Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 9: Lösungen 1107sichtige noch bei 11 cm scharf (allerdings leider nur dort),der Normal-Alterssichtige nur im Unendlichen.9.2.6. Dicke LinseDie Brechung ist anzusetzen an einer Ebene, die vom linkenScheitel an gerechnet die folgenden Bruchteile der Linsendickeabschneidet: ~ für Parallelstrahlen von rechts, ~ fürBrennstrahlen von links,~ für Brennstrahlen von rechts, zwischen~ und ~ für Richtungen, die zwischen Parallel- undBrennstrahl liegen. All dies ergibt sich einfach ausAbb. 9.37 durch Umkehrung des Lichtweges oder auf Grundder Symmetrie der Linse.9.2.7. Sphärische AberrationFür achsenferne Strahlen gelten die Näherungen inAbschn. 9.2.1 (Ersetzung von sin und tan durch denWinkel) nicht mehr. Für ein Parallelbündel erhält man inder nächstbesseren Näherung nach ziemlich mühseligerAlgebra das unverhofft einfache Ergebnis b =rn2(1-nfi/(2n~?))/(n2-ni)für den Abstand desSchnittpunkts mit der Achse vom LinsenscheiteL FürLuft-Glas wird b = 3r(l - 0,22yl /r 2 ). Bei y « r gilt alsorichtig der "achsennahe" Wert b = 3r, mit wachsendemAchsabstand rückt der Schnittpunkt immer näher an dieLinse. Für y = 0,5r liefert die exakte Rechnung besonderseinfache Zahlenwerte ( y = 30°, ß = 20°, qJ2 = 10°,b = 2,84r), und man sieht, daß auch die obige Näherungdort nicht mehr sehr gut ist. Dies galt für eine brechendeKonvex-Kugelfläche. Umkehrung des Strahlengangeszeigt, daß bei der Konkavfläche Strahlen, die nach der Brechungachsenfern parallel werden sollen, nicht vom Brennpunktkommen dürfen, sondern von einem Punkt, der um sonäher an der Linse liegt, je steiler die Strahlen gegen dieAchse weggehen.9.2.8. TrikoloreDie Wölbung der Augenlinse oder eigentlich die Anstrengungdes Akkommodationsmuskels wird als Entfernungsmaßregistriert, das durchaus mit den Signalen des zweiäugigenSehens konkurrieren kann. Selbst wenn verschiedenfarbigeFlächen nahe beieinanderstehen, machen wir dochunmerkliche Drehbewegungen des Auges, um das jeweilsfixierte Element in die Fovea centralis zu bringen, wo dieZäpfchen am dichtesten sitzen, begleitet von entsprechendenAkkommodationsänderungen, falls die Elemente verschiedenfarbigsind. Daher können sich Farbflächen, besonderswenn sie wie in Kirchenfenstern deutlich voneinanderabgesetzt sind, scheinbar in verschieden entfernte Ebenentrennen: Rot - nahe, Blau - fern, mit Zwischenstufen längsdes Spektrums. Ein roter Streifen gleicher Breite, also gleichenSehwinkels wie ein blauer würde, weil näher, schmalererscheinen.9.2.9. LupeEine Lupe soll nicht viel weniger als 1 cm Durchmesserhaben, damit man ein angemessenes Bildfeld erhält. BeimÖffnungsverhältnis d/f ~ 0,5 ist die sphärische Aberrationschon erheblich (vgl. Aufgabe 9.2.7). Die Brennweite fdarf also kaum unter 1 cm gehen. Dem entspricht nach(9.22) oder (9.23) eine Vergrößerung nicht wesentlich oberhalb25. Die Linse ist dann schon fast kugelig. Bei derBikonvexlinse ist f = r (vgl. (9.16)), und ein erheblicherTeil davon fällt ins Innere der dicken Linse. Das Objektmuß also um wenige mm hinter den Linsenscheitel gehaltenwerden.9.2.10. MikroskopDie Vergrößerungen gehen von 125 bis 2450. Das Objektmuß praktisch in die Brennebene des Objektivs gebrachtwerden, d. h. weniger als die Brennweite vom Scheitel deräußersten Objektivlinse entfernt (das Objektiv ist keinedünne Linse). Praktisch wird man die Objektive etwa durchden Aufdruck 25x, 50x, 83x, 167x, die Okulare durch 5x,lüx, 15x kennzeichnen.9.2.11. ImmersionsobjektivMan kann das Auflösungsvermögen A kennzeichnen durchden reziproken kleinsten Sehwinkel a/ Ä. = an/ Ä.o und sagen,das Immersionsöl setze die Wellenlänge gegenüberder im Vakuum Ä.o auf~ herab; oder man kann A beschreibendurch I/ g = n sin rx/ },o, den reziproken Abstand noch auflösbarerGegenstandspunkte, und sagen, das Öl erhöhe dienumerische Apertur. Beide Darstellungen sind äquivalent.9.2.12. AuflösungsvermögenAuch die Elektronenausbreitung wird durch eine Welle, diede Broglie-Welle, geregelt, deren Wellenlänge mit dem Impulsp der Elektronen wie Ä. = h / p zusammenhängt. Objekte,die kleiner sind als Ä., erzeugen Beugungsscheibchen, diei. allg. nicht ganz in die Objektivöffnung fallen. Die AbbescheTheorie ist anwendbar. Senkung der Wellenlänge steigertdas Auflösungsvermögen. Violettlicht zeigt etwa halb sogroße Einzelheiten wie Rotlicht. Gelegentlich benutzt manUV-Licht mit photoelektrischen Bildwandlern. Im Elektronenmikroskopsind der Senkung von Ä. theoretisch kaumGrenzen gesetzt: Man braucht nur die Beschleunigungsspannungzu steigern. Unterhalb von 500 kV (im nichtrelativistischenBereich) ist p = v'2meU, oberhalb p = eU je. Leiderlassen es die Linsenfehler nicht zu, die entsprechenden hohenAuflösungen auszunutzen. Man muß die numerische Apertursehr klein halten, im Gegensatz zum Lichtrnikroskop.Immerhin hat man mit Elektronenenergien von einigenMeVerstmals echte optische Abbildungen atomarer Objekteherstellen können (Bilder von Metallatomen u. ä. waren bishernu:r: mit dem Feldemissionsmikroskop erzeugt worden,ohne Einschaltung einer optischen Abbildung).9.2.13. Wie mißt man VergrößerungWie Abb. 9.50 zeigt (unter erheblicher Übertreibung desWinkels zwischen Bündelrichtungen und optischer Achse),verhalten sich die Durchmesser des ins Objektiv eintretendenund des aus dem Okular austretenden Bündels wieJI/h = v. Man braucht z. B. beim Feldstecher nur denDurchmesser des hellen Scheibchens auszumessen, dasman im Okular sieht, und es mit dem Objektivdurchmesserzu vergleichen. Das Verhältnis gibt direkt die Vergrößerung.