Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel14: Lösungen 1163vorhanden. c 5 und Vg verhalten sich im akustischen Zweigwie in Abb. 14.36 beschrieben. Im optischen verschwindetVg für lange und für kurze Wellen, es = wjk wird unendlichfür k = 0 und hat den "akustischen" Wert für kurze Wellen.Das Unendlichwerden von Cs für Wopt = 0 zeigt, daß hierbeidie größten Deformationen auftreten (Grundschwingung:ganzes Kationengitter schwingt gegen ganzes Anionengitter).14.2.6. PhononenstoßDas neue Phonon hat k' ~ 21r I d. Dieser Wellenvektor fälltins "verbotene Gebiet", d. h. der entsprechende Schwingungszustandläßt sich realistischer durch eine Welle miteinem kleinen k" darstellen, das nach Aufgabe 14.2.1 derDifferenz 21r I d - k' entspricht. Die Ausbreitungsrichtungist ebenfalls nach Aufgabe 14.2.1 entgegengesetzt zu derder einfallenden Phononen: Es scheint, als sei das Phononam Gitter reflektiert worden. Der Impulssatz ist befriedigt,wenn das Gitter einen Impuls !ik' ~ !i21rjd aufgenommenhat. 21r j d ist ein Vektor des reziproken Gitters. Auch jederandere reziproke Gittervektor g käme in Frage: Wennk 1 + k2 zu groß wird, kann man es mit k 1 + k2 = k 11 + gin den erlaubten Bereich zurückholen. Die Energie wirddurch diese Umdeutung nicht berührt: Das neue Phononhat w' ~ 2w. Man kann auch sagen, das Gitter nehme keineEnergie auf, weil es so schwer ist.14.2.7. SteinsalzoptikJeder Stoff reflektiert dort, wo er absorbiert. Das folgt ausdem Kirchhoffschen Strahlungsgesetz (außer für den idealschwarzen Körper), aber auch aus der Elektrodynamik: Absorptionund Reflexion beruhen auf mitschwingenden Ladungen.Absorption drückt sich im einfachsten Fall durchein negatives e, d. h. eine imaginäre Brechzahl n = -/8aus. In Ionenkristallen trifft das zu zwischen wo und w1,der langwelligen Grenzfrequenz des optischen Zweigesund einer um den Faktor Je(O)/e(oo) höheren Frequenz.e(oo) beruht auf Hüllenpolarisation, e(O)- e(oo) auf statischerGitterpolarisation. Für NaCI liest man ausAbb. 11.20 und 14.38 ab wo ~ 5 · 10 13 s- 1 , also D =~,uw~ ~ 3-10 4 gs- 2 ~ 2eVjA 2 . w 1 ist offenbar etwa doppeltso groß, also e(O) etwa viermal so groß wie e(oo).14.2.8. Leitet Diamant?Das Wiedemann-Franz-Gesetz gilt nur, wenn beide Artenvon Leitung durch Elektronen besorgt werden, d. h. für Metalleund trägerreiche Halbleiter. Wenn Phononen für dieWärmeleitung verantwortlich sind, kann die Lage sich umkehren:Je fester die Bindung und je reiner der Kristall, destoweniger freie Elektronen, also desto weniger elektrische Leitunggibt es, desto schneller und desto ungestörter laufen aberdie Phononen. Beim Diamant, speziell beim synthetischen,ist das besonders deutlich.14.2.9. Leitet Germanium?Im gewöhnlichen (isotopengemischten) Ge sind die Kernemit den Massenzahlen 74, 72 und 70 (dazu etwas 76 und73) regellos über die Gitterpunkte verteilt. Wegen seinervom Durchschnitt abweichenden Masse wirkt jeder Kernals Streuzentrum für Phononen, denn das Gitter ist nichtmehr streng periodisch. Daher leitet angereichertes Ge besser.Die thermische Energie steckt ganz in den Phononen.Wenn T und damit W von Ort zu Ort verschieden sind, heißtdies, daß die Phononen verschiedene Anzahldichte habenund diffundieren. Ihre Diffusionsstromdichte D grad n gibtden Wärmestrom q = eD grad n = D graden = D grad W= D(dWj dT)gradT = DcvgradT. Dergibt sich aus Geschwindigkeitc 5 und freier Weglänge l, die Wärmeleitfähigkeitauch: A. = ic 5lcv. Bei tiefen Temperaturen ergibt diedoppeltlogarithmische Auftragung eine Steigung 3, d. h.~ T 3• So verhält sich die Debyesehe spezifische Wärme,d. h. die gesamte Phononenenergie. l muß also konstantund z. B. durch Kristallitgrößen bestimmt sein. Man findetl ~ 0,1-1 mm. Bei höherem T werden Phonon-Phonon-Stößeunter Gitterbeteiligung (Peierls-Umklappen) häufiger, undzwar~ n2. Daher biegt die Kurve in eine ungefähre r-3-Abhängigkeitein.14.3.1. Fermi-GrenzeTypische Elektronenkonzentrationen sind n ~ 10 22 -1023 cm-3 für Metalle, 1016-1021 cm-3 für Halbleiter,105-1016 cm-3 für Plasmen. Jedes Elektron braucht das Volumenh3 / 2 im sechsdimensionalen Phasenraum. Im OrtsvolumenV sitzen n V Elektronen. Sie brauchen das ImpulsraumvolumennVh 3 /(2V) = nh 3 / 2. Dieses Volumen bildeteine Kugel vom Radius pP, da die Auffüllung von kleinenEnergien an erfolgt: 17rP~ = nh 3 / 2. Die Maximalenergie(Fermi-Grenze) ist also Wp = p~ j (2m) = kn 2 1 3 h 2 3 2 1 3 1(m1r 2 l 3 ) (vgl. (14.54)).Tabelle L.7IIClß -'eK10101010 J1021 IQll0.3 1.33.10 1 ~~102365 · IO"'Im Metall ist das Elektronengas immer entartet und nachder Fermi-Statistik zu behandeln, im Halbleiter nur bei sehrhoher Leitungselektronenkonzentration (um 10 20 cm- 3 undhöher). Für die Valenzelektronen und meist auch für die Störtermemuß man dagegen mit der Fermi-Verteilung rechnen.Plasmen sind i. allg. nichtentartet, d. h. durch die Boltzmann­Statistik beschreibbar. Nur im Innern der Sterne kommt esvor, daß die Zunahme von WF mit der Dichte die Zunahmevon kT überholt und Entartung eintritt.14.3.2. Brillouin-ZonenWir betrachten eine bestimmte Netzebene in einem Kristallund Elektronen, die senkrecht zu dieser Netzebene fliegen,d. h. deren I/I-Wellen sich senkrecht zu ihr ausbreiten. DerAbstand solcher Netzebenen sei d. Wenn die Bragg-Bedingung2d = nA. erfüllt ist, werden die Elektronen an jederNetzebene reflektiert, und zwar so, daß alle reflektiertenWellen in Phase sind und einander verstärken. Die primäreund die reflektierte Welle setzen sich daher zu einer stehen-