Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 1: Lösungen 10191.6.1. BremswegBremsweg: s = v 2 I (2118), zulässige Geschwindigkeit ineiner Kurve vom Radius r: v = ..jJiir. 11 = 0,3 ist die Hälfteder polizeilich vorgeschriebenen Mindest-Bremsverzögerung.Bei Schnee ist der Bremsweg mehr als dreimallängerals bei Regen und achtmal länger als auf trockener Straße.Kurven dürfen bei Schnee höchstens 1 so schnell gefahrenwerden wie bei trockenem Wetter.1.6.2. Richtiges BremsenTritt man so stark auf die Bremse, daß die Verzögerung größerwird als 118, fangen die Reifen zu gleiten an, wodurch dieaufs Auto übertragene Bremskraft verringert wird (gleitendeReibung < Haftreibung). Außerdem leidet natürlich dieSpur- und Lenksicherheit Der Ruck beim Zum-Stehen-Kommenberuht ebenfalls darauf, daß die Haftreibung, diesmalzwischen Bremsbacken und -Scheiben, größer ist. Daherläßt man das Pedal vorher etwas aus. Tut man das etwaszu früh, dann scheint der Wagen kurz vor Schluß noch einmaldavonzuschießen. Deswegen empfehlen manche das"logarithmische Bremsen" mit allmählichem Nachlassendes Bremsdruckes. Ist der Druck und damit die Verzögerungder jeweils noch vorhandenen Geschwindigkeit proportional,dann nimmt diese nach einem Exponentialgesetz ab.1.6.3. AnfahrenDas Fahrzeug der Masse m übt auf die Straße die Normalkraftm8 aus. Die maximale Haftreibungskraft 11m8 kann eineTrägheitskraft (Beschleunigungs- oder Zentrifugalkraft)oder einen Hangabtrieb von höchstens ma = 11m8 aufnehmen,sonst rutschen die Reifen, was die Reibung nurnoch vermindert. Damit ergibt sich die maximale AnfahroderBremsbeschleunigung zu a = 118, im Beispiel 6m/s 2 ,die maximale Steigung zu ffJ mit tan ffJ = 11. d. h. im Beispiel(/J = 31° oder 60 %. Die maximale Zentrifugalbeschleunigungvon ebenfalls 118 läßt das Pendel ebenfalls um 31°schiefhängen. Der Anhalteweg aus v ist bei entsprechendguten Bremsen s = vtr + ! v 2 I (118). Das "Leistungsgewicht"ist definiert als Fahrzeugmasse m!Leistung P. ZurBeschleunigung mit a bei der Geschwindigkeit v brauchtman die Leistung mav. Bei voller Leistung beschleunigtman also mit a = Pl(mv). Bis v = v1 = Pl(ml18) begrenztalso die Reibung die erreichbare Beschleunigung, oberhalbdavon die Motorleistung. Bei 10 kg/PS ist v 1 :::::: 45 km!h.Mit dieser Geschwindigkeit kann man auch die maximaleSteigung fahren; nur beschleunigen kann man dabei nichtmehr.1.6.4. Super-ReibungWarum nicht? Bei glatten Flächen ist das zwar nicht einfachherzustellen, aber bei entsprechender Verzahnung der Mikro­Rauhigkeiten kann ein Klotz auch auf einer Fläche halten, dieschiefer als 45° steht. Definiert man den Reibungskoeffizientenauch für makroskopische Gebilde wie z. B. die selbstschließenden"Klett-Verschlüsse", die zusarnmenhaften, sobaldman sie aufeinanderdrückt, dann ist 11 beliebig groß.1.6.5. ZauberstabAuf den Finger, der weiter vom Stabschwerpunkt entfernt ist,sagen wir den rechten, drückt der Stab mit geringererNormalkraft. Daher ist auch die Reibungskraft dort kleiner,und der Stab gleitet auf dem rechten Finger auswärts.Da die gleitende Reibung kleiner ist als die ruhende, rutschtder Stab so weit, daß schließlich der rechte Finger näher amSchwerpunkt ist. Ist das Verhältnis der Abstände vomSchwerpunkt gleich dem Verhältnis von Gleit- zu Haftreibungskoeffizient,fängt der Stab auf dem linken Finger zurutschen an, und das Spiel wiederholt sich mit ständig vertauschtenRollen in immer kürzeren Abständen, bis sichdie beiden Finger genau unter dem Schwerpunkt begegnen.Natürlich fällt der Stab dabei nie herunter, außerwenn man die Finger zu heftig bewegt.1.6.6. TraktorStark untersetzte Motoren liefern eine kleine Drehzahl undein hohes Drehmoment T. Die Zugkraft z. B. des Traktorsauf den Anhänger oder der Lokomotive auf den Zug darfaber den Wert 118m nicht überschreiten, sonst rutschen dieRäder. Um das hohe Drehmoment T = Fr auszunutzen,muß also der Radradius r groß sein.1.6. 7. Der starke MatroseEin Seil überträgt direkt Kräfte nur in seiner eigenen Richtung,aber wenn es um einen Pfahl geschlungen wird, entstehengerade dadurch Normalkräfte. Der Pfahl habe den RadiusR. Wir betrachten ein Seilstück der Länge dl, das an den Pfahlgeschmiegt ist und an dessen beiden Enden eine Kraft vomBetrag F zieht. Diese Kräfte bilden einen Winkel dQ( = dliRmiteinander, und es entsteht eine NormalkomponenteF dQ( = F dl IR, die das Seil gegen den Pfahl drückt. Sie führtzu einer tangentialen Reibungskraft dF = 11oF dl IR. Bevordas Seil zu rutschen anfängt, muß also am einen Ende vondl eine um dF größere Kraft ziehen als am anderen. Mit anderenWorten nimmt die Zugkraft längs des Seiles nach demGesetz dF I dl = 11oF IR zu. Bei der Seillänge !liefert die Integration,F 1 = F 0 el'ol/ R. Mit der Kraft F 0 am einen Endekann man also, unterstützt durch die Reibung, einer viel größerenKraft F 1 am anderen Ende das Gleichgewicht halten.Wenn l = 21fnR, also das Seil n-mal um den Pfahl geschlungenist, wird mit 11o = 0,8: F1 = Fo · 150n. Mit n = 3 hält1 kg 3 000 t aus. Heranziehen kann man das Schiff allerdingsnicht.1.6.8. KartentrickDie bewegte Karte beschleunigt die Münze mit a = 811·In der Zeit t = 2r I v, bis die ganze Glasöffnung frei ist,darf die Münze nicht weiter als r rutschen, alsox = !at 2 = 2811~ lv 2 < r, d. h. v > )28W· Bei 11 = 0,3,r = 3 cm kommt man mit 0,45 m/s aus. Wider Erwartengeht es mit engen Gläsern besser, wenn man von demAnfangsruck irrfolge Haftreibung absieht. - Während dasTischtuch darunter weggleitet, wirkt auf den Boden einesGlases die Kraft ffl811. das Drehmoment T = m811h (h: HalbeHöhe). Die Kippzeit ergibt sich aus w = TIJ = l2811lh