Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1108 : Lösungen zu den AufgabenWenn Vergrößerung und Öffnung des Fernrohrs so ausgelegtsind, daß das Auflösungsvermögen des Auges gerade vollausgenutzt wird, ist dieses Scheibchen so groß wie diemenschliche Pupille.9.2.14. EntfernungseinstellungDas Gewinde am Kamera-Objektiv übersetzt Drehung proportionalin Verschiebung, d. h. Änderung des Abstandes Objektiv-Film,der Bildweite. Nach der Abbildungsgleichung istb = f 1(1-f lg). Diese b(g)-Abhängigkeit ist ausgesprochennichtlinear, sie ist eine Hyperbel mit den Asymptotenb = f und g = f. Da üblicherweise g » f ist, kann manschreiben b ~ f + j 2 I g. Die b-Änderung zwischen g = 50und 55 cm ist ebensogroß wie zwischen 5 m und oo, unabhängigvon der Brennweite, denn beidemal ist der Unterschied in1 I g derselbe, nämlich 0,2 m -I .9.2.15. HohlweltWir beschränken uns hier auf das rein Geometrisch-Optisch­Astronomische. Spiegelung an der Erdkugel bringt alles nachinnen. Ein Objekt, das für uns den Abstand a vom Erdmittelpunkthat, wandert nach b = R 2 I a, z. B. der Mond auf eineBahn von b = 100 km Radius, die Sonne auf b = 250m. DerMond hat etwa 1 km Durchmesser, die Sonne nur etwa 2m.Alle Lichtstrahlen, die die Erdoberfläche tangieren, werdenKreise vom Radius Rl2, die durch den Erdmittelpunkt gehen.Strahlen anderer Richtung werden Kreisbögen mit größeremRadius. Wer Funktionentheorie kann, weiß das sofort:z' = R 2 I z ist konform, daher kreis- und winkeltreu. DiesesVerhalten des Lichtes erklärt Horizont, Tages- und Jahreszeiten,Finsternisse usw. Licht würde so laufen, wenn die Brechzahln = r2 I R 2 wäre (Herleitung: Für einen zum Zenit gerichtetenLichtstrahl sagen wir c = dr I dt, die Hohlweltlerc' = dr' ldt = -R 2 r- 2 drldt, also n = r 2 IR 2 ). Nahe am Mittelpunktläuft das Licht sehr schnell: so kommen sogar dievielen Lichtjahre der Astronomen heraus, die von dieser Beschleunigungja nichts ahnen. Satellitenaufnahmen, auf denenman sieht, daß die Erde konvex ist, beweisen entgegenallgemeiner Überzeugung nichts, denn nach der Hohlwelttheoriewürde genau dasselbe herauskommen. In Widersprüchegerät man erst, wenn man Strahlungsenergie- und Gravitationsproblemebehandelt. Wenn die winzige Sonne,wie ihr Spektrum anzudeuten scheint, etwa 6 000 K heißist, könnte sie uns nicht so erwärmen, wie sie es tut, dennihre Strahlung verdünnt sich fast 109mal mehr als nachdem üblichen Weltbild. Tröstlich, wenn auch nur auf denersten Blick, ist folgendes: Der T-Gradient im Erdkörperist ja empirisch gesichert. Den Hohlweltlern müßte er einenununterbrochenen Wärmestrom nach innen führen, der ihrenHohlraum längst unerträglich aufgeheizt hätte.9.2.16. HaloParalleles Sonnenlicht fällt auf eine Eisnadelwolke. Durchein Eisprisma gebrochenes Licht erreicht uns aus einer Richtung,deren Winkel rp zur Sonnenrichtung gleich dem Ablenkwinkeldes Prismas ist. Für die Eisnadeln sind i. allg.alle Orientierungen gleichmäßig vertreten. Der Ablenkwinkelrp als Funktion der Orientierung hat aber ein Minimum,und eben deswegen tritt dieser rp-Wert am häufigstenauf (vgl. z. B. Abb. 4.73, wo allerdings die Abszisse j, heißt).Nach Abschn. 9.1.5 folgt diese Minimalablenkung rp aussin((y + rp)l2) = nsin(yl2) mit y = 60° und n = 1,31 zurp = 22°. Eis hat normale, aber schwache Dispersion, daherist rp für Rot kleiner: Rot liegt innen. Die übrigen Farben sinddurch nichtminimal abgelenktes Licht weitgehend verdeckt.Da rp minimal ist, sieht das Innere des Halos deutlich dunkleraus als außerhalb.9.3.1. R~mer oder DopplerEin periodischer Vorgang wie die Verfinsterung der Jupitermondeerscheint einem Beobachter "ins Violette verschoben",d. h. mit vergrößerter Frequenz, wenn er sichmit der Erde auf die Quelle (Jupiter) zubewegt, und umgekehrt.Ist v 0 die Umlauffrequenz eines Mondes und hatdie Erde eine Geschwindigkeitskomponente v sin( wt) aufJupiter zu, dann beobachtet man eine Verfinsterungsfrequenzvo(1 + vsin(wt)lc). In einem halben Jahr siehtder Erdbeobachter eine Anzahl von Perioden, die gleichJJI 2 v dt = volw J; (1 + v sin(wt)lc) dt = vo(T I2+2Ric) =v0 (T 12 + 2RI c) ist, also genau um so viele Perioden mehr alsbei ruhender Erde, wie auf die Laufzeit 2RI c entfallen, diedas Licht für einen Erdbahndurchmesser braucht.9.3.2. Fizeau-VersuchDamit Zahn bzw. Zahnlücke das sehr gut fokussierte Lichtbündelganz unterbricht bzw. passieren läßt, muß jedes etwa1 mm breit sein. Bei einer Umfangsgeschwindigkeit von100 m/s, die schon sehr beängstigend ist, dauert es dannw-5 s, bis die nächste Lücke den Platz eines Zahnes einnimmt.In dieser Zeit legt das Licht 3 km zurück. Das "Minimalexperiment"erfordert also eine Meßstrecke von 1,5 km.In der Orginalanordnung war sie 5,7mal so lang. Fizeaukonnte also die Frequenz v seines Rades von 0 an allmählichsteigern und jedesmal die v-Werte registrieren, bei denen maximalebzw. minimale Helligkeit auftrat. Die Abstände zwischenHell und Dunkel ergeben mehrere unabhängige Messungenvon c, die man mitteirr kann, um die Meßgenauigkeitzu steigern und ein quantitatives Maß für die Fehlergrenze zugewinnen. Die Genauigkeit der Methode hängt dann im wesentlichenvon der Drehzahlmessung ab. Schon eine stroboskopischeMessung mittels der Netzfrequenz liefert (heute)etwa 99 % Genauigkeit. Elektronische Methoden führenviel weiter.9.3.3. Foucault-VersuchDie rotierenden Teile von Elektromotoren haben Abmessungenvon mindestens 1 cm. Damit Umfangsgeschwindigkeitenvon 100 m/s nicht überschritten werden, darf die Frequenznicht viel größer sein als 1 kHz. In einem großen Saal erreichtman durch Mehrfachspiegelung leicht 100m Lichtweg,d. h. eine Laufzeit des Lichtes von U,3 flS. In dieserZeit dreht sich der Spiegel um den Winkel wt =2 · 10- 3 ~ 7 1 • Auf einem 20m entfernten Schirm ist dieAblenkung zwischen einfallendem und zurückkehrendem