Lösungen zu den Aufgaben - Springer

etrachten wir ein Doppelsternsystem, dessen Schwerpunktrelativ zur Sonne im Abstand ao ruht und dessen Sterne ineiner Kreisbahn, deren Ebene die Sonne enthält, mit demBahnradius r und der Winkelgeschwindigkeit w um diesenSchwerpunkt laufen. Wenn der eine Partner sich gerade .von uns wegbewegt, soll sein Licht nach Ritz mit c - v reisen( v = wr ), also bis zu uns die Zeit a I ( c - v) brauchen.Licht, das ausgesandt wird, wenn der Stern auf uns zukommt,also eine Zeit 1rr I v später, brauchte nuraol(c + v). Wenn aol(c- v) - aol(c + v) ::::o 2aovlc 2 =1rr I v, sähen wir das später ausgesandte, violett-verschobeneLicht gleichzeitig mit dem früher ausgesandten, rotverschobenen,d. h. jeder Stern lieferte mehrere Spektrallinien. Dasginge noch an, denn man weiß ja a priori nicht, wie vieleKomponenten das System hat. Aber eine einfache Zeichnungzeigt, daß bei etwas größerem v drei, fünf oder mehrLinien auftreten würden, die plötzlich verschwinden, verschmelzenusw. Es gibt viele Systeme, die die Bedingung2aovlc 2 > 1rrlv oder ao > rc 2 lv 2 erfüllen. Bei Sonnenmassehätten die Sterne etwa r = YE(T ITE) 2 1 3 (YF.: Erdbahnradius,TE= 1 Jahr). Fast die Hälfte aller genau studiertenDoppelsterne haben Perioden T < IOd. Für jedes derartigeSystem, das weiter von uns ist als 13 Lichtjahre, also fürpraktisch alle, wäre die Bedingung für das spektroskopischeGeisterkonzert erfüllt. Da man nie so etwas beobachtet hat,ist die Ritz-Hypothese. falsch.15.1.5. Wer hat sich bewegt?Eddington sagte ungefähr: "Meine Müdigkeit rührt daher,daß ich den ganzen Tag in einem Kasten eingeschlossenwar, der furchtbar rüttelte. Sie geben zu, daß dieser Effektgenau der gleiche gewesen wäre, wenn Edinburgh zu mirgekommen und London nach der anderen Seite weggefahrenwäre, so daß mein Zug ganz schön dampfen müßte, um hierzu bleiben. Sie sehen, wenn man Koordinatensysteme transformiert,muß man das auch konsequent tun, unter Berücksichtigungaller unbezweifelbaren Beobachtungstatsachen... ",und damit war er wieder in seinem Vortrag.15.1.6. StrahlungsbremsungDie Frage ist in vorrelativistischen Zeiten ernsthaft diskutiertworden. Wenn es einen Äther gäbe, wären vor dem mit vbewegten Stern Dichte und Druck der Strahlung um den Faktorv I c erhöht. Normalerweise sind sie von der GrößenordnungGT 4 1c ::::o 0,2Nm- 2 . Hinter jedem m 2 Sonnenquerschnittsteckt eine Massen-Flächendichte J1 ::::o eR ::::o10 12 kg m- 2 , die schiebt. Aus der Bewegungsgleichung J1V= -vGT 4 j c 2 folgt eine Zeitkonstante der Bremsung -r =vIv = JlC I ( GT 4 ) ::::o 10 21 s ::::o 10 13 Jahre. Sie ist viel kürzerals die Relaxationszeit für "Sternstöße" (Aufgabe 5.2.28).Relativistisch existiert kein Problem. Da es keinen Sinnhat, dem Stern ein v ohne Angabe eines Bezugspunkts zuzuschreiben,kann sich die Strahlung nicht stauen. Das Experimentzeigt auch direkt, daß sich das Licht isotrop ausbreitet.Dagegen wird z. B: ein Planet im Strahlungsfeld der Sonnewirklich etwas gebremst (Poynting-Robertson-Effekt).Wenn er mit v umläuft, fällt diese Strahlung um den WinkelKapitel15: Lösungen 1171v I c von vorn ein (Aberration), die Strahlungsdruckkraft hateine Rückwärts-Komponente Alvlc 2 . Für die Erde konntendiese 105 N das Jahr seit ihrer Entstehung nur um 1 s verlängern.Beim Merkur macht dies fast 100 s aus.15.1. 7. Lorentz-KontraktionEine mit v bewegte Ladung erzeugt um sich ein MagnetfeldH = ev x rl(47rr 3 ) (am einfachsten nach Biot-Savart; dieLadung ist ein Stromelement ev; r Abstand von der Ladung).Im Abstand d senkrecht zu v hat dieses Feld den BetragH = ev I ( 47rd 2 ) und steht senkrecht auf v und dem Abstand.Eine Ladung -e dort, die ebenfalls mit v fliegt, erfährtin diesem Feld die Lorentz-Kraft FLor = -ev x B vom BetragJ1oe 2 v 2 I ( 47rd 2 ) nach außen. Das Verhältnis von LorentzundCoulomb-Kraft ist eoJ1oV 2 = v 2 I c 2 . Der Gleichgewichtsabstandverschiebt sich also dorthin, wo die Abstoßungskraftetwa um FLor kleiner ist (da die Abstoßung soviel steiler ist, macht die Änderung der Anziehung nichtviel aus). Geht die Abstoßung wie ,-n, dann ist das derFall bei einem neuen Abstand d(l + v 2 l(nc 2 )). Für n = 2entspricht das in der Näherung v «: c dem Lorentz-Faktor1/)1- v21c2 .15.2.1. Schnelle Uhren gehen nachWir betrachten vier .Uhren: A ruht in dem Nahezu-Inertialsystem,das mit dem Erdmittelpunkt verbunden ist; B ruht amErdboden, ist also gegen A mit vo = 0,45 km/s bewegt: Cfliegt mit dem Jet in ost-westlicher Richtung, also gegendie Erdrotation, und bewegt sich mit v gegen B, mitv- v0 gegen A; D fliegt ebenso west-östlich, also mit v gegenB, mit v + vo gegen A. Während für A eine Sekunde vergeht,rücktB~m\/r-v61c2vor,CumJl- (v-v0 ) 2 1c2,D um V1- (v + v0 ) 2 lc2 . Alle diese Angaben sind direktvergleichbar, da die bewegten Uhren immer wieder zumOrt der Uhr A zurückkommen. In einer Flugzeit T entwickeltsich daher eine Zeitdifferenz zwischen C und B: !!T ow =T (V 1 - ( vo - v) 2 I c 2 - J I - v6 I c 2 ) ::::o T ( 2vvo - v 2 ) I c 2 ,zwischen D und B: b.Two = T(Vl- (vo + v) 2 lc2 -.)1- v61c2 ) ::::o T(2vvo +v 2 )jc 2 . Die zweite dieser Differenzensoll nach dem Bericht dreimal so groß sein wie dieerste. Das ist der Fall, wenn v = vo = 0,45 kmls =1 640 krnlh. Da der Rundflug auf einem Großkreis somit genaueinen Tag dauert, ergibt sich eine Gesamtverzögerung Dgegen B um ca. 10- 7 s. Die Reporter haben einfach die relativeVerzögerung in s/s, nämlich 10-12, als absolute angegeben.Ihre w- 12 s/Tag, d. h. relativ w-19 s/s, wären auch mitder raffiniertesten Technik nicht meßbar, während 10- 12 s/ses gerade noch sind. Warum die Ost-West-Uhr schneller gehtals die Erduhr, ist ganz einfach zu begreifen: Sie realisiertpraktisch die Inertialuhr A, der gegenüber die Erduhr B natürlichnachgeht. Dazu kommt ein allgemein-relativistischerEffekt: Die Uhren B, C, D befinden sich im kombiniertenSchwere- und Zentrifugalfeld auf verschiedenem Potentialrp =-GM Ir- !w 2 r 2 . Der Unterschied in r (etwas mehr