefundene Gleichgewichtsbesetzungauch aus der Gleichheit zwischen thermischer Anregungund Rekombination folgen: n = rxNo - ßn 2 = 0, alson = ..jrxNolß. Es muß also sein rx = ßN 0 e-t'>W/(kT)_ DieWerte von rx und ß einzeln spielen nur im Nichtgleichgewichteine Rolle. Bei langsamer T-Änderung bleibt manimmer im Gleichgewicht, und die Leitfähigkeit ändert sichproportional n. Die Neigung der Arrhenius-Geradenln (J = const - ~ W I ( kT) gibt dann direkt ~ W.14.4.2. IsolatorNach Aufgabe 14.3.2 entsteht die verbotene Zone durch Aufspaltungder Energie einer stehenden I/I-Welle in einen Zustand,wo die Elektronen alle nahe bei den Ionenrümpfensind, und einen anderen, wo sie dazwischenliegen. Es handeltsich also im zweiten Zustand sozusagen um eine halbeIonisation. Da die typischen Ionisierungsenergien von Halbleiter-und Isolatorbausteinen zwischen 4 und 9 e V liegen,kann man Bandbreiten von maximal 2-5 eV erwarten. Füreinen fast störstellenfreien Kristall mit ~ W = 2 e V erhältman nach Aufgabe 14.4.1 etwa n = N 0 e-t'>W/(lkT) ~102°e-40 ~ 103 cm-3 . Für eine Konzentration ionisierterStörstellen von 10-6 Atomen/Grundgitteratom, d. h. N ~10 17 cm-3, erhält man nach Abschn.14.3.1 eine Beweglichkeitder Leitungselektronen von J-1 ~ 10 2 cm2Ns; bei sehrviel unreinerem Kristall (N ~ 1022 ) J-1 ~ 10-3 cm2Ns. Damitergeben sich Leitfähigkeiten um 10- 14 bzw.10-20 n- 1 cm- 1 . Der kleinere dieser Werte wird deshalbnur in Ausnahmefällen erreicht, weil eine erhebliche Verunreinigungauch die effektive Breite der verbotenen Zone reduziert,womit n meist schneller steigt als J-1 abnimmt.14.4.3. DotierungEin As-Atom im Si- oder Ge-Gitter sucht sich so gut wiemöglich seiner kubisch-flächenzentrierten Umgebung einzufügen.Seine vier Nachbaratome reichen ihm je ein Elektronentgegen. Das As steuert seinerseits je ein Elektron zur Bindungbei, behält aber noch ein Außenelektron übrig. Diesesist infolge der verstärkten Abschirmung durch die anderenElektronen nur noch sehr lose gebunden und macht sichsehr leicht als Leitungselektron selbständig. Das As bildetalso einen Donator. Der positive As-Rumpf und das Über-Kapitel 14: Lösungen 1165Schußelektron verhalten sich wie ein wasserstoffähnlichesSystem, eingebettet in ein Medium hoher DK. Nach Bohrwird die Ionisierungsenergie eines solchen Systems umden Faktor e2 gesenkt, der Bahnradius um den Faktor e erhöht:Wion = 13,6eVIe2, d.h. 0,014eV für Ge, 0,045eVfür Si: r = e · 0,52 A, d. h. 16 A für Ge, 9,0 A für Si. Damitist gesichert, daß das Elektron eine weite Bahn beschreibt, diesehr viele Gitterpunkte umfaßt, so daß man tatsächlich mitder makroskopischen DK rechnen kann. Die Ionisierungsenergieentspricht etwa 3kT, d. h. thermische Ionisierungist sogar bei Zimmertemperatur leicht. Beim Einbau einesGa-Atoms fehlt ein Bindungselektron. Verglichen mit derkompletten Vierelektronenpaar-Umgebung kann man dasSystem als Loch im Feld eines negativen Ions auffassen.Die Ionisierungsenergie ist die gleiche wie oben. ÄhnlicheBetrachtungen gelten allgemein für den Einbau von Teilchenaus "falschen" Spalten des Periodensystems in einGitter.14.4.4. BeweglichkeitDer Hall-Effekt liefert direkt ne, d. h. Ladungsvorzeichenund Trägerkonzentration (vgl. Abschn. 7.1.4). Handelt essich um Elektronen und Löcher, dann findet man e(p- n).Man kann also folgern, welche Trägersorte überwiegt (dieBilanz n = p gilt ja nur, wenn es keine Störstellen gibt,die einen erheblichen Teil der Träger eines Vorzeichens abfangenkönnen). Im allgemeinen überwiegt eine Trägerart sostark, daß man nur -en bzw. ep braucht. Eine direkte Leitfähigkeitsmessungliefert (J = e(nJ-tn + PJ-tp), also zusammenmit RH die Beweglichkeit der überwiegenden Trägersorte.Man kontaktiere z. B. ein Kristallplättchen von 1 x 1 cm 2Fläche und 1 mm Dicke an den Längsseiten und lege 1 V· an. Dann möge lOmA fließen, und senkrecht dazu undzum Magnetfeld B = 1 Vslm 2 mögen sich die Querspannungvon 10m V aufbauen. Man findet (Jw-3 n- 1 cm-1 und n 6. 1015 cm-3 und J-1100cm 2 IVs. Die Träger sind positiv, wenn Querfeld, Längsfeldund Magnetfeld die rechte-Hand-Regel erfüllen.14.4.5. RandschichtWenn der Kristall absolut nicht leitete, würde sich eine ganzeBandstruktur im homogenen Feld durch Addition des PotentialsEx einfach etwas schrägstellen. In Wirklichkeit gilt dieseSituation nur eine sehr kurze Zeit nach Einschalten des Feldes;dann häuft der Strom schließlich so viele Elektronen ander einen und Löcher an der anderen Stirnfläche an, daß dasFeld im Innern gerade kompensiert wird. Diese Ladungsanhäufungfrißt also das angelegte Feld auf und muß, als Flächenladungaufgefaßt, die Flächenladungsdichte r/ = eeoEhaben (vgl. Abschn. 6.1.4). Tatsächlich gibt es keine flächenhafteAufladun , sondern eine Wolke mit der Debye-Hückel­Dicke d = eeokT l(e2n 00 ), die sich aus dem Gleichgewichtvon Feldstrom und Diffusionsstrom ergibt (vgl.Abschn. 6.4.6). Die "Flächenladungsdichte" ist dannrl = en 00d = eeoE, d. h. man erhält d = kT I ( eE) undn00 = ee 0E 2 l(kT). Für Felder von 104 bzw. 106 V/ern ergebensich Randschichtdicken d von 200 A bzw. 2 A und La-