Lösungen zu den Aufgaben - Springer

"Kapitel15: Lösungen 1173Reichweite innerhalb der Lebensdauer r steigt also auf etwa10 km. Damit sind in der Höhe nur etwa 109mal wenigerErzeugungsakte notwendig, um die beobachtete Myonenintensitätam Erdboden zu erklären, als nach der obigen Betrachtung.Der kosmische Beitrag zum Energiehaushalt derErde wird damit vernachlässigbar.Offensichtlich fällt die Flußdichte der Myonen um sosteiler mit der Höhe ab, je geringer ihre Energie ist (biszum oben diskutierten nichtrelativistischen Extremfall).Die quantitative Übereinstimrimng mit den Meßdaten ist befriedigend,besonders wenn man die atmosphärische Absorptionberücksichtigt. Die "Absorptionslänge" (durch die dieFlußdichte auf 1/e geschwächt wird) wäre in Luft von1 bar Labs = 10 km; dies ist größer als die Skalenhöhe H,längs der die Luftdichte selbst auf 1/e abfällt. Unter diesenUmständen ist die Schwächung der Flußdichte auf der Höhendifferenzhn [ H h/H]noLabs- = exp --(1 - e- ) .15.2.5. Transversaler Doppler-EffektDie Wellenlängen in der ersten (und jeder anderen) Zeileentsprechen genau der Balmer-Formel, wie man am bestenaus den Frequenzen sieht: v = R' ( 1 I n 2 - 1 I m 2 ). Das istklar denn He+ mit seinem einen Elektron ist ein wasserstoffähniichesSystem. Da die Kernladung 2 ist, multiplizierensich Termenergien und Frequenzen, verglichen mit dem Wasserstoff,mit dem Faktor 4 (eine 2 kommt von der Verengungder Bohrsehen Bahnen, die andere direkt aus der Coulomb­Energie). So erklärt es sich, daß jede zweite Linie der Pickering-Seriefast genau mit einer Balmer-Linie des H zusammenfällt.Die kleine Abweichung kommt durch die größereMasse des He-Kerns zustande, der sich daher weniger starkmitbewegt als der H-Kern. Der Endzustand aller Übergängeder Pickering-Serieist aber der He+ -Term n = 4, währenddie Balmer-Übergänge im H-Term n = 2 enden. Die Verschiebungmit der Beschleunigungsspannung, also der Ionengeschwindigkeitist eine Folge der Zeitdilatation: Das Ionrichtet sich beim Strahlen natürlich nach seiner Eigenzeit,und die Periode (und ebenso die Wellenlänge) des Lichtesvergrößert sich also, vom Laborsystem aus gesehen, umden Faktor (1- v2 lc2)-!/Z. Rechnet man BeschleunigungsspannungU in Geschwindigkeit v um, so kann man diesenZusammenhang aus der Tabelle gut bestätigen, besonderswenn man über die Zeilen rnittelt (unter Ausschluß desschon nach dem Seriengesetz als falsch zu erkennenden Wertesin der vierten Zeile und zweiten Spalte). Bei longitudinalerBeobachtung würde man einfach den normalen Doppler­Effekt finden. Da er als "Effekt 1. Ordnung" um den Faktorv I c, also 10 bis 60mal größer ist als der relativistische Effekt(der von 2. Ordnung ist), würde man diesen, obwohl er zweifellosda ist, bei der aus der Tabelle zu ersehenden Meßgenauigkeitnur schwer direkt herausfischen können. Das zeigtauch wie kritisch die Güte der Transversalität ist: Bei 1 MeVz. B. 'müßte der Sehwinkel, unter dem der Abschnitt des Io-nenstrahls, dessen Ernission in den Kollimator gelangt, vondiesem aus gesehen wesentlich kleiner als 1° (fo) sein, damitnicht der longitudinale Doppler-Effekt den transversalenüberdeckt. Das ergibt natürlich beachtliche Intensitätsprobleme!15.2.6. v-StapeleiDie Geschwindigkeit der i-ten Raketenstufe relativ zur Erdesei Vi· Nach dem Additionstheorem (15.5) ist dannVi = Vi-J + cl2 = 2vi-J + c. c. (L. 5)1 + CVi-J/(2c 2 ) 2c + Vi-!Wenn Vi-! ::::; c, ist danach 2vi-l + c::::; 2c + vi-J, alsoauch Vi ::::; c: die Lichtgeschwindigkeit kann, von kleinerenGeschwindigkeiten herkommend, nicht überschritten werden.Die Folge der Vi konvergiert aber gegen c, und zwarziemlich schnell: 0,5c, O,Sc, 0,93c, 0,975c .... Man kannVi auch direkt ausdrücken ohne die Rekursion (L. 5): Vi =c(3i+ 1 - 1)l(3i+l + 1). Das ist leicht zu bestätigen (ameinfachsten durch vollständige Induktion nach i, aber auchaus der Rekursionsformel (L. 5)).15.2.7. Fizeau-VersuchDie Phasengeschwindigkeiten in den beiden Armen der Längel (Abb. 15.25) seien CJ =ein+ ~c und c2 =ein- ~c(ein: Phasengeschwindigkeit in der ruhenden Flüssigkeit).Da die Frequenz v längs des ganzen Lichtweges konstantist, entfallen auf die Längen der beiden Arme lv I CJ bzw.lv 1 c 2 Wellenlängen. Der Gangunterschied beträgt alsolv( cj 1 - c2 1 ) Wellenlängen. Soll gerade eine halbe Wellenlängeherauskommen, so muß sein /v(c] 1 - c2 1 ) ~2lv(n 2 lc 2 ) ~c ~ 112, d. h. ~c ~ c2 l(4lvn 2 ), in unserem Beispiel~c = 12,5ln 2 m/s. Der Zusammenhang zwischen diesemWert und der Strömungsgeschwindigkeit VJ kann nurdurch die Brechzahl n bestimmt sein. Durch graphischeoder rechnerische Anpassung der fünf Punkte, die wir haben(die vier angegebenen und n = 0, v 1 = oo für das Vakuum),findet man (z. B. aus der Auftragung von ~c lv! als Funktionvon n) als beste (wenn auch nicht ganz willkürfreie) AnpassungAc= vJ/(1- n 2 ). Eine Formel wie c = v(a + bn)könnte wohl die vier Meßpunkte ebensogut beschreiben,aber der Vakuum-Punkt fiele erheblich heraus. Ätherstandpunkt:Vollständige Mitführung würde bedeuten ~c = v,keine Mitführung ~c = 0. Die Wahrheit liegt dazwischen,und zwar um so näher an der Mitführung, je größer n ist.Eine befriedigende nichtrelativistische Deutung ist nie gefundenworden. (Fresnel nahm ad hoc an, die Dichte desÄthers in den verschiedenen Stoffen sei verschieden, nämlichproportional n 2 ; er kam damit aber auf anderen Gebietender Optik in Schwierigkeiten.) Relativistischer Standpunkt:Wenn sich das Licht auch im strömenden Wasser (relativzum Medium) mit der Phasengeschwindigkeit ein ausbreitet,ist ganz klar, daß der ruhende Beobachter nach dem Additionstheorem(15.5) eine Phasengeschwindigkeitcjn±vc' - 1 ±(ein) vc- 2cln±v1±vl(nc)