Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 9: Lösungen 1109Bündel 4 cm. Bei sehr guter Fokussierung (1 mm Bündeldurchmesser)bedeutet das eine Meßgenauigkeit vonetwa 1 %. Direktmessung der Brechzahl von Luft aus derLichtgeschwindigkeit würde eine Vergleichsmessung im Vakuumvoraussetzen, die so nicht durchführbar ist. Ganz abgesehendavon reicht die Meßgenauigkeit längst nicht aus(nLuft = 1,00027). Man brauchte dazu bei gleicher Fokussierungeinen Lichtweg von etwa 10 km.9.3.4. Ändert sich ..1. oder v?Würde sich die Frequenz beim Eintritt ins Wasser ändern,wäre kein gemeinsamer Schwingungsvorgang außer- und innerhalbdes Wassers mehr möglich: Beide würden sofortaußer Takt fallen. ..1. muß mit 1 In gehen. Die Frage nachder Farbe ist so nicht entscheidbar: Auch im Auge des Taucherskommen sowohl ..1. als auch v mit denselben Werten anwie über Wasser. Beim Eintritt in den See nimmt ..1. ab undändert sich dann beim Übergang in den Augapfel kaumnoch. Über Wasser erfolgt die gleiche Gesamtänderung ander Hornhaut.9.3.5. Widerspruch?Zeichnen Sie analog zu Abb. 4.34b diese Elementarwellenin der Luft. Ist der Grenzwinkel der Totalreflexion überschritten,gibt es keine Tangentialebenen an die Kreis-Wellenfrontenmehr. Diese Ebenen kennzeichnen ja nur einigeder Stellen, wo alle Elementarwellen konstruktiv interferie-. ren, nämlich alle einen Berg haben. Auf allen dazu parallelenEbenen interferieren andere Phasen ebenfalls konstruktiv.Die Elementarwellen in Luft bei Totalreflexion haben an jederStelle alle verschiedene Phasen, interferieren einanderalso weg, wie u. a. ein Zeigerdiagramm beweist. In einemmit ..1. vergleichbaren Abstand ist diese Destruktion nochnicht komplett, dazu wären sehr viele Phasenpfeile nötig:Die Erregung nimmt mit dem Abstand ab, bis sie bei wenigen..1. unmerklich klein geworden ist (Goos-Hänchen-Effekt,Abb. 9.19, analog zum quantenmechanischen Tunneleffekt).9.3.6. c-MessungAuf dem Schirm entsteht eine Lissajous-Ellipse aus demLED-Signal x = xo sin(mt) und dem phasenverschobenenPD-Signal y = Yo sin(wt + tp). Eine schräge Linie zeigttp = 0 an. Ändert man die Laufzeit des Lichts um !t..t, entstehteine Phasenverschiebung tp = w !t..t: Auf dem Schirmergibt sich yo als Höhe einer waagerechten Tangente andie Ellipse, Yo sin tp als Höhe des y-Schnittpunktes derEllipse, wo ja x = 0, also z. B. t = 0 ist, d. h. y = y0 sin tp.Die Ellipse (a) liefert sin rp = 0,30 ± 0,02, also rp =0,305 ± 0,02rad, woraus sich !t..t = (9,7 ± 0,6) · w-10 s ergibt.Das entspricht einer Wegänderung von 0,3 m, alsoeiner Lichtgeschwindigkeit von (3,09±0,18) -108 ms- 1 .Ein Medium der Länge x mit der Brechzahl n erhöht dieLaufzeit um !t..t = x(n- l)lc, wir erhalten n = c !t..tlx + 1,also n = 1 ,32 ± 0,02 für Wasser, n = 1,49 ± 0,03 für Glas.9.4.1. Hätte Newton sich gefreut?Licht läuft in einem Medium mit hoher Brechzahl n langsamer(c = coln), Elektronen laufen dort schneller(nJ/nz = JVziVI = vzlvJ). Newton erklärte die Brechungvon Licht genau so wie wir jetzt die von Elektronenstrahlenerklären, nämlich durch die beschleunigende Wirkungeines Feldes, das in der Grenzschicht zwischen dünneremund dichterem Medium lokalisiert ist. Er erhielt sodirekt das Snellius-Gesetz. Um die Dispersion einzubeziehen,mußte er annehmen, die Lichtkorpuskeln verschiedenerFarben hätten verschiedene Anfangsenergien. Da violettesLicht am stärksten abgelenkt wird, mußten, entgegenunserer Ansicht, seine Korpuskeln am energieärmsten sein.Erst zur Deutung von Beugung und Interferenz (NewtonseheRinge!) mußte Newton unplausiblere Annahmen machen.9.4.2. LichtkrümmungDer Strahllaufe unter dem Winkel rp gegen den Brechzahlgradienten.Man kann die stetige Brechzahländerung dnldxin sehr kleine Schritte !t..n auf der Strecke !t..x zerlegt denken.An jeder solchen Grenzschicht ändert sich die Richtunggemäß n sin tp = (n + !t..n) sin(rp + !t..rp) ~ n sin rp + !t..n sin tp+ n cos rp!t..rp, d. h. um !t..rp = -!t..n tan rp, oder auf die Laufstrecke!t..s = !t..xl cos rp bezogen: !t..rp I !t..s = - sin rp!t..nl !t..x.Dies ist genau das, was man als Krümmung des Lichtstrahlsdefiniert: 1 IR = - sin rp · dnl dx. Die Beziehung !t..rp I !t..x =- tan tp · !t..nl !t..x gäbe für rp = 90° keinen Sinn. Erst dieReduktion auf !t..s, d. h. die Multiplikation mit cos tp = 0stellt den Sinn wieder her. Der strenge Mathematiker würdenatürlich die Regel von de l' Hopital auf den "unbestimmtenAusdruck" 0 · oo anwenden, um zu sehen, ob der Grenzüberganggerechtfertigt ist.9.4.3. BahnkrümmungDer Potentialgradient, d. h. das Feld sei E = -grad U. EinElektron, das senkrecht dazu fliegt, kompensiert die Krafte grad U senkrecht zu seiner Bahn durch ein Einschwenkenauf einen Kreis, so daß die Zentrifugalkraft die elektrischekompensiert: mv2 Ir= e grad U. Wenn v und E unterdem Winkel tp i= 90° stehen, reagiert der Krümmungsradiusnur auf die Normalkomponente -eEsinrp, d.h. mv21r =eE sin rp. Die Tangentialkomponente beschleunigt das Elektron:mv = -eE cos rp. In der Form sin rp · e grad U IWkin= const ist die Kreisbahnbedingung praktisch das Snellius­Gesetz sin rp · .n = const mit n = eU IWkin.9.4.4. Fata MorganaÜber der besonnten Straße bildet sich eine ziemlich dünneSchicht erhitzter, d. h. verdünnter Luft. Man kann von einerTotalreflexion an diesem optisch dünneren Medium sprechen,wenn es genügend scharf begrenzt ist, oder sonst dieLichtkrümmung im n-Gradienten behandeln. Das Ergebnisist das gleiche. Die normale Lufttemperatur sei To (in K),dicht über der Straße sei es um !t..T wärmer, d. h. die Dichteist dort um f't..Q = Qo !t..T ITo geringer. Die Abweichung derBrechzahl von 1 ist nach Clausius-Mosotti (Abschn. 6.2.3)proportional der Dichte, also ist n über der Straße um!t..n = (no - 1) f't..Q I Qo = (no - 1) !t..T ITo kleiner. Totalreflexiontritt ein, wenn ein Lichtstrahl von schräg oben unter