Lösungen zu den Aufgaben - Springer

+-1206 : Lösungen zu den Aufgabentiv: Die Orbits laufen vom Fixpunkt weg. Ob sie bis ins Unendlichelaufen oder nur zu einem Grenzzyklus, kann manhieraus nicht sehen. Bei e < 0 ist (0, 0) ein Attraktor.18.2.15. Van der Pol-SchwänzeIn u" + u - eu' ( 1 - u2) = 0 konkurrieren drei Glieder.Wenn z. B. u" schwach wird, bleibt die Quasistationarität(QSt) u = eu'(1 - u2), also u 1 = v = ul(e(1- u2)). Genaudies ist der "Schwanz" (für u » 1 eine Hyperbelv = 1 I ( eu) ). Warum stellt sich die QSt bei u » 1 so schnellein? Die Einstellzeit -r = 1 I ( eu 2 ) ist bei u » 1 bestimmt vielkürzer als die Periode des Zyklus, die 21r beträgt. Warum aberbleibt die QSt nicht erhalten, sondern mündet die Trajektoriein den Grenzzyklus? Da v' = v(l + u2)1(1- u2)2, wird v'sehr groß, wenn u sich der 1 nähert, und bricht das bisherigeGleichgewicht der beiden anderen Glieder.18.3.1. Descartes' RegelBeweis durch vollständige Induktion: Die Regel gilt sicherfür n = 1: P 1 = ao + x hat eine positive oder eine negativeLösung, je nachdem, ob ao negativ oder positiv ist. Wir nehmenan, die Regel gelte auch für jedes Polynom n - 1-tenGrades Pn-1· Jedes Polynom n-ten Grades Pn läßt sich auseinem Pn-! erzeugen durch Multiplikation mit x, Umtaufender Koeffizienten und Addition eines neuen a 0 . Nun hatPn - ao = xPn-! ebensoviele Zeichenwechsel und Nullstellenwie Pn-! und dazu eine Nullstelle bei x = 0. Geht manzum vollständigen P n über, verschiebt also die KurvePn - ao um ao, dann rutscht diese zusätzliche Nullstelleins Positive oder Negative, je nachdem, ob a 0 ein anderesoder dasselbe Vorzeichen hat wie die Ableitung vonPn - ao bei x = 0, die ja einfach a1 heißt. Ein durch ao erzeugterzusätzlicher Zeichenwechsel schafft also eine neuepositive Nullstelle, ein zusätzlicher Zeichenwechsel in derabwechselnd vorzeichengeänderten a;-Folge eine neue negativeNullstelle. Beim Verschieben um ao kann aber eine geradeAnzahl Nullstellen verlorengehen, wenn dies einen odereinige "Busen" der Kurve über die x-Achse hebt oder untersie senkt. Solche Paare verlorener reeller Nullstellen werdenzu konjugiert komplexen Paaren. Hat Ihnen dies Mühe gemacht?Dann können Sie werten, wie genial manche Leuteschon vor fast 400 Jahren waren.18.3;2. Bevölkerungsexplosion IEs gibt z. Z. 5 · 109 Menschen. Sie haben, einschließlich derEntwicklungsländer, vielleicht eine mittlere Lebensdauervon 50 Jahren. Bei Stationarität müßten pro Jahr 108, proSekunde 3 Leute sterben, ebensoviele geboren werden. InWirklichkeit schätzt man eine Verdopplungszeit von etwa25 Jahren: N =No exp(tl(25ln 2)), N = N 136: Es erfolgenin der Sekunde 4,6 mehr Geburten als Todesfälle.18.3.3. Bevölkerungsexplosion IIMit 2k Kindern/Paar, die ihr fruchtbares Alter erreichen undnützen, und einer Generationsdauer T wächst die Menschheitwie Noe!T. Tippen wir erst auf 2k = 4 und T = 30 (mittlererAltersunterschied zwischen Eltern und Kind). Es würde folgenN = No2 1 1 30 . Wenn die wirkliche Verdopplungszeit 25Jahre ist, müssen wir 2k auf 2 · 26/ 5 = 4,6 Kinder/Paar heraufsetzen.A.D. 2365 wohnte auf jedem m2 ein Mensch,wenn es so weiterginge.18.3.4. Sterbemodell IModell (1) liefert in Analogie zum radioaktiven Zerfall oderzur Absorptionskurve eine exponentielle Pyramide. Modell(2) ist analog zur Absorption von rx-Teilchen (Aufgabe13.2.7) mit glockenförrniger Verteilung der erreichten Lebensalter,um so schmaler, je größer die fatale Anzahl derDefekte ist.18.3.5. Sterbemodell IIN = Anzahl der Defekte, die zum Tod führen; v dt = mittlereWahrscheinlichkeit für Auftreten eines Defekts in der Zeit dt(t in Jahren). Mittleres SterbealterN lv = 74a. Viertelwerts-Breite ,;;NTSiv = 9,5 a, alsoN = 23,8: v = 0,23 a-1. (Vgl.Aufgabe 13.2.7.)18.3.6. TierwachstumDas Modell sagt m = am 2 13 - bm, oder durch den "Radius" rdes Körpers ausgedrückt (m ~ r 2 r): r = A- Br, alsor =AlB+ (ro- AlB) e- 81 . Für m ergibt sich eine S-Kurve,die das Wachstum vieler Tierarten ganz gut wiedergibt.Für n-dimensionale Tiere sieht r(t) genauso aus, m ~ rn.Die S-Kurve nähert sich asymptotisch m 00 = (AIBf, derWendepunkt liegt bei mw = (1 - 1lnfm 00 , für sehr großen also m 001e, und fw = ln(n- nBroiA)IB.18.3.7. Talent-RückkopplungSei L der Überschuß meiner "Leistung" über einen gewissen"Normalwert". Dieser Erfolg beflügelt mich zu weiterer Steigerung,nur begrenzt durch eine ebenfalls L-ab hängige Ermüdung(heute vielfach auch durch die Furcht, aus der Reihe zutanzen): L = aL(l -LI K). Das ist wieder die Verhulst-Gleichung(18.27). Entscheiden Sie selbst, ob das für Sie annäherndzutrifft und wo die Parameter Ihrer Kurve liegen.18.3.8. BifurkationDie x-Werte der Zweierperiode sind die stabilen Lösungenvon x =f(f(x)) =J 2 (x), d.h. von3 2 ( 1) l 1x -2x + 1.x--+-.a a a3(L. 9)Eine weitere Lösung dieser Gleichung ist leicht zu finden:x =f(x) =} x =f(f(x)) usw.: Alle Kurvenr(x) schneidensich und die x-Gerade bei x = 1 - 1 I a, aber dieser Punktist bei den meisten instabil (Betrag der Steigung > 1). Erhilft uns aber beim Lösen von (L. 9): Division dieses Polynomsdurch x- 1 + lla liefert x 2 - (1 + lla)x + 1la +1 la 3 mit den Wurzeln x2,3 = (a + 1 ± v' a2 - 2a- 3)1(2a).Diese stationären Punkte werden instabil, wenn j 2 (x) dortsteiler als -1 fällt, also ab x3 - 3x 2 12 + (1 + 1la)xl2-ll(4a)- ll(4a 3 ) = 0. Wir subtrahieren dies von (L. 9)und erhalten eine quadratische Gleichung mit der Lösungx = ( a + 1 ± j a 2 - 4a + 1 -10 I a) I (2a). Dies muß gleichx2,3 sein, woraus a = 1 + v'6 folgt. Einsetzen dieses a in x 2,3liefert die übrigen angegebenen Werte.