Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 1: Lösungen 1011Reihe bilden, und lassen sich verleiten, diese aufzusumrnieren,was länger dauert als die obige Betrachtung. Ein Psychologetestete alle Wissenschaftler, deren er habhaft werdenkonnte, und fand, daß (gute) Mathematiker im Mittel 35 sbrauchen, (gute) Physiker 14 s. Johann v. Neumann brauchte8 s, worauf der Psychologe sein Erstaunen ausdrückte, daß erals Mathematiker es so schnell schaffe, obwohl er doch eigentlichdie Reihe summieren müßte. "Habe ich ja", sagteNeumann.1.2.3. Wo ist der Hund?Diese Aufgabe zeigt, daß kinematische Probleme, die wohldefiniertaussehen, es manchmal gar nicht sind. Die Antwortheißt: Der Hund könnte überall zwischen 4 und 6 km sein undin jeder der beiden Richtungen laufen - man weiß es nicht.Am leichtesten sieht man das ein, wenn man durch Umkehrungder Zeitrichtung das Problem praktisch auf Aufgabe1.2.2 zurückführt: Der Hund kann anfangs gewesen seinwo er will, er muß bei seiner Verhaltensweise immer gleichzeitigmit den beiden Kindem am Kilometerstein 0 ankommen.Dreht man von diesem umgekehrten Vorgang mit verschiedenenAusgangspositionen je einen Film, den man dannwieder rückwärts spielt, so erfüllt jeder dieser Filme genaudie Bedingungen der Aufgabe.1.2.4. Ein nasser HundDer Fluß ströme mit der Geschwindigkeit w, der Hundschwimme mit v . Wenn er sich wirklich so dumm anstellt,besteht der Verdacht, daß er bei w > v nie ankommt und unendlichweit abtreibt, denn dicht an Herrchens Uferschwimmt er parallel zu diesem. Am besten rechnet manin Polarkoordinaten: r = -V+ w sin rp, ip = w cos rp Ir, alsodr I drp = r( tan rp - v I ( w cos rp)). Das läßt sich leicht integrieren:r dr = ln (!__) =r (tanrp-_v_) drp}, 0 r ro Jo wcosrp= -In( cos rp) - ~ ln ( - 1 - + tan rp) ,w cosrpalso r=ro(cosrpt!w-!l(1+sinrpt1w. Bei rp=1rl2, d. h.an Herrchens Ufer, ist r = r 0 2-vfwovfw-t. Das ist 0 beiv < w, rol2 bei v = w, oo bei v > w, wie erwartet.Bei v = w folgt einfach. r = rol(l + sin rp), y = (yÖ- x 2 )1{2ro), ein Parabelast Gleich in x,y angesetzt, wäre allesviel schwieriger.Abb. L.ltJ>W 11< 1111.2.5. Der Lobatschewsky-HundEs sei a die Projektion der wahrscheinlich nicht horizontalenLeinenlänge auf die x,y-Ebene. Herrchen möge auf der x­Achse, der Leitlinie, gehen (ob gleichförmig oder nicht, istfür die Kurvenform egal). Die Leine bildet die Tangentean die Traktrix y(x), hat also zwischen Berührpunkt P undSchnittpunkt S mit der Achse überall die konstante LängePS = a. Ihr Winkel rp mit der x-Achse ist einerseits der Steigungswinkel(y' = tan rp ), andererseits gilt y = a sin rp. Damitkönnen wir auch x durch rp ausdrücken, wenn auch nicht sodirekt. Der Baum habe "den Abstand a von.der x-Achse, sodaß der Hund nur dort sein kann, wenn der Mann genauauf derselben Höhe x = 0 ist (und, wenn er nett ist,bleibt). Nun mußdy dy drp . dy- = --= tan rp sem, woraus wegen- = a cos rp folgtdx drp dx drpdx a cos 2 rp 1rp cos 2 1/1- = -.-- oder integriert x = a ---:---:1: di/Jdrp sm rp 1r/2 sm 'I'(zu x = 0 gehört rp = 1r 12). Mit cos2 i/J = 1 - sin2 i/J erhältman cos rp und J di/J I sin 1/J. Dies Integrallöst man nach Tabelleoder dem Additionstheorem:di/JJ J di/J J cos~t / 2 Jd tan i/J/2sini/J= 2sint cos.'k= zsin l/1 2 = tani/J/22 2 cosl/12= 1n tan i/J 12, also x = a( cos rp + ln tan rpl2).Damit haben wir eine Parameterdarstellung x(rp),y(rp),aus der sich alles weitere ebensogut ergibt wie aus der fastunzumutbaren x(y)-Darstellung. Die Krümmungy"k = der Traktrix ergibt sich so :(1+ yf2)3/ 2" d tan rp drp 1 sin rpy' = tanrp , y =---= -----drp dx cos2 rp a cos rp '1 + y 12 = 1 + tan 2 rp = cos- 2 rp , k = a- 1 tan rp,Krümmungsradius R = a cot rp. Der KrümmungsmittelpunktM liegt ihlmer senkrecht über S. Übrigens bilden alle Krümmungsmittelpunktedie Kettenlinie y = coshx, die Evolventeder Traktrix, das ist die Kurve, die ein beiderseits aufgehängtesSeil bildet (Aufgabe 2.3.2). Damit ist auchPM· PQ = PS2 = a 2, denn a ist die Höhe im rechtwinkligenDreieck MQS. Dies ist die interessanteste Eigenschaftder Traktrix: Wenn sie um die x-Achse rotiert, bildet sie einendoppel-posaunenförrnigen Körper. Einer seiner Hauptkrümmungsradienist PM, der andere PQ: Hauptkrümmungsrichtungenstehen senkrecht zueinander. Die Gauß-KrümmungRj 1 · Rz. 1 ist für diese Fläche konstant (gleich- a - 2 ), und zwar negativ, sofern man die x-Achse als "innen"ansieht, so daß die Krümmung in der x, y-Ebene negativwird. Dies ist die einzige Fläche mit überall gleicher negativerGauß-Krümmung, wie die Kugel die einzige mitüberall gleicher positiver Krümmung (gleich R- 2) ist. Mannennt sie daher Pseudosphäre. Ihre Oberfläche ist 4Jra 2 ,