Lösungen zu den Aufgaben - Springer

IIII1026 : : Lösungen zu den AufgabenW = - Wkin abnehmen, also Wkin zunehmen. Das sieht wieein rein mathematischer Trick aus. Kräftemäßig gilt aberimmer ai r = GM I r2, also w "' r-31 2 (Kepler). Wenn r langsamabnimmt, steigt w. Sogar die Bahngeschwindigkeit steigt:v"' ,-1/ 2 . DieSchwerkraftgibtdemSatelliten beimAbsinkenmehr kinetische Energie, als ihm die Bremsung entzieht.1.7.28. MondfahrtDie Energie einer Kepler-Bahn hängt von der großen Halbachsea ab wie W = -! GMml a. Die Startenergie, d. h. diekinetische Energie am Perigäum (r =RE) ist also für dieMondrakete Wkin = GMmiRE- !GMmla, für die Raketeauf der Parabelbahn Wkin = GMmiRE. Der Unterschied beträgtnur! a I RE = 1/120. Wenn man bis zum Mond schießenkann, kommt man mit 0,8 % Treibstoff-Mehraufwand auchganz aus dem Erdschwerefeld weg. Andererseits siehtman, wie wenig Unterschied in der Anfangsgeschwindigkeitdazu gehört, um einige 100 000 km am Mond vorbeizuschießen.1.8.1. Der brave MannBezugssystem des Wassers: Das Boot macht 6,5 km/h, dieFlasche bleibt auf der Stelle. Also fährt das Boot ebensolangevon der Flasche weg wie es nachher zu ihr hinfährt, nämlichbeidemal !h. Im Bezugssystem des Ufers ist es schwieriger:Stromauf macht das Boot 3,5 km/s, die Flasche treibtmit 3 km/h davon, also sind sie nach !h um 3,25 km auseinander.Stromab fährt das Boot mit 9,5 km/h, also mit 6,5 kmJhmehr als die Flasche, die folglich nach !h eingeholt wird.1.8.2. Wie verhütet man Tanker-Unfälle?Das Problem scheint zunächst sehr kompliziert, bis man aufdie Idee kommt, daß die Bewegung der Schiffe relativ zumUfer oder zur Radaranlage gar nicht interessiert. Ob es zurKollision kommt, hängt nur von der Relativbewegung derSchiffe ab. Man betrachte also etwa A als ruhend. Anfangspositionund Kurs von B relativ zu A ergeben sich amschnellsten graphisch durch Subtraktion der Geschwindigkeitsvektoren.Dieses Verfahren gilt natürlich auch für dreiund mehr Dimensionen.1.8,3. Hubble-EffektDer Schwerpunkt des Granatsplittersystems fliegt auch nachder Explosion ruhig weiter seine Bahn, falls man vom Luftwiderstandabsieht, der für die Gesamtheit der Splitter größerist als für die kompakte Granate. Im Bezugssystem desSchwerpunktes fliegen alle Sprengstücke etwa geradlinig radialauseinander; ebenso wie vonjedem Splitter aus betrachtetalle anderen von diesem wegfliegen, und zwar um soschneller, je weiter sie entfernt sind. Ganz ähnlich verhaltensich die Galaxien, von einer beliebigen aus betrachtet, nurläßt sich hier aller Wahrscheinlichkeit nach kein Schwerpunktdes Gesamtsystems angeben, da die Explosion imsphärisch-geschlossenen Raum stattfindet.1.8.4. Vollziehen Sie Copernicus nachDiese Konstruktionen kann man nicht so vollständig beschreiben,wie sie es verdienen. Wer in der zweiten Hälftedes zweiten Jahrtausends lebt, sollte sie mindestens einmalgemacht und ihr Gegenstück am Himmel verfolgt haben.Sonst bleibt das moderne Weltbild auswendig gelerntesSchulwissen. Die erste Erkenntnis ist, daß die Rückläufigkeitender Planeten, für die Ptolemaios besondere Epizyklenerfand, einfach darauf beruhen, daß die Erde den Planetenüberholt bzw. von ihm überholt wird. Das entspricht der Oppositionfür die äußeren, der "oberen" Konjunktion für dieinneren Planeten. Besonders auffällig ist das beim Mars. Daherwohl auch dessen Name: Während er hartnäckig rückwärtsstürmt, schwillt er enorm an (bis Jupiter-Größe ), und erst kurzbevor er aufgibt, wird er wieder kleiner (vgl. Ilias 21, 400).Auch die Unregelmäßigkeiten in diesem Verhalten sindbeim Mars mit seiner stark elliptischen Bahn am auffälligsten.1.8.5 und 1.8.6. Von Newton zu EinsteinSchupo und Newton haben das herkömmliche Bezugssystemdes Erdbodens gegen das frei fallende System der Nonkonformistenzu verteidigen. Im letzteren lassen sich die Ereignissezunächst viel einfacher beschreiben, denn mysteriöseFernkräfte wie die Gravitation fallen ganz weg; alle Beschleunigungensind auf unmittelbar verständliche Nahkräfte(Zug, Stoß usw.) zurückzuführen. Newton muß beschleunigtsein, weil der Garten ihn vor sich herschiebt,der Garten wird von tieferen Erdschichten geschoben- warumschiebt aber Neuseeland? Warum sind völlig freie neuseeländischeÄpfel sogar mit 2g beschleunigt? Auch der Apfelkommt nur in seiner unmittelbaren Umgebung ohne Fernkräfteaus. Wir würden von Gezeitenkräften reden. Einsteinwürde sagen: Diese Kräfte, wie alle gravitativen Fernkräfte,beruhen darauf, daß sich die Raumkrümmung in der Umgebungvon Materie nicht verzerrungsfrei auf ein ebenes Bezugssystemabbilden läßt, sei es das des Apfels oder das Newtons,und zwar ebensowenig, wie sich die Erdoberfläche ineiner ebenen Karte darstellen läßt. Die dafür verantwortliche"absolute" Krümmung ist der eigentliche Inhalt des EinsteinsehenGravitationsgesetzes. Es geht dem Apfel wie demGriechen, der die Erde für flach hielt und dementsprechendeine mercatorähnliche Weltkarte zeichnete. Als er unwiderleglicheskythische Berichte über Tagesmärsche in der nordrussischenTundra erhielt, die auf seiner Karte ganz unerklärlichlang aussahen, folgerte er, die Barbaren seien mit um sogrößeren Kräften begabt, je weiter sie von Hellas' erschlaffenderZivilisation entfernt wohnten. - Newton kann übrigensnoch für sich vorbringen, daß er seine Fernkräfte wenigstenssymmetrisch um die offensichtlich singulären Himmelskörperverteilt, während der Apfel sie anscheinendnur auf seine eigene ziemlich bedeutungslose Person bezieht.Aber das ist mehr ein ästhetisches Argument.1.8. 7. WindrichtungLuftmassen werden beschleunigt, wenn der Druck in einerbestimmten Richtung abnimmt (Kraftdichte = -gradp).Auf strömende Luft wirken senkrecht zu v die Coriolis-Kraft(Kraftdichte = 2gv x w, w Kreisfrequenzvektor der Erdrotation)und entgegengesetzt zu v die Reibung(Kraftdichte = -kv). Wir lassen die Reibung zunächst